第四章 齿轮机构及其设计
基本要求,了解齿轮机构的类型和应用, 齿廓啮合基本
定律；掌握渐开线直齿圆柱齿轮的啮合特性,
正确啮合条件, 连续传动条件等；熟悉渐开
线齿轮各部分的名称, 基本参数及几何尺寸
计算；了解切齿原理, 根切现象, 最少齿数
及变位修正和变位齿轮传动的概念；了解斜
齿圆柱齿轮, 直齿圆锥齿轮, 蜗轮蜗杆齿廓
曲面的形成, 啮合传动特点, 几何尺寸计算 。
重 点,圆柱齿轮外啮合传动的基本理论和设计计算 。
难 点, 一对轮齿的啮合过程；斜齿轮和圆锥齿轮的
当量齿轮和当量齿数 。
1,特点
1,适用的圆周速度和功率范围广；
2,效率较高；
3,传动比稳定；
4,寿命较长；
5,工作可靠性高；
6,可实现平行轴、任意角相交轴和任意角交错
轴之间的传动。
优点：
缺点：
1,要求较高的制造和安装精度、成本较高；
2,不适于远距离两轴之间的传动。
§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
2.1 根据其传动比 （ i12=ω1/ω2） 是否恒定分：
定传动比 （ i12 =常数 ） 传动的齿轮机构
—— 圆形齿轮机构 。
变传动比 （ i12按一定的规律变化 ） 传动的齿轮机构
—— 非圆形齿轮机构 。
2,分类
2.2 在定传动比中两啮合齿轮的相对运动是平面
运动还是空间运动分
? 直齿圆柱齿轮传动
? 斜齿圆柱齿轮传动
? 人字齿轮传动
2.2.1 平面齿轮机构（圆柱齿轮传动）
2.2.2 空间齿轮机构
? 圆锥齿轮传动
（伞齿轮传动）
? 交错轴斜齿轮传动
? 蜗杆传动
§ 4-2 齿轮的轮廓曲线
上式表明,互相啮合的一对齿轮, 在任一位置时的传
动比, 都与其连心线 O1O2被其啮合齿廓在接触点处的公
法线所分成的两段成反比 。这一定律称为,齿廓啮合的
基本定律 。
)2()1( pp vv ??
POv p 11)1( ???又
POv p 22)2( ??
PO
POi
1
2
2
1
12 ??? ?
?
要使两齿轮作定传传动，
则两齿廓必须满足的条件是：
不论两齿廓在何位置接触，过
接触点所作的两齿廓公法线必
须与两齿轮的连心线相交于一
定点。
节点
节圆
作纯滚动
1,渐开线的形成
2,渐开线的特性
§ 4-3 渐开线齿廓
基
圆
展
角2） 切点 B是点 K的曲率中
心, 而线段 BK是渐开
线在点 K 的曲率半径 。
渐开线上任一点的法
线恒与基圆相切。
?? ABBK1）
OK
OB
K ??c o s
3）
K
b
r
r?
4） 渐开线的形状取决于
基圆大小。
5） 基圆内没有渐开线。
3.渐开线齿廓啮合特性
3.2 渐开线齿廓间的正压力方向
不变
3.3 渐开线齿廓传动具有可分性
常数???
PO
POi
1
2
2
1
12 ?
?
PNOPNO 2211 ~ ??
常数????
1
2
1
2
2
1
12 '
'
b
b
r
r
r
ri
?
?
3.1 渐开线齿廓能保证定传动比传动
啮合线
§ 4-4 各部分名称
和尺寸渐开线标准齿轮
1,外齿轮
1.1 各部分的名称和符号
1,齿数：用 z表示 。
1.2 基本参数
3） 分度圆压力角：用 α 表示 。
2,模数：用 m表示 。
?
pm ?:取
zpd ???
?
pzd ??
mzd ?
k
b
k r
ra r c c o s??
r
r ba r c c o s??
5） 顶隙系数：用 c*表 示 。
4） 齿顶高系数：用 ha*表示 。
1.3 各部分尺寸的计算公式
1） 分度圆直径 d=mz
2） 齿顶高 ha=h*am
3） 齿根高 hf=（ h*a+c*） m
4） 齿全高 h=ha+hf=（ 2h*a+c*） m
5） 齿顶圆直径 da=d+2ha=（ z+2 h*a） m
6） 齿根圆直径 df=d － 2hf= mz － 2（ h*a+c*） m
=（ z－ 2 h*a － 2c*） m
7） 基圆直径 db= dcosα= mzcosα
8） 齿距 p =πm
9） 基圆上的齿距 ∵ 任意圆周长 = zpk=πdk
∴ 任意圆周上的齿距 pk =πdk/ z
故 pb=πdb / z =πmcosα =pcosα
10） 法向齿距 pn= pb
标准齿轮,齿顶高、齿根高均为标准值，且 s =e的齿轮。
2.齿条
1） 齿轮的各圆均变为直线,
如：分度线, 齿根线, 齿顶线；
2） 齿条齿廓上各点的压力角都相同,
大小等于齿形角；
3） 各线上的齿距相等, 即：
p =πm
4） 基本尺寸
齿条的齿顶高 ha=h*am
齿条的齿根高 hf=(h*a+c*)m
齿条的齿厚 s=πm/2
齿条的齿槽宽 e=πm/2
3,内齿轮
1） 内齿轮的齿廓是内凹的；
2） df ＞ d＞ da
3） 基本尺寸
齿顶圆直径,
da=d-2ha=（ z-2h*a） m
齿根圆直径,
df=d+2hf
= mz + 2（ h*a+c*） m
=（ z +2 h*a - 2c* ） m
1,一对渐开线齿廓正确啮合条件
m1=m2=m,α1=α2=α
渐开线直齿轮正确啮合的条件是：
两轮的模数和压力角应分别相等。
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
要使齿轮能正确啮合，必须有：
pn1= pn2
所以,pb1= pb2
又因,pb=πmcosα
所以,π m1cosα1=πm2cosα2
故,m1cosα1= m2cosα2
要满足上式, 则应：
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
12 '
'
z
z
r
r
r
r
r
ri
b
b ?????
?
?
因为,pn= pb
2.1.1 齿轮正确安装的条件：
1,齿侧间隙为零
要使齿侧间隙为零，必须
使其分度圆与节圆重合。
2,具有标准顶隙
c = c *m
2.1 外啮合传动
2,齿轮传动的中心距和啮合角
1221 '' '' eses ?? 及
22211
?meses ????
在两轮的非工作
齿侧应留的微小间隙
2.1.2 标准中心距
标准齿轮正确安装的中心距
称为标准中心距。
2.1.3 啮合线、啮合角
啮合角 —— 两轮传动时其节点 P的圆周速度方向与啮合
线 N1N2之间所夹的锐角，其值等于节圆压力
角。
a=r1+r2=m(z1+z2) / 2
啮合角 α'
啮合线 —— 两轮传动时其齿廓接触
点的轨迹。渐开线齿轮
的啮合线是直线。 啮合线
2.2 齿轮与齿条啮合传动
a=r2-r1=m(z2-z1) / 2
α'≡α r ' ≡ r
2.3 内齿轮啮合传动
3．一对齿轮的啮合过程
实际啮合线,B1B2
理论啮合线,N1N2
啮合极限点,N1和 N2
4,渐开线齿轮连续传动条件
bpBB ?21
1/21 ?? bpBB??
4.1 连续传动条件
重合度
][ ?? ?? ?
设计时要求：
重合度是衡量齿轮传动质
量的指标。 许用重合度
45.1???
重合度的多少表示同时啮
合轮齿对数的多少，如：
1.齿廓切制基本原理
1.1 仿形法
§ 4-6 渐开线齿廓的切制原理
指状铣刀加工
盘状铣刀加工
仿形法加工的特点：
效率低，精度低，成
本低，适应于单件小批生
产。同一把刀具只能加工
若干个齿数的齿轮。
1.2 范成法
? 齿轮插刀
范成运动范成运动
进给运动切削运动
? 齿条插刀
? 蜗杆滚刀
范成法加工的特点：
连续切削效率高，精度高，需专门的机器
成本高，适应于大批生产。同一把刀具可加工
不同齿数的齿轮。
2,用标准齿条刀具加工标准齿轮
2.1 标准齿条形刀具
标准齿条
标准齿条形刀具
刀顶线 齿顶线
中线
标准齿条特点：
各分度线上
的齿距相等，压
力角相等，模
数相等。
2.2 用标准齿条刀具加工标准齿轮
用标准齿条刀具加工标准齿轮必须使刀具的分
度线与被加工齿轮的分度圆相切并作纯滚动。
1,渐开线齿廓的根切
用范成法加工齿轮
时，有时刀具的顶部过
多地切入了轮齿的根部，
因而将齿根的渐开线齿
廓切去一部分。这种现
象称为轮齿的 根切 。
2,产生根切的原因
在用范成法切齿时，如果刀具的齿顶线超
过了啮合线与轮坯基圆的切点，则被切齿轮必
将发生根切现象。 证明 next
§ 4-7 根切、最少齿数及变位齿轮
一、根切和最少齿数
证明：
next
3,渐开线标准齿轮不产生根切时的最少齿数
PBPN ?1
2/)s i n(s i n1 ?? mzrPN ??
?s i n/* mhPB a?
不产生根切的最少齿数为：
?? s i n/2/)s i n( * mhmz a?
?2* s i n/2 ahz ?
?2*m i n s i n/2 ahz ?
17201 m i n* ??? zh a 时，，当 ??
4,避免产生根切现象的方法
1,减少 h*a
2,增大 α
3,变位修正 —— 变位齿轮
?2*m i n s i n/2 ahz ?
1,标准齿轮的不足
1） z≦ zmax。
2） 不适用于 a'≠a = m（ z1+z2） /2
3） 小齿轮齿根较薄，啮合次
数较多，而滑动系数又较
大。所以，较容易坏。
2,变位齿轮的主要参数
1） xm —— 变位量。
2） x —— 变位系数
?
?
?
?
?
)0(
)0(
x
x
负变位
正变位
二、变位齿轮及其齿厚的确定
3,变位齿轮的几何尺寸
1） 它们的分度圆、基圆直径及齿距是相同的
mpmzddmzd b ??? ????,c o sc o s,
2） 它们的齿厚及齿槽宽是不同的
?x m t gKJ ?
正变位齿轮的齿厚为：
mx t g
KJms
)22/(
22/
?
?
??
??
π
齿槽宽为：
mx t g
KJme
)22/(
22/
?
?
??
??
π
正变位齿：厚增大
负变位齿：厚减小
3） 变位齿轮和标准齿轮的齿顶高及齿根高也是不同的
1,正变位齿轮：
hf = h*am+c*m- xm
齿根高：
正变位：齿顶高增大、齿根高减小
负变位：齿顶高减小、齿根高增大
齿顶高：
ha= h*am+xm = ( h*a+ x) m
齿顶圆半径：
ra= r+ha= r+ ( h*a+x) m
齿根圆半径：
rf= r-hf= r- (h*a+c*- x)m
1,斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点
§ 4-8 平行轴的 斜齿齿轮机构
1.1 斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成
β β
图 8-49
右旋 左旋
发生面上的直线 KK与基
圆柱轴线的夹角称为 基圆柱
上的螺旋角,用 βb表示；而
其与分度圆柱轴线的夹角称
为 分度柱上的螺旋角,简称
为 螺旋角,用 β表示。齿轮螺旋角有左、右旋之分。
1.2 斜齿圆柱齿轮的啮合特点
2.1 法面模数 mn
端面模数 mt
pn=ptcosβ
2,斜齿轮的基本参数
mn= mtcosβ
tt
nn
mp
mp
?
?
?
?
2.2 法面压力角 αn
端面压力角 αt
''
'
ba
catg
n ?? ab
ac ?c o s?
?? c o s ttg?
3,斜齿轮传动的几何尺寸
3.1 齿顶高 ha和齿根高 hf
ha=h*anmn hf=(h*an+cn*)mn
式中,h*an—— 法面齿顶高系数, 为标准值, h*an=1。
c*n—— 法面顶隙系数, 为标准值, c*n= 0.25。
d= zmt= zmn/ cosβ3.2 分度圆直径
3.3 中心距 a=(d1+d2) /2= mn(z1+z2) /2 cos β
3.4 刀具移动距离 Δr
?c o s nt xx ?或
?costnnnttr mxmxmx ????
4,一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件
?
?
?
?
??
21
21
??
??
啮合内
外啮合 2121,nnnn mm ?? ??
5,斜齿轮传动的重合度
btbbt pB t gpL // ?? ? ???
btbtbt
r p
L
p
L
p
LL ???????
?? ?? ??
端面重合度 轴面重合度
π d
β
β
图8-51
β
ldtg /?? ??
t
tbb
tg
ldldtg
??
????
c o s
/c o s/
?
???
nttt mBpB t g ?????? ? /s i nc o s/c o s ???
ttbt pp ?c o s?
?????? ? 2/)]()([ 2211 tattat tgtgztgtgz ??????
btbbt pB t gpL // ?? ? ???
6,斜齿圆柱齿轮的当量齿数
斜齿圆柱齿轮不产生根
切的最少齿数为,
为点的曲率半径而半轴
短椭圆的长半轴
?
?
Cdb
da
,2/
,c o s2/
?
?
?? 22 c o s2// dba ??
n
nv m
dmz ?? 2c o s2/2/2 ??故：
?3m i nm i n c o svzz ?
?3c os
z?
1,啮合性能好；
2,重合度大；
3,结构紧凑；
4,斜齿轮的主要缺点是运转时产生附加轴向推力 。
7,斜齿轮传动的主要特点
Fa=Fttanβ
例题分析
已知,z1=26,i12=5,m =3 mm,ha*=1,c*= 0.25,α=20o、
β≤ 20°, ε≥ 3,在其它条件不变的情况下，将直
齿轮改为斜齿轮。
求：该斜齿轮的 z1′,z2′,mn,B。
解,1,确定中心距 a
2,改为斜齿轮,a不变，则：
z1′= 2acos β / mn (1+i12) = 24.43
336515]2/)(a r c c o s [,21 ????????? azzm n?所以
2
)( 21 mzza ??
1212 izz ?
mmimza 2342/)51(2632/)1( 121 ??????
?c o s2
)''( 21 nmzza ??
:20 0 时＝当 ?
125525'':25':,20 121210 ?????? izzz,则取若 ?
3,确定 B，根据
?? ??? ?? r
?????? ? 2/)](')'('[,2211 tattat tgtgztgtgz ?????其中
3 5 4.16 4 6.13 ????? ?? ??? r
mmmB n 46.469425.15s i n/354.13s i n/ ?????? ????? ?
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)/a r c c o s (
11
111
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6 4 6.1,???所以
:3,则为了保证 ?r?
btb pB t g /?? ? ??
1,圆锥齿轮传动的应用、特点和分类
§ 4-9 圆锥齿轮传动
又知,
故得,
2,直齿圆锥齿轮的背锥及当量齿数
所以：
111111 c o s2/c o s/ ?? mzrPOr v ???
2/11 mzr vv ?
111 c o s/ ?zz v ?
?cos/zz v ?
d1=2Rsinδ1
d2=2Rsinδ2
1） 分度圆直径
3,直齿圆锥齿轮传动的几何参数和尺寸计算
式中,R—— 锥距,分度圆锥
顶到大端的距离。
δ1,δ2—— 分度圆锥角
（简称 分锥角 ）。
2） 传动比
i12=ω1/ω2= z2 / z1 = d2 / d1 = sinδ2/ sinδ1
当 Σ= 90° 时，即 δ1+δ2=Σ= 90°,上式可写为：
i12=ω1/ω2 = z2 / z1= d2 / d1= ctgδ1 = tanδ2
4,圆锥齿轮的变位修正
圆锥齿轮通常多采用等变位修正 。
为了保证两齿轮都不产生根切, 采用等
变位时的齿数条件亦应为,
zv1+zv2 ≥ 2zvmin
基本要求,了解齿轮机构的类型和应用, 齿廓啮合基本
定律；掌握渐开线直齿圆柱齿轮的啮合特性,
正确啮合条件, 连续传动条件等；熟悉渐开
线齿轮各部分的名称, 基本参数及几何尺寸
计算；了解切齿原理, 根切现象, 最少齿数
及变位修正和变位齿轮传动的概念；了解斜
齿圆柱齿轮, 直齿圆锥齿轮, 蜗轮蜗杆齿廓
曲面的形成, 啮合传动特点, 几何尺寸计算 。
重 点,圆柱齿轮外啮合传动的基本理论和设计计算 。
难 点, 一对轮齿的啮合过程；斜齿轮和圆锥齿轮的
当量齿轮和当量齿数 。
1,特点
1,适用的圆周速度和功率范围广；
2,效率较高；
3,传动比稳定；
4,寿命较长；
5,工作可靠性高；
6,可实现平行轴、任意角相交轴和任意角交错
轴之间的传动。
优点：
缺点：
1,要求较高的制造和安装精度、成本较高；
2,不适于远距离两轴之间的传动。
§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
2.1 根据其传动比 （ i12=ω1/ω2） 是否恒定分：
定传动比 （ i12 =常数 ） 传动的齿轮机构
—— 圆形齿轮机构 。
变传动比 （ i12按一定的规律变化 ） 传动的齿轮机构
—— 非圆形齿轮机构 。
2,分类
2.2 在定传动比中两啮合齿轮的相对运动是平面
运动还是空间运动分
? 直齿圆柱齿轮传动
? 斜齿圆柱齿轮传动
? 人字齿轮传动
2.2.1 平面齿轮机构（圆柱齿轮传动）
2.2.2 空间齿轮机构
? 圆锥齿轮传动
（伞齿轮传动）
? 交错轴斜齿轮传动
? 蜗杆传动
§ 4-2 齿轮的轮廓曲线
上式表明,互相啮合的一对齿轮, 在任一位置时的传
动比, 都与其连心线 O1O2被其啮合齿廓在接触点处的公
法线所分成的两段成反比 。这一定律称为,齿廓啮合的
基本定律 。
)2()1( pp vv ??
POv p 11)1( ???又
POv p 22)2( ??
PO
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1
2
2
1
12 ??? ?
?
要使两齿轮作定传传动，
则两齿廓必须满足的条件是：
不论两齿廓在何位置接触，过
接触点所作的两齿廓公法线必
须与两齿轮的连心线相交于一
定点。
节点
节圆
作纯滚动
1,渐开线的形成
2,渐开线的特性
§ 4-3 渐开线齿廓
基
圆
展
角2） 切点 B是点 K的曲率中
心, 而线段 BK是渐开
线在点 K 的曲率半径 。
渐开线上任一点的法
线恒与基圆相切。
?? ABBK1）
OK
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3）
K
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4） 渐开线的形状取决于
基圆大小。
5） 基圆内没有渐开线。
3.渐开线齿廓啮合特性
3.2 渐开线齿廓间的正压力方向
不变
3.3 渐开线齿廓传动具有可分性
常数???
PO
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1
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3.1 渐开线齿廓能保证定传动比传动
啮合线
§ 4-4 各部分名称
和尺寸渐开线标准齿轮
1,外齿轮
1.1 各部分的名称和符号
1,齿数：用 z表示 。
1.2 基本参数
3） 分度圆压力角：用 α 表示 。
2,模数：用 m表示 。
?
pm ?:取
zpd ???
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mzd ?
k
b
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ra r c c o s??
r
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5） 顶隙系数：用 c*表 示 。
4） 齿顶高系数：用 ha*表示 。
1.3 各部分尺寸的计算公式
1） 分度圆直径 d=mz
2） 齿顶高 ha=h*am
3） 齿根高 hf=（ h*a+c*） m
4） 齿全高 h=ha+hf=（ 2h*a+c*） m
5） 齿顶圆直径 da=d+2ha=（ z+2 h*a） m
6） 齿根圆直径 df=d － 2hf= mz － 2（ h*a+c*） m
=（ z－ 2 h*a － 2c*） m
7） 基圆直径 db= dcosα= mzcosα
8） 齿距 p =πm
9） 基圆上的齿距 ∵ 任意圆周长 = zpk=πdk
∴ 任意圆周上的齿距 pk =πdk/ z
故 pb=πdb / z =πmcosα =pcosα
10） 法向齿距 pn= pb
标准齿轮,齿顶高、齿根高均为标准值，且 s =e的齿轮。
2.齿条
1） 齿轮的各圆均变为直线,
如：分度线, 齿根线, 齿顶线；
2） 齿条齿廓上各点的压力角都相同,
大小等于齿形角；
3） 各线上的齿距相等, 即：
p =πm
4） 基本尺寸
齿条的齿顶高 ha=h*am
齿条的齿根高 hf=(h*a+c*)m
齿条的齿厚 s=πm/2
齿条的齿槽宽 e=πm/2
3,内齿轮
1） 内齿轮的齿廓是内凹的；
2） df ＞ d＞ da
3） 基本尺寸
齿顶圆直径,
da=d-2ha=（ z-2h*a） m
齿根圆直径,
df=d+2hf
= mz + 2（ h*a+c*） m
=（ z +2 h*a - 2c* ） m
1,一对渐开线齿廓正确啮合条件
m1=m2=m,α1=α2=α
渐开线直齿轮正确啮合的条件是：
两轮的模数和压力角应分别相等。
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
要使齿轮能正确啮合，必须有：
pn1= pn2
所以,pb1= pb2
又因,pb=πmcosα
所以,π m1cosα1=πm2cosα2
故,m1cosα1= m2cosα2
要满足上式, 则应：
1
2
1
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2
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12 '
'
z
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r
r
r
r
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b
b ?????
?
?
因为,pn= pb
2.1.1 齿轮正确安装的条件：
1,齿侧间隙为零
要使齿侧间隙为零，必须
使其分度圆与节圆重合。
2,具有标准顶隙
c = c *m
2.1 外啮合传动
2,齿轮传动的中心距和啮合角
1221 '' '' eses ?? 及
22211
?meses ????
在两轮的非工作
齿侧应留的微小间隙
2.1.2 标准中心距
标准齿轮正确安装的中心距
称为标准中心距。
2.1.3 啮合线、啮合角
啮合角 —— 两轮传动时其节点 P的圆周速度方向与啮合
线 N1N2之间所夹的锐角，其值等于节圆压力
角。
a=r1+r2=m(z1+z2) / 2
啮合角 α'
啮合线 —— 两轮传动时其齿廓接触
点的轨迹。渐开线齿轮
的啮合线是直线。 啮合线
2.2 齿轮与齿条啮合传动
a=r2-r1=m(z2-z1) / 2
α'≡α r ' ≡ r
2.3 内齿轮啮合传动
3．一对齿轮的啮合过程
实际啮合线,B1B2
理论啮合线,N1N2
啮合极限点,N1和 N2
4,渐开线齿轮连续传动条件
bpBB ?21
1/21 ?? bpBB??
4.1 连续传动条件
重合度
][ ?? ?? ?
设计时要求：
重合度是衡量齿轮传动质
量的指标。 许用重合度
45.1???
重合度的多少表示同时啮
合轮齿对数的多少，如：
1.齿廓切制基本原理
1.1 仿形法
§ 4-6 渐开线齿廓的切制原理
指状铣刀加工
盘状铣刀加工
仿形法加工的特点：
效率低，精度低，成
本低，适应于单件小批生
产。同一把刀具只能加工
若干个齿数的齿轮。
1.2 范成法
? 齿轮插刀
范成运动范成运动
进给运动切削运动
? 齿条插刀
? 蜗杆滚刀
范成法加工的特点：
连续切削效率高，精度高，需专门的机器
成本高，适应于大批生产。同一把刀具可加工
不同齿数的齿轮。
2,用标准齿条刀具加工标准齿轮
2.1 标准齿条形刀具
标准齿条
标准齿条形刀具
刀顶线 齿顶线
中线
标准齿条特点：
各分度线上
的齿距相等，压
力角相等，模
数相等。
2.2 用标准齿条刀具加工标准齿轮
用标准齿条刀具加工标准齿轮必须使刀具的分
度线与被加工齿轮的分度圆相切并作纯滚动。
1,渐开线齿廓的根切
用范成法加工齿轮
时，有时刀具的顶部过
多地切入了轮齿的根部，
因而将齿根的渐开线齿
廓切去一部分。这种现
象称为轮齿的 根切 。
2,产生根切的原因
在用范成法切齿时，如果刀具的齿顶线超
过了啮合线与轮坯基圆的切点，则被切齿轮必
将发生根切现象。 证明 next
§ 4-7 根切、最少齿数及变位齿轮
一、根切和最少齿数
证明：
next
3,渐开线标准齿轮不产生根切时的最少齿数
PBPN ?1
2/)s i n(s i n1 ?? mzrPN ??
?s i n/* mhPB a?
不产生根切的最少齿数为：
?? s i n/2/)s i n( * mhmz a?
?2* s i n/2 ahz ?
?2*m i n s i n/2 ahz ?
17201 m i n* ??? zh a 时，，当 ??
4,避免产生根切现象的方法
1,减少 h*a
2,增大 α
3,变位修正 —— 变位齿轮
?2*m i n s i n/2 ahz ?
1,标准齿轮的不足
1） z≦ zmax。
2） 不适用于 a'≠a = m（ z1+z2） /2
3） 小齿轮齿根较薄，啮合次
数较多，而滑动系数又较
大。所以，较容易坏。
2,变位齿轮的主要参数
1） xm —— 变位量。
2） x —— 变位系数
?
?
?
?
?
)0(
)0(
x
x
负变位
正变位
二、变位齿轮及其齿厚的确定
3,变位齿轮的几何尺寸
1） 它们的分度圆、基圆直径及齿距是相同的
mpmzddmzd b ??? ????,c o sc o s,
2） 它们的齿厚及齿槽宽是不同的
?x m t gKJ ?
正变位齿轮的齿厚为：
mx t g
KJms
)22/(
22/
?
?
??
??
π
齿槽宽为：
mx t g
KJme
)22/(
22/
?
?
??
??
π
正变位齿：厚增大
负变位齿：厚减小
3） 变位齿轮和标准齿轮的齿顶高及齿根高也是不同的
1,正变位齿轮：
hf = h*am+c*m- xm
齿根高：
正变位：齿顶高增大、齿根高减小
负变位：齿顶高减小、齿根高增大
齿顶高：
ha= h*am+xm = ( h*a+ x) m
齿顶圆半径：
ra= r+ha= r+ ( h*a+x) m
齿根圆半径：
rf= r-hf= r- (h*a+c*- x)m
1,斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成及啮合特点
§ 4-8 平行轴的 斜齿齿轮机构
1.1 斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成
β β
图 8-49
右旋 左旋
发生面上的直线 KK与基
圆柱轴线的夹角称为 基圆柱
上的螺旋角,用 βb表示；而
其与分度圆柱轴线的夹角称
为 分度柱上的螺旋角,简称
为 螺旋角,用 β表示。齿轮螺旋角有左、右旋之分。
1.2 斜齿圆柱齿轮的啮合特点
2.1 法面模数 mn
端面模数 mt
pn=ptcosβ
2,斜齿轮的基本参数
mn= mtcosβ
tt
nn
mp
mp
?
?
?
?
2.2 法面压力角 αn
端面压力角 αt
''
'
ba
catg
n ?? ab
ac ?c o s?
?? c o s ttg?
3,斜齿轮传动的几何尺寸
3.1 齿顶高 ha和齿根高 hf
ha=h*anmn hf=(h*an+cn*)mn
式中,h*an—— 法面齿顶高系数, 为标准值, h*an=1。
c*n—— 法面顶隙系数, 为标准值, c*n= 0.25。
d= zmt= zmn/ cosβ3.2 分度圆直径
3.3 中心距 a=(d1+d2) /2= mn(z1+z2) /2 cos β
3.4 刀具移动距离 Δr
?c o s nt xx ?或
?costnnnttr mxmxmx ????
4,一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件
?
?
?
?
??
21
21
??
??
啮合内
外啮合 2121,nnnn mm ?? ??
5,斜齿轮传动的重合度
btbbt pB t gpL // ?? ? ???
btbtbt
r p
L
p
L
p
LL ???????
?? ?? ??
端面重合度 轴面重合度
π d
β
β
图8-51
β
ldtg /?? ??
t
tbb
tg
ldldtg
??
????
c o s
/c o s/
?
???
nttt mBpB t g ?????? ? /s i nc o s/c o s ???
ttbt pp ?c o s?
?????? ? 2/)]()([ 2211 tattat tgtgztgtgz ??????
btbbt pB t gpL // ?? ? ???
6,斜齿圆柱齿轮的当量齿数
斜齿圆柱齿轮不产生根
切的最少齿数为,
为点的曲率半径而半轴
短椭圆的长半轴
?
?
Cdb
da
,2/
,c o s2/
?
?
?? 22 c o s2// dba ??
n
nv m
dmz ?? 2c o s2/2/2 ??故：
?3m i nm i n c o svzz ?
?3c os
z?
1,啮合性能好；
2,重合度大；
3,结构紧凑；
4,斜齿轮的主要缺点是运转时产生附加轴向推力 。
7,斜齿轮传动的主要特点
Fa=Fttanβ
例题分析
已知,z1=26,i12=5,m =3 mm,ha*=1,c*= 0.25,α=20o、
β≤ 20°, ε≥ 3,在其它条件不变的情况下，将直
齿轮改为斜齿轮。
求：该斜齿轮的 z1′,z2′,mn,B。
解,1,确定中心距 a
2,改为斜齿轮,a不变，则：
z1′= 2acos β / mn (1+i12) = 24.43
336515]2/)(a r c c o s [,21 ????????? azzm n?所以
2
)( 21 mzza ??
1212 izz ?
mmimza 2342/)51(2632/)1( 121 ??????
?c o s2
)''( 21 nmzza ??
:20 0 时＝当 ?
125525'':25':,20 121210 ?????? izzz,则取若 ?
3,确定 B，根据
?? ??? ?? r
?????? ? 2/)](')'('[,2211 tattat tgtgztgtgz ?????其中
3 5 4.16 4 6.13 ????? ?? ??? r
mmmB n 46.469425.15s i n/354.13s i n/ ?????? ????? ?
?7 3 3.20)c o s/a r c t a n ( t a n' ?? ??? nt
?722.29)]c o s2'/(c o s'a r c c o s [
)/a r c c o s (
11
111
???
?
??
?
zz
dd
t
abat
?917.22)]c o s2'/(c o s'a r c c o s [ 222 ??? ??? zz tat
6 4 6.1,???所以
:3,则为了保证 ?r?
btb pB t g /?? ? ??
1,圆锥齿轮传动的应用、特点和分类
§ 4-9 圆锥齿轮传动
又知,
故得,
2,直齿圆锥齿轮的背锥及当量齿数
所以：
111111 c o s2/c o s/ ?? mzrPOr v ???
2/11 mzr vv ?
111 c o s/ ?zz v ?
?cos/zz v ?
d1=2Rsinδ1
d2=2Rsinδ2
1） 分度圆直径
3,直齿圆锥齿轮传动的几何参数和尺寸计算
式中,R—— 锥距,分度圆锥
顶到大端的距离。
δ1,δ2—— 分度圆锥角
（简称 分锥角 ）。
2） 传动比
i12=ω1/ω2= z2 / z1 = d2 / d1 = sinδ2/ sinδ1
当 Σ= 90° 时，即 δ1+δ2=Σ= 90°,上式可写为：
i12=ω1/ω2 = z2 / z1= d2 / d1= ctgδ1 = tanδ2
4,圆锥齿轮的变位修正
圆锥齿轮通常多采用等变位修正 。
为了保证两齿轮都不产生根切, 采用等
变位时的齿数条件亦应为,
zv1+zv2 ≥ 2zvmin
