青岛科技大学 大学物理讲义
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思想方法 自然界在许多方
面都是明显地对称的,他采用类
比的方法提出物质波的假设。
“整个世纪以来,在辐射理论上,比起波动的研
究方法来,是过于忽略了粒子的研究方法; 在实物
理论上,是否发生了相反的错误呢? 是不是我们关
于‘粒子’的图象想得太多,而过分地忽略了波的
图象呢?”
法国物理学家德布罗意( Louis
Victor de Broglie 1892 – 1987 )
一 物质波 (materials waves)
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德布罗意假设:实物粒子具有波粒二象性。
?hE ?
?
hp ?
h
mc
h
E 2???
hh
pm
? ??
v
德布罗意公式
2)宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测
量的程度,因此宏观物体仅表现出粒子性。
注 意
0mmc ???v
1)若 则
若 则
c??v 0mm ?
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例 1 在一束电子中,电子的动能为,求
此电子的德布罗意波长?
eV200
?
解 2
0k 2
1,vv mEc ???
0
k2
m
E?v
1-61
31
19
sm104.8sm
101.9
106.12 0 02 ????
?
???? ?
?
?
v
nm1067.8 2????
nm
104.8101.9
1063.6
631
34
0 ???
????
?
?
vm
h?c??v?
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当,
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例 2 从 德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量
量子化条件。
?nr ?π2 ?,4,3,2,1?n
nhrm ?vπ2
解 两端固定的弦,
若其长度等于波长则可形
成稳定的驻波。
??rπ2
将弦弯曲成圆时
vm
h??电子绕核运动其德布罗意波长为
π2
hnrmL ?? v角动量量子化条件
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二 德布罗意波的实验证明
戴维孙 — 革末电子衍射实验证实了物质波的存在
I
35 54 75 V/U
?50??
当散射角 时
电流与加速电压曲线
?50??
检测器
电子束


线
?
电子被镍晶体衍射实验
M
U
K
G
电子枪
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三 德布罗意波的统计解释
经典 粒子 不被分割的整体,有确定位置和运动
轨道 ; 经典 的波 某种实际的物理量的空间分布作
周期性的变化,波具有相干叠加性 。 二象性 要求
将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上。
1926 年玻恩提出 德布罗意波是 概率 波。
统计解释,在某处德布罗意波的强度是与粒子在
该处邻近出现的概率成正比的。
概率概念的哲学意义,在已知给定条件下,不
可能精确地预知结果,只能预言某些可能的结果的
概率。
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p
h??
b
hp
x ??
hpx x ???
b?? ?s in
一级最小衍射角
电子经过缝时的 位置
不确定量 。bx ??
bppp x
?? ??? s i n
电子经过缝后 x 方向
动量不确定
用电子衍射说明不确定关系
y
x
?hp ?
?hp ?b
?
电子的单缝衍射实验
o
hpx x ???考虑衍射次级有
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海森伯于 1927 年提出不确定原理
对于微观粒子 不 能 同时 用确定的位置和确定的
动量来描述。
1) 微观粒子 同一 方向上的坐标与动量 不可同
时 准确测量,它们的精度存在一个终极的不可逾越的
限制。
2) 不确定的根源是,波粒二象性,,这是自
然界的根本属性。
hpy y ???
hpx x ???
hpz z ???
不确定关系
物理意义
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1smkg2 ????? vmp解 子弹的动量
3) 对 宏观 粒子,因 很小,所以
可视为位置和动量 能同时 准确测量。
h 0??? xpx
例 3 一颗质量为 10 g 的子弹,具有 的
速率, 若其动量的不确定范围为动量的 (这在
宏观范围是十分精确的 ),则该子弹位置的不确定量
范围为多大?
1sm2 0 0 ??
%01.0
14 smkg102%01.0 ?? ??????? pp
动量的不确定范围
m103.3m
102
1063.6 30
4
34
?
?
?
??
?
??
?
??
p
hx
位置的不确定量范围
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例 4 一电子具有 的速率,动量的不确
范围为动量的 0.01% (这也是足够精确的了 ),则该
电子的位置不确定范围有多大?
1-sm200 ?
128 smkg108.1 ?? ????p
解 电子的动量
131 smkg200109, 1 ?? ?????? vmp
132 smkg108.1%01.0 ?? ??????? pp
动量的不确定范围
m107.3m
108.1
1063.6 2
32
34
?
?
?
??
?
??
?
??
p
hx
位置的不确定量范围
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薛定谔 (Erwin Schrodinger,
1887~1961)奥地利物理学家。 1926
年建立了以薛定谔方程为基础的波
动力学,并建立了量子力学的近似
方法 。
..
四 薛定谔方程
正如经典粒子的运动用牛顿公式描述一样,微观粒子
的运动也必须用一个公式描述。薛定谔提出了描述微
观粒子运动的方程,称为薛定谔方程。
2
2 (,)
2
i U r t
tm
? ??? ? ? ? ?
?
h vh 2
h
?
?h其中
?称为波函数
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拉普拉斯算子 2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
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???
2
2 (,)
2
i U r t
tm
? ??? ? ? ? ?
?
h vh
22
22
Ψ Ψi
t m x
????
??
hh
对一维自由粒子
波函数不随时间变化的状态我们称之为定态,定
态薛定谔方程为
? ?
2
22
d2 ( ) 0
d
m E U x x
x
? ???? ? ?
??h
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某一时刻出现在某点附近在体积元 中的粒子
的 概率为
Vd
VΨVΨ dd *2 ?Ψ
1d2 ?? VΨ归一化条件 ( 束缚态 )
某一时刻在整个空间内发现粒子的 概率为
波函数的统计意义
*2 ???Ψ
概率密度 表示在某处 单位 体积内粒子出现的 概率,
正实数