信号与系统
第七章
第 7章 状态变量分析
7.1 状态与状态空间
7.2 连续系统状态方程的建立
7.3 连续系统状态方程的解
7.4 离散系统状态变量分析
7.5 系统的可控制性和可观测性
习题 7
第 7章 状态变量分析
分析一个物理系统, 首先必须建立系统的数学模型, 以便
利用有效的数学工具解决实际问题 。 在系统分析中常用的系
统描述方法有输入 -输出描述法和状态变量描述法两大类 。
前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入 -输出描述
法 (input-output description),又称端口分析法, 也称外部法 。
它强调用系统的输入, 输出变量之间的关系来描述系统的特
性 。 一旦系统的数学模型建立以后, 就不再关心系统内部的
情况, 而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的
影响 。 这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握, 对于较
为简单系统的分析是合适的 。 其相应的数学模型是 n 阶微分
(或差分 )方程 。
随着系统的复杂化, 往往要遇到非线性, 时变, 多输入, 多
输出系统的情况 。 此外, 许多情况下在研究其外部特性的同
时, 还需要研究与系统内部情况有关的问题, 如复杂系统的
稳定性分析, 最佳控制, 最优设计等等 。 这时, 就需要采用
以系统内部变量为基础的状态变量描述法 (state variable
description),这是一种内部法 。 它用状态变量描述系统内部
变量的特性, 并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系
起来, 用于描述系统的外部特性 。 与输入 -输出描述法相比,
状态变量描述法具有以下主要优点,
(1) 可以有效地提供系统内部的信息, 使人们较为容易地
处理那些与系统内部情况有关的分析, 设计问题；
(2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入 -单输
出系统特性的描述, 也适用于非线性, 时变, 多输入, 多输
出系统特性的描述；
(3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算 。
本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法,
然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的
方法, 最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的
判定问题 。
7.1 状态与状态空间
为了方便建立状态方程, 下面先给出连续系统状态变量分析
法中常用的几个名词的定义 。
1.状态 (state) 状态可理解为事物的某种特性 。 状态发生变化
意味着事物有了发展和改变, 所以, 状态是研究事物的一类依
据 。 系统的状态就是系统的过去, 现在和将来的状况 。 从本质
上说, 系统的状态是指系统的储能状况 。
2.状态变量 (state variable) 用来描述系统状态的数目最少的
一组变量 。 显然, 状态变量实质上反映了系统内部储能状态的
变化 。 常用 来表示 。
x t x t1 2( ),( ),?
这组状态变量可以完全唯一地确定系统 t>t0 任意时刻的运动
状况 。 这种所谓, 完全, 表示反映了系统的全部状况,, 最
少, 表示确定系统的状态没有多余的信息 。
3.状态矢量 (state vector)能够完全描述一个系统行为的 n 个状
态变量，可以看成一个矢量的各个分量的坐标，此时矢量称
为状态矢量，并可写成矩阵的形式
(7.1-1)
4,状态空间 (state space) 状态矢量所在的空间称为状态空间 。
状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数, 也
称系统的复杂度阶数 (order of complexity),简称系统的阶数 。
5,状态轨迹 (state orbit) 在状态空间中, 系统在任意时刻的
状态都可以用状态空间中的一点 (端点 )来表示 。 状态矢量的端
点随时间变化而描述的路径, 称为状态轨迹 。
x(t) ? ?
? x t x t T1 2( ),( ),?
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。
当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时，一般分两步
进行：一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特性
的方程，一般是一阶微分 (或差分 )方程组，它建立了状态变量
与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与激励、状态变
量关系的输出方程，一般是一组代数方程；二是利用系统的初
始条件求取状态方程和输出方程的解。
可见, 建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量 。 若已
知电路, 最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压,
因为它们直接与系统的储能状态相联系 。 但也可以选择电感中
的磁链或电容上的电荷 。 甚至有时可以选用不是系统中实际存
在的物理量 。 但是状态变量必须是一组独立的变量, 即所谓动
态独立变量, 即系统复杂度的阶数 n 。
7.2 连续系统状态方程的建立
状态方程的建立主要有两大类：直接法和间接法 。 依据给
定系统结构直接编写出系统的状态方程 。 这种方法直观, 有
很强的规律性, 特别适用于电网络的分析计算 。 间接法常利
用系统的输入 -输出方程, 系统模拟图或信号流图编写状态方
程 。 这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计 。 本节
主要讨论连续系统状态方程的建立 。
7.2.1连续系统状态方程的一般形式
连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组, 用矩
阵形式来表示, 为
vxx BA ???
输出方程为
vxy DC ??
上式中, 系数矩阵 A为 n× n方阵, 称为系统矩阵；系数矩阵
B为 n× m矩阵, 称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩阵, 称
为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时不变系统,
这些矩阵都是常数矩阵 。
7,2.2 由电路图建立状态方程
为建立电路的状态方程, 首先要选择状态变量, 其中, 电容
和电感元件的 VCR在电压, 电流关联参考方向下, 有如下关
系, 即
, 。
可见, 若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容
易满足状态方程的形式 。 实际上, 电容的电压和电感的电流
正反映了电容和电感的储能状态 。 一般地说, 由电路直接建
立状态方程的步骤如下,
td
vdCi C
C ? td
idLv L
L ?
1,选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
2．对于电容 C应用 KCL写出该电容的电流
与其它状态变量和输入变量的关系式；
3,对于电感 L应用 KVL写出该电感的电压
与其它状态变量和输入变量的关系式；
4,消除非状态变量 (称为中间变量 )；
5,整理成状态方程和输出方程的标准形式 。
td
vdCi C
C ?
td
idLv L
L ?
为了叙述方便，如果定义不存在全电容回路和全电感割集
的网络称为常态（ proper）网络。否则称为非常态网络。显
然常态网络中全部的电容电压和电感电流均为状态变量。一
般的常态网络还可以应用直流电路的知识列写状态方程。
从实例可以得到如下结论,
1.状态变量的选取并不是唯一的, 选取不同的状态变量,
状态方程的形式会改变；
2.非常态网络的状态方程可能会出现激励的导数项, 但只
要改变状态变量的设置, 总能使其导数项消失, 使之成为标
准的状态方程 。
另外, 还应该指出的是, 仅有 R,L,C组成的无受控源网络
总能列写出标准的状态方程 。 如果电路含有受控源, 由于多
了一类约束关系, 可能会使状态变量的个数 (状态矢量的维
数 )减少, 有时, 对于少数特定的电路无法列写出标准的状
态方程 。
7.2.2 从输入 -输出方程导出状态方程
输入 -输出方程和状态方程是对同一系统的两种不同的描述
方法 。 两者之间必然存在着一定的联系 。 由于状态变量更有
利于计算机计算 。
7.2.3 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入 -输出微分方程或系统函数可以作出系统
的模拟图或信号流图 。 然后依此选择每一个积分器的输出端
信号为状态变量, 最后得到状态方程和输出方程 。 由于系统
函数可以写成不同的形式, 所以模拟图或信号流图也可以有
不同的结构, 于是状态变量也可以有不同的描述方式, 因而
状态方程和输出方程也具有不同的参数 。
设已知三阶系统的微分方程为
d y t
d t
d y t
d t
d y t
d t y t
d v t
d t v t
3
3
2
28 19 12 4 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ?
则该系统的系统函数显然为
(7.2-24a)
当然, 系统函数还可以写成如下形式
H s ss s s( ) ? ?? ? ?4 108 19 123 2
4
2
3
1
1
1)(
?
??
???? ssssH
4
1
3
2
1
1
1
4
4
1
3
2
5
1
4
)(
?
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?
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?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
sss
ss
s
s
s
(7.2-24c)
(7.2-24b)
故可分别画出级联, 并联和串联等三类模拟图或信号流图 。
1,级联 (卡尔曼型 )模型
级联模拟又称直接模拟, 共有两种不同的形式 。 由式 7.2-
24(a),第一种直接模拟如图 7.2-7(a)所示 。 当然, 也可画出相
应的信号流图 。
)3(q
? ? ?
"q
'q q
?
)(ty?
10
)(tv
?8
?19
?12
4
选取三个积分器输出为状态变量, 则有
写成矩阵形式, 状态方程为
x q x q x q1 2 3? ? ?,',' '
则状态方程为,
?
?
?
x x
x x
x x x x v
1 2
2 3
3 1 2 312 19 8
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
输出方程为,
y x x? ?10 41 2
? ?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
0 1 0
0 0 1
12 19 8
0
0
1
?
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?
矩阵形式为,
? ? ? ? ? ?? ?y
x
x
x
v?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?10 4 0 0
1
2
3
第二种直接模拟如图 7.2-8(a)所示 。
2,并联模拟
由式 (7.2-24b),可知此复杂系统可以用三个简单的子系统的
并联来表示, 其中, 每一个简单子系统的系统函数为
其模拟图如图 7.2-9(a)和 (b)所示 。
1
s a?
1
s a? ?a
? ?
整个系统的模拟图如图 7.2-10(a)所示，相应的信号流图如图
7.2-10(b)所示。
?1
? ?
?3
? ?
?4
? ?
v t( ) y t( )
1
1
?2
?
x1
x2
x3
设状态变量如图。
得 ?
?
?
x x v
x x v
x x v
y x x x
1 1
2 2
3 3
1 2 3
3
4
2
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ?
? ? ? ? ? ?? ?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
v
y
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1 0 0
0 3 0
0 0 4
1
1
1
1 1 2 0
?
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? ?
?
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?
?
?
?
?
?
?
应该注意到, 系数矩阵 A是由系统的特征根－ 1,－ 3,－ 4
所构成的对角阵, 所以, 称这种状态变量为对角线状态变量 。
3,串联模拟
由式 (7.2-24c),串联模拟图如图 7.2-11(a)所示 。 相应的信
号流图如图 7.2-11(b)所示 。
?1
? ?
?3
? ?
?4
? ???1
2
4
v t( )
y t( )
x1x2x3
选取状态变量
如图,状态方程为
?
?
?
x x x x
x x x
x x v
y x
1 1 2 3
2 2 3
3 3
1
4
1
2
4
3 4
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ? ?? ?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
v
y
x
x
x
v
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
4
0 3 4
0 0 1
0
0
1
1 0 0 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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? ?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
矩阵形式为
应该注意到，系数矩阵 A是一个上三角矩阵。
显然, 上述三类通过模拟图列写状态方程的方法均可以推
广到 n 阶系统的一般情况 。 从上面的讨论可知, 状态变量是
可以在系统内部选取, 也可以人为地虚拟 。 对于同一个系统,
状态变量的选取不同, 系统的状态方程和输出方程也将不同,
但它们所描述的系统的输入 -输出关系没有改变 。 容易理解,
由于同一系统的特征方程和特征根相同, 各系数矩阵 A是相
似的 (参见附录一的 F1.2)。
当系统的输入和输出都不止一个时, 情况稍微复杂一些, 但
只要分别画出其相应的模拟图或信号流图, 按照上述方法仍
然能方便地列写出状态方程和输出方程 。
7.3 连续系统状态方程的解
前面已经讨论了连续系统状态方程和输出方程的建立方法 。
接下来的问题是如何求解这些方程 。 一般来说, 求解状态方
程仍然有两种方法：一种基于拉普拉斯变换的复频域求解；
另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
7.3.1 状态方程的复频域解
如前所述, 连续系统状态方程的标准形式
为一阶常系数线性矢量微分方程, 输出方程的标准形式为
vxx BA ???
vxy DC ??
方程两边进行拉氏变换
)()()0()( sBsAss VXxX ??? ?
式中, I为 n× n单位矩阵 。
为了方便, 定义,分解矩阵
(7.3-3)
)()0()()( sBsAsI VxX ??? ?
(7.3-1)
将式 (7.3-1)改写为
(7.3-2)
? ( ) ( )s sI A? ? ? 1
分解矩阵 (resolvent matrix)是一个由系统参数 A完全决定了
的矩阵 。 它在状态方程的求解过程中起着非常重要的作用 。 这
时式 (7.3-2)可表示为
(零输入 ) (零状态 )
这就是状态方程的拉氏变换解。
)()()0()()( sBsss VΦxΦX ?? ?
分解矩阵的拉氏反变换为状态 状态转移矩阵。
? ( ) ( ) ( )t s sI A? ? ? ?? 1
对状态矢量的复频域解取拉氏反变换, 为
(7.3-5)
零输入响应 零状态响应
式 (7.3-5)就是状态矢量的时域解 。 式中, 第一部分仅由系统
的初始状态决定 。 故为零输入响应；第二部分是激励的函数,
故为零状态响应 。
在求得状态矢量的复频域解后, 代入输出方程, 即可得到响
应的复频域解 。 由输出方程得到其拉氏变换的表达式为
)]()([)]0()([
)()(
11 sBss
st
VΦLxΦL
Xx
??? ??
?
? ?
)(])([)0()[(
)()]()0()[(
)()()(
sDBsCsC
sDsBsC
sDsCs
VΦxΦ
VVxΦ
VXY
???
???
??
?
?
(7.3-6)
系统函数矩阵或称转移函数为
(7.3-9)
因此, 零状态响应也可表示为
(7.3-10)
可见, 系统函数矩阵 H(s)仅有系统的 A,B,C,D矩阵确定,
它是 r× m矩阵 ( r 为输出的数目, m 为输入的数目 ) 。 矩阵
元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(t)与第 j个输入 xj(t)之间
的联系 。
DBsCs ?? )()( ΦH
)()()( sssZS VHY ?
7.3.2 状态方程的时域解
矢量微分方程和标量微分方程的时域求解本质上同样是相
同的 。 根据矩阵指数函数的定义和性质 (参见附录一的 F1.3)，
不难发现它与普通的 (标量 )指数函数的性质和运算方法也完
全一样 。 下面, 推导其求解的过程和解的形式
对于状态方程
将上式作时域运算, 得
vxx BA ???
??? dBeet tAtA )()0()( )( vxx ?
?
??
?? ??
其中, 零输入响应为
(7.3-19b) )0()( ?? xx tA
zi et
(7.3-19a)
零状态响应, 为
(7.3-19c)
从上面的讨论中可以看到, 在矢量微分方程的时域解中,
如何计算 是一个关键的问题 。 常用的计算方法有,
(1) 幂级数法 。 按照的定义展开成幂级数, 然后求出其近
似解 。
(2) 矩阵的相似变换法 。 将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
?,即
??? dBet tAzs )()( )( vx ?
?
??
??
tAe
????? BPP 1
1??? PAP
(3) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将
表示成有限项之和，然后进行计算。
当然, 在复频域中求分解矩阵, 然后, 反变换求就更
好些 。
tAe
7.4 离散系统状态变量分析
与连续系统一样, 可以利用状态变量分析法来分析离散
系统 。 离散系统是用差分方程来描述的, 选择适当的状态
变量可以把高阶差分方程化为关于状态变量的一阶差分方
程组, 这个差分方程组就是该离散系统的状态方程 。 输出
方程是关于变量 k 的代数方程组 。
7.4.1 离散系统状态方程的一般形式
如果是线性时不变离散系统, 则状态方程是状态变量和
输入序列的一阶线性常系数差分方程组, 即
式 (7.4-1)称为状态变量方程或状态空间方程, 简称状态方
程, 式 (7.4-2)称为输出方程 。 它们同样可以用矩阵形式来
表示 。 则状态方程式 (7.4-1)可以表示为如下的标准形式
(7.4-3)
为一阶常系数线性矢量差分方程, 输出方程式 (7.4-2)的标
准形式为
(7.4-4)
为变量为 k 的矢量代数方程 。
上式中, 系数矩阵 A为 n× n方阵, 称为系统矩阵；系数
矩阵 B为 n× m矩阵, 称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩
阵, 称为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时
不变系统, 这些矩阵都是常数矩阵 。
)()()1( kBkAk vxx ???
)()()( kDkCk vxY ??
7.4.2 离散系统状态方程的建立
建立离散系统的状态方程有多种方法 。 利用系统模拟图
或信号流图建立状态方程是一种实用的方法 。 其建立过程
与连续系统类似 。 首先, 选取离散系统模拟图 (或信号流图 )
中的延时器输出端 (延时支路输出节点 )信号作为状态变量；
然后, 用延时器的输入端 (延时支路输入节点 )写出相应的状
态方程；最后, 在系统的输出端 (输出节点 )列写系统的输出
方程 。
第一种直接模拟与连续系统的情况类似, 相应地, 也有第
二种直接模拟, 并联模拟和串联模拟 。 这里, 不多赘述 。
当系统的输入和输出都不止一个时, 同样, 只要画出其相
应的模拟图或信号流图, 按照上述方法仍然可以方便地列
写出状态方程和输出方程 。
7.4.3 离散系统状态方程的解
求解状态方程仍然有两种方法：一种基于 Z变换的变换域
求解；另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
一, 离散系统状态方程的 Z域解
用 Z变换求解一阶差分方程组与求解单个标量差分方程没
有什么本质上的差异 。 对状态方程式 (7.4-3)两边取 Z变换,
根据 Z变换的微分性质, 得
(7.4-5)
式中, X(z)和 F(z)分别表示状态矢量 x(k) 和输入矢量 f(k)的单
边 Z变换, x(0)表示状态矢量的初始状态 。
相应地, 输出方程式 (7.4-4)的 Z变换为
)()()0()( zBzAzzz VXxX ???
)()()( zDzCz VXY ?? (7.4-6)
矩阵为离散系统的分解矩阵 。 显然, 这是一个由系统参数 A
完全决定了的矩阵 。 这时式 (7.4-5)可表示为
(7.4-9)
这就是状态矢量的 Z域解 。 对上式取 Z反变换, 有
(7.4-10)
式中第一项为状态矢量的零输入响应；第二项为零状态响
应 。
在求得状态矢量的 Z域解后, 代入输出方程式 (7.4-6),即
可得到输出矢量的 Z域解, 为
zAzIz 1)()( ???Φ
(7.4-8) 定义
)]()0()[()( 1 zBzzz VxΦX ???
)]()([)]0()([)( 111 zBzzzk VΦZxΦZx ??? ??
在零状态条件下系统输出的 Z变换与输入的 Z变换之比定
义为离散系统函数 。 由式 (7.4-11)可得系统函数矩阵或称转
移函数矩阵为
(7.4-13)
系统函数矩阵的 Z反变换是离散系统的单位函数响应矩阵
h(k)。
)()]()0()[()( 1 zDzBzzCz VVxΦY ??? ?
(7.4-11)
)(])([)]0()([)( 111 zDBzCzzCk VΦZxΦZy ??? ???
对上式取 Z反变换，有
(7.4-12)
DBzCzz ?? ? )()( 1 ΦH
可见, 零状态响应的 Z变换也可表示为
(7.4-14)
从式 (7.4-13)中可以看到, 系统函数矩阵 H(z)仅有系统的 A、
B,C,D矩阵确定, 它是 r× m矩阵 (r为输出的数目, m为输
入的数目 )。 矩阵元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(k)与
第 j个输入 xj(k)之间的联系 。
对于线性时不变系统, B,C,D都是常数矩阵, 从式 (7.4-
13)中可以看出, 系统函数矩阵 H(z)中只有矩阵含有变量 z 。
一般情况下, H(z)与 ?(z) 具有相同的分母, 即行列式, 它是
一个 z的 n次多项式 。 方程
(7.4-15)
的根是 H(z)的极点，即系统的固有频率。因此，式 (7.4-15)称
为系统的特征方程，它的根是特征根，或称矩阵 A的特征根。
判定离散系统是否稳定，也就是判定特征根是否位于单位圆
)()()( zzzzs VHY ?
0?? AzI
内, 仍然可以用第 6章的裘利准则 。
二, 状态方程的时域解
矢量差分方程和标量差分方程的时域求解本质上同样是相
同的 。 由于是一阶差分方程, 只需采用叠代法求解就可以
了 。 下面, 推导其求解的过程和解的形式
对于离散系统状态方程式 (7.4-3),当给定 k=0时的初始状
态矢量 x(0)以及时的输入矢量 v(k)后, 依次令状态方程中的
k =0,1,2,.,,, 就可以得到相应状态矢量的解, 为
(7.4-19)
由上面离散系统状态变量分析法变换域和时域的讨论中可
以看到, 它与连续时间系统变换域和时域解法是非常类似
的 。
)()0()(
1
0
1 iBAAk
k
i
ikk vxx ?
?
?
????
离散系统状态方程求解中，状态转移矩阵的计算是非常重
要的。在时域常用方法有,
(1) 矩阵的相似变换法。将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
?。
(2) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将表示成有
限项之和，然后进行计算。
当然, 通过式 (7.4-22),在 Z域中求分解矩阵, 然后, Z反变
换求, 就更好些 。
7.5 系统的可控制性和可观测性
作为系统状态变量描述的一个应用, 这里简单地介绍系统
可控制性与可观测性的初步概念 。
可控制性与可观测性是线性系统的两个基本问题, 它与
系统的稳定性一样, 从不同侧面反映系统的特性 。 系统的
可控制性反映着输入对于系统状态的控制能力；可观测性
反映着系统的状态对于输出的影响能力 。 粗略地讲, 对于
一个线性时不变系统而言, 如果其输入能够激发出系统的
所有固有频率 (即在其输出中存在着与所有固有频率所对应
的项 ),就称它是可控制的；如果其输入为零, 在零输入响
应中, 它的全部固有频率项在输出中都可以观察到, 则称
为可观测的 。
在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时, 输出量通
过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系, 这样, 输
出量既是被观测的量又是被控制的量, 且输出量一定受输
入量的控制, 因此不存在可控制性与可观测性的问题 。 但是,
用状态变量描述系统时, 人们将着眼于系统内部各个状态变
量的变化, 输入量与输出量通过系统内部的状态间接地相联
系 。 实际上, 可控制性是说明状态变量与输入量之间的联系；
可观测性是说明状态变量与输出量之间的联系 。
7.5.1 状态矢量的线性变换
作为分析可控制性与可观测性的基础, 先讨论状态矢量的
线性变换 。 在状态方程建立过程中, 同一个系统可以选择
不同的状态矢量, 从而列出不同的状态方程 。 这些状态方
程既然是描述的是同一系统 。 则这些状态矢量之间应该有
一定的关系 。 对于同一个系统而言, 不同状态矢量之间存
在着线性关系 。
对于式 (7.2-5)的状态方程和输出方程, 若存在非奇异矩阵 P，
使状态矢量 x(t)经线性变换成为新状态矢量 w(t),即
显然, 新状态矢量下的系数矩阵 Aw与原系数矩阵 A是相似
矩阵 。 它们具有相同的特征方程和特征根 。
)()( 1 tPt xw ?? (7.5-1)
对式 (7.5-1)求导，并代入式 (7.2-5)的状态方程，可得
)()()()()( 11 tBtAtBPtAPPt ww vwvww ???? ???
输出方程为
)()()()()( tDtCtDtCPt ww vwvwy ????
(7.5-3)
(7.5-4)
上述连续系统状态矢量线性变换的方法和结论同样适用于离
散系统 。
当系统的特征根全部是单根时，常用的线性变换是将矩阵 A
变换成对角阵。
7.5.2 系统的可控制性
系统的可控制性, 是指输入信号对系统内部状态的控制能力 。
当系统用状态方程描述时, 给定系统的初始状态值, 若可以找
到输入矢量 (即控制矢量 )能在有限的时间内把系统的所有状态
引向状态空间的原点 (即零状态 ),则称该系统是完全可控制的
(简称可控系统 )。 如果只对部分状态变量做到这一点, 则称此
系统是不完全可控制的 (简称不可控系统 )。
在上述定义中, 如果在有限时间内能把系统从状态空间的原
点 (零状态 )引向预先指定的状态, 这称该系统是完全可达的 (简
称可达系统 )。 对于线性时不变系统来说, 可控性和可达性是
一致的 。 下面讨论两种可控制性的判定方法 。
(1)可控制性判则一
若给定系统的状态方程, 系数矩阵 A为对角阵, 或能通过
非奇异矩阵 P(这里, 称其为模态矩阵 )将它化为对角阵时,
如果这时控制矩阵中没有任何一行元素全部为零, 则该系
统是可控制的 。
如例 7.5-1中, 已知的状态方程式 (7.5-6)相应的模拟图如图
7.5-1(a)所示, 它就很难判定输入对内部状态是否有影响力；
求得的对角化后的状态方程式 (7.5-8) 相应的模拟图如图
7.5-1(b)所示, 由图可以清楚地看出, 两个状态变量之间没
有联系, 而控制矩阵 Bw中有一行元素为零 (本例为单输入
的情况, 即一个零元素 )。 表现在模拟图中, 第一个状态变
量与输入无关, 而且也与其它状态变量无关, 因而它不受
输入的控制 。 所以, 该系统是不完全可控的 。 这里, 同时
也说明了为什么把矩阵 A化为对角阵的原因 。
离散系统可控制性判定类似于此, 不再赘述 。
(2)可控性判则二
若连续系统有 n个状态变量, 其状态方程为
通过求解, 可得
vxx BA ???
?
?
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?
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??
?
??
)(
)(
)(
][)0(
11
11
10
12
tr
tr
tr
BABAABB
n
n
?
?x
(7.5-13)
式 (7.5-13)是一个 n元一次代数方程组的矩阵形式 。 显然, 欲使
方程组存在 n个唯一的确定解, 系数矩阵 M 中 n个列矢量必须
线性无关, 即 M 的秩为 n 。 或者说, 对于给定的一组 x(0－ )，
若 M 的秩为 n, 则总可以找到一组控制矢量 v(t)满足式 (7.5-13)。
因此, 连续系统可控的充要条件是 M 满秩, 即
][ 12 BABAABBM n ??? ?
(7.5-14)
nBABAABBM n ?? ? ][r a n kr a n k 12 ?
(7.5-15)
记可控矩阵为
7.5.3 系统的可观测性
所谓系统的可观测性是指根据系统的输出量来确定系统状
态的能力 。 即通过观察有限时间内的输出量, 能否识别 (或确
定 )系统的初始状态 。 在给定有限时间 (0,t1)内根据系统的输
出唯一确定出系统的所有初始状态, 则称系统完全可观测；
若只能确定部分初始状态, 则此系统不完全可观测 。 同样,
也讨论两种判则 。
(1) 可观测性判则一
若连续系统具有各不相同的特征根，当状态方程对角化后
(这时，各状态变量间没有任何联系），输出方程为
)()()( tDtCt ww vwy ??
则此系统完全可观测的充要条件是矩阵 Cw = CP中没有任
何一列元素全部为零。
如例 7.5-1中, 从式 (7.5-9)可知, 矩阵 Cw中有一列元素均为零
(本例为单输出的情况, 即一个零元素 ),即表明输出无法识
别 (或确定 )第二个状态变量 。 故该系统不是完全可观测的 。
对于离散系统, 此判则同样适用 。
(2) 可观测性判则二
在可观测性判则一的讨论过程中, 利用凯来 -哈密尔顿定理
可得
)0(][)(
1
2
1210
?
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?
?
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?
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?
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? xy
n
n
CA
CA
CA
C
ggggt
?
?
(7.5-17)
满秩 。 即
这是连续系统完全可观测的充要条件 。
上述判则对离散系统同样有效 。
?
?
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?
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? 1
2
n
CA
CA
CA
C
N
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上式表明，输出 y(t) 是系统所有初始状态的线性组合，因
而要求在（ 0,t1）时间内根据输出 y(t) 唯一确定 x(0-),则
要求可观测矩阵
nN ?r a n k (7.5-18)
7.5.4 系统函数与可控制性、可观测性
在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时, 输出量通
过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系, 系统函数
表征了在这种描述时的系统特性 。 但应用系统函数来考虑
系统的可控制性和可观测性有时会出问题 。 主要步骤为
(1) 检查系统的可控制性和可观测性；
(2) 求可控与可观测的状态变量的个数；
(3) 求系统的系统函数 H(s) 。
由实例的系统函数 H(s) 的计算结果可以看出：系统有唯一的
极点 s = － 2，表明系统是稳定的。由于存在零、极点相消，
右半平面的极点 s = 3，在输出端是观测不到的。实际上，系
统内部“潜藏”着不稳定因素。因此，当存在零、极点相消
时系统函数不能反映系统的全部信息。显然，此时 H(s)只反
映了对输入信号的零状态响应，而不能反映出系统的零输入
响应。由此，可以得到结论：一个线性系统，如果其系统函
数不存在零、极点相消的情况，那么系统既是可控制的又是
可观测的；如果存在零、极点相消的情况，那么系统将是不
可控制的或是不可观测的。用状态变量分析系统比输入 -输出
法更能反映系统的全貌和系统内部的运动规律。
第七章
第 7章 状态变量分析
7.1 状态与状态空间
7.2 连续系统状态方程的建立
7.3 连续系统状态方程的解
7.4 离散系统状态变量分析
7.5 系统的可控制性和可观测性
习题 7
第 7章 状态变量分析
分析一个物理系统, 首先必须建立系统的数学模型, 以便
利用有效的数学工具解决实际问题 。 在系统分析中常用的系
统描述方法有输入 -输出描述法和状态变量描述法两大类 。
前面几章讨论的信号与系统各种分析方法属于输入 -输出描述
法 (input-output description),又称端口分析法, 也称外部法 。
它强调用系统的输入, 输出变量之间的关系来描述系统的特
性 。 一旦系统的数学模型建立以后, 就不再关心系统内部的
情况, 而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的
影响 。 这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握, 对于较
为简单系统的分析是合适的 。 其相应的数学模型是 n 阶微分
(或差分 )方程 。
随着系统的复杂化, 往往要遇到非线性, 时变, 多输入, 多
输出系统的情况 。 此外, 许多情况下在研究其外部特性的同
时, 还需要研究与系统内部情况有关的问题, 如复杂系统的
稳定性分析, 最佳控制, 最优设计等等 。 这时, 就需要采用
以系统内部变量为基础的状态变量描述法 (state variable
description),这是一种内部法 。 它用状态变量描述系统内部
变量的特性, 并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系
起来, 用于描述系统的外部特性 。 与输入 -输出描述法相比,
状态变量描述法具有以下主要优点,
(1) 可以有效地提供系统内部的信息, 使人们较为容易地
处理那些与系统内部情况有关的分析, 设计问题；
(2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不变的单输入 -单输
出系统特性的描述, 也适用于非线性, 时变, 多输入, 多输
出系统特性的描述；
(3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算 。
本章首先介绍状态和状态空间的概念和状态变量描述的方法,
然后给出连续和离散系统状态方程和输出方程的建立和求解的
方法, 最后简要地讨论状态空间中系统可控制性和可观测性的
判定问题 。
7.1 状态与状态空间
为了方便建立状态方程, 下面先给出连续系统状态变量分析
法中常用的几个名词的定义 。
1.状态 (state) 状态可理解为事物的某种特性 。 状态发生变化
意味着事物有了发展和改变, 所以, 状态是研究事物的一类依
据 。 系统的状态就是系统的过去, 现在和将来的状况 。 从本质
上说, 系统的状态是指系统的储能状况 。
2.状态变量 (state variable) 用来描述系统状态的数目最少的
一组变量 。 显然, 状态变量实质上反映了系统内部储能状态的
变化 。 常用 来表示 。
x t x t1 2( ),( ),?
这组状态变量可以完全唯一地确定系统 t>t0 任意时刻的运动
状况 。 这种所谓, 完全, 表示反映了系统的全部状况,, 最
少, 表示确定系统的状态没有多余的信息 。
3.状态矢量 (state vector)能够完全描述一个系统行为的 n 个状
态变量，可以看成一个矢量的各个分量的坐标，此时矢量称
为状态矢量，并可写成矩阵的形式
(7.1-1)
4,状态空间 (state space) 状态矢量所在的空间称为状态空间 。
状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的维数, 也
称系统的复杂度阶数 (order of complexity),简称系统的阶数 。
5,状态轨迹 (state orbit) 在状态空间中, 系统在任意时刻的
状态都可以用状态空间中的一点 (端点 )来表示 。 状态矢量的端
点随时间变化而描述的路径, 称为状态轨迹 。
x(t) ? ?
? x t x t T1 2( ),( ),?
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。
当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时，一般分两步
进行：一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特性
的方程，一般是一阶微分 (或差分 )方程组，它建立了状态变量
与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与激励、状态变
量关系的输出方程，一般是一组代数方程；二是利用系统的初
始条件求取状态方程和输出方程的解。
可见, 建立状态方程遇到的第一个问题是选定状态变量 。 若已
知电路, 最习惯选取的状态变量是电感的电流和电容的电压,
因为它们直接与系统的储能状态相联系 。 但也可以选择电感中
的磁链或电容上的电荷 。 甚至有时可以选用不是系统中实际存
在的物理量 。 但是状态变量必须是一组独立的变量, 即所谓动
态独立变量, 即系统复杂度的阶数 n 。
7.2 连续系统状态方程的建立
状态方程的建立主要有两大类：直接法和间接法 。 依据给
定系统结构直接编写出系统的状态方程 。 这种方法直观, 有
很强的规律性, 特别适用于电网络的分析计算 。 间接法常利
用系统的输入 -输出方程, 系统模拟图或信号流图编写状态方
程 。 这种方法常用于系统模拟和系统控制的分析设计 。 本节
主要讨论连续系统状态方程的建立 。
7.2.1连续系统状态方程的一般形式
连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组, 用矩
阵形式来表示, 为
vxx BA ???
输出方程为
vxy DC ??
上式中, 系数矩阵 A为 n× n方阵, 称为系统矩阵；系数矩阵
B为 n× m矩阵, 称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩阵, 称
为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时不变系统,
这些矩阵都是常数矩阵 。
7,2.2 由电路图建立状态方程
为建立电路的状态方程, 首先要选择状态变量, 其中, 电容
和电感元件的 VCR在电压, 电流关联参考方向下, 有如下关
系, 即
, 。
可见, 若选择电容的电压和电感的电流作为状态变量很容
易满足状态方程的形式 。 实际上, 电容的电压和电感的电流
正反映了电容和电感的储能状态 。 一般地说, 由电路直接建
立状态方程的步骤如下,
td
vdCi C
C ? td
idLv L
L ?
1,选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
2．对于电容 C应用 KCL写出该电容的电流
与其它状态变量和输入变量的关系式；
3,对于电感 L应用 KVL写出该电感的电压
与其它状态变量和输入变量的关系式；
4,消除非状态变量 (称为中间变量 )；
5,整理成状态方程和输出方程的标准形式 。
td
vdCi C
C ?
td
idLv L
L ?
为了叙述方便，如果定义不存在全电容回路和全电感割集
的网络称为常态（ proper）网络。否则称为非常态网络。显
然常态网络中全部的电容电压和电感电流均为状态变量。一
般的常态网络还可以应用直流电路的知识列写状态方程。
从实例可以得到如下结论,
1.状态变量的选取并不是唯一的, 选取不同的状态变量,
状态方程的形式会改变；
2.非常态网络的状态方程可能会出现激励的导数项, 但只
要改变状态变量的设置, 总能使其导数项消失, 使之成为标
准的状态方程 。
另外, 还应该指出的是, 仅有 R,L,C组成的无受控源网络
总能列写出标准的状态方程 。 如果电路含有受控源, 由于多
了一类约束关系, 可能会使状态变量的个数 (状态矢量的维
数 )减少, 有时, 对于少数特定的电路无法列写出标准的状
态方程 。
7.2.2 从输入 -输出方程导出状态方程
输入 -输出方程和状态方程是对同一系统的两种不同的描述
方法 。 两者之间必然存在着一定的联系 。 由于状态变量更有
利于计算机计算 。
7.2.3 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入 -输出微分方程或系统函数可以作出系统
的模拟图或信号流图 。 然后依此选择每一个积分器的输出端
信号为状态变量, 最后得到状态方程和输出方程 。 由于系统
函数可以写成不同的形式, 所以模拟图或信号流图也可以有
不同的结构, 于是状态变量也可以有不同的描述方式, 因而
状态方程和输出方程也具有不同的参数 。
设已知三阶系统的微分方程为
d y t
d t
d y t
d t
d y t
d t y t
d v t
d t v t
3
3
2
28 19 12 4 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ?
则该系统的系统函数显然为
(7.2-24a)
当然, 系统函数还可以写成如下形式
H s ss s s( ) ? ?? ? ?4 108 19 123 2
4
2
3
1
1
1)(
?
??
???? ssssH
4
1
3
2
1
1
1
4
4
1
3
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5
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4
)(
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sss
ss
s
s
s
(7.2-24c)
(7.2-24b)
故可分别画出级联, 并联和串联等三类模拟图或信号流图 。
1,级联 (卡尔曼型 )模型
级联模拟又称直接模拟, 共有两种不同的形式 。 由式 7.2-
24(a),第一种直接模拟如图 7.2-7(a)所示 。 当然, 也可画出相
应的信号流图 。
)3(q
? ? ?
"q
'q q
?
)(ty?
10
)(tv
?8
?19
?12
4
选取三个积分器输出为状态变量, 则有
写成矩阵形式, 状态方程为
x q x q x q1 2 3? ? ?,',' '
则状态方程为,
?
?
?
x x
x x
x x x x v
1 2
2 3
3 1 2 312 19 8
?
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? ? ? ? ?
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输出方程为,
y x x? ?10 41 2
? ?
?
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x
x
x
x
x
x
v
1
2
3
1
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0 1 0
0 0 1
12 19 8
0
0
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矩阵形式为,
? ? ? ? ? ?? ?y
x
x
x
v?
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?
?
?10 4 0 0
1
2
3
第二种直接模拟如图 7.2-8(a)所示 。
2,并联模拟
由式 (7.2-24b),可知此复杂系统可以用三个简单的子系统的
并联来表示, 其中, 每一个简单子系统的系统函数为
其模拟图如图 7.2-9(a)和 (b)所示 。
1
s a?
1
s a? ?a
? ?
整个系统的模拟图如图 7.2-10(a)所示，相应的信号流图如图
7.2-10(b)所示。
?1
? ?
?3
? ?
?4
? ?
v t( ) y t( )
1
1
?2
?
x1
x2
x3
设状态变量如图。
得 ?
?
?
x x v
x x v
x x v
y x x x
1 1
2 2
3 3
1 2 3
3
4
2
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x
x
x
x
x
x
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y
x
x
x
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2
3
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0 0 4
1
1
1
1 1 2 0
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应该注意到, 系数矩阵 A是由系统的特征根－ 1,－ 3,－ 4
所构成的对角阵, 所以, 称这种状态变量为对角线状态变量 。
3,串联模拟
由式 (7.2-24c),串联模拟图如图 7.2-11(a)所示 。 相应的信
号流图如图 7.2-11(b)所示 。
?1
? ?
?3
? ?
?4
? ???1
2
4
v t( )
y t( )
x1x2x3
选取状态变量
如图,状态方程为
?
?
?
x x x x
x x x
x x v
y x
1 1 2 3
2 2 3
3 3
1
4
1
2
4
3 4
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x
x
x
x
x
x
v
y
x
x
x
v
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2
3
1
2
3
4
1
2
4
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0 0 1
0
0
1
1 0 0 0
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?
矩阵形式为
应该注意到，系数矩阵 A是一个上三角矩阵。
显然, 上述三类通过模拟图列写状态方程的方法均可以推
广到 n 阶系统的一般情况 。 从上面的讨论可知, 状态变量是
可以在系统内部选取, 也可以人为地虚拟 。 对于同一个系统,
状态变量的选取不同, 系统的状态方程和输出方程也将不同,
但它们所描述的系统的输入 -输出关系没有改变 。 容易理解,
由于同一系统的特征方程和特征根相同, 各系数矩阵 A是相
似的 (参见附录一的 F1.2)。
当系统的输入和输出都不止一个时, 情况稍微复杂一些, 但
只要分别画出其相应的模拟图或信号流图, 按照上述方法仍
然能方便地列写出状态方程和输出方程 。
7.3 连续系统状态方程的解
前面已经讨论了连续系统状态方程和输出方程的建立方法 。
接下来的问题是如何求解这些方程 。 一般来说, 求解状态方
程仍然有两种方法：一种基于拉普拉斯变换的复频域求解；
另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
7.3.1 状态方程的复频域解
如前所述, 连续系统状态方程的标准形式
为一阶常系数线性矢量微分方程, 输出方程的标准形式为
vxx BA ???
vxy DC ??
方程两边进行拉氏变换
)()()0()( sBsAss VXxX ??? ?
式中, I为 n× n单位矩阵 。
为了方便, 定义,分解矩阵
(7.3-3)
)()0()()( sBsAsI VxX ??? ?
(7.3-1)
将式 (7.3-1)改写为
(7.3-2)
? ( ) ( )s sI A? ? ? 1
分解矩阵 (resolvent matrix)是一个由系统参数 A完全决定了
的矩阵 。 它在状态方程的求解过程中起着非常重要的作用 。 这
时式 (7.3-2)可表示为
(零输入 ) (零状态 )
这就是状态方程的拉氏变换解。
)()()0()()( sBsss VΦxΦX ?? ?
分解矩阵的拉氏反变换为状态 状态转移矩阵。
? ( ) ( ) ( )t s sI A? ? ? ?? 1
对状态矢量的复频域解取拉氏反变换, 为
(7.3-5)
零输入响应 零状态响应
式 (7.3-5)就是状态矢量的时域解 。 式中, 第一部分仅由系统
的初始状态决定 。 故为零输入响应；第二部分是激励的函数,
故为零状态响应 。
在求得状态矢量的复频域解后, 代入输出方程, 即可得到响
应的复频域解 。 由输出方程得到其拉氏变换的表达式为
)]()([)]0()([
)()(
11 sBss
st
VΦLxΦL
Xx
??? ??
?
? ?
)(])([)0()[(
)()]()0()[(
)()()(
sDBsCsC
sDsBsC
sDsCs
VΦxΦ
VVxΦ
VXY
???
???
??
?
?
(7.3-6)
系统函数矩阵或称转移函数为
(7.3-9)
因此, 零状态响应也可表示为
(7.3-10)
可见, 系统函数矩阵 H(s)仅有系统的 A,B,C,D矩阵确定,
它是 r× m矩阵 ( r 为输出的数目, m 为输入的数目 ) 。 矩阵
元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(t)与第 j个输入 xj(t)之间
的联系 。
DBsCs ?? )()( ΦH
)()()( sssZS VHY ?
7.3.2 状态方程的时域解
矢量微分方程和标量微分方程的时域求解本质上同样是相
同的 。 根据矩阵指数函数的定义和性质 (参见附录一的 F1.3)，
不难发现它与普通的 (标量 )指数函数的性质和运算方法也完
全一样 。 下面, 推导其求解的过程和解的形式
对于状态方程
将上式作时域运算, 得
vxx BA ???
??? dBeet tAtA )()0()( )( vxx ?
?
??
?? ??
其中, 零输入响应为
(7.3-19b) )0()( ?? xx tA
zi et
(7.3-19a)
零状态响应, 为
(7.3-19c)
从上面的讨论中可以看到, 在矢量微分方程的时域解中,
如何计算 是一个关键的问题 。 常用的计算方法有,
(1) 幂级数法 。 按照的定义展开成幂级数, 然后求出其近
似解 。
(2) 矩阵的相似变换法 。 将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
?,即
??? dBet tAzs )()( )( vx ?
?
??
??
tAe
????? BPP 1
1??? PAP
(3) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将
表示成有限项之和，然后进行计算。
当然, 在复频域中求分解矩阵, 然后, 反变换求就更
好些 。
tAe
7.4 离散系统状态变量分析
与连续系统一样, 可以利用状态变量分析法来分析离散
系统 。 离散系统是用差分方程来描述的, 选择适当的状态
变量可以把高阶差分方程化为关于状态变量的一阶差分方
程组, 这个差分方程组就是该离散系统的状态方程 。 输出
方程是关于变量 k 的代数方程组 。
7.4.1 离散系统状态方程的一般形式
如果是线性时不变离散系统, 则状态方程是状态变量和
输入序列的一阶线性常系数差分方程组, 即
式 (7.4-1)称为状态变量方程或状态空间方程, 简称状态方
程, 式 (7.4-2)称为输出方程 。 它们同样可以用矩阵形式来
表示 。 则状态方程式 (7.4-1)可以表示为如下的标准形式
(7.4-3)
为一阶常系数线性矢量差分方程, 输出方程式 (7.4-2)的标
准形式为
(7.4-4)
为变量为 k 的矢量代数方程 。
上式中, 系数矩阵 A为 n× n方阵, 称为系统矩阵；系数
矩阵 B为 n× m矩阵, 称为控制矩阵；系数矩阵 C为 r× n矩
阵, 称为输出矩阵；系数矩阵 D为 r× m矩阵 。 对于线性时
不变系统, 这些矩阵都是常数矩阵 。
)()()1( kBkAk vxx ???
)()()( kDkCk vxY ??
7.4.2 离散系统状态方程的建立
建立离散系统的状态方程有多种方法 。 利用系统模拟图
或信号流图建立状态方程是一种实用的方法 。 其建立过程
与连续系统类似 。 首先, 选取离散系统模拟图 (或信号流图 )
中的延时器输出端 (延时支路输出节点 )信号作为状态变量；
然后, 用延时器的输入端 (延时支路输入节点 )写出相应的状
态方程；最后, 在系统的输出端 (输出节点 )列写系统的输出
方程 。
第一种直接模拟与连续系统的情况类似, 相应地, 也有第
二种直接模拟, 并联模拟和串联模拟 。 这里, 不多赘述 。
当系统的输入和输出都不止一个时, 同样, 只要画出其相
应的模拟图或信号流图, 按照上述方法仍然可以方便地列
写出状态方程和输出方程 。
7.4.3 离散系统状态方程的解
求解状态方程仍然有两种方法：一种基于 Z变换的变换域
求解；另一种是采用时域法求解 。 下面分别加以叙述 。
一, 离散系统状态方程的 Z域解
用 Z变换求解一阶差分方程组与求解单个标量差分方程没
有什么本质上的差异 。 对状态方程式 (7.4-3)两边取 Z变换,
根据 Z变换的微分性质, 得
(7.4-5)
式中, X(z)和 F(z)分别表示状态矢量 x(k) 和输入矢量 f(k)的单
边 Z变换, x(0)表示状态矢量的初始状态 。
相应地, 输出方程式 (7.4-4)的 Z变换为
)()()0()( zBzAzzz VXxX ???
)()()( zDzCz VXY ?? (7.4-6)
矩阵为离散系统的分解矩阵 。 显然, 这是一个由系统参数 A
完全决定了的矩阵 。 这时式 (7.4-5)可表示为
(7.4-9)
这就是状态矢量的 Z域解 。 对上式取 Z反变换, 有
(7.4-10)
式中第一项为状态矢量的零输入响应；第二项为零状态响
应 。
在求得状态矢量的 Z域解后, 代入输出方程式 (7.4-6),即
可得到输出矢量的 Z域解, 为
zAzIz 1)()( ???Φ
(7.4-8) 定义
)]()0()[()( 1 zBzzz VxΦX ???
)]()([)]0()([)( 111 zBzzzk VΦZxΦZx ??? ??
在零状态条件下系统输出的 Z变换与输入的 Z变换之比定
义为离散系统函数 。 由式 (7.4-11)可得系统函数矩阵或称转
移函数矩阵为
(7.4-13)
系统函数矩阵的 Z反变换是离散系统的单位函数响应矩阵
h(k)。
)()]()0()[()( 1 zDzBzzCz VVxΦY ??? ?
(7.4-11)
)(])([)]0()([)( 111 zDBzCzzCk VΦZxΦZy ??? ???
对上式取 Z反变换，有
(7.4-12)
DBzCzz ?? ? )()( 1 ΦH
可见, 零状态响应的 Z变换也可表示为
(7.4-14)
从式 (7.4-13)中可以看到, 系统函数矩阵 H(z)仅有系统的 A、
B,C,D矩阵确定, 它是 r× m矩阵 (r为输出的数目, m为输
入的数目 )。 矩阵元素 Hij建立了状态方程中第个 i输出 yi(k)与
第 j个输入 xj(k)之间的联系 。
对于线性时不变系统, B,C,D都是常数矩阵, 从式 (7.4-
13)中可以看出, 系统函数矩阵 H(z)中只有矩阵含有变量 z 。
一般情况下, H(z)与 ?(z) 具有相同的分母, 即行列式, 它是
一个 z的 n次多项式 。 方程
(7.4-15)
的根是 H(z)的极点，即系统的固有频率。因此，式 (7.4-15)称
为系统的特征方程，它的根是特征根，或称矩阵 A的特征根。
判定离散系统是否稳定，也就是判定特征根是否位于单位圆
)()()( zzzzs VHY ?
0?? AzI
内, 仍然可以用第 6章的裘利准则 。
二, 状态方程的时域解
矢量差分方程和标量差分方程的时域求解本质上同样是相
同的 。 由于是一阶差分方程, 只需采用叠代法求解就可以
了 。 下面, 推导其求解的过程和解的形式
对于离散系统状态方程式 (7.4-3),当给定 k=0时的初始状
态矢量 x(0)以及时的输入矢量 v(k)后, 依次令状态方程中的
k =0,1,2,.,,, 就可以得到相应状态矢量的解, 为
(7.4-19)
由上面离散系统状态变量分析法变换域和时域的讨论中可
以看到, 它与连续时间系统变换域和时域解法是非常类似
的 。
)()0()(
1
0
1 iBAAk
k
i
ikk vxx ?
?
?
????
离散系统状态方程求解中，状态转移矩阵的计算是非常重
要的。在时域常用方法有,
(1) 矩阵的相似变换法。将矩阵 A变换成相似的对角矩阵
?。
(2) 应用附录一 F1.4的凯来 -哈密尔顿定理，将表示成有
限项之和，然后进行计算。
当然, 通过式 (7.4-22),在 Z域中求分解矩阵, 然后, Z反变
换求, 就更好些 。
7.5 系统的可控制性和可观测性
作为系统状态变量描述的一个应用, 这里简单地介绍系统
可控制性与可观测性的初步概念 。
可控制性与可观测性是线性系统的两个基本问题, 它与
系统的稳定性一样, 从不同侧面反映系统的特性 。 系统的
可控制性反映着输入对于系统状态的控制能力；可观测性
反映着系统的状态对于输出的影响能力 。 粗略地讲, 对于
一个线性时不变系统而言, 如果其输入能够激发出系统的
所有固有频率 (即在其输出中存在着与所有固有频率所对应
的项 ),就称它是可控制的；如果其输入为零, 在零输入响
应中, 它的全部固有频率项在输出中都可以观察到, 则称
为可观测的 。
在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时, 输出量通
过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系, 这样, 输
出量既是被观测的量又是被控制的量, 且输出量一定受输
入量的控制, 因此不存在可控制性与可观测性的问题 。 但是,
用状态变量描述系统时, 人们将着眼于系统内部各个状态变
量的变化, 输入量与输出量通过系统内部的状态间接地相联
系 。 实际上, 可控制性是说明状态变量与输入量之间的联系；
可观测性是说明状态变量与输出量之间的联系 。
7.5.1 状态矢量的线性变换
作为分析可控制性与可观测性的基础, 先讨论状态矢量的
线性变换 。 在状态方程建立过程中, 同一个系统可以选择
不同的状态矢量, 从而列出不同的状态方程 。 这些状态方
程既然是描述的是同一系统 。 则这些状态矢量之间应该有
一定的关系 。 对于同一个系统而言, 不同状态矢量之间存
在着线性关系 。
对于式 (7.2-5)的状态方程和输出方程, 若存在非奇异矩阵 P，
使状态矢量 x(t)经线性变换成为新状态矢量 w(t),即
显然, 新状态矢量下的系数矩阵 Aw与原系数矩阵 A是相似
矩阵 。 它们具有相同的特征方程和特征根 。
)()( 1 tPt xw ?? (7.5-1)
对式 (7.5-1)求导，并代入式 (7.2-5)的状态方程，可得
)()()()()( 11 tBtAtBPtAPPt ww vwvww ???? ???
输出方程为
)()()()()( tDtCtDtCPt ww vwvwy ????
(7.5-3)
(7.5-4)
上述连续系统状态矢量线性变换的方法和结论同样适用于离
散系统 。
当系统的特征根全部是单根时，常用的线性变换是将矩阵 A
变换成对角阵。
7.5.2 系统的可控制性
系统的可控制性, 是指输入信号对系统内部状态的控制能力 。
当系统用状态方程描述时, 给定系统的初始状态值, 若可以找
到输入矢量 (即控制矢量 )能在有限的时间内把系统的所有状态
引向状态空间的原点 (即零状态 ),则称该系统是完全可控制的
(简称可控系统 )。 如果只对部分状态变量做到这一点, 则称此
系统是不完全可控制的 (简称不可控系统 )。
在上述定义中, 如果在有限时间内能把系统从状态空间的原
点 (零状态 )引向预先指定的状态, 这称该系统是完全可达的 (简
称可达系统 )。 对于线性时不变系统来说, 可控性和可达性是
一致的 。 下面讨论两种可控制性的判定方法 。
(1)可控制性判则一
若给定系统的状态方程, 系数矩阵 A为对角阵, 或能通过
非奇异矩阵 P(这里, 称其为模态矩阵 )将它化为对角阵时,
如果这时控制矩阵中没有任何一行元素全部为零, 则该系
统是可控制的 。
如例 7.5-1中, 已知的状态方程式 (7.5-6)相应的模拟图如图
7.5-1(a)所示, 它就很难判定输入对内部状态是否有影响力；
求得的对角化后的状态方程式 (7.5-8) 相应的模拟图如图
7.5-1(b)所示, 由图可以清楚地看出, 两个状态变量之间没
有联系, 而控制矩阵 Bw中有一行元素为零 (本例为单输入
的情况, 即一个零元素 )。 表现在模拟图中, 第一个状态变
量与输入无关, 而且也与其它状态变量无关, 因而它不受
输入的控制 。 所以, 该系统是不完全可控的 。 这里, 同时
也说明了为什么把矩阵 A化为对角阵的原因 。
离散系统可控制性判定类似于此, 不再赘述 。
(2)可控性判则二
若连续系统有 n个状态变量, 其状态方程为
通过求解, 可得
vxx BA ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(
)(
)(
][)0(
11
11
10
12
tr
tr
tr
BABAABB
n
n
?
?x
(7.5-13)
式 (7.5-13)是一个 n元一次代数方程组的矩阵形式 。 显然, 欲使
方程组存在 n个唯一的确定解, 系数矩阵 M 中 n个列矢量必须
线性无关, 即 M 的秩为 n 。 或者说, 对于给定的一组 x(0－ )，
若 M 的秩为 n, 则总可以找到一组控制矢量 v(t)满足式 (7.5-13)。
因此, 连续系统可控的充要条件是 M 满秩, 即
][ 12 BABAABBM n ??? ?
(7.5-14)
nBABAABBM n ?? ? ][r a n kr a n k 12 ?
(7.5-15)
记可控矩阵为
7.5.3 系统的可观测性
所谓系统的可观测性是指根据系统的输出量来确定系统状
态的能力 。 即通过观察有限时间内的输出量, 能否识别 (或确
定 )系统的初始状态 。 在给定有限时间 (0,t1)内根据系统的输
出唯一确定出系统的所有初始状态, 则称系统完全可观测；
若只能确定部分初始状态, 则此系统不完全可观测 。 同样,
也讨论两种判则 。
(1) 可观测性判则一
若连续系统具有各不相同的特征根，当状态方程对角化后
(这时，各状态变量间没有任何联系），输出方程为
)()()( tDtCt ww vwy ??
则此系统完全可观测的充要条件是矩阵 Cw = CP中没有任
何一列元素全部为零。
如例 7.5-1中, 从式 (7.5-9)可知, 矩阵 Cw中有一列元素均为零
(本例为单输出的情况, 即一个零元素 ),即表明输出无法识
别 (或确定 )第二个状态变量 。 故该系统不是完全可观测的 。
对于离散系统, 此判则同样适用 。
(2) 可观测性判则二
在可观测性判则一的讨论过程中, 利用凯来 -哈密尔顿定理
可得
)0(][)(
1
2
1210
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? xy
n
n
CA
CA
CA
C
ggggt
?
?
(7.5-17)
满秩 。 即
这是连续系统完全可观测的充要条件 。
上述判则对离散系统同样有效 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
2
n
CA
CA
CA
C
N
?
上式表明，输出 y(t) 是系统所有初始状态的线性组合，因
而要求在（ 0,t1）时间内根据输出 y(t) 唯一确定 x(0-),则
要求可观测矩阵
nN ?r a n k (7.5-18)
7.5.4 系统函数与可控制性、可观测性
在采用输入 -输出描述系统 (又称端口描述法 )时, 输出量通
过微分方程 (或差分方程 )直接与输入量相联系, 系统函数
表征了在这种描述时的系统特性 。 但应用系统函数来考虑
系统的可控制性和可观测性有时会出问题 。 主要步骤为
(1) 检查系统的可控制性和可观测性；
(2) 求可控与可观测的状态变量的个数；
(3) 求系统的系统函数 H(s) 。
由实例的系统函数 H(s) 的计算结果可以看出：系统有唯一的
极点 s = － 2，表明系统是稳定的。由于存在零、极点相消，
右半平面的极点 s = 3，在输出端是观测不到的。实际上，系
统内部“潜藏”着不稳定因素。因此，当存在零、极点相消
时系统函数不能反映系统的全部信息。显然，此时 H(s)只反
映了对输入信号的零状态响应，而不能反映出系统的零输入
响应。由此，可以得到结论：一个线性系统，如果其系统函
数不存在零、极点相消的情况，那么系统既是可控制的又是
可观测的；如果存在零、极点相消的情况，那么系统将是不
可控制的或是不可观测的。用状态变量分析系统比输入 -输出
法更能反映系统的全貌和系统内部的运动规律。
