第二章
随机信号分析
内容结构
?引言 ；
?随机过程的一般描述 ；
?平稳随机过程 ；
?高斯过程（正态随机过程） ；
?窄带随机过程 ；
?正弦波加窄带随机过程 ；
?随机过程通过线性系统 ；
引言
?随机信号：
某个或某几个参量不能被预知或
不能完全被预知的信号。
?随机噪声：
不能被预测的噪声。
随机过程的一般描述
?随机过程的基本概念,
随时间变化的随机变量的全体；
兼有时间函数与随机变量的特点。
?随机过程的统计特性：
分布函数与概率密度函数 ；
数字特征,数学期望（均值）,
方差, 自相关函数, 自协方差函数 ；
随机过程的基本概念
?在观察区间内，随机过程是时间的
函数，每次观察结果（即每次实现）
均可视为一个样本，无数次的结果
亦即无数个样本构成了随机过程的
样本空间；
?在任一时刻上观察到的样值是不确
定的，是一个随机变量；
随机过程的基本概念
?随机变量与随机过程二者最大的区别
在于：随机变量的样本空间是一个实
数集合，而随机过程的样本空间是一
个时间函数的集合。
分布函数与概率密度函数
?随机过程 的一维分布函数：
?随机过程 的一维概率密度函数：
)(t?
)(t?
? ?11111 )(),( xtPtxF ?? ?
1111111 ),(),( xtxFtxf ???
分布函数与概率密度函数
?随机过程 的 n维分布函数：
?随机过程 的 n维概率密度函数：
?n越大，对随机过程的描述越充分。
)(t?
)(t?
? ?nn
nn
xtxtxtP
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2211
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2121211
21211
随机过程的数学期望（均值）
?反映了随机过程各个时刻的数学期望
（均值）随时间的变化情况；
?本质上就是随机过程所有样本函数的统
计平均函数；
?它由随机过程的一维概率分布决定；
?表征了随机信号的直流分量；
? ? )(),()( 1 tadxtxxftE ?? ? ????
随机过程的方差
?反映了随机过程在时刻 t 相对于均
值的偏离程度；
?它由随机过程的一维概率分布决定 ；
? ? ? ?? ?
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22
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随机过程的方差
?表征了随机信号的交流平均功率；
?随机过程的数学期望（均值）和方
差仅描述了各孤立时刻的统计特性，
无法反映不同时刻之间的联系，为
此我们引入了自相关函数和自协方
差函数，用来衡量随机过程在任意
两个时刻上获得的随机变量的统计
相关特性；
随机过程的自相关函数
? ?
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2121
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随机过程的自协方差函数
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平稳随机过程
?狭义平稳（或严平稳）随机过程 ；
?广义平稳（或宽平稳）随机过程 ；
?平稳随机过程的“各态历经性” ；
?平稳随机过程的自相关函数 ；
?平稳随机过程的功率谱密度 ；
狭义平稳随机过程
?平稳随机过程的统计特性将不随时
间的推移而发生变化，即其任何 n维
分布函数或概率密度函数与时间起
点无关，亦即对于任意的正整数 n和
任意的实数,平稳随机
过程 的 n维概率密度函数满足,?,,,,21 nttt ???)(t?
),,,;,,,(
),,,;,,,(
2121
2121
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狭义平稳随机过程
?平稳随机过程的一维分布与时间
t 无关，二维分布仅与时间间隔
有关，即：?
)(),( 11 xftxf ?
);,(),;,( 21211212 ?? xxfttxxf ??
广义平稳随机过程
?平稳随机过程的数学期望与时间
t 无关，自相关函数仅与时间间
隔 有关，即：
?除特别声明，本课程所讨论的均
为广义平稳随机过程。
?
? ? )(),(;)( 11 ??? RttRatE ???
平稳随机过程的“各态历经性”
?只有平稳随机过程才具有各态历经
性，即平稳随机过程的任一实现均
经历了随机过程的所有可能状态，
因而我们可以用任一实现的统计特
性来描述平稳随机过程的统计特性，
进而通过任一实现的时间平均特性
得到平稳随机过程的统计平均特性。
平稳随机过程的“各态历经性”
dttx
T
aa
T
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平稳随机过程的自相关函数
?平稳随机过程 的自相关函数
具有以下重要特性：
（ 具有上界）
（ 是偶函数）
（ 的平均功率）
（ 的直流平均功率）
（ 的交流平均功率）
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平稳随机过程的功率谱密度
?平稳随机过程 的功率谱密度
与其自相关函数 是一对傅利叶
变换关系，即：
? 是一个非负的偶函数，且 的
平均功率 S 满足：
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)(??P)(t?
)()( ?? ?? RP ?
)(??P )(t?
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1
高斯过程（正态随机过程）
?高斯过程（正态随机过程）的性质 ；
?高斯过程（正态随机过程）的一维分
布：
一维概率密度函数 ；
一维分布函数 ；
高斯过程的性质
?对高斯过程 在 时刻观
察得到的一组随机变量,
其 n 维联合概率密度函数仅由各随
机变量的数学期望、方差和两两之
间的归一化协方差函数决定。
?高斯过程宽平稳亦即严平稳。
?若高斯过程中的各随机变量两两之
)(t?
nttt,,,21 ???
nxxx,,,21 ???
高斯过程的性质
间互不相关，则它们之间也是相互
统计独立的，即：
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高斯过程的一维概率密度函数
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高斯过程的一维概率密度函数
? 关于 对称，即：
? 在 内单调上升，在
内单调下降，在 处有最大值
，当 时,；
?,且有：
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高斯过程的一维概率密度函数
?对不同的 （ 固定 ），表现为
的图形左右平移；对不同的 （ 固
定 ）,的图形将随 的减小
变高变窄。
?当 时，即正态分布的标
准化：
a ? )(xf
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a )(xf ?
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高斯过程的一维分布函数
其中：
为误差函数；
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高斯过程的一维分布函数
为互补误差函数；
?误差函数与互补误差函数的性质 ；
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误差函数与互补误差函数的性质
? 在 内单调上升；
? 是奇函数，即：
且
? 在 内单调下降；
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?
窄带随机过程
?窄带随机过程及其描述 ；
?零均值平稳窄带高斯过程 ；
?白噪声与带限白噪声 ；
窄带随机过程及其描述
?若随机过程 的频谱被限制在某
个远离零频率的中心频率附近一个
窄的频带范围内，则称之为窄带随
机过程，即：
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tttt cscc ???? s in)(c o s)( ??
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窄带随机过程及其描述
其中,和 分别是窄带随机
过程 的包络函数和随机相位函
数,和 分别称为 的同相
分量和正交分量，且：
)(t?
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)(tc? )(ts? )(t?
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窄带随机过程及其描述
零均值平稳窄带高斯过程
?一个均值为 0,方差为 的平稳窄
带高斯过程,其同相分量 和
正交分量 同样是平稳高斯过程，
且均值都为 0,方差均为,即：
?另外，在同一时刻得到的 和 是
相互统计独立的。
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?? ?????? scsc aaa
零均值平稳窄带高斯过程
?一个均值为 0,方差为 的平稳
窄带高斯过程,其包络 的
一维分布是瑞利分布，相位 的
一维分布是均匀分布，且就一维分
布而言，在同一时刻得到的 和
是相互统计独立的，即：
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零均值平稳窄带高斯过程
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aa
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白噪声与带限白噪声
?白噪声：功率谱密度在整个频域内
都是均匀分布的噪声，即：
可见，白噪声在任意两
个时刻得到的随机变量
均互不相关。
HzWnP 2)( 0???
)(
2
)( 0 ???? nR ??
白噪声与带限白噪声
?带限白噪声：白噪声的功率谱密度
被限制在某一频率范围内，超出该
范围则为零，即：
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n
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?
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,0
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白噪声与带限白噪声
可见，带限白噪声只在
上得到的随机变量才互不相关。
?????,3,2,1,2 0 kfk?
白噪声与带限白噪声
?若噪声的任意 n 维分布都服从高斯
分布，则称之为高斯噪声。
?若高斯噪声的功率谱密度在整个频
域内都是均匀分布的，则称之为高
斯白噪声；若其功率谱密度被限制
在某一频率范围内，超出该范围即
为零，则称之为窄带高斯噪声。
正弦波加窄带随机过程
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正弦波加窄带随机过程
?包络 的一维分布服从广义瑞利分
布（莱斯分布），即：
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正弦波加窄带随机过程
其中,为零阶修正贝塞尔函数，当
时,单调上升，且 ；
若 A = 0,则 为瑞利分布。
?相位 的一维分布较为复杂，故
不做讨论。
?同相分量 和正交分量 均为
高斯分布，且：
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)(0 xI0?x
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正弦波加窄带随机过程
则：
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随机过程通过线性系统
?输出随机过程的均值等于输入随机
过程的均值与 H(0)之积；表征了平
稳随机过程通过线性系统后，输出
的直流分量等于输入系统的直流分
量与系统直流传递函数之积，即：
? ? ?? 0 )()()( ????? dtht io
)0(Haa io ??
随机过程通过线性系统
?平稳随机过程通过线性系统后，输
出随机过程也是平稳的。
?平稳随机过程通过线性系统后，输
出平稳随机过程的功率谱密度是输
入随机过程的功率谱密度与系统传
递函数的模平方的乘积，即：
2)()()( ??? HPP
io ??
随机过程通过线性系统
?高斯过程通过线性系统后，输出随
机过程仍是高斯型的，但与输入高
斯过程相比，它的数字特征已经改
变了。
随机信号分析
内容结构
?引言 ；
?随机过程的一般描述 ；
?平稳随机过程 ；
?高斯过程（正态随机过程） ；
?窄带随机过程 ；
?正弦波加窄带随机过程 ；
?随机过程通过线性系统 ；
引言
?随机信号：
某个或某几个参量不能被预知或
不能完全被预知的信号。
?随机噪声：
不能被预测的噪声。
随机过程的一般描述
?随机过程的基本概念,
随时间变化的随机变量的全体；
兼有时间函数与随机变量的特点。
?随机过程的统计特性：
分布函数与概率密度函数 ；
数字特征,数学期望（均值）,
方差, 自相关函数, 自协方差函数 ；
随机过程的基本概念
?在观察区间内，随机过程是时间的
函数，每次观察结果（即每次实现）
均可视为一个样本，无数次的结果
亦即无数个样本构成了随机过程的
样本空间；
?在任一时刻上观察到的样值是不确
定的，是一个随机变量；
随机过程的基本概念
?随机变量与随机过程二者最大的区别
在于：随机变量的样本空间是一个实
数集合，而随机过程的样本空间是一
个时间函数的集合。
分布函数与概率密度函数
?随机过程 的一维分布函数：
?随机过程 的一维概率密度函数：
)(t?
)(t?
? ?11111 )(),( xtPtxF ?? ?
1111111 ),(),( xtxFtxf ???
分布函数与概率密度函数
?随机过程 的 n维分布函数：
?随机过程 的 n维概率密度函数：
?n越大，对随机过程的描述越充分。
)(t?
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? ?nn
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2121211
21211
随机过程的数学期望（均值）
?反映了随机过程各个时刻的数学期望
（均值）随时间的变化情况；
?本质上就是随机过程所有样本函数的统
计平均函数；
?它由随机过程的一维概率分布决定；
?表征了随机信号的直流分量；
? ? )(),()( 1 tadxtxxftE ?? ? ????
随机过程的方差
?反映了随机过程在时刻 t 相对于均
值的偏离程度；
?它由随机过程的一维概率分布决定 ；
? ? ? ?? ?
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随机过程的方差
?表征了随机信号的交流平均功率；
?随机过程的数学期望（均值）和方
差仅描述了各孤立时刻的统计特性，
无法反映不同时刻之间的联系，为
此我们引入了自相关函数和自协方
差函数，用来衡量随机过程在任意
两个时刻上获得的随机变量的统计
相关特性；
随机过程的自相关函数
? ?
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随机过程的自协方差函数
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平稳随机过程
?狭义平稳（或严平稳）随机过程 ；
?广义平稳（或宽平稳）随机过程 ；
?平稳随机过程的“各态历经性” ；
?平稳随机过程的自相关函数 ；
?平稳随机过程的功率谱密度 ；
狭义平稳随机过程
?平稳随机过程的统计特性将不随时
间的推移而发生变化，即其任何 n维
分布函数或概率密度函数与时间起
点无关，亦即对于任意的正整数 n和
任意的实数,平稳随机
过程 的 n维概率密度函数满足,?,,,,21 nttt ???)(t?
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狭义平稳随机过程
?平稳随机过程的一维分布与时间
t 无关，二维分布仅与时间间隔
有关，即：?
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广义平稳随机过程
?平稳随机过程的数学期望与时间
t 无关，自相关函数仅与时间间
隔 有关，即：
?除特别声明，本课程所讨论的均
为广义平稳随机过程。
?
? ? )(),(;)( 11 ??? RttRatE ???
平稳随机过程的“各态历经性”
?只有平稳随机过程才具有各态历经
性，即平稳随机过程的任一实现均
经历了随机过程的所有可能状态，
因而我们可以用任一实现的统计特
性来描述平稳随机过程的统计特性，
进而通过任一实现的时间平均特性
得到平稳随机过程的统计平均特性。
平稳随机过程的“各态历经性”
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2
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平稳随机过程的自相关函数
?平稳随机过程 的自相关函数
具有以下重要特性：
（ 具有上界）
（ 是偶函数）
（ 的平均功率）
（ 的直流平均功率）
（ 的交流平均功率）
)(t?
)(t?
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)(?R
)(?R
? ? StER ?? )()0( 2?
? ? 22 )()( atER ??? ?
2)()0( ???? RR
)()( ?? ?? RR
)0()( RR ??
)(t? )(?R
平稳随机过程的功率谱密度
?平稳随机过程 的功率谱密度
与其自相关函数 是一对傅利叶
变换关系，即：
? 是一个非负的偶函数，且 的
平均功率 S 满足：
)(??R
)(??P)(t?
)()( ?? ?? RP ?
)(??P )(t?
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高斯过程（正态随机过程）
?高斯过程（正态随机过程）的性质 ；
?高斯过程（正态随机过程）的一维分
布：
一维概率密度函数 ；
一维分布函数 ；
高斯过程的性质
?对高斯过程 在 时刻观
察得到的一组随机变量,
其 n 维联合概率密度函数仅由各随
机变量的数学期望、方差和两两之
间的归一化协方差函数决定。
?高斯过程宽平稳亦即严平稳。
?若高斯过程中的各随机变量两两之
)(t?
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高斯过程的性质
间互不相关，则它们之间也是相互
统计独立的，即：
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高斯过程的一维概率密度函数
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高斯过程的一维概率密度函数
? 关于 对称，即：
? 在 内单调上升，在
内单调下降，在 处有最大值
，当 时,；
?,且有：
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)()( xafxaf ???
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高斯过程的一维概率密度函数
?对不同的 （ 固定 ），表现为
的图形左右平移；对不同的 （ 固
定 ）,的图形将随 的减小
变高变窄。
?当 时，即正态分布的标
准化：
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误差函数与互补误差函数的性质
? 在 内单调上升；
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窄带随机过程
?窄带随机过程及其描述 ；
?零均值平稳窄带高斯过程 ；
?白噪声与带限白噪声 ；
窄带随机过程及其描述
?若随机过程 的频谱被限制在某
个远离零频率的中心频率附近一个
窄的频带范围内，则称之为窄带随
机过程，即：
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tttt cscc ???? s in)(c o s)( ??
? ? 0)(,)(c o s)( ??? tattta c ??? ??
? ?? ?? ?)(e xp)(Re)( ttjtat c ?? ??? ??
窄带随机过程及其描述
其中,和 分别是窄带随机
过程 的包络函数和随机相位函
数,和 分别称为 的同相
分量和正交分量，且：
)(t?
)(ta? )(t??
)(tc? )(ts? )(t?
? ?)()(t a n)(,)()()( 122 tttttta cssc ????? ?? ????
)(s i n)()(,)(c o s)()( ttatttat sc ???? ???? ??
窄带随机过程及其描述
零均值平稳窄带高斯过程
?一个均值为 0,方差为 的平稳窄
带高斯过程,其同相分量 和
正交分量 同样是平稳高斯过程，
且均值都为 0,方差均为,即：
?另外，在同一时刻得到的 和 是
相互统计独立的。
)(t?
2?
2?
)(tc?
)(ts?
s?c?
2222,0 ????
?? ?????? scsc aaa
零均值平稳窄带高斯过程
?一个均值为 0,方差为 的平稳
窄带高斯过程,其包络 的
一维分布是瑞利分布，相位 的
一维分布是均匀分布，且就一维分
布而言，在同一时刻得到的 和
是相互统计独立的，即：
2?
)(t? )(ta?
)(t??
?a ??
零均值平稳窄带高斯过程
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0
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2
e x p
2
)()(),(
2
2
2
aaa
fafaf
???? ?? 20,21)( ???f
0,
2
ex p)(
2
2
2
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??
?
??
a
aa
af
白噪声与带限白噪声
?白噪声：功率谱密度在整个频域内
都是均匀分布的噪声，即：
可见，白噪声在任意两
个时刻得到的随机变量
均互不相关。
HzWnP 2)( 0???
)(
2
)( 0 ???? nR ??
白噪声与带限白噪声
?带限白噪声：白噪声的功率谱密度
被限制在某一频率范围内，超出该
范围则为零，即：
HzW
n
P
??
?
?
?
?
?
?
0
00
,0
,2
)(
??
??
??
)()( 000 ???? SafnR ??
白噪声与带限白噪声
可见，带限白噪声只在
上得到的随机变量才互不相关。
?????,3,2,1,2 0 kfk?
白噪声与带限白噪声
?若噪声的任意 n 维分布都服从高斯
分布，则称之为高斯噪声。
?若高斯噪声的功率谱密度在整个频
域内都是均匀分布的，则称之为高
斯白噪声；若其功率谱密度被限制
在某一频率范围内，超出该范围即
为零，则称之为窄带高斯噪声。
正弦波加窄带随机过程
)()co s ()( tntAtr c ??? ??
ttnttn
tAtA
cscc
cc
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s in)(c os)(
s ins inc osc os
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? ? ttnA
ttnA
cs
cc
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s in)(s in
c o s)(c o s
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正弦波加窄带随机过程
?包络 的一维分布服从广义瑞利分
布（莱斯分布），即：
ttZttZ cscc ?? s in)(c o s)( ??
? ?)(c o s)( tttZ c ?? ??
)(tZ
0,
2
)(
e x p)( 202
22
2 ???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ?
?? Z
AZ
I
AZZ
Zf
???
正弦波加窄带随机过程
其中,为零阶修正贝塞尔函数，当
时,单调上升，且 ；
若 A = 0,则 为瑞利分布。
?相位 的一维分布较为复杂，故
不做讨论。
?同相分量 和正交分量 均为
高斯分布，且：
)(0 xI
)(0 xI0?x
1)0(0 ?I
)(Zf
)(t?
)(tZc )(tZs
正弦波加窄带随机过程
则：
? ? ? ? ?? s in)(,c o s)( AtZEAtZE sc ??
? ? ? ? 2)()( ??? tZDtZD sc
?
?
?
?
?
? ?
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2
2
2
)c os(
e x p
2
1
)(
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AZ
Zf cc
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??
2
2
2
)s i n(
e x p
2
1
)(
?
?
??
AZ
Zf ss
随机过程通过线性系统
?输出随机过程的均值等于输入随机
过程的均值与 H(0)之积；表征了平
稳随机过程通过线性系统后，输出
的直流分量等于输入系统的直流分
量与系统直流传递函数之积，即：
? ? ?? 0 )()()( ????? dtht io
)0(Haa io ??
随机过程通过线性系统
?平稳随机过程通过线性系统后，输
出随机过程也是平稳的。
?平稳随机过程通过线性系统后，输
出平稳随机过程的功率谱密度是输
入随机过程的功率谱密度与系统传
递函数的模平方的乘积，即：
2)()()( ??? HPP
io ??
随机过程通过线性系统
?高斯过程通过线性系统后，输出随
机过程仍是高斯型的，但与输入高
斯过程相比，它的数字特征已经改
变了。
