第六章 测量误差的基
本知识
§ 6-1测量误差的概念
? 1、测量误差的定义
? 在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪
器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的
测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与
理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这
些差异为观测值的测量误差。
? 设某观测量的真值为 X表示。若以 li
（ i=1,2,…,n ） 表示对某量的 n次观测值，并以
△表示真误差，则真误差可定义为观测值与真
值之差，即
? Δi=li-X (I=1,2,3…n)
? 若用 xi 表示 X的估值,vi表示改正数，则
? xi =li+ vi vi = xi -
li
.2,测量误差的产生
? 测量工作是在一定的条件下进行的, 一般来说,
外界环境, 测量仪器和观测者构成 观测条件 。 而
观测条件不理想或不断变化, 是产生测量误差的
根本原因 。
? 1, 外界环境
? 主要指观测环境中气温, 气压, 空气湿度和清晰
度, 大气折光, 风力等因素的不断变化, 会导致
观测结果中带有误差 。
? 2, 仪器误差
? （ 1） 仪器制造误差
? （ 2） 检校残余误差
? 3.观测误差
? 观测者的感官的鉴别能力, 技术熟练程度和劳
动态度等也会产生误差 。
? 可见, 观测条件不可能完全理想, 测量误差的
产生不可避免 。 但是, 在测量工作实践中, 可
以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测
条件, 从而能够控制测量误差 。
? 综上所述, 观测结果的质量与观测条件的优劣
有着密切的关系 。 观测条件好, 观测误差就可
能会小一些, 观测质量相应地会高一些；反之,
观测结果的质量就会相应降低 。 当观测条件相
同时, 可以认为观测结果的质量是相同的 。
§ 6-2偶然误差的特点
? 偶然误差的产生受多种因素的影响，难以消除。因而，
偶然误差便成为误差理论中最核心的内容和主要的研
究对象。
? 1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一
定限值（有界性）；
? 2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多
（或称概率大，密集性）；
? 3、绝对值相等的正、负误差出现的机会相等（对称
性）；
? 4、当观测次数 n无限增加时，误差的算术平均值（数
学期望）趋近于零，即
?
? 式中,[△ ]为真误差代数和，即，
[△ ]=△ 1+△ 2+…… +△ n。
? 上述偶然误差的四个特性具有普遍性，对误差理
论的研究和测量实践都有重要意义。
§ 6-3观测值的算术平均值
? 在相同的观测条件下，对某一未知量（如
角度或边长）的真值为 X,对该量作 n次观
测，设 n次观测值分别为 l1,l2,…, ln。
? 则观测值的真误差为△ i（ i=1,2,…,n），
即
? 等式两边求和并同除以 n,有
? 式中 [L]/n称为, 算术平均值,,习惯以
x表示；当观测次数无限增加时，根据偶
然误差特性（ 4），式中 [?]/n趋近于零。
于是可得 x=X
? 在实际工作中，观测次数总是有限的，
算术平均值 x作为未知量的估值，称为未
知量的, 最或是值（或称最可靠值）,,
它比任何观测值都接近真值。
? 算术平均值的一般表达式为
? 以上所述就是算术平均值原理，它是测
量中重要理论之一。
§ 6-4精度的概念及种类
? 从前面的分析可以知道，测量成果中会不可避
免地含有误差。但测量成果只有符合《规范》
规定的限差要求时，才算合格，否则应重测。
? 1、精度的的概念：就是指误差分布的离散程
度。
? 2、精度的种类
? （ 1）中误差 m
? 高斯分布密度函数中的参数 σ, 在几何上是曲
线拐点的横坐标,概率论中称为随机变量的
标准差（方差的平方根）。当观测条件一定时，
误差分布状态唯一被确定，误差分布曲线的两
个拐点也唯一被确定。用 σ 作为精度指标，可
以定量地衡量观测质量。
? 所以在衡量观测精度时，就不必再作误
差分布表，也不必绘制直方图，只要设
法计算出该组误差所对应的标准差 σ 值
即可。 σ 的平方称为方差 σ 2, 在概率论
中有严格的定义：方差 σ 2是随机变量 x
与其数学期望 E(x)之差的平方的数学期
望，用数学公式表达就是
? 用测量专业的术语来叙述标准差 σ, 在
一定观测条件下，当观测次数 n无限增加
时，观测量的真误差△的平方和的平均
数的平方根的极限，由下式表示：
? 式中 为真误差 ?i的平方和，等价于
? 通常，观测次数 n总是有限的，只能求得标准
差的, 估值,,记作 m,称为, 中误差, 。其
值可用下式计算：
? 由中误差的定义可知，中误差 m不等于每个测
量值的真误差，它只是反映这组真误差群体分
布的离散程度大小的数字指标。
（ 2） 平均误差 θ
? 定义：在一定观测条件下，当观测次数 n无
限增加时，真误差绝对值的理论平均值的
极限称为平均误差，记作
? 因观测次数 n总是有限的，故其估值表示：
? 式中 为真误差绝对值之和。
（ 3）,或然误差 ρ
? 在一定观测条件下，当观测次数 n无限增加时，
在真误差列中，若比某真误差绝对值大的误差与
比它小的误差出现的概率相等，则称该真误差为
或然误差，记作 ρ 。
? 因观测次数 n有限，常将 ρ 的估值记作 ω。 或然
误差 ω可理解为：将真误差列按绝对值从大到小
排序，当为奇数时，居中的真误差就是 ω； 当为
偶数时，居中的两个真误差的平均值作为 ω。
? 平均误差、或然误差与中误差有如下关系：
? θ ≈0.7979m
? ω≈0.6745m
? 作为精度指标，中误差最为常用，因为中误差更
能反映误差分布的离散程度。
? 例：设对某个三角形的内角用两种不同精度的仪器各
进行了 10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和
的真误差为
? Ⅰ 列,+3″, -4″, -3″, +4″, -5″, -2″, +3″,
+3″, -4″, +5″
? Ⅱ 列,-1″, 0″, +12″, 0″, -1″, -10″, +1″,
0″, +1″, -10″
? 试求其观测精度。
? 解：
? 1,用中误差公式计算
? 2.用平均误差公式计算
? 3.用或然误差公式计算
? 按绝对值将误差列由大到小排序，即
? Ⅰ 列,5″, 5″, 4″, 4″, 4″, 3″, 3″,
3″, 3″, 2″
? Ⅱ 列,12″, 10″, 10″, 1″, 1″, 1″, 1″,
0″, 0″, 0″
? 计算结果表明：用中误差衡量观测精度，
第一列高于第二列，符合客观实际，因
第二列中有 +12″, -10″, -10″ 三个大
的误差存在，误差分布离散。很显然，
用平均误差和或然误差来衡量观测精度，
在本例均未有效地反映实际情况。
（ 4）,相对误差
? 在进行精度评定时，有时仅利用绝对误差还不能
反映测量的精度。因为有些量，如长度，用绝对
误差不能全面反映观测精度。定义：绝对误差与
测量值之比，记作 K。 习惯上相对误差用分子为 1
的分数表达，分母越大，相对误差越小，测量的
精度就越高。例 [3-2] 用同一把已检定过的钢尺分
别丈量两条边，长度分别为 30m和 90m,其中误
差（绝对误差）均为± 10mm。 试衡量其测量精
度。解：若用绝对误差衡量测量精度，因
m1=m2=± 10mm,,无法判别那条边长丈量的精度
更高。现计算相对误差，有
即第二条边丈量精度高于第一条边。距离
测量中常用相对误差衡量测量精度。
§ 6-5 误差传播定律在测量上的应用
? 1,距离测量的中误差
? 用钢尺量距：设用长度为 l的钢尺丈量 A,B两点之
间的距离 S,共量了 n个尺段，若每尺段丈量中误
差均为 ml,求 S的中误差。
? 因为 S为各尺段 li的线性函数，即
? S=l1+l2+… +ln S中误差应为
? 上式表明：距离丈量的中误差与所测尺段数 n的平
方根成正比。
2,水准测量的中误差
? 设在 A,B两 点之间,共设 n站，则 A,B两点
之间的高差为：
? 设每站的高差观测中误差均为 m站,则 A,B
两点之间的高差中误差为：
? 在平坦地区，各站的视线长度大致相等，
每公里的测站数也大致相同，故可认为每
公里水准测量高差的中误差相同，设为 mkm，
则
3,视距测量的中误差
? （ 1）, 视距法测量水平距离的中误差
? 由视距测量计算公式
? 可直接写出平距 D的中误差计算公式：
? 就是视距测量中误差的计算公式。考虑到其他因
素的影响，一般认为视距测量的精度约为 1/300。
（ 2）,用视距法测定高差的中误差
? 视距高差公式为
? 同理可写出高差中误差的计算公式为：
? 若,,则,即视距为
100m时，相应的高差中误差约为 3cm。 若以二倍中
误差作为限差，容许的高差中误差可达 6cm。
?第六章结束
本知识
§ 6-1测量误差的概念
? 1、测量误差的定义
? 在测量工作中，观测者无论使用多么精良的仪
器，操作如何认真，最后仍得不到绝对正确的
测量成果,这说明在各观测值之间或在观测值与
理论值之间不可避免地存在着差异，我们称这
些差异为观测值的测量误差。
? 设某观测量的真值为 X表示。若以 li
（ i=1,2,…,n ） 表示对某量的 n次观测值，并以
△表示真误差，则真误差可定义为观测值与真
值之差，即
? Δi=li-X (I=1,2,3…n)
? 若用 xi 表示 X的估值,vi表示改正数，则
? xi =li+ vi vi = xi -
li
.2,测量误差的产生
? 测量工作是在一定的条件下进行的, 一般来说,
外界环境, 测量仪器和观测者构成 观测条件 。 而
观测条件不理想或不断变化, 是产生测量误差的
根本原因 。
? 1, 外界环境
? 主要指观测环境中气温, 气压, 空气湿度和清晰
度, 大气折光, 风力等因素的不断变化, 会导致
观测结果中带有误差 。
? 2, 仪器误差
? （ 1） 仪器制造误差
? （ 2） 检校残余误差
? 3.观测误差
? 观测者的感官的鉴别能力, 技术熟练程度和劳
动态度等也会产生误差 。
? 可见, 观测条件不可能完全理想, 测量误差的
产生不可避免 。 但是, 在测量工作实践中, 可
以采取一定的措施和方法来改善乃至控制观测
条件, 从而能够控制测量误差 。
? 综上所述, 观测结果的质量与观测条件的优劣
有着密切的关系 。 观测条件好, 观测误差就可
能会小一些, 观测质量相应地会高一些；反之,
观测结果的质量就会相应降低 。 当观测条件相
同时, 可以认为观测结果的质量是相同的 。
§ 6-2偶然误差的特点
? 偶然误差的产生受多种因素的影响，难以消除。因而，
偶然误差便成为误差理论中最核心的内容和主要的研
究对象。
? 1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一
定限值（有界性）；
? 2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多
（或称概率大，密集性）；
? 3、绝对值相等的正、负误差出现的机会相等（对称
性）；
? 4、当观测次数 n无限增加时，误差的算术平均值（数
学期望）趋近于零，即
?
? 式中,[△ ]为真误差代数和，即，
[△ ]=△ 1+△ 2+…… +△ n。
? 上述偶然误差的四个特性具有普遍性，对误差理
论的研究和测量实践都有重要意义。
§ 6-3观测值的算术平均值
? 在相同的观测条件下，对某一未知量（如
角度或边长）的真值为 X,对该量作 n次观
测，设 n次观测值分别为 l1,l2,…, ln。
? 则观测值的真误差为△ i（ i=1,2,…,n），
即
? 等式两边求和并同除以 n,有
? 式中 [L]/n称为, 算术平均值,,习惯以
x表示；当观测次数无限增加时，根据偶
然误差特性（ 4），式中 [?]/n趋近于零。
于是可得 x=X
? 在实际工作中，观测次数总是有限的，
算术平均值 x作为未知量的估值，称为未
知量的, 最或是值（或称最可靠值）,,
它比任何观测值都接近真值。
? 算术平均值的一般表达式为
? 以上所述就是算术平均值原理，它是测
量中重要理论之一。
§ 6-4精度的概念及种类
? 从前面的分析可以知道，测量成果中会不可避
免地含有误差。但测量成果只有符合《规范》
规定的限差要求时，才算合格，否则应重测。
? 1、精度的的概念：就是指误差分布的离散程
度。
? 2、精度的种类
? （ 1）中误差 m
? 高斯分布密度函数中的参数 σ, 在几何上是曲
线拐点的横坐标,概率论中称为随机变量的
标准差（方差的平方根）。当观测条件一定时，
误差分布状态唯一被确定，误差分布曲线的两
个拐点也唯一被确定。用 σ 作为精度指标，可
以定量地衡量观测质量。
? 所以在衡量观测精度时，就不必再作误
差分布表，也不必绘制直方图，只要设
法计算出该组误差所对应的标准差 σ 值
即可。 σ 的平方称为方差 σ 2, 在概率论
中有严格的定义：方差 σ 2是随机变量 x
与其数学期望 E(x)之差的平方的数学期
望，用数学公式表达就是
? 用测量专业的术语来叙述标准差 σ, 在
一定观测条件下，当观测次数 n无限增加
时，观测量的真误差△的平方和的平均
数的平方根的极限，由下式表示：
? 式中 为真误差 ?i的平方和，等价于
? 通常，观测次数 n总是有限的，只能求得标准
差的, 估值,,记作 m,称为, 中误差, 。其
值可用下式计算：
? 由中误差的定义可知，中误差 m不等于每个测
量值的真误差，它只是反映这组真误差群体分
布的离散程度大小的数字指标。
（ 2） 平均误差 θ
? 定义：在一定观测条件下，当观测次数 n无
限增加时，真误差绝对值的理论平均值的
极限称为平均误差，记作
? 因观测次数 n总是有限的，故其估值表示：
? 式中 为真误差绝对值之和。
（ 3）,或然误差 ρ
? 在一定观测条件下，当观测次数 n无限增加时，
在真误差列中，若比某真误差绝对值大的误差与
比它小的误差出现的概率相等，则称该真误差为
或然误差，记作 ρ 。
? 因观测次数 n有限，常将 ρ 的估值记作 ω。 或然
误差 ω可理解为：将真误差列按绝对值从大到小
排序，当为奇数时，居中的真误差就是 ω； 当为
偶数时，居中的两个真误差的平均值作为 ω。
? 平均误差、或然误差与中误差有如下关系：
? θ ≈0.7979m
? ω≈0.6745m
? 作为精度指标，中误差最为常用，因为中误差更
能反映误差分布的离散程度。
? 例：设对某个三角形的内角用两种不同精度的仪器各
进行了 10次观测，求得每次观测所得的三角形内角和
的真误差为
? Ⅰ 列,+3″, -4″, -3″, +4″, -5″, -2″, +3″,
+3″, -4″, +5″
? Ⅱ 列,-1″, 0″, +12″, 0″, -1″, -10″, +1″,
0″, +1″, -10″
? 试求其观测精度。
? 解：
? 1,用中误差公式计算
? 2.用平均误差公式计算
? 3.用或然误差公式计算
? 按绝对值将误差列由大到小排序，即
? Ⅰ 列,5″, 5″, 4″, 4″, 4″, 3″, 3″,
3″, 3″, 2″
? Ⅱ 列,12″, 10″, 10″, 1″, 1″, 1″, 1″,
0″, 0″, 0″
? 计算结果表明：用中误差衡量观测精度，
第一列高于第二列，符合客观实际，因
第二列中有 +12″, -10″, -10″ 三个大
的误差存在，误差分布离散。很显然，
用平均误差和或然误差来衡量观测精度，
在本例均未有效地反映实际情况。
（ 4）,相对误差
? 在进行精度评定时，有时仅利用绝对误差还不能
反映测量的精度。因为有些量，如长度，用绝对
误差不能全面反映观测精度。定义：绝对误差与
测量值之比，记作 K。 习惯上相对误差用分子为 1
的分数表达，分母越大，相对误差越小，测量的
精度就越高。例 [3-2] 用同一把已检定过的钢尺分
别丈量两条边，长度分别为 30m和 90m,其中误
差（绝对误差）均为± 10mm。 试衡量其测量精
度。解：若用绝对误差衡量测量精度，因
m1=m2=± 10mm,,无法判别那条边长丈量的精度
更高。现计算相对误差，有
即第二条边丈量精度高于第一条边。距离
测量中常用相对误差衡量测量精度。
§ 6-5 误差传播定律在测量上的应用
? 1,距离测量的中误差
? 用钢尺量距：设用长度为 l的钢尺丈量 A,B两点之
间的距离 S,共量了 n个尺段，若每尺段丈量中误
差均为 ml,求 S的中误差。
? 因为 S为各尺段 li的线性函数，即
? S=l1+l2+… +ln S中误差应为
? 上式表明：距离丈量的中误差与所测尺段数 n的平
方根成正比。
2,水准测量的中误差
? 设在 A,B两 点之间,共设 n站，则 A,B两点
之间的高差为：
? 设每站的高差观测中误差均为 m站,则 A,B
两点之间的高差中误差为：
? 在平坦地区，各站的视线长度大致相等，
每公里的测站数也大致相同，故可认为每
公里水准测量高差的中误差相同，设为 mkm，
则
3,视距测量的中误差
? （ 1）, 视距法测量水平距离的中误差
? 由视距测量计算公式
? 可直接写出平距 D的中误差计算公式：
? 就是视距测量中误差的计算公式。考虑到其他因
素的影响，一般认为视距测量的精度约为 1/300。
（ 2）,用视距法测定高差的中误差
? 视距高差公式为
? 同理可写出高差中误差的计算公式为：
? 若,,则,即视距为
100m时，相应的高差中误差约为 3cm。 若以二倍中
误差作为限差，容许的高差中误差可达 6cm。
?第六章结束
