第八章 公路中线测量
? § 8-1 概述
? 公 路工程一般由路线, 桥涵, 隧道及各种附属
设施等构成 。 兴建公路之前, 为了选择一条既
经济又合理的路线, 必须对沿线进行勘测 。
? 一般地讲, 路线以平, 直最为理想 。 但实际上,
由于受到地物, 地貌, 水文, 地质及其它等因
素的限制, 路线的平面线型必然有转折, 即路
线前进的方向发生改变 。 为保证行车舒适, 安
全, 并使路线具有合理的线型, 在直线转向处
必须用曲线连接起来, 这种曲线称为平曲线 。
平曲线包括圆曲线和缓和曲线两种 。
§ 8-2路线交点和转点的测设
? 一、交点的测设
? 公路路线的转折点称为交点，用 JD表示。
对于一般低等级的公路，通常采用一次
定测的方法直接放线，在现场标定交点
位置。对于高等级的公路或地形复杂的
地段，需在带状地形图上进行纸上定线，
然后把纸上定好的路线放到路面上，一
般采用穿线交点法和 拨角放线法 标定交
点位置。
? 二、转点的测设
? 在相邻交点间距离较远或不通视的情况
下，需在其连线上测设一些供放线、交
点、测角、量距时照准之用的点，这样
的点称为转点，其测设方法如下。如图
8-10所示,JD1,JD2为相邻不通视的交
点,ZD′为初定转点，现欲在不移动交点
的条件下精确定出转点 ZD,具体方法是
这样的：将经纬仪安置于 ZD′,后视 JD1，
用正倒镜分中法得 JD2′,用视距法测定前
后交点与 ZD′的视距分别为 D1,D2。 如
果 JD2′与 JD2的偏差为 f,则 ZD′应横移的
距离 e可用下式计算：
? 按计算值 e移动 ZD′ 定出 ZD,然后将仪
器移至 ZD,检查 ZD是否位于两交点之连
线上，如果偏差在容许范围内，则 ZD可
作为 JD5与 JD6间的转点。
?
fDD De ???
21
1
§ 8-3路线转角的测定和里程桩的设置
? 一,路线转角的测定
? 1,路线右角的观测
? 按路线的前进方向，以路线为界，在路
线右侧的水平角称为右角，如图 8-11中
所示的 β 1β 2。 在中线测量中，一般是
采用测回法测定。上、下两个半测回所
测角值的不符值视公路等级而定：高速
公路、一级公路为± 20″ ；二级及二级
以下的公路为± 60″ 。如在容许范围内，
可取两个半测回的平均值作为最后结果。
? 2,转角的计算
? 当右角 β 测定以后, 根据 β 值计算路线交点处
的转角 α 。 当 β ＜ 180° 时为右转角 （ 路线向
右转 ） 。 当＞ 180° 时为左转角 （ 路线向左
转 ）, 左转角和右转角按下式计算：
? α 右 =180° — β β ＜ 180°
? α 左 =β — 180° β ＞ 180°
? 3,分角线方向的标定
? 由于测设平曲线的需要, 测角组同时要
在路线设置曲线的一侧把分角线的方向
标定出来, 在右角测定后, 如图所示,
测定 β 后, 仪器处于盘右, 瞄准前视 ZD
的状态, 设此时水平盘的读数为, 则分
角线方向值 （ 即瞄准分角线方向时水平
度盘读数 ） 应为：
? 2
?? ?
? 4,测定后视方向的视距
? 在中线测量中, 为防止丈量距离时的错误, 要求测角组还要用视
距测量的方法 （ 或测距仪, 全站仪 ） 测定两交点 （ 转点 ） 间的距
离, 作为中桩组量距时校核用 。
? 5,磁方位角的观测与推算
? 为了保证测角的精度, 测角组还需进行路线角度闭合差的校核,
当路线导线与高级控制点连接时, 可按附合导线的计算方法计算
角度闭合差, 如在限差内, 则可进行闭合差的调整 。 当路线无法
与高级控制点联测时, 一般来说应每天作业开始与收工时, 测磁
方位角至少一次, 以便与推算的磁方位角核对 （ 按式 8-4） 其误差
不得超过 2°, 超过限差, 要查明原因及时纠正, 若符合要求, 则
可继续测下去 。
? Ai=A0+∑ α 右 — ∑ α 左
? 式中,A0——— 起始导线边的磁方位角；
? ∑ α 右 ——— 计算导线边以前所有右转角之和；
? ∑ α 左 ——— 计算导线边以前所有左转角之和；
二,里程桩的设置
? 为了确定路线中线的位置和路线的长度，满足纵、横
断面测量的需要以及为以后路线施工放样打下基础，
必须由路线的起点开始每隔一段距离钉设木桩标志，
称为里程桩。里程桩亦称中桩，桩点表示路线中线的
具体位置。
? 里程桩分为整桩和加桩两种 。
? 1,整桩
? 在直线上和曲线上, 其桩距按规定的要求而设 。 它的
里程桩号均为整数, 且为要求桩距的整倍数 。
? 当量距每至百米及千米时，要钉设百米桩及公里桩。
? 2,加桩
? 加桩又分为地形加桩, 地物加桩, 曲线加桩, 地质加
桩, 断链加桩和行政区域加桩等 。
桩位标志示意图
§ 8-4 圆曲线测设
? 圆曲线又称单曲线，是由一定半径的圆弧构成，
它是路线弯道中最基本的平曲线形式。
? 一、圆曲线的主点测设
? 设在交点 JD处相邻两直线边与半径为 R的圆曲线相
切，其切点 ZY和 YZ称为曲线的起点和终点；分角
线与曲线相交的交点 QZ称为曲线中点，如图所示，
它们统称为圆曲线主点，其位置是根据曲线要素
确定的。
? 1,圆 曲线要素 单圆曲线有下列六个要
素：
? a---偏角 （ 又称转折角 ） 是用经
纬仪在交点处测得；
? R---圆曲线半径, 是根据工程要求结合
地形条件选定的 。
? a与 R确定曲线形状的基本要素，根据它
们可计算以下四个要素，由图可以看出：
? 切线长
? 曲线长
2
?tgRT ??
??? 1 8 0
??RL
? 外矩
? 切曲差 D=2T-L
? 2.主点里计算 交点 JD的里程已由中线
丈量时获得 。 由于中线并不经过交点,
故曲线中点 QZ和终点 YZ的里程, 必须由
起点 ZY的里程沿曲线长度推算, 其算式
如下：
? 起点 ZY桩号 =交点 JD桩号 — 切线长
? 终点 YZ桩号 =起点 ZY桩号 +曲线长
? 中点 QZ桩号 =终点 YZ桩号 — 曲线长
? 交点 JD桩号 =中点 QZ桩号 +切曲差 （ 校核 ）
)12( s e c ?? ?RE
? 3．主点测设 从交点沿后视方向，量
取切线长 T,可得曲线起点 ZY。 沿前视方
向量取切线长 T,可得曲线终点 YZ。 最后
沿分角线方向量最取外距 E,即得曲线中
点 QZ。 主点上控制桩，在测设时应进行
校核，并保证一定的精度。
? 例 1,设某交点 JD里程为 K2+968.43,圆
曲线半径 R=200m,测 得 其 偏 角 α 为
34° 12′, 计算各要素和各主点桩号 。
? 1.计算各曲线要素 。
? T=200× tg17° 06′ =61.53 (m)
? 119.38 (m)
? E=200(sec17° 06′ -1)=9.25(m)
? D=2× 61.53-119.38=3.68 (m)
?
? 2,计算各主点的桩号 。
? JD K2+968.43
? — ） T 61.53
? ZY K2+906.90
? +)L 119.38
? YZ K3+026.28
? — )L/2 59.69
? QZ K2+966.59
? +)D/2 1.84
? JD K2+968.43 （ 计算无误 ）
二、圆曲线的详细测设
? 圆曲线的详细测设方法很多，可根据地形情况。
工程要求，测设精度等灵活采用。下面介绍切线
支距法和偏角法。
? 1．切线支距法 这种方法是以曲线起点 YZ或终
点 ZY为坐标原点，以切线为 X轴，以过原点的半径
为 Y轴，根据曲线上各点的坐标（ X,Y） 进行测设，
故又称直角坐标法。
? 如图所示，设 P1,P2…… 为曲线上的待测点，为
它们的桩距（弧长），其所对的圆心角为，由图
可以看出,
?
?
?
?
?
??
??
?
1 8 0
,
)c o s1(
s i n
R
l
Ry
Rx
式中
? 测设时，为了避免支距 y过大，一般由曲
线两端向中间设置，其步骤如下：首先
沿切线方向，由 ZY或 YZ开始用卷尺量取 x
值，得到垂足点；在各垂足点作垂线方
向，量取 y值，即可定出曲线点 P。 垂线
方向可用方向架或经纬仪定出，当 y值小
于 1m时，可目估确定。在测设时，可量
所定各点向弦长进行校核。
? 2,偏角法 是以曲线起点 ZY或终点 YZ至
曲线任一点 Pi的弦线与切线 T之间的弦切
角 （ 这里称为偏角 ） Δ i和弦长 ci来确定
Pi点的位置 。
? 如图所示，根据几何原理，偏角 Δ i等于
相应弧长所对的圆心角 φ i的一半，即
Δ i= 。
?
2
i?
偏角法：
§ 8-5 虚交
? 虚交是指路线的交点（ JD） 处不能设桩，
更无法安置仪器（如交点落于河中、深谷
下，峭壁上或建筑物上等），此时测角、
量距无法直接按前述方法进行。有是交点
虽设桩和安置仪器，但因转角较大，交点
远离曲线，也可做虚交处理。
虚交图
? 如图 8-18可知：在由辅助点 A,B和虚交点 JD
构成的三角形中, 应用边角关系及正弦定理可
得,α=αA+αB
? 根据转角 α和选定的半径 R,即可算得切线长 T
和曲线长 L,再由 a,b,T,计算辅助点 A,B
至曲线 ZY点和 YZ点的距离 t1和 t2:：
? t1=T— a, t2=T— b
?
?
?
?
s in
s in
)180s in (
s in BB ABABa ?
??
?
?
?
?
?
s in
s in
)180s in (
s in AA ABABb ?
??
?
? 如果计算出的 t1,t2出现负值, 说明曲线的 ZY
点, YZ点位于辅助点与虚交点之间 。 根据 t1、
t2即可定出曲线的 ZY点和 YZ点 。 A点的里程量
出后, 曲线主点的里程亦可算出 。
? 曲中点 QZ的测设, 可采用以下方法：
? 如上图所示, 设 MN为 QZ点的切线, 则：
? T’=Rtan
? 测设时由 ZY和 YZ点分别沿切线量出 T’得 M点和
N点, 再由 M点或 N点沿 MN或 NM方向量出 T’即
得 QZ点 。
? 曲线主点定出后，即可用切线支距法或偏角法
进行曲线详细测设。
4
?
? 例,如图 8 - 18,测得 αA=15° 18′，
αB=18° 22′,AB=54.68m,选 定 半 径
R=300m,A点的里程桩号为 K9+048.53。
试计算测设主点的数据及主点的里程桩
号 。
? 解：由 αA=15° 18′=15.3°,
αB=18° 22′=18.367° 得：
α=αA+αB=15° 18′+18° 22′=33° 40′=33.6
67°
? 根据 α =33° 40′, R=300m,计算 T和
L：
? T= =300× tan =90.77m
? L=Rα
? =300× 33.667° ×
? =176.28m
2tan
?R
2
667.33 ?
?180
?
?180
?
?
?
s i n
s i n BABa ?
?
???
6 6 7.33s i n
3 6 7.18s i n68.54
m08.31?
?
?
s i n
s i n aABb ?
?
???
6 6 7.33s i n
3.15s i n68.54
m03.26?
? 因此,t1=T-a=90.77-31.08=59.69m
? t2=T-b=90.77-26.03=64.74m
? 为测设 QZ点, 计算 T’如下：
? T’=Rtan
? =300× tan
? =44.39m
2
?
4
667.33 ?
? 计算主点里程如下：
? A点 K9+048.53
? — ） t1 59.69
? ZY K8+988.84
? +)L 176.28
? YZ K9+165.12
? — )L/2 88.14
? QZ K9+076.98
§ 8-6 缓和曲线的测设
? 车辆在曲线上行驶, 会产生离心力 。 由于离心
力的作用, 车辆将向曲线外侧倾倒, 影响车辆
的安全行驶和顺适 。 为了减少离心力的影响,
路面必须在曲线外侧加高, 称为超高 。 在直线
上超高为 0,在圆曲线上超高为 h,这就需要在
直线与圆曲线之间插入一段曲率半径由无穷大
逐渐变化至圆曲线半径 R的曲线, 使超高由零
逐渐增加到 h,同时实现曲率半径的过渡, 这
段曲线称为缓和曲线 。
? 缓和曲线可采用回旋线 （ 亦称为辐射螺旋线 ）,
三次抛物线, 双纽线等线型 。 目前我国公路系
统中, 均采用回旋线作为缓和曲线 。
一、圆曲线带有缓和曲线的主点测设
? 1,内移值 p与切线增值 q
? 如图所示，在直线与圆曲线之间插入缓和曲线时，
必须将原有的圆曲线向内移动距离 p,才能使缓和
曲线的起点位于直线方向上，这时切线增长 q。 公
路上一般采用圆心不动的平行移动方法，即未设
缓和曲线时的圆曲线为 FG,其半径为（ R+P）；
插入两段缓和曲线 AC和 BD后，圆曲线向内移，
其保留部分为 CMD,半径为 R,所对的圆心角为
（ α — 2β 0）。 由图可知：
缓和曲线图：
? p=
? q=
)co s1( 00 ??? Ry
0s i n0 ?Rx ?
将上式中 cosβ 0,sinβ 0展开为级数，略去高次项，
可得,p=
q=
R
ls
24
2
2
3
2402 R
ll ss ?
2．曲线测设元素
? 当测得转角 α, 圆曲线半径 R和缓和曲线
s确定后, 即可按下列公式计算曲线测设
元素 。
?
切线长 TH=（ R+P） tg +q
曲线长 LH= R （
=
2
?
sl21 8 0)2 0 ???
???
lsR 21 8 0 ????
其中圆曲线长 Ly=R（
外距 EH=（ R+p） sec -R
切曲差 DH=2TH-LH
3,主点测设
根据交点的里程和曲线测设元素, 计算主点里程
直缓点 ZH=JD— TH
缓圆点 HY=ZH+s
?? 1 8 0)2 0
???
2
?
? 圆缓点 YH=HY+Ly
? 缓直点 HZ=YH+LS
? 曲中点 QZ=HZ
?
? 交点 JD=QZ+ （ 校核）
? 主点 ZH,HZ和 QZ的测设方法, 与圆曲
线主点测设相同 。 HY和 YH点可按公式计
算 x0,y0用切线支距法测设 。
2
HL?
2
HD
二、圆曲线带有缓和曲线的详细测设
? 1,切线支距法
? 切线支距法是以直缓点 ZH或缓直点 HZ为坐
标原点, 以切线为 x轴, 过原点的半径为 y
轴, 利用缓和曲线和圆曲线上各点的 x,y
坐标测设曲线 。
? 在缓和曲线上各点的坐标可按缓和曲线参
数方程式计算，即
22
5
40 slR
llx ??
sRl
ly
6
3
?
圆曲线上各点坐标的计算公式可按图写出：
公式：
pRy
qRx
???
??
)c o s1(
s in
?
?
公式：
?第八章结束
? § 8-1 概述
? 公 路工程一般由路线, 桥涵, 隧道及各种附属
设施等构成 。 兴建公路之前, 为了选择一条既
经济又合理的路线, 必须对沿线进行勘测 。
? 一般地讲, 路线以平, 直最为理想 。 但实际上,
由于受到地物, 地貌, 水文, 地质及其它等因
素的限制, 路线的平面线型必然有转折, 即路
线前进的方向发生改变 。 为保证行车舒适, 安
全, 并使路线具有合理的线型, 在直线转向处
必须用曲线连接起来, 这种曲线称为平曲线 。
平曲线包括圆曲线和缓和曲线两种 。
§ 8-2路线交点和转点的测设
? 一、交点的测设
? 公路路线的转折点称为交点，用 JD表示。
对于一般低等级的公路，通常采用一次
定测的方法直接放线，在现场标定交点
位置。对于高等级的公路或地形复杂的
地段，需在带状地形图上进行纸上定线，
然后把纸上定好的路线放到路面上，一
般采用穿线交点法和 拨角放线法 标定交
点位置。
? 二、转点的测设
? 在相邻交点间距离较远或不通视的情况
下，需在其连线上测设一些供放线、交
点、测角、量距时照准之用的点，这样
的点称为转点，其测设方法如下。如图
8-10所示,JD1,JD2为相邻不通视的交
点,ZD′为初定转点，现欲在不移动交点
的条件下精确定出转点 ZD,具体方法是
这样的：将经纬仪安置于 ZD′,后视 JD1，
用正倒镜分中法得 JD2′,用视距法测定前
后交点与 ZD′的视距分别为 D1,D2。 如
果 JD2′与 JD2的偏差为 f,则 ZD′应横移的
距离 e可用下式计算：
? 按计算值 e移动 ZD′ 定出 ZD,然后将仪
器移至 ZD,检查 ZD是否位于两交点之连
线上，如果偏差在容许范围内，则 ZD可
作为 JD5与 JD6间的转点。
?
fDD De ???
21
1
§ 8-3路线转角的测定和里程桩的设置
? 一,路线转角的测定
? 1,路线右角的观测
? 按路线的前进方向，以路线为界，在路
线右侧的水平角称为右角，如图 8-11中
所示的 β 1β 2。 在中线测量中，一般是
采用测回法测定。上、下两个半测回所
测角值的不符值视公路等级而定：高速
公路、一级公路为± 20″ ；二级及二级
以下的公路为± 60″ 。如在容许范围内，
可取两个半测回的平均值作为最后结果。
? 2,转角的计算
? 当右角 β 测定以后, 根据 β 值计算路线交点处
的转角 α 。 当 β ＜ 180° 时为右转角 （ 路线向
右转 ） 。 当＞ 180° 时为左转角 （ 路线向左
转 ）, 左转角和右转角按下式计算：
? α 右 =180° — β β ＜ 180°
? α 左 =β — 180° β ＞ 180°
? 3,分角线方向的标定
? 由于测设平曲线的需要, 测角组同时要
在路线设置曲线的一侧把分角线的方向
标定出来, 在右角测定后, 如图所示,
测定 β 后, 仪器处于盘右, 瞄准前视 ZD
的状态, 设此时水平盘的读数为, 则分
角线方向值 （ 即瞄准分角线方向时水平
度盘读数 ） 应为：
? 2
?? ?
? 4,测定后视方向的视距
? 在中线测量中, 为防止丈量距离时的错误, 要求测角组还要用视
距测量的方法 （ 或测距仪, 全站仪 ） 测定两交点 （ 转点 ） 间的距
离, 作为中桩组量距时校核用 。
? 5,磁方位角的观测与推算
? 为了保证测角的精度, 测角组还需进行路线角度闭合差的校核,
当路线导线与高级控制点连接时, 可按附合导线的计算方法计算
角度闭合差, 如在限差内, 则可进行闭合差的调整 。 当路线无法
与高级控制点联测时, 一般来说应每天作业开始与收工时, 测磁
方位角至少一次, 以便与推算的磁方位角核对 （ 按式 8-4） 其误差
不得超过 2°, 超过限差, 要查明原因及时纠正, 若符合要求, 则
可继续测下去 。
? Ai=A0+∑ α 右 — ∑ α 左
? 式中,A0——— 起始导线边的磁方位角；
? ∑ α 右 ——— 计算导线边以前所有右转角之和；
? ∑ α 左 ——— 计算导线边以前所有左转角之和；
二,里程桩的设置
? 为了确定路线中线的位置和路线的长度，满足纵、横
断面测量的需要以及为以后路线施工放样打下基础，
必须由路线的起点开始每隔一段距离钉设木桩标志，
称为里程桩。里程桩亦称中桩，桩点表示路线中线的
具体位置。
? 里程桩分为整桩和加桩两种 。
? 1,整桩
? 在直线上和曲线上, 其桩距按规定的要求而设 。 它的
里程桩号均为整数, 且为要求桩距的整倍数 。
? 当量距每至百米及千米时，要钉设百米桩及公里桩。
? 2,加桩
? 加桩又分为地形加桩, 地物加桩, 曲线加桩, 地质加
桩, 断链加桩和行政区域加桩等 。
桩位标志示意图
§ 8-4 圆曲线测设
? 圆曲线又称单曲线，是由一定半径的圆弧构成，
它是路线弯道中最基本的平曲线形式。
? 一、圆曲线的主点测设
? 设在交点 JD处相邻两直线边与半径为 R的圆曲线相
切，其切点 ZY和 YZ称为曲线的起点和终点；分角
线与曲线相交的交点 QZ称为曲线中点，如图所示，
它们统称为圆曲线主点，其位置是根据曲线要素
确定的。
? 1,圆 曲线要素 单圆曲线有下列六个要
素：
? a---偏角 （ 又称转折角 ） 是用经
纬仪在交点处测得；
? R---圆曲线半径, 是根据工程要求结合
地形条件选定的 。
? a与 R确定曲线形状的基本要素，根据它
们可计算以下四个要素，由图可以看出：
? 切线长
? 曲线长
2
?tgRT ??
??? 1 8 0
??RL
? 外矩
? 切曲差 D=2T-L
? 2.主点里计算 交点 JD的里程已由中线
丈量时获得 。 由于中线并不经过交点,
故曲线中点 QZ和终点 YZ的里程, 必须由
起点 ZY的里程沿曲线长度推算, 其算式
如下：
? 起点 ZY桩号 =交点 JD桩号 — 切线长
? 终点 YZ桩号 =起点 ZY桩号 +曲线长
? 中点 QZ桩号 =终点 YZ桩号 — 曲线长
? 交点 JD桩号 =中点 QZ桩号 +切曲差 （ 校核 ）
)12( s e c ?? ?RE
? 3．主点测设 从交点沿后视方向，量
取切线长 T,可得曲线起点 ZY。 沿前视方
向量取切线长 T,可得曲线终点 YZ。 最后
沿分角线方向量最取外距 E,即得曲线中
点 QZ。 主点上控制桩，在测设时应进行
校核，并保证一定的精度。
? 例 1,设某交点 JD里程为 K2+968.43,圆
曲线半径 R=200m,测 得 其 偏 角 α 为
34° 12′, 计算各要素和各主点桩号 。
? 1.计算各曲线要素 。
? T=200× tg17° 06′ =61.53 (m)
? 119.38 (m)
? E=200(sec17° 06′ -1)=9.25(m)
? D=2× 61.53-119.38=3.68 (m)
?
? 2,计算各主点的桩号 。
? JD K2+968.43
? — ） T 61.53
? ZY K2+906.90
? +)L 119.38
? YZ K3+026.28
? — )L/2 59.69
? QZ K2+966.59
? +)D/2 1.84
? JD K2+968.43 （ 计算无误 ）
二、圆曲线的详细测设
? 圆曲线的详细测设方法很多，可根据地形情况。
工程要求，测设精度等灵活采用。下面介绍切线
支距法和偏角法。
? 1．切线支距法 这种方法是以曲线起点 YZ或终
点 ZY为坐标原点，以切线为 X轴，以过原点的半径
为 Y轴，根据曲线上各点的坐标（ X,Y） 进行测设，
故又称直角坐标法。
? 如图所示，设 P1,P2…… 为曲线上的待测点，为
它们的桩距（弧长），其所对的圆心角为，由图
可以看出,
?
?
?
?
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1 8 0
,
)c o s1(
s i n
R
l
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Rx
式中
? 测设时，为了避免支距 y过大，一般由曲
线两端向中间设置，其步骤如下：首先
沿切线方向，由 ZY或 YZ开始用卷尺量取 x
值，得到垂足点；在各垂足点作垂线方
向，量取 y值，即可定出曲线点 P。 垂线
方向可用方向架或经纬仪定出，当 y值小
于 1m时，可目估确定。在测设时，可量
所定各点向弦长进行校核。
? 2,偏角法 是以曲线起点 ZY或终点 YZ至
曲线任一点 Pi的弦线与切线 T之间的弦切
角 （ 这里称为偏角 ） Δ i和弦长 ci来确定
Pi点的位置 。
? 如图所示，根据几何原理，偏角 Δ i等于
相应弧长所对的圆心角 φ i的一半，即
Δ i= 。
?
2
i?
偏角法：
§ 8-5 虚交
? 虚交是指路线的交点（ JD） 处不能设桩，
更无法安置仪器（如交点落于河中、深谷
下，峭壁上或建筑物上等），此时测角、
量距无法直接按前述方法进行。有是交点
虽设桩和安置仪器，但因转角较大，交点
远离曲线，也可做虚交处理。
虚交图
? 如图 8-18可知：在由辅助点 A,B和虚交点 JD
构成的三角形中, 应用边角关系及正弦定理可
得,α=αA+αB
? 根据转角 α和选定的半径 R,即可算得切线长 T
和曲线长 L,再由 a,b,T,计算辅助点 A,B
至曲线 ZY点和 YZ点的距离 t1和 t2:：
? t1=T— a, t2=T— b
?
?
?
?
s in
s in
)180s in (
s in BB ABABa ?
??
?
?
?
?
?
s in
s in
)180s in (
s in AA ABABb ?
??
?
? 如果计算出的 t1,t2出现负值, 说明曲线的 ZY
点, YZ点位于辅助点与虚交点之间 。 根据 t1、
t2即可定出曲线的 ZY点和 YZ点 。 A点的里程量
出后, 曲线主点的里程亦可算出 。
? 曲中点 QZ的测设, 可采用以下方法：
? 如上图所示, 设 MN为 QZ点的切线, 则：
? T’=Rtan
? 测设时由 ZY和 YZ点分别沿切线量出 T’得 M点和
N点, 再由 M点或 N点沿 MN或 NM方向量出 T’即
得 QZ点 。
? 曲线主点定出后，即可用切线支距法或偏角法
进行曲线详细测设。
4
?
? 例,如图 8 - 18,测得 αA=15° 18′，
αB=18° 22′,AB=54.68m,选 定 半 径
R=300m,A点的里程桩号为 K9+048.53。
试计算测设主点的数据及主点的里程桩
号 。
? 解：由 αA=15° 18′=15.3°,
αB=18° 22′=18.367° 得：
α=αA+αB=15° 18′+18° 22′=33° 40′=33.6
67°
? 根据 α =33° 40′, R=300m,计算 T和
L：
? T= =300× tan =90.77m
? L=Rα
? =300× 33.667° ×
? =176.28m
2tan
?R
2
667.33 ?
?180
?
?180
?
?
?
s i n
s i n BABa ?
?
???
6 6 7.33s i n
3 6 7.18s i n68.54
m08.31?
?
?
s i n
s i n aABb ?
?
???
6 6 7.33s i n
3.15s i n68.54
m03.26?
? 因此,t1=T-a=90.77-31.08=59.69m
? t2=T-b=90.77-26.03=64.74m
? 为测设 QZ点, 计算 T’如下：
? T’=Rtan
? =300× tan
? =44.39m
2
?
4
667.33 ?
? 计算主点里程如下：
? A点 K9+048.53
? — ） t1 59.69
? ZY K8+988.84
? +)L 176.28
? YZ K9+165.12
? — )L/2 88.14
? QZ K9+076.98
§ 8-6 缓和曲线的测设
? 车辆在曲线上行驶, 会产生离心力 。 由于离心
力的作用, 车辆将向曲线外侧倾倒, 影响车辆
的安全行驶和顺适 。 为了减少离心力的影响,
路面必须在曲线外侧加高, 称为超高 。 在直线
上超高为 0,在圆曲线上超高为 h,这就需要在
直线与圆曲线之间插入一段曲率半径由无穷大
逐渐变化至圆曲线半径 R的曲线, 使超高由零
逐渐增加到 h,同时实现曲率半径的过渡, 这
段曲线称为缓和曲线 。
? 缓和曲线可采用回旋线 （ 亦称为辐射螺旋线 ）,
三次抛物线, 双纽线等线型 。 目前我国公路系
统中, 均采用回旋线作为缓和曲线 。
一、圆曲线带有缓和曲线的主点测设
? 1,内移值 p与切线增值 q
? 如图所示，在直线与圆曲线之间插入缓和曲线时，
必须将原有的圆曲线向内移动距离 p,才能使缓和
曲线的起点位于直线方向上，这时切线增长 q。 公
路上一般采用圆心不动的平行移动方法，即未设
缓和曲线时的圆曲线为 FG,其半径为（ R+P）；
插入两段缓和曲线 AC和 BD后，圆曲线向内移，
其保留部分为 CMD,半径为 R,所对的圆心角为
（ α — 2β 0）。 由图可知：
缓和曲线图：
? p=
? q=
)co s1( 00 ??? Ry
0s i n0 ?Rx ?
将上式中 cosβ 0,sinβ 0展开为级数，略去高次项，
可得,p=
q=
R
ls
24
2
2
3
2402 R
ll ss ?
2．曲线测设元素
? 当测得转角 α, 圆曲线半径 R和缓和曲线
s确定后, 即可按下列公式计算曲线测设
元素 。
?
切线长 TH=（ R+P） tg +q
曲线长 LH= R （
=
2
?
sl21 8 0)2 0 ???
???
lsR 21 8 0 ????
其中圆曲线长 Ly=R（
外距 EH=（ R+p） sec -R
切曲差 DH=2TH-LH
3,主点测设
根据交点的里程和曲线测设元素, 计算主点里程
直缓点 ZH=JD— TH
缓圆点 HY=ZH+s
?? 1 8 0)2 0
???
2
?
? 圆缓点 YH=HY+Ly
? 缓直点 HZ=YH+LS
? 曲中点 QZ=HZ
?
? 交点 JD=QZ+ （ 校核）
? 主点 ZH,HZ和 QZ的测设方法, 与圆曲
线主点测设相同 。 HY和 YH点可按公式计
算 x0,y0用切线支距法测设 。
2
HL?
2
HD
二、圆曲线带有缓和曲线的详细测设
? 1,切线支距法
? 切线支距法是以直缓点 ZH或缓直点 HZ为坐
标原点, 以切线为 x轴, 过原点的半径为 y
轴, 利用缓和曲线和圆曲线上各点的 x,y
坐标测设曲线 。
? 在缓和曲线上各点的坐标可按缓和曲线参
数方程式计算，即
22
5
40 slR
llx ??
sRl
ly
6
3
?
圆曲线上各点坐标的计算公式可按图写出：
公式：
pRy
qRx
???
??
)c o s1(
s in
?
?
公式：
?第八章结束
