第四章 三相交流电
1,关于三相交流电
大型发电，输配电系统，均采用三相制。大型交流电动机也
是三相制。
三相交流电有 A,B,C三相，它们的相量关系如图 3-1所示。
?
AU
?
BU
?
CU
( 火线 ）
( 火线 ）
( 火线 ）
（ 中线 ）
?
AU
?
BU
?
CU
图 3-1
A
B
C
N
在低压配电系统中，相电压（火线与中线之间的电压）,
线电压（火线与火线之间的电压）,其相
量关系如图 3-2所示。
VU p 220?
VVU l 3 8 02 2 03 ???
?
l
U ?
pU
o30
图 3-22,负载的联接
如果电器设备属于单相制，额定电压为 220V时，应接在火线
与中线之间，额定电压为 380V，则应接在火线与火线之间。
当电器设备采用三相制时（如三相电机等），设备的三个端
第 （ 36）页
钮均应接火线。具体联接形式（△型或 Y型），在电器设备标
牌上均有说明。
对于对称的三相负载，流过中线的电流为零，因而可以省去中
线。
第五章 非正弦周期电流的电路
§ 5.1 非正弦周期量的分解
矩形波，锯齿波，整流波，脉冲波以及语言，音乐，图
象，数据等电信号均属于非正弦周期波形。图 5-1中电阻两端
的电压 u是直流 E0与正弦交流电 e1的叠加：
tS i nRERERui m ?10 ???
显然，电压 u不是纯粹的正弦周期电压，
由此产生的电流
tS i nEEeEu m ?1010 ????
也不是纯粹正弦波,
而是单向电流。 (a )
i
0
E
u R
1
e 1e
0
E
u
t0
(b)
图 5-1
图 5-2(b)是二个不同频率正弦波的叠加
?????? ?? tSi ntSi nu ??? 3314
图 5-2(c)是三个不同频率正弦波
的叠加波形
?????? ??? tS intS intS inu ???? 5513314
图 5-2(d)是四个不同频率正弦波的
叠加波形
?????? ???? tS intS intS intS inu ????? 7715513314
我们再看图 5-2(a)是一个纯粹的正弦波
tS inu ??4?
?
?
Sin
4
1
1
1
1
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
? tSintSin ??
?
3
3
14
?
?
?
?
?2
?2
?2
?2
t
t
t
t
? ?tf
(a )
(b )
(c)
(d )
?
?
?
?
?
?
?? tSintSintSin ???
?
5
5
1
3
3
14
?
?
?
?
?
?
??? tSintSintSintSin ????
?
7
7
1
5
5
1
3
3
14
图 5-2正弦波的合成
由此可见，非正弦周期信号是若干个正弦波信号（有时亦包括
直流）按不同幅度叠加的结果。反过来，一个非正弦周期量也
可以分解为直流，基波及各次谐波。设周期函数为 f(ωt),其角
频率为 ω,则由高等数学中傅里叶三角函数展开公式可知
? ? ? ? ? ? ??????? 22110 2 ????? tS i nAtS i nAAtf mm
? ???
?
???
1
0
k
kkm tkS i nAA ??
式中
22 kmkmkm CBA ??
km
km
k B
Ca r c tg??
? ??? ? ??? 200 2 1 tdtfA ? ??? ? ???? 201 ttdS i n ktfB km
? ??? ? ???? 201 ttdC o s ktfC km
第 （ 37）页
例 5-1 图 5-3中有四种非正弦周期信号，现分别对它们进行波形
的分解。
0
m
U
u
t?
? ?20
m
U
u
t?
? ?2 ? ?20
m
U
u
t?
0
m
U
u
t?
?2 ?4
( a ) 矩形波 ( c ) 锯齿波
( b ) 三角波 (d ) 全波整流波形
图 5-3 非正弦周期量
(a)对矩形波进行分解
? ?? ? ?? 200 02 1 tudA
?? ? ??? 201 ttdu S i n kB km
? ??? C o s kkU m ?? 12
??
?
?
?
?
?k
U m4
0 ? ?
为偶数k
? ?为奇数k
? ?? ? ??? 20 01 ttdu C o s kC km
由此求出 ?
?
?
?,3,1,0k km
tSinkBu ?
?????? ???? ?tS intS intS inU m ???? 5513314
此分解结果，正好印证了 图 5-2(d)波形叠加所得出的结论。
各频谱分量的幅度表示在同一频率轴上，便得 图 5-4所示频率图。
?
4
?3
4
?5
4
?7
4
?
? ?3 ?5 ?7
图 5-4 矩形波频谱图 （令 Um=1)
对于图 5-5所示开关函数，同样可以分解为
?????? tC o stC o stC o stK ??????? 55 233 2221)(1
? ? ? ? ? ???
?
? ?
???? 1
1 12
12
21
2
1
n
n tnC o s
n ??
图 5-5 开关函
数
1
0
t?
? ?tK ?
1
(a) 单向开关函数
1
t?
? ?tK ?
2
(b) 双向开关函数
-1
? ? ????? tC o stC o stC o stK ??????? 55 433 442
? ? ? ? ? ???
?
? ?
??? 1
1 12
12
41
n
n tnC o s
n ??
(b)三角波分解
?????? ???? ?tS intS intS inUu m ???? 52513918 228?
29
8
?
? 2
25
8
? ?
图 5-6 三角波频谱图令（ Um=1）
(c)锯齿波分解
?????? ????? ?tS intS intS inUu m ?????? 33 122 1121
图 5-7 锯齿波频谱图（令 Um=1)
?
1
?
1
?
??
1
?
?
??
1
?
第 （ 38）页
(d)全波整流波分解
?????? ???? ?tC o stC o sUu m ??? 415223212
?
2
??
4
?
???
4
?
?
图 5-8 全波整流波频谱图（令 Um=1)
§ 5.2 非正弦周期信号激励下线性电路的响应
如前节所述，一个非正弦周期信号可以看成是直流与各次
谐波的叠加，因此，线性电路对非正弦周期信号的响应就是电
路对这些信号（直流及各次谐波）的响应的叠加。 线
性
电
路
? ?tiu R
线
性
电
路
? ?ti R?
0u
1u
2u
图 5-9 非正弦信号激励下线性电路的响应
设 u0,u1,u2,…… 是 u分解后所得各电压分量，即
????? 210 uuuu
而这些电压分量单独作用该线性电路所得输出电流分别为 i0,i1，
i2,i3,…… 则根据叠加原理，在非正弦周期信号激励下，该线
性电路总的输出电流为 ????? 210 iiii
因此，计算非正弦周期信号激励下线性电路的响应，步骤如下：
（ 1）将非正弦周期信号分解成傅里叶级数，从而得到直流及各
次正弦谐波分量。
（ 2）分别计算直流及各次正弦谐波分量单独作用时，电路的响
应。
（ 3）将所得电路的响应（电压或电流）叠加起来，即为所需的
结果。
注意：不同频率的正弦量的相加，必须用三角函数式或正弦波
形来进行，不能用相量图或复数式。因为后两种方法是
对同频率的正弦量而言的。
例 5-1 已知图 5― 10输入电压 u为非正弦周期电压
? ? ? ?oo 185204536018040 ?????? tS i ntS i ntS i nu ???V
基波角频率 502 ?? ?? Srad,求电路响应（电流 i)。
解：运用叠加原理
（ 1）直流分量：因为电路有电容元件，故直流响应电流 I0=0
（ 2）基波,???
?
??
?
? ??? 1 2 61 22
1 CLRZ ??
（电容性）o3.85
1
1 ??
?
? R C
L
a r c t g ?
?
?
43.1
1
1
1 ?? Z
UI m
m A
第 （ 39）页
（ 3）三次谐波：
???????? ??? 103 13
2
2
3 CLRZ ??
o03
13
3 ?
?
? R C
L
a r c t g ?
?
?
6
3
3
3 ?? Z
UI m
m A
u
i
R
?10
H05.0
L
F?5.22
C
图 5-10 RLC串联电路对
非正弦电压的响应
（ 4）五次谐波：
2.515 15
2
2
5 ???
??
?
? ???
CLRZ ???
o8.785
15
5 ?
?
? R C
L
a r c t g ?
?
? (电感性 )
39.0
5
5
5 ?? Z
UI m
m A
所以电流为
5310 iiiIi ????
A ? ? ? ? ? ?ooo 8.60539.045363.8543.1 ?????? tS i ntS i ntS i n ???
第六章 电路的暂态分析
§ 6.1 换路定则及初始值的确定
图 6-1电路根据开关的位置不同，有二种可能的稳定
状态。 当开关 S处于 1的位置，电路最终达到下列稳定状
态 （第一种稳定状态）：
电容上没有电荷。
一、稳态与暂态
01 ?u 02 ?? cuu0?i
当开关 S处于 2的位置，电路最
终达到下列稳定状态（第二种
稳定状态）：
Uu ?1 0?i
（因电容元件不能通过直流电流）
0?Ru Uuu c ??2
电容上储存有电荷 Q=CU
图 6-1
C
Ri
S
2
u
1
u
R
u
U
1
2
显然，当开关 S的位置发生变化时，电路将从一个稳定状
态转变为另一个稳定状态，这种转变往往不能跃变，而是需
要一定的时间，经历一个过程，这个物理过程就称为过渡过
程，又称暂态过程。
暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造
成的。例如当 S处于 2的位置时，电容元件储有电能,
如果开关 S由 2转向 1，电能不能跃变，这反映在电容上电压 uC
不能跃变，过渡过程就是使电容上的电能向电阻逐步泄放，
最终电能耗尽达到第一种稳定状态。
2
2
1CU
第 （ 40）页
当开关由位置 1变为位置 2时，电容上的电荷同样需要一
个积累过程，是电源 U0的电能向电容 C逐步充电，最终达到
第二种稳定状态。与电容元件相似,作为储能元件的电感，
其上的能量同样不能突变。
图 6-1
C
Ri
S
2
u
1
u
R
u
U
1
2
设 t=0为换路瞬间，以 t=0-表示换路前的终了瞬间,t=0+
表示换路后的初始瞬间。从 t=0-到 t=0+瞬间，电感元件中的电
流不能跃变，电容元件上的电压不能跃变，这称为换路定则，
用公式表示，即：
开关位置的变动，电路的接通，切断等统称为换路。
（ 6-1）
二、换路定则
换路定则仅适用于换路瞬间，根据换路定则可以确定 t=0+时
电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。
)(i)(i LL ?? ? 00
)(u)(u CC ?? ? 00
三、初始值的确定
步骤如下,1.由 t=0-的电路求出 或 。
2.根据式（ 6-1）及 t=0+的电路，求出其他电
压和电流的初始值。
)(iL ?0 )(uC ?0
例 6-1 对于图 6-2的电路，试确定开关 S闭合后的初始瞬
间电压 uc,uL 和电流 iL,ic,iR 及 is 的初始值。假设 S闭合前电路
已处于稳态。
图 6-2 例 6-1的电路
mA10 Si Ri Ci Li
?K2?K1?K2
u
S C L解：电路分析,S闭合前
瞬间，直流恒流源电流仅
流经 R支路与 L支路，电容
支路不允许直流通过,C
可以认为开路，而 L对
?直流可以认为短路,R支路与 L支路所含电阻值均为 2KΩ,
故 iR=iL=10mA/2=5mA,支路端电压 u=5mA 2KΩ =10V。
电容上电压 10V。
R
因而 根据图 6-3（ a），在 S闭合前瞬间（ t=0- ）
iS = 0,iC = 0,iR = iL = 5mA
uC = uR = 5mA 20KΩ = 10V,uL = 0
再根据 t=0-的值及图 6-3（ b）的电路，可求出 S闭合后瞬间（ t=0+ ）
画出 t=0-瞬间的等效电路如图 6-3（ A）所示。
?
图 6-3
mA10
S
i
R
i
C
i
L
i
?K2?K1?K2
S
?
?
R
u
C
u
L
u
)S(0t)a( 闭合前电路
?
?
mA10
S
i
R
i
C
i
L
i
?K2?K1?K2
S
?
R
u
C
u
L
u
)S(0t)b( 闭合后电路
?
?
C L
iS=15mA,uL = -10ViC = -10V/1KΩ =-10mA，
uC = 10V,iL = 5mA,iR = 0
第 （ 41）页
S闭合后瞬间，各电压电流的实际方向及数值，如图 6-4所
示：
注意：由以上计算可以看到，电感元件中的电流 iL是不能
突变的，但其电压 uL可以跃变，电容元件上的电压 uC不能突变，
但其电流 iC可以跃变，而纯电阻元件其电压 uR与电流 iR均可突
变，因为电阻只消耗电能，不储存电能。
图 6-4 t=0+ 瞬间各电压电流的实际方向
mA10
S
i
C
i Li
mA15 mA5mA10
?
C
u
L
u
?
V10
V10 V10
V10
5mA
§ 6.2 RC电路的响应
一,RC电路的放电过程
假设,换路前 S放于位置 2，电路已处于稳
定状态，电源对 C充电至 uC=U，在 t=0时 S
从 2合到位置 1，电容 C即经 R开始放电。
下面求
根据克希荷夫电压定律及图 6-5(a) 假
定电流方向,t≥0 时的电路方程为
iR + uC = 0
或 （ 6-2） 0?? CC udtduRC
令式（ 6-2）的通解为 （ 6-3）
代入式（ 6-2）可得特征方 程 RCP + 1 = 0
故
ptC Aeu ?
RCp
1??
图 6-5
RC电路的放电
C
R
iS
C
u
R
u
U
1
2
t=0
R
S
C
u
R
u
1
2
?
?
放
i
放电电路)( a
时刻，放电电流方向
?
? 0)( tb
?
??tuc
式（ 6-3）变为,（ 6-4）
由于 t=0+时, uC = U,因而 A=U
这样 式（ 6-4）变成, （ 6-5）tRC
C Ueu
1??
tRC
C Aeu
1??
这就是电容 C对 R 放电的方程 。 t≥0+电路的
实际电流电压方向如图 6-5（ b）所示。放电
曲线如图 6-6 所示。
令 则式（ 6-5）又可写成
（ 6-6）?tC Ueu ??
RC??
U
C
u
R
u
i
t
-U
R
U
?
放电曲线
图 6-6
式中 ? 称为该 RC电路的放电时间常数 放电的快慢，决定
于时间常数的大小,?越大，放电愈慢，如图 6-7所示。
图 6-7 中,?2 > ?1,在一定的初始电压 U下,C 越大，储
存的电荷愈多，电阻 R愈大，放电电流愈小，这都使放电
时间延长。
放电速度与时间
常数的关系
图 6-7
Cu
t
? ?
12 ?τ τ
τ 2
τ 1
第 （ 42）页
例 6-2 设开关闭合前电路已处于稳态。 t = 0 将开关闭合，试求 t≥0
时 电压 uC及电流 iC, i1,i 2
33321 6 ?????Cu V
在 t ≥0时, S闭合,C 电容上电荷
经 2?及 3?放电。
放电时间常数：
66 106105
)32(
32 ?? ????
??
????? S
于是放电电压方程：
t =0+ 时,电容上电压
解,t=0-时，
t.tC eeu 56 1071106 33 ???? ?? ?V
5.2
32
32
3 ?
?
?
??
Vi
C A3V,uC ?
S Cu
U
1i
? ? 2iCi
V6
?1
?2
?3F?50?t
图 6-8 例 6-2图
?
Ci
C
V3
?2 ?3
1i 2i
图 6-9
t=0+瞬间图 6-8的等效电
路，电流为实际方向
我们把无电源激励，输入信号为零的条件下，电路
的响应称为零输入响应。讨论 RC电路的放电过程就
是研究电路的零输入响应。
本节讨论的暂态过程有如下特点：
1,外界输入激励电源为零。
2,t≥0+电路的响应（电压或电流）仅由于电容元件
（储能元件）的初始状态 uC(0+) 不为零所产生。
故电容放电时的电流方程：
t.C e.i 5107152 ???? A t.C eui
51071
2 3
???? A
t.C e.ui 51071
1 512
?????? A
二, RC电路的充电过程
假定在换路前瞬间（ t=0-），电路中所有储能元件均未储有
能量，我们把电路的这种初始状态称为零状态。
下面讨论的 RC电路的充电过程就是分析 RC电路的零状态的
响应。
假设换路前，电路已处于稳定状态,t = 0时，将开关 S从 1合
向 2，电源 U经 R对 C充电，根据 克希荷夫电压定律,列出
t≥0 时的电路方程,
C
R
iS
Cu
Ru
U
1
2
t =0
图 6-10 RC充电
CCC udt
duRCuiRU ???? （ 6-7）
式（ 6-7）的通解有两个部分：
1.特解 uC′2.补函数 uC″
设 uC′= k，代入式（ 6-7） kdtdkRCU ??
得 k=U
于是特解 uC′= U
可见，特解就是 uC最终的稳态值。
补函数是齐次微分方程 0?? CC udtduRC （ 6-8）
的通解。
令 ptC Aeu ?? 代入式（ 6-8）得特征方程式 01 ??RCp
第 （ 43）页
则 RCp 1??
再令 ??RC 则 ?t
C Aeu ???
因此，式（ 6-7）的通解为
（ 6-9） ?tC AeUu ???
图 6-11是充电曲线。
根据换路定则，
t=0+时,uC=0，则 A=-U，
于是充电电压方程
? ??? ttC eUUeUu ?? ???? 1（ 6-10）
图 6-11
充电曲线
U
C
u
R
u i
t
R
U
i
R
u
C
u
，,
全响应是指电源激励和储能元件的初始状态 uC(0+)均不为零
时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。
现在讨论图 6-12的暂态过程。与图 6-10不同，图 6-12中在换
路瞬间 (t=0- )，电容上已储有电能，因而属于非零状态。
我们注意到充电时，电容上电压（即式（ 6-10））包含两项，
第一项 U是稳态分量，第二项 是暂态分量。?tUe?
三, RC电路的全响应
充电电流 ?tC eRUdtduCi ??? （ 6-11）
电阻电压 ?tR UeiRu ??? （ 6-12）
UUA ?? 0
所以电压方程 ? ? ?tC eUUUu ???? 0（ 6-13）
假定 t=0- 瞬间 uC(0-)=U0，描写 S闭合后电路的暂态过程仍然
是方程式（ 6-9），但起始条件不同，确定积分常数 A时，
应 根据换路定则，在非零状态下,t=0+时 uC=U0,则
电容上电压的变化如图 6-13所示。
0U C
R
S
Cu
Ru
U
1
2
t =0
?
?u
图 6-12
图 6-13
非零状态下,RC电路的暂态过程
如果把式（ 6-13）改写为
? ??? ttC eUeUu ?? ??? 10
方程右边第一项是零输入响应，第二项是零状态响应，
足以证明电路全响应是这两种响应的叠加。
U
C
u
t
0
U
0
0
)( UUa ?
电源对电容充电
U
C
u
t
0
U
0
0
)( UUb ?
电容对电源放电
第 （ 44）页
一,基本术语
1.稳态与暂态
2.换路,电路状态或结构的突然变动
3.时间概念,
.,0
0t
0
-
即暂态过程的起始点换路后瞬间
换路前瞬间
换路发生的时刻
??
?
?
t
t
4.换路定则,
换路前后,电感中电流不能突变,电容上电压不能突变。
小结
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
cc
LL
uu
ii
即
意义：可用来确定暂态过程的初始值
-0t ?
?? 0t
暂态过程
起点 终点
起始值
??t
稳态值
稳态值
二,暂态过程分析步骤
1.根据 的电路，确定??0t )0(u)0(
c ?? 及Li
?? 0t
2.根据换路定则，确定 时的起始值
??0t
3.根据 电路,列微分方程，求解，得暂态过程的
数学表达式。
三,RC电路的放电过程
Uut c ?? ?? )0(0 电路，求出
)0()0(0 ??? ?? cc uut 电路，
)0( ?cu
t
RC
c
c
c
Ueu
u
dt
du
RC
1
)4(
0:)3(
?
?
??
求解得
列微分方程
)0( ?cuC
R
U ?
R
?放i
(1)
(2)
式中 RC:时间常数
U:电容上电压起始值
第 （ 45）页
§ 6.3 微分电路与积分电路
本节讨论在矩形脉冲激励下,RC电路中的充放电过程，以
及 RC时间常数对输出波形的影响。
一,矩形脉冲
C
RiS
2
u
1
u
R
u
U
1
2
图 6-14 矩形脉冲的产生
我们把图 6-10电路重画于图 6-14
中。假定原先开关 S在位置 1，
在 t=0时刻 S合到位置 2,RC电路
与电源接通；在 t=t1时，再将 S合
到位置 1，切断电源。这样,RC
电路输入端电压 u1的波形便是图
6-15所示，它是矩形脉冲电压。
（但是在实际应用中，可以采用
专门的脉冲波发生器，产生脉冲
幅度为 U，脉冲宽度为 tp，脉冲
周期为 T的脉冲波）。
U
0
1
u
p
t
1
t
t
图 6-15 RC电路输入脉冲波形
如图 6-16所示，当该电路参数满足条件：
RC1 ??? （ 6-14）
ptRC ????且 时，可以证明 u2与 u1具有
微分关系。式中 ω 是输入脉冲信号的
角频率。
T
2f2 ??? ??
下面讨论微分电路充放电过程。
二,微分电路
C
R
i
2
u
1
u
C
u
图 6-16 微分电路
1,输入 u1上升沿
设 t=0-时电路已处于零状态。 t=0+开始，电路产生零状态的响
? ? 00u C ??, ? ? U0u 2 ??, ? ? RU0i ??应,。,
1 Uu ?
电源电压对电容 C充电。
根据式 (6-14)电路条件，电路时间常数 RC??
ptRC ????
很小，充电速度很快，电容上电压 UC很快因
充电而上升，电阻上电压（即输出电压 u2）则
很快下降，最终 UC = U,u2 = uR = 0,i = 0，
充电过程暂告结束，因此根据图 6-11充电曲线，
只要,输出端便获得如图 6-17(b)所
示的正向尖脉冲。
图 6-17
U
0
1
u
p
t
t
输入电压)( a
U?
U
2
u
输出电压)b(
微分电路输 入
与输出电压波形
2.输入 u1下降沿
在 t=tp时刻开始，输入电压 u1=0，电路处于零
输入响应，电容开始放电，根据图 6-7放电曲
线，输出端出现负向尖脉冲。
3.输入 u1平顶期间，电路处于相对稳定状态，在此状态下，电容
不允许直流电流流过，故 u2 = 0。比较 u1与 u2的波形，在 u1上升
沿,u2正值且最大,u2 = U；在 u1下降沿,u2负值且最大,u2 =
-U； u1平顶时,u2 ≈ 0；所以输出电压是输入电压的微分,
下面我们再从电路复数阻抗关系来证明，参阅图 6-18。
C
R
?
I
?
1
U
?
2
U
图 6-18
由于
???
??
?
?? 12 11 UR
CjR
RIU
?
根据电路参数条件 RC1 ??? 则
?? ?
12 UCRjU ? （ 6-15）
根据正弦时间函数用相量表示后，在数学运算方面具有的基本
性质，指出：一个正弦时间函数对时间的求导运算，其对应相
量则是乘以 jω的运算。
第 （ 46）页
若 ? ? dtdutf ? 则它的相量表示为 ?? ? UjF ?
反变换是 f(t)，就是说 ?F ?Uj? 的反变换一定为 dtdu
因此式 (6-15)的反变换为
? ? ? ?dt tduRCtu 12 ? （ 6-16）
另外，也可以根据电路瞬时电流、电压
的关系来导出式 (6-16)。（参阅图 6-19）
由于 dtduCi C? 根据电路条件 RC1 ???,
则 dtduCi 1? 而 dtduRCiRu 12 ?? （证毕）
u1=uC+uR≈uC所以
C
R
i
1
u
C
u
2
uRu
图 6-19
三, 积分电路
使 u2与 u1具有积分关系的电路参数
条件是
C
1R
??? （ 6-17）
且 ptRC ???? （ 6-18）
C
R
i
1
u
2
u
R
u
?
图 6-20 积分电路由于条件
C
1R
???,电路时间常数
很大，充放电速度缓慢，而相对而
言，电路换路时间间隔却较短，结
果电容两端电压（ u2 = uC）便如图
6-21所示。
2
u
1
u
1
t
2
t t
t
0
0
积分电路输入输出波形
图 6-21
从数学上推导，由于 pt???,
充放电很缓慢，电容上电压变化很
缓慢,uC<<uR,u1≈ uR=iR
故 ? ???? dtuRC1i d tC1uu 1C2 （ 6-19）
或者以相量表示,11
CjR
UI
??
?
?
?
Cj
1IU
2 ???
??
由于 C1R ???,故
R
UI 1
?
?
?,
?? ??
12 URCj
1U
? （ 6-20）
式（ 6-20）经反变换，得
?? dtuRC1u 12
§ 6.4 RL电路的响应
换路前 S在位置 2,电感中有电流，稳态值为
一,RL电路的零输入响应
0)0( IR
Ui ??
?
0?? dtdiLiR （ 6-21）
其特征方程
L
Rp ??
t=0时,S合在位置 1，电路处于零
输入响应，列出 t≥0时的微分方程
图 6-22
L
R
S
R
u
U
1
2
?
L
u
i
0t ?
RL电路的零输入响应Lp + R = 0
根为
于是，式（ 6-21）的通解是 LRtpt AeAei ???
第 （ 47）页
图 6-23是 RL电路的放电曲线
在 t=0+时，根据换路定则
R
L??式中 是 RL电路的时间常数。
i(0+)=i(0-)=I0
则 A = I0
?
tt
L
R
eIeIi ?? ?? 00
（ 6-22）由此可求得
?
t
R IiRu
??? Re电阻上电压
电感上电压 ?tL ReIdtdiLu ???? 0
t
0
I
0
i
)( a
t0
RI
0
RI
0
?
R
u
L
u
u
)( b
RL电路零输入响应
（放电曲线）
图 6-23
二,RL电路的零状态响应
在 t=0时刻,S合向位置 2，相当于 RL电路输入
一阶跃电压 u=U,根据克希荷夫定理,t≥0的电路方程为
（ 6-23）dtdiLiRU ??
该方程的通解有两个部分：特解 i ′和补函数 i″。
求补函数时，先列出式（ 6-23）的特征方程 LP+R=0
L
Rp ??其根为
于是得
特解 i ′就是电流 i最终的稳态值 RUi ??
tLRpt AeAei ?????
因此式（ 6-23）的通解
tLRAe
R
Uiii ???????? （ 6-24）
在 t=0+ 时, i=0,则 0?? ARU
得 RUA ??
因而 )1()1( / ?ttLRtLR e
R
Ue
R
Ue
R
U
R
Ui ??? ?????? （ 6-25）
L
R
S
Ru
U
1
2
?
Lu
i
0t ?
u
图 6-24
RL电路零状态响
应（充电）
式中 ?=L/R是时间常数。式（ 6-25）表明 RL电路充电电流也
由稳态分量与暂态分量两部分组成。所求得的充电曲线如图
6-25（ a）所示。
RL电路充电时 UR 及 UL 为
（ 6-26） )1( / ?tR eUiRu ????
（ 6-27） ?/tL UedtdiLu ???
如图 6-25（ b）所示。
时间常数 ?越小，暂态过程进行得越快，
因为 ?=L/R,L愈小，阻碍电流变化的作
用也愈小； R愈大，则在同样电源电压
下，充电最后达到的稳态电流 I0（或者
放电电流的初始值）愈小，储能越少，
这都使暂态过程缩短。
t0
i
)( a
t0
R
u
L
u
u
)( b
R
U
U
图 6-25
RL电路零状态响应
（充电曲线）
三, RL电路的全响应
开关 S闭合前 ? ?
0
0
0_0 RR
UIi
???
,t=0将 S闭合后，电路的微分
方程和式（ 6-24）相同，即 LRtAeRUi ???
但初始值不同，这里 ? ? ? ? 000 Iii ?? ??
则积分常数 RUIA ?? 0
所以 LRteRUIRUi ??????? ??? 0（ 6-28）
L
R Ru
L
u
S
0t ?
0
R
?
U
图 6-26
RL电路全响应式中，右边第一项为稳态分量，第二项
为暂态分量。
把式（ 6-28）改写成,LRtLRt eRURUeIi ?? ?
?
??
?
? ??? 1
0 （ 6-29）
式中，右边第一项是零输入响应，第二项为零状态响
应，两者叠加即为全响应 i。
第 （ 48）页
第六章 暂态过程 (小结 )
一, 基本电路元件,R,L,C
1.电容元件
? u ci C
q = cuc
伏安特性 dtduCdtdqi cC ??
特点,iC正比于 uc变化率与 uc绝对值无关。 uc不能突变，因
为, 突变, 意味着,,是不可能的。???
dt
du C ??i
如果激励是电流，响应是电压，则 t = t0时刻电容上电压
? ? ? ?? ??? 010 t CC dttiCtu
? ? ? ???
?
? ??
??
0
0
0 11 t
CC dttiCdttiC
? ? ? ??
?
?? ? 0010 t CC dttiCu
式中第一项 uc(0-)是 t = 0-时刻电容上已经积累的电压，它
是该电容过去历史状态的总结，并以此作为起点，即初始电
压；第二项是 t = 0-以后电容上形成的电压。
-∞
t = 0
t
t = t 0
电容元件储存的电场能 ? ? ? ?tCutW CC 221?
可见,电容元件不仅是 储能元件,而且是 记忆元件 。
2.电感元件
?φ
i L
u L
i L
u L
N
磁链, ?? N?
LLi??
伏安特性 感应电压：
dt
diL
dt
du L
L ??
?
如果激励是电压，响应是电流，则
? ? ? ? ? ??
?
?? ? 000 10 t LLL dttuLiti
左边第一项是初始电流，第二项是 t = 0-以后电感中
形成的电流。
电感元件储存的电磁能 ? ? ? ?tLitW LL 221?
电感元件同样具有双重功能：储能与记忆。
电容与电感统称, 动态元件, 。
特点,uL正比于 iL变化率与 iL绝对值无关； iL不能突变，因为
“突变, 意味着,,是不可能的。???dtdi L ??Lu
第 （ 49）页
二,暂态过程
1,统一表达式,三要素分析法
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?teffftf ?? ????? 0
稳态分量 初始值
2.初始值 f(0+)的确定
步骤如下：
① 根据 t = 0-的稳态电路，求 uC(0-)或 iL(0-)。
② 画出 t = 0+的等效电路，求 t = 0+的值，即初始值。
在等效电路中电容可等效为恒压源，电感等效为恒流源。
3.稳态分量 f(∞) 的确定
令电感短路，电容开路，画出换路后电路达到稳定状态
时的等效电路，求 f(∞) 。
4.求时间常数 ?
令原电路中恒压源短路，恒流源开路，画出换路后求 ?的
等效电路。
例题 6-5（ P.264） 求 i1(t)及 uC(t)
10mA
I
解：本题是求零输入响应
(1)由 t = 0-等效电路，求得
? ? ? ??? ?? 0600 CC uVu
(2)由 t = 0+等效电路，求 i1初始值
? ? ? ? mA//Vi 12633 6001 ????
t=0 C
3k
6k
R2
R1R
3 3k
??F
uC(t)
6k
3k
?
等效电路
例题 6―5 图
10mA
??0t
(3)稳态分量，,? ? 0??Cu ? ? 01 ??i
(4)画出求 ?的等效电路
RC??
由于 ? ? ?k//R 5633 ???
故 S263 10102105 ?? ??????
(5) ? ? ttC eetu 1 0 06060 ?? ?? ?
? ? teti 1001 12 ??
例题 6-10 求 uC(t)
t= 0
1m A
C
10 k
20 k
??? F
u C ( t )
10 k
?
10V
解：这是分析全响应
(1)画出 t = 0-电路
求得 ? ? ? ??? ?? 0100 CC uVu
?
20k
?
?
?
-20 V
10V
u C ( t )10V
6k
3k
?
t=0+等效电路
3k
60V
i1(0+)
6k
3k 3k
R2 R1
R3 C
求 ?等效电路
例题 6-10
t=0+等效电路
(2)画出 t = 0+电路
列方程：
??
?
??
??
201010
1
12
21
ii
ii 1 0 k 2 0 k
?
?
1 m A
10V
u C (0 + )=
10V1 m Ai 1
i 2 1 0 k
解得 mA.i 511 ? mA.i 502 ?
(3)求 的值??t ? ??Cu
V.mAu 573010 301011 ??????? ????
Vuu 52010 2012 ????
? ? Vu C 5105 ?????故
1 0 k 2 0 k ?
?
1mA
u C ( ∞ )
10V
1 0 k
? ?
u 1 u 2
t=0+等效电路
等效电路??t
第 （ 50）页
(4)求 ?
2 0k
1 0k 1 0k C
1 0k ??? F
RC??
?kR 10?
164 10101010 ?? ????? 秒
(5)uC暂态方程：
? ? ? ?? ? ?tC etu ?????? 5105
te 10155 ???? （ V）
例题,求下列电路 i1,i2,iC及 uL的初始值，假定 t = 0-时，
电路已处于稳定状态。
?
10V
3k
2k 4k
S
L
C
t=0
i1
i2
iC
iL uL?解,(1)先画出 t = 0
-的等效电路，
由于电路已处于稳定状态，
0?dtdiL 0?dtduC，
求 等效电路?
故电感 L看成短路，电容 C看成开路，
由此得 ? ? ? ??? ?? 040 CC uVu
? ? ? ??? ?? 020 LL imAi
(2)画出 t = 0+的等效电路，求初始值
?
3k
2k
? ?
10V
i L (0 - )
u C (0 - )
?
10V
3k
2k 4k
i1(0+)
i2(0+)i
C(0+)
iL(0+)
uL(0+)
?
?
4V
a
b
2mA
? ? mAkVi 22401 ???
? ? mAkVi 14402 ???
下面求 iC(0+):
对于节点 a，
? ? ? ? ? ? ? ????? ??? 0000 21 iiii CL
? ? mAi C 10 ???得
t = 0+等效电路
t = 0-等效电路
再列回路方程：
? ? ? ? 400310 ??? ?? LL ui
得 ? ? 00 ??Lu V
1,关于三相交流电
大型发电，输配电系统，均采用三相制。大型交流电动机也
是三相制。
三相交流电有 A,B,C三相，它们的相量关系如图 3-1所示。
?
AU
?
BU
?
CU
( 火线 ）
( 火线 ）
( 火线 ）
（ 中线 ）
?
AU
?
BU
?
CU
图 3-1
A
B
C
N
在低压配电系统中，相电压（火线与中线之间的电压）,
线电压（火线与火线之间的电压）,其相
量关系如图 3-2所示。
VU p 220?
VVU l 3 8 02 2 03 ???
?
l
U ?
pU
o30
图 3-22,负载的联接
如果电器设备属于单相制，额定电压为 220V时，应接在火线
与中线之间，额定电压为 380V，则应接在火线与火线之间。
当电器设备采用三相制时（如三相电机等），设备的三个端
第 （ 36）页
钮均应接火线。具体联接形式（△型或 Y型），在电器设备标
牌上均有说明。
对于对称的三相负载，流过中线的电流为零，因而可以省去中
线。
第五章 非正弦周期电流的电路
§ 5.1 非正弦周期量的分解
矩形波，锯齿波，整流波，脉冲波以及语言，音乐，图
象，数据等电信号均属于非正弦周期波形。图 5-1中电阻两端
的电压 u是直流 E0与正弦交流电 e1的叠加：
tS i nRERERui m ?10 ???
显然，电压 u不是纯粹的正弦周期电压，
由此产生的电流
tS i nEEeEu m ?1010 ????
也不是纯粹正弦波,
而是单向电流。 (a )
i
0
E
u R
1
e 1e
0
E
u
t0
(b)
图 5-1
图 5-2(b)是二个不同频率正弦波的叠加
?????? ?? tSi ntSi nu ??? 3314
图 5-2(c)是三个不同频率正弦波
的叠加波形
?????? ??? tS intS intS inu ???? 5513314
图 5-2(d)是四个不同频率正弦波的
叠加波形
?????? ???? tS intS intS intS inu ????? 7715513314
我们再看图 5-2(a)是一个纯粹的正弦波
tS inu ??4?
?
?
Sin
4
1
1
1
1
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
? tSintSin ??
?
3
3
14
?
?
?
?
?2
?2
?2
?2
t
t
t
t
? ?tf
(a )
(b )
(c)
(d )
?
?
?
?
?
?
?? tSintSintSin ???
?
5
5
1
3
3
14
?
?
?
?
?
?
??? tSintSintSintSin ????
?
7
7
1
5
5
1
3
3
14
图 5-2正弦波的合成
由此可见，非正弦周期信号是若干个正弦波信号（有时亦包括
直流）按不同幅度叠加的结果。反过来，一个非正弦周期量也
可以分解为直流，基波及各次谐波。设周期函数为 f(ωt),其角
频率为 ω,则由高等数学中傅里叶三角函数展开公式可知
? ? ? ? ? ? ??????? 22110 2 ????? tS i nAtS i nAAtf mm
? ???
?
???
1
0
k
kkm tkS i nAA ??
式中
22 kmkmkm CBA ??
km
km
k B
Ca r c tg??
? ??? ? ??? 200 2 1 tdtfA ? ??? ? ???? 201 ttdS i n ktfB km
? ??? ? ???? 201 ttdC o s ktfC km
第 （ 37）页
例 5-1 图 5-3中有四种非正弦周期信号，现分别对它们进行波形
的分解。
0
m
U
u
t?
? ?20
m
U
u
t?
? ?2 ? ?20
m
U
u
t?
0
m
U
u
t?
?2 ?4
( a ) 矩形波 ( c ) 锯齿波
( b ) 三角波 (d ) 全波整流波形
图 5-3 非正弦周期量
(a)对矩形波进行分解
? ?? ? ?? 200 02 1 tudA
?? ? ??? 201 ttdu S i n kB km
? ??? C o s kkU m ?? 12
??
?
?
?
?
?k
U m4
0 ? ?
为偶数k
? ?为奇数k
? ?? ? ??? 20 01 ttdu C o s kC km
由此求出 ?
?
?
?,3,1,0k km
tSinkBu ?
?????? ???? ?tS intS intS inU m ???? 5513314
此分解结果，正好印证了 图 5-2(d)波形叠加所得出的结论。
各频谱分量的幅度表示在同一频率轴上，便得 图 5-4所示频率图。
?
4
?3
4
?5
4
?7
4
?
? ?3 ?5 ?7
图 5-4 矩形波频谱图 （令 Um=1)
对于图 5-5所示开关函数，同样可以分解为
?????? tC o stC o stC o stK ??????? 55 233 2221)(1
? ? ? ? ? ???
?
? ?
???? 1
1 12
12
21
2
1
n
n tnC o s
n ??
图 5-5 开关函
数
1
0
t?
? ?tK ?
1
(a) 单向开关函数
1
t?
? ?tK ?
2
(b) 双向开关函数
-1
? ? ????? tC o stC o stC o stK ??????? 55 433 442
? ? ? ? ? ???
?
? ?
??? 1
1 12
12
41
n
n tnC o s
n ??
(b)三角波分解
?????? ???? ?tS intS intS inUu m ???? 52513918 228?
29
8
?
? 2
25
8
? ?
图 5-6 三角波频谱图令（ Um=1）
(c)锯齿波分解
?????? ????? ?tS intS intS inUu m ?????? 33 122 1121
图 5-7 锯齿波频谱图（令 Um=1)
?
1
?
1
?
??
1
?
?
??
1
?
第 （ 38）页
(d)全波整流波分解
?????? ???? ?tC o stC o sUu m ??? 415223212
?
2
??
4
?
???
4
?
?
图 5-8 全波整流波频谱图（令 Um=1)
§ 5.2 非正弦周期信号激励下线性电路的响应
如前节所述，一个非正弦周期信号可以看成是直流与各次
谐波的叠加，因此，线性电路对非正弦周期信号的响应就是电
路对这些信号（直流及各次谐波）的响应的叠加。 线
性
电
路
? ?tiu R
线
性
电
路
? ?ti R?
0u
1u
2u
图 5-9 非正弦信号激励下线性电路的响应
设 u0,u1,u2,…… 是 u分解后所得各电压分量，即
????? 210 uuuu
而这些电压分量单独作用该线性电路所得输出电流分别为 i0,i1，
i2,i3,…… 则根据叠加原理，在非正弦周期信号激励下，该线
性电路总的输出电流为 ????? 210 iiii
因此，计算非正弦周期信号激励下线性电路的响应，步骤如下：
（ 1）将非正弦周期信号分解成傅里叶级数，从而得到直流及各
次正弦谐波分量。
（ 2）分别计算直流及各次正弦谐波分量单独作用时，电路的响
应。
（ 3）将所得电路的响应（电压或电流）叠加起来，即为所需的
结果。
注意：不同频率的正弦量的相加，必须用三角函数式或正弦波
形来进行，不能用相量图或复数式。因为后两种方法是
对同频率的正弦量而言的。
例 5-1 已知图 5― 10输入电压 u为非正弦周期电压
? ? ? ?oo 185204536018040 ?????? tS i ntS i ntS i nu ???V
基波角频率 502 ?? ?? Srad,求电路响应（电流 i)。
解：运用叠加原理
（ 1）直流分量：因为电路有电容元件，故直流响应电流 I0=0
（ 2）基波,???
?
??
?
? ??? 1 2 61 22
1 CLRZ ??
（电容性）o3.85
1
1 ??
?
? R C
L
a r c t g ?
?
?
43.1
1
1
1 ?? Z
UI m
m A
第 （ 39）页
（ 3）三次谐波：
???????? ??? 103 13
2
2
3 CLRZ ??
o03
13
3 ?
?
? R C
L
a r c t g ?
?
?
6
3
3
3 ?? Z
UI m
m A
u
i
R
?10
H05.0
L
F?5.22
C
图 5-10 RLC串联电路对
非正弦电压的响应
（ 4）五次谐波：
2.515 15
2
2
5 ???
??
?
? ???
CLRZ ???
o8.785
15
5 ?
?
? R C
L
a r c t g ?
?
? (电感性 )
39.0
5
5
5 ?? Z
UI m
m A
所以电流为
5310 iiiIi ????
A ? ? ? ? ? ?ooo 8.60539.045363.8543.1 ?????? tS i ntS i ntS i n ???
第六章 电路的暂态分析
§ 6.1 换路定则及初始值的确定
图 6-1电路根据开关的位置不同，有二种可能的稳定
状态。 当开关 S处于 1的位置，电路最终达到下列稳定状
态 （第一种稳定状态）：
电容上没有电荷。
一、稳态与暂态
01 ?u 02 ?? cuu0?i
当开关 S处于 2的位置，电路最
终达到下列稳定状态（第二种
稳定状态）：
Uu ?1 0?i
（因电容元件不能通过直流电流）
0?Ru Uuu c ??2
电容上储存有电荷 Q=CU
图 6-1
C
Ri
S
2
u
1
u
R
u
U
1
2
显然，当开关 S的位置发生变化时，电路将从一个稳定状
态转变为另一个稳定状态，这种转变往往不能跃变，而是需
要一定的时间，经历一个过程，这个物理过程就称为过渡过
程，又称暂态过程。
暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造
成的。例如当 S处于 2的位置时，电容元件储有电能,
如果开关 S由 2转向 1，电能不能跃变，这反映在电容上电压 uC
不能跃变，过渡过程就是使电容上的电能向电阻逐步泄放，
最终电能耗尽达到第一种稳定状态。
2
2
1CU
第 （ 40）页
当开关由位置 1变为位置 2时，电容上的电荷同样需要一
个积累过程，是电源 U0的电能向电容 C逐步充电，最终达到
第二种稳定状态。与电容元件相似,作为储能元件的电感，
其上的能量同样不能突变。
图 6-1
C
Ri
S
2
u
1
u
R
u
U
1
2
设 t=0为换路瞬间，以 t=0-表示换路前的终了瞬间,t=0+
表示换路后的初始瞬间。从 t=0-到 t=0+瞬间，电感元件中的电
流不能跃变，电容元件上的电压不能跃变，这称为换路定则，
用公式表示，即：
开关位置的变动，电路的接通，切断等统称为换路。
（ 6-1）
二、换路定则
换路定则仅适用于换路瞬间，根据换路定则可以确定 t=0+时
电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。
)(i)(i LL ?? ? 00
)(u)(u CC ?? ? 00
三、初始值的确定
步骤如下,1.由 t=0-的电路求出 或 。
2.根据式（ 6-1）及 t=0+的电路，求出其他电
压和电流的初始值。
)(iL ?0 )(uC ?0
例 6-1 对于图 6-2的电路，试确定开关 S闭合后的初始瞬
间电压 uc,uL 和电流 iL,ic,iR 及 is 的初始值。假设 S闭合前电路
已处于稳态。
图 6-2 例 6-1的电路
mA10 Si Ri Ci Li
?K2?K1?K2
u
S C L解：电路分析,S闭合前
瞬间，直流恒流源电流仅
流经 R支路与 L支路，电容
支路不允许直流通过,C
可以认为开路，而 L对
?直流可以认为短路,R支路与 L支路所含电阻值均为 2KΩ,
故 iR=iL=10mA/2=5mA,支路端电压 u=5mA 2KΩ =10V。
电容上电压 10V。
R
因而 根据图 6-3（ a），在 S闭合前瞬间（ t=0- ）
iS = 0,iC = 0,iR = iL = 5mA
uC = uR = 5mA 20KΩ = 10V,uL = 0
再根据 t=0-的值及图 6-3（ b）的电路，可求出 S闭合后瞬间（ t=0+ ）
画出 t=0-瞬间的等效电路如图 6-3（ A）所示。
?
图 6-3
mA10
S
i
R
i
C
i
L
i
?K2?K1?K2
S
?
?
R
u
C
u
L
u
)S(0t)a( 闭合前电路
?
?
mA10
S
i
R
i
C
i
L
i
?K2?K1?K2
S
?
R
u
C
u
L
u
)S(0t)b( 闭合后电路
?
?
C L
iS=15mA,uL = -10ViC = -10V/1KΩ =-10mA，
uC = 10V,iL = 5mA,iR = 0
第 （ 41）页
S闭合后瞬间，各电压电流的实际方向及数值，如图 6-4所
示：
注意：由以上计算可以看到，电感元件中的电流 iL是不能
突变的，但其电压 uL可以跃变，电容元件上的电压 uC不能突变，
但其电流 iC可以跃变，而纯电阻元件其电压 uR与电流 iR均可突
变，因为电阻只消耗电能，不储存电能。
图 6-4 t=0+ 瞬间各电压电流的实际方向
mA10
S
i
C
i Li
mA15 mA5mA10
?
C
u
L
u
?
V10
V10 V10
V10
5mA
§ 6.2 RC电路的响应
一,RC电路的放电过程
假设,换路前 S放于位置 2，电路已处于稳
定状态，电源对 C充电至 uC=U，在 t=0时 S
从 2合到位置 1，电容 C即经 R开始放电。
下面求
根据克希荷夫电压定律及图 6-5(a) 假
定电流方向,t≥0 时的电路方程为
iR + uC = 0
或 （ 6-2） 0?? CC udtduRC
令式（ 6-2）的通解为 （ 6-3）
代入式（ 6-2）可得特征方 程 RCP + 1 = 0
故
ptC Aeu ?
RCp
1??
图 6-5
RC电路的放电
C
R
iS
C
u
R
u
U
1
2
t=0
R
S
C
u
R
u
1
2
?
?
放
i
放电电路)( a
时刻，放电电流方向
?
? 0)( tb
?
??tuc
式（ 6-3）变为,（ 6-4）
由于 t=0+时, uC = U,因而 A=U
这样 式（ 6-4）变成, （ 6-5）tRC
C Ueu
1??
tRC
C Aeu
1??
这就是电容 C对 R 放电的方程 。 t≥0+电路的
实际电流电压方向如图 6-5（ b）所示。放电
曲线如图 6-6 所示。
令 则式（ 6-5）又可写成
（ 6-6）?tC Ueu ??
RC??
U
C
u
R
u
i
t
-U
R
U
?
放电曲线
图 6-6
式中 ? 称为该 RC电路的放电时间常数 放电的快慢，决定
于时间常数的大小,?越大，放电愈慢，如图 6-7所示。
图 6-7 中,?2 > ?1,在一定的初始电压 U下,C 越大，储
存的电荷愈多，电阻 R愈大，放电电流愈小，这都使放电
时间延长。
放电速度与时间
常数的关系
图 6-7
Cu
t
? ?
12 ?τ τ
τ 2
τ 1
第 （ 42）页
例 6-2 设开关闭合前电路已处于稳态。 t = 0 将开关闭合，试求 t≥0
时 电压 uC及电流 iC, i1,i 2
33321 6 ?????Cu V
在 t ≥0时, S闭合,C 电容上电荷
经 2?及 3?放电。
放电时间常数：
66 106105
)32(
32 ?? ????
??
????? S
于是放电电压方程：
t =0+ 时,电容上电压
解,t=0-时，
t.tC eeu 56 1071106 33 ???? ?? ?V
5.2
32
32
3 ?
?
?
??
Vi
C A3V,uC ?
S Cu
U
1i
? ? 2iCi
V6
?1
?2
?3F?50?t
图 6-8 例 6-2图
?
Ci
C
V3
?2 ?3
1i 2i
图 6-9
t=0+瞬间图 6-8的等效电
路，电流为实际方向
我们把无电源激励，输入信号为零的条件下，电路
的响应称为零输入响应。讨论 RC电路的放电过程就
是研究电路的零输入响应。
本节讨论的暂态过程有如下特点：
1,外界输入激励电源为零。
2,t≥0+电路的响应（电压或电流）仅由于电容元件
（储能元件）的初始状态 uC(0+) 不为零所产生。
故电容放电时的电流方程：
t.C e.i 5107152 ???? A t.C eui
51071
2 3
???? A
t.C e.ui 51071
1 512
?????? A
二, RC电路的充电过程
假定在换路前瞬间（ t=0-），电路中所有储能元件均未储有
能量，我们把电路的这种初始状态称为零状态。
下面讨论的 RC电路的充电过程就是分析 RC电路的零状态的
响应。
假设换路前，电路已处于稳定状态,t = 0时，将开关 S从 1合
向 2，电源 U经 R对 C充电，根据 克希荷夫电压定律,列出
t≥0 时的电路方程,
C
R
iS
Cu
Ru
U
1
2
t =0
图 6-10 RC充电
CCC udt
duRCuiRU ???? （ 6-7）
式（ 6-7）的通解有两个部分：
1.特解 uC′2.补函数 uC″
设 uC′= k，代入式（ 6-7） kdtdkRCU ??
得 k=U
于是特解 uC′= U
可见，特解就是 uC最终的稳态值。
补函数是齐次微分方程 0?? CC udtduRC （ 6-8）
的通解。
令 ptC Aeu ?? 代入式（ 6-8）得特征方程式 01 ??RCp
第 （ 43）页
则 RCp 1??
再令 ??RC 则 ?t
C Aeu ???
因此，式（ 6-7）的通解为
（ 6-9） ?tC AeUu ???
图 6-11是充电曲线。
根据换路定则，
t=0+时,uC=0，则 A=-U，
于是充电电压方程
? ??? ttC eUUeUu ?? ???? 1（ 6-10）
图 6-11
充电曲线
U
C
u
R
u i
t
R
U
i
R
u
C
u
，,
全响应是指电源激励和储能元件的初始状态 uC(0+)均不为零
时电路的响应，也就是零输入响应与零状态响应两者的叠加。
现在讨论图 6-12的暂态过程。与图 6-10不同，图 6-12中在换
路瞬间 (t=0- )，电容上已储有电能，因而属于非零状态。
我们注意到充电时，电容上电压（即式（ 6-10））包含两项，
第一项 U是稳态分量，第二项 是暂态分量。?tUe?
三, RC电路的全响应
充电电流 ?tC eRUdtduCi ??? （ 6-11）
电阻电压 ?tR UeiRu ??? （ 6-12）
UUA ?? 0
所以电压方程 ? ? ?tC eUUUu ???? 0（ 6-13）
假定 t=0- 瞬间 uC(0-)=U0，描写 S闭合后电路的暂态过程仍然
是方程式（ 6-9），但起始条件不同，确定积分常数 A时，
应 根据换路定则，在非零状态下,t=0+时 uC=U0,则
电容上电压的变化如图 6-13所示。
0U C
R
S
Cu
Ru
U
1
2
t =0
?
?u
图 6-12
图 6-13
非零状态下,RC电路的暂态过程
如果把式（ 6-13）改写为
? ??? ttC eUeUu ?? ??? 10
方程右边第一项是零输入响应，第二项是零状态响应，
足以证明电路全响应是这两种响应的叠加。
U
C
u
t
0
U
0
0
)( UUa ?
电源对电容充电
U
C
u
t
0
U
0
0
)( UUb ?
电容对电源放电
第 （ 44）页
一,基本术语
1.稳态与暂态
2.换路,电路状态或结构的突然变动
3.时间概念,
.,0
0t
0
-
即暂态过程的起始点换路后瞬间
换路前瞬间
换路发生的时刻
??
?
?
t
t
4.换路定则,
换路前后,电感中电流不能突变,电容上电压不能突变。
小结
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
cc
LL
uu
ii
即
意义：可用来确定暂态过程的初始值
-0t ?
?? 0t
暂态过程
起点 终点
起始值
??t
稳态值
稳态值
二,暂态过程分析步骤
1.根据 的电路，确定??0t )0(u)0(
c ?? 及Li
?? 0t
2.根据换路定则，确定 时的起始值
??0t
3.根据 电路,列微分方程，求解，得暂态过程的
数学表达式。
三,RC电路的放电过程
Uut c ?? ?? )0(0 电路，求出
)0()0(0 ??? ?? cc uut 电路，
)0( ?cu
t
RC
c
c
c
Ueu
u
dt
du
RC
1
)4(
0:)3(
?
?
??
求解得
列微分方程
)0( ?cuC
R
U ?
R
?放i
(1)
(2)
式中 RC:时间常数
U:电容上电压起始值
第 （ 45）页
§ 6.3 微分电路与积分电路
本节讨论在矩形脉冲激励下,RC电路中的充放电过程，以
及 RC时间常数对输出波形的影响。
一,矩形脉冲
C
RiS
2
u
1
u
R
u
U
1
2
图 6-14 矩形脉冲的产生
我们把图 6-10电路重画于图 6-14
中。假定原先开关 S在位置 1，
在 t=0时刻 S合到位置 2,RC电路
与电源接通；在 t=t1时，再将 S合
到位置 1，切断电源。这样,RC
电路输入端电压 u1的波形便是图
6-15所示，它是矩形脉冲电压。
（但是在实际应用中，可以采用
专门的脉冲波发生器，产生脉冲
幅度为 U，脉冲宽度为 tp，脉冲
周期为 T的脉冲波）。
U
0
1
u
p
t
1
t
t
图 6-15 RC电路输入脉冲波形
如图 6-16所示，当该电路参数满足条件：
RC1 ??? （ 6-14）
ptRC ????且 时，可以证明 u2与 u1具有
微分关系。式中 ω 是输入脉冲信号的
角频率。
T
2f2 ??? ??
下面讨论微分电路充放电过程。
二,微分电路
C
R
i
2
u
1
u
C
u
图 6-16 微分电路
1,输入 u1上升沿
设 t=0-时电路已处于零状态。 t=0+开始，电路产生零状态的响
? ? 00u C ??, ? ? U0u 2 ??, ? ? RU0i ??应,。,
1 Uu ?
电源电压对电容 C充电。
根据式 (6-14)电路条件，电路时间常数 RC??
ptRC ????
很小，充电速度很快，电容上电压 UC很快因
充电而上升，电阻上电压（即输出电压 u2）则
很快下降，最终 UC = U,u2 = uR = 0,i = 0，
充电过程暂告结束，因此根据图 6-11充电曲线，
只要,输出端便获得如图 6-17(b)所
示的正向尖脉冲。
图 6-17
U
0
1
u
p
t
t
输入电压)( a
U?
U
2
u
输出电压)b(
微分电路输 入
与输出电压波形
2.输入 u1下降沿
在 t=tp时刻开始，输入电压 u1=0，电路处于零
输入响应，电容开始放电，根据图 6-7放电曲
线，输出端出现负向尖脉冲。
3.输入 u1平顶期间，电路处于相对稳定状态，在此状态下，电容
不允许直流电流流过，故 u2 = 0。比较 u1与 u2的波形，在 u1上升
沿,u2正值且最大,u2 = U；在 u1下降沿,u2负值且最大,u2 =
-U； u1平顶时,u2 ≈ 0；所以输出电压是输入电压的微分,
下面我们再从电路复数阻抗关系来证明，参阅图 6-18。
C
R
?
I
?
1
U
?
2
U
图 6-18
由于
???
??
?
?? 12 11 UR
CjR
RIU
?
根据电路参数条件 RC1 ??? 则
?? ?
12 UCRjU ? （ 6-15）
根据正弦时间函数用相量表示后，在数学运算方面具有的基本
性质，指出：一个正弦时间函数对时间的求导运算，其对应相
量则是乘以 jω的运算。
第 （ 46）页
若 ? ? dtdutf ? 则它的相量表示为 ?? ? UjF ?
反变换是 f(t)，就是说 ?F ?Uj? 的反变换一定为 dtdu
因此式 (6-15)的反变换为
? ? ? ?dt tduRCtu 12 ? （ 6-16）
另外，也可以根据电路瞬时电流、电压
的关系来导出式 (6-16)。（参阅图 6-19）
由于 dtduCi C? 根据电路条件 RC1 ???,
则 dtduCi 1? 而 dtduRCiRu 12 ?? （证毕）
u1=uC+uR≈uC所以
C
R
i
1
u
C
u
2
uRu
图 6-19
三, 积分电路
使 u2与 u1具有积分关系的电路参数
条件是
C
1R
??? （ 6-17）
且 ptRC ???? （ 6-18）
C
R
i
1
u
2
u
R
u
?
图 6-20 积分电路由于条件
C
1R
???,电路时间常数
很大，充放电速度缓慢，而相对而
言，电路换路时间间隔却较短，结
果电容两端电压（ u2 = uC）便如图
6-21所示。
2
u
1
u
1
t
2
t t
t
0
0
积分电路输入输出波形
图 6-21
从数学上推导，由于 pt???,
充放电很缓慢，电容上电压变化很
缓慢,uC<<uR,u1≈ uR=iR
故 ? ???? dtuRC1i d tC1uu 1C2 （ 6-19）
或者以相量表示,11
CjR
UI
??
?
?
?
Cj
1IU
2 ???
??
由于 C1R ???,故
R
UI 1
?
?
?,
?? ??
12 URCj
1U
? （ 6-20）
式（ 6-20）经反变换，得
?? dtuRC1u 12
§ 6.4 RL电路的响应
换路前 S在位置 2,电感中有电流，稳态值为
一,RL电路的零输入响应
0)0( IR
Ui ??
?
0?? dtdiLiR （ 6-21）
其特征方程
L
Rp ??
t=0时,S合在位置 1，电路处于零
输入响应，列出 t≥0时的微分方程
图 6-22
L
R
S
R
u
U
1
2
?
L
u
i
0t ?
RL电路的零输入响应Lp + R = 0
根为
于是，式（ 6-21）的通解是 LRtpt AeAei ???
第 （ 47）页
图 6-23是 RL电路的放电曲线
在 t=0+时，根据换路定则
R
L??式中 是 RL电路的时间常数。
i(0+)=i(0-)=I0
则 A = I0
?
tt
L
R
eIeIi ?? ?? 00
（ 6-22）由此可求得
?
t
R IiRu
??? Re电阻上电压
电感上电压 ?tL ReIdtdiLu ???? 0
t
0
I
0
i
)( a
t0
RI
0
RI
0
?
R
u
L
u
u
)( b
RL电路零输入响应
（放电曲线）
图 6-23
二,RL电路的零状态响应
在 t=0时刻,S合向位置 2，相当于 RL电路输入
一阶跃电压 u=U,根据克希荷夫定理,t≥0的电路方程为
（ 6-23）dtdiLiRU ??
该方程的通解有两个部分：特解 i ′和补函数 i″。
求补函数时，先列出式（ 6-23）的特征方程 LP+R=0
L
Rp ??其根为
于是得
特解 i ′就是电流 i最终的稳态值 RUi ??
tLRpt AeAei ?????
因此式（ 6-23）的通解
tLRAe
R
Uiii ???????? （ 6-24）
在 t=0+ 时, i=0,则 0?? ARU
得 RUA ??
因而 )1()1( / ?ttLRtLR e
R
Ue
R
Ue
R
U
R
Ui ??? ?????? （ 6-25）
L
R
S
Ru
U
1
2
?
Lu
i
0t ?
u
图 6-24
RL电路零状态响
应（充电）
式中 ?=L/R是时间常数。式（ 6-25）表明 RL电路充电电流也
由稳态分量与暂态分量两部分组成。所求得的充电曲线如图
6-25（ a）所示。
RL电路充电时 UR 及 UL 为
（ 6-26） )1( / ?tR eUiRu ????
（ 6-27） ?/tL UedtdiLu ???
如图 6-25（ b）所示。
时间常数 ?越小，暂态过程进行得越快，
因为 ?=L/R,L愈小，阻碍电流变化的作
用也愈小； R愈大，则在同样电源电压
下，充电最后达到的稳态电流 I0（或者
放电电流的初始值）愈小，储能越少，
这都使暂态过程缩短。
t0
i
)( a
t0
R
u
L
u
u
)( b
R
U
U
图 6-25
RL电路零状态响应
（充电曲线）
三, RL电路的全响应
开关 S闭合前 ? ?
0
0
0_0 RR
UIi
???
,t=0将 S闭合后，电路的微分
方程和式（ 6-24）相同，即 LRtAeRUi ???
但初始值不同，这里 ? ? ? ? 000 Iii ?? ??
则积分常数 RUIA ?? 0
所以 LRteRUIRUi ??????? ??? 0（ 6-28）
L
R Ru
L
u
S
0t ?
0
R
?
U
图 6-26
RL电路全响应式中，右边第一项为稳态分量，第二项
为暂态分量。
把式（ 6-28）改写成,LRtLRt eRURUeIi ?? ?
?
??
?
? ??? 1
0 （ 6-29）
式中，右边第一项是零输入响应，第二项为零状态响
应，两者叠加即为全响应 i。
第 （ 48）页
第六章 暂态过程 (小结 )
一, 基本电路元件,R,L,C
1.电容元件
? u ci C
q = cuc
伏安特性 dtduCdtdqi cC ??
特点,iC正比于 uc变化率与 uc绝对值无关。 uc不能突变，因
为, 突变, 意味着,,是不可能的。???
dt
du C ??i
如果激励是电流，响应是电压，则 t = t0时刻电容上电压
? ? ? ?? ??? 010 t CC dttiCtu
? ? ? ???
?
? ??
??
0
0
0 11 t
CC dttiCdttiC
? ? ? ??
?
?? ? 0010 t CC dttiCu
式中第一项 uc(0-)是 t = 0-时刻电容上已经积累的电压，它
是该电容过去历史状态的总结，并以此作为起点，即初始电
压；第二项是 t = 0-以后电容上形成的电压。
-∞
t = 0
t
t = t 0
电容元件储存的电场能 ? ? ? ?tCutW CC 221?
可见,电容元件不仅是 储能元件,而且是 记忆元件 。
2.电感元件
?φ
i L
u L
i L
u L
N
磁链, ?? N?
LLi??
伏安特性 感应电压：
dt
diL
dt
du L
L ??
?
如果激励是电压，响应是电流，则
? ? ? ? ? ??
?
?? ? 000 10 t LLL dttuLiti
左边第一项是初始电流，第二项是 t = 0-以后电感中
形成的电流。
电感元件储存的电磁能 ? ? ? ?tLitW LL 221?
电感元件同样具有双重功能：储能与记忆。
电容与电感统称, 动态元件, 。
特点,uL正比于 iL变化率与 iL绝对值无关； iL不能突变，因为
“突变, 意味着,,是不可能的。???dtdi L ??Lu
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二,暂态过程
1,统一表达式,三要素分析法
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?teffftf ?? ????? 0
稳态分量 初始值
2.初始值 f(0+)的确定
步骤如下：
① 根据 t = 0-的稳态电路，求 uC(0-)或 iL(0-)。
② 画出 t = 0+的等效电路，求 t = 0+的值，即初始值。
在等效电路中电容可等效为恒压源，电感等效为恒流源。
3.稳态分量 f(∞) 的确定
令电感短路，电容开路，画出换路后电路达到稳定状态
时的等效电路，求 f(∞) 。
4.求时间常数 ?
令原电路中恒压源短路，恒流源开路，画出换路后求 ?的
等效电路。
例题 6-5（ P.264） 求 i1(t)及 uC(t)
10mA
I
解：本题是求零输入响应
(1)由 t = 0-等效电路，求得
? ? ? ??? ?? 0600 CC uVu
(2)由 t = 0+等效电路，求 i1初始值
? ? ? ? mA//Vi 12633 6001 ????
t=0 C
3k
6k
R2
R1R
3 3k
??F
uC(t)
6k
3k
?
等效电路
例题 6―5 图
10mA
??0t
(3)稳态分量，,? ? 0??Cu ? ? 01 ??i
(4)画出求 ?的等效电路
RC??
由于 ? ? ?k//R 5633 ???
故 S263 10102105 ?? ??????
(5) ? ? ttC eetu 1 0 06060 ?? ?? ?
? ? teti 1001 12 ??
例题 6-10 求 uC(t)
t= 0
1m A
C
10 k
20 k
??? F
u C ( t )
10 k
?
10V
解：这是分析全响应
(1)画出 t = 0-电路
求得 ? ? ? ??? ?? 0100 CC uVu
?
20k
?
?
?
-20 V
10V
u C ( t )10V
6k
3k
?
t=0+等效电路
3k
60V
i1(0+)
6k
3k 3k
R2 R1
R3 C
求 ?等效电路
例题 6-10
t=0+等效电路
(2)画出 t = 0+电路
列方程：
??
?
??
??
201010
1
12
21
ii
ii 1 0 k 2 0 k
?
?
1 m A
10V
u C (0 + )=
10V1 m Ai 1
i 2 1 0 k
解得 mA.i 511 ? mA.i 502 ?
(3)求 的值??t ? ??Cu
V.mAu 573010 301011 ??????? ????
Vuu 52010 2012 ????
? ? Vu C 5105 ?????故
1 0 k 2 0 k ?
?
1mA
u C ( ∞ )
10V
1 0 k
? ?
u 1 u 2
t=0+等效电路
等效电路??t
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(4)求 ?
2 0k
1 0k 1 0k C
1 0k ??? F
RC??
?kR 10?
164 10101010 ?? ????? 秒
(5)uC暂态方程：
? ? ? ?? ? ?tC etu ?????? 5105
te 10155 ???? （ V）
例题,求下列电路 i1,i2,iC及 uL的初始值，假定 t = 0-时，
电路已处于稳定状态。
?
10V
3k
2k 4k
S
L
C
t=0
i1
i2
iC
iL uL?解,(1)先画出 t = 0
-的等效电路，
由于电路已处于稳定状态，
0?dtdiL 0?dtduC，
求 等效电路?
故电感 L看成短路，电容 C看成开路，
由此得 ? ? ? ??? ?? 040 CC uVu
? ? ? ??? ?? 020 LL imAi
(2)画出 t = 0+的等效电路，求初始值
?
3k
2k
? ?
10V
i L (0 - )
u C (0 - )
?
10V
3k
2k 4k
i1(0+)
i2(0+)i
C(0+)
iL(0+)
uL(0+)
?
?
4V
a
b
2mA
? ? mAkVi 22401 ???
? ? mAkVi 14402 ???
下面求 iC(0+):
对于节点 a，
? ? ? ? ? ? ? ????? ??? 0000 21 iiii CL
? ? mAi C 10 ???得
t = 0+等效电路
t = 0-等效电路
再列回路方程：
? ? ? ? 400310 ??? ?? LL ui
得 ? ? 00 ??Lu V
