第二章 光的衍射主要内容以惠更斯 — 菲涅耳原理为基础，研究光的衍射现象和规律
§ 2-1 光的衍射现象一、衍射现象：
1、机械波的衍射不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。如声波、水波的衍射。
2、电磁波的衍射不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。如无线电波（电视、广播）
的衍射。
3、光波的衍射
B
E
A
S
S
A
B
E
'b
b
a
'a
光绕过障碍物的边缘，偏离直线传播而进入几何阴影区，并在屏上出现光强不均匀分布的现象称为光的衍射现象。
宽窄缝
S
E
b
a
●
细丝直线传播衍射衍射二、衍射条件当 障碍物线度与光波波长可以比拟 时，才能发生衍射现象。
三、衍射与直线传播的内在联系可见光波长在 390nm～ 760nm范围内，常见的障碍物线度均远大于它，因而，光波通常显示出直线传播性质；一旦遇到线度与波长有相同或更小数量级的障碍物，衍射现象就会明显地显示出来。
结论 对光而言，衍射是绝对的，直线传播是相对的；直线传播仅是衍射的一种近似。
§ 2-2 惠更斯 — 菲涅耳原理一、惠更斯原理
1、波面,波传播过程中，位相相同的空间点所构成的曲面，即等相面，称为波阵面，简称波面。
波面为球面的波动称为球面波，如点光源发出球面波；
波面为平面的波动称为平面波，如平行光束；
波面为柱面的波动称为柱面波，如狭缝光源发出柱面波；
一般情况下，波面与传播方向垂直。
2、惠更斯原理
[表述 ]：任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的次波源而发出球面次波，在以后的任一时刻，所有次波波面的包络就形成整个波动在该时刻的新波面。
[说明 ]：①、亦称为次波假设；
②,若某时刻波面已知，可由此原理求出以后任一时刻的新波面。如下页图。
t=τ
cτ
t=τ
cτ
平面波 球面波
3、应用及局限性：
只能 定性 解释直线传播、反射、折射、晶体双折射等现象，不能 定量计算 和解释干涉、衍射现象。
t=0
●
●
●
●
●
t=0
二、惠更斯 — 菲涅耳原理
p
r?
N?
光源 S
dS
0r
Q1、表述：
在给定时刻，波面上任一点都可作为新的次波源发出次波，而障碍物外的光场中任一点的光振动即为波面上各点发出并到达该点的各次波的相干叠加。
2、四个假设：
① 波面是一等相面。 → 光源 S上所有面元 ds具有相同位相（令其为 0）
② 次波源 ds 在 P点的振幅与 r 成反比。 → 次波是球面波
③ 次波源 ds 在 P点的振幅正比于其面积且与倾角 θ有关，随 θ的增大而减小。
④ 次波源 ds 在 P点的位相由光程 Δ=nr 决定,→
2
3、表达式,
波数增大而缓慢减小的函数随倾斜因子比例系数其中
2
:;:
c o s
k
KC
dStkr
r
K
CdE
,,则分布上振幅按函数若?AdSdStkr
r
AKCdE c o s
SS CdEEP,点的合振动为在dStkrr AK c o s
:复数形式为
dSe
r
AKCE tkri
S
上式即为原理的积分表达式，
亦称为菲涅耳衍射积分。
讨论：
1、积分表达式是 次波假设 与杨氏 干涉原理 （相干叠加）的有机结合 — 物理意义；
2、一般情况下，上述积分相当复杂。只有当 S对通过 P点波面的法线具有 旋转对称性 时，才能积出结果。此时，可用 代数加法 或矢量加法来代替积分；
3、借助积分式可 定量描述 光波通过障碍物时发生衍射现象的主要特征。
p
r?
N?
光源 S
dS
0r
Q
三、衍射的分类：
菲涅耳衍射光源 — 障碍物 — 接收屏距离均为有限远。
夫琅和费衍射光源 — 障碍物 — 接收屏距离有一个或均为无限远。
（物理上的无穷远：平行光束）
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
§ 2-3 菲涅耳半波带
2
:
1
23
1201
PBPB
PBPB
PBPBPBPB
kk
且使
22
3
2
2
2
::
003
020100
krPBrPB
rPBrPBrPB
k?
有由一、定义：
以点光源发出的球面波通过小园孔为例。如下图示。
显然，波面 S对法线
OP具有 旋转对称性 。
在 S上取 环状带,
B3
B2
B1
C
C‘
PO B0 r0
极点对称轴，
S的法线
R
S
相邻波面到观察点距离均相差 λ/2的环形带波面称为 半波带 。
二、半波带性质
1、任意相邻两个半波带的对应点同时到达观察点 P时，光程差为 λ/2，
振动方向相反，位相差为
2
2、各环形带的面积近似相等。
证明,如右图示
PO
R
S
R r
0B0
C’
C
c0 h
k?
k?
20
krr
k
设,CC‘对 P点刚好露出 k个半波带且第 k个半波带的半径为 ρk
RhS k?2)(
:
为球冠露出部分波面的表面积则
0
2
0
2
2
0
2222
2
:
rR
rrhhrrhRR k
kk?
又
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
22
,krkkrrkrrr k
而远场点
r0＞＞ λ，
略去 λ的平方项
2
2
22:)( 0
0
0
02
0
2
rR
kRr
rR
krRSrrh,
kk 代入有将无关与个半波带面积第 krR RrSSSk kkk
0
0
1
∴ 在 r0＞＞ λ的条件下，各半波带的面积与带的序数 k无关，即各半波带面积近似相等。得证。
三、振幅的计算设：各半波带所发次波在 P点产生的振幅分别为,,,,,
321 kaaaa?
P点合振幅为 Ak。
单调慢缓所以减小的函数缓慢是随且而菲原理有则由惠
kkkk
kkk
k
k
kk
aKrk
Kc o n s tdS
r
dSKa
,,
:
222222
:,,,,,
1153
4
31
2
321
kk
k
k
aaaaaaaaa
aaaa
故有如下关系存在形成单调减小数列
),(
22
22
,,
22
22222222
:
1
1
1
11
11
2
35
4
33
2
11
暗点点相消足够大时当为偶数时当
P
aa
A
a
a
a
aak
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
A
k
k
k
k
k
k
kk
k
k
k
kk
k
k
k
),(
22
22222222
:
:
1
1
25
4
33
2
11
4321
亮点点相长为奇数时当点合振幅
P
aa
aa
a
aa
a
aa
a
aa
Ak
aaaaaAP
k
k
kk
k
k
k
kk
),(22,1 偶数时取为奇数时取故 kaaA kk
§ 2-4 菲涅耳衍射（园孔和园屏）
一、园孔衍射
1、装置,如右图示：点光源 O
所发球面波照射到小园孔
CC‘上，在 P处光屏上可观察到衍射花样。 PO
R
S
r0B0
C’
C
c0 h
kr
2、半波带数：
设：通过小园孔的波面对 P点恰好可分为 k个整数半波带，则：
Rr
k
rR
Rr
k
rR
rk
hrkrr
hrh
hhrrrhrr
k
k
kkk
11
:
2
,,:
2
0
2
2
0
02
0
0
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
22
0
22
得代入和并将上节结论可略去对小园孔
3、讨论
① P点合振幅的大小取决于 P点位置。（ AK取决于 K,K取决于 r0,K为奇数时 P点为亮点,K为偶数时 P点为暗点）
② 若通过小园孔的波带数不为整数，则 AK介于最大值和最小值之间；所以，沿着轴线移动光屏,P点光强不断变化，一些点较强，一些点较弱。
③ 改变小园孔位置和半径，给定点光强将发生变化。
④ 去掉光阑 CC‘，
20)( 1
aAak
kk 整个波面不被遮挡?
所以，没有遮挡时，整个波面光能量沿直线传播，且沿轴线离开小园孔时，
光强逐渐减弱，但不发生起伏。
⑤ 当小园孔仅允许一个半波带通过时
IIAA
aAaA
42
,
2
11
1
11 相比与不用光阑时
⑥ 若用平行光束入射,R→∞,
0rkk
综上所述,光在通过小园孔后到达任一点时的光强，不单纯地由光源到该点的距离来决定，还取决于小园孔的位置和大小。仅当园孔足够大时，才与光的直线传播概念一致。
二、园屏衍射
S P
Y
X
1、装置：如右图示
2、合振幅设：园屏遮挡了前 K个半波带，则从第 K+1个起所有半波带所发次波均能到达 P点
)0(222 11 aaaaA kk?合振幅
3、讨论
① 无论园屏大小（当然要能与波长可比拟）和位置如何，园屏几何影子的中心永远有光进入。
② 园屏面积越小，被遮挡的半波带数 K越少,ak+1就越大,P点光强越强。
③ 园屏面积足够小时，只能遮挡中心带的一小部分，光几乎全都能绕过它，此时除几何中心为亮点外，没有其它影子。园屏好像起了会聚透镜的作用，将光源 S成实象于 P点。
三、菲涅耳波带片
1、定义,只允许奇数（或偶数）半波带通过的光屏。
当 只有奇数（或偶数）半波带通光 时，到达对称轴上任一点的各次波间的光程差为 λ的整数倍，位相相同，相互加强，是亮点。合振幅为各次波振幅之和。
k k kkkk aAaA 212,,或即
2、制备：
krR Rrk,:
0
02 可知由先在绘图纸上画出半径正比于序数 k的平方根的一组同心园环，并把相间的半波带涂黑，再用相机拍摄在底片上，制成园形半波带。
此外，用此原理还可制成长条形波带片、方形波带片等。
3、特点及应用
① 具有强烈的聚焦作用：
1:1 0 01:102
5,5
''
1'
197531
I
I
A
AaA
aaaaaaA
k
k
k
k
不用任何光阑时则个奇数半波带露出前设某一波带片对观察点
② 具有会聚透镜一样的功能：
.),(
,7,5,3,,
,.,,,
111
:
1
11
::
'''
'
'
0
2
'
2
00
02
距相对应的多个象点波带片可得到与不同焦光源对于给定物点如个所以波带片的焦距有多值有多个由于与透镜的焦距一定不同有关它与称为波带片的焦距其中与透镜成象公式相似上式变成今可得由
fffk
kf
frRk
f
k
rRrR
Rr
k
k
k
k
k
③ 与透镜相比，波带片制作简便、省事； 可将点光源成一十字象（长条形波带片）；面积大、轻便、可折叠。
四、直线传播与衍射的联系
● 当波面完全不被遮挡时，波面完整，其上所有次波叠加的结果形成 直线传播；
●● 当波面部分被 障碍物 遮挡时，波面不完整，叠加中少了这部分次波的成份，
其叠加结果便成了明暗相间的衍射花样。
所以，无论是直线传播还是衍射现象，光的传播总是按惠 — 菲原理所述方式进行。光的衍射是光传播的最基本的形式，是光的波动性的最基本的表现。
衍射是绝对的，直线传播是相对的；
直线传播是衍射的极限形式。
结论作业,P148 1,2,3,4,5,6
§ 2-6 夫琅和费单缝衍射一、实验装置与花样特征
1、装置：如右图示置于透镜 L1焦平面上的缝（或灯丝）光源 S
（光均匀照射）所发光束通过 L1后成为平行光束，照射到狭缝
BB‘（宽为 b，很窄）上，
透过狭缝的光束经透镜
L2后会聚在置于 L2焦平面上的光屏 F上，形成衍射花样。
2、衍射花样特征
① 花样为一组平行于狭缝的明暗相间的直线状条纹；
② 中央条纹特别明亮，两侧对称地排列着强度较小的亮条纹；
③ 两相邻亮条纹间有一条暗条纹；
④ 中央条纹的宽度是其它亮条纹宽度的两倍，强度较小的亮条纹是等宽的。
当 S为激光时
1L
2L
B
Y
X
'B
F
Y
X
S
二、光强公式如图示原理图：平行光束垂直入射，
光强均匀。设在缝平面时初相为 0，
整个缝所发次波在 θ=0方向上的总振幅为 A0，取 BB‘波面上的一平行于缝的窄带 dx，则 dx所发出的球面次波的振动可表示为：
tb dxAdE?c o s00
由惠 — 菲原理可知,BB‘上所有窄带发出的次波在屏上叠加，就形成了衍射花样。
现取一束与原入射方向成 θ角（称为衍射角）的光束，并作辅助平面 BD垂直于衍射方向，则 BD面上任一点到 P点的光程相等（透镜的等光程成象性）。
s i n
2
0
s i n
2
0
0
~
,:
s i n
2
c o s:
s i n,
xitxi
e
b
dxA
Ede
b
dxA
dE
tx
b
dxA
dEN
xNMPBM
复振幅复数式为点的振动表达式为又点的光程差方向到两点沿
'B
B
N
M D
x
F
dx
b
2L
P
P0
u
u
cuAIucI
u
u
AAIP
b
u
u
u
A
b
b
AEdA
P
PP
b
P
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s i n
s i n
s i ns i n
~
2
00
2
02
2
2
0
2
0
00
其中点光强为令点叠加的合振幅为方向传播的所有次波在菲原理可得沿由惠
由于障碍物为狭缝，所有具有相同衍射角的点构成一条平行于狭缝的直线，形成同一级条纹，所以，在光屏上 P点实为一条平行于狭缝的直线状条纹。
对所有的衍射方向，在光屏上就形成了一组 平行于狭缝的、
明暗相间的直线状条纹,其光强由上式决定。
'B
B
N
M D
x
F
dx
b
2L
P
P0
三、光强分布特点
.
s i n
0s i n
0
0s i n
0
s i nc o ss i n2s i n
:,,0:
.,:
s i n
0
0
32
2
2
2
0
时取得极值即取得极值时当也对应着不同的光强值对应着不同的观察点不同的可知由
③ut g u
②k
b
①
b
ku
u
u
u
uuuu
u
u
du
d
I
du
dI
u
u
II
k
k
P
P
P
1、主最大（中央亮条纹）
型此时光强称为中央主最大值位置点对应于光屏上式得由
0
0s i nlim:
,,00s i n:
2
002
0
0
2
0
000
0
AI
u
uII
P①
P
0
0sin
0
0
u
u
说明各次波到达 P0点时，光程、位相均相同，振动相互加强，形成最大值。
2、最小值（暗条纹）位置
,3,2,1,
s i n:
s i n:
0
s i n
,
,0s i n,0:
2
2
0
k
b
k
k
b
u
u
II
uku②
k
k
k
k
P
kk
其中即暗条纹光强所以但式有由
3、次最大位置其位置由③式，即超越方程 u=tgu决定，
可用图示法解此方程。
u
y
π 3π2π-π
tg uy?
uy?
43.1
46.2
u
I
π 3π2π-π 0
46.2
b
k
AA
bb
AA
bb
AA
bb
u
uuuu
k
2
1
s i n
0 0 8 3.0
2
7
47.3s i n
0 1 6 5.0
2
5
2 4 6s i n
0 4 7 2.0
2
3
43.1s i n
,,0:
47.346.243.10
:,
0
2
0
2
330
2
0
2
220
2
0
2
110
0
各次最大位置和光强为所以对应于中央主最大其中即方程的解为相交两条曲线在如下位置处光强分布图和衍射花样如右图为：
P0
u
0II
0-π 3π2ππ
1
0.0472
0.0165
0.0083
四、衍射花样特点
P0
1、亮条纹、暗条纹沿垂直于缝长方向对称分布，其位置由：
b
k
b
k kk
2
1s i ns i n0s i n
00 0
决定，在居间位置，光强介于最大值和最小值之间。对线光源，整个花样为平行于缝、并以中央条纹为中心、对称展开的明暗相间的直线状条纹。
2、各级亮条纹（最大值）光强不等。中央亮条纹强度最强；其余亮 条纹
（次最大）光强远小于中央条纹，并随级数的增大而很快减小。
3、条纹宽度 — 角宽度
P
P0
L2
'2f
l?亮条纹宽度 — 相邻暗条纹间的间隔。
b
b
b
k
kk
kk
1
110
:
2:
:s i n:
次最大亮条纹角宽度中央亮条纹角宽度得由暗条纹公式
P
P0
L2
'2f
l?
b
fl
b
ffftgtgfl
'
2
'
20
'
211
'
211
'
20
:
2s i ns i n:
:
其它亮条纹中央条纹相应线宽度
4、暗条纹间是等间距的。
.1 无关与衍射级次 kbkkk
5、次最大值间（次亮条纹中点间距）是不等间距的，不过随级次的增大现时逐惭趋于等间距。
6、若以白光入射，除中央条纹仍为白色外，其它各级亮条纹均为彩色；随衍射级次的增大，可能发生重叠。
P0
7、
.0,
)(;,,0:;,;,:
1
:
衍射现象明显可比拟时与日常生活中的常见情况直线传播为缝的像花样压缩为一条直线整个花样扩展条纹间距变大亮条纹变宽整个花样压缩条纹间距变小亮条纹变窄由一定
b
bB
b
bA
bb
8、
.,,:
.,;,
::
:,
而非简单几何放大是一种光学变换放大就在何方扩张在何方限制扩张越显著限制越强长之间的辨证关系反映了障碍物与光波波包含如下意义称为衍射反比定律
bB
A
b
9、衍射花样与缝在垂直于透镜 L的光轴方向上的位置无关。
∵ 衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。
∴ 单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化。
P0b?
L
P0
b?
L
缝平移例题 2-1
'0
11
1'
57
42103.0s i n:
s i n:
105
1009.2103 2 8.6:
r a d
b
kb
⑴
mf
mbm
k
有由暗条纹公式射角即为所求第一级暗条纹对应的衍已知解
'B
B
F
1?
b
1P
2L
P0y
P120 [例 2-1] 题目略作业,P149 7,8,9,10
my
fyy
ftgfy
⑵
2
1
'
1
'
1
'
103
s i n22:
s i n
1
代入已知数据得中央条纹宽度得为由第一级暗条纹线宽度中央条纹宽度级暗条纹间的距离即为由于
§ 2-7 夫琅和费园孔衍射一、实验装置 如图示：
二、衍射花样
1、花样形状：
明暗相间的同心园环且中心为很亮的亮斑。
2、光强公式：
D
接收屏
2L
'f
A
障碍物
S
1L
光源半径 R θ
P
,22,
s i n
:
2
:
1
0
2
2
1
0
的一阶贝塞尔函数为相差的一半点波在是园孔边缘与园心的次为条纹中心的光强式中的光强为菲原理可得屏上任一点由惠
mmJ
P
R
m
I
m
mJ
II
P
P
3、花样特点
2
0
2
3030
2
0
2
2020
2
0
2
1010
321
2
000
0 0 1 6.0:847.1s i n
0 0 4 2.0:333.1s i n
0 1 7 5.0:819.0s i n
:)(:;0,619.1s i n110.1s i n610.0s i n
:)(:;:0s i n
:
:
AA
R
AA
R
AA
R
C
I
RRR
B
AI
A
k
光强光强光强位置亮环次最大光强位置暗环最小值光强中央主最大位置由上述光强公式可求得
D：光强分布图：
0IIP
0?
sinR1.1160.610 1.619
1
0.0175
0.0042 0.0016
爱里斑
E：爱里斑：
第一级暗环所包围的部分为中央亮斑，
称为爱里斑，其上光强点总入射光强的
84%。
'
1
'
1
'
11
22.1s i n:
)(22.1
610.0s i n:
f
D
ftgfl
D
D
R
线半径为园孔直径其半角宽度为
.,
,;
视为直线传播衍射可忽略亮点整个花样收缩成一个小衍射现象显著时
DlD
lD
三、应用星点法检测透镜质量。
§ 2-8 平面衍射光栅一、衍射光栅
1,定义,任何具有空间周期性，且能等宽、等间距地分割波阵面的衍射屏。
如：在不透明的光屏上开出平行、等宽、等间距的多条缝。
2、分类：
:
:
:
:
:
:
阶梯光栅凹光栅平面反射光栅反射光栅阶梯光栅全息光栅平面衍射光栅透射光栅光栅在透明的屏上刻有大量相互平行而又等宽、等间距的刻痕，其刻痕是不透光部分。
用单色激光的双光束干涉图样刻划的多狭缝组成的光栅在光洁度很高的金属屏上刻有大量相互平行而又等宽、
等间距的刻痕，其未刻部分的反射光形成衍射。
在球面反射镜上沿弦刻划出间距、等宽的许多平行直刻痕。
主要研究透射式平面衍射光栅。
二、实验装置
d=a+b称为光栅常数，
其数量级约 10-6 米
A
a
b
P
P0
f2’
L1 L2
S
S为垂直纸面的缝光源,A为平面衍射光栅。透光部分宽为 a，
不透光部分宽为 b。
总缝数为 N。
三、表观现象及定性解释
1、现象
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度较大的亮线称为主最大，较小的称为次最大。
B、主最大位置志 N无关，但宽度随 N的增大而变窄，强度正比于 N2；
C、相邻主最大间有（ N-1）个最小值、（ N-2）个次最大；
2、定性解释
A,∵ 单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化,∴ 若在缝平面上再开一些相互平行且等宽的狭缝面构成平面衍射光栅，则它们将给出与原单缝完全相同的花样并相互重叠，各最大值将在原位置上得到加强，故强度增大。
B、由于多缝的存在且缝间距相同（即：任意相邻缝对应点在屏上同一点叠加时，具有相同的位相差），缝间光束将发生相干叠加，形成等振幅多光束干涉。故将出现（ N-2）个次最大和（ N-1）个最小值。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
C、由于光栅由多个单缝构成，故花样中保留了单缝衍射的因素。
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
三、光强分布
1、光强公式,方法 ---将单缝衍射的求解方法遍及所有 N个狭缝，再求和。（见附录 2-3）
s i ns i n
s i ns i n
s i n
s i ns i n
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s i ns i n
00 d
d
N
cuA
d
d
N
b
b
AA P
2
2
22
0
2
2
22
0
2
s i n
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s i n:s i n:
s i ns i n
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N
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d
d
d
N
ucAAI
P
PP
则令
P点振幅：
P点光强：
d
a
b
θ
θ
θ
如右图示：相邻两缝上任一对应点到观察点 P的
2
1
s i n
2
1
s i n
s i n
2s i n
2
:s i n:
2
2
22
0
N
ucAI
dd
P
光强公式变为位相差光程差
2、讨论：
①
..,
,,s i n 2
称为单缝衍射因子调制作用对多缝干涉的主最大起花样的外部轮廓决定整个光栅衍射来源于单缝衍射数为单缝衍射光强分布函uc
②
2
1s in
2
1s in
2
2 N 为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主最大的位置。称为缝间干涉因子。
③ 光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成的。
故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
④ 光强分布图：
;0,3,2,1s i n:,光强为最小值位置对单缝衍射 kbk
.0,,2,,0
,,2,1,0
s i n
2
2
:
''
2
0
2
s i n2
'
光强为最小值光强为主最大对多缝干涉
NNj
Nd
j
ANj
d
j
N
j
j d
b
d
d?2
Nd
N
NdNd
1,
,2,
Nd
N
Nd
N
Nd
N
12,
,2,1
Nd
N
Nd
N
13,
,12
0
单缝最小值
sinθ
多缝主最大
sinθ
多缝最小值
sinθ
21
41u
-π π
-4π -2π 0 4π2π 6π 8π 10π-6π-8π-10π
-4π -2π 0 4π2π 6π 8π 10π-6π-8π-10π
-2π -π 2ππ 3π 4π 5π-3π-4π-5π
2
2sin
u u
2
2
sinsin N
0IIP
46 bdN
光谱线图四、双缝衍射令 N=2，则形成双缝衍射。此时，缝隙间干涉因子变为：
2
c o s4
s i n
:
2
c o s4
2
s i n
2
c o s
2
s i n2
2
s i n
s i n
2
1
s i n
2
1
s i n
22
02
2
2
2
2
2
2
2
A
u
u
I
N
P
光强公式变为讨论：
。
，、AA、
分布即杨氏双缝干涉的光强分布的相干光的干涉的光强相差为是两束振幅为 0220 2co s41
2、双缝衍射花样是单缝衍射调制的双缝干涉条纹。
3、杨氏双缝干涉是双缝衍射在 b→0 时的近似。
2
c o s4
1s i n0s i n),(0
22
0
2
2
AI
u
ububb
P
双缝衍射光强公式变为单缝衍射因子即杨氏双缝中要求
杨氏双缝干涉光强公式五、干涉和衍射的区别与联系本质 条纹 处理方法相同点 光波的相干叠加 明暗相间考虑位相差、
光程差总是同时存在区别干涉 有限束光的叠加，
是粗略的 间距、光强均匀 有限项求和衍射 无穷次波的叠加，
是精细的 光强相对集中 无穷项积分六、光栅方程由于缝间干涉因子的最大值的位置就是光栅衍射中主最大（光谱线）位置
.,:.
,2,1,0s i n:
为对应的衍射角为谱线级数其中方程此为垂直入射时的光栅光谱线位置满足
j
jjd
1、方程：
2、主最大光强：
,2,1,022
,s i n
jj
jdP
位相差时点时光程差当相邻两缝的对应点到
2
2
2
2
0
2
2
2
2
s i n:
2
1
2
c o s
2
s i n2
22
c o s
2
s i n2
lim
2
1
s i n
2
1
s i n
lim
:
NI
u
uANI
N
NNN
N
PP
光谱线光强由罗必塔法则有
j2 j2?
3、斜入射的光栅方程
".",;"",:
,2,1,0s i ns i n
0
0
0
取在法线异侧时与取在法线同侧时与当
jjd
0?
0?
0?
谱线角宽度：该谱线左、右两侧附加第一最小值所对应的衍射角之差。
谱线半角宽度：该谱线中心点到一侧附加第一最小值所对应的衍射角之差。
七、谱线半角宽度
c o s
c o s
c o ss i ns i ns i n
1s i ns i n
1s i n:)1(s i n:
:,
)1(,:
NdNd
Ndd
j
Nd
jN
Nd
jNjN
d
jj
jNj
很小又级最小值级主最大则有对应的衍射角为级其右附加第一最小值级谱线对应的衍射角为设
讨论：
。，NNd，j，,锐度越好谱线越窄一定一定时当级数对给定的,11
。，j,各级谱线等宽无关与2
3、若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组明锐的细线。
八、谱线缺级
1、现象：
0IIP
缺级缺级当缝间干涉因子为最大值，应出现谱线时，恰好单缝衍射因子为 0，
两者乘积为 0，对应的光强为 0，本应出现的谱线消失。称为缺级。
2、缺级条件：
.,,
.:
.,
s i n
s i n
:
也称缺级序数为单缝衍射最小值级数式中级谱线将消失满足此式的第有式式代入将出现缺级同时满足时当
k
j
b
d
kj
①②
②
b
k
①jd
光栅方程仅是谱线出现的必要条件，而非充要条件。
九、光栅光谱
1、定义,当用复色光入射时，不同波长的光谱线所组成的光栅衍射花样。
2、讨论：
.,;,),(:s i n
长波谱线远离中央即短波谱线靠近中央一定对同一级谱线可知由 jjdA,
B、若为三基色（红、绿、蓝）合成的白光入射，则光栅光谱为：
｛ ｛｛ ｛｛｛ ｛ ｛-4 -2-3 -1 0 1 32 4
j
d
j
d
j
j
d
j
j，②；①
紫红首次重级条件为发生重级现象不同级次的谱线有可能的增大而增大级次任意两波长谱线间距随同级谱线中谱线级次如上图示注
1:,
s i ns i n
:
'''
'
C、若以波长连续分布的白光入射，则光栅光谱为：
｛ ｛｛ ｛｛｛ ｛ ｛-4 -2-3 -1 0 1 32 4
j
E、用不同的滤光片，可滤去不需要的谱线。
如红色滤光片可滤去 600nm以下的光谱线。
D、光栅也是一种分光元件（与棱镜一样）。
十、闪耀光栅平面光栅衍射中，绝大多数光能集中在中央条纹中，其它谱线能量较低。若采用刻痕具有一定倾角的反射式光栅，可以将相当大一部分光能集中到某一级光谱线中，便于实际中应用。这种光栅称为闪耀光栅。 作业,P149 11-17
例题 2--2
mbd
b
d
m
mfmb
6
7
'6
103 2 8.64
4,103 2 8.6
5.1,105 8 2.1:
已知解
P137 [例 2-3]：题目略
y?
2
1 P2
1y
m
d
f
dd
ffyyy
ftgfy
d
jj⑴
jjj
j
15.02s i ns i n
s i n
s i n
''
12
'
12
''
其到中央条纹的线距离级亮条纹第由光栅方程有
151292
08,4:101s i n
2
s i n
:
m a x
N
jj
d
j
d
j⑵
屏上能看到的条纹总数的中央亮纹的存在级缺级且又即限条件是在屏上能看到条纹的极由光栅方程有
§ 2-9 晶体对 X 射线的衍射一,X 射线
1895年德国的伦琴偶然发现。故也称伦琴 射线。
AK
高压高速电子束轰击固体靶时所产生的一种波长极短的电磁辐射。
# 在电磁场中不发生偏转。
# 穿透力强
# 波长极短,范围在 0.001nm~10nm之间。 当遇含杂质的溶液时能发生散射。
1、定义：
2、特点：
# 能使许多固体发出可见荧光
# 能使空气电离
# 能使照像底片感光二、晶体对 X 射线的衍射天然晶体的点阵间距与 X射线的波长同数量级（ 10-8cm），
可以看作是光栅常数很小的空间三维衍射光栅。
劳厄于 1912年利用右图所示的实验装置，进行了 晶体对 X 射线的衍射实验，在乳胶板上观察到了对称分布的若干衍射斑点，
称为劳厄斑。
1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的研究 X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。
B
C
P
铅版天然晶体乳胶板
X射线验证了 X射线的波动性，也因此获得了 1914年的诺贝尔物理学奖。
三、布喇格方程一束平行光与晶面成 α0角入射到晶面上，则：同一晶面上相邻粒子（如 A、
B）散射的光波的光程差零 AD-BC= 0,它们相干加强。若要在该方向上不同晶面上粒子散射光相干加强，则相邻层对应粒子必须满足：
3,2,1 jjMPNM
布喇格方程 ),3,2,1,0(s i n2 0 jjd
即当满足上式时，各层面上的众多粒子的无穷次波（即反射光）相干加强，形成细锐的亮点，称为 j 级衍射主极大。
因为晶体中粒子排列的空间性，所以,劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
1、点阵平面簇构成晶体的粒子（如原子）密集地排列成一系列平行于晶体天然晶面的平面簇（如右图示），平面簇间的间距均为 d。
3
2
A B1 d
d
C D
M
N P
0?
2,布喇格方程
X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域，
而且用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技术上有着广泛的应用。
在医学和分子生物学领域也不断有新的突破。
1953年英国的威尔金斯、沃森和克里克利用
X 射线的结构分析得到了遗传基因脱氧核糖核酸（ DNA) 的双螺旋结构，荣获了 1962 年度诺贝尔生物和医学奖。
作业,P150 19
本章小结一、教学目的
1,理解光的衍射现象和产生条件，深刻领会惠更斯 — 菲涅 耳原理及其积分表达式的物理意义；明确衍射是光传播的最基本的方式和直线传播仅是衍射的特例。
2,掌握半波带法，并能用其分析具有旋转对称性的波面的衍射；了解波带片的原理及其应用。
3.重点掌握夫琅和费单缝衍射，并能用菲涅耳积分公式定量计算光强分布。
4.了解双缝衍射光强分布的规律，正确理解干涉和衍射的区别与联系。
5.重点掌握平面衍射光栅的光强分布特点，熟练应用光栅方程。
6.掌握夫琅和费圆孔衍射的光强公式，理解爱里斑角半径 的物理意义。
7.了解伦琴射线的衍射。
重点：惠更斯 — 菲涅耳原理的物理意义、夫琅和费单缝衍射、平面衍射光栅。
难点：用菲涅耳积分公式定量计算光强分布。
二、基本概念和基本规律
1,衍射现象及产生条件,2,惠更斯 — 菲涅耳原理,3,半波带法：
4,夫琅和费单缝衍射：
① 光强分布：光强公式、光强分布曲线；
② 衍射公式：主最大、次最大、最小值；
③ 衍射条纹,形状、特征。
5,夫琅和费园孔衍射
① 光强分布：光强分布曲线；
② 衍射条纹,形状、特征；
③ 爱里光斑：
6,平面光栅衍射：
① 光强分布：光强公式、光强分布曲线；
② 衍射公式：光栅方程；
③ 衍射条纹,形状、特征（光栅光谱、缺级）。
7,X射线衍射：布喇格公式。
§ 2-1 光的衍射现象一、衍射现象：
1、机械波的衍射不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。如声波、水波的衍射。
2、电磁波的衍射不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。如无线电波（电视、广播）
的衍射。
3、光波的衍射
B
E
A
S
S
A
B
E
'b
b
a
'a
光绕过障碍物的边缘，偏离直线传播而进入几何阴影区，并在屏上出现光强不均匀分布的现象称为光的衍射现象。
宽窄缝
S
E
b
a
●
细丝直线传播衍射衍射二、衍射条件当 障碍物线度与光波波长可以比拟 时，才能发生衍射现象。
三、衍射与直线传播的内在联系可见光波长在 390nm～ 760nm范围内，常见的障碍物线度均远大于它，因而，光波通常显示出直线传播性质；一旦遇到线度与波长有相同或更小数量级的障碍物，衍射现象就会明显地显示出来。
结论 对光而言，衍射是绝对的，直线传播是相对的；直线传播仅是衍射的一种近似。
§ 2-2 惠更斯 — 菲涅耳原理一、惠更斯原理
1、波面,波传播过程中，位相相同的空间点所构成的曲面，即等相面，称为波阵面，简称波面。
波面为球面的波动称为球面波，如点光源发出球面波；
波面为平面的波动称为平面波，如平行光束；
波面为柱面的波动称为柱面波，如狭缝光源发出柱面波；
一般情况下，波面与传播方向垂直。
2、惠更斯原理
[表述 ]：任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的次波源而发出球面次波，在以后的任一时刻，所有次波波面的包络就形成整个波动在该时刻的新波面。
[说明 ]：①、亦称为次波假设；
②,若某时刻波面已知，可由此原理求出以后任一时刻的新波面。如下页图。
t=τ
cτ
t=τ
cτ
平面波 球面波
3、应用及局限性：
只能 定性 解释直线传播、反射、折射、晶体双折射等现象，不能 定量计算 和解释干涉、衍射现象。
t=0
●
●
●
●
●
t=0
二、惠更斯 — 菲涅耳原理
p
r?
N?
光源 S
dS
0r
Q1、表述：
在给定时刻，波面上任一点都可作为新的次波源发出次波，而障碍物外的光场中任一点的光振动即为波面上各点发出并到达该点的各次波的相干叠加。
2、四个假设：
① 波面是一等相面。 → 光源 S上所有面元 ds具有相同位相（令其为 0）
② 次波源 ds 在 P点的振幅与 r 成反比。 → 次波是球面波
③ 次波源 ds 在 P点的振幅正比于其面积且与倾角 θ有关，随 θ的增大而减小。
④ 次波源 ds 在 P点的位相由光程 Δ=nr 决定,→
2
3、表达式,
波数增大而缓慢减小的函数随倾斜因子比例系数其中
2
:;:
c o s
k
KC
dStkr
r
K
CdE
,,则分布上振幅按函数若?AdSdStkr
r
AKCdE c o s
SS CdEEP,点的合振动为在dStkrr AK c o s
:复数形式为
dSe
r
AKCE tkri
S
上式即为原理的积分表达式，
亦称为菲涅耳衍射积分。
讨论：
1、积分表达式是 次波假设 与杨氏 干涉原理 （相干叠加）的有机结合 — 物理意义；
2、一般情况下，上述积分相当复杂。只有当 S对通过 P点波面的法线具有 旋转对称性 时，才能积出结果。此时，可用 代数加法 或矢量加法来代替积分；
3、借助积分式可 定量描述 光波通过障碍物时发生衍射现象的主要特征。
p
r?
N?
光源 S
dS
0r
Q
三、衍射的分类：
菲涅耳衍射光源 — 障碍物 — 接收屏距离均为有限远。
夫琅和费衍射光源 — 障碍物 — 接收屏距离有一个或均为无限远。
（物理上的无穷远：平行光束）
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
S
A
B
E
光源障碍物 接收屏
§ 2-3 菲涅耳半波带
2
:
1
23
1201
PBPB
PBPB
PBPBPBPB
kk
且使
22
3
2
2
2
::
003
020100
krPBrPB
rPBrPBrPB
k?
有由一、定义：
以点光源发出的球面波通过小园孔为例。如下图示。
显然，波面 S对法线
OP具有 旋转对称性 。
在 S上取 环状带,
B3
B2
B1
C
C‘
PO B0 r0
极点对称轴，
S的法线
R
S
相邻波面到观察点距离均相差 λ/2的环形带波面称为 半波带 。
二、半波带性质
1、任意相邻两个半波带的对应点同时到达观察点 P时，光程差为 λ/2，
振动方向相反，位相差为
2
2、各环形带的面积近似相等。
证明,如右图示
PO
R
S
R r
0B0
C’
C
c0 h
k?
k?
20
krr
k
设,CC‘对 P点刚好露出 k个半波带且第 k个半波带的半径为 ρk
RhS k?2)(
:
为球冠露出部分波面的表面积则
0
2
0
2
2
0
2222
2
:
rR
rrhhrrhRR k
kk?
又
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
22
,krkkrrkrrr k
而远场点
r0＞＞ λ，
略去 λ的平方项
2
2
22:)( 0
0
0
02
0
2
rR
kRr
rR
krRSrrh,
kk 代入有将无关与个半波带面积第 krR RrSSSk kkk
0
0
1
∴ 在 r0＞＞ λ的条件下，各半波带的面积与带的序数 k无关，即各半波带面积近似相等。得证。
三、振幅的计算设：各半波带所发次波在 P点产生的振幅分别为,,,,,
321 kaaaa?
P点合振幅为 Ak。
单调慢缓所以减小的函数缓慢是随且而菲原理有则由惠
kkkk
kkk
k
k
kk
aKrk
Kc o n s tdS
r
dSKa
,,
:
222222
:,,,,,
1153
4
31
2
321
kk
k
k
aaaaaaaaa
aaaa
故有如下关系存在形成单调减小数列
),(
22
22
,,
22
22222222
:
1
1
1
11
11
2
35
4
33
2
11
暗点点相消足够大时当为偶数时当
P
aa
A
a
a
a
aak
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
A
k
k
k
k
k
k
kk
k
k
k
kk
k
k
k
),(
22
22222222
:
:
1
1
25
4
33
2
11
4321
亮点点相长为奇数时当点合振幅
P
aa
aa
a
aa
a
aa
a
aa
Ak
aaaaaAP
k
k
kk
k
k
k
kk
),(22,1 偶数时取为奇数时取故 kaaA kk
§ 2-4 菲涅耳衍射（园孔和园屏）
一、园孔衍射
1、装置,如右图示：点光源 O
所发球面波照射到小园孔
CC‘上，在 P处光屏上可观察到衍射花样。 PO
R
S
r0B0
C’
C
c0 h
kr
2、半波带数：
设：通过小园孔的波面对 P点恰好可分为 k个整数半波带，则：
Rr
k
rR
Rr
k
rR
rk
hrkrr
hrh
hhrrrhrr
k
k
kkk
11
:
2
,,:
2
0
2
2
0
02
0
0
0
2
0
2
2
0
2
0
2
0
22
0
22
得代入和并将上节结论可略去对小园孔
3、讨论
① P点合振幅的大小取决于 P点位置。（ AK取决于 K,K取决于 r0,K为奇数时 P点为亮点,K为偶数时 P点为暗点）
② 若通过小园孔的波带数不为整数，则 AK介于最大值和最小值之间；所以，沿着轴线移动光屏,P点光强不断变化，一些点较强，一些点较弱。
③ 改变小园孔位置和半径，给定点光强将发生变化。
④ 去掉光阑 CC‘，
20)( 1
aAak
kk 整个波面不被遮挡?
所以，没有遮挡时，整个波面光能量沿直线传播，且沿轴线离开小园孔时，
光强逐渐减弱，但不发生起伏。
⑤ 当小园孔仅允许一个半波带通过时
IIAA
aAaA
42
,
2
11
1
11 相比与不用光阑时
⑥ 若用平行光束入射,R→∞,
0rkk
综上所述,光在通过小园孔后到达任一点时的光强，不单纯地由光源到该点的距离来决定，还取决于小园孔的位置和大小。仅当园孔足够大时，才与光的直线传播概念一致。
二、园屏衍射
S P
Y
X
1、装置：如右图示
2、合振幅设：园屏遮挡了前 K个半波带，则从第 K+1个起所有半波带所发次波均能到达 P点
)0(222 11 aaaaA kk?合振幅
3、讨论
① 无论园屏大小（当然要能与波长可比拟）和位置如何，园屏几何影子的中心永远有光进入。
② 园屏面积越小，被遮挡的半波带数 K越少,ak+1就越大,P点光强越强。
③ 园屏面积足够小时，只能遮挡中心带的一小部分，光几乎全都能绕过它，此时除几何中心为亮点外，没有其它影子。园屏好像起了会聚透镜的作用，将光源 S成实象于 P点。
三、菲涅耳波带片
1、定义,只允许奇数（或偶数）半波带通过的光屏。
当 只有奇数（或偶数）半波带通光 时，到达对称轴上任一点的各次波间的光程差为 λ的整数倍，位相相同，相互加强，是亮点。合振幅为各次波振幅之和。
k k kkkk aAaA 212,,或即
2、制备：
krR Rrk,:
0
02 可知由先在绘图纸上画出半径正比于序数 k的平方根的一组同心园环，并把相间的半波带涂黑，再用相机拍摄在底片上，制成园形半波带。
此外，用此原理还可制成长条形波带片、方形波带片等。
3、特点及应用
① 具有强烈的聚焦作用：
1:1 0 01:102
5,5
''
1'
197531
I
I
A
AaA
aaaaaaA
k
k
k
k
不用任何光阑时则个奇数半波带露出前设某一波带片对观察点
② 具有会聚透镜一样的功能：
.),(
,7,5,3,,
,.,,,
111
:
1
11
::
'''
'
'
0
2
'
2
00
02
距相对应的多个象点波带片可得到与不同焦光源对于给定物点如个所以波带片的焦距有多值有多个由于与透镜的焦距一定不同有关它与称为波带片的焦距其中与透镜成象公式相似上式变成今可得由
fffk
kf
frRk
f
k
rRrR
Rr
k
k
k
k
k
③ 与透镜相比，波带片制作简便、省事； 可将点光源成一十字象（长条形波带片）；面积大、轻便、可折叠。
四、直线传播与衍射的联系
● 当波面完全不被遮挡时，波面完整，其上所有次波叠加的结果形成 直线传播；
●● 当波面部分被 障碍物 遮挡时，波面不完整，叠加中少了这部分次波的成份，
其叠加结果便成了明暗相间的衍射花样。
所以，无论是直线传播还是衍射现象，光的传播总是按惠 — 菲原理所述方式进行。光的衍射是光传播的最基本的形式，是光的波动性的最基本的表现。
衍射是绝对的，直线传播是相对的；
直线传播是衍射的极限形式。
结论作业,P148 1,2,3,4,5,6
§ 2-6 夫琅和费单缝衍射一、实验装置与花样特征
1、装置：如右图示置于透镜 L1焦平面上的缝（或灯丝）光源 S
（光均匀照射）所发光束通过 L1后成为平行光束，照射到狭缝
BB‘（宽为 b，很窄）上，
透过狭缝的光束经透镜
L2后会聚在置于 L2焦平面上的光屏 F上，形成衍射花样。
2、衍射花样特征
① 花样为一组平行于狭缝的明暗相间的直线状条纹；
② 中央条纹特别明亮，两侧对称地排列着强度较小的亮条纹；
③ 两相邻亮条纹间有一条暗条纹；
④ 中央条纹的宽度是其它亮条纹宽度的两倍，强度较小的亮条纹是等宽的。
当 S为激光时
1L
2L
B
Y
X
'B
F
Y
X
S
二、光强公式如图示原理图：平行光束垂直入射，
光强均匀。设在缝平面时初相为 0，
整个缝所发次波在 θ=0方向上的总振幅为 A0，取 BB‘波面上的一平行于缝的窄带 dx，则 dx所发出的球面次波的振动可表示为：
tb dxAdE?c o s00
由惠 — 菲原理可知,BB‘上所有窄带发出的次波在屏上叠加，就形成了衍射花样。
现取一束与原入射方向成 θ角（称为衍射角）的光束，并作辅助平面 BD垂直于衍射方向，则 BD面上任一点到 P点的光程相等（透镜的等光程成象性）。
s i n
2
0
s i n
2
0
0
~
,:
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2
c o s:
s i n,
xitxi
e
b
dxA
Ede
b
dxA
dE
tx
b
dxA
dEN
xNMPBM
复振幅复数式为点的振动表达式为又点的光程差方向到两点沿
'B
B
N
M D
x
F
dx
b
2L
P
P0
u
u
cuAIucI
u
u
AAIP
b
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u
u
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b
b
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P
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s i n
s i n
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~
2
00
2
02
2
2
0
2
0
00
其中点光强为令点叠加的合振幅为方向传播的所有次波在菲原理可得沿由惠
由于障碍物为狭缝，所有具有相同衍射角的点构成一条平行于狭缝的直线，形成同一级条纹，所以，在光屏上 P点实为一条平行于狭缝的直线状条纹。
对所有的衍射方向，在光屏上就形成了一组 平行于狭缝的、
明暗相间的直线状条纹,其光强由上式决定。
'B
B
N
M D
x
F
dx
b
2L
P
P0
三、光强分布特点
.
s i n
0s i n
0
0s i n
0
s i nc o ss i n2s i n
:,,0:
.,:
s i n
0
0
32
2
2
2
0
时取得极值即取得极值时当也对应着不同的光强值对应着不同的观察点不同的可知由
③ut g u
②k
b
①
b
ku
u
u
u
uuuu
u
u
du
d
I
du
dI
u
u
II
k
k
P
P
P
1、主最大（中央亮条纹）
型此时光强称为中央主最大值位置点对应于光屏上式得由
0
0s i nlim:
,,00s i n:
2
002
0
0
2
0
000
0
AI
u
uII
P①
P
0
0sin
0
0
u
u
说明各次波到达 P0点时，光程、位相均相同，振动相互加强，形成最大值。
2、最小值（暗条纹）位置
,3,2,1,
s i n:
s i n:
0
s i n
,
,0s i n,0:
2
2
0
k
b
k
k
b
u
u
II
uku②
k
k
k
k
P
kk
其中即暗条纹光强所以但式有由
3、次最大位置其位置由③式，即超越方程 u=tgu决定，
可用图示法解此方程。
u
y
π 3π2π-π
tg uy?
uy?
43.1
46.2
u
I
π 3π2π-π 0
46.2
b
k
AA
bb
AA
bb
AA
bb
u
uuuu
k
2
1
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0 0 8 3.0
2
7
47.3s i n
0 1 6 5.0
2
5
2 4 6s i n
0 4 7 2.0
2
3
43.1s i n
,,0:
47.346.243.10
:,
0
2
0
2
330
2
0
2
220
2
0
2
110
0
各次最大位置和光强为所以对应于中央主最大其中即方程的解为相交两条曲线在如下位置处光强分布图和衍射花样如右图为：
P0
u
0II
0-π 3π2ππ
1
0.0472
0.0165
0.0083
四、衍射花样特点
P0
1、亮条纹、暗条纹沿垂直于缝长方向对称分布，其位置由：
b
k
b
k kk
2
1s i ns i n0s i n
00 0
决定，在居间位置，光强介于最大值和最小值之间。对线光源，整个花样为平行于缝、并以中央条纹为中心、对称展开的明暗相间的直线状条纹。
2、各级亮条纹（最大值）光强不等。中央亮条纹强度最强；其余亮 条纹
（次最大）光强远小于中央条纹，并随级数的增大而很快减小。
3、条纹宽度 — 角宽度
P
P0
L2
'2f
l?亮条纹宽度 — 相邻暗条纹间的间隔。
b
b
b
k
kk
kk
1
110
:
2:
:s i n:
次最大亮条纹角宽度中央亮条纹角宽度得由暗条纹公式
P
P0
L2
'2f
l?
b
fl
b
ffftgtgfl
'
2
'
20
'
211
'
211
'
20
:
2s i ns i n:
:
其它亮条纹中央条纹相应线宽度
4、暗条纹间是等间距的。
.1 无关与衍射级次 kbkkk
5、次最大值间（次亮条纹中点间距）是不等间距的，不过随级次的增大现时逐惭趋于等间距。
6、若以白光入射，除中央条纹仍为白色外，其它各级亮条纹均为彩色；随衍射级次的增大，可能发生重叠。
P0
7、
.0,
)(;,,0:;,;,:
1
:
衍射现象明显可比拟时与日常生活中的常见情况直线传播为缝的像花样压缩为一条直线整个花样扩展条纹间距变大亮条纹变宽整个花样压缩条纹间距变小亮条纹变窄由一定
b
bB
b
bA
bb
8、
.,,:
.,;,
::
:,
而非简单几何放大是一种光学变换放大就在何方扩张在何方限制扩张越显著限制越强长之间的辨证关系反映了障碍物与光波波包含如下意义称为衍射反比定律
bB
A
b
9、衍射花样与缝在垂直于透镜 L的光轴方向上的位置无关。
∵ 衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相同位置上。
∴ 单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化。
P0b?
L
P0
b?
L
缝平移例题 2-1
'0
11
1'
57
42103.0s i n:
s i n:
105
1009.2103 2 8.6:
r a d
b
kb
⑴
mf
mbm
k
有由暗条纹公式射角即为所求第一级暗条纹对应的衍已知解
'B
B
F
1?
b
1P
2L
P0y
P120 [例 2-1] 题目略作业,P149 7,8,9,10
my
fyy
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⑵
2
1
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1
'
1
'
103
s i n22:
s i n
1
代入已知数据得中央条纹宽度得为由第一级暗条纹线宽度中央条纹宽度级暗条纹间的距离即为由于
§ 2-7 夫琅和费园孔衍射一、实验装置 如图示：
二、衍射花样
1、花样形状：
明暗相间的同心园环且中心为很亮的亮斑。
2、光强公式：
D
接收屏
2L
'f
A
障碍物
S
1L
光源半径 R θ
P
,22,
s i n
:
2
:
1
0
2
2
1
0
的一阶贝塞尔函数为相差的一半点波在是园孔边缘与园心的次为条纹中心的光强式中的光强为菲原理可得屏上任一点由惠
mmJ
P
R
m
I
m
mJ
II
P
P
3、花样特点
2
0
2
3030
2
0
2
2020
2
0
2
1010
321
2
000
0 0 1 6.0:847.1s i n
0 0 4 2.0:333.1s i n
0 1 7 5.0:819.0s i n
:)(:;0,619.1s i n110.1s i n610.0s i n
:)(:;:0s i n
:
:
AA
R
AA
R
AA
R
C
I
RRR
B
AI
A
k
光强光强光强位置亮环次最大光强位置暗环最小值光强中央主最大位置由上述光强公式可求得
D：光强分布图：
0IIP
0?
sinR1.1160.610 1.619
1
0.0175
0.0042 0.0016
爱里斑
E：爱里斑：
第一级暗环所包围的部分为中央亮斑，
称为爱里斑，其上光强点总入射光强的
84%。
'
1
'
1
'
11
22.1s i n:
)(22.1
610.0s i n:
f
D
ftgfl
D
D
R
线半径为园孔直径其半角宽度为
.,
,;
视为直线传播衍射可忽略亮点整个花样收缩成一个小衍射现象显著时
DlD
lD
三、应用星点法检测透镜质量。
§ 2-8 平面衍射光栅一、衍射光栅
1,定义,任何具有空间周期性，且能等宽、等间距地分割波阵面的衍射屏。
如：在不透明的光屏上开出平行、等宽、等间距的多条缝。
2、分类：
:
:
:
:
:
:
阶梯光栅凹光栅平面反射光栅反射光栅阶梯光栅全息光栅平面衍射光栅透射光栅光栅在透明的屏上刻有大量相互平行而又等宽、等间距的刻痕，其刻痕是不透光部分。
用单色激光的双光束干涉图样刻划的多狭缝组成的光栅在光洁度很高的金属屏上刻有大量相互平行而又等宽、
等间距的刻痕，其未刻部分的反射光形成衍射。
在球面反射镜上沿弦刻划出间距、等宽的许多平行直刻痕。
主要研究透射式平面衍射光栅。
二、实验装置
d=a+b称为光栅常数，
其数量级约 10-6 米
A
a
b
P
P0
f2’
L1 L2
S
S为垂直纸面的缝光源,A为平面衍射光栅。透光部分宽为 a，
不透光部分宽为 b。
总缝数为 N。
三、表观现象及定性解释
1、现象
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度较大的亮线称为主最大，较小的称为次最大。
B、主最大位置志 N无关，但宽度随 N的增大而变窄，强度正比于 N2；
C、相邻主最大间有（ N-1）个最小值、（ N-2）个次最大；
2、定性解释
A,∵ 单缝的夫琅和费衍射花样，不随缝的上下移动而变化,∴ 若在缝平面上再开一些相互平行且等宽的狭缝面构成平面衍射光栅，则它们将给出与原单缝完全相同的花样并相互重叠，各最大值将在原位置上得到加强，故强度增大。
B、由于多缝的存在且缝间距相同（即：任意相邻缝对应点在屏上同一点叠加时，具有相同的位相差），缝间光束将发生相干叠加，形成等振幅多光束干涉。故将出现（ N-2）个次最大和（ N-1）个最小值。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
C、由于光栅由多个单缝构成，故花样中保留了单缝衍射的因素。
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
三、光强分布
1、光强公式,方法 ---将单缝衍射的求解方法遍及所有 N个狭缝，再求和。（见附录 2-3）
s i ns i n
s i ns i n
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00 d
d
N
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d
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2
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N
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d
d
d
N
ucAAI
P
PP
则令
P点振幅：
P点光强：
d
a
b
θ
θ
θ
如右图示：相邻两缝上任一对应点到观察点 P的
2
1
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2
1
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2s i n
2
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2
2
22
0
N
ucAI
dd
P
光强公式变为位相差光程差
2、讨论：
①
..,
,,s i n 2
称为单缝衍射因子调制作用对多缝干涉的主最大起花样的外部轮廓决定整个光栅衍射来源于单缝衍射数为单缝衍射光强分布函uc
②
2
1s in
2
1s in
2
2 N 为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主最大的位置。称为缝间干涉因子。
③ 光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成的。
故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
④ 光强分布图：
;0,3,2,1s i n:,光强为最小值位置对单缝衍射 kbk
.0,,2,,0
,,2,1,0
s i n
2
2
:
''
2
0
2
s i n2
'
光强为最小值光强为主最大对多缝干涉
NNj
Nd
j
ANj
d
j
N
j
j d
b
d
d?2
Nd
N
NdNd
1,
,2,
Nd
N
Nd
N
Nd
N
12,
,2,1
Nd
N
Nd
N
13,
,12
0
单缝最小值
sinθ
多缝主最大
sinθ
多缝最小值
sinθ
21
41u
-π π
-4π -2π 0 4π2π 6π 8π 10π-6π-8π-10π
-4π -2π 0 4π2π 6π 8π 10π-6π-8π-10π
-2π -π 2ππ 3π 4π 5π-3π-4π-5π
2
2sin
u u
2
2
sinsin N
0IIP
46 bdN
光谱线图四、双缝衍射令 N=2，则形成双缝衍射。此时，缝隙间干涉因子变为：
2
c o s4
s i n
:
2
c o s4
2
s i n
2
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2
s i n2
2
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2
2
2
2
2
2
2
A
u
u
I
N
P
光强公式变为讨论：
。
，、AA、
分布即杨氏双缝干涉的光强分布的相干光的干涉的光强相差为是两束振幅为 0220 2co s41
2、双缝衍射花样是单缝衍射调制的双缝干涉条纹。
3、杨氏双缝干涉是双缝衍射在 b→0 时的近似。
2
c o s4
1s i n0s i n),(0
22
0
2
2
AI
u
ububb
P
双缝衍射光强公式变为单缝衍射因子即杨氏双缝中要求
杨氏双缝干涉光强公式五、干涉和衍射的区别与联系本质 条纹 处理方法相同点 光波的相干叠加 明暗相间考虑位相差、
光程差总是同时存在区别干涉 有限束光的叠加，
是粗略的 间距、光强均匀 有限项求和衍射 无穷次波的叠加，
是精细的 光强相对集中 无穷项积分六、光栅方程由于缝间干涉因子的最大值的位置就是光栅衍射中主最大（光谱线）位置
.,:.
,2,1,0s i n:
为对应的衍射角为谱线级数其中方程此为垂直入射时的光栅光谱线位置满足
j
jjd
1、方程：
2、主最大光强：
,2,1,022
,s i n
jj
jdP
位相差时点时光程差当相邻两缝的对应点到
2
2
2
2
0
2
2
2
2
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1
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lim
2
1
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2
1
s i n
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:
NI
u
uANI
N
NNN
N
PP
光谱线光强由罗必塔法则有
j2 j2?
3、斜入射的光栅方程
".",;"",:
,2,1,0s i ns i n
0
0
0
取在法线异侧时与取在法线同侧时与当
jjd
0?
0?
0?
谱线角宽度：该谱线左、右两侧附加第一最小值所对应的衍射角之差。
谱线半角宽度：该谱线中心点到一侧附加第一最小值所对应的衍射角之差。
七、谱线半角宽度
c o s
c o s
c o ss i ns i ns i n
1s i ns i n
1s i n:)1(s i n:
:,
)1(,:
NdNd
Ndd
j
Nd
jN
Nd
jNjN
d
jj
jNj
很小又级最小值级主最大则有对应的衍射角为级其右附加第一最小值级谱线对应的衍射角为设
讨论：
。，NNd，j，,锐度越好谱线越窄一定一定时当级数对给定的,11
。，j,各级谱线等宽无关与2
3、若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组明锐的细线。
八、谱线缺级
1、现象：
0IIP
缺级缺级当缝间干涉因子为最大值，应出现谱线时，恰好单缝衍射因子为 0，
两者乘积为 0，对应的光强为 0，本应出现的谱线消失。称为缺级。
2、缺级条件：
.,,
.:
.,
s i n
s i n
:
也称缺级序数为单缝衍射最小值级数式中级谱线将消失满足此式的第有式式代入将出现缺级同时满足时当
k
j
b
d
kj
①②
②
b
k
①jd
光栅方程仅是谱线出现的必要条件，而非充要条件。
九、光栅光谱
1、定义,当用复色光入射时，不同波长的光谱线所组成的光栅衍射花样。
2、讨论：
.,;,),(:s i n
长波谱线远离中央即短波谱线靠近中央一定对同一级谱线可知由 jjdA,
B、若为三基色（红、绿、蓝）合成的白光入射，则光栅光谱为：
｛ ｛｛ ｛｛｛ ｛ ｛-4 -2-3 -1 0 1 32 4
j
d
j
d
j
j
d
j
j，②；①
紫红首次重级条件为发生重级现象不同级次的谱线有可能的增大而增大级次任意两波长谱线间距随同级谱线中谱线级次如上图示注
1:,
s i ns i n
:
'''
'
C、若以波长连续分布的白光入射，则光栅光谱为：
｛ ｛｛ ｛｛｛ ｛ ｛-4 -2-3 -1 0 1 32 4
j
E、用不同的滤光片，可滤去不需要的谱线。
如红色滤光片可滤去 600nm以下的光谱线。
D、光栅也是一种分光元件（与棱镜一样）。
十、闪耀光栅平面光栅衍射中，绝大多数光能集中在中央条纹中，其它谱线能量较低。若采用刻痕具有一定倾角的反射式光栅，可以将相当大一部分光能集中到某一级光谱线中，便于实际中应用。这种光栅称为闪耀光栅。 作业,P149 11-17
例题 2--2
mbd
b
d
m
mfmb
6
7
'6
103 2 8.64
4,103 2 8.6
5.1,105 8 2.1:
已知解
P137 [例 2-3]：题目略
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其到中央条纹的线距离级亮条纹第由光栅方程有
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屏上能看到的条纹总数的中央亮纹的存在级缺级且又即限条件是在屏上能看到条纹的极由光栅方程有
§ 2-9 晶体对 X 射线的衍射一,X 射线
1895年德国的伦琴偶然发现。故也称伦琴 射线。
AK
高压高速电子束轰击固体靶时所产生的一种波长极短的电磁辐射。
# 在电磁场中不发生偏转。
# 穿透力强
# 波长极短,范围在 0.001nm~10nm之间。 当遇含杂质的溶液时能发生散射。
1、定义：
2、特点：
# 能使许多固体发出可见荧光
# 能使空气电离
# 能使照像底片感光二、晶体对 X 射线的衍射天然晶体的点阵间距与 X射线的波长同数量级（ 10-8cm），
可以看作是光栅常数很小的空间三维衍射光栅。
劳厄于 1912年利用右图所示的实验装置，进行了 晶体对 X 射线的衍射实验，在乳胶板上观察到了对称分布的若干衍射斑点，
称为劳厄斑。
1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的研究 X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。
B
C
P
铅版天然晶体乳胶板
X射线验证了 X射线的波动性，也因此获得了 1914年的诺贝尔物理学奖。
三、布喇格方程一束平行光与晶面成 α0角入射到晶面上，则：同一晶面上相邻粒子（如 A、
B）散射的光波的光程差零 AD-BC= 0,它们相干加强。若要在该方向上不同晶面上粒子散射光相干加强，则相邻层对应粒子必须满足：
3,2,1 jjMPNM
布喇格方程 ),3,2,1,0(s i n2 0 jjd
即当满足上式时，各层面上的众多粒子的无穷次波（即反射光）相干加强，形成细锐的亮点，称为 j 级衍射主极大。
因为晶体中粒子排列的空间性，所以,劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
1、点阵平面簇构成晶体的粒子（如原子）密集地排列成一系列平行于晶体天然晶面的平面簇（如右图示），平面簇间的间距均为 d。
3
2
A B1 d
d
C D
M
N P
0?
2,布喇格方程
X 射线的应用不仅开创了研究晶体结构的新领域，
而且用它可以作光谱分析，在科学研究和工程技术上有着广泛的应用。
在医学和分子生物学领域也不断有新的突破。
1953年英国的威尔金斯、沃森和克里克利用
X 射线的结构分析得到了遗传基因脱氧核糖核酸（ DNA) 的双螺旋结构，荣获了 1962 年度诺贝尔生物和医学奖。
作业,P150 19
本章小结一、教学目的
1,理解光的衍射现象和产生条件，深刻领会惠更斯 — 菲涅 耳原理及其积分表达式的物理意义；明确衍射是光传播的最基本的方式和直线传播仅是衍射的特例。
2,掌握半波带法，并能用其分析具有旋转对称性的波面的衍射；了解波带片的原理及其应用。
3.重点掌握夫琅和费单缝衍射，并能用菲涅耳积分公式定量计算光强分布。
4.了解双缝衍射光强分布的规律，正确理解干涉和衍射的区别与联系。
5.重点掌握平面衍射光栅的光强分布特点，熟练应用光栅方程。
6.掌握夫琅和费圆孔衍射的光强公式，理解爱里斑角半径 的物理意义。
7.了解伦琴射线的衍射。
重点：惠更斯 — 菲涅耳原理的物理意义、夫琅和费单缝衍射、平面衍射光栅。
难点：用菲涅耳积分公式定量计算光强分布。
二、基本概念和基本规律
1,衍射现象及产生条件,2,惠更斯 — 菲涅耳原理,3,半波带法：
4,夫琅和费单缝衍射：
① 光强分布：光强公式、光强分布曲线；
② 衍射公式：主最大、次最大、最小值；
③ 衍射条纹,形状、特征。
5,夫琅和费园孔衍射
① 光强分布：光强分布曲线；
② 衍射条纹,形状、特征；
③ 爱里光斑：
6,平面光栅衍射：
① 光强分布：光强公式、光强分布曲线；
② 衍射公式：光栅方程；
③ 衍射条纹,形状、特征（光栅光谱、缺级）。
7,X射线衍射：布喇格公式。
