信号与系统
第一章
第 1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述及分类
1.2 信号的运算
1.3 系统的数学模型及其分类
1.4 系统的模拟
1.5 线性时不变系统分析方法概述
习题 1
第 1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述及其分类
1.1.1 信号及其描述
什么是信号 （ signal）？ 广义地说, 信号是随时间变化的某
种物理量 。 在通信技术中, 一般将语言, 文字, 图像或数据
等统称为消息 （ message） 。 在消息中包含有一定数量的信息
（ information） 。 但是, 信息的传送一般都不是直接的, 它
必须借助于一定形式的信号 （ 光信号, 声信号, 电信号等 ）,
才能远距离快速传输和进行各种处理 。 因而, 信号是消息的
表现形式, 它是通信传输的客观对象, 而消息则是信号的具
体内容, 它蕴藏在信号之中 。 本课程将只讨论应用广泛的电
信号, 它通常是随时间变化的电压或电流, 在某些情况下,
也可以是电荷或磁通 。 由于信号是随时间而变化的, 在数学
上可以用时间 t 的函数 f ( t ) 来表示, 因此,, 信号, 与, 函
数, 两个名词常常通用 。
信号的特性可以从两个方面来描述, 即时间特性和频率特性 。
信号可写成数学表达式, 即是时间 t 的函数, 它具有一定的
波形, 因而表现出一定波形的时间特性, 如出现时间的先后,
持续时间的长短, 重复周期的大小及随时间变化的快慢等 。
另一方面, 任意信号在一定条件下总可以分解为许多不同频
率的正弦分量, 即具有一定的频率成份, 因而表现为一定波
形的频率特性, 如含有大小不同频率分量, 主要频率分量占
有不同的范围等 。
信号的形式所以不同, 就因为它们各自有不同的时间特性和
频率特性, 而信号的时间特性和频率特性有着对应的关系,
不同的时间特性将导致不同的频率特性的出现 。
1.1.2 信号的分类
对于各种信号, 可以从不同的角度进行分类 。
1,确定信号和随机信号
按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信
号两类。
确定信号（ determinate signal）是指一个可以表示为确定的
时间函数的信号。对于指定的某一时刻，信号有确定的值。
如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。随机信号
（ random signal）则与之不同，它不是一个确定的时间函数，
通常只知道它取某一数值的概率，如噪音信号等。
实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性，因而都
是随机信号。如，通信系统中传输的信号带有不确定性，
接收者在收到所传送的消息之前，对信息源所发出的消息
是不知道的，否则，接收者就不可能由它得知任何新的消
息，也就失去通信的意义。另外，信号在传输过程中难免
受各种干扰和噪声的影响，将使信号产生失真。所以，一
般的通信信号都是随机信号。但是，在一定条件下，随机
信号也表现出某些确定性，通常把在较长时间内比较确定
的随机信号，近似地看成确定信号，以使分析简化。
2．连续信号和离散信号
按照函数时间取值的连续性划分, 确定信号可分为连续时
间信号和离散时间信号, 简称连续信号和离散信号 。
连续信号 （ continuous signal） 是指在所讨论的时间内, 对
任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号, 通常用 f ( t )
表示 。
离散信号 （ discrete signal） 是指只在某些不连续规定的时刻
有定义, 而在其它时刻没有定义的信号 。 通常用 f(tk) 或 f(kT)
[简写 f(k )] 表示, 如图 1.1-2所示 。 图中信号 f (tk) 只在 t k = － 2,
－ 1,0,1,2,3,… 等离散时刻才给出函数值 。
3,周期信号和非周期信号
按信号 （ 函数 ） 的周期性划分, 确定信号又可以分为周期信
号与非周期信号 。
周期信号 （ periodic signal） 是指一个每隔一定时间 T,周而
复始且无始无终的信号, 它们的表达式可写为
f ( t ) = f ( t + n T ) n = 0,1,2,…
满足此关系式的最小 T 值称为信号的周期 。 只要给出此信号
在任一周期内的变化过程, 便可确知它在任一时刻的数值 。 非
周期信号 （ aperiodic signal） 在时间上不具有周而复始的特性 。
非周期信号也可以看作为一个周期 T趋于无穷大时的周期信号 。
4,能量信号与功率信号
信号按时间函数的可积性划分, 可以分为能量信号, 功率信
号和非功非能信号 。
信号可看作是随时间变化的电压或电流, 信号 f(t) 在 1欧姆
的电阻上的瞬时功率为
| f ( t ) | 2, 在时间区间 所消耗的总能量定义为,),( ???
（ 1.1-1）
其平均功率定义为,
（ 1.1-2 ）
上两式中, 被积函数都是 f ( t )的绝对值平方, 所以信号能量
E 和信号功率 P 都是非负实数 。
若信号 f ( t )的能量 0 < E <,此时 P = 0,则称此信号
为能量有限信号, 简称能量信号 （ energy signal） 。
若信号 f ( t )的功率 0 < P <,此时 E =, 则称此信
号为功率有限信号, 简称功率信号 （ power signal） 。
信号 f ( t )可以是一个既非功率信号, 又非能量信号,
如单位斜坡信号就是一个例子 。 但一个信号不可能同时既是
功率信号, 又是能量信号 。
?
? ?
dttfE T
TT
2
)(lim ?
???
?
dttfTP T
TT
2
)(2 1lim ?
???
?
一般说来周期信号都是功率信号，非周期信号或者是能量
信号，或者是功率信号，或者既非能量信号又非功率信号。
属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号，它在有限时间范
围内有一定的数值。
1.1.3 典型连续信号
下面给出一些典型连续信号的表达式和波形, 我们今后会经
常遇到它们 。 典型离散信号的表达式及波形将在第五章中讨
论 。
1,单位阶跃信号 （ unit step signal）
单位阶跃信号的定义为,
（ 1.1-3）
其波形在跃变点 t = 0处, 函数值未定 。
0
0
1
0)(
?
?
?
?
??
t
tt?
0
0
1
0)(
?
?
?
?
??
t
tt?
若单位阶跃信号跃变点在 t = t 0处, 则称其为延迟单位阶跃函
数 。
2.单位冲激信号 （ unit impulse signal）
单位冲激信号 ( t )是一个特殊信号, 它不是用普通的函数来定
义 。 它的工程定义如式 （ 1.1-5） 描述 。 这个定义由狄拉克
(P.A.M,Dirac) 提出, 故又称狄拉克函数 。 它除在原点以外,
处处为零, 并且具有单位面积值 。 直观地看, 这一函数可以
设想为一列窄脉冲的极限 。 如一个矩形脉冲 。
3,复指数信号 （ complex exponential signal）
?
?
?
??
??
0
00)(
t
tt? 和
???? ? 1)( dtt?
为复数，称复频率。 f t e s js t( ) ? ? ?? ?
由于复指数信号能概括多种情况, 所以可利用它来描述多种
基本信号, 如直流信号, 指数信号, 等幅, 增幅或减幅正弦
或余弦信号, 因此, 它是信号与系统分析中经常遇到的重要
信号 。
上面我们介绍了几种最基本的信号, 接着来介绍有关信号的
各种运算 。
1.2 信号的运算
1.2.1 信号的相加与相乘
两个信号相加 （ 相乘 ） 可得到一个新的信号, 它在任意时刻
的值等于两个信号在该时刻的值之和 （ 积 ） 。 信号相加与相
乘运算可以通过信号的波形 ( 或信号的表达式 ) 进行 。
1.2.2 信号的导数与积分
信号 f ( t )的导数是指 或记作 f ‘( t ),从波形看, 它表
示信号值随时间变化的变化率 。 当 f ( t ) 含有不连续点时, 由
于引入了冲激函数的概念, f ( t )在这些不连续点上仍有导数,
出现冲激, 其强度为原函数在该处的跳变量 。
信号 f ( t )的积分是指或记作 f (-1)( t ),从波形看, 它在任意时
刻 t的值为从－到 t区间, f ( t )与时间轴所包围的面积 。
1.2.3 信号的时移和折叠
信号 f（ t） 时移 (t0 > 0),就是将 f（ t） 表达式中所有自
变量 t用 t 替换,成为 。 信号 f ( t )的折叠就是将
f ( t )表达式以及定义域中的变量 t 用 –t 替换, 成为 f ( - t )。
1.2.4 信号的尺度变换
尺度变换就是把信号 f ( t )以及定义域中自变量 t用 at去置换,
成为 f ( at )。
t
tf
d
)(d
0t?
0t? )( 0ttf ?
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念
什么是系统 （ system）？ 广义地说, 系统是由若干相互作用
和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体 。 例如,
通信系统, 自动控制系统, 计算机网络系统, 电力系统, 水
利灌溉系统等 。 通常将施加于系统的作用称为系统的输入激
励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应 。
1.3.2 系统的数学模型
分析一个实际系统, 首先要对实际系统建立数学模型, 在数
学模型的基础上, 再根据系统的初始状态和输入激励, 运用
数学方法求其解答, 最后又回到实际系统, 对结果作出物理
解释, 并赋予物理意义 。 所谓系统的模型是指系统物理特性
的抽象, 以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系
统特性 。
系统模型的建立是有一定条件的, 对于同一物理系统, 在不
同条件下可以得到不同形式的数学模型 。 另一方面, 对于不
同的物理系统, 经过抽象和近似, 有可能得到形式上完全相
同的数学模型 。
1,3,3 系统的分类
系统的分类比较复杂, 我们主要考虑其数学模型的差异来划
分不同的类型 。
1,连续时间系统和离散时间系统
输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统 。 输
入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统 。 模拟
通信系统是连续时间系统, 而数字计算机就是离散时间系统 。
连续时间系统的数学模型是微分方程, 而离散时间系统则用
差分方程来描述 。
2,线性系统和非线性系统
线性系统是指具有线性特性的系统 。 所谓线性特性 （ linearity）
系指齐次性与叠加性 。 若系统输入增加 k倍, 输出也增加 k倍,
这就是齐次性 （ homogeneity） 。 若有几个输入同时作用于系
统, 而系统总的输出等于每一个输入单独作用所引起的输出
之和, 这就是叠加性 （ superposition Property） 。 系统同时具
有齐次性和叠加性便呈现线性特性 。
一个系统的输出不仅与输入有关, 还与系统的初始状态有关 。
设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为 y ( t )；仅有激
励而初始状态为零的响应为 y z s ( t ),称为零状态响应；仅有
初始状态而激励为零时的响应为 y z i ( t ),称为零输入响应 。
若将系统的初始状态看成系统的另一种输入激励, 则对于线
性系统, 根据系统的线性特性, 其输出总响应必然是每个输
入单独作用时相应输出的叠加 。
因此, 一般线性系统必须具有,
a,分解性 （ decomposition property）,
即 y ( t )= y z s ( t )+ y z i ( t ) （ 1.3-6）
b,零输入线性 ——当系统有多个初始状态时, 零输入响
应对每个初始状态呈线性 。
c,零状态线性 ——当系统有多个输入时, 零状态响应对
每个输入呈线性 。
凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统 。
3,时不变系统和时变系统
只要初始状态不变, 系统的输出仅取决于输入而与输入
的起始作用时刻无关, 这种特性称为时不变性 。 具有时不
变特性的系统为时不变系统 （ time invariant system） 。 不具
有时不变特性的系统为时变系统 （ time varying system） 。
对时不变系统, 如果激励是 x(t),系统产生的响应是 y ( t )，
当激励延迟一段时间 td为 x ( t –td),则系统的响应也同样延迟
td时间为 y ( t –td),其波形形状不变 。 公式化地表示为,
若 x ( t ) y ( t )
则 x ( t – td) y ( t – td) (1.3-7)
系统的线性和时不变性是两个不同的概念, 线性系统可以
是时不变的, 也可以是时变的, 非线性系统也是如此 。 本
课程只讨论线性时不变 （ LTI） 系统, 简称线性系统 。 线性
时不变连续 （ 离散 ） 系统的数学模型为常系数微分 （ 差分 ）
方程 。
4,因果系统和非因果系统
因果系统（ Causal system）是响应不会超前激励的系统。
非因果系统（ noncausal system）是响应能领先于激励的系统。
1.4 系统的模拟
如前所述, 把一个实际系统抽象为数学模型, 便于用数学方
法进行分析 。 另外, 还可借助简单而易于实现的物理装置,
用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对于系统响
应的影响 。 此时, 需要对系统进行实验模拟 。 系统模拟
（ system simulation） 不需要仿制实际系统, 而只需在数学意
义上的等效, 使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式 。
1.4.1 基本运算器
连续系统的模拟一般需要三种基本的运算器：加法器, 标量
乘法器和积分器 。
模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器, 这是因
为积分器对信号起, 平滑, 作用, 甚至对短时间内信号的
剧烈变化也不敏感, 而微分器将会使信号的噪声大大增加,
因而使用较少, 显然积分器的抗干扰性能比微分器好, 运
算精度高 。
1.4.2 连续系统的模拟图
对于连续的线性时不变系统, 可用线性常系数微分方程来
描述, 根据微分方程可作出相应的模拟图 。
构成系统模拟图的规则如下,(1)把微分方程输出函数的最
高导数项保留在等式左边, 把其它各项移到等式右边； (2)
将最高阶导数作为第一个积分器的输入, 其输出作为第二
个积分器的输入, 以后每经过一个积分器, 输出函数的导
数阶数就降低一阶, 直到获得输出函数为止； (3)把各个阶
数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器,
一齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加, 加法
器的输出就是最高阶导数 。 这就构成了一个完整的模拟图 。
现在考虑更一般的情况，即微分方程右边含有输入函数
导数的情况。例如，二阶微分方程
(1.4-8)
)()(')()(')(" 0101 txbtxbtyatyaty ????
则引入辅助函数，使
xqaqaq ??? 01 '"
代入原方程
)'"()''"()()(')(" 01001101 qaqaqbqaqaqbtyatyaty ????????
]'[]''[]"'[ 01001101 qbqbaqbqbaqbqb ??????
qbqby 01 '??
由此可见
? ? ?
1a?
0a?
)(tx
"q 'q
)(ty
0b
?
1b
q
xqaqaq ??? 01 '"
qbqby 01 '??
完整的二阶系统模拟图,
根据系统模拟图列写微分方程的一般步骤,
（ 1） 选中间变量 q ( t ) 。 设系统最右端积分器的输出
为 q ( t )；
（ 2） 写出各加法器输出信号的方程；
（ 3） 消去中间变量 q ( t ),可得微分方程 。
以上介绍了连续时间系统的时域模拟方法, 关于离散
时间系统的模拟将在第五章中介绍 。 它们的 S域 (复频域 )
或 Z域模拟将在第六章中介绍 。
1-5 线性时不变系统分析方法概述
在系统分析中, 线性时不变系统分析具有重要意义 。 这
是因为：一方面, 实际工作的多数系统在指定条件下可被
近似为线性时不变系统；另一方面, 线性时不变系统的分
析方法已经比较成熟, 形成了较为完善的体系 。 而非线性
系统与时变系统的分析虽然已经发展了一些实用方法, 但
作为普通的理论, 至今尚未达到成熟的阶段 。
分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型, 然
后再进一步求得系统数学模型的解 。 在建立系统模型方面,
系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入 -输出描述法；
一类称为状态变量描述法 。
输入 -输出描述法着眼于系统激励与响应的关系, 并不涉及
系统内部变量的情况 。 因而, 这种方法对于单输入, 单输
出系统较为方便 。 一般而言, 描述线性时不变系统的输入 -
输出关系, 对连续系统是常系数线性微分方程, 对离散系
统是常系数线性差分方程 。
状态变量描述法不仅可以给出系统的响应, 还可提供系
统内部各变量的情况, 特别适用于多输入, 多输出系统 。
用这种方法建立的数学式为一阶标准形式, 便于计算机
求解 。 状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统,
已成为系统理论与近代控制工程的基础 。
从系统数学模型的求解方法来讲, 基本上可分为时域方
法和变换域方法两类 。
时域法是直接分析时间变量的函数, 研究系统的时域特
性 。 对于输入 -输出描述的数学模型, 可求解常系数线性
微分方程或差分方程；对于状态变量描述的数学模型,
则需求解矩阵方程 。 在线性系统时域分析方法中, 卷积
方法非常重要, 不管是连续系统中的卷积还是离散系统
中的卷积和, 都为分析线性系统提供了简单而有效的方
法, 本书中将详细讨论这种方法 。
变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域
的某个变量函数 。 例如, 傅里叶变换 （ FT） 是以频率作为变量
的函数, 利用 FT来研究系统的频率特性；拉普拉斯变换 （ LT）
与 Z变换 （ ZT） 则注重研究零点与极点分布, 对系统进行 S（ 复
频率 ） 域和 Z域分析 。 变换域方法可以将分析中的微分方程或差
分方程转换为代数方程, 或将卷积积分与卷积和转换为乘法运
算, 使信号与系统分析的求解过程变得简单而方便 。
在分析线性时不变系统中, 时域法和变换域法都以叠加性, 线
性和时不变性为分析问题的基准 。 首先把激励信号分解为某种
基本单元信号, 然后求出在这些基本单元信号分别作用下系统
的零状态响应, 最后叠加 。
应该指出, 卷积方法求得的是零状态响应 。 变换域方法不限于
求零状态响应, 也可用来求零输入响应或直接求全响应, 它是
求解数学模型的有力工具 。 状态变量分析法适用于时域法和变
换域方法 。
本书按照先输入 -输出描述后介绍状态变量描述, 先连续
系统后离散系统, 先时域后变换域的顺序, 研究线性时不
变系统的基本分析方法 。
第一章
第 1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述及分类
1.2 信号的运算
1.3 系统的数学模型及其分类
1.4 系统的模拟
1.5 线性时不变系统分析方法概述
习题 1
第 1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号的描述及其分类
1.1.1 信号及其描述
什么是信号 （ signal）？ 广义地说, 信号是随时间变化的某
种物理量 。 在通信技术中, 一般将语言, 文字, 图像或数据
等统称为消息 （ message） 。 在消息中包含有一定数量的信息
（ information） 。 但是, 信息的传送一般都不是直接的, 它
必须借助于一定形式的信号 （ 光信号, 声信号, 电信号等 ）,
才能远距离快速传输和进行各种处理 。 因而, 信号是消息的
表现形式, 它是通信传输的客观对象, 而消息则是信号的具
体内容, 它蕴藏在信号之中 。 本课程将只讨论应用广泛的电
信号, 它通常是随时间变化的电压或电流, 在某些情况下,
也可以是电荷或磁通 。 由于信号是随时间而变化的, 在数学
上可以用时间 t 的函数 f ( t ) 来表示, 因此,, 信号, 与, 函
数, 两个名词常常通用 。
信号的特性可以从两个方面来描述, 即时间特性和频率特性 。
信号可写成数学表达式, 即是时间 t 的函数, 它具有一定的
波形, 因而表现出一定波形的时间特性, 如出现时间的先后,
持续时间的长短, 重复周期的大小及随时间变化的快慢等 。
另一方面, 任意信号在一定条件下总可以分解为许多不同频
率的正弦分量, 即具有一定的频率成份, 因而表现为一定波
形的频率特性, 如含有大小不同频率分量, 主要频率分量占
有不同的范围等 。
信号的形式所以不同, 就因为它们各自有不同的时间特性和
频率特性, 而信号的时间特性和频率特性有着对应的关系,
不同的时间特性将导致不同的频率特性的出现 。
1.1.2 信号的分类
对于各种信号, 可以从不同的角度进行分类 。
1,确定信号和随机信号
按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号和随机信
号两类。
确定信号（ determinate signal）是指一个可以表示为确定的
时间函数的信号。对于指定的某一时刻，信号有确定的值。
如我们熟知的正弦信号、周期脉冲信号等。随机信号
（ random signal）则与之不同，它不是一个确定的时间函数，
通常只知道它取某一数值的概率，如噪音信号等。
实际传输的信号几乎都具有不可预知的不确定性，因而都
是随机信号。如，通信系统中传输的信号带有不确定性，
接收者在收到所传送的消息之前，对信息源所发出的消息
是不知道的，否则，接收者就不可能由它得知任何新的消
息，也就失去通信的意义。另外，信号在传输过程中难免
受各种干扰和噪声的影响，将使信号产生失真。所以，一
般的通信信号都是随机信号。但是，在一定条件下，随机
信号也表现出某些确定性，通常把在较长时间内比较确定
的随机信号，近似地看成确定信号，以使分析简化。
2．连续信号和离散信号
按照函数时间取值的连续性划分, 确定信号可分为连续时
间信号和离散时间信号, 简称连续信号和离散信号 。
连续信号 （ continuous signal） 是指在所讨论的时间内, 对
任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号, 通常用 f ( t )
表示 。
离散信号 （ discrete signal） 是指只在某些不连续规定的时刻
有定义, 而在其它时刻没有定义的信号 。 通常用 f(tk) 或 f(kT)
[简写 f(k )] 表示, 如图 1.1-2所示 。 图中信号 f (tk) 只在 t k = － 2,
－ 1,0,1,2,3,… 等离散时刻才给出函数值 。
3,周期信号和非周期信号
按信号 （ 函数 ） 的周期性划分, 确定信号又可以分为周期信
号与非周期信号 。
周期信号 （ periodic signal） 是指一个每隔一定时间 T,周而
复始且无始无终的信号, 它们的表达式可写为
f ( t ) = f ( t + n T ) n = 0,1,2,…
满足此关系式的最小 T 值称为信号的周期 。 只要给出此信号
在任一周期内的变化过程, 便可确知它在任一时刻的数值 。 非
周期信号 （ aperiodic signal） 在时间上不具有周而复始的特性 。
非周期信号也可以看作为一个周期 T趋于无穷大时的周期信号 。
4,能量信号与功率信号
信号按时间函数的可积性划分, 可以分为能量信号, 功率信
号和非功非能信号 。
信号可看作是随时间变化的电压或电流, 信号 f(t) 在 1欧姆
的电阻上的瞬时功率为
| f ( t ) | 2, 在时间区间 所消耗的总能量定义为,),( ???
（ 1.1-1）
其平均功率定义为,
（ 1.1-2 ）
上两式中, 被积函数都是 f ( t )的绝对值平方, 所以信号能量
E 和信号功率 P 都是非负实数 。
若信号 f ( t )的能量 0 < E <,此时 P = 0,则称此信号
为能量有限信号, 简称能量信号 （ energy signal） 。
若信号 f ( t )的功率 0 < P <,此时 E =, 则称此信
号为功率有限信号, 简称功率信号 （ power signal） 。
信号 f ( t )可以是一个既非功率信号, 又非能量信号,
如单位斜坡信号就是一个例子 。 但一个信号不可能同时既是
功率信号, 又是能量信号 。
?
? ?
dttfE T
TT
2
)(lim ?
???
?
dttfTP T
TT
2
)(2 1lim ?
???
?
一般说来周期信号都是功率信号，非周期信号或者是能量
信号，或者是功率信号，或者既非能量信号又非功率信号。
属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号，它在有限时间范
围内有一定的数值。
1.1.3 典型连续信号
下面给出一些典型连续信号的表达式和波形, 我们今后会经
常遇到它们 。 典型离散信号的表达式及波形将在第五章中讨
论 。
1,单位阶跃信号 （ unit step signal）
单位阶跃信号的定义为,
（ 1.1-3）
其波形在跃变点 t = 0处, 函数值未定 。
0
0
1
0)(
?
?
?
?
??
t
tt?
0
0
1
0)(
?
?
?
?
??
t
tt?
若单位阶跃信号跃变点在 t = t 0处, 则称其为延迟单位阶跃函
数 。
2.单位冲激信号 （ unit impulse signal）
单位冲激信号 ( t )是一个特殊信号, 它不是用普通的函数来定
义 。 它的工程定义如式 （ 1.1-5） 描述 。 这个定义由狄拉克
(P.A.M,Dirac) 提出, 故又称狄拉克函数 。 它除在原点以外,
处处为零, 并且具有单位面积值 。 直观地看, 这一函数可以
设想为一列窄脉冲的极限 。 如一个矩形脉冲 。
3,复指数信号 （ complex exponential signal）
?
?
?
??
??
0
00)(
t
tt? 和
???? ? 1)( dtt?
为复数，称复频率。 f t e s js t( ) ? ? ?? ?
由于复指数信号能概括多种情况, 所以可利用它来描述多种
基本信号, 如直流信号, 指数信号, 等幅, 增幅或减幅正弦
或余弦信号, 因此, 它是信号与系统分析中经常遇到的重要
信号 。
上面我们介绍了几种最基本的信号, 接着来介绍有关信号的
各种运算 。
1.2 信号的运算
1.2.1 信号的相加与相乘
两个信号相加 （ 相乘 ） 可得到一个新的信号, 它在任意时刻
的值等于两个信号在该时刻的值之和 （ 积 ） 。 信号相加与相
乘运算可以通过信号的波形 ( 或信号的表达式 ) 进行 。
1.2.2 信号的导数与积分
信号 f ( t )的导数是指 或记作 f ‘( t ),从波形看, 它表
示信号值随时间变化的变化率 。 当 f ( t ) 含有不连续点时, 由
于引入了冲激函数的概念, f ( t )在这些不连续点上仍有导数,
出现冲激, 其强度为原函数在该处的跳变量 。
信号 f ( t )的积分是指或记作 f (-1)( t ),从波形看, 它在任意时
刻 t的值为从－到 t区间, f ( t )与时间轴所包围的面积 。
1.2.3 信号的时移和折叠
信号 f（ t） 时移 (t0 > 0),就是将 f（ t） 表达式中所有自
变量 t用 t 替换,成为 。 信号 f ( t )的折叠就是将
f ( t )表达式以及定义域中的变量 t 用 –t 替换, 成为 f ( - t )。
1.2.4 信号的尺度变换
尺度变换就是把信号 f ( t )以及定义域中自变量 t用 at去置换,
成为 f ( at )。
t
tf
d
)(d
0t?
0t? )( 0ttf ?
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念
什么是系统 （ system）？ 广义地说, 系统是由若干相互作用
和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体 。 例如,
通信系统, 自动控制系统, 计算机网络系统, 电力系统, 水
利灌溉系统等 。 通常将施加于系统的作用称为系统的输入激
励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应 。
1.3.2 系统的数学模型
分析一个实际系统, 首先要对实际系统建立数学模型, 在数
学模型的基础上, 再根据系统的初始状态和输入激励, 运用
数学方法求其解答, 最后又回到实际系统, 对结果作出物理
解释, 并赋予物理意义 。 所谓系统的模型是指系统物理特性
的抽象, 以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系
统特性 。
系统模型的建立是有一定条件的, 对于同一物理系统, 在不
同条件下可以得到不同形式的数学模型 。 另一方面, 对于不
同的物理系统, 经过抽象和近似, 有可能得到形式上完全相
同的数学模型 。
1,3,3 系统的分类
系统的分类比较复杂, 我们主要考虑其数学模型的差异来划
分不同的类型 。
1,连续时间系统和离散时间系统
输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统 。 输
入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统 。 模拟
通信系统是连续时间系统, 而数字计算机就是离散时间系统 。
连续时间系统的数学模型是微分方程, 而离散时间系统则用
差分方程来描述 。
2,线性系统和非线性系统
线性系统是指具有线性特性的系统 。 所谓线性特性 （ linearity）
系指齐次性与叠加性 。 若系统输入增加 k倍, 输出也增加 k倍,
这就是齐次性 （ homogeneity） 。 若有几个输入同时作用于系
统, 而系统总的输出等于每一个输入单独作用所引起的输出
之和, 这就是叠加性 （ superposition Property） 。 系统同时具
有齐次性和叠加性便呈现线性特性 。
一个系统的输出不仅与输入有关, 还与系统的初始状态有关 。
设具有初始状态的系统加入激励时的总响应为 y ( t )；仅有激
励而初始状态为零的响应为 y z s ( t ),称为零状态响应；仅有
初始状态而激励为零时的响应为 y z i ( t ),称为零输入响应 。
若将系统的初始状态看成系统的另一种输入激励, 则对于线
性系统, 根据系统的线性特性, 其输出总响应必然是每个输
入单独作用时相应输出的叠加 。
因此, 一般线性系统必须具有,
a,分解性 （ decomposition property）,
即 y ( t )= y z s ( t )+ y z i ( t ) （ 1.3-6）
b,零输入线性 ——当系统有多个初始状态时, 零输入响
应对每个初始状态呈线性 。
c,零状态线性 ——当系统有多个输入时, 零状态响应对
每个输入呈线性 。
凡不具备上述特性的系统则称为非线性系统 。
3,时不变系统和时变系统
只要初始状态不变, 系统的输出仅取决于输入而与输入
的起始作用时刻无关, 这种特性称为时不变性 。 具有时不
变特性的系统为时不变系统 （ time invariant system） 。 不具
有时不变特性的系统为时变系统 （ time varying system） 。
对时不变系统, 如果激励是 x(t),系统产生的响应是 y ( t )，
当激励延迟一段时间 td为 x ( t –td),则系统的响应也同样延迟
td时间为 y ( t –td),其波形形状不变 。 公式化地表示为,
若 x ( t ) y ( t )
则 x ( t – td) y ( t – td) (1.3-7)
系统的线性和时不变性是两个不同的概念, 线性系统可以
是时不变的, 也可以是时变的, 非线性系统也是如此 。 本
课程只讨论线性时不变 （ LTI） 系统, 简称线性系统 。 线性
时不变连续 （ 离散 ） 系统的数学模型为常系数微分 （ 差分 ）
方程 。
4,因果系统和非因果系统
因果系统（ Causal system）是响应不会超前激励的系统。
非因果系统（ noncausal system）是响应能领先于激励的系统。
1.4 系统的模拟
如前所述, 把一个实际系统抽象为数学模型, 便于用数学方
法进行分析 。 另外, 还可借助简单而易于实现的物理装置,
用实验的方法来观察和研究系统参数和输入信号对于系统响
应的影响 。 此时, 需要对系统进行实验模拟 。 系统模拟
（ system simulation） 不需要仿制实际系统, 而只需在数学意
义上的等效, 使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式 。
1.4.1 基本运算器
连续系统的模拟一般需要三种基本的运算器：加法器, 标量
乘法器和积分器 。
模拟一个系统的微分方程不用微分器而用积分器, 这是因
为积分器对信号起, 平滑, 作用, 甚至对短时间内信号的
剧烈变化也不敏感, 而微分器将会使信号的噪声大大增加,
因而使用较少, 显然积分器的抗干扰性能比微分器好, 运
算精度高 。
1.4.2 连续系统的模拟图
对于连续的线性时不变系统, 可用线性常系数微分方程来
描述, 根据微分方程可作出相应的模拟图 。
构成系统模拟图的规则如下,(1)把微分方程输出函数的最
高导数项保留在等式左边, 把其它各项移到等式右边； (2)
将最高阶导数作为第一个积分器的输入, 其输出作为第二
个积分器的输入, 以后每经过一个积分器, 输出函数的导
数阶数就降低一阶, 直到获得输出函数为止； (3)把各个阶
数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器,
一齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加, 加法
器的输出就是最高阶导数 。 这就构成了一个完整的模拟图 。
现在考虑更一般的情况，即微分方程右边含有输入函数
导数的情况。例如，二阶微分方程
(1.4-8)
)()(')()(')(" 0101 txbtxbtyatyaty ????
则引入辅助函数，使
xqaqaq ??? 01 '"
代入原方程
)'"()''"()()(')(" 01001101 qaqaqbqaqaqbtyatyaty ????????
]'[]''[]"'[ 01001101 qbqbaqbqbaqbqb ??????
qbqby 01 '??
由此可见
? ? ?
1a?
0a?
)(tx
"q 'q
)(ty
0b
?
1b
q
xqaqaq ??? 01 '"
qbqby 01 '??
完整的二阶系统模拟图,
根据系统模拟图列写微分方程的一般步骤,
（ 1） 选中间变量 q ( t ) 。 设系统最右端积分器的输出
为 q ( t )；
（ 2） 写出各加法器输出信号的方程；
（ 3） 消去中间变量 q ( t ),可得微分方程 。
以上介绍了连续时间系统的时域模拟方法, 关于离散
时间系统的模拟将在第五章中介绍 。 它们的 S域 (复频域 )
或 Z域模拟将在第六章中介绍 。
1-5 线性时不变系统分析方法概述
在系统分析中, 线性时不变系统分析具有重要意义 。 这
是因为：一方面, 实际工作的多数系统在指定条件下可被
近似为线性时不变系统；另一方面, 线性时不变系统的分
析方法已经比较成熟, 形成了较为完善的体系 。 而非线性
系统与时变系统的分析虽然已经发展了一些实用方法, 但
作为普通的理论, 至今尚未达到成熟的阶段 。
分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型, 然
后再进一步求得系统数学模型的解 。 在建立系统模型方面,
系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入 -输出描述法；
一类称为状态变量描述法 。
输入 -输出描述法着眼于系统激励与响应的关系, 并不涉及
系统内部变量的情况 。 因而, 这种方法对于单输入, 单输
出系统较为方便 。 一般而言, 描述线性时不变系统的输入 -
输出关系, 对连续系统是常系数线性微分方程, 对离散系
统是常系数线性差分方程 。
状态变量描述法不仅可以给出系统的响应, 还可提供系
统内部各变量的情况, 特别适用于多输入, 多输出系统 。
用这种方法建立的数学式为一阶标准形式, 便于计算机
求解 。 状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统,
已成为系统理论与近代控制工程的基础 。
从系统数学模型的求解方法来讲, 基本上可分为时域方
法和变换域方法两类 。
时域法是直接分析时间变量的函数, 研究系统的时域特
性 。 对于输入 -输出描述的数学模型, 可求解常系数线性
微分方程或差分方程；对于状态变量描述的数学模型,
则需求解矩阵方程 。 在线性系统时域分析方法中, 卷积
方法非常重要, 不管是连续系统中的卷积还是离散系统
中的卷积和, 都为分析线性系统提供了简单而有效的方
法, 本书中将详细讨论这种方法 。
变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域
的某个变量函数 。 例如, 傅里叶变换 （ FT） 是以频率作为变量
的函数, 利用 FT来研究系统的频率特性；拉普拉斯变换 （ LT）
与 Z变换 （ ZT） 则注重研究零点与极点分布, 对系统进行 S（ 复
频率 ） 域和 Z域分析 。 变换域方法可以将分析中的微分方程或差
分方程转换为代数方程, 或将卷积积分与卷积和转换为乘法运
算, 使信号与系统分析的求解过程变得简单而方便 。
在分析线性时不变系统中, 时域法和变换域法都以叠加性, 线
性和时不变性为分析问题的基准 。 首先把激励信号分解为某种
基本单元信号, 然后求出在这些基本单元信号分别作用下系统
的零状态响应, 最后叠加 。
应该指出, 卷积方法求得的是零状态响应 。 变换域方法不限于
求零状态响应, 也可用来求零输入响应或直接求全响应, 它是
求解数学模型的有力工具 。 状态变量分析法适用于时域法和变
换域方法 。
本书按照先输入 -输出描述后介绍状态变量描述, 先连续
系统后离散系统, 先时域后变换域的顺序, 研究线性时不
变系统的基本分析方法 。
