信号与系统
第二章
第 2章 连续信号与系统的时域分析
2.1 冲激函数及其性质
2.2 系统的冲激响应
2.3 信号的时域分解和卷积积分
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.5 卷积积分的性质
2.6 卷积的数值计算
习题 2
2.1 冲激函数及其性质
2.1.1 冲激函数
冲激函数是对于集中于一个瞬间（或一点）出现的物理
量的一种理想描述。
单位冲激函数的工程定义,
单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面
积为 1两个特点。从它 t=0时函数值趋于无穷大，可以看出，
不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函
数（ generalized function），或称分配函数（ distribution
function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对
应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一
个函数（常称为测试函数）的作用效果来定义的，也就是说，
不是用它“是”什么来定义，而是用它能“做”什么来定义
的。
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单位冲激函数的严格的数学定义。
2.1.2 冲激函数的性质
作为广义函数，冲激函数除了式（ 2.1-4）和式（ 2.1-16）所
描述的取样性质（或称筛选性质）外，还具有如下常用性质,
1.加权特性
2.单位冲激函数为偶函数
3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数
4.尺度变换
5.冲激函数的导数及其性质
单位冲激函数及其各阶导数和积分是一族最常用的奇异函数。
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2.2 系统的冲激响应
线性时不变时间系统的单位冲激响应，是指系统初始
状态为零，激励为单位冲激信号作用下的响应，简称冲
激响应，用 h(t) 表示。它反映了系统的特性，同时也是
利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础。
1,对于简单电路，直接计算该电路在单位冲激信号作用
下的零状态响应，即可求得冲激响应 h(t)。
2,先计算系统的阶跃响应 s(t)，然后利用冲激响应和阶跃
响应的关系计算冲激响应 h(t)。
3,从系统的微分方程求解冲激响应。
2.3 信号的时域分解和卷积积分
上一节讨论了系统对于单位冲激信号这一特殊激励下的零
状态响应，本节将研究任意波形信号可以分解为连续的冲激
信号之和，以及任意信号作用下的零状态响应问题，进而说
明卷积积分的物理意义。
2.3.1 信号的时域分解
任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。
任意波形的信号也可以分解为无限多个连续的加权阶跃信
号之和。
2.3.2 零状态响应 ---卷积积分
任意波形信号作用于线性系统引起的零状态响应，为
(2.3-10）
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式（ 2.3-10）是卷积积分的一般形式，当与受到某种限制时，
其积分上、下限会有所变化。
若 t<t1时,x(t)=0，式（ 2.3-10）中的积分下限应从 t1开始，
式（ 2.3-10）应表示为
(2.3-12）
相反，若 x(t)不受此限，而 t<t2时,h(t)=0，积分上限应取 t-t2,
式（ 2.3-10）应表示为
（ 2.3-13）
若 t<t1时,x(t)=0，而 t<t2时,h(t)=0，式（ 2.3-10）积分上,下限
为
（ 2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步
进行分析讨论。
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t
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2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定
上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及 x(t)和 h(t)均为有始
函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根
据具体情况来确定，特别是当 x(t)和 h(t)两者或两者之一是分段
定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.1 卷积的图解
卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程。
卷积的图解归纳起来有下列五个步骤,
1,换元：将和中的变量 t更换为变量 τ；
2,折叠：作出相对于纵轴的镜象；
3,位移：把平移一个 t值；
4,相乘：将位移后的函数乘以；
5,积分：和乘积曲线下的面积即为 t时刻的卷积值。
由于卷积积分的计算步骤包括换元、折叠、位移、相乘与积
分，故卷积也称为褶积或卷乘等。
2.4.2 卷积的另一种计算方法
如果 x(t)和 h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式
（ 2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。
2.5 卷积积分的性质
作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利
用这些性质可使卷积运算大为简化。
2.5.1 卷积代数
通常，卷积积分与代数中的乘法运算性质相类似。
（ 1）卷积运算满足交换律
（ 2）卷积积分满足分配律
（ 3）卷积积分满足结合律
2.5.2 卷积的微分与积分
上述卷积代数运算的规律与普通乘法类似，但卷积的微分
或积分运算却与普通两函数的乘积的微分、积分运算不同。
（ 1）卷积的微分性质
（ 2）卷积的积分性质
（ 3）卷积的微积分性质
任意函数 x(t)与单位冲激函数 ?(t)卷积的结果仍然是本身，根
据式（ 2.3-3）和卷积的定义，有
（ 2.5-17）
由此可见任意函数 x(t)与一个延迟时间为 t1秒的单位冲激函数
?(t-t1)的卷积，只是使 x(t)在时间上延迟了 t1，而波形不变。这
一性质称为重现特性（ replication property）。
x t t d x t t( ) ( ) ( )? ? ? ?? ? ? ?
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2.5.4 卷积的时移
若, 则
(2.5-22)
2.6 卷积的数值计算
卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外，还可以
利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。
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第二章
第 2章 连续信号与系统的时域分析
2.1 冲激函数及其性质
2.2 系统的冲激响应
2.3 信号的时域分解和卷积积分
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定
2.5 卷积积分的性质
2.6 卷积的数值计算
习题 2
2.1 冲激函数及其性质
2.1.1 冲激函数
冲激函数是对于集中于一个瞬间（或一点）出现的物理
量的一种理想描述。
单位冲激函数的工程定义,
单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面
积为 1两个特点。从它 t=0时函数值趋于无穷大，可以看出，
不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函
数（ generalized function），或称分配函数（ distribution
function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对
应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一
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不是用它“是”什么来定义，而是用它能“做”什么来定义
的。
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单位冲激函数的严格的数学定义。
2.1.2 冲激函数的性质
作为广义函数，冲激函数除了式（ 2.1-4）和式（ 2.1-16）所
描述的取样性质（或称筛选性质）外，还具有如下常用性质,
1.加权特性
2.单位冲激函数为偶函数
3.单位阶跃函数的导数是单位冲激函数
4.尺度变换
5.冲激函数的导数及其性质
单位冲激函数及其各阶导数和积分是一族最常用的奇异函数。
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2.2 系统的冲激响应
线性时不变时间系统的单位冲激响应，是指系统初始
状态为零，激励为单位冲激信号作用下的响应，简称冲
激响应，用 h(t) 表示。它反映了系统的特性，同时也是
利用卷积积分进行系统时域分析的重要基础。
1,对于简单电路，直接计算该电路在单位冲激信号作用
下的零状态响应，即可求得冲激响应 h(t)。
2,先计算系统的阶跃响应 s(t)，然后利用冲激响应和阶跃
响应的关系计算冲激响应 h(t)。
3,从系统的微分方程求解冲激响应。
2.3 信号的时域分解和卷积积分
上一节讨论了系统对于单位冲激信号这一特殊激励下的零
状态响应，本节将研究任意波形信号可以分解为连续的冲激
信号之和，以及任意信号作用下的零状态响应问题，进而说
明卷积积分的物理意义。
2.3.1 信号的时域分解
任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。
任意波形的信号也可以分解为无限多个连续的加权阶跃信
号之和。
2.3.2 零状态响应 ---卷积积分
任意波形信号作用于线性系统引起的零状态响应，为
(2.3-10）
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其积分上、下限会有所变化。
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式（ 2.3-10）应表示为
(2.3-12）
相反，若 x(t)不受此限，而 t<t2时,h(t)=0，积分上限应取 t-t2,
式（ 2.3-10）应表示为
（ 2.3-13）
若 t<t1时,x(t)=0，而 t<t2时,h(t)=0，式（ 2.3-10）积分上,下限
为
（ 2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步
进行分析讨论。
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2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定
上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及 x(t)和 h(t)均为有始
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据具体情况来确定，特别是当 x(t)和 h(t)两者或两者之一是分段
定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.1 卷积的图解
卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程。
卷积的图解归纳起来有下列五个步骤,
1,换元：将和中的变量 t更换为变量 τ；
2,折叠：作出相对于纵轴的镜象；
3,位移：把平移一个 t值；
4,相乘：将位移后的函数乘以；
5,积分：和乘积曲线下的面积即为 t时刻的卷积值。
由于卷积积分的计算步骤包括换元、折叠、位移、相乘与积
分，故卷积也称为褶积或卷乘等。
2.4.2 卷积的另一种计算方法
如果 x(t)和 h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式
（ 2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。
2.5 卷积积分的性质
作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利
用这些性质可使卷积运算大为简化。
2.5.1 卷积代数
通常，卷积积分与代数中的乘法运算性质相类似。
（ 1）卷积运算满足交换律
（ 2）卷积积分满足分配律
（ 3）卷积积分满足结合律
2.5.2 卷积的微分与积分
上述卷积代数运算的规律与普通乘法类似，但卷积的微分
或积分运算却与普通两函数的乘积的微分、积分运算不同。
（ 1）卷积的微分性质
（ 2）卷积的积分性质
（ 3）卷积的微积分性质
任意函数 x(t)与单位冲激函数 ?(t)卷积的结果仍然是本身，根
据式（ 2.3-3）和卷积的定义，有
（ 2.5-17）
由此可见任意函数 x(t)与一个延迟时间为 t1秒的单位冲激函数
?(t-t1)的卷积，只是使 x(t)在时间上延迟了 t1，而波形不变。这
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2.5.4 卷积的时移
若, 则
(2.5-22)
2.6 卷积的数值计算
卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外，还可以
利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。
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