第三章 正弦交流电路
§ 3.1 正弦电压与电流
在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变化，
这样的电路称为正弦交流电路。
正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化，如图 3-1
所示。
图 3-1 正弦波波形
正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，
因此，正弦交流电包含三个要素，即频率、幅值和初相位。
u( i)
t
( a )正弦波 形
? RU
i
( b ) 正半周
?
RU
i
(c )负半 周
?
而且 频率,单位 Hz或 KHz,MHz
相位 周期
?? 2?f
fT
1?
)()( ?? ?? tS i nUtu m
一,频率与周期
u(t)
t
正弦波三要素
U m
T
(? t)
ψ
图 3-2
图 3-2所示正弦波可写成如下三角函数表示式
Srad式中 Um —— 幅值，又称峰值 ω—— 角频率,单位
—— 初相位
??? ?? t
?
瞬时值 —— 正弦量在任一瞬时的值；一般用小写表示，
如 i,u,e 。
幅值 —— 瞬时值中最大的值，又称为最大值，或称峰值。
一般用带下标 m的大写字母表示,如 Um,Im,Em 。
有效值 —— 有效值是正弦交流电的一个等效电压 (电流 )值。
它是指当正弦交流电通过某电阻 R产生的热量，
如果与直流电 I通过同一电阻产生的热量相等时，
则这个直流电流 I 称为该交流电 i 的有效值，
如图 3-3所示。
二,幅值与有效值
I
R
E i
R
u
图 3-3第 （ 19）页
由于正弦交流电 i在一个周期 T中产生的电阻热量为
直流电流 I在一个周期中产生的热量为
根据上述定义，当两者热量相等时，可得到该正弦交流电的
电流有效值为
由于 则代入上式
同理，正弦电压的有效值为
按规定有效值都用大写字母表示，如市电 220V或工业用电 380V，
都是电力电压的有效值。
?T Rdti0 2
RTIPT 2?
tS inIi m ??
2m
UU ?
?? T dtiTI 0 21
22
1 2
0
22 mmT
m
IT
T
It d tS i nI
TI ???? ? ?
三,初相位
例 3-1 已知 电力电压 220V,50Hz,写出它的瞬时电压表示式。
VVUU m 3 1 02 2 022 ????
Sr a df ??? 1 0 02 ??
tS intS inUu m ?? 100310??则
正弦量的相位 记时起点 t=0,这时的相位角
称为初相位。例如图 3-4中有三个正弦波，波形①初相位； 以波形①为参考，波形②的
初相位 (超前 )；
而波形③的初相位
(滞后 )。
图 3-4
正弦波的初相位
? t
???
i
3
?2?
由于
?? ?t ?
01 ??
02 ??
03 ??
在图 3-5中电压的表达式
初相位为零,电流 i1 初相位,
电流 i2 初 相位,两个电流之
间的相位差
tS inUu m ??
? ? ? ? 2121 ??????? ?????? tt
如果,i1 和 i2 相位相同，简称同相；如果 180o,i1和 i2相
位相反，简称反相； 如果 90o，称 i1 和 i2 正交。
注意：
相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的
参考。一般常以激励信号 为参考相位，令其初相位为零。
由于正弦稳态分析时，电路中的激励和响应是同频率的正
弦时间函数，因此分析电路时,表示各正弦电流 (或电压 )
特征的是其有效值和初相位。
正弦波的相位差
? t
?
? ?
? ?
u,i
i 1
i 2
u
图 3-5
1?
2?
??
??
图 3-6(注,该图在 P.28)表明正弦波形和旋转有向线段的关系。
设有一正弦量,其波形如图 3-6右边所示，
左边是一旋转有向线段。有向线段的长度等于正弦量的幅值 Um,
它的初始位置 (t=0时的位置 )与横轴正方向之间的 夹角等于正
弦量的初相位,并以正弦量的角频率 作逆时针方向旋转。
这样，正弦量在
? ??? ?? tS inUu m
一,用旋转有向线段表示正弦量
§ 3.2 正弦量的相量表示
正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，
还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数，即用复数表
示正弦量。要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算
简便而又形象。
? ?
第 （ 20）页
频率的正弦量，正弦量对时间的导数 或积分 也仍
为同一频率的正弦量，它们之间的差别仅在于幅值与初相位不
同。因此,通常只用初始位置 (t=0)的有向线段来表示一个正弦
量，它的长度等于正弦量的幅值，它与横轴正方向间的夹角等
于正弦量的初相位，如图 3-7所示。但是我们应该具有这样的
某 时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上
的投影表示出来。
例如，在 t=0时，,在 t=t1时，
照图 3-6的方法 画旋转有向线段来表示正弦量是繁琐的。
事实上，在正弦信号的激励下，电路的响应电流 (或电压 )总
是同频率的正弦量，其次，在分析电路时常遇到加、减、求
导及积分的问题,而由于同一频率的正弦量之和或差仍为同一
? ??idt??????dtdi
?S inUu m?0 ? ??? ?? 11 tS inUu m
则
式 (3-1)
式 (3-1)实际是一种数学变换，即对于任何正弦时间函数，都可
以找到如式 (3-1)中括号 内所表示的与其对应的复指数函数，且
该复指数函数完全确定地表征了正弦时间函数的有 效值 (或最大
值 )、角频率、初相位三个要素。如前所述，在分析电路激励与
响应时,各电量 的频率均相同，因此频率不必表示出来，
概念：这个有向线段是以正弦量的
角频率作逆时针方向旋转的，它在
纵轴上的投影表示正弦 量的瞬时值。
图 3-7
二,用相量 (复数 )表示正弦电流、正弦电压的含义及方法
? ? ? ?iim tI Si ntSi nIi ???? ???? 2正弦电流
?
U
?
正弦量的向量表示
?
mU
设一复指数函数 ? ? ? ? ? ?iitj tI S injtI C o sIe i ?????? ????? 222
? ? ? ?itjm tI S inIeIi i ???? ??? ? 2]2[
??????mI中符号 表示取复数的虚部。
(3-1)
同理，正弦电压,用相量表示为
上式中 不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它
一个专有名称 —— 相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，
用 表示。要注意相量 与正弦电流 i只存在 对应关系,而不是
相等关系，它们之间的对应关系由式 (3-1)确定。
幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之
间的关系，因此我们约定：用式 (3-1)中的复常数 表
示正弦电流,并用下列记法
? ?utU S i nu ?? ?? 2
ijIe?
mI
?
? ?itI Sini ?? ?? 2
ij IIeI i ?? ???
? (3-2)
?I ?I
uj UUeU u ?? ???
? (3-3)
只要有
求表示 i,u的相量, 及相位差,并作出相量图。?I ?U iu?
例 3-1 已知正弦电流、正弦电压分别为
解：
相量图如图 3-8所示，
在相量图上可以很直
观地看出相互之间的
相位关系。 向量图
+ j
+1
6
?
3
?
?
U
?
I
图 3-8
? ?33 1 414.14 ??? tS ini A
? ?63 1 41.3 1 1 ??? tS inu V
,263 ???? ??????? ???iu
31032
14.14 ??? ???????
iII A
622062
1.311 ??? ?????????
uUU V
i 超前 u90度角
第 （ 21）页
例 3-2 已知频率为 500Hz的两个正弦电流。表示它们的相量
分别为
求电流的瞬时值表达式及画出相量图。
AI ?0102 ???
? ? ? ? AtSintSinIi 323 1 4 021 0 02 111 ??? ????
? ? ? ? AtSintSinIi 3142102 222 ??? ??
Sr a df 3 1 4 05 0 022 ????? ???解：该正弦电流的角频率为
瞬时值表达式为
相量图见图 3-9，由相量图可以看出 i2滞后 i1 弧度角。32?
向量图
3
2?
?
1
I
?
2
I
图 3-9
?321 0 01 ???I A
小 结
一、正弦量常用的表示方法,
三角函数式,旋转矢量,复数表示。
二、正弦量为什么必须用矢量或复数 (即相量 )表示?
因为正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同
时表示出这二个参数必须采用矢量或复数。
三、这种表示方法的优点是什么?
可以简化正弦交流电路的分析
1i 2i
R
3i
例题
333
333
3
213
3
2
1
Ii
)cos(
:i,
ii:
i:
)).....(60cos(10i
)).......(30cos(5i
:
?
??
?
?
及中的如何求
可以写成形式因而一正弦波
仍为两个同频率正弦波之和
解
电流求
已知
m
m tIi
i
At
At
??
??
°??
°??
? ????????? 60c o s1030c o s (5
:
213 ttiii ?? ）
利用三角函数直接相加方法一
? ?
? ?tS int
tS inS int
??
??
5.0c o s866.05
3030c o sc o s5
??
????
)6060c o sc o s10 ???? t S i nS i nt ??（
? ?tS i nt ?? 8 6 6.0co s5.010 ??
tS i nt
tS i nt
tS i nt
??
??
??
16.11c o s33.9
66.8c o s5
5.2c o s33.4
??
??
??
第 （ 22）页
22 16.1133.9 ??
22 16.1133.9
33.9
? tS i nt ?? 22 16.1133.9
16.11c o s
??? ?
? ?
? ? ? ?At
tS inS int
.,,,,,,,50c o s6.14
50c o s50c o s6.14
???
????
?
??
运用矢量运算方法二,
Y
0 X
B
C
?60 ?30
?50
A
mI2?
mI1?
mI3?
? ?
? ?
? ?
)501 4, 6 C o S (i
50
1 4, 6
3
3
3
33
22
11
???
??
?
?
?
?
t
I
OCIi
OBIi
OAIi
m
m
m
m
?
?
于是
根据矢量图
矢量
矢量
矢量
?
?
?
10
5
?50
11.16
+j
9.33
mI3?
:.运用复数运算方法三
?? 60
2 10 jm eI?
?? 30j1 5 eI m?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ????
?
??
????????
????????
??
?
50c o s6.14
6.14
16.1133.9
601030560c o s1030c o s5
6060c o s103030c o s5
3
50
213
ti
e
j
S inS inj
jS injS in
III
j
mmm
?于是
???
复平面
。的分析仅仅是代数运算
而直流电路作出相应的相量图运算
须采用复数正弦交流电路的分析必
,,
:结论
§ 3.3 电阻元件, 电感元件和电容元件
本节所讨论的元件，假定都是理想的元件。
在直流电路中，电压、电流、功率以及由此产生的电场或磁场
都不变。电感元件不存在电动势，电容元件不能通过电流，因此，
电感视作短路，电容视作开路。
但在交流电路中却不然。电源是交变的，各电量是交变的，因此，
电感元件上存在感应电动势，电容元件上将流过电流。
一,电阻元件
根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流
成正比关系，即
当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律
的相量表示式为
图 3-10
i
u R
电阻元件
R
ui?
R
UI ?? ?
第 （ 23）页
? ??? ?? tU S inu 2
? ??? ?? tI S ini 2
? ? ? ?? ????? 2212 2 ?????? tC o sUItU I S i nuip
R
URIUIpdt
TP
T 22
0
1 ???? ?
上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，
如图 3-11所示。
设
电阻元件吸收的瞬时功率为
在一个周期内吸收的平均功率为
图 3-11
?
?
U
I
?
? t
?
u
i
电阻元件上电压电流向量图及波形图
图 3-12是 0时,电阻上电压、电流
与瞬时功率的波形。
? t
u
i
u,i
? ??
0
( a )
0
( b )
p
? t
P
电阻元件的交流电路
( a ) 电压与电流的正弦波形 ( b ) 功率波形
? ?
图 3-12
二,电感元件
现在来分析一个线性电感元件与正弦电源连接后，这个电感
元件电路中电压与电流之间的关系，并讨论该电路中能量的
转换和功率问题。假定这个线圈只具有电感 L,而电阻 R极小，
可以忽略不计。
当电感线圈中通过交流 i 时，
其中产生自感电动势 。
设电流 i,电动势 和电压 u
的正方向如图 3-13(a)所示。
根据楞次定律得出
? t
u
i
? ??
0
0
p
? t
i
+
-
储能
i
+
-
放能
i
+
-
储能
i
+
-
放能
+
-
+
-
u,i
( b )( a )
( c ) ( d )
i
u e
L L
?
U
?
I
( a )电路图 ( b )电压与电 流的正弦波形
( c )电压与电 流的向量图 ( d )功率波形
电感元件的交流电路
图 3-13
dt
diLeu
L ??? (3-3)
设电流为
则电压
tS inIi m ??
Le
Le
比较上列两式可知，在电感元件电路中，在相位上电流比电压
滞后 90o(相位差 90o)。电压 u为什么比电流 I 越前 90o？,这是因
为 u与 i成导数的关系，可由数学推导而得。也可以根据式 (3-3)
和图 3-13(b)这样来理解：电流变化率 大，则电压 u也大，
小，则 u也小； 时,u为正,时,u为负。dtdi
dt
di
0?dtdi 0?dtdi
也是一个正弦量。
表示电压 u和电流 i的正弦波形如图 3-13(b)所示。
我们规定：当电流比电压滞后时，其相位差 φ为正；当电流比
电压越前时，其相位差 φ为负。
(3-4)
? ? tLC o sI
dt
tS i nIdLu
mm ??
? ??
? ? ? ??? 9090 ???? tS inUtL S inI mm ???
在式 (3-4)中,LIU mm ?? （ 3-5） LIUIU
m
m ???或
由此可知，在电感元件电路中，电压的幅值 (或有效值 )与电流
的幅值 (或有效值 )之比值为 。显然，它的单位为欧姆。
当电压一定时,愈大，则电流愈小。 可见它具有对交流电
流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用 XL表示，即
L?
L?
感抗 XL与电感 L,频率 f成正比。
因此，电感线圈对高频电流的
阻碍作用很大，而对直流则可
视作短路，即对直流讲,XL=0
(注意，不是 L=0,而是 f=0)。
当 U和 L一定时,和 I同 f的关系表示在图 3-14中。 应该注意，
感抗只是电压与电流的幅值或有效值之比，而不是它们的
fLLX L ?? 2??
图 3-14 f
I,X L
0
X L 和 I 同 f 的关系
fLLX L ?? 2??
fL
U
I
?2
?
Lx
第 （ 24）页
瞬时值之比，即 。与上述电阻电路关系不一样，在这里
电压与电流之间成导数关系,而不是成正比关系。
如用相量表示电压与电流的关系，则为
?90jUeU ?? ?0jIeI ??
或 (3-7)
式 (3-7)表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相
位上电压比电流越前 90o。因电流相量 乘上算子 j后，即向前
(逆时针方向 )旋转 90o。
电压和电流的相量图如图 3-13(c)所示。
?I
电感元件上瞬时功率为
? ??90???? ttS inS inIUuipp mmL ??
tU I S i ntS i nIUtt C o sS i nIU mmmm ???? 222 ???
L
j jXe
I
U
I
U ??
?
?
?90
??? ?? ILjIjXU
L ?
LXi
u ?
在电感元件电路中的平均功率
0211 00 ??? ?? TT t d tU I S i nTpdtTP ?
由上式可见,p是一个幅值为 UI,并以角频率 2 随时间而变化
的交变量，其变化波形如图 3-13(d)所示。
说明,在电感元件的交流电路中，没有能量消耗，只有电源与
电感之间的能量互换。瞬时功率的正负可以这样解释：在第一
个和第三个 周期内，电流值在增大，即 磁 场在建立，电感
线圈从电源取用电能，并转换为磁能而存储在线圈的磁场内；
在第二 个和第四个 周期内，电流值在减小，即磁场在消失，
线圈放出原先储存的能量并 转换为电能而归还给电源。这是一
种可逆的能量转换过程。对于理想电感而言，线 圈从电源取用
的能量一定等于它归还给电源的能量，故平均功率为零。电源与
4
1
4
1
?
应当指出，电感元件和后面要讲的电容元件都是储能元件,它们
与电源间进行能量互换是工作所需。这对电源来说,也是一种
负担。但对储能元件本身来说，没有消耗能量,故命名为无功功
率。因此，平均功率也可称为有功功率。
电感 元件之间这种能量互换的规模，我们用无功功率 Q来衡量。
我们规定无功功率等于瞬时功率 pL的幅值，即
无功功率的单位是乏 (var)或千乏 (kvar)。
LXIUIQ 2??
例 3-3 把一个 0.1H的电感元件接到频率为 50Hz,电压有效值为
10V的正弦电源上, 问电流是多少？如保持电压值不变,
而电源频率改变为 5000Hz,这时电流为多少？
解,当 f = 50Hz时，
当 f = 5000Hz时，
mAA
X
UI
fLX
L
L
318318.0
4.31
10
4.311.05014.322
????
??????? ?
mAA
X
UI
X
L
L
18.300318.0
3140
10
31401.0500014.32
????
??????
第 （ 25）页
三,电容元件
图 3-15(a)是一个线性电容元件与正弦电源联结的电路，电路
中的电流 i和电容器两端 的电压 u 的正方向如图中所示。
当电压发生变化时，电容器
极板上的电荷量也要随着变
化，在电路中就引起电流
? t
u
i
? ??
0
0
p
? t
i
放电
?
i
充电
?
i
放电
?
i
充电
?
- -
u,i
( b )( a )
( c ) ( d )
i
u
C
?
U
?
I
( a) 电路图 ( b) 电压与电流的正弦波形
( c) 电压与电流的向量图 ( d) 功率波形
电容元件的交流电 路
? ?
图 3-15
dt
duC
dt
dqi ??
如果在电容器的两端加一
正弦电压
则电流
tS inUu m ??
? ? tC C o sU
dt
tS inUdCi
mm ??
? ??
? ? ? ??? 9090 ???? tS inItC S inU mm ??? (3-8)
CUI mm ?? CI
U
I
U
m
m
?
1??
也是一个正弦量。 比较上两式可知，在电容元件电路中，在
相位上电流比电压越前 90o( φ = -90o )。
表示电压和电流的正弦波形如图 3-15(b)所示。
在式 (3-8)中
由此可知，在电容元件电路中，电压的幅值 (或有效值 )与电流
的幅值 (或有效值 ) 之比值为,
当电压一定时,愈大，则电流愈小。可见它具有对电流起
阻碍作用的物理性质，所以称为容抗，用 XC代表，即
C?1
C?
1
(3-10)
容抗 XC与电容 C,频率 f 成反比。这是因为电容愈大时，在同样
电压下，电容器所容纳的电荷量也就愈大，因而电流愈大。
fCX c ?2
1?
显然，它的单位是欧姆,
或
当频率愈高时，电容器的充电与放电就进行得愈快，在同样
电压下，单位时间内电荷的移动量就愈多，因而电流愈大。
所以电容元件对高 频电流所呈现的容抗很小，是一捷径，而
对直流 (f=0) 所呈现的容抗 XC, 可视作开路。因此，电容
元件有隔断直流的作用。当电压 U 和电容 C 一定时，容抗
XC 和电流 I 同频率 f 的关系表示在图 3-16中。
式 (3-11)表示电压的有效值等于电流的有效值
与容抗的乘积，而在相位上电压比电流滞后 90o。因为电流相量
乘上算子 (-j)后，即向后 (顺时针方向 )旋转 90o。电压和电流的
相量图如图 3-15(c)所示。
如用相量表示电压与电流的关系，则为
?90IeI ???0jUeU ??
或 (3-11)
?I
图 3-16
f
I,X c
0
X c 和 I 同 f 的关系
)2( fCUI ??
fC
X
c
?2
1
?
C
j jXe
I
U
I
U ??? ?
?
?
?90
Cj
I
C
IjIjXU
C ??
??
??
?????
??
瞬时功率 ? ??90???? ttSi nSinIUuipp mmC ??
tU I S i ntS i nIUtt C o sS i nIU mmmm ???? 222 ???
(3-12)
由上式可见,p是一个以 的角频率随时间而变化的交变量，
它的幅值为 UI。 p 的波形如图 3-15(d)所示。在第一个和第三
个 周期内,电压值在增高，就是电容元件在充电。这时,电
容元件从电源取用电能而储存在它的电场中，所以 p 是正的。
在第二个和第四个周期内，电压 值在降低，就是电容元件在放
电。这时，电容元件放出在充电时所储存的能量，把它归还 给
电源，所以 p 是负的。在电容元件电路中，平均功率
这说明电容元件是不消耗能量的，在电源与电容元件之间只发
生能量的互换。能量互换的规模，用无功功率来衡量，它等于
瞬时功率 pc的幅值，即
0211 00 ??? ?? TT t d tU I S i nTpdtTP ?
41
?2
(3-13) CXIUIQ 2??
第 （ 26）页
例 3-4 把一个 的电容元件接到频率为 50Hz,电压有效值
为 10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，
而电源频率改为 5000Hz,这时电流将为多少？
可见，在电压值一定时，频率愈高，则通过电容元件的电流愈大。
解：当 f=50Hz时,???????? ? 4.12710255014.32 12 1 6fCX C ?
mAAXUI
C
780 78.04.1 2710 ????
当 f=5000Hz时，
AI 8.72 7 4.1 10 ??
???????? ? 2 7 4.110255 0 0 014.32 12 1 6fCX C ?
f?25
图 3-6
用正弦波形和旋转向量来表示正弦量
? t
? ? u
?
u 0
0 ? t 1
? t 1 u
1
?
?
x
y
?
m
U
?
y
x
u
?
m
U
?
m
I
u
?
i
?
电压瞬时值
? ?
umm
tSi nUSi nUu ??? ???
?
§ 3.4 电阻、电感与电容的串联电路
如图 3-17所示
电路中各元件通过同一电流，电流与电压的正方向如图中所示。
u
i
(a ) (b )
(a ) 电路图 (b ) 相量图
u R
u L
u C
R
L
C
?
?
L
U
?
R
U
?
C
U
?
C
U ?
U
?
?
L
U
?
C
U ?
I
电阻、电感与电容元件串联的交流电路
根据克希 荷 夫电压定律，可列出
CLR uuuu ???
???? id tCdtdiLiR 1
(3-14)
(3-15)
假设以电流为参考量,tS inIi m ?? ? ? ? ?
? ? ? ???
??
9090
9090
????
????
??
tS i nUtS i n
C
I
u
tS i nUtLS i nIu
tS i nUtR S i nIu
Cm
m
C
LmmL
RmmR
??
?
???
??
同频率的电压相加仍然为同频率的正弦量，
故总电压 u可以写成
? ??? ????? tS i nUuuuu mCLR (3-16)第 （ 27）页
为了求出合成电压的幅值与相位，我们借助于相量法。
与公式 (3-14)及 (3-15)对应的相量形式为
或写成 令
CLCLR jXIjXIRIUUUU
??????? ??????
? ?? ?CL XXjRI ??? ?
? ?CL XXjR
I
U ???
?
?
? ?CL XXjRZ ???
称为该电路的复数阻抗 (它不是一个相量，而是一个复数计算量 )，
则 ?? ? IZU (3-18)
(3-17)
?jeZZ ?复数阻抗又可写成
? ? 22 CL XXRZ ???式中，复数阻抗的模 及
R
XXa r c tg CL ???复数阻抗的 辐 角 (3-19)
式 (3-18)又可写为 ?jeZIU ?? ?
由于以电流为相位参考，故总电压的有效值 ZIU ?
ZIZIU mm ?? 2幅值
以上相量关系表示于图 3-17(b)。
应该注意几点：
1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特别是
相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电压应等
于三个元件上电压的相量和，
如果直接写成 那就不对了。 CLR UUUU ???
2.式 (3-18)表明,复数阻抗的实部为“阻”，虚部为“抗”，它
表示了串联电路的电压与电流之间的关系，模 |Z|反映大小关系，
辐角反映相位关系。 如果 XL>XC,, 电流 i比电压 u滞后
角,这种电路是电感性的；如果 XL<XC,, 电流 i 比电压
u 超前 φ角，这种电路是电容性的；如果 XL=XC,, 电
流 i 与电压 u同相，这种电路是电阻性的。
*下面讨论功率问题。
瞬时功率
这里，平均功率不为零的原因是电阻元件上要消耗电能。
平均功率 ?U I C o sp d tTP T ?? ?01
? ? tS i ntS i nIUuip mm ??? ???
? ?? ???? ??? tC o sC o sUI 2
根据图 1-17(b)相量图 IRUU Co s R ???
于是 ?U I C o sRIIUP R ??? 2（ 3-20）
0??
0??
?
0??
无功功率 ? ? ? ? ?U I Si nXXIIUUQ CLCL ????? 2
上式中括号内取负号是考虑到 ?LU ?CU
平均功率又称“有功功率”，而式 (3-20) 称为
“功率因数”。 乘积 UI 称为“视在功率”，用符号 S表示，即
UIS ? (3-22)
解,(1) ?????? ? 40101 2 73 1 4 3LX L ?
现将几种串联电路中交流电压与电流的关系列于 表 3-1。
例 3-5 在电阻、电感、电容元件相串联的电路中，已知
电源电压
R=30Ω,L=127mH,C=40μF。 (1)求感抗、容抗和 阻抗；
(2)求电流的有效值 I与瞬时值 i的表示式； (3)求各部分电压的有
效值与瞬时值的表示式； (4)作相量图； (5)求功率 P和 Q。
? ??20t3 1 4S in22 2 0u ?? V
（ 3-21）
相位相反,
第 （ 28）页
?COS
(2) AZUI 4.4502 2 0 ???
? ? ? ? AtSi ntSi ni
a r c tg
R
XXa r c tg CL
???
?
733 1 424.453203 1 424.4
)(53
30
8040
?????
?????? 电容性?
(3)
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?VtS intS inu
VIXU
VtS intS inu
VIXU
VtS inu
VIRU
C
CC
L
LL
R
R
???
???
?
173 1 423 5 290733 1 423 5 2
3 5 2804.4
1 6 33 1 421 7 690733 1 421 7 6
1 7 6404.4
733 1 421 3 2
1 3 2304.4
?????
????
?????
????
??
????
? ? ? ? ????????
??
??
?? ?
50804030
80
10403 1 4
11
2222
6
CL
C
XXRZ
C
X
?
(4)相量图如图 3-18所示。
?
L
U
?
R
U
?
C
U
?
U
?
?
L
U
?
C
U
?
17
?
20
?
73
?
I
图 3-18
(5) ? ??534.4220 ???? C o sU I C o sP ?
W8.5 8 06.04.42 2 0 ????
? ??534.4220 ???? SinU I SinQ ?
)(4.7 7 4)8.0(4.42 2 0 电容性V a r??????
例 3-6 试用相量 (复数 )计算上例中的电流 。?I
解：
220??U V?20
? ? ? ? 504030804030 ????????? jjXXjRZ CL?? ?53
4.45350 202 2 0 ?????
?
?
?
?
Z
UI A?73
CLR UUUU ???显然
例 3-7 有一 RC电路 [图 3-19(a)],R=2K Ω,C=0.1μF。 输入端接
正弦信号源,U1=1V,f=500Hz。 (1)试求输出电压 U2,并讨论输
出电压与输入电压间的大小与相位关系 ;(2)当将电容 C改为 20μ F
时求 (1)中各项； (3)或将频率 f改为 4000Hz时，再求 (1)中各项。
解, (1)
?????????? ? KfCX C 2.33200101.050014.32 12 1 6?
?58)6.1(
2
2.3
54.0227.0
27.077.3 1
77.32.32
2
1
2222
????????
???
???
??????
arctgarctgRXarctg
VIRU
mAZUI
KXRZ
C
C
?
?
1U
?
I
?
2UR
C
(a)
?
1U
?
2U
?
CU
?
I
?58
(b)
图 3-19
? 电路图 C=0.1uf
F=500HZ
时相量图
(2) RX C ????????? ? 16102050014.32 1 6
0,0,
2162 0 0 0
12
22
???
????
CUUU
KZ
??
电压与电流的相量图如图 3-19(c)所示。 ?
1U
?
2U?
?
I
( c ) ( d )
?
2U
?
1U?
CU
?
I
?1 1,3
图 3-19
%54154.0
1
2 ??
U
U电压与电流的相量图如图 3-19(b)所示，
比 越前 58o。?2U ?1U
C=20uf
f=500HZ
时相量图
C=0.1uf
f=4000HZ
时相量图
第 （ 29）页
(3) ??
????? ? KX C 4.0101.04 0 0 014.32
1
6
? ?
?
3.112.0
2
4.0
98.0249.0
49.0
04.2
1
04.24.02
2
22
????
?
?
????
??
????
a r c t ga r c t g
VIRU
mAI
KZ
?
%98
1
98.0
1
2 ??
?
?
U
U
电压与电流的相量图如图 3-19(d)所示,
比 越前 11.3o。?2U ?1U
§ 3.5 阻抗的串联与并联
一,阻抗的串联 ?
2
U
?
I
?
1
U
?
U
2Z
1Z
( a) 阻抗的串联 (b) 等效电路
?
U Z
?
I
图 3-20
根据克希荷夫电压定律的相量形式
? ? ZIZZIZIZIUUU ??????? ??????? 212121
式中 21 ZZZ ?? 称为串联电路的等效复数阻抗。
? ? ?jeZXXjRRZ ????? 2121
其中 ? ? ? ? 221221 XXRRZ ????
21
21
RR
XXa r c tg
?
???
，
二,阻抗的并联
?
I
?
U 2Z1Z
(a) 阻抗的并联 (b) 等效电路
?
U Z
?
I
?
1
I
?
2
I
图 3-21
根据克希荷夫电流定律的相量形式
Z
U
ZZUZ
U
Z
UIII
?
?
??
???
??
?
??
?
? ??????
2121
21
11
令 称为等效复数导纳，ZY 1?
式中 (3-23)
21
111
ZZZ ??
Z是并联电路的等效复数阻抗。
则 (3-24)21 YYY ??
LjXRZ ??
式中 称为电导,称
为 感纳，而
2Z
RG ?
2Z
XB L
L ?
L
L
L
L
L
jBGZXjZRXR jXRjXRZY ?????????? 222211
对于电阻与电感串联的支路，如图 3-22所示。
ZBGY L
122 ??? 称为该支路的导纳。
R
jx L
Z
图 3-22
第 （ 30）页
§ 3.1 正弦电压与电流
在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变化，
这样的电路称为正弦交流电路。
正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化，如图 3-1
所示。
图 3-1 正弦波波形
正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，
因此，正弦交流电包含三个要素，即频率、幅值和初相位。
u( i)
t
( a )正弦波 形
? RU
i
( b ) 正半周
?
RU
i
(c )负半 周
?
而且 频率,单位 Hz或 KHz,MHz
相位 周期
?? 2?f
fT
1?
)()( ?? ?? tS i nUtu m
一,频率与周期
u(t)
t
正弦波三要素
U m
T
(? t)
ψ
图 3-2
图 3-2所示正弦波可写成如下三角函数表示式
Srad式中 Um —— 幅值，又称峰值 ω—— 角频率,单位
—— 初相位
??? ?? t
?
瞬时值 —— 正弦量在任一瞬时的值；一般用小写表示，
如 i,u,e 。
幅值 —— 瞬时值中最大的值，又称为最大值，或称峰值。
一般用带下标 m的大写字母表示,如 Um,Im,Em 。
有效值 —— 有效值是正弦交流电的一个等效电压 (电流 )值。
它是指当正弦交流电通过某电阻 R产生的热量，
如果与直流电 I通过同一电阻产生的热量相等时，
则这个直流电流 I 称为该交流电 i 的有效值，
如图 3-3所示。
二,幅值与有效值
I
R
E i
R
u
图 3-3第 （ 19）页
由于正弦交流电 i在一个周期 T中产生的电阻热量为
直流电流 I在一个周期中产生的热量为
根据上述定义，当两者热量相等时，可得到该正弦交流电的
电流有效值为
由于 则代入上式
同理，正弦电压的有效值为
按规定有效值都用大写字母表示，如市电 220V或工业用电 380V，
都是电力电压的有效值。
?T Rdti0 2
RTIPT 2?
tS inIi m ??
2m
UU ?
?? T dtiTI 0 21
22
1 2
0
22 mmT
m
IT
T
It d tS i nI
TI ???? ? ?
三,初相位
例 3-1 已知 电力电压 220V,50Hz,写出它的瞬时电压表示式。
VVUU m 3 1 02 2 022 ????
Sr a df ??? 1 0 02 ??
tS intS inUu m ?? 100310??则
正弦量的相位 记时起点 t=0,这时的相位角
称为初相位。例如图 3-4中有三个正弦波，波形①初相位； 以波形①为参考，波形②的
初相位 (超前 )；
而波形③的初相位
(滞后 )。
图 3-4
正弦波的初相位
? t
???
i
3
?2?
由于
?? ?t ?
01 ??
02 ??
03 ??
在图 3-5中电压的表达式
初相位为零,电流 i1 初相位,
电流 i2 初 相位,两个电流之
间的相位差
tS inUu m ??
? ? ? ? 2121 ??????? ?????? tt
如果,i1 和 i2 相位相同，简称同相；如果 180o,i1和 i2相
位相反，简称反相； 如果 90o，称 i1 和 i2 正交。
注意：
相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的
参考。一般常以激励信号 为参考相位，令其初相位为零。
由于正弦稳态分析时，电路中的激励和响应是同频率的正
弦时间函数，因此分析电路时,表示各正弦电流 (或电压 )
特征的是其有效值和初相位。
正弦波的相位差
? t
?
? ?
? ?
u,i
i 1
i 2
u
图 3-5
1?
2?
??
??
图 3-6(注,该图在 P.28)表明正弦波形和旋转有向线段的关系。
设有一正弦量,其波形如图 3-6右边所示，
左边是一旋转有向线段。有向线段的长度等于正弦量的幅值 Um,
它的初始位置 (t=0时的位置 )与横轴正方向之间的 夹角等于正
弦量的初相位,并以正弦量的角频率 作逆时针方向旋转。
这样，正弦量在
? ??? ?? tS inUu m
一,用旋转有向线段表示正弦量
§ 3.2 正弦量的相量表示
正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外，
还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数，即用复数表
示正弦量。要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算
简便而又形象。
? ?
第 （ 20）页
频率的正弦量，正弦量对时间的导数 或积分 也仍
为同一频率的正弦量，它们之间的差别仅在于幅值与初相位不
同。因此,通常只用初始位置 (t=0)的有向线段来表示一个正弦
量，它的长度等于正弦量的幅值，它与横轴正方向间的夹角等
于正弦量的初相位，如图 3-7所示。但是我们应该具有这样的
某 时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上
的投影表示出来。
例如，在 t=0时，,在 t=t1时，
照图 3-6的方法 画旋转有向线段来表示正弦量是繁琐的。
事实上，在正弦信号的激励下，电路的响应电流 (或电压 )总
是同频率的正弦量，其次，在分析电路时常遇到加、减、求
导及积分的问题,而由于同一频率的正弦量之和或差仍为同一
? ??idt??????dtdi
?S inUu m?0 ? ??? ?? 11 tS inUu m
则
式 (3-1)
式 (3-1)实际是一种数学变换，即对于任何正弦时间函数，都可
以找到如式 (3-1)中括号 内所表示的与其对应的复指数函数，且
该复指数函数完全确定地表征了正弦时间函数的有 效值 (或最大
值 )、角频率、初相位三个要素。如前所述，在分析电路激励与
响应时,各电量 的频率均相同，因此频率不必表示出来，
概念：这个有向线段是以正弦量的
角频率作逆时针方向旋转的，它在
纵轴上的投影表示正弦 量的瞬时值。
图 3-7
二,用相量 (复数 )表示正弦电流、正弦电压的含义及方法
? ? ? ?iim tI Si ntSi nIi ???? ???? 2正弦电流
?
U
?
正弦量的向量表示
?
mU
设一复指数函数 ? ? ? ? ? ?iitj tI S injtI C o sIe i ?????? ????? 222
? ? ? ?itjm tI S inIeIi i ???? ??? ? 2]2[
??????mI中符号 表示取复数的虚部。
(3-1)
同理，正弦电压,用相量表示为
上式中 不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它
一个专有名称 —— 相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量，
用 表示。要注意相量 与正弦电流 i只存在 对应关系,而不是
相等关系，它们之间的对应关系由式 (3-1)确定。
幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之
间的关系，因此我们约定：用式 (3-1)中的复常数 表
示正弦电流,并用下列记法
? ?utU S i nu ?? ?? 2
ijIe?
mI
?
? ?itI Sini ?? ?? 2
ij IIeI i ?? ???
? (3-2)
?I ?I
uj UUeU u ?? ???
? (3-3)
只要有
求表示 i,u的相量, 及相位差,并作出相量图。?I ?U iu?
例 3-1 已知正弦电流、正弦电压分别为
解：
相量图如图 3-8所示，
在相量图上可以很直
观地看出相互之间的
相位关系。 向量图
+ j
+1
6
?
3
?
?
U
?
I
图 3-8
? ?33 1 414.14 ??? tS ini A
? ?63 1 41.3 1 1 ??? tS inu V
,263 ???? ??????? ???iu
31032
14.14 ??? ???????
iII A
622062
1.311 ??? ?????????
uUU V
i 超前 u90度角
第 （ 21）页
例 3-2 已知频率为 500Hz的两个正弦电流。表示它们的相量
分别为
求电流的瞬时值表达式及画出相量图。
AI ?0102 ???
? ? ? ? AtSintSinIi 323 1 4 021 0 02 111 ??? ????
? ? ? ? AtSintSinIi 3142102 222 ??? ??
Sr a df 3 1 4 05 0 022 ????? ???解：该正弦电流的角频率为
瞬时值表达式为
相量图见图 3-9，由相量图可以看出 i2滞后 i1 弧度角。32?
向量图
3
2?
?
1
I
?
2
I
图 3-9
?321 0 01 ???I A
小 结
一、正弦量常用的表示方法,
三角函数式,旋转矢量,复数表示。
二、正弦量为什么必须用矢量或复数 (即相量 )表示?
因为正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同
时表示出这二个参数必须采用矢量或复数。
三、这种表示方法的优点是什么?
可以简化正弦交流电路的分析
1i 2i
R
3i
例题
333
333
3
213
3
2
1
Ii
)cos(
:i,
ii:
i:
)).....(60cos(10i
)).......(30cos(5i
:
?
??
?
?
及中的如何求
可以写成形式因而一正弦波
仍为两个同频率正弦波之和
解
电流求
已知
m
m tIi
i
At
At
??
??
°??
°??
? ????????? 60c o s1030c o s (5
:
213 ttiii ?? ）
利用三角函数直接相加方法一
? ?
? ?tS int
tS inS int
??
??
5.0c o s866.05
3030c o sc o s5
??
????
)6060c o sc o s10 ???? t S i nS i nt ??（
? ?tS i nt ?? 8 6 6.0co s5.010 ??
tS i nt
tS i nt
tS i nt
??
??
??
16.11c o s33.9
66.8c o s5
5.2c o s33.4
??
??
??
第 （ 22）页
22 16.1133.9 ??
22 16.1133.9
33.9
? tS i nt ?? 22 16.1133.9
16.11c o s
??? ?
? ?
? ? ? ?At
tS inS int
.,,,,,,,50c o s6.14
50c o s50c o s6.14
???
????
?
??
运用矢量运算方法二,
Y
0 X
B
C
?60 ?30
?50
A
mI2?
mI1?
mI3?
? ?
? ?
? ?
)501 4, 6 C o S (i
50
1 4, 6
3
3
3
33
22
11
???
??
?
?
?
?
t
I
OCIi
OBIi
OAIi
m
m
m
m
?
?
于是
根据矢量图
矢量
矢量
矢量
?
?
?
10
5
?50
11.16
+j
9.33
mI3?
:.运用复数运算方法三
?? 60
2 10 jm eI?
?? 30j1 5 eI m?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ????
?
??
????????
????????
??
?
50c o s6.14
6.14
16.1133.9
601030560c o s1030c o s5
6060c o s103030c o s5
3
50
213
ti
e
j
S inS inj
jS injS in
III
j
mmm
?于是
???
复平面
。的分析仅仅是代数运算
而直流电路作出相应的相量图运算
须采用复数正弦交流电路的分析必
,,
:结论
§ 3.3 电阻元件, 电感元件和电容元件
本节所讨论的元件，假定都是理想的元件。
在直流电路中，电压、电流、功率以及由此产生的电场或磁场
都不变。电感元件不存在电动势，电容元件不能通过电流，因此，
电感视作短路，电容视作开路。
但在交流电路中却不然。电源是交变的，各电量是交变的，因此，
电感元件上存在感应电动势，电容元件上将流过电流。
一,电阻元件
根据欧姆定律，线性电阻上的电压与电流
成正比关系，即
当电压和电流均用相量表示时，欧姆定律
的相量表示式为
图 3-10
i
u R
电阻元件
R
ui?
R
UI ?? ?
第 （ 23）页
? ??? ?? tU S inu 2
? ??? ?? tI S ini 2
? ? ? ?? ????? 2212 2 ?????? tC o sUItU I S i nuip
R
URIUIpdt
TP
T 22
0
1 ???? ?
上式表明，电阻元件上电压和电流的相位相同，
如图 3-11所示。
设
电阻元件吸收的瞬时功率为
在一个周期内吸收的平均功率为
图 3-11
?
?
U
I
?
? t
?
u
i
电阻元件上电压电流向量图及波形图
图 3-12是 0时,电阻上电压、电流
与瞬时功率的波形。
? t
u
i
u,i
? ??
0
( a )
0
( b )
p
? t
P
电阻元件的交流电路
( a ) 电压与电流的正弦波形 ( b ) 功率波形
? ?
图 3-12
二,电感元件
现在来分析一个线性电感元件与正弦电源连接后，这个电感
元件电路中电压与电流之间的关系，并讨论该电路中能量的
转换和功率问题。假定这个线圈只具有电感 L,而电阻 R极小，
可以忽略不计。
当电感线圈中通过交流 i 时，
其中产生自感电动势 。
设电流 i,电动势 和电压 u
的正方向如图 3-13(a)所示。
根据楞次定律得出
? t
u
i
? ??
0
0
p
? t
i
+
-
储能
i
+
-
放能
i
+
-
储能
i
+
-
放能
+
-
+
-
u,i
( b )( a )
( c ) ( d )
i
u e
L L
?
U
?
I
( a )电路图 ( b )电压与电 流的正弦波形
( c )电压与电 流的向量图 ( d )功率波形
电感元件的交流电路
图 3-13
dt
diLeu
L ??? (3-3)
设电流为
则电压
tS inIi m ??
Le
Le
比较上列两式可知，在电感元件电路中，在相位上电流比电压
滞后 90o(相位差 90o)。电压 u为什么比电流 I 越前 90o？,这是因
为 u与 i成导数的关系，可由数学推导而得。也可以根据式 (3-3)
和图 3-13(b)这样来理解：电流变化率 大，则电压 u也大，
小，则 u也小； 时,u为正,时,u为负。dtdi
dt
di
0?dtdi 0?dtdi
也是一个正弦量。
表示电压 u和电流 i的正弦波形如图 3-13(b)所示。
我们规定：当电流比电压滞后时，其相位差 φ为正；当电流比
电压越前时，其相位差 φ为负。
(3-4)
? ? tLC o sI
dt
tS i nIdLu
mm ??
? ??
? ? ? ??? 9090 ???? tS inUtL S inI mm ???
在式 (3-4)中,LIU mm ?? （ 3-5） LIUIU
m
m ???或
由此可知，在电感元件电路中，电压的幅值 (或有效值 )与电流
的幅值 (或有效值 )之比值为 。显然，它的单位为欧姆。
当电压一定时,愈大，则电流愈小。 可见它具有对交流电
流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用 XL表示，即
L?
L?
感抗 XL与电感 L,频率 f成正比。
因此，电感线圈对高频电流的
阻碍作用很大，而对直流则可
视作短路，即对直流讲,XL=0
(注意，不是 L=0,而是 f=0)。
当 U和 L一定时,和 I同 f的关系表示在图 3-14中。 应该注意，
感抗只是电压与电流的幅值或有效值之比，而不是它们的
fLLX L ?? 2??
图 3-14 f
I,X L
0
X L 和 I 同 f 的关系
fLLX L ?? 2??
fL
U
I
?2
?
Lx
第 （ 24）页
瞬时值之比，即 。与上述电阻电路关系不一样，在这里
电压与电流之间成导数关系,而不是成正比关系。
如用相量表示电压与电流的关系，则为
?90jUeU ?? ?0jIeI ??
或 (3-7)
式 (3-7)表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，在相
位上电压比电流越前 90o。因电流相量 乘上算子 j后，即向前
(逆时针方向 )旋转 90o。
电压和电流的相量图如图 3-13(c)所示。
?I
电感元件上瞬时功率为
? ??90???? ttS inS inIUuipp mmL ??
tU I S i ntS i nIUtt C o sS i nIU mmmm ???? 222 ???
L
j jXe
I
U
I
U ??
?
?
?90
??? ?? ILjIjXU
L ?
LXi
u ?
在电感元件电路中的平均功率
0211 00 ??? ?? TT t d tU I S i nTpdtTP ?
由上式可见,p是一个幅值为 UI,并以角频率 2 随时间而变化
的交变量，其变化波形如图 3-13(d)所示。
说明,在电感元件的交流电路中，没有能量消耗，只有电源与
电感之间的能量互换。瞬时功率的正负可以这样解释：在第一
个和第三个 周期内，电流值在增大，即 磁 场在建立，电感
线圈从电源取用电能，并转换为磁能而存储在线圈的磁场内；
在第二 个和第四个 周期内，电流值在减小，即磁场在消失，
线圈放出原先储存的能量并 转换为电能而归还给电源。这是一
种可逆的能量转换过程。对于理想电感而言，线 圈从电源取用
的能量一定等于它归还给电源的能量，故平均功率为零。电源与
4
1
4
1
?
应当指出，电感元件和后面要讲的电容元件都是储能元件,它们
与电源间进行能量互换是工作所需。这对电源来说,也是一种
负担。但对储能元件本身来说，没有消耗能量,故命名为无功功
率。因此，平均功率也可称为有功功率。
电感 元件之间这种能量互换的规模，我们用无功功率 Q来衡量。
我们规定无功功率等于瞬时功率 pL的幅值，即
无功功率的单位是乏 (var)或千乏 (kvar)。
LXIUIQ 2??
例 3-3 把一个 0.1H的电感元件接到频率为 50Hz,电压有效值为
10V的正弦电源上, 问电流是多少？如保持电压值不变,
而电源频率改变为 5000Hz,这时电流为多少？
解,当 f = 50Hz时，
当 f = 5000Hz时，
mAA
X
UI
fLX
L
L
318318.0
4.31
10
4.311.05014.322
????
??????? ?
mAA
X
UI
X
L
L
18.300318.0
3140
10
31401.0500014.32
????
??????
第 （ 25）页
三,电容元件
图 3-15(a)是一个线性电容元件与正弦电源联结的电路，电路
中的电流 i和电容器两端 的电压 u 的正方向如图中所示。
当电压发生变化时，电容器
极板上的电荷量也要随着变
化，在电路中就引起电流
? t
u
i
? ??
0
0
p
? t
i
放电
?
i
充电
?
i
放电
?
i
充电
?
- -
u,i
( b )( a )
( c ) ( d )
i
u
C
?
U
?
I
( a) 电路图 ( b) 电压与电流的正弦波形
( c) 电压与电流的向量图 ( d) 功率波形
电容元件的交流电 路
? ?
图 3-15
dt
duC
dt
dqi ??
如果在电容器的两端加一
正弦电压
则电流
tS inUu m ??
? ? tC C o sU
dt
tS inUdCi
mm ??
? ??
? ? ? ??? 9090 ???? tS inItC S inU mm ??? (3-8)
CUI mm ?? CI
U
I
U
m
m
?
1??
也是一个正弦量。 比较上两式可知，在电容元件电路中，在
相位上电流比电压越前 90o( φ = -90o )。
表示电压和电流的正弦波形如图 3-15(b)所示。
在式 (3-8)中
由此可知，在电容元件电路中，电压的幅值 (或有效值 )与电流
的幅值 (或有效值 ) 之比值为,
当电压一定时,愈大，则电流愈小。可见它具有对电流起
阻碍作用的物理性质，所以称为容抗，用 XC代表，即
C?1
C?
1
(3-10)
容抗 XC与电容 C,频率 f 成反比。这是因为电容愈大时，在同样
电压下，电容器所容纳的电荷量也就愈大，因而电流愈大。
fCX c ?2
1?
显然，它的单位是欧姆,
或
当频率愈高时，电容器的充电与放电就进行得愈快，在同样
电压下，单位时间内电荷的移动量就愈多，因而电流愈大。
所以电容元件对高 频电流所呈现的容抗很小，是一捷径，而
对直流 (f=0) 所呈现的容抗 XC, 可视作开路。因此，电容
元件有隔断直流的作用。当电压 U 和电容 C 一定时，容抗
XC 和电流 I 同频率 f 的关系表示在图 3-16中。
式 (3-11)表示电压的有效值等于电流的有效值
与容抗的乘积，而在相位上电压比电流滞后 90o。因为电流相量
乘上算子 (-j)后，即向后 (顺时针方向 )旋转 90o。电压和电流的
相量图如图 3-15(c)所示。
如用相量表示电压与电流的关系，则为
?90IeI ???0jUeU ??
或 (3-11)
?I
图 3-16
f
I,X c
0
X c 和 I 同 f 的关系
)2( fCUI ??
fC
X
c
?2
1
?
C
j jXe
I
U
I
U ??? ?
?
?
?90
Cj
I
C
IjIjXU
C ??
??
??
?????
??
瞬时功率 ? ??90???? ttSi nSinIUuipp mmC ??
tU I S i ntS i nIUtt C o sS i nIU mmmm ???? 222 ???
(3-12)
由上式可见,p是一个以 的角频率随时间而变化的交变量，
它的幅值为 UI。 p 的波形如图 3-15(d)所示。在第一个和第三
个 周期内,电压值在增高，就是电容元件在充电。这时,电
容元件从电源取用电能而储存在它的电场中，所以 p 是正的。
在第二个和第四个周期内，电压 值在降低，就是电容元件在放
电。这时，电容元件放出在充电时所储存的能量，把它归还 给
电源，所以 p 是负的。在电容元件电路中，平均功率
这说明电容元件是不消耗能量的，在电源与电容元件之间只发
生能量的互换。能量互换的规模，用无功功率来衡量，它等于
瞬时功率 pc的幅值，即
0211 00 ??? ?? TT t d tU I S i nTpdtTP ?
41
?2
(3-13) CXIUIQ 2??
第 （ 26）页
例 3-4 把一个 的电容元件接到频率为 50Hz,电压有效值
为 10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，
而电源频率改为 5000Hz,这时电流将为多少？
可见，在电压值一定时，频率愈高，则通过电容元件的电流愈大。
解：当 f=50Hz时,???????? ? 4.12710255014.32 12 1 6fCX C ?
mAAXUI
C
780 78.04.1 2710 ????
当 f=5000Hz时，
AI 8.72 7 4.1 10 ??
???????? ? 2 7 4.110255 0 0 014.32 12 1 6fCX C ?
f?25
图 3-6
用正弦波形和旋转向量来表示正弦量
? t
? ? u
?
u 0
0 ? t 1
? t 1 u
1
?
?
x
y
?
m
U
?
y
x
u
?
m
U
?
m
I
u
?
i
?
电压瞬时值
? ?
umm
tSi nUSi nUu ??? ???
?
§ 3.4 电阻、电感与电容的串联电路
如图 3-17所示
电路中各元件通过同一电流，电流与电压的正方向如图中所示。
u
i
(a ) (b )
(a ) 电路图 (b ) 相量图
u R
u L
u C
R
L
C
?
?
L
U
?
R
U
?
C
U
?
C
U ?
U
?
?
L
U
?
C
U ?
I
电阻、电感与电容元件串联的交流电路
根据克希 荷 夫电压定律，可列出
CLR uuuu ???
???? id tCdtdiLiR 1
(3-14)
(3-15)
假设以电流为参考量,tS inIi m ?? ? ? ? ?
? ? ? ???
??
9090
9090
????
????
??
tS i nUtS i n
C
I
u
tS i nUtLS i nIu
tS i nUtR S i nIu
Cm
m
C
LmmL
RmmR
??
?
???
??
同频率的电压相加仍然为同频率的正弦量，
故总电压 u可以写成
? ??? ????? tS i nUuuuu mCLR (3-16)第 （ 27）页
为了求出合成电压的幅值与相位，我们借助于相量法。
与公式 (3-14)及 (3-15)对应的相量形式为
或写成 令
CLCLR jXIjXIRIUUUU
??????? ??????
? ?? ?CL XXjRI ??? ?
? ?CL XXjR
I
U ???
?
?
? ?CL XXjRZ ???
称为该电路的复数阻抗 (它不是一个相量，而是一个复数计算量 )，
则 ?? ? IZU (3-18)
(3-17)
?jeZZ ?复数阻抗又可写成
? ? 22 CL XXRZ ???式中，复数阻抗的模 及
R
XXa r c tg CL ???复数阻抗的 辐 角 (3-19)
式 (3-18)又可写为 ?jeZIU ?? ?
由于以电流为相位参考，故总电压的有效值 ZIU ?
ZIZIU mm ?? 2幅值
以上相量关系表示于图 3-17(b)。
应该注意几点：
1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特别是
相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电压应等
于三个元件上电压的相量和，
如果直接写成 那就不对了。 CLR UUUU ???
2.式 (3-18)表明,复数阻抗的实部为“阻”，虚部为“抗”，它
表示了串联电路的电压与电流之间的关系，模 |Z|反映大小关系，
辐角反映相位关系。 如果 XL>XC,, 电流 i比电压 u滞后
角,这种电路是电感性的；如果 XL<XC,, 电流 i 比电压
u 超前 φ角，这种电路是电容性的；如果 XL=XC,, 电
流 i 与电压 u同相，这种电路是电阻性的。
*下面讨论功率问题。
瞬时功率
这里，平均功率不为零的原因是电阻元件上要消耗电能。
平均功率 ?U I C o sp d tTP T ?? ?01
? ? tS i ntS i nIUuip mm ??? ???
? ?? ???? ??? tC o sC o sUI 2
根据图 1-17(b)相量图 IRUU Co s R ???
于是 ?U I C o sRIIUP R ??? 2（ 3-20）
0??
0??
?
0??
无功功率 ? ? ? ? ?U I Si nXXIIUUQ CLCL ????? 2
上式中括号内取负号是考虑到 ?LU ?CU
平均功率又称“有功功率”，而式 (3-20) 称为
“功率因数”。 乘积 UI 称为“视在功率”，用符号 S表示，即
UIS ? (3-22)
解,(1) ?????? ? 40101 2 73 1 4 3LX L ?
现将几种串联电路中交流电压与电流的关系列于 表 3-1。
例 3-5 在电阻、电感、电容元件相串联的电路中，已知
电源电压
R=30Ω,L=127mH,C=40μF。 (1)求感抗、容抗和 阻抗；
(2)求电流的有效值 I与瞬时值 i的表示式； (3)求各部分电压的有
效值与瞬时值的表示式； (4)作相量图； (5)求功率 P和 Q。
? ??20t3 1 4S in22 2 0u ?? V
（ 3-21）
相位相反,
第 （ 28）页
?COS
(2) AZUI 4.4502 2 0 ???
? ? ? ? AtSi ntSi ni
a r c tg
R
XXa r c tg CL
???
?
733 1 424.453203 1 424.4
)(53
30
8040
?????
?????? 电容性?
(3)
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?VtS intS inu
VIXU
VtS intS inu
VIXU
VtS inu
VIRU
C
CC
L
LL
R
R
???
???
?
173 1 423 5 290733 1 423 5 2
3 5 2804.4
1 6 33 1 421 7 690733 1 421 7 6
1 7 6404.4
733 1 421 3 2
1 3 2304.4
?????
????
?????
????
??
????
? ? ? ? ????????
??
??
?? ?
50804030
80
10403 1 4
11
2222
6
CL
C
XXRZ
C
X
?
(4)相量图如图 3-18所示。
?
L
U
?
R
U
?
C
U
?
U
?
?
L
U
?
C
U
?
17
?
20
?
73
?
I
图 3-18
(5) ? ??534.4220 ???? C o sU I C o sP ?
W8.5 8 06.04.42 2 0 ????
? ??534.4220 ???? SinU I SinQ ?
)(4.7 7 4)8.0(4.42 2 0 电容性V a r??????
例 3-6 试用相量 (复数 )计算上例中的电流 。?I
解：
220??U V?20
? ? ? ? 504030804030 ????????? jjXXjRZ CL?? ?53
4.45350 202 2 0 ?????
?
?
?
?
Z
UI A?73
CLR UUUU ???显然
例 3-7 有一 RC电路 [图 3-19(a)],R=2K Ω,C=0.1μF。 输入端接
正弦信号源,U1=1V,f=500Hz。 (1)试求输出电压 U2,并讨论输
出电压与输入电压间的大小与相位关系 ;(2)当将电容 C改为 20μ F
时求 (1)中各项； (3)或将频率 f改为 4000Hz时，再求 (1)中各项。
解, (1)
?????????? ? KfCX C 2.33200101.050014.32 12 1 6?
?58)6.1(
2
2.3
54.0227.0
27.077.3 1
77.32.32
2
1
2222
????????
???
???
??????
arctgarctgRXarctg
VIRU
mAZUI
KXRZ
C
C
?
?
1U
?
I
?
2UR
C
(a)
?
1U
?
2U
?
CU
?
I
?58
(b)
图 3-19
? 电路图 C=0.1uf
F=500HZ
时相量图
(2) RX C ????????? ? 16102050014.32 1 6
0,0,
2162 0 0 0
12
22
???
????
CUUU
KZ
??
电压与电流的相量图如图 3-19(c)所示。 ?
1U
?
2U?
?
I
( c ) ( d )
?
2U
?
1U?
CU
?
I
?1 1,3
图 3-19
%54154.0
1
2 ??
U
U电压与电流的相量图如图 3-19(b)所示，
比 越前 58o。?2U ?1U
C=20uf
f=500HZ
时相量图
C=0.1uf
f=4000HZ
时相量图
第 （ 29）页
(3) ??
????? ? KX C 4.0101.04 0 0 014.32
1
6
? ?
?
3.112.0
2
4.0
98.0249.0
49.0
04.2
1
04.24.02
2
22
????
?
?
????
??
????
a r c t ga r c t g
VIRU
mAI
KZ
?
%98
1
98.0
1
2 ??
?
?
U
U
电压与电流的相量图如图 3-19(d)所示,
比 越前 11.3o。?2U ?1U
§ 3.5 阻抗的串联与并联
一,阻抗的串联 ?
2
U
?
I
?
1
U
?
U
2Z
1Z
( a) 阻抗的串联 (b) 等效电路
?
U Z
?
I
图 3-20
根据克希荷夫电压定律的相量形式
? ? ZIZZIZIZIUUU ??????? ??????? 212121
式中 21 ZZZ ?? 称为串联电路的等效复数阻抗。
? ? ?jeZXXjRRZ ????? 2121
其中 ? ? ? ? 221221 XXRRZ ????
21
21
RR
XXa r c tg
?
???
，
二,阻抗的并联
?
I
?
U 2Z1Z
(a) 阻抗的并联 (b) 等效电路
?
U Z
?
I
?
1
I
?
2
I
图 3-21
根据克希荷夫电流定律的相量形式
Z
U
ZZUZ
U
Z
UIII
?
?
??
???
??
?
??
?
? ??????
2121
21
11
令 称为等效复数导纳，ZY 1?
式中 (3-23)
21
111
ZZZ ??
Z是并联电路的等效复数阻抗。
则 (3-24)21 YYY ??
LjXRZ ??
式中 称为电导,称
为 感纳，而
2Z
RG ?
2Z
XB L
L ?
L
L
L
L
L
jBGZXjZRXR jXRjXRZY ?????????? 222211
对于电阻与电感串联的支路，如图 3-22所示。
ZBGY L
122 ??? 称为该支路的导纳。
R
jx L
Z
图 3-22
第 （ 30）页
