引 言
光的干涉、衍射现象，说明光是一种电磁波；光的传播过程就是无穷次波的相干迭加；光的行为可用其时空周期性 ——波长、振幅和位相来描述。因此，波动光学从光的本性出发,精确地 描述了光现象。
事实上，在很多情况下，不考虑光的波动性，不用光的时空周期性，
而代之以简单的几何方法，就可得到与实际基本相符的结论（如光的反射、
折射成像等）。
这种撇开光的波动本性，而仅以光的直线传播为基础，研究光在透明介质中有传播规律的学科称为几何光学，也称为光线光学。
由于直线传播仅是波动的近似，所以，几何光学只能用于 有限的范围 和给出 近似的结论。
第三章 几何光学的基本原理主要内容以光的直线传播为基础，用光线、波面的概念和几何方法来近似描述光的传播行为；利用费马原理和新笛卡尔符号法则，研究光在平面、球面介面上的成像规律。
教学目的：
1,牢固掌握新笛卡尔符号法则、高斯公式、牛顿公式；
2,掌握光具组基点基面的物理意义和作用；
3,能正确运用物象公式和作图求象法求解成象问题；
4,理解虚物、实象、虚象概念及其性质。
内容分析：
第一单元,§ 1～ § 4
几何光学的基本原理、实验规律第二单元,§ 5～ § 8
光在球面界面上的反射、折射及薄透镜的成象第三单元,§ 9～ § 11
理想光具组的基点基面
§ 3.1 基本概念及基本实验定律一、光线与波面
1.光线,形象 表示光的传播方向的几何线。
说明：① 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。
它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅代表光的传播方向。任何想从实际装置（如无限小的孔）
中得到“光线”的想法均是徒劳的。
② 无数光线构成光束。
2.波面,光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。
③ 光沿光线方向传播时，位相不断改变。
说明,① 波面即等相面，也是一种抽象的数学模型。
② 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球面的称为球 面光波（如点光源所发光波）；为柱面的称为柱面光波（如缝光源所发光波）
3.光线与波面的关系在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即光线与波面总是垂直的。
平面波 球面波 柱面波二、几何光学的基本实验定律
1.直线传播定律,在均匀介质中，光总是沿直线传播的。
2.反射定律：
2i
'
1i1i
1n
2n
① 反射线在入射线和法线决定的平面内；
② 反射线、入射线分居法线两侧；
③
1'1 ii?
3.折射定律：
2i
'
1i1i
1n
2n
① 折射线在入射线和法线决定的平面内；
② 折射线、入射线分居法线两侧；
③
1122 s ins in inin?
4.独立传播定律：
5.光路可逆原理：
自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。
在几何光学中，任何光路都是可逆的。
§ 3.2 费马原理极值BA dsn
光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。
一、费马原理
1.表述,光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。
2、表达式：
n
B
A
ds
BA dsn 0,?或
3.说明：
① 意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描绘光在空间两定点间的传播规律。
② 用途,A,可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理的正确性,
③ 极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取极小值。
B.推求理想成象公式。
二、费马原理的证明
1、直线传播定律：（在均匀介质中）
..:
:,
得证传播光在均匀介质中沿直线故的极小值为直线两点间直线距离最短而由公理在均匀介质中
ABds
dsndsnc o ns tn
B
A
B
A
B
A
2、折射定律,（在非均匀介质中）
i2
n2
B?
CA?
C?
C
B
A
n1
O?
O P
M
i1
X
Y
Z
如图示：Ａ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达Ｂ点。
① 折射线在入射线和法线决定的平面内只需证明折射点 C点在交线 OO?上即可,
.:
:
,
,
)(,
:
,:
'
''''''
'''
''
'',
所决定的平面内折射线在入射线和法线故上折射点应在交线即因而假设错误这与费马原理不符而非要极小值光程中斜边最长有上找到其垂足必可在则线外位于设有另一折射点利用反证法
OO
rtBCBCACAC
COO
OOC
BACBAC
② 折射线、入射线分居法线两侧
i2
n2
B?
A?
C
B
A
n1 O
O
P
M
i1
X
Y
Z
11,yx
22,yx
0,x
A,B,C点坐标如图示。沿此方向入射，必有
1xx?
入射线分居法线两侧折射线即故必有由费马原理有光程
、xxx
xxxxxx
yxx
xxn
yxx
xxn
dx
d
yxxnyxxn
CBnACn
A B C
::
00
0
:
21
221
2
2
2
2
22
2
1
2
1
11
2
2
2
22
2
1
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11
21
③
1122 s ins in inin?
1222
2211
'
2
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1
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2
2
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2
1
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1
11
2
2
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2
1
2
11
21
s ins in
0s ins in
:
inin
inin
CB
CBn
AC
CAn
yxx
xxn
yxx
xxn
dx
d
yxxnyxxn
CBnACn
ABC
由费马原理有光程
i2
n2
B?
A?
C
B
A
n1 O
O
P
M
i1
X
Y
Z
11,yx
22,yx
0,x
由于反射、折射定律是实验定律，是公认的正确的结论，所以，费马原理是正确的。
同理：也可证明反射定律。
§ 3.3 单心光束 实像和虚像成像问题是几何光学研究的主要问题之 一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。
一、单心光束、实像、虚像
1,发光点,只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。
它也是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。
若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；
若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。
2,单心光束,只有一个交点的光束，亦称同心光束。
该唯一的交点称为光束的顶点。
发散单心光束 会聚单心光束实象,有实际光线会聚的象点。
虚象,无实际光线会聚的象点。
（光束反向延长线的交点） 。
当顶点为光束的发出点时，该顶点称为 光源、物点 。
3、实像、虚像
当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为 象点 。
P?P
P?
P
实像虚像二、实物、实像、虚像的联系与区别
1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。
光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，而不是看到了光束本身；
宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是由于没有尘埃作为散射源。
对能保持单心性的光束，一个物点能且只 能形成一个像点，即物与像形成一一对应关系。
2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置
单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过实发光点 实像虚像对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是 发散光束的顶点,二者之间 没有区别。
实物、实像、虚像的区别
P P? P
A,P与 P?,P
P各处可见；而由于透镜大小的限制，
P?和 P仅在光束范围内可见。
B,P?与 P
置一白纸于 P?,P处，由于有实际光线通过,P?是亮点；由于无实际光线通过,P处看不到光点。
§ 3.4 光在平面介面上的反射和折射 光学纤维保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。
一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。
一、光在平面上的反射
D
M?M
P?
P C
BA
如图示：点光源 P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点 P?，且与 P点对称。
显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程 ——P?是 P的虚像。
∴ 平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光学系统。并且也是唯一的一个。
二、光在平面介面上的折射
1、光束单心性的破坏
x
B1
B2 n2
n1
O
y
P2
P1
P
P`
i1
i2
i1+△ i1
i2＋△ i2
A1
A2
●
●
z
介质 n1中的发光点 P发出单心光束经两面介面 XOZ折射后进入介质 n2，现取其中一微元光束（如图示），在 XOY平面内，
其折射光束的反向延长线交于
P?点，并与 OY轴交于 P1,P2
两点。
0,1x
y,0
1,0 y
0,2x'',yx
2,0 y
各点坐标如图示：经计算（见附录 3—1）可得：
2
3
1
2
2
2
2
1
1
2'
1
3
2
2
2
1'
2
22
2
2
12
1
2
2
2
12
2
2
12
1
2
1
111
11
itg
n
n
n
n
yyitg
n
n
yx
x
n
n
y
n
n
yx
n
n
y
n
n
y
x
B1
B2 n2
n1
O
y
P2
P1
P
P`
i1
i2
i1+△ i1
i2＋△ i2
A1
A2
●
●
z
将 PA1,PA2沿 OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则,P,P1,P2
三点不动，而交点 P?将画出一小圆弧（近似视为垂直于 XOY平面的一小段直线）。
所以，光束内任一条光线与 Y轴的交点均处在直线 P1P2（弧矢象线）
内，但不相交；交点 P?也处在直线
P?P?（子午象线）上，也不相交。
即：发光点经折射后，成象为两条相互垂直的象线而不是象点，称为象散。 折射后，光束的单心性已被破坏。
2、象似深度
yynny
n
n
y
。，P、、PP
y
n
n
yyyxi
'
12
1
2'
21
1
2
21
''
1
'
00
象似深度光束保持其单心性三点重合在一点和时即光束垂直入射到分界当三、全反射 光学纤维
1、全反射：
x
A3
n2
n1
O
yP
i1
i2
ic
A1 A2
..,
90,
,s ins in:
1
0
21
12
211
2
1
2
折射线光线将全部反射不再有时当可使时当而增大且有折射角随入射角的增大时当由折射定律有
c
c
ii
iii
ii
nni
n
n
i
只有反射而无折射的现象称为全折射。
临界角其中全折射条件
1
210
1
21
121
s i n90s i ns i n:
:
n
n
n
n
i
ii⑵nn⑴
c
c
2、光学纤维
i 'i cii?2
0n
1n
2n
8.11?n单根构造：内层：
外层,4.1
2?n
原理：
.
2
2
一端次全反射从一端传到另的光线在两层介质间多的光线折射出光纤
c
c
ii
ii
∴ 在顶角为 2i的园锥体内的光线，
均能在光纤内顺利传播。
2
2
2
1
12
2
2
1
1
22
1
0
1
0
'
10
s i n:
s i ns i n190s i ns i n
1s i ns i n:
nninn
n
n
iinini
ninin
ccc
故对空气中的光纤由折射定律有
直径约为几微米的单根或多根玻璃 (或透明塑料 )纤维,
说明：
.,,,.;.:;,,;,,,
21
21
可弯曲折叠防震柔软轻便互不影响可同时传输多路信号而光纤的特点的差值必须增大要扩大传播的范围播的光线范围是一定的即一定的光纤所允许传一定一定时当
B
A③
nn②
inn①
四、棱镜
E
D
CB?
1i
2i '
2i
'1i
1、偏向角、最小偏向角：
AiiAii
iiii
'
11
'
22
'
2
'
121
偏向角棱镜是一种由 多个平面界面 组合而成的光学元件。光通过棱镜时，
产生 两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。 最常用的棱镜是 三棱镜 （如图示）。
三棱镜两折射面的夹角称三棱镜 顶角 A。
A
n2
n1
出射光与入射光之间的夹角称棱镜的 偏向角?。
2、应用
棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。
所以，三棱镜也是一种分光装置。
改变光路：如右图示
2
:;
2
:,
2:
,,:
'
22
0
1
10
0
'
11
A
ii
A
i
Ai
ii
折射角入射角此时最小偏向角达最小值时即当光路对称可以证明
E
D
CB?1i
2i '
2i
'1i
A
n2
n1
2
s in
2
s in
s in
s in
:,1,
0
2
1
2
1
A
A
i
i
n
n
则由折射定律有即中若此时三棱镜处于空气
450
450
作业,P222 3,4,5
§ 3.5 光在球面介面上的反射和折射一,球面的几个概念 符号法则球面顶点,O 球面曲率中心,C
球面曲率半径,r 球面主轴：连接 O,C而得的直线。
主截面：通过主轴的平面。
2、符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。
1、基本概念：
① 线段长度均从 顶点 算起：
A、凡光线与主轴交点在顶点 右方 者线段长度数值 为正 ；
凡光线与主 轴交点在顶点 左方 者线段长度数值 为负 ；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴 上方为正,下方为负 。
② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于 900的角度；由主轴
（或法线）转向有关光线时：
A、顺时针转动，角度为正； B、逆时针转动，角度为负。
（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
沿轴线段垂轴线段新笛卡尔法则
r
C O 主轴
③ 图中出现的长度和角度只用正值。
例：球面反射成像各量的正负。 y
Q
无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，
以上符号法则均适用。
以下的讨论假设光线从左至右进行。
二、球面反射对单心性的破坏
P
A
C OP` -s`
-r
-s
-u
i -i`
-u`
l 'l
从主轴上 P点发出单心光束，其中一条光线在球面上 A点反射，反射光与主轴交于 P`点。即 P`为 P的像。
按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。 s — 物距 s`— 象距
!!,,' 不适用对?ll
c os2
c os2
:,
'2'2'
22
'
rsrrsrl
srrsrrl
A C PPAC
由余弦定理有中和在
P
A
C OP` -s`
-r
-s
-u
i -i`
-u`
l 'l
c o s2
c o s2
'2'2
22
'
'
rsrrsrn
srrsrrn
nlnl
PAP
光程对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和反射线，对应着不同的 。
l
s
l
s
rlll
rs
l
sr
rsr
l
n
srr
l
n
d
d
d
d
PAP
PAP
PAP
'
'
''
'
'
'
111
:0:
0s in2s in2
).(
,0:
'
'
'
即化简有由此处是恒定值取得极值时当由费马原理可知
对一定的球面和发光点 P（ S一定），不同的入射点对应有不同的 S?。
即,同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。
由 P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏三、近轴光线下球面反射的物像公式
1、近轴光线条件
rssl
s
l
s
rll
srsrrsrrsrl
ssrrsrrsrrl
211
:
111
:
2
2
1c o s,
''
'
'
'
2
''
2
'2'
222
得由很小时当
即：对一定的反射球面（ r一定），Ｓ ‘ 和Ｓ一一对应，而与入射点无关。
∴ 由 P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点 P?，光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。
光学上称,很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线?
在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容为高斯光学。
2、物像公式
2
' rss 有当焦点,沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于主轴上一点，该点称为反射球面的焦点 (F?)。
A
C OP` -s`
-r
-s
F` 'f?
焦距,焦点到球面顶点的距离（ ）。它同样遵守符号法则。
2'
rf?
球面反射物像公式'' 111 fss
说明,1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；
2、式中各量必须严格遵从符号法则；
3、对凸球面反射同样适用；
4、当光线从右至左时同样适用。
例题,3-1
P173[例 3-3] 一个点状物放在凹面镜前 0.05m处，凹面镜的曲率半径为 0.20m，试确定像的位置和性质,
C O
P`
s`-r
-sP
[解 ]：设光线从左至右
m
rs
rs
s
rss
mrms
1.0
2.005.02
05.02.0
2
:
211
20.005.0:
'
'
得由球面反射成像公式已知最后像是处于镜后 0.1米处的 虚像 。
当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用作业,P223 6,7,8
四、球面折射对光束单心性的破坏
c os2
c os2
:,
'2'2'
22
'
rsrrsrl
srrsrrl
A C PP A C
由余弦定理有中和在
c o s2
c o s2
'2'2'
22
''
'
rsrrsrn
srrsrrn
lnnl
PAP
光程
P
n
-u
-i1 A
-i2
n`
u`
C P`O r
-s s`
l 'l
设 n<n?
从主轴上 P点发出单心光束，其中一条光线在球面上 A点折射，折射光与主轴交于 P`点。即 P`为 P的像。
l
ns
l
sn
rl
n
l
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1
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即化简有由此处是极小值取得极值时当由费马原理可知
P
n
-u
-i1 A
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n`
u`
C P`O r
-s s`
l 'l
对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和折射线，对应着不同的 。
对一定的球面和发光点 P（ S一定），不同的入射点对应有不同的 S?。
即,同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。
由 P点所发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏五、近轴光线下球面折射的物像公式
1、物像公式,
r
nn
s
n
s
n
l
ns
l
sn
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n
l
n
srsrrsrrsrl
ssrrsrrsrrl
'
'
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'
2
''
2
'2'
222
:
1
:
2
2
1c o s,
得由很小时当
2、讨论：
① 当介质和球面一定时（ n,n?,r 一定）,S?与 S一一对应，即：在近轴光线条件下光束单心性得到保持。
② 当介质和球面一定时（ n,n?,r 一定）,co n st
r
nn'
)(:,:
'
Dr nn 屈光度单位表征球面光学性质光焦度
计算时 r 取米为单位
③ 物像公式对凹球面折射同样适用。
④ 物像共轭,P?为 P的像点，反之，当物点为 P?时，像点必在 P点；这种物像 可易性 称为物像共轭。它是 光路可逆 原理的必然结果。
其中,P,P?称为共轭点，光线 PA,AP?称为共轭光线。
⑤ 物空间与像空间：
规定：入射线在其中进行的空间 ——物空间；
折射线（或折射线）在其中进行的空间 ——像空间。
P
n n`
P`O-s s`
n`-s`
P
n
P` O-s
物空间像空间物空间 像空间S?>0:实像
S?<0:虚像虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为 n?.P OP` -s`-s
物空间 像空间
P?P s?-s
物空间像空间
S?<0:实像 S?>0:虚像
⑥ 焦点、焦距
F`
f`
A、像方焦点 F?、像方焦距 'f
像方焦距得由物像公式时当
r
nn
n
sf
r
nn
s
n
s
n
s
'
'
''
'
'
'
:
,
B、物方焦点 F、物方焦距 f
n n`
O-s s’
n
n`
O-s s’
F
-f
物方焦距得由物像公式时当
r
nn
n
sf
r
nn
s
n
s
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'
'
:
,
C、
n
n
f
f '' ∵
'' ffnn
,—”号表示
'ff 与永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。
⑦ 球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例
∵ 在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反
∴ 在数学处理方法上，可假设,nn' 物理上无意义
r
nn
s
n
s
n
n
n
f
f
'
'
'
''
:球面折射
rss
ff
211
:
'
'
球面反射六,理想成象的两个普适公式
1、高斯公式：
11
:
'
'
'
'
'
'
'
'
'
s
f
s
f
s
r
nn
n
s
r
nn
n
r
nn
s
n
s
n
变形为将物像公式高斯公式对任何理想成像过程均适用
2、牛顿公式：
P
n n`
C P`
O r
-s s`
x? f? 'xf
F
'F
若将取值原点由顶点 O改为物、像方焦点 F,F?，则有如下关系（如右图示）
''
''
'
'''
:1,ffxx
xf
f
xf
f
xfsxfs
化简可得则高斯公式变为
3、说明：
①;,1,,'''
''
'
'
三者等效在球面折射中 ffxxsfsfr nnsnsn
② 高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。
只是在不同 情况下，焦距的形式不同而已。
牛顿公式对任何理想成像过程均适用
rss
rff 211
2,'
' 高斯公式球面反射如例题 3-2
cm
s
n
r
nn
ns
r
nn
s
n
s
n
nn
cmrcms
16:
6.1,1
,2,5:
11
'
'
'
1
1
'
1
'
1
'
'
11
代入数据得由折射成像公式已知
作业,P223 10,11,12
P179 [例 3.4] 一个折射率为 1.6的玻璃哑铃，长 20cm，两端的曲率半径为
2cm。若在离哑铃左端 5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
O2
s1’
n
n`
-s1
n
O1
-s2
-s2’
P1‘
P2‘
P
[解 ],两次折射成像问题。
1,P为物对球面 O1折射成像 P1?
2,P1?为物对球面 O2折射成像
cm
s
n
r
nn
ns
nncmrcms
10:1
1,6.1,2,41620:
22
'
''
2
'
22
代入数据有同已知也可用高斯公式、牛顿公式求解！
§ 3.6 光连续在几个球面上的折射 虚物实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。
一、共轴光具组
1、定义,由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴。
反之，称为非共轴光具组。
5n4
n3n2n1n
'1P1P
'4P
'3P
'2P
2、共轴光具组的特点：
① 光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物；
② 通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才能保证整个系统最后能够成像。 ——光线是近轴的。
二、逐个球面成像法
1、定义,依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光具组的像。
5n4
n3n2n1n
'1P
1P
'4P '
3P
'2P
4P3
P 2P
12d
2S?
'1S
2、方法特点及注意事项
① 必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。
② 前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示）
③ 必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。
④ 计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）
.,12'1122 始终取正值其中 dsds
三、虚物
'1P
1P
'4P '
3P
'2P
5n4
n3n2n1n
4P3
P 2P
1、定义：
会聚的入射光束的顶点，称为 虚物 。如上图中 P4
发散的入射光束的顶点，称为 实物 。如上图中 P1,P2和 P3。
2、说明,① 实物、虚物的判断依据
A、入射光束,发散 ——实物； 会聚 ——虚物
B,物所处空间,物空间 ——实物； 像空间 ——虚物
② 虚物处永远没有光线通过。（实物不一定，如 P1,P2有,P3 无）
④ 虚物仍遵从符号法则。（如上图中 S4>0）
③ 虚物处 像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故折射率就取物方折射率。（与虚像类似。如上图中 P4：物方折射率为 n4
§ 3.7 薄透镜一、透镜
1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个平面所形成的薄片。通常做成园形。
2、分类：按表面形状分
① 凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。
1o 2o2c
1r
2r
2c 2o 1c1o
2r
1r
2c
1o 2o
1c
2r
1r
② 凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。
弯凸平凸双凸
1c 2c
1o 2o
1r? 2r
1o 2o1c
1r?
2r
1c2c
1o 2o
1r?
2r?
双凹 平凹 弯凹
3、有关透镜的几个概念：
主轴,两球面曲率中心的连线。 ——
21cc 2c 2o 1c1o
2r
1r
主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。
注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了。
孔径,垂直于主轴方向透镜的直径。
厚度,两球面在主轴上的间距。 ——
21oo
当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为 薄透镜 ；
当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为 厚透镜 。
二、近轴条件下薄透镜的物像公式
2c 2o 1c1o
2n1n
n
P 'P
s? 'st
2r? 1r
A 'A
''P
''s
1
11
'' r
nn
s
n
s
n第一个球面：
2
2
1
11
'
2
r
nn
r
nn
s
n
s
n
在近轴光线条件下，对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（ 逐个球面成像法）,
1、物像公式第二个球面面：
2
2
'''
2
r
nn
ts
n
s
n
对薄透镜，,略去 后，两式相加得：'',0 stt 即 t
薄透镜物像公式
2、讨论：
① 对薄透镜 重合为一点,称为 光心,它是薄透镜中所有长度量的 取值原点 。
21,0 oot 和?
o
.,21 点的光线不改变方向通过光心时当 onn?
② 当光线从左至右时：
.00;00 '' 虚像实像实物虚物 ssss
当光线从右至左时，成像公式同样成立：
.00;00 '' 实像虚像虚物实物 ssss
③ 薄透镜的会聚和发散，不仅与其形状有关，还与两侧的介质有关：
.,,;,,
::
'
'
'
21
凸透镜是发散镜凹透镜是会聚镜时当凹透镜是发散镜凸透镜是会聚镜时当则设
nn
nn
nnn
空气中的薄透镜
④ 高斯公式
2
2
1
1
2
''
2
2
1
1
1
2
2
1
11
'
2
lim
lim:
:
r
nn
r
nn
n
sf
r
nn
r
nn
n
sf
r
nn
r
nn
s
n
s
n
像方焦距物方焦距得物像公式由
's
s
薄透镜高斯公式物像公式变为1,'
'
sfsf
''
' 111:
fssff 高斯公式变形为当透镜两边介质相同时
⑥ 薄透镜简化模型
⑤ 牛顿公式 仍成立。ffxx ''
o
F 'F'ff?
o
F'F
'f? f
凸透镜 凹透镜
1、定义：
在近轴光线和近轴物的条件下，像的横向大小与物的横向大小之比。
三、横向放大率?
y
y '
2、说明：
oF
'F'f
f?
'y?
y s?
x? s
x 'P
P
Q
'Q? 对处于同种介质中的薄透镜,
21 nn?
'
'
'''
'',
f
x
x
f
s
s
s
s
y
y
OQPP O Q
也可表示为相似于
像的性质判断：
缩小像放大像倒立像正立像
11
00
四、薄透镜作图求像法
1、主轴外的近轴物点作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。
方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即为所求像点。
'Q
①
②
'Q
①
②
oF
'F
Q●
③
o F'F
Q
●
③
2、主轴上的物点
物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点 F且与主轴垂直的平面。
像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点 F?且与主轴垂直的平面。
付轴,焦平面上任一点与光心 O的连线。有无穷条。
焦平面的性质：
OF`
P`
O
P`
F`
OP
F O P
F
物方焦平面像方焦平面利用物方焦平面 第一条第二条付轴：
P’
OP FP‘
B
A
利用像方焦平面
OP F’
P’B
A
OP F
P‘
B
A
作业,P224 13,16,17,19—做在书上
OP F
B
A
§ 3.8 近轴物点近轴光线成像条件前几节研究了在近轴光线条件下，主轴上的发光物点的反射和折射成像规律。实际的物体总有一定的大小，它可以看成由无数个发光物点构成。这些发光物点有的在主轴上，有的在主轴外。因此，研究具有一定大小的物体的成像，就归结为研究主轴外的发光物点的反射、折射成像。
一、费马原理的推论
P
Q
y
-x
A
O
hP`
Q`
-y`
费马原理：光在空间两定点间传播时，光程总是取极值。
两点一定，其极值为一个 确定值 。
无论这两点间有多少条实际光路，每条光路（即光线）的光程都必须且只能等于这个 确定值 。
要使物体上的任一点 Q（定点）
理想成像于 Q?（另一定点），即从 Q点发出的所有光线经反射或折射后均会聚于 Q?，必须满足：
从 Q点发出的所有光线到达 Q?时，光程均相等。 ——费马原理的推论等光程成像原理,适用于所有理想成像过程二、近轴物近轴光线球面反射成像
P
Q
y
-x
A
O
hP`
Q`
-y`
s?
's?
A’
1、物像公式由近轴物点 Q发出的光线，一条在球面顶点 O处反射，另一条在球面任意位置 A点处反射，两反射光交于
Q`点。
由图可求得从 Q点到 Q`点的光程为：
'
2'
'
2
2'2'22'
22
'
s
yh
xs
s
hy
xs
xsyhxshyAQQA
Q A Q
rss
h
s
y
s
y
h
s
y
s
y
ss
xshyxshy
Q A Q
Q A Q
2
`
11
2`
`
`2
`
2
`
,
)()()()(
222
''
'
' 并略去高次项有展开用二项式定理将对近轴物点和近轴光线当反射点 A的位置不同时,h值将不同，因而会得到不同的光程值。
若要使 Q点理想成像于 Q‘ 点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，
即其光程与 h无关。为此令上式中所有含 h的项的系数为 0，有：
②sysy①rss 00211 '
'
'
2、说明
⑴ 上述①式实为,即主轴外任一物点经球面反射的成像公式，由于 Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。
rss
211
'
⑵ 此公式是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。
⑶ 当轴上物点 P和近轴物点 Q具有同一 物距 s 值时，轴上象点 P`和近轴象点 Q`必有同一象距 s`值，物和象具有几何相似性，即近轴光条件下近轴物可实现理想成象。
⑷ 上述②式反映了物与像的大小关系,可由图中几何关系直接得到。 s
s
y
y ''
⑸ 从公式推导中可看出：主轴外物点要理想成像，必须满足近轴条件：
A、光线必须是近轴的； B、物点必须是近轴的。
三、近轴物近轴光线球面折射成像
1、物像公式
P
Q
y
O
A
h
+x
-s s`
P`
Q`
-y`
n n`
近轴物点 Q发出的两条光线分别在球面的 O点和 A点发生折射，折射光交于
Q`点。
2'2''22
''
'
'
xshynxshyn
AQnQAn
QQ
Q A Q
的光程为：形类似，从同近轴物球面反射的情在近轴光线和近轴物点条件下，用二项式定理展开并略去高次项得：
r
nn
s
n
s
nh
s
yn
s
nyh
s
yn
s
nysnns
Q A Q
'
'
'2
'
''
'
2'2
''
22
'
2'
当折射点 A的位置不同时,h值将不同，因而会得到不同的光程值。
若要使 Q点理想成像于 Q‘ 点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，
即其光程与 h无关。为此令上式中所有含 h的项的系数为 0，有：
②r nnsnsn①s ynsny 00
'
'
'
'
''
2、说明：
⑴ 上述②式实为,即主轴外任一物点经球面折射的成像公式，由于 Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。
所以，它 是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。
r
nn
s
n
s
n '
'
'
⑵ 由上述公式可知：若近轴线状物垂直于主轴，则其像为线状也垂直于主轴，满足理想成像条件。
⑶ 上述①式反映了物与像的大小关系：
'
''
n
n
s
s
y
y
s
s
y
y
nn
''
'
:
,:
关系球面反射的物像的大小则此公式变成若令例题 3-3
用一个焦距为 20cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜位于透镜右边 10cm处，今置高为 1cm的物体于透镜左方 10cm处（系统处于空气中），（ 1）求最后成像的大小和性质；（ 2）作出准确的光路图。
[解 ]：此题属三次成像问题。如图示。
y1
y3
y2
y
F1 O1 F1'O2
1s?
'1s?
2s?
'2s
3s
'3s?
（ 1）物 y对凸透镜 s1= -10cm f1'=20cm
∴ 由高斯公式有：
cmfs fss 202010 20)10('
11
'
11'
1
β1=s1'/s1=(-20)/(-10)=2
y1=β1y=2× 1=2cm
（ 2） y1对平面镜 s2= -10-20= -30cm
∴ s2'= -s2=30cm β2=1 y2=2cm
（ 3） y2对凸透镜 s3=30+10=40cm f3'= -20cm
∴ 有 cm
fs
fss 40
2040
)20(40
'
33
'
33'
3
β3=s3'/s3=(-40)/40= -1 y3=β3y2=(-1)× 2= -2cm
∴ 最后成像在凸透镜左方 40cm处，为放大、倒立的实像。
光路图如下：
yy1
y3
y2
F1 O1 F1'O2
作业,P226 25,27
§ 3.9 理想光具组的基点基面
对由多个球面组成的共轴光具组，在近轴条件下，可采用逐个球面成像法，应用单个球面的成像公式依次求解，得到最后像。事实上，
实际共轴光具组由众多的球面所构成且球面与球面间相对位置关系并不知道，逐个球面成像法用起来并非简单、有效。能有更简单有效的处理方法吗？
由薄透镜成像的计算法和作图法可知：只要知道了其几个基本位置
（取值原点 —光心、焦点），就可相当简单地求出像的位置和性质。
这为求解多球面的共轴光具组问题，给予了启示。
将复杂共轴光具组简单化，找出其类似于薄透镜光心和焦点的基本位置，用类似于薄透镜求像的方法，在根本不考虑光一其内部实际的传播路径的情况下，解决复杂共轴光具组求像问题。这是以下几节在解决的问题。
为解决这一问题高斯提出了理想光具组的模型，建立了光具组的一般理论。
一、理想光具组
1、定义：能保持光束单心性，保持像和物在几何上的相似性的光具组，
即能理想成像的光具组。
2、说明：
① 在高斯理想光具组中，物方的任一点、线、面，在像方均存在与其共轭的点、线、面。
② 高斯理想光具组理论就是建立点与点、直线与直线、平面与平面之间的共轭关系的纯几何理论。
③ 理想光具组的近轴成像理论称为高斯光学；几何光学原理称为高斯光学原理。
3、共轴光具组与理想光具组：
在近轴区域内，实际光具组可看成理想光具组。
在高斯理论中，除满足近轴条件外，并不要求光具组是“薄”的。
研究光具组的成像问题，只需建立一系列的基点和基面（如主点、焦点、
主平面和焦平面），利用它们就可描述光具组的主要光学特性，而不用去考虑光具组中的实际光路，使问题大大简化。
由两个球面所构成的厚透镜是最简单的共轴光具组。由构成它的单球面的基点可求出整个光具组的基点基面位置。同样，采用逐个球面成像的思想，可求出任意多个球面所构成的共轴光具组的基点位置。
二、空气中的厚透镜
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r如图示,F,F?为厚透镜的焦点,Q?为 Q经厚透镜所成的像。在近轴条件下使用逐个球面成像法求解。
221
'
1
2
'
1
2
'
1
'
1
'
1
1111
:
2,1
11
:2,
11
:1
nr
n
fnr
n
f
ff
r
n
ts
n
sr
n
ss
n
Q
则的物方焦距为球面的像方焦距为设球面成像其像为物对球面成像对球面
。，Os，Os
tffn
ftf
s
tffn
ftf
s
tffn
ftf
ss
s
f
n
ts
n
s
f
n
ss
n
用上式求像相当复杂为原点是以为原点是以由于有消去两式中的上述成像公式变为
2
'
1
2
'
1
2
2
'
1'
2
'
1
2
'
1
2
'
1
'
12'
'
1
2
'
1
'
'
1
'
1
0
1
1
:
研究发现，只要选择适当的取值原点，可使上式简化为与薄透镜相似形式的成像公式。现将物方取值原点从 O1
移至 H点，像方取值原点从
O2移至 H?点，上式可变为：
'
2
'
1''',:
111 HOpHOp
fpsps 其中
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r
'pp
'HH
'ff?
'1
'
'
2
'
2
'
1
2
'
1':
f
tfp
f
tfp
tffn
fff
可以求得
。
f
整体的像方焦距是厚透镜作为一个'
s? 's
.
111
:
:,
:,
''
''
式形式相同与空气中薄透镜成像公成像公式为像距像方取值原点物距物方取值原点原点移动后如图示
fss
s：H
s：H
：，
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r
'pp
'HH
'f?
三、厚透镜的基点和基面
1、主点：取值原点，类似于薄透镜的光心。
物方主点 H,满足高斯公式的物方取值原点
像方主点 H?：满足高斯公式的像方取值原点
2、主平面：过主点垂直于主轴的平面。
物方主平面：在近轴条件下，过物方主点 H且垂直于主轴的平面
像方主平面：在近轴条件下，过像方主点 H?且垂直于主轴的平面
3、焦点：
像方焦点 F?：平行于主轴的光线经光具组后与主轴的交点 (像点 )
物方焦点 F：主轴上一点发出的光线经光具组后成为一束平行光束，该点称为物方焦点。
4、焦平面：过焦点垂直于主轴的平面。
物方焦平面：在近轴条件下，过物方焦点 F且垂直于主轴的平面
像方焦平面：在近轴条件下，过像方焦点 F?且垂直于主轴的平面
5、焦距：主点到焦点的距离。
物方焦距 f：物方焦点 F到物方主点 H的距离
像方焦距 f?：像方焦点 F?到像方主点 H?的距离由此，共轴光具组
（如厚透镜）的 简化模型 为：
利用此模型，在近轴条件下，不必考虑内部实际光路，直接应用薄透镜的高斯公式或牛顿公式，由物求得最后像。
6、节点（ K,K?）：从物方节点入射的光线，从像方节点出射，且方向不变（ u=u?)。
F 'QQ H 'H 'F
f?
'ss?
'fx? 'x
u?
'u?'K
'H
H K
四、复合光具组的基点和基面对由两个以上的多个球面组成的共轴光具组（称为复合光具组），
以厚透镜的研究方法为基础，前两个球面合成一个厚透镜，求出其基点，再与第三个球面合成，求出其基点,……,最后求出的即为整个复合光具组的基点。再用高斯公式或牛顿公式即可求出其最后像。
具体研究过程见教材 P203—206。
21'
2
'
1
'
'
'
2
'
1
111
,
:
,
fff
：f，
）（ff
或记为满足其最后的像方焦距具组时紧挨在一起构成复合光如两个薄透镜的光具组分别为当空气中两个像方焦距一个重要结论
§ 3.10 理想光具组的放大率 基点基面的性质
n
ts
s
O
ns
s
O
'
1
'
22
'
1
11
:
1
:
折射成像球面折射成像球面
sts ss '1
''
1
21,率整个光具组的横向放大
x
f
f
x
sf
f
f
s
，HH
'
'
'
'
'
:
:
1
,
或用牛顿公式化为用高斯公式化为横向放大率代换并用整个光具组的参量移动坐标原点至主点一、理想光具组的横向放大率以厚透镜为例：
1、公式在近轴条件下适用；
2、物、像方分别以 H、
H?为取值原点；
s? 's
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r
'pp
'HH
'ff?
x? 'x
二、基点和基面的性质
1、主点和主平面
① 物、像方主点 H,H?是一对共轭点；
② 物、像主主平面是共轭平面，且面上任一对共轭点到主轴的距离相等；
.,:,0,0
111
''
'
'
'
'
''
HHss
fss ssffss
必成像于像方主点的物点处于物方主点即必有时当为一定值一定的光具组有由
相等像共轭点到主轴的距离该物又上即像必位于像方主平面有由上任上位置时当物点位于物方主平面
、
x
f
fxffxx
fx
1
:
,
''''
入射到物方主平面上一点 M
的任一条光线，将从像方主平面上等高点 M?处出射。
'QQ H 'H
M 'M
2、焦点、焦平面
① 平行于主轴的光线经光具组后会聚于像方焦点（如图 1）
② 过物方焦点的光线经光具组后平行于主轴（如图 2）
③ 一束倾斜平行光经光具组后交于像方焦平面上一点（如图 3）
④ 物方主平面上任一点发出的光线经光具组后成为一束倾斜平行光（如图 4）
'FH
'H
图 1
F H 'H
图 2
'F
H 'HK
'K
图 3
F H 'HK
'K
图 4
3、节点和节平面
① 从物方节点入射的光线，将从像方节点出射，且传播方向不变（ u=u?)
u?
'K
'H
H 'u?K
② 两节点处角放大率 1'
u
u?
③ 当光具组两边为同一介质时，节点与主点重合。
（ K与 H重合,K?与 H?重合）
角放大率,在近轴条件下，任一条光线和主轴的夹角在通过光具组前后的比值。
utg
utg
u
u
u
u
''
'
,
在近轴条件下描述了光束的会聚比
三、理想光具组的角放大率
'uu?
'MM
'HH
'QQ
s? 's
'''
'
''
'
''
x
f
f
x
s
s
utg
utg
S
HM
utg
S
MH
utg
HMMH
或可得在近轴条件下由由于
F 'KKH 'H 'F
四、理想光具组的简化模型
§ 3.11 理想光具组的作图求像法一、对主轴外的物点取下述三条特殊光线中的两条即可
Q
'Q
P F
'KK
H 'H
'F 'P
①
②
③
二、对主轴上的物点
B
P F
'KK
H 'H 'F
'P
①
②
'MM
1、利用物方焦平面
2、利用像方焦平面
B
P F
'KK
H 'H 'F
'P
①
②
'MM
例题 3-4
已知共轴球面系统的基点，作出物 PQ的共轭像 P?Q?。
HH'
F'
FP
Q
P'
Q'
作业,P226 26（作图）,29,30
第三章 几何光学小结一、目的要求：
⑴ 理解光的传播和成像的基本概念（光线、波面、单心光束、实象、虚象和虚物）。
⑵ 理解几何光学的几个基本实验定律（直线传播定律、反射定律、折射定律和独立传播定律）；
⑶ 深刻理解费马原理的物理意义，明确其在几何光学中的重要地位；
⑷ 掌握平面反射成象和折射成象的规律；掌握象似深度的概念和计算方法；了解临界角概念，了解光学纤维的结构和应用。
⑸ 了解棱镜的折射和色散，理解棱镜的最小偏向角。
⑹ 熟练运用新笛卡儿符号法则；理解理想成像条件。
⑺ 重点掌握球面光学系统（球面镜、折射球面和薄透镜）的近轴成象规律和任意光线作图求像法，能熟练地求物、象共轭点的位置；
⑻ 掌握复杂光学系统的逐次成象法；扼要介绍共轴球面系统，着重理解基点和基面的物理意义和作图法。
重点：费马原理、符号法则、薄透镜物象公式和作图求像法。
难点：符号法则的正确使用、共轴球面系统的基点和基面。
二、基本概念和基本公式（自行总结）
三、基本方法：
1、计算法 （含 逐次成象法）； 2、作图法：（薄透镜和共轴光具组）
光的干涉、衍射现象，说明光是一种电磁波；光的传播过程就是无穷次波的相干迭加；光的行为可用其时空周期性 ——波长、振幅和位相来描述。因此，波动光学从光的本性出发,精确地 描述了光现象。
事实上，在很多情况下，不考虑光的波动性，不用光的时空周期性，
而代之以简单的几何方法，就可得到与实际基本相符的结论（如光的反射、
折射成像等）。
这种撇开光的波动本性，而仅以光的直线传播为基础，研究光在透明介质中有传播规律的学科称为几何光学，也称为光线光学。
由于直线传播仅是波动的近似，所以，几何光学只能用于 有限的范围 和给出 近似的结论。
第三章 几何光学的基本原理主要内容以光的直线传播为基础，用光线、波面的概念和几何方法来近似描述光的传播行为；利用费马原理和新笛卡尔符号法则，研究光在平面、球面介面上的成像规律。
教学目的：
1,牢固掌握新笛卡尔符号法则、高斯公式、牛顿公式；
2,掌握光具组基点基面的物理意义和作用；
3,能正确运用物象公式和作图求象法求解成象问题；
4,理解虚物、实象、虚象概念及其性质。
内容分析：
第一单元,§ 1～ § 4
几何光学的基本原理、实验规律第二单元,§ 5～ § 8
光在球面界面上的反射、折射及薄透镜的成象第三单元,§ 9～ § 11
理想光具组的基点基面
§ 3.1 基本概念及基本实验定律一、光线与波面
1.光线,形象 表示光的传播方向的几何线。
说明：① 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。
它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅代表光的传播方向。任何想从实际装置（如无限小的孔）
中得到“光线”的想法均是徒劳的。
② 无数光线构成光束。
2.波面,光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。
③ 光沿光线方向传播时，位相不断改变。
说明,① 波面即等相面，也是一种抽象的数学模型。
② 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球面的称为球 面光波（如点光源所发光波）；为柱面的称为柱面光波（如缝光源所发光波）
3.光线与波面的关系在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即光线与波面总是垂直的。
平面波 球面波 柱面波二、几何光学的基本实验定律
1.直线传播定律,在均匀介质中，光总是沿直线传播的。
2.反射定律：
2i
'
1i1i
1n
2n
① 反射线在入射线和法线决定的平面内；
② 反射线、入射线分居法线两侧；
③
1'1 ii?
3.折射定律：
2i
'
1i1i
1n
2n
① 折射线在入射线和法线决定的平面内；
② 折射线、入射线分居法线两侧；
③
1122 s ins in inin?
4.独立传播定律：
5.光路可逆原理：
自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。
在几何光学中，任何光路都是可逆的。
§ 3.2 费马原理极值BA dsn
光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。
一、费马原理
1.表述,光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。
2、表达式：
n
B
A
ds
BA dsn 0,?或
3.说明：
① 意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描绘光在空间两定点间的传播规律。
② 用途,A,可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理的正确性,
③ 极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取极小值。
B.推求理想成象公式。
二、费马原理的证明
1、直线传播定律：（在均匀介质中）
..:
:,
得证传播光在均匀介质中沿直线故的极小值为直线两点间直线距离最短而由公理在均匀介质中
ABds
dsndsnc o ns tn
B
A
B
A
B
A
2、折射定律,（在非均匀介质中）
i2
n2
B?
CA?
C?
C
B
A
n1
O?
O P
M
i1
X
Y
Z
如图示：Ａ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达Ｂ点。
① 折射线在入射线和法线决定的平面内只需证明折射点 C点在交线 OO?上即可,
.:
:
,
,
)(,
:
,:
'
''''''
'''
''
'',
所决定的平面内折射线在入射线和法线故上折射点应在交线即因而假设错误这与费马原理不符而非要极小值光程中斜边最长有上找到其垂足必可在则线外位于设有另一折射点利用反证法
OO
rtBCBCACAC
COO
OOC
BACBAC
② 折射线、入射线分居法线两侧
i2
n2
B?
A?
C
B
A
n1 O
O
P
M
i1
X
Y
Z
11,yx
22,yx
0,x
A,B,C点坐标如图示。沿此方向入射，必有
1xx?
入射线分居法线两侧折射线即故必有由费马原理有光程
、xxx
xxxxxx
yxx
xxn
yxx
xxn
dx
d
yxxnyxxn
CBnACn
A B C
::
00
0
:
21
221
2
2
2
2
22
2
1
2
1
11
2
2
2
22
2
1
2
11
21
③
1122 s ins in inin?
1222
2211
'
2
'
1
2
2
2
2
22
2
1
2
1
11
2
2
2
22
2
1
2
11
21
s ins in
0s ins in
:
inin
inin
CB
CBn
AC
CAn
yxx
xxn
yxx
xxn
dx
d
yxxnyxxn
CBnACn
ABC
由费马原理有光程
i2
n2
B?
A?
C
B
A
n1 O
O
P
M
i1
X
Y
Z
11,yx
22,yx
0,x
由于反射、折射定律是实验定律，是公认的正确的结论，所以，费马原理是正确的。
同理：也可证明反射定律。
§ 3.3 单心光束 实像和虚像成像问题是几何光学研究的主要问题之 一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。
一、单心光束、实像、虚像
1,发光点,只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。
它也是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。
若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；
若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。
2,单心光束,只有一个交点的光束，亦称同心光束。
该唯一的交点称为光束的顶点。
发散单心光束 会聚单心光束实象,有实际光线会聚的象点。
虚象,无实际光线会聚的象点。
（光束反向延长线的交点） 。
当顶点为光束的发出点时，该顶点称为 光源、物点 。
3、实像、虚像
当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为 象点 。
P?P
P?
P
实像虚像二、实物、实像、虚像的联系与区别
1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。
光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，而不是看到了光束本身；
宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是由于没有尘埃作为散射源。
对能保持单心性的光束，一个物点能且只 能形成一个像点，即物与像形成一一对应关系。
2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置
单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过实发光点 实像虚像对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是 发散光束的顶点,二者之间 没有区别。
实物、实像、虚像的区别
P P? P
A,P与 P?,P
P各处可见；而由于透镜大小的限制，
P?和 P仅在光束范围内可见。
B,P?与 P
置一白纸于 P?,P处，由于有实际光线通过,P?是亮点；由于无实际光线通过,P处看不到光点。
§ 3.4 光在平面介面上的反射和折射 光学纤维保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。
一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。
一、光在平面上的反射
D
M?M
P?
P C
BA
如图示：点光源 P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点 P?，且与 P点对称。
显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程 ——P?是 P的虚像。
∴ 平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光学系统。并且也是唯一的一个。
二、光在平面介面上的折射
1、光束单心性的破坏
x
B1
B2 n2
n1
O
y
P2
P1
P
P`
i1
i2
i1+△ i1
i2＋△ i2
A1
A2
●
●
z
介质 n1中的发光点 P发出单心光束经两面介面 XOZ折射后进入介质 n2，现取其中一微元光束（如图示），在 XOY平面内，
其折射光束的反向延长线交于
P?点，并与 OY轴交于 P1,P2
两点。
0,1x
y,0
1,0 y
0,2x'',yx
2,0 y
各点坐标如图示：经计算（见附录 3—1）可得：
2
3
1
2
2
2
2
1
1
2'
1
3
2
2
2
1'
2
22
2
2
12
1
2
2
2
12
2
2
12
1
2
1
111
11
itg
n
n
n
n
yyitg
n
n
yx
x
n
n
y
n
n
yx
n
n
y
n
n
y
x
B1
B2 n2
n1
O
y
P2
P1
P
P`
i1
i2
i1+△ i1
i2＋△ i2
A1
A2
●
●
z
将 PA1,PA2沿 OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则,P,P1,P2
三点不动，而交点 P?将画出一小圆弧（近似视为垂直于 XOY平面的一小段直线）。
所以，光束内任一条光线与 Y轴的交点均处在直线 P1P2（弧矢象线）
内，但不相交；交点 P?也处在直线
P?P?（子午象线）上，也不相交。
即：发光点经折射后，成象为两条相互垂直的象线而不是象点，称为象散。 折射后，光束的单心性已被破坏。
2、象似深度
yynny
n
n
y
。，P、、PP
y
n
n
yyyxi
'
12
1
2'
21
1
2
21
''
1
'
00
象似深度光束保持其单心性三点重合在一点和时即光束垂直入射到分界当三、全反射 光学纤维
1、全反射：
x
A3
n2
n1
O
yP
i1
i2
ic
A1 A2
..,
90,
,s ins in:
1
0
21
12
211
2
1
2
折射线光线将全部反射不再有时当可使时当而增大且有折射角随入射角的增大时当由折射定律有
c
c
ii
iii
ii
nni
n
n
i
只有反射而无折射的现象称为全折射。
临界角其中全折射条件
1
210
1
21
121
s i n90s i ns i n:
:
n
n
n
n
i
ii⑵nn⑴
c
c
2、光学纤维
i 'i cii?2
0n
1n
2n
8.11?n单根构造：内层：
外层,4.1
2?n
原理：
.
2
2
一端次全反射从一端传到另的光线在两层介质间多的光线折射出光纤
c
c
ii
ii
∴ 在顶角为 2i的园锥体内的光线，
均能在光纤内顺利传播。
2
2
2
1
12
2
2
1
1
22
1
0
1
0
'
10
s i n:
s i ns i n190s i ns i n
1s i ns i n:
nninn
n
n
iinini
ninin
ccc
故对空气中的光纤由折射定律有
直径约为几微米的单根或多根玻璃 (或透明塑料 )纤维,
说明：
.,,,.;.:;,,;,,,
21
21
可弯曲折叠防震柔软轻便互不影响可同时传输多路信号而光纤的特点的差值必须增大要扩大传播的范围播的光线范围是一定的即一定的光纤所允许传一定一定时当
B
A③
nn②
inn①
四、棱镜
E
D
CB?
1i
2i '
2i
'1i
1、偏向角、最小偏向角：
AiiAii
iiii
'
11
'
22
'
2
'
121
偏向角棱镜是一种由 多个平面界面 组合而成的光学元件。光通过棱镜时，
产生 两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。 最常用的棱镜是 三棱镜 （如图示）。
三棱镜两折射面的夹角称三棱镜 顶角 A。
A
n2
n1
出射光与入射光之间的夹角称棱镜的 偏向角?。
2、应用
棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。
所以，三棱镜也是一种分光装置。
改变光路：如右图示
2
:;
2
:,
2:
,,:
'
22
0
1
10
0
'
11
A
ii
A
i
Ai
ii
折射角入射角此时最小偏向角达最小值时即当光路对称可以证明
E
D
CB?1i
2i '
2i
'1i
A
n2
n1
2
s in
2
s in
s in
s in
:,1,
0
2
1
2
1
A
A
i
i
n
n
则由折射定律有即中若此时三棱镜处于空气
450
450
作业,P222 3,4,5
§ 3.5 光在球面介面上的反射和折射一,球面的几个概念 符号法则球面顶点,O 球面曲率中心,C
球面曲率半径,r 球面主轴：连接 O,C而得的直线。
主截面：通过主轴的平面。
2、符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。
1、基本概念：
① 线段长度均从 顶点 算起：
A、凡光线与主轴交点在顶点 右方 者线段长度数值 为正 ；
凡光线与主 轴交点在顶点 左方 者线段长度数值 为负 ；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴 上方为正,下方为负 。
② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于 900的角度；由主轴
（或法线）转向有关光线时：
A、顺时针转动，角度为正； B、逆时针转动，角度为负。
（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
沿轴线段垂轴线段新笛卡尔法则
r
C O 主轴
③ 图中出现的长度和角度只用正值。
例：球面反射成像各量的正负。 y
Q
无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，
以上符号法则均适用。
以下的讨论假设光线从左至右进行。
二、球面反射对单心性的破坏
P
A
C OP` -s`
-r
-s
-u
i -i`
-u`
l 'l
从主轴上 P点发出单心光束，其中一条光线在球面上 A点反射，反射光与主轴交于 P`点。即 P`为 P的像。
按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。 s — 物距 s`— 象距
!!,,' 不适用对?ll
c os2
c os2
:,
'2'2'
22
'
rsrrsrl
srrsrrl
A C PPAC
由余弦定理有中和在
P
A
C OP` -s`
-r
-s
-u
i -i`
-u`
l 'l
c o s2
c o s2
'2'2
22
'
'
rsrrsrn
srrsrrn
nlnl
PAP
光程对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和反射线，对应着不同的 。
l
s
l
s
rlll
rs
l
sr
rsr
l
n
srr
l
n
d
d
d
d
PAP
PAP
PAP
'
'
''
'
'
'
111
:0:
0s in2s in2
).(
,0:
'
'
'
即化简有由此处是恒定值取得极值时当由费马原理可知
对一定的球面和发光点 P（ S一定），不同的入射点对应有不同的 S?。
即,同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。
由 P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏三、近轴光线下球面反射的物像公式
1、近轴光线条件
rssl
s
l
s
rll
srsrrsrrsrl
ssrrsrrsrrl
211
:
111
:
2
2
1c o s,
''
'
'
'
2
''
2
'2'
222
得由很小时当
即：对一定的反射球面（ r一定），Ｓ ‘ 和Ｓ一一对应，而与入射点无关。
∴ 由 P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点 P?，光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。
光学上称,很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线?
在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容为高斯光学。
2、物像公式
2
' rss 有当焦点,沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于主轴上一点，该点称为反射球面的焦点 (F?)。
A
C OP` -s`
-r
-s
F` 'f?
焦距,焦点到球面顶点的距离（ ）。它同样遵守符号法则。
2'
rf?
球面反射物像公式'' 111 fss
说明,1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；
2、式中各量必须严格遵从符号法则；
3、对凸球面反射同样适用；
4、当光线从右至左时同样适用。
例题,3-1
P173[例 3-3] 一个点状物放在凹面镜前 0.05m处，凹面镜的曲率半径为 0.20m，试确定像的位置和性质,
C O
P`
s`-r
-sP
[解 ]：设光线从左至右
m
rs
rs
s
rss
mrms
1.0
2.005.02
05.02.0
2
:
211
20.005.0:
'
'
得由球面反射成像公式已知最后像是处于镜后 0.1米处的 虚像 。
当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用作业,P223 6,7,8
四、球面折射对光束单心性的破坏
c os2
c os2
:,
'2'2'
22
'
rsrrsrl
srrsrrl
A C PP A C
由余弦定理有中和在
c o s2
c o s2
'2'2'
22
''
'
rsrrsrn
srrsrrn
lnnl
PAP
光程
P
n
-u
-i1 A
-i2
n`
u`
C P`O r
-s s`
l 'l
设 n<n?
从主轴上 P点发出单心光束，其中一条光线在球面上 A点折射，折射光与主轴交于 P`点。即 P`为 P的像。
l
ns
l
sn
rl
n
l
n
l
rsn
l
srn
rsr
l
n
srr
l
n
d
d
d
d
PAP
PAP
PAP
'
''
'
'
'
''
'
'
'
1
:0
)()(
:
0s in2s in2
.
,0:
'
'
'
即化简有由此处是极小值取得极值时当由费马原理可知
P
n
-u
-i1 A
-i2
n`
u`
C P`O r
-s s`
l 'l
对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和折射线，对应着不同的 。
对一定的球面和发光点 P（ S一定），不同的入射点对应有不同的 S?。
即,同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。
由 P点所发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏五、近轴光线下球面折射的物像公式
1、物像公式,
r
nn
s
n
s
n
l
ns
l
sn
rl
n
l
n
srsrrsrrsrl
ssrrsrrsrrl
'
'
'
'
''
'
'
'
2
''
2
'2'
222
:
1
:
2
2
1c o s,
得由很小时当
2、讨论：
① 当介质和球面一定时（ n,n?,r 一定）,S?与 S一一对应，即：在近轴光线条件下光束单心性得到保持。
② 当介质和球面一定时（ n,n?,r 一定）,co n st
r
nn'
)(:,:
'
Dr nn 屈光度单位表征球面光学性质光焦度
计算时 r 取米为单位
③ 物像公式对凹球面折射同样适用。
④ 物像共轭,P?为 P的像点，反之，当物点为 P?时，像点必在 P点；这种物像 可易性 称为物像共轭。它是 光路可逆 原理的必然结果。
其中,P,P?称为共轭点，光线 PA,AP?称为共轭光线。
⑤ 物空间与像空间：
规定：入射线在其中进行的空间 ——物空间；
折射线（或折射线）在其中进行的空间 ——像空间。
P
n n`
P`O-s s`
n`-s`
P
n
P` O-s
物空间像空间物空间 像空间S?>0:实像
S?<0:虚像虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为 n?.P OP` -s`-s
物空间 像空间
P?P s?-s
物空间像空间
S?<0:实像 S?>0:虚像
⑥ 焦点、焦距
F`
f`
A、像方焦点 F?、像方焦距 'f
像方焦距得由物像公式时当
r
nn
n
sf
r
nn
s
n
s
n
s
'
'
''
'
'
'
:
,
B、物方焦点 F、物方焦距 f
n n`
O-s s’
n
n`
O-s s’
F
-f
物方焦距得由物像公式时当
r
nn
n
sf
r
nn
s
n
s
n
s
'
'
'
'
'
:
,
C、
n
n
f
f '' ∵
'' ffnn
,—”号表示
'ff 与永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。
⑦ 球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例
∵ 在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反
∴ 在数学处理方法上，可假设,nn' 物理上无意义
r
nn
s
n
s
n
n
n
f
f
'
'
'
''
:球面折射
rss
ff
211
:
'
'
球面反射六,理想成象的两个普适公式
1、高斯公式：
11
:
'
'
'
'
'
'
'
'
'
s
f
s
f
s
r
nn
n
s
r
nn
n
r
nn
s
n
s
n
变形为将物像公式高斯公式对任何理想成像过程均适用
2、牛顿公式：
P
n n`
C P`
O r
-s s`
x? f? 'xf
F
'F
若将取值原点由顶点 O改为物、像方焦点 F,F?，则有如下关系（如右图示）
''
''
'
'''
:1,ffxx
xf
f
xf
f
xfsxfs
化简可得则高斯公式变为
3、说明：
①;,1,,'''
''
'
'
三者等效在球面折射中 ffxxsfsfr nnsnsn
② 高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。
只是在不同 情况下，焦距的形式不同而已。
牛顿公式对任何理想成像过程均适用
rss
rff 211
2,'
' 高斯公式球面反射如例题 3-2
cm
s
n
r
nn
ns
r
nn
s
n
s
n
nn
cmrcms
16:
6.1,1
,2,5:
11
'
'
'
1
1
'
1
'
1
'
'
11
代入数据得由折射成像公式已知
作业,P223 10,11,12
P179 [例 3.4] 一个折射率为 1.6的玻璃哑铃，长 20cm，两端的曲率半径为
2cm。若在离哑铃左端 5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
O2
s1’
n
n`
-s1
n
O1
-s2
-s2’
P1‘
P2‘
P
[解 ],两次折射成像问题。
1,P为物对球面 O1折射成像 P1?
2,P1?为物对球面 O2折射成像
cm
s
n
r
nn
ns
nncmrcms
10:1
1,6.1,2,41620:
22
'
''
2
'
22
代入数据有同已知也可用高斯公式、牛顿公式求解！
§ 3.6 光连续在几个球面上的折射 虚物实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。
一、共轴光具组
1、定义,由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴。
反之，称为非共轴光具组。
5n4
n3n2n1n
'1P1P
'4P
'3P
'2P
2、共轴光具组的特点：
① 光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物；
② 通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才能保证整个系统最后能够成像。 ——光线是近轴的。
二、逐个球面成像法
1、定义,依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光具组的像。
5n4
n3n2n1n
'1P
1P
'4P '
3P
'2P
4P3
P 2P
12d
2S?
'1S
2、方法特点及注意事项
① 必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。
② 前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示）
③ 必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。
④ 计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）
.,12'1122 始终取正值其中 dsds
三、虚物
'1P
1P
'4P '
3P
'2P
5n4
n3n2n1n
4P3
P 2P
1、定义：
会聚的入射光束的顶点，称为 虚物 。如上图中 P4
发散的入射光束的顶点，称为 实物 。如上图中 P1,P2和 P3。
2、说明,① 实物、虚物的判断依据
A、入射光束,发散 ——实物； 会聚 ——虚物
B,物所处空间,物空间 ——实物； 像空间 ——虚物
② 虚物处永远没有光线通过。（实物不一定，如 P1,P2有,P3 无）
④ 虚物仍遵从符号法则。（如上图中 S4>0）
③ 虚物处 像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故折射率就取物方折射率。（与虚像类似。如上图中 P4：物方折射率为 n4
§ 3.7 薄透镜一、透镜
1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个平面所形成的薄片。通常做成园形。
2、分类：按表面形状分
① 凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。
1o 2o2c
1r
2r
2c 2o 1c1o
2r
1r
2c
1o 2o
1c
2r
1r
② 凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。
弯凸平凸双凸
1c 2c
1o 2o
1r? 2r
1o 2o1c
1r?
2r
1c2c
1o 2o
1r?
2r?
双凹 平凹 弯凹
3、有关透镜的几个概念：
主轴,两球面曲率中心的连线。 ——
21cc 2c 2o 1c1o
2r
1r
主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。
注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了。
孔径,垂直于主轴方向透镜的直径。
厚度,两球面在主轴上的间距。 ——
21oo
当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为 薄透镜 ；
当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为 厚透镜 。
二、近轴条件下薄透镜的物像公式
2c 2o 1c1o
2n1n
n
P 'P
s? 'st
2r? 1r
A 'A
''P
''s
1
11
'' r
nn
s
n
s
n第一个球面：
2
2
1
11
'
2
r
nn
r
nn
s
n
s
n
在近轴光线条件下，对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（ 逐个球面成像法）,
1、物像公式第二个球面面：
2
2
'''
2
r
nn
ts
n
s
n
对薄透镜，,略去 后，两式相加得：'',0 stt 即 t
薄透镜物像公式
2、讨论：
① 对薄透镜 重合为一点,称为 光心,它是薄透镜中所有长度量的 取值原点 。
21,0 oot 和?
o
.,21 点的光线不改变方向通过光心时当 onn?
② 当光线从左至右时：
.00;00 '' 虚像实像实物虚物 ssss
当光线从右至左时，成像公式同样成立：
.00;00 '' 实像虚像虚物实物 ssss
③ 薄透镜的会聚和发散，不仅与其形状有关，还与两侧的介质有关：
.,,;,,
::
'
'
'
21
凸透镜是发散镜凹透镜是会聚镜时当凹透镜是发散镜凸透镜是会聚镜时当则设
nn
nn
nnn
空气中的薄透镜
④ 高斯公式
2
2
1
1
2
''
2
2
1
1
1
2
2
1
11
'
2
lim
lim:
:
r
nn
r
nn
n
sf
r
nn
r
nn
n
sf
r
nn
r
nn
s
n
s
n
像方焦距物方焦距得物像公式由
's
s
薄透镜高斯公式物像公式变为1,'
'
sfsf
''
' 111:
fssff 高斯公式变形为当透镜两边介质相同时
⑥ 薄透镜简化模型
⑤ 牛顿公式 仍成立。ffxx ''
o
F 'F'ff?
o
F'F
'f? f
凸透镜 凹透镜
1、定义：
在近轴光线和近轴物的条件下，像的横向大小与物的横向大小之比。
三、横向放大率?
y
y '
2、说明：
oF
'F'f
f?
'y?
y s?
x? s
x 'P
P
Q
'Q? 对处于同种介质中的薄透镜,
21 nn?
'
'
'''
'',
f
x
x
f
s
s
s
s
y
y
OQPP O Q
也可表示为相似于
像的性质判断：
缩小像放大像倒立像正立像
11
00
四、薄透镜作图求像法
1、主轴外的近轴物点作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。
方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即为所求像点。
'Q
①
②
'Q
①
②
oF
'F
Q●
③
o F'F
Q
●
③
2、主轴上的物点
物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点 F且与主轴垂直的平面。
像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点 F?且与主轴垂直的平面。
付轴,焦平面上任一点与光心 O的连线。有无穷条。
焦平面的性质：
OF`
P`
O
P`
F`
OP
F O P
F
物方焦平面像方焦平面利用物方焦平面 第一条第二条付轴：
P’
OP FP‘
B
A
利用像方焦平面
OP F’
P’B
A
OP F
P‘
B
A
作业,P224 13,16,17,19—做在书上
OP F
B
A
§ 3.8 近轴物点近轴光线成像条件前几节研究了在近轴光线条件下，主轴上的发光物点的反射和折射成像规律。实际的物体总有一定的大小，它可以看成由无数个发光物点构成。这些发光物点有的在主轴上，有的在主轴外。因此，研究具有一定大小的物体的成像，就归结为研究主轴外的发光物点的反射、折射成像。
一、费马原理的推论
P
Q
y
-x
A
O
hP`
Q`
-y`
费马原理：光在空间两定点间传播时，光程总是取极值。
两点一定，其极值为一个 确定值 。
无论这两点间有多少条实际光路，每条光路（即光线）的光程都必须且只能等于这个 确定值 。
要使物体上的任一点 Q（定点）
理想成像于 Q?（另一定点），即从 Q点发出的所有光线经反射或折射后均会聚于 Q?，必须满足：
从 Q点发出的所有光线到达 Q?时，光程均相等。 ——费马原理的推论等光程成像原理,适用于所有理想成像过程二、近轴物近轴光线球面反射成像
P
Q
y
-x
A
O
hP`
Q`
-y`
s?
's?
A’
1、物像公式由近轴物点 Q发出的光线，一条在球面顶点 O处反射，另一条在球面任意位置 A点处反射，两反射光交于
Q`点。
由图可求得从 Q点到 Q`点的光程为：
'
2'
'
2
2'2'22'
22
'
s
yh
xs
s
hy
xs
xsyhxshyAQQA
Q A Q
rss
h
s
y
s
y
h
s
y
s
y
ss
xshyxshy
Q A Q
Q A Q
2
`
11
2`
`
`2
`
2
`
,
)()()()(
222
''
'
' 并略去高次项有展开用二项式定理将对近轴物点和近轴光线当反射点 A的位置不同时,h值将不同，因而会得到不同的光程值。
若要使 Q点理想成像于 Q‘ 点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，
即其光程与 h无关。为此令上式中所有含 h的项的系数为 0，有：
②sysy①rss 00211 '
'
'
2、说明
⑴ 上述①式实为,即主轴外任一物点经球面反射的成像公式，由于 Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。
rss
211
'
⑵ 此公式是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。
⑶ 当轴上物点 P和近轴物点 Q具有同一 物距 s 值时，轴上象点 P`和近轴象点 Q`必有同一象距 s`值，物和象具有几何相似性，即近轴光条件下近轴物可实现理想成象。
⑷ 上述②式反映了物与像的大小关系,可由图中几何关系直接得到。 s
s
y
y ''
⑸ 从公式推导中可看出：主轴外物点要理想成像，必须满足近轴条件：
A、光线必须是近轴的； B、物点必须是近轴的。
三、近轴物近轴光线球面折射成像
1、物像公式
P
Q
y
O
A
h
+x
-s s`
P`
Q`
-y`
n n`
近轴物点 Q发出的两条光线分别在球面的 O点和 A点发生折射，折射光交于
Q`点。
2'2''22
''
'
'
xshynxshyn
AQnQAn
Q A Q
的光程为：形类似，从同近轴物球面反射的情在近轴光线和近轴物点条件下，用二项式定理展开并略去高次项得：
r
nn
s
n
s
nh
s
yn
s
nyh
s
yn
s
nysnns
Q A Q
'
'
'2
'
''
'
2'2
''
22
'
2'
当折射点 A的位置不同时,h值将不同，因而会得到不同的光程值。
若要使 Q点理想成像于 Q‘ 点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值，
即其光程与 h无关。为此令上式中所有含 h的项的系数为 0，有：
②r nnsnsn①s ynsny 00
'
'
'
'
''
2、说明：
⑴ 上述②式实为,即主轴外任一物点经球面折射的成像公式，由于 Q点的任意性，垂直于主轴的近轴物体亦满足此公式。
所以，它 是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。
r
nn
s
n
s
n '
'
'
⑵ 由上述公式可知：若近轴线状物垂直于主轴，则其像为线状也垂直于主轴，满足理想成像条件。
⑶ 上述①式反映了物与像的大小关系：
'
''
n
n
s
s
y
y
s
s
y
y
nn
''
'
:
,:
关系球面反射的物像的大小则此公式变成若令例题 3-3
用一个焦距为 20cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜位于透镜右边 10cm处，今置高为 1cm的物体于透镜左方 10cm处（系统处于空气中），（ 1）求最后成像的大小和性质；（ 2）作出准确的光路图。
[解 ]：此题属三次成像问题。如图示。
y1
y3
y2
y
F1 O1 F1'O2
1s?
'1s?
2s?
'2s
3s
'3s?
（ 1）物 y对凸透镜 s1= -10cm f1'=20cm
∴ 由高斯公式有：
cmfs fss 202010 20)10('
11
'
11'
1
β1=s1'/s1=(-20)/(-10)=2
y1=β1y=2× 1=2cm
（ 2） y1对平面镜 s2= -10-20= -30cm
∴ s2'= -s2=30cm β2=1 y2=2cm
（ 3） y2对凸透镜 s3=30+10=40cm f3'= -20cm
∴ 有 cm
fs
fss 40
2040
)20(40
'
33
'
33'
3
β3=s3'/s3=(-40)/40= -1 y3=β3y2=(-1)× 2= -2cm
∴ 最后成像在凸透镜左方 40cm处，为放大、倒立的实像。
光路图如下：
yy1
y3
y2
F1 O1 F1'O2
作业,P226 25,27
§ 3.9 理想光具组的基点基面
对由多个球面组成的共轴光具组，在近轴条件下，可采用逐个球面成像法，应用单个球面的成像公式依次求解，得到最后像。事实上，
实际共轴光具组由众多的球面所构成且球面与球面间相对位置关系并不知道，逐个球面成像法用起来并非简单、有效。能有更简单有效的处理方法吗？
由薄透镜成像的计算法和作图法可知：只要知道了其几个基本位置
（取值原点 —光心、焦点），就可相当简单地求出像的位置和性质。
这为求解多球面的共轴光具组问题，给予了启示。
将复杂共轴光具组简单化，找出其类似于薄透镜光心和焦点的基本位置，用类似于薄透镜求像的方法，在根本不考虑光一其内部实际的传播路径的情况下，解决复杂共轴光具组求像问题。这是以下几节在解决的问题。
为解决这一问题高斯提出了理想光具组的模型，建立了光具组的一般理论。
一、理想光具组
1、定义：能保持光束单心性，保持像和物在几何上的相似性的光具组，
即能理想成像的光具组。
2、说明：
① 在高斯理想光具组中，物方的任一点、线、面，在像方均存在与其共轭的点、线、面。
② 高斯理想光具组理论就是建立点与点、直线与直线、平面与平面之间的共轭关系的纯几何理论。
③ 理想光具组的近轴成像理论称为高斯光学；几何光学原理称为高斯光学原理。
3、共轴光具组与理想光具组：
在近轴区域内，实际光具组可看成理想光具组。
在高斯理论中，除满足近轴条件外，并不要求光具组是“薄”的。
研究光具组的成像问题，只需建立一系列的基点和基面（如主点、焦点、
主平面和焦平面），利用它们就可描述光具组的主要光学特性，而不用去考虑光具组中的实际光路，使问题大大简化。
由两个球面所构成的厚透镜是最简单的共轴光具组。由构成它的单球面的基点可求出整个光具组的基点基面位置。同样，采用逐个球面成像的思想，可求出任意多个球面所构成的共轴光具组的基点位置。
二、空气中的厚透镜
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r如图示,F,F?为厚透镜的焦点,Q?为 Q经厚透镜所成的像。在近轴条件下使用逐个球面成像法求解。
221
'
1
2
'
1
2
'
1
'
1
'
1
1111
:
2,1
11
:2,
11
:1
nr
n
fnr
n
f
ff
r
n
ts
n
sr
n
ss
n
Q
则的物方焦距为球面的像方焦距为设球面成像其像为物对球面成像对球面
。，Os，Os
tffn
ftf
s
tffn
ftf
s
tffn
ftf
ss
s
f
n
ts
n
s
f
n
ss
n
用上式求像相当复杂为原点是以为原点是以由于有消去两式中的上述成像公式变为
2
'
1
2
'
1
2
2
'
1'
2
'
1
2
'
1
2
'
1
'
12'
'
1
2
'
1
'
'
1
'
1
0
1
1
:
研究发现，只要选择适当的取值原点，可使上式简化为与薄透镜相似形式的成像公式。现将物方取值原点从 O1
移至 H点，像方取值原点从
O2移至 H?点，上式可变为：
'
2
'
1''',:
111 HOpHOp
fpsps 其中
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r
'pp
'HH
'ff?
'1
'
'
2
'
2
'
1
2
'
1':
f
tfp
f
tfp
tffn
fff
可以求得
。
f
整体的像方焦距是厚透镜作为一个'
s? 's
.
111
:
:,
:,
''
''
式形式相同与空气中薄透镜成像公成像公式为像距像方取值原点物距物方取值原点原点移动后如图示
fss
s：H
s：H
：，
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r
'pp
'HH
'f?
三、厚透镜的基点和基面
1、主点：取值原点，类似于薄透镜的光心。
物方主点 H,满足高斯公式的物方取值原点
像方主点 H?：满足高斯公式的像方取值原点
2、主平面：过主点垂直于主轴的平面。
物方主平面：在近轴条件下，过物方主点 H且垂直于主轴的平面
像方主平面：在近轴条件下，过像方主点 H?且垂直于主轴的平面
3、焦点：
像方焦点 F?：平行于主轴的光线经光具组后与主轴的交点 (像点 )
物方焦点 F：主轴上一点发出的光线经光具组后成为一束平行光束，该点称为物方焦点。
4、焦平面：过焦点垂直于主轴的平面。
物方焦平面：在近轴条件下，过物方焦点 F且垂直于主轴的平面
像方焦平面：在近轴条件下，过像方焦点 F?且垂直于主轴的平面
5、焦距：主点到焦点的距离。
物方焦距 f：物方焦点 F到物方主点 H的距离
像方焦距 f?：像方焦点 F?到像方主点 H?的距离由此，共轴光具组
（如厚透镜）的 简化模型 为：
利用此模型，在近轴条件下，不必考虑内部实际光路，直接应用薄透镜的高斯公式或牛顿公式，由物求得最后像。
6、节点（ K,K?）：从物方节点入射的光线，从像方节点出射，且方向不变（ u=u?)。
F 'QQ H 'H 'F
f?
'ss?
'fx? 'x
u?
'u?'K
'H
H K
四、复合光具组的基点和基面对由两个以上的多个球面组成的共轴光具组（称为复合光具组），
以厚透镜的研究方法为基础，前两个球面合成一个厚透镜，求出其基点，再与第三个球面合成，求出其基点,……,最后求出的即为整个复合光具组的基点。再用高斯公式或牛顿公式即可求出其最后像。
具体研究过程见教材 P203—206。
21'
2
'
1
'
'
'
2
'
1
111
,
:
,
fff
：f，
）（ff
或记为满足其最后的像方焦距具组时紧挨在一起构成复合光如两个薄透镜的光具组分别为当空气中两个像方焦距一个重要结论
§ 3.10 理想光具组的放大率 基点基面的性质
n
ts
s
O
ns
s
O
'
1
'
22
'
1
11
:
1
:
折射成像球面折射成像球面
sts ss '1
''
1
21,率整个光具组的横向放大
x
f
f
x
sf
f
f
s
，HH
'
'
'
'
'
:
:
1
,
或用牛顿公式化为用高斯公式化为横向放大率代换并用整个光具组的参量移动坐标原点至主点一、理想光具组的横向放大率以厚透镜为例：
1、公式在近轴条件下适用；
2、物、像方分别以 H、
H?为取值原点；
s? 's
'ss?
n
2O1O 'FF 'QQ
t
2r1r
'pp
'HH
'ff?
x? 'x
二、基点和基面的性质
1、主点和主平面
① 物、像方主点 H,H?是一对共轭点；
② 物、像主主平面是共轭平面，且面上任一对共轭点到主轴的距离相等；
.,:,0,0
111
''
'
'
'
'
''
HHss
fss ssffss
必成像于像方主点的物点处于物方主点即必有时当为一定值一定的光具组有由
相等像共轭点到主轴的距离该物又上即像必位于像方主平面有由上任上位置时当物点位于物方主平面
、
x
f
fxffxx
fx
1
:
,
''''
入射到物方主平面上一点 M
的任一条光线，将从像方主平面上等高点 M?处出射。
'QQ H 'H
M 'M
2、焦点、焦平面
① 平行于主轴的光线经光具组后会聚于像方焦点（如图 1）
② 过物方焦点的光线经光具组后平行于主轴（如图 2）
③ 一束倾斜平行光经光具组后交于像方焦平面上一点（如图 3）
④ 物方主平面上任一点发出的光线经光具组后成为一束倾斜平行光（如图 4）
'FH
'H
图 1
F H 'H
图 2
'F
H 'HK
'K
图 3
F H 'HK
'K
图 4
3、节点和节平面
① 从物方节点入射的光线，将从像方节点出射，且传播方向不变（ u=u?)
u?
'K
'H
H 'u?K
② 两节点处角放大率 1'
u
u?
③ 当光具组两边为同一介质时，节点与主点重合。
（ K与 H重合,K?与 H?重合）
角放大率,在近轴条件下，任一条光线和主轴的夹角在通过光具组前后的比值。
utg
utg
u
u
u
u
''
'
,
在近轴条件下描述了光束的会聚比
三、理想光具组的角放大率
'uu?
'MM
'HH
s? 's
'''
'
''
'
''
x
f
f
x
s
s
utg
utg
S
HM
utg
S
MH
utg
HMMH
或可得在近轴条件下由由于
F 'KKH 'H 'F
四、理想光具组的简化模型
§ 3.11 理想光具组的作图求像法一、对主轴外的物点取下述三条特殊光线中的两条即可
Q
'Q
P F
'KK
H 'H
'F 'P
①
②
③
二、对主轴上的物点
B
P F
'KK
H 'H 'F
'P
①
②
'MM
1、利用物方焦平面
2、利用像方焦平面
B
P F
'KK
H 'H 'F
'P
①
②
'MM
例题 3-4
已知共轴球面系统的基点，作出物 PQ的共轭像 P?Q?。
HH'
F'
FP
Q
P'
Q'
作业,P226 26（作图）,29,30
第三章 几何光学小结一、目的要求：
⑴ 理解光的传播和成像的基本概念（光线、波面、单心光束、实象、虚象和虚物）。
⑵ 理解几何光学的几个基本实验定律（直线传播定律、反射定律、折射定律和独立传播定律）；
⑶ 深刻理解费马原理的物理意义，明确其在几何光学中的重要地位；
⑷ 掌握平面反射成象和折射成象的规律；掌握象似深度的概念和计算方法；了解临界角概念，了解光学纤维的结构和应用。
⑸ 了解棱镜的折射和色散，理解棱镜的最小偏向角。
⑹ 熟练运用新笛卡儿符号法则；理解理想成像条件。
⑺ 重点掌握球面光学系统（球面镜、折射球面和薄透镜）的近轴成象规律和任意光线作图求像法，能熟练地求物、象共轭点的位置；
⑻ 掌握复杂光学系统的逐次成象法；扼要介绍共轴球面系统，着重理解基点和基面的物理意义和作图法。
重点：费马原理、符号法则、薄透镜物象公式和作图求像法。
难点：符号法则的正确使用、共轴球面系统的基点和基面。
二、基本概念和基本公式（自行总结）
三、基本方法：
1、计算法 （含 逐次成象法）； 2、作图法：（薄透镜和共轴光具组）
