信号与系统
第六章
第 6章 离散信号与系统的变换域分析
6.1 Z变换
6.2 Z反变换
6.3 Z变换的性质
6.4 Z变换与拉氏变换的关系
6.5 离散系统的 Z域分析
6.6 离散系统函数与系统特性
6.7 离散信号与系统的频域分析
6.8 数字滤波器的一般概念
习题 6
第 6章 离散信号与系统的变换域分析
上一章讨论了离散信号与系统的时域分析，它的分析过
程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。我们已
经知道，连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行，
即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。同样，离散信号
与系统也存在类似的变换域分析，即离散时间傅里叶变换
和 Z变换分析。
本章首先讨论与拉普拉斯变换 (LT)相对应的 Z变换 (ZT)
分析。利用 Z变换把时域的差分方程变换成 Z域的代数方
程，从而使离散系统分析变得相当简便。然后，在此基础
上讨论与傅里叶变换 (CTFT，简称 FT)相对应的离散时间
傅里叶变换 (DTFT)。从而建立离散信号频谱和系统频率
特性的概念。
6.1 Z变换
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出 Z变换的
定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）
的 Z变换可直接定义为
（ 6.1-1）
即是（ z为复数）的一个幂级数。可以看出，的系数就是 f(k)
的值。式（ 6.1-1）称为 f(k)的 Z变换式，为了方便，上式还常
简写为
? ??? ),1(),0(),1(,)( fffkf ??
F z f z f z f z
f k z k
k
( ) ( ) ( ) ( )
( )
? ? ? ? ? ?
?
?
?
? ??
?
?
? ?1 0 11 0 1
f k F z( ) ( )?
离散信号的 Z变换的定义也可以由取样信号的拉氏变换引出。
一个连续信号 f(t)以均匀间隔 T进行理想取样得到取样信号
fS(t)，可表示为
（ 6.1-2）
也就是说，取样信号 fS(t)可以表示为一系列在 t = kT 时刻出
现的强度为 ?(kT) 的冲激信号之和。其中为连续信号 f(t) 在
t = kT时刻的值，是一个离散序列。
取样信号的拉氏变换为
??
?
???
?
???
????
kk
s kTtkTfkTttftf )()()()()( ??
?
?
???
??
k
k s T
s ekTfsF )()(
（ 6.1-3）
取新的复变量 z，令
,或 （ 6.1-4）
则式（ 6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即
（ 6.1-5）
z e s T? s T z? 1 ln
F s f k z F zS
s
T
z k
k( ) ( ) ( )
ln? ? ??
?
?? ??
1
这就是离散信号或的 Z变换表达式，可见，离散信号 f(k)的 Z
变换是取样信号 fS(t)的拉氏变换 FS(s)将变量 s代换为变量
的结果。式（ 6.1-4）、（ 6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及 S域与 Z域间的重要关系。如果离散信号 f(k)为
因果序列，即 k < 0时,f(k) = 0，或者只考虑 f(k)的 的
部分，则有
（ 6.1-6）
式中,k的取值是从 0到 ∞，称为单边 Z变换，称式 (6.1-1)为双
边 Z变换。无论是双边 Z变换还是单边 Z变换,F(s)称为 f(k)的
象函数； f(k)为 F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因
果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边 Z变换。
6.1.2 Z变换的收敛域
无论是按式（ 6.1-1）定义的双边 Z变换，还是按式（ 6.1-6）
z e s T?
0?k
F z f k z
k
k( ) ( )?
?
?
??
0
定义的单边 Z变换都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收
敛时,Z变换才有意义。例如因果序列
a为正实数
的双边或单边 Z变换为
（ 6.1-7）
显然，只有当 时，该无穷级数绝对收敛。
即级数收敛的充要条件为
（ 6.1-8）
根据等比级数的求和公式，式（ 6.1-7）才能以闭合式表示为
?
?
?
?
??
00
0)(
k
kakf k
k
k
k
k
k-k
k
aakfF )()()( 1
000
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??? ZZZZ
aa ?? zz -1 即1
??
?
? ??
0
)(
k
kzkf
az
z
azzF ???? ? 11
1)(
上述例子中 z的取值 ?z ?>a称为 F(z)的收敛条件。在 Z平面
（复平面）中,F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域
ROC（ Region of Convergence）。收敛条件 ?z ?>a,在 Z平面
中所对应的收敛域是圆心在原点半径为 a的圆外区域，半径 a
称为收敛半径，如图 6.1-2（ a）中的阴影部分。可见，对于
单边 Z变换，收敛域总是 Z平面内以原点为圆心的一个圆的
圆外区域，圆的半径视不同而不同。由于单边 Z变换收敛条
件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会，故一
般情况下不再加注其收敛域。而对于双边 Z变换，情况要复
杂一些。例如
双边 Z变换为
?
?
?
?
??
0
,0)(
kb
bakakf
k
k 为正实数
k
k
kk
k
k baF ?
?
???
?
?
?
?? ?? zzz 1
0
)( kkkk ba )()( 1 110 zz ??
?
?
???
?
??
上式后一级数收敛条件已经讨论过，为 ?z ?>a,前一个级数
的收敛条件为,即 ?z ?<b 。故整个 Z变换的收敛
域应为 a<z<b。当 a<b，则收敛域为 Z平面内圆心在原点外半径
为 b，内半径为 a的一个圆环区域。若 a>b,则无收敛域,Z变
换也就不存在。
值得注意的是，即便是同一个双边 Z变换的表达式，其收敛
域不同，则可能对应于两个不同的序列。
可见，双边 Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确
定其对应的时间序列。
由复变函数理论可知,Z变换的定义式是一罗朗级数，在收
敛域内是解析函数。
1?zb -1
6.1.3 常见序列的单边 Z变换
1,单位函数
（ 6.1-10）
可见，与连续时间系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单
位函数的 Z变换等于 1，收敛域为整个 Z平面。
2,单位阶跃序列
（ 6.1-11）
其收敛域为 ?z ?>a。
1)()]([
00
???
?
?
?
? k-k-k
k
kk zz??Z
11
1)()]([
1
00 ?
????? ??
?
?
?
? z
z
zzz -k
-k-k
k
kk ??Z
3,指数序列
由前面讨论
其收敛域为 ?z ?>a 。当 时
（ 6.1-12）
其收敛域为 ?z ?> 。
4,单边正弦序列和单边余弦序列
aaka -
k
???? z
z
z 11
1)]([ ?Z
1c o s2
)c o s)(c o s
2 ?? T-
T(kT εk
?
??
zz
-zz
1c o s2
s i n)(s i n
2 ?? T-
TkT εk
?
??
zz
z
T
kT k
?
? ?
e)](e[ ?? z
zZ
Tz ?e?
T?e
6.2 Z反变换
利用 Z变换可以把时域中对于序列 f(k)的运算变换为 Z域中对
于 F(z)的较为简单的运算。然后将 Z域中的运算结果再变回到时
域中去。由已知 F(z)求 f(k)的运算称为 Z反变换，或 Z逆变换。记
为
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和
围线积分法。这里仍然只考虑单边 Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由 Z变换的定义
k-1- zzz ??
?
??
0
)()()]([)(
k
kfFFkf Z
?2-zz )2()1()0()()( 1
0
fzffzkfF k
k
???? ??
?
?
?
若把已知的 F(z)展开成 z-1的幂级数，则该级数的各系数就是序
列 f(k)的值。
F(z)一般为变量 z的有理分式，展开为幂级数时，可以用代数
学中的长除法，即将分子和分母多项式按 z的降幂排列，然后将
分子多项式除以分母多项式所得的商式，即为以 z-1的幂级数。
在实用中，如果只需要求序列的前几个值，长除法就很方便。
使用长除法的缺点是不易求得闭合表示式。
6.2.2 部分分式展开法
一般 Z变换式是有理分式
（ 6.2-1）
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
azazaza
bzbzbzb
zD
zNF
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?z
F(z)的零点和极点的定义与拉氏变换相同，零、极点的图形
表示也与拉氏变换一样。
对于单边 Z变换，即 k < 0时,f(k)= 0的序列，其 Z变换的收
敛域为 ?z ?>R,包括 z = ∞处，故 F(z)的分母多项式的最高幂
次不能低于分子多项式的最高幂次，即必须满足 。
类似于拉氏变换中的部分分式展开法，由于 Z变换最基本的形
式是 1 和,因此，通常不是直接展开 F(z),而是展开
F(z) /z；然后，每个部分分式再乘以 z。
6.2.3 围线积分法 (留数法 )
nm ?
a?z
z
单边 Z反变换的积分公式可以直接从 Z变换的定义式推导出
来。由
（ 6.2-6）
式（ 6.2-6）叫做 Z反变换的积分公式，是 Z反变换的一般
表达式，由于围线 C包围了的所有孤立奇点 (极点 )，故此积
分式可运用留数定理来进行运算，所以又称为留数法，其
表达式为
（ 6.2-7）
式中,pm是围线 C内 F(z)zk-1的极点,Res[.]为极点 pm的留数。
F z f k z
k
k( ) ( )?
?
?
??
0
? ??
C
k zzzFkf d)(
j2
1)( 1
?
mpz
k
m
zzFkf ???? ])([sRe)( 1
6.3 Z变换的性质
求一个序列的 Z变换最基本的方法是按定义进行几何级数的
求和。当序列较复杂时，这种方法会很不方便。为此，我们
从另一个途径出发，弄清 Z变换的性质，即序列时域和 Z域间
的关系，可以由一些简单序列的 Z变换导出复杂序列的 Z变换，
由此简化 Z变换及 Z反变换的运算。由于 Z变换的不少性质与拉
氏变换的性质相似，从而能进一步地理解 Z变换。
由于我们所讨论的是单边 Z变换。因此不存在圆内收敛或圆
环收敛问题。如果 F(z)收敛，它必然是在某一圆外，所不同的
是圆的大小而已。因此，如无特殊需要，我们都省去对它的
收敛域的标注。
1,线性
Z变换是一种线性运算。这个性质只需根据 Z变换的定义即
可直接推出。它与拉氏变换的线性性质相当。
2,移序 (移位 )性
这一性质又称左移序性质，与拉氏变换的时域微分性
质相当。
这一性质又称右移序性质，与拉氏变换的时域积分性
质相当。
将上述性质加以推广，有
Z变换的移序性质能将关于 f(k)的差分方程转化为关于
F(z)的代数方程，它对简化分析离散时间系统起着重要的
作用。
)()( zFkf ? )0()()1( fFkf zzz ???若 则
)()( zFkf ? )1()()1( ???? fFkf zz -1若 则
)()()( zz - Fmkmkf m??? ?
3,比例性（尺度变换）
4,Z域微分
5,时域卷积定理
时域卷积定理表明两个离散函数在时域中的卷积的 Z变换，
等于这两个离散函数的 Z变换的乘积，对该乘积进行 Z反变换
就可以得到这个离散函数的卷积。它与拉氏变换的时域卷积
定理具有完全相同的形式，它们在联系时域和 Z域的关系中
起着十分重要的作用。
)()( zFkf ? ?
?
??
?
??
aFkfa
k z)(
若 则
)()( zFkf ?
z
Fkkf
d
)(d)( zz??若 则
)()( 11 zFkf ?
)()()()( 2121 zFzFkfkf ???
若
则
)()( 22 zFkf ?
6,序列求和
利用时域卷积定理，可以得到序列求和的 Z变换式。
7,初值定理
且 存在；
（ 6.3-16）
8,终值定理
若,且 f(k) 的终值 f(∞) 存在,
则 （ 6.3-19）
)()( zFkf ? )(
1])([0 z
z F
znf
k
n ?
??
?
若 则
)()( zFkf ?若
则
)()1(lim)( 1 z-z Ff z ???
)(lim zF
z ??
)(lim)0( zFf
z ??
?
)()( zFkf ?
例 6.3-9说明,当 ?a ?>1时，的终值为无穷大，当 a = － 1 时，
的终值为不定值，可见应用终值定理是有条件的。为了保
证 f(∞) 存在,(z-1)F(z)的极点必须处在单位圆的内部,
或者 F(z)除了在 z = 1 处允许有一个一阶极点外，其余极点
必须单位圆内部。否则终值定理是不成立的。
Z变换的初值和终值定理分别与拉氏变换的初值和终值定理
相当，应用这两个性质使我们无需求出 f(k)，直接由 F(z)求
取的两个特殊值 f(0) 和 f(∞) 。
9,Z域积分
)()( zFkf ?
vvvFkf
k z
d)()(1 1?
?
??
若 则
同理
vvvFzkf
ak
a
z
a d)()(1 )1( ??
?
???
6.4 Z变换与拉氏变换的关系
在定义 Z变换时已经知道，离散函数 f(k) 的 Z变换 F(z)
是连续函 f(t) 经过理想取样所得到的取样函数 fS(t) 的拉氏
变换 FS(s),并将变量 s 代换为变量 z=esT 的结果。而且在
前面曾多处提到 Z变换与拉氏变换的相似之处，可见这两
种变换并不是孤立的，它们之间有着密切的联系，在一定
条件下可以相互转换。
这就是由连续函数的拉氏变换直接求相应的离散函数的 Z
变换的关系式。式（ 6.4-2）积分可以应用留数定理来计算，
即
?
??
?? ?
?
j
j
d)(
j2
1)( ?
??
s
ez
szFzF
sT
issi
sTez
szFzF
?
? ?????? ?? )(sRe)( （ 6.4-3）
（ 6.4-2）
Z变换和拉氏变换之间的关系还可以由两者在 Z平面和 S平
面极点间的映射关系得到更深入的了解。
设 S平面中的极点
则 Z平面中的极点
得
（ 6.4-5）
这就是 Z平面中的极点的模和幅角分别与 S平面中的极点的
实部和虚部的关系。
iiis ?? j??
iiiiii iTTTTsi zz ????? jj)j( eeeee ???? ?
??
?
?
?
?
?
T
z
ii
T
i
i
??
?e
若,则,即位于 S平面的虚轴上的极点映
射到 Z平面的单位圆上；
若,则,即位于 S平面左半平面的极点映
射到 Z平面的单位圆的内部；
若,则,即位于 S平面右半平面的极点映
射到 Z平面的单位圆的外部。
特别是 S平面原点 的极点映射到 Z平面的 。
需要注意,S平面中的单极点映射到 Z平面中并不一定是单
极点，这是因为 S平面中具有同样实部而虚部相差 的
两个极点（或相差 整数倍的 m个极点）映射到 Z平面中的
极点都是相同的。
0?i?
0?i?
0?i?
1?iz
1?iz
1?iz
0?is 1?iz
T
?2
T
?2
反之,Z平面到 S平面的映射是多值的。 Z平面上一点
映射到 S平面的无穷多点
S平面和 Z平面之间的映射关系如图 6.4-2所示,S平面中的极
点 a 和 b 分别映射到 Z平面中的 a’ 和 b’, S平面中的极点 c,d,
e 具有相同的实部而虚部相差 （或其倍数），映射到 Z
平面是同一点 c’= d’= e’ 。
?jezz ?
T
mz
TzTs
?? 2j1ln1 ????
T
?2
6.5 离散系统的 Z域分析
与连续时间系统的拉氏变换分析相类似，在分析离散时间
系统时，可以通过 Z变换把描述离散时间系统的差分方程转
化为代数方程。此外,Z域中导出的离散系统函数的概念同
样能更方便、深入地描述离散系统本身的固有特性。
离散时间系统的 Z变换分析法与时域分析法一样，可以分
别求出零输入响应和零状态响应，然后叠加求得全响应，也
可以直接求得全响应。
一、零输入响应
设描述离散时间系统的是一个二阶前向差分方程
当输入 x(k)=0 时，可得相应的齐次差分方程，为
)()1()2(
)()1()2(
012
012
kxbkxbkxb
kyakyakya
?????
????
对上式进行 Z变换，并应用移序性质，可得
式中,Y（ z）就是零输入响应 yzi(k)的 Z变换，而 y(0)和 y(1)是零
输入初始条件 yzi(0), yzi(1) 。整理后，可得
（ 6.5-1）
对进行 Z反变换，即可得零输入响应。
对于 n阶系统，同样可以得到相应的结论。
后向差分方程的零输入响应也可以用相同的方法进行计算。
0)()1()2( 012 ????? kyakyakya
0)()]0()([)]1()0()([ 01222 ?????? zYazyzzYazyyzzYza
01
2
2
12
2
2 )]0()1([)0()(
azaza
zyayazyazY zizizi
Zi ??
???
上述例子说明，常系数线性差分方程中，若离散函数的序号
同时增加或减少同样的数目，差分方程所描述的关系不变。若
计算所需的初始条件并不是已知的零输入初始条件时，可以用
递推的方法将已知的初始条件代入相应的齐次差分方程中，即
可得到所需的初始条件。
二,零状态响应
在离散时间系统的时域分析法中，已经导出了零状态响应等
于激励函数与单位函数响应的卷积和，即
对上式进行 Z变换，并应用时域卷积定理，则有
（ 6.5-3）
式中 X(z), H (z)和 Y (z)分别为激励函数、单位函数响应和零状
态响应的 Z变换，最后进行 Z反变换，即可得到零状态响应。
)()()( khkxky s ??z
)()()( zHzXzY zs ??
在连续时间系统中，冲激响应 h(t)的拉氏变换 H(s)是连续
时间系统的系统函数。在离散时间系统中，单位函数响应
h(k)的 Z变换 H (z)是离散时间系统的系统函数，简称离散
系统函数。
连续时间系统的系统函数 H(s)可以直接由微分方程的拉
氏变换求出，同样，离散时间系统的系统函数 H(z)也可以
直接由差分方程的 Z变换求出。
仍然以二阶前向差分方程为例，为
)()1()2(
)()1()2(
012
012
kxbkxbkxb
kyakyakya
?????
????
对上式进行 Z变换，并应用移序性质，则有
)()]0()([)]1()0()([
)()]0()([)]1()0()([
01
22
2
01
22
2
zXbzxzzXbzxxzzXzb
zYazyzzYazyyzzYza
??????
?????
可得
上述方法可推广到 n阶前向差分方程。离散系统函数表示
系统的零状态响应的 Z变换与激励的 Z变换之比值。
类似地，可得到 n阶后向差分方程所描述的系统的离散
系统函数。
如离散函数的序号同时增加或减少同样的数目，离散系
统函数 H(z)同样不会改变。将离散系统函数与差分方程相
比较，可以看出两者之间的关系。
在求得离散系统函数后，将离散系统函数与激励函数的
Z变换相乘，即得零状态响应的 Z变换，最后再进行 Z反变
换后即为所求的零状态响应。一般地，利用 Z变换分析法
求解零状态响应比时域分析法的离散卷积求零状态响应要
简单得多。
01
2
2
01
2
2
)(
)()(
azaza
bzbzb
zX
zYzH
??
????
三,全响应
当已知零输入初始条件时，最直观的方法是分别求其零
输入响应和零状态响应，然后叠加求得全响应。
当已知全响应初始条件，且无需将零输入响应和零状态
响应分开求时，可以通过对差分方程直接 Z变换，直接求
得全响应。以二阶前向差分方程为例，推导结果仍为式
（ 6.5-4），与零状态响应不同的是式（ 6.5-5）、（ 6.5-6）
不能成立，这是因为 y (－ 1)和 y (－ 2)不一定为零。或者说
y (0),y (1)是由初始储能和激励共同引起的。应用式
（ 6.5-4），代入全响应初始条件 y (0)和 y (1)，即得到全响
应的 Z变换式，然后进行 Z反变换得到全响应。必须注意
的是对于前向差分方程来说，式（ 6.5-4）中 x (0)和 x (1)不
一定为零，这是与拉氏变换求微分方程全响应所不同的地
方。
当然，如果已知全响应初始条件，需要单独求取零输入响
应和零状态响应时，一般应先求零状态响应，然后可得到
零状态初始条件，再用全响应初始条件减去零状态初始条
件，即得零输入初始条件，再求零输入响应，最后叠加求
得全响应。
上式方法对后向差分方程同样是适用的。
6.6 离散系统函数与系统特性
离散系统的系统函数在离散系统分析中起着十分重要的作
用。如前所述，系统函数与系统的差分方程有着确定的对
应关系。尽管离散系统函数是由系统的零状态响应的 Z变换
和激励的 Z变换的比来定义的，但 H(z)与激励和零状态响应
无关，它表征了离散时间系统自身的特性，是离散系统的 Z
域描述。
6.6.1 H(z)的零点、极点及其时域响应
由 H(z)的定义式（ 6.5-8）可知，离散系统函数通常为有
理分式。其分母多项式等于零所构成的方程式就是离散系
统的特征方程，方程的根就是特征根，也就是 H(z)的极点。
系统函数分子多项式等于零的根为 H(z)的零点，故离散系
统函数又可写成
式中 zr r=1,2,…,m，是离散系统函数的零点,pi i=1,2,…,n
是离散系统函数的极点，且 H0为标量系数。的零点和极点
可以是实数，也可以是虚数或复数。
H z H
z z
z z
r
r
m
i
i
n
( )
( )
( )
?
?
?
?
?
?
?
0
1
1
将 H(z)进行 Z反变换可得到离散系统的单位函数响应 h(k),
由部分分式展开法可知离散系统函数 H(z)的极点确定了单
位函数响应的模式。又由式（ 6.5-2）和式（ 6.5-4）可知，
离散系统函数 H(z)的极点确定了离散系统的自然响应（包
括零输入响应、零状态响应和全响应中的自然响应）的模
式，这些结论都与连续时间系统相类似。但是这两类系统
极点的物理意义有所不同。
在连续时间系统中，若有一个一阶极点 s，自然响应中就有
相应的 。
s的实部 σ表示自然响应幅度增长或衰减速度的因子,s的虚
部 ω是自然响应的振荡频率。系统是否稳定取决于 H(s)的极
点，即特征根是否全部位于 S平面的左半平面。
tts AA )j(ee ?? ??
在离散时间系统中，若有一个一阶极点 p，自然响应中就
有相应的 Apk 项。
1,当 p为正实数时，即的极点位于 Z平面的正实轴，则自
然响应的幅度按 p小于、等于或大于 1，分别随 k 值的增大
而单调减小、不变或单调增长。
2,当 p 为负实数时，即的极点位于 Z平面的负实轴，则自
然响应的幅度仍按小于、等于或大于 1，分别随 k 值的增大
而作递减、不变或递增的变化，但正负交替改变。
3,当 p为复数时，设 p1和 p2为一对一阶共轭极点,
和 时，则自然响应中有相应的,
项，同时 A1 和 A2 也是一对共轭复数,
即 和
?j1 epp ? ?j2 e -pp ?
kk pApA
21 21 ?
?j1 eAA ? ?j
2 e -AA ?
可得
为一按指数规律的变幅的离散余弦振荡。振荡幅度增减的
快慢由 决定,
若 <1，即 H(z)的共轭极点位于单位圆内，自然响应为
减幅振荡；
若 >1，即 H(z)的共轭极点位于单位圆外，自然响应为
增幅振荡；
若 =1，即 H(z)的共轭极点位于单位圆上，自然响应为
等幅振荡。
振荡频率取决于 ?，若 ?增大，振荡频率亦增大,
)c o s (221 21 ?? ???? kpApApA kkk
p
p
p
p
若 ? ＝ ??，即 H(z)的极点位于负实轴，这时,
自然响应随序号 k 每增加 1
作正负变号一次，每增加 2 就完成一个周期振荡，振荡频率
为最高。即讨论的第二种情况。
H(z)的一阶极点在 Z平面上不同位置所对应的自然响应模式
如图 6.6-1所示。
由此可见，在离散时间系统中，自然响应的幅度和振荡频
率分别取决于极点的模和幅角；
而连续时间系统中，自然响应的幅度和振荡频率分别取决
于极点的实部和虚部。
)c o s ()c o s ( ??? kk ???
若 ? = 0，即 H(z)的极点位于正实轴，振荡频率为零，自然
响应随 k值单调增减而无振荡现象，即讨论的第一种情况；
6.6.2 离散系统函数与零状态响应
由式 (6.5-8)可以得到离散系统的单位函数响应和系统函数
是一对 Z变换。即
h(k)? H(z) (6.6-2)
在离散时间系统中，当离散时间系统的激励为无时限复指
数序列 x(k)=zk (-∞ < k < ∞),z取值位于 H(z)的收敛域内 )时，
利用时域分析的方法，系统的零状态响应可由卷积和求得，
为
n
n
knk
n
zs znhzznhkhkxky
?
?
???
?
?
???
?? ???? )()()()()(
考虑到 h(k)为因果序列，则上式为
)()()(
0
zHzznhzky kn
n
k
zs ??
?
?
?
?
（ 6.6-3）
上式表明，当激励为无时限复指数序列 zk时，系统的零状
态响应仍为同样的复指数序列，但被加权了 H(z) 。或者说，
只要将激励乘以离散系统函数 H(z)即可。
与连续系统拉氏变换的情况相似。根据单边 Z反变换的定
义，单边信号 x(k)可以表示为
(6.6-4)
式中，围线 C在 H(z)的收敛域中，其物理意义是因果信号 x(k)
可以分解为基本信号 zk之和 (积分 )。对于围线上的任一 z,
其分量的大小为 。由式 (6.6-3)，其零
状态响应为 。最后，将这些响
应分量叠加，即得系统的零状态响应，为
zzz zXzzzXkx k
C
k
C
d)(j2 1d)(j2 1)( 1 ?? ?? ? ??
kzz
z
zX ?? d)(
j2
1
?
kzzHz
z
zX )(d)(
j2
1 ??
?
6.6.3 离散系统的稳定性
稳定性分析是系统分析的组成部分。根据线性系统分析的
基本思想，系统的完全响应是由零输入响应和零状态响应两
部分组成的，因而，判别系统是否稳定同样可以通过一定的
准则分别判别零输入响应是否稳定、零状态响应是否稳定来
综合确定。
与连续系统的稳定性定义相似，零输入响应稳定也称系统
的渐近稳定。其含义是由系统任意初始储能所引起的响应随
着 k 的增加而逐渐衰减到零，即
(6.6-5)
0d)(j2 1d)()(j2 1)( 11 ??? ?? ?? kzzzYzzzYzXky k
C
zs
k
C
zs ??
0)(lim ??? ky zik
零状态响应稳定是初始不储能的系统在任一有界激励 x(k)（即
对所有 k都有, 为有限正实常数），其响
应 (零状态响应 )为 都是有界的（即对所有 k都有
, 为有限正实常数），则系统是零状
态响应稳定的。为了区别于其他形式的稳定性的定义，把上
述定义称为有界输入、有界输出 (BIBO)稳定。
可以证明，当系统函数不存在零、极点相消的情况下，系
统完全由系统函数所确定，则渐近稳定必然是 BIBO稳定，两
者是等效的。否则，可能出现系统不是渐近稳定但却是 BIBO
稳定。
由图 6.6-1可以看出，只有当 H(z)的极点位于 Z平面单位圆内时，
才满足式（ 6.6-6）,(6.6-7), 于是得出系统稳定性与 H(z)极
)(ky zs
yzs Mky ?)( yM
xMxMkx ?)(
点分布之间的关系为：当离散系统函数的极点全部位于 Z
平面单位圆内部时，此系统是 BIBO稳定系统。当极点位于
单位圆上，且为单极点时，系统为临界稳定的；否则，系
统是不稳定的。由图 6.4-2,由 S平面和 Z平面间的映射关
系可知,S平面的左半平面映射到 Z平面为单位圆内部，因
此，连续时间系统的稳定条件是的极点均位于 S左半平面
而离散时间系统的稳定条件是的极点均位于 Z平面的单位
圆内，是符合映射关系的。
裘利（ Jury）判别法是一种判别离散系统是否稳定的方
法。它可以直接检验特征方程式 D (z) = 0 的根是否全部位
于 Z平面的单位圆内，而无需求解方程的根。
6.7 离散信号与系统的频域分析
在连续时间信号与系统的变换域分析中，已经研究了傅里
叶变换和拉氏变换分析方法，在离散时间信号与系统的变换
域分析中，也有类似的变换域分析方法，前几节我们已经学
习了与拉氏变换相对应的 Z变换。本节着手研究与傅里叶变
换相对应的离散时间傅里叶变换（ Discrete Time Fourier
Transform），并在此基础上，分析离散时间信号与系统的
频率特性。
6.7.1 离散时间傅里叶变换（ DTFT）
在离散信号的双边 Z变换
中，令,或简写为,可得离散时间傅里
叶变换为
?
?
???
??
k
kzkfzF )()(
Tz ?je? Ωje
显然,F(?)是 ?的连续的周期函数，其周期为 2?。
为了保证离散时间傅里叶变换的存在，必须满足
或 F(z)的收敛域必须包括 Z平面上的单位圆。
离散时间傅里叶反变换为
（ 6.7-4）
通常将离散时间傅里叶变换简记为
?
?
???
??
k
Ωk-Ω kfΩFF jj e)()()e(
??
???
??
k
kf )(
?
?
?
?
??
ΩdeΩFkf kΩj)(
2
1)(
离散时间傅里叶变换有时也称为序列傅里叶变换。离散时
间傅里叶变换实质上就是单位圆上的 (双边 )Z变换。同时，
它又与连续时间傅里叶变换（ CTFT）的定义非常相似。
只不过是被分析的时域信号不同而已，当时域信号为连续
信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时，用离散
时间傅里叶变换。因此，连续时间傅里叶变换的性质同样
适用于离散时间傅里叶变换，只是由于离散时间傅里叶变
换的时域信号 f(k)是离散函数，而 F(?)是 ?的周期函数，以
致连续时间傅里叶变换的某些性质改变了原来的形式，如
连续时间傅里叶变换的时域微分性质相当于离散时间傅里
叶变换的差分性质，连续时间的积分性质相当于离散时间
的求和性质。
（ 6.7-5）
)]([I D T F T)(
)]([D T F T)(
??
?
Fkf
kfΩF
6.7.2 离散时间系统的频率响应
对于稳定的连续系统可以用连续时间傅氏变换来分析，这时
表示连续系统的频响特性。与之类似
，对于稳定的离散系统则可以用离散时间傅里叶变换来分析,
这时 或 H(?) 表示离散系统的频响特性。
设 X(?), H(?) 和 Y(?) 分别是激励 x(k),单位函数响应 h(k)和
零状态响应 y(k)的离散时间傅氏变换。由 y(k)= x(k)* h(k),应用
时域卷积定理，可得
Y(?)= X(?) H(?) （ 6.7-6）
式中,H(?) 称作离散时间系统的频域系统函数,h(k)和 H(?)
分别从时域和频域两个不同的角度反映了同一个系统的特性。
)()( j ?? HsH s ??
)e()( je j Ωz HzH ???
当激励信号 从 k= - ∞接入系统，此时零状态响应也就
是全响应，而且是稳态响应。式（ 6.7-7）说明，离散时间系
统对于正弦序列的稳态响应仍然是同频率的正弦序列，但需
乘 。 是正弦序列包络频率 ω的连续函数，它
反映了离散时间系统在正弦序列作用下的稳态响应随频率变
化的情况，称为离散时间系统的频响特性。 一般为 Ω
的复函数，有
? ? 和 ?(ω) 分别是离散时间系统的幅频特性和相频特
性。
离散时间系统频率响应的几个性质,
(1) 周期性质
由于 是周期函数，所以离散时间系统频率响应也是周
Ωje
)e( jΩH )e( jΩH
)e( jΩH
)(jjj e)e()e( ?? ?ΩΩ HH
)e( jΩH
Ωje
期函数，其周期为 2π。这是与连续时间系统不同的地方。
(2) 对称性质
当单位函数响应 h(k)为实序列时，其幅频特性是 Ω的偶函数，
相频特性是 Ω的奇函数。这是与连续时间系统相同的地方。
尽管离散系统的频率特性是以周期 2π变化的，但与连续系统一
样，也有低通、高通、带通、带阻、全通之分。由于频率特性
的周期性，因此这些特性只能限于 (－ π,π)范围内来区分。图
6.7-2画出了的情况，系统呈“低通”特性。
6.7.3 频率特性的几何确定
与连续时间系统一样，离散时间系统也可以根据离散系统函
数 H(z)在 Z平面的零、极点分布通过几何方法绘制离散系统的
频响特性曲线。
6.7.4 离散傅里叶变换（ DFT）
离散时间傅里叶变换（ DTFT,Discrete Time Fourier
Transform）使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信
号的频谱和离散系统的频响特性。但还存在两个实际问题。
1,数字频率 Ω=?T 是一个模拟量，为了便于今后用数字的
方法进行分析和处理，仅仅在时域将时间变量 t 离散化还不
够，还必须在频域将 Ω离散化。
2,实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，
必须把无限长序列截断或分段，化作有限长序列来处理。
说起离散谱，很自然会想起周期信号，因为周期连续信号
的傅氏级数是离散线谱。也就是说，频域的取样与时域的周
期化是等同的。
下面，用频域取样的方法来引入离散傅里叶变换（ DFT，
Discrete Fourier Transform）。
设 f(k) 为有限长序列或截尾序列,k = 0,1,2,… N-1 。则其离散
时间傅里叶变换为
若在 Z域单位圆上作 N点的等距离取样，则相邻两点相距,
有
即得离散傅里叶变换（ DFT）的定义式为
（ 6.7-13）
上式称为 N点的 DFT,N点指离散频谱的周期，也就是 F(n)在单
位圆上的样点数。
? ?
?
??
1
0
jj )()e(
N
k
ΩkΩ zkfF
N
?2
NnΩ
?2?
? ?
?
?? 1
0
2j
e)()(
N
k
knNkfnF ?
不难求得
（ 6.7-15）
上式就是离散傅里叶反变换（ IDFT）的定义式。
? ?
?
?
1
0
2j
e)(1)(
N
n
nkNnF
Nkf
?
比较式（ 6.7-13）和（ 6.7-15）的对称形式，就会发现 F(n)和
f(k) 的周期均为 N，有限序列中的 N点指时域延拓的周期。引
用符号,则式（ 6.7-13）和（ 6.-15）可简化为
（ 6.7-16）
（ 6.7-17）
N-NW
?2j
e?
10)()(
10)()(
1
0
1
0
????
????
?
?
?
?
?
?
?
NkWnFkf
NnWkfnF
kn
N
n
kn
N
k
N
N
式（ 6.7-16）和（ 6.7-17）构成一对变换，称为有限序长的
离散傅里叶变换。注意不要把 DFT和 DTFT相混淆。 DTFT是
对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而
DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序
列的傅里叶分析,DFT的特点是无论在时域还是频域都是有
限长序列。
DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤
其是 DFT的快速算法 FFT，在许多科学技术领域中得到了广
泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展。
???
?
?
?
de)j()]j([)(
de)()]([)j(
j1
j
t
t
FFtf
ttftfF
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
F
F
最后，把涉及到的几种傅里叶变换小结一下,
1.连续时间与连续频率的傅里叶变换
这种傅里叶变换，简记为 FT，或 CTFT(连续时间傅里叶变
换 )。变换对的时域信号和频域信号都是连续非周期的，其
形式为
2,连续时间与离散频率的傅里叶变换
这种变换其实为连续周期信号的傅里叶级数，简记为
CFS(Continued Fourier Series)。变换对的时域信号是连续周期
的，这里用 （ T0为周期）表示，而频域信号是离散
非周期的，这里用 F(n?0)（即 Fn ）表示，其中称为基波频率。
若将 CFS的反变换简记为 ICFS，则 CFS变换对的形式为
)(0 tf T
0
0
0
00
j
00
j
0
0
e)()]([)(
de)(
1
)]([)(
?
?
??
?
n
n
T
tn
TT
nFnFtf
ttf
T
tfnF
?
?
?
???
?
?
??
??
??
I C F S
C F S
3,离散时间与连续频率的傅里叶变换
这种变换就是离散时间傅里叶变换，简记为 DTFT，其变换
对形式重写如下,
?
?
???
??
k
Ωk-kfkfΩF je)()]([)( D T F T
?
?
??
?
??
ΩdeΩFΩFkf kΩj)(
2
1)]([)( I D T F T
4,离散时间与离散频率的傅里叶变换
这种变换其实就是对图 6.7-6（ c）的频域进行取样，反映到
时域等同于使时域信号延拓成周期信号，这种变换称为离散
时间傅里叶级数 DFS（ Discrete Fourier Series）。它的时域和
频域的信号都是离散的周期的。这里用 fN(k)和 FN(n) （ N为周
期）表示。变换对的形式与 DFT没有太大的差别。其形式为
?
?
?
??
1
0
2j
e)()]([)(
N
k
kn
N
-
NNN kfkfnF
?
D F S
?
?
?
??
1
0
2j
e)(1)]([)(
N
n
kn
N
NNN nFNnFkf
?
I D F S
将 DFS的时域和频域均截取其主值周期，便得到离散傅里叶
变换（ DFT），其实前面 DFT定义的引入是将 DFS和截取其主
值周期合并在一起进行而已。其整个过程为
周期延拓 DFS 截取主值周期
f(k) fN(k) FN(n) F(n)
DFT的定义成功地解决了 DTFT所存在的两个问题。且在时
域和频域截取了 DFS的主值周期，从而使实际应用更加方便。
6.8 数字滤波器的一般概念
与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。
它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率
进行加工处理。或者说，把输入信号变成一定的输出信号，
从而达到改变信号频谱的目的。数字滤波器一般可以用两种
方法来实现：一种方法是用数字硬件装配成一台专门的设备，
这种设备称为数字信号处理机；另一种方法就是直接利用通
用计算机，将所需要的运算编成程序让通用计算机来完成，
即利用计算机软件来实现。
数字滤波器的分类方法很多。若按照其幅频响应的通常
特性，可分为低通滤波器，高通滤波器，带通和带阻滤波
器等；若按照对确定信号和随机信号的数字处理来说，可
分为卷积滤波和相关滤波；若根据数字滤波器的构成方式，
可分为递归型数字滤波器，非递归数字滤波器以及用快速
傅里叶变换（ FFT）实现的数字滤波器；若根据其单位函数
响应的时间特性，又可分为无限长单位函数响应（ IIR）数
字滤波器和有限长单位函数响应（ FIR）滤波器。它们各有
几种具体的设计方法，前者包括冲激响应不变法、阶跃响
应不变法、双线性变换法等；后者包括窗口法、频率抽样
法等。
与模拟滤波器相比，数字滤波器具有更高的精确度和可
靠性，使用灵活、方便，已经成为数字信号处理技术中的
重要手段。
这里主要讨论如何根据已知的系统函数（或差分方程）
来实现数字滤波器的问题。下面介绍数字滤波器基本构成
方式。为了方便，差分方程以后向差分方程的形式给出。
1,递归型数字滤波器
递归型数字滤波器的特点是输出 y(k)不但取决于输入值，
而且还取决于输出值。
所谓数字滤波器的实现，可以通过离散系统函数写成数
字滤波器的差分方程，然后按差分方程编写计算机程序，
通过计算机完成所要求的数字滤波任务。这种实现方法称
为软件实现法。也可以使用模拟离散系统的三种基本运算
单元构成离散系统函数的模拟框图，也能完成所要求的数
字滤波任务，这种实现方法称为硬件实现法。
从已知离散系统函数作出框图方法即数字滤波的硬件实
现方法，根据实现的结构不同，可分为直接实现、并联实
现和级联实现等不同方式。
由于递归型数字滤波器含有反馈环路，因此，系统的单位
函数响应 h(k)通常是无限长的，所以递归型数字滤波器一般
属于 IIR型滤波器。
2,非递归型数字滤波器
非递归滤波器的 H(z) 除 z = 0点外，只有零点没有极点，
因此，它属于“全零点数字滤波器”。当然，这种系统总是
稳定的，由于的长度是有限的，因此这类滤波器属于 FIR型
滤波器。
我们在这里简要介绍了一些数字滤波器的基本内容，更加
深入全面的讨论将在后续课程“数字信号处理”中进行。
第六章
第 6章 离散信号与系统的变换域分析
6.1 Z变换
6.2 Z反变换
6.3 Z变换的性质
6.4 Z变换与拉氏变换的关系
6.5 离散系统的 Z域分析
6.6 离散系统函数与系统特性
6.7 离散信号与系统的频域分析
6.8 数字滤波器的一般概念
习题 6
第 6章 离散信号与系统的变换域分析
上一章讨论了离散信号与系统的时域分析，它的分析过
程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。我们已
经知道，连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行，
即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。同样，离散信号
与系统也存在类似的变换域分析，即离散时间傅里叶变换
和 Z变换分析。
本章首先讨论与拉普拉斯变换 (LT)相对应的 Z变换 (ZT)
分析。利用 Z变换把时域的差分方程变换成 Z域的代数方
程，从而使离散系统分析变得相当简便。然后，在此基础
上讨论与傅里叶变换 (CTFT，简称 FT)相对应的离散时间
傅里叶变换 (DTFT)。从而建立离散信号频谱和系统频率
特性的概念。
6.1 Z变换
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出 Z变换的
定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）
的 Z变换可直接定义为
（ 6.1-1）
即是（ z为复数）的一个幂级数。可以看出，的系数就是 f(k)
的值。式（ 6.1-1）称为 f(k)的 Z变换式，为了方便，上式还常
简写为
? ??? ),1(),0(),1(,)( fffkf ??
F z f z f z f z
f k z k
k
( ) ( ) ( ) ( )
( )
? ? ? ? ? ?
?
?
?
? ??
?
?
? ?1 0 11 0 1
f k F z( ) ( )?
离散信号的 Z变换的定义也可以由取样信号的拉氏变换引出。
一个连续信号 f(t)以均匀间隔 T进行理想取样得到取样信号
fS(t)，可表示为
（ 6.1-2）
也就是说，取样信号 fS(t)可以表示为一系列在 t = kT 时刻出
现的强度为 ?(kT) 的冲激信号之和。其中为连续信号 f(t) 在
t = kT时刻的值，是一个离散序列。
取样信号的拉氏变换为
??
?
???
?
???
????
kk
s kTtkTfkTttftf )()()()()( ??
?
?
???
??
k
k s T
s ekTfsF )()(
（ 6.1-3）
取新的复变量 z，令
,或 （ 6.1-4）
则式（ 6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即
（ 6.1-5）
z e s T? s T z? 1 ln
F s f k z F zS
s
T
z k
k( ) ( ) ( )
ln? ? ??
?
?? ??
1
这就是离散信号或的 Z变换表达式，可见，离散信号 f(k)的 Z
变换是取样信号 fS(t)的拉氏变换 FS(s)将变量 s代换为变量
的结果。式（ 6.1-4）、（ 6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及 S域与 Z域间的重要关系。如果离散信号 f(k)为
因果序列，即 k < 0时,f(k) = 0，或者只考虑 f(k)的 的
部分，则有
（ 6.1-6）
式中,k的取值是从 0到 ∞，称为单边 Z变换，称式 (6.1-1)为双
边 Z变换。无论是双边 Z变换还是单边 Z变换,F(s)称为 f(k)的
象函数； f(k)为 F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因
果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边 Z变换。
6.1.2 Z变换的收敛域
无论是按式（ 6.1-1）定义的双边 Z变换，还是按式（ 6.1-6）
z e s T?
0?k
F z f k z
k
k( ) ( )?
?
?
??
0
定义的单边 Z变换都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收
敛时,Z变换才有意义。例如因果序列
a为正实数
的双边或单边 Z变换为
（ 6.1-7）
显然，只有当 时，该无穷级数绝对收敛。
即级数收敛的充要条件为
（ 6.1-8）
根据等比级数的求和公式，式（ 6.1-7）才能以闭合式表示为
?
?
?
?
??
00
0)(
k
kakf k
k
k
k
k
k-k
k
aakfF )()()( 1
000
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??? ZZZZ
aa ?? zz -1 即1
??
?
? ??
0
)(
k
kzkf
az
z
azzF ???? ? 11
1)(
上述例子中 z的取值 ?z ?>a称为 F(z)的收敛条件。在 Z平面
（复平面）中,F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域
ROC（ Region of Convergence）。收敛条件 ?z ?>a,在 Z平面
中所对应的收敛域是圆心在原点半径为 a的圆外区域，半径 a
称为收敛半径，如图 6.1-2（ a）中的阴影部分。可见，对于
单边 Z变换，收敛域总是 Z平面内以原点为圆心的一个圆的
圆外区域，圆的半径视不同而不同。由于单边 Z变换收敛条
件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会，故一
般情况下不再加注其收敛域。而对于双边 Z变换，情况要复
杂一些。例如
双边 Z变换为
?
?
?
?
??
0
,0)(
kb
bakakf
k
k 为正实数
k
k
kk
k
k baF ?
?
???
?
?
?
?? ?? zzz 1
0
)( kkkk ba )()( 1 110 zz ??
?
?
???
?
??
上式后一级数收敛条件已经讨论过，为 ?z ?>a,前一个级数
的收敛条件为,即 ?z ?<b 。故整个 Z变换的收敛
域应为 a<z<b。当 a<b，则收敛域为 Z平面内圆心在原点外半径
为 b，内半径为 a的一个圆环区域。若 a>b,则无收敛域,Z变
换也就不存在。
值得注意的是，即便是同一个双边 Z变换的表达式，其收敛
域不同，则可能对应于两个不同的序列。
可见，双边 Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确
定其对应的时间序列。
由复变函数理论可知,Z变换的定义式是一罗朗级数，在收
敛域内是解析函数。
1?zb -1
6.1.3 常见序列的单边 Z变换
1,单位函数
（ 6.1-10）
可见，与连续时间系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单
位函数的 Z变换等于 1，收敛域为整个 Z平面。
2,单位阶跃序列
（ 6.1-11）
其收敛域为 ?z ?>a。
1)()]([
00
???
?
?
?
? k-k-k
k
kk zz??Z
11
1)()]([
1
00 ?
????? ??
?
?
?
? z
z
zzz -k
-k-k
k
kk ??Z
3,指数序列
由前面讨论
其收敛域为 ?z ?>a 。当 时
（ 6.1-12）
其收敛域为 ?z ?> 。
4,单边正弦序列和单边余弦序列
aaka -
k
???? z
z
z 11
1)]([ ?Z
1c o s2
)c o s)(c o s
2 ?? T-
T(kT εk
?
??
zz
-zz
1c o s2
s i n)(s i n
2 ?? T-
TkT εk
?
??
zz
z
T
kT k
?
? ?
e)](e[ ?? z
zZ
Tz ?e?
T?e
6.2 Z反变换
利用 Z变换可以把时域中对于序列 f(k)的运算变换为 Z域中对
于 F(z)的较为简单的运算。然后将 Z域中的运算结果再变回到时
域中去。由已知 F(z)求 f(k)的运算称为 Z反变换，或 Z逆变换。记
为
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和
围线积分法。这里仍然只考虑单边 Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由 Z变换的定义
k-1- zzz ??
?
??
0
)()()]([)(
k
kfFFkf Z
?2-zz )2()1()0()()( 1
0
fzffzkfF k
k
???? ??
?
?
?
若把已知的 F(z)展开成 z-1的幂级数，则该级数的各系数就是序
列 f(k)的值。
F(z)一般为变量 z的有理分式，展开为幂级数时，可以用代数
学中的长除法，即将分子和分母多项式按 z的降幂排列，然后将
分子多项式除以分母多项式所得的商式，即为以 z-1的幂级数。
在实用中，如果只需要求序列的前几个值，长除法就很方便。
使用长除法的缺点是不易求得闭合表示式。
6.2.2 部分分式展开法
一般 Z变换式是有理分式
（ 6.2-1）
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
azazaza
bzbzbzb
zD
zNF
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?z
F(z)的零点和极点的定义与拉氏变换相同，零、极点的图形
表示也与拉氏变换一样。
对于单边 Z变换，即 k < 0时,f(k)= 0的序列，其 Z变换的收
敛域为 ?z ?>R,包括 z = ∞处，故 F(z)的分母多项式的最高幂
次不能低于分子多项式的最高幂次，即必须满足 。
类似于拉氏变换中的部分分式展开法，由于 Z变换最基本的形
式是 1 和,因此，通常不是直接展开 F(z),而是展开
F(z) /z；然后，每个部分分式再乘以 z。
6.2.3 围线积分法 (留数法 )
nm ?
a?z
z
单边 Z反变换的积分公式可以直接从 Z变换的定义式推导出
来。由
（ 6.2-6）
式（ 6.2-6）叫做 Z反变换的积分公式，是 Z反变换的一般
表达式，由于围线 C包围了的所有孤立奇点 (极点 )，故此积
分式可运用留数定理来进行运算，所以又称为留数法，其
表达式为
（ 6.2-7）
式中,pm是围线 C内 F(z)zk-1的极点,Res[.]为极点 pm的留数。
F z f k z
k
k( ) ( )?
?
?
??
0
? ??
C
k zzzFkf d)(
j2
1)( 1
?
mpz
k
m
zzFkf ???? ])([sRe)( 1
6.3 Z变换的性质
求一个序列的 Z变换最基本的方法是按定义进行几何级数的
求和。当序列较复杂时，这种方法会很不方便。为此，我们
从另一个途径出发，弄清 Z变换的性质，即序列时域和 Z域间
的关系，可以由一些简单序列的 Z变换导出复杂序列的 Z变换，
由此简化 Z变换及 Z反变换的运算。由于 Z变换的不少性质与拉
氏变换的性质相似，从而能进一步地理解 Z变换。
由于我们所讨论的是单边 Z变换。因此不存在圆内收敛或圆
环收敛问题。如果 F(z)收敛，它必然是在某一圆外，所不同的
是圆的大小而已。因此，如无特殊需要，我们都省去对它的
收敛域的标注。
1,线性
Z变换是一种线性运算。这个性质只需根据 Z变换的定义即
可直接推出。它与拉氏变换的线性性质相当。
2,移序 (移位 )性
这一性质又称左移序性质，与拉氏变换的时域微分性
质相当。
这一性质又称右移序性质，与拉氏变换的时域积分性
质相当。
将上述性质加以推广，有
Z变换的移序性质能将关于 f(k)的差分方程转化为关于
F(z)的代数方程，它对简化分析离散时间系统起着重要的
作用。
)()( zFkf ? )0()()1( fFkf zzz ???若 则
)()( zFkf ? )1()()1( ???? fFkf zz -1若 则
)()()( zz - Fmkmkf m??? ?
3,比例性（尺度变换）
4,Z域微分
5,时域卷积定理
时域卷积定理表明两个离散函数在时域中的卷积的 Z变换，
等于这两个离散函数的 Z变换的乘积，对该乘积进行 Z反变换
就可以得到这个离散函数的卷积。它与拉氏变换的时域卷积
定理具有完全相同的形式，它们在联系时域和 Z域的关系中
起着十分重要的作用。
)()( zFkf ? ?
?
??
?
??
aFkfa
k z)(
若 则
)()( zFkf ?
z
Fkkf
d
)(d)( zz??若 则
)()( 11 zFkf ?
)()()()( 2121 zFzFkfkf ???
若
则
)()( 22 zFkf ?
6,序列求和
利用时域卷积定理，可以得到序列求和的 Z变换式。
7,初值定理
且 存在；
（ 6.3-16）
8,终值定理
若,且 f(k) 的终值 f(∞) 存在,
则 （ 6.3-19）
)()( zFkf ? )(
1])([0 z
z F
znf
k
n ?
??
?
若 则
)()( zFkf ?若
则
)()1(lim)( 1 z-z Ff z ???
)(lim zF
z ??
)(lim)0( zFf
z ??
?
)()( zFkf ?
例 6.3-9说明,当 ?a ?>1时，的终值为无穷大，当 a = － 1 时，
的终值为不定值，可见应用终值定理是有条件的。为了保
证 f(∞) 存在,(z-1)F(z)的极点必须处在单位圆的内部,
或者 F(z)除了在 z = 1 处允许有一个一阶极点外，其余极点
必须单位圆内部。否则终值定理是不成立的。
Z变换的初值和终值定理分别与拉氏变换的初值和终值定理
相当，应用这两个性质使我们无需求出 f(k)，直接由 F(z)求
取的两个特殊值 f(0) 和 f(∞) 。
9,Z域积分
)()( zFkf ?
vvvFkf
k z
d)()(1 1?
?
??
若 则
同理
vvvFzkf
ak
a
z
a d)()(1 )1( ??
?
???
6.4 Z变换与拉氏变换的关系
在定义 Z变换时已经知道，离散函数 f(k) 的 Z变换 F(z)
是连续函 f(t) 经过理想取样所得到的取样函数 fS(t) 的拉氏
变换 FS(s),并将变量 s 代换为变量 z=esT 的结果。而且在
前面曾多处提到 Z变换与拉氏变换的相似之处，可见这两
种变换并不是孤立的，它们之间有着密切的联系，在一定
条件下可以相互转换。
这就是由连续函数的拉氏变换直接求相应的离散函数的 Z
变换的关系式。式（ 6.4-2）积分可以应用留数定理来计算，
即
?
??
?? ?
?
j
j
d)(
j2
1)( ?
??
s
ez
szFzF
sT
issi
sTez
szFzF
?
? ?????? ?? )(sRe)( （ 6.4-3）
（ 6.4-2）
Z变换和拉氏变换之间的关系还可以由两者在 Z平面和 S平
面极点间的映射关系得到更深入的了解。
设 S平面中的极点
则 Z平面中的极点
得
（ 6.4-5）
这就是 Z平面中的极点的模和幅角分别与 S平面中的极点的
实部和虚部的关系。
iiis ?? j??
iiiiii iTTTTsi zz ????? jj)j( eeeee ???? ?
??
?
?
?
?
?
T
z
ii
T
i
i
??
?e
若,则,即位于 S平面的虚轴上的极点映
射到 Z平面的单位圆上；
若,则,即位于 S平面左半平面的极点映
射到 Z平面的单位圆的内部；
若,则,即位于 S平面右半平面的极点映
射到 Z平面的单位圆的外部。
特别是 S平面原点 的极点映射到 Z平面的 。
需要注意,S平面中的单极点映射到 Z平面中并不一定是单
极点，这是因为 S平面中具有同样实部而虚部相差 的
两个极点（或相差 整数倍的 m个极点）映射到 Z平面中的
极点都是相同的。
0?i?
0?i?
0?i?
1?iz
1?iz
1?iz
0?is 1?iz
T
?2
T
?2
反之,Z平面到 S平面的映射是多值的。 Z平面上一点
映射到 S平面的无穷多点
S平面和 Z平面之间的映射关系如图 6.4-2所示,S平面中的极
点 a 和 b 分别映射到 Z平面中的 a’ 和 b’, S平面中的极点 c,d,
e 具有相同的实部而虚部相差 （或其倍数），映射到 Z
平面是同一点 c’= d’= e’ 。
?jezz ?
T
mz
TzTs
?? 2j1ln1 ????
T
?2
6.5 离散系统的 Z域分析
与连续时间系统的拉氏变换分析相类似，在分析离散时间
系统时，可以通过 Z变换把描述离散时间系统的差分方程转
化为代数方程。此外,Z域中导出的离散系统函数的概念同
样能更方便、深入地描述离散系统本身的固有特性。
离散时间系统的 Z变换分析法与时域分析法一样，可以分
别求出零输入响应和零状态响应，然后叠加求得全响应，也
可以直接求得全响应。
一、零输入响应
设描述离散时间系统的是一个二阶前向差分方程
当输入 x(k)=0 时，可得相应的齐次差分方程，为
)()1()2(
)()1()2(
012
012
kxbkxbkxb
kyakyakya
?????
????
对上式进行 Z变换，并应用移序性质，可得
式中,Y（ z）就是零输入响应 yzi(k)的 Z变换，而 y(0)和 y(1)是零
输入初始条件 yzi(0), yzi(1) 。整理后，可得
（ 6.5-1）
对进行 Z反变换，即可得零输入响应。
对于 n阶系统，同样可以得到相应的结论。
后向差分方程的零输入响应也可以用相同的方法进行计算。
0)()1()2( 012 ????? kyakyakya
0)()]0()([)]1()0()([ 01222 ?????? zYazyzzYazyyzzYza
01
2
2
12
2
2 )]0()1([)0()(
azaza
zyayazyazY zizizi
Zi ??
???
上述例子说明，常系数线性差分方程中，若离散函数的序号
同时增加或减少同样的数目，差分方程所描述的关系不变。若
计算所需的初始条件并不是已知的零输入初始条件时，可以用
递推的方法将已知的初始条件代入相应的齐次差分方程中，即
可得到所需的初始条件。
二,零状态响应
在离散时间系统的时域分析法中，已经导出了零状态响应等
于激励函数与单位函数响应的卷积和，即
对上式进行 Z变换，并应用时域卷积定理，则有
（ 6.5-3）
式中 X(z), H (z)和 Y (z)分别为激励函数、单位函数响应和零状
态响应的 Z变换，最后进行 Z反变换，即可得到零状态响应。
)()()( khkxky s ??z
)()()( zHzXzY zs ??
在连续时间系统中，冲激响应 h(t)的拉氏变换 H(s)是连续
时间系统的系统函数。在离散时间系统中，单位函数响应
h(k)的 Z变换 H (z)是离散时间系统的系统函数，简称离散
系统函数。
连续时间系统的系统函数 H(s)可以直接由微分方程的拉
氏变换求出，同样，离散时间系统的系统函数 H(z)也可以
直接由差分方程的 Z变换求出。
仍然以二阶前向差分方程为例，为
)()1()2(
)()1()2(
012
012
kxbkxbkxb
kyakyakya
?????
????
对上式进行 Z变换，并应用移序性质，则有
)()]0()([)]1()0()([
)()]0()([)]1()0()([
01
22
2
01
22
2
zXbzxzzXbzxxzzXzb
zYazyzzYazyyzzYza
??????
?????
可得
上述方法可推广到 n阶前向差分方程。离散系统函数表示
系统的零状态响应的 Z变换与激励的 Z变换之比值。
类似地，可得到 n阶后向差分方程所描述的系统的离散
系统函数。
如离散函数的序号同时增加或减少同样的数目，离散系
统函数 H(z)同样不会改变。将离散系统函数与差分方程相
比较，可以看出两者之间的关系。
在求得离散系统函数后，将离散系统函数与激励函数的
Z变换相乘，即得零状态响应的 Z变换，最后再进行 Z反变
换后即为所求的零状态响应。一般地，利用 Z变换分析法
求解零状态响应比时域分析法的离散卷积求零状态响应要
简单得多。
01
2
2
01
2
2
)(
)()(
azaza
bzbzb
zX
zYzH
??
????
三,全响应
当已知零输入初始条件时，最直观的方法是分别求其零
输入响应和零状态响应，然后叠加求得全响应。
当已知全响应初始条件，且无需将零输入响应和零状态
响应分开求时，可以通过对差分方程直接 Z变换，直接求
得全响应。以二阶前向差分方程为例，推导结果仍为式
（ 6.5-4），与零状态响应不同的是式（ 6.5-5）、（ 6.5-6）
不能成立，这是因为 y (－ 1)和 y (－ 2)不一定为零。或者说
y (0),y (1)是由初始储能和激励共同引起的。应用式
（ 6.5-4），代入全响应初始条件 y (0)和 y (1)，即得到全响
应的 Z变换式，然后进行 Z反变换得到全响应。必须注意
的是对于前向差分方程来说，式（ 6.5-4）中 x (0)和 x (1)不
一定为零，这是与拉氏变换求微分方程全响应所不同的地
方。
当然，如果已知全响应初始条件，需要单独求取零输入响
应和零状态响应时，一般应先求零状态响应，然后可得到
零状态初始条件，再用全响应初始条件减去零状态初始条
件，即得零输入初始条件，再求零输入响应，最后叠加求
得全响应。
上式方法对后向差分方程同样是适用的。
6.6 离散系统函数与系统特性
离散系统的系统函数在离散系统分析中起着十分重要的作
用。如前所述，系统函数与系统的差分方程有着确定的对
应关系。尽管离散系统函数是由系统的零状态响应的 Z变换
和激励的 Z变换的比来定义的，但 H(z)与激励和零状态响应
无关，它表征了离散时间系统自身的特性，是离散系统的 Z
域描述。
6.6.1 H(z)的零点、极点及其时域响应
由 H(z)的定义式（ 6.5-8）可知，离散系统函数通常为有
理分式。其分母多项式等于零所构成的方程式就是离散系
统的特征方程，方程的根就是特征根，也就是 H(z)的极点。
系统函数分子多项式等于零的根为 H(z)的零点，故离散系
统函数又可写成
式中 zr r=1,2,…,m，是离散系统函数的零点,pi i=1,2,…,n
是离散系统函数的极点，且 H0为标量系数。的零点和极点
可以是实数，也可以是虚数或复数。
H z H
z z
z z
r
r
m
i
i
n
( )
( )
( )
?
?
?
?
?
?
?
0
1
1
将 H(z)进行 Z反变换可得到离散系统的单位函数响应 h(k),
由部分分式展开法可知离散系统函数 H(z)的极点确定了单
位函数响应的模式。又由式（ 6.5-2）和式（ 6.5-4）可知，
离散系统函数 H(z)的极点确定了离散系统的自然响应（包
括零输入响应、零状态响应和全响应中的自然响应）的模
式，这些结论都与连续时间系统相类似。但是这两类系统
极点的物理意义有所不同。
在连续时间系统中，若有一个一阶极点 s，自然响应中就有
相应的 。
s的实部 σ表示自然响应幅度增长或衰减速度的因子,s的虚
部 ω是自然响应的振荡频率。系统是否稳定取决于 H(s)的极
点，即特征根是否全部位于 S平面的左半平面。
tts AA )j(ee ?? ??
在离散时间系统中，若有一个一阶极点 p，自然响应中就
有相应的 Apk 项。
1,当 p为正实数时，即的极点位于 Z平面的正实轴，则自
然响应的幅度按 p小于、等于或大于 1，分别随 k 值的增大
而单调减小、不变或单调增长。
2,当 p 为负实数时，即的极点位于 Z平面的负实轴，则自
然响应的幅度仍按小于、等于或大于 1，分别随 k 值的增大
而作递减、不变或递增的变化，但正负交替改变。
3,当 p为复数时，设 p1和 p2为一对一阶共轭极点,
和 时，则自然响应中有相应的,
项，同时 A1 和 A2 也是一对共轭复数,
即 和
?j1 epp ? ?j2 e -pp ?
kk pApA
21 21 ?
?j1 eAA ? ?j
2 e -AA ?
可得
为一按指数规律的变幅的离散余弦振荡。振荡幅度增减的
快慢由 决定,
若 <1，即 H(z)的共轭极点位于单位圆内，自然响应为
减幅振荡；
若 >1，即 H(z)的共轭极点位于单位圆外，自然响应为
增幅振荡；
若 =1，即 H(z)的共轭极点位于单位圆上，自然响应为
等幅振荡。
振荡频率取决于 ?，若 ?增大，振荡频率亦增大,
)c o s (221 21 ?? ???? kpApApA kkk
p
p
p
p
若 ? ＝ ??，即 H(z)的极点位于负实轴，这时,
自然响应随序号 k 每增加 1
作正负变号一次，每增加 2 就完成一个周期振荡，振荡频率
为最高。即讨论的第二种情况。
H(z)的一阶极点在 Z平面上不同位置所对应的自然响应模式
如图 6.6-1所示。
由此可见，在离散时间系统中，自然响应的幅度和振荡频
率分别取决于极点的模和幅角；
而连续时间系统中，自然响应的幅度和振荡频率分别取决
于极点的实部和虚部。
)c o s ()c o s ( ??? kk ???
若 ? = 0，即 H(z)的极点位于正实轴，振荡频率为零，自然
响应随 k值单调增减而无振荡现象，即讨论的第一种情况；
6.6.2 离散系统函数与零状态响应
由式 (6.5-8)可以得到离散系统的单位函数响应和系统函数
是一对 Z变换。即
h(k)? H(z) (6.6-2)
在离散时间系统中，当离散时间系统的激励为无时限复指
数序列 x(k)=zk (-∞ < k < ∞),z取值位于 H(z)的收敛域内 )时，
利用时域分析的方法，系统的零状态响应可由卷积和求得，
为
n
n
knk
n
zs znhzznhkhkxky
?
?
???
?
?
???
?? ???? )()()()()(
考虑到 h(k)为因果序列，则上式为
)()()(
0
zHzznhzky kn
n
k
zs ??
?
?
?
?
（ 6.6-3）
上式表明，当激励为无时限复指数序列 zk时，系统的零状
态响应仍为同样的复指数序列，但被加权了 H(z) 。或者说，
只要将激励乘以离散系统函数 H(z)即可。
与连续系统拉氏变换的情况相似。根据单边 Z反变换的定
义，单边信号 x(k)可以表示为
(6.6-4)
式中，围线 C在 H(z)的收敛域中，其物理意义是因果信号 x(k)
可以分解为基本信号 zk之和 (积分 )。对于围线上的任一 z,
其分量的大小为 。由式 (6.6-3)，其零
状态响应为 。最后，将这些响
应分量叠加，即得系统的零状态响应，为
zzz zXzzzXkx k
C
k
C
d)(j2 1d)(j2 1)( 1 ?? ?? ? ??
kzz
z
zX ?? d)(
j2
1
?
kzzHz
z
zX )(d)(
j2
1 ??
?
6.6.3 离散系统的稳定性
稳定性分析是系统分析的组成部分。根据线性系统分析的
基本思想，系统的完全响应是由零输入响应和零状态响应两
部分组成的，因而，判别系统是否稳定同样可以通过一定的
准则分别判别零输入响应是否稳定、零状态响应是否稳定来
综合确定。
与连续系统的稳定性定义相似，零输入响应稳定也称系统
的渐近稳定。其含义是由系统任意初始储能所引起的响应随
着 k 的增加而逐渐衰减到零，即
(6.6-5)
0d)(j2 1d)()(j2 1)( 11 ??? ?? ?? kzzzYzzzYzXky k
C
zs
k
C
zs ??
0)(lim ??? ky zik
零状态响应稳定是初始不储能的系统在任一有界激励 x(k)（即
对所有 k都有, 为有限正实常数），其响
应 (零状态响应 )为 都是有界的（即对所有 k都有
, 为有限正实常数），则系统是零状
态响应稳定的。为了区别于其他形式的稳定性的定义，把上
述定义称为有界输入、有界输出 (BIBO)稳定。
可以证明，当系统函数不存在零、极点相消的情况下，系
统完全由系统函数所确定，则渐近稳定必然是 BIBO稳定，两
者是等效的。否则，可能出现系统不是渐近稳定但却是 BIBO
稳定。
由图 6.6-1可以看出，只有当 H(z)的极点位于 Z平面单位圆内时，
才满足式（ 6.6-6）,(6.6-7), 于是得出系统稳定性与 H(z)极
)(ky zs
yzs Mky ?)( yM
xMxMkx ?)(
点分布之间的关系为：当离散系统函数的极点全部位于 Z
平面单位圆内部时，此系统是 BIBO稳定系统。当极点位于
单位圆上，且为单极点时，系统为临界稳定的；否则，系
统是不稳定的。由图 6.4-2,由 S平面和 Z平面间的映射关
系可知,S平面的左半平面映射到 Z平面为单位圆内部，因
此，连续时间系统的稳定条件是的极点均位于 S左半平面
而离散时间系统的稳定条件是的极点均位于 Z平面的单位
圆内，是符合映射关系的。
裘利（ Jury）判别法是一种判别离散系统是否稳定的方
法。它可以直接检验特征方程式 D (z) = 0 的根是否全部位
于 Z平面的单位圆内，而无需求解方程的根。
6.7 离散信号与系统的频域分析
在连续时间信号与系统的变换域分析中，已经研究了傅里
叶变换和拉氏变换分析方法，在离散时间信号与系统的变换
域分析中，也有类似的变换域分析方法，前几节我们已经学
习了与拉氏变换相对应的 Z变换。本节着手研究与傅里叶变
换相对应的离散时间傅里叶变换（ Discrete Time Fourier
Transform），并在此基础上，分析离散时间信号与系统的
频率特性。
6.7.1 离散时间傅里叶变换（ DTFT）
在离散信号的双边 Z变换
中，令,或简写为,可得离散时间傅里
叶变换为
?
?
???
??
k
kzkfzF )()(
Tz ?je? Ωje
显然,F(?)是 ?的连续的周期函数，其周期为 2?。
为了保证离散时间傅里叶变换的存在，必须满足
或 F(z)的收敛域必须包括 Z平面上的单位圆。
离散时间傅里叶反变换为
（ 6.7-4）
通常将离散时间傅里叶变换简记为
?
?
???
??
k
Ωk-Ω kfΩFF jj e)()()e(
??
???
??
k
kf )(
?
?
?
?
??
ΩdeΩFkf kΩj)(
2
1)(
离散时间傅里叶变换有时也称为序列傅里叶变换。离散时
间傅里叶变换实质上就是单位圆上的 (双边 )Z变换。同时，
它又与连续时间傅里叶变换（ CTFT）的定义非常相似。
只不过是被分析的时域信号不同而已，当时域信号为连续
信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时，用离散
时间傅里叶变换。因此，连续时间傅里叶变换的性质同样
适用于离散时间傅里叶变换，只是由于离散时间傅里叶变
换的时域信号 f(k)是离散函数，而 F(?)是 ?的周期函数，以
致连续时间傅里叶变换的某些性质改变了原来的形式，如
连续时间傅里叶变换的时域微分性质相当于离散时间傅里
叶变换的差分性质，连续时间的积分性质相当于离散时间
的求和性质。
（ 6.7-5）
)]([I D T F T)(
)]([D T F T)(
??
?
Fkf
kfΩF
6.7.2 离散时间系统的频率响应
对于稳定的连续系统可以用连续时间傅氏变换来分析，这时
表示连续系统的频响特性。与之类似
，对于稳定的离散系统则可以用离散时间傅里叶变换来分析,
这时 或 H(?) 表示离散系统的频响特性。
设 X(?), H(?) 和 Y(?) 分别是激励 x(k),单位函数响应 h(k)和
零状态响应 y(k)的离散时间傅氏变换。由 y(k)= x(k)* h(k),应用
时域卷积定理，可得
Y(?)= X(?) H(?) （ 6.7-6）
式中,H(?) 称作离散时间系统的频域系统函数,h(k)和 H(?)
分别从时域和频域两个不同的角度反映了同一个系统的特性。
)()( j ?? HsH s ??
)e()( je j Ωz HzH ???
当激励信号 从 k= - ∞接入系统，此时零状态响应也就
是全响应，而且是稳态响应。式（ 6.7-7）说明，离散时间系
统对于正弦序列的稳态响应仍然是同频率的正弦序列，但需
乘 。 是正弦序列包络频率 ω的连续函数，它
反映了离散时间系统在正弦序列作用下的稳态响应随频率变
化的情况，称为离散时间系统的频响特性。 一般为 Ω
的复函数，有
? ? 和 ?(ω) 分别是离散时间系统的幅频特性和相频特
性。
离散时间系统频率响应的几个性质,
(1) 周期性质
由于 是周期函数，所以离散时间系统频率响应也是周
Ωje
)e( jΩH )e( jΩH
)e( jΩH
)(jjj e)e()e( ?? ?ΩΩ HH
)e( jΩH
Ωje
期函数，其周期为 2π。这是与连续时间系统不同的地方。
(2) 对称性质
当单位函数响应 h(k)为实序列时，其幅频特性是 Ω的偶函数，
相频特性是 Ω的奇函数。这是与连续时间系统相同的地方。
尽管离散系统的频率特性是以周期 2π变化的，但与连续系统一
样，也有低通、高通、带通、带阻、全通之分。由于频率特性
的周期性，因此这些特性只能限于 (－ π,π)范围内来区分。图
6.7-2画出了的情况，系统呈“低通”特性。
6.7.3 频率特性的几何确定
与连续时间系统一样，离散时间系统也可以根据离散系统函
数 H(z)在 Z平面的零、极点分布通过几何方法绘制离散系统的
频响特性曲线。
6.7.4 离散傅里叶变换（ DFT）
离散时间傅里叶变换（ DTFT,Discrete Time Fourier
Transform）使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信
号的频谱和离散系统的频响特性。但还存在两个实际问题。
1,数字频率 Ω=?T 是一个模拟量，为了便于今后用数字的
方法进行分析和处理，仅仅在时域将时间变量 t 离散化还不
够，还必须在频域将 Ω离散化。
2,实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，
必须把无限长序列截断或分段，化作有限长序列来处理。
说起离散谱，很自然会想起周期信号，因为周期连续信号
的傅氏级数是离散线谱。也就是说，频域的取样与时域的周
期化是等同的。
下面，用频域取样的方法来引入离散傅里叶变换（ DFT，
Discrete Fourier Transform）。
设 f(k) 为有限长序列或截尾序列,k = 0,1,2,… N-1 。则其离散
时间傅里叶变换为
若在 Z域单位圆上作 N点的等距离取样，则相邻两点相距,
有
即得离散傅里叶变换（ DFT）的定义式为
（ 6.7-13）
上式称为 N点的 DFT,N点指离散频谱的周期，也就是 F(n)在单
位圆上的样点数。
? ?
?
??
1
0
jj )()e(
N
k
ΩkΩ zkfF
N
?2
NnΩ
?2?
? ?
?
?? 1
0
2j
e)()(
N
k
knNkfnF ?
不难求得
（ 6.7-15）
上式就是离散傅里叶反变换（ IDFT）的定义式。
? ?
?
?
1
0
2j
e)(1)(
N
n
nkNnF
Nkf
?
比较式（ 6.7-13）和（ 6.7-15）的对称形式，就会发现 F(n)和
f(k) 的周期均为 N，有限序列中的 N点指时域延拓的周期。引
用符号,则式（ 6.7-13）和（ 6.-15）可简化为
（ 6.7-16）
（ 6.7-17）
N-NW
?2j
e?
10)()(
10)()(
1
0
1
0
????
????
?
?
?
?
?
?
?
NkWnFkf
NnWkfnF
kn
N
n
kn
N
k
N
N
式（ 6.7-16）和（ 6.7-17）构成一对变换，称为有限序长的
离散傅里叶变换。注意不要把 DFT和 DTFT相混淆。 DTFT是
对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而
DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序
列的傅里叶分析,DFT的特点是无论在时域还是频域都是有
限长序列。
DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤
其是 DFT的快速算法 FFT，在许多科学技术领域中得到了广
泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展。
???
?
?
?
de)j()]j([)(
de)()]([)j(
j1
j
t
t
FFtf
ttftfF
?
?
?
??
?
?
?
??
??
??
F
F
最后，把涉及到的几种傅里叶变换小结一下,
1.连续时间与连续频率的傅里叶变换
这种傅里叶变换，简记为 FT，或 CTFT(连续时间傅里叶变
换 )。变换对的时域信号和频域信号都是连续非周期的，其
形式为
2,连续时间与离散频率的傅里叶变换
这种变换其实为连续周期信号的傅里叶级数，简记为
CFS(Continued Fourier Series)。变换对的时域信号是连续周期
的，这里用 （ T0为周期）表示，而频域信号是离散
非周期的，这里用 F(n?0)（即 Fn ）表示，其中称为基波频率。
若将 CFS的反变换简记为 ICFS，则 CFS变换对的形式为
)(0 tf T
0
0
0
00
j
00
j
0
0
e)()]([)(
de)(
1
)]([)(
?
?
??
?
n
n
T
tn
TT
nFnFtf
ttf
T
tfnF
?
?
?
???
?
?
??
??
??
I C F S
C F S
3,离散时间与连续频率的傅里叶变换
这种变换就是离散时间傅里叶变换，简记为 DTFT，其变换
对形式重写如下,
?
?
???
??
k
Ωk-kfkfΩF je)()]([)( D T F T
?
?
??
?
??
ΩdeΩFΩFkf kΩj)(
2
1)]([)( I D T F T
4,离散时间与离散频率的傅里叶变换
这种变换其实就是对图 6.7-6（ c）的频域进行取样，反映到
时域等同于使时域信号延拓成周期信号，这种变换称为离散
时间傅里叶级数 DFS（ Discrete Fourier Series）。它的时域和
频域的信号都是离散的周期的。这里用 fN(k)和 FN(n) （ N为周
期）表示。变换对的形式与 DFT没有太大的差别。其形式为
?
?
?
??
1
0
2j
e)()]([)(
N
k
kn
N
-
NNN kfkfnF
?
D F S
?
?
?
??
1
0
2j
e)(1)]([)(
N
n
kn
N
NNN nFNnFkf
?
I D F S
将 DFS的时域和频域均截取其主值周期，便得到离散傅里叶
变换（ DFT），其实前面 DFT定义的引入是将 DFS和截取其主
值周期合并在一起进行而已。其整个过程为
周期延拓 DFS 截取主值周期
f(k) fN(k) FN(n) F(n)
DFT的定义成功地解决了 DTFT所存在的两个问题。且在时
域和频域截取了 DFS的主值周期，从而使实际应用更加方便。
6.8 数字滤波器的一般概念
与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。
它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率
进行加工处理。或者说，把输入信号变成一定的输出信号，
从而达到改变信号频谱的目的。数字滤波器一般可以用两种
方法来实现：一种方法是用数字硬件装配成一台专门的设备，
这种设备称为数字信号处理机；另一种方法就是直接利用通
用计算机，将所需要的运算编成程序让通用计算机来完成，
即利用计算机软件来实现。
数字滤波器的分类方法很多。若按照其幅频响应的通常
特性，可分为低通滤波器，高通滤波器，带通和带阻滤波
器等；若按照对确定信号和随机信号的数字处理来说，可
分为卷积滤波和相关滤波；若根据数字滤波器的构成方式，
可分为递归型数字滤波器，非递归数字滤波器以及用快速
傅里叶变换（ FFT）实现的数字滤波器；若根据其单位函数
响应的时间特性，又可分为无限长单位函数响应（ IIR）数
字滤波器和有限长单位函数响应（ FIR）滤波器。它们各有
几种具体的设计方法，前者包括冲激响应不变法、阶跃响
应不变法、双线性变换法等；后者包括窗口法、频率抽样
法等。
与模拟滤波器相比，数字滤波器具有更高的精确度和可
靠性，使用灵活、方便，已经成为数字信号处理技术中的
重要手段。
这里主要讨论如何根据已知的系统函数（或差分方程）
来实现数字滤波器的问题。下面介绍数字滤波器基本构成
方式。为了方便，差分方程以后向差分方程的形式给出。
1,递归型数字滤波器
递归型数字滤波器的特点是输出 y(k)不但取决于输入值，
而且还取决于输出值。
所谓数字滤波器的实现，可以通过离散系统函数写成数
字滤波器的差分方程，然后按差分方程编写计算机程序，
通过计算机完成所要求的数字滤波任务。这种实现方法称
为软件实现法。也可以使用模拟离散系统的三种基本运算
单元构成离散系统函数的模拟框图，也能完成所要求的数
字滤波任务，这种实现方法称为硬件实现法。
从已知离散系统函数作出框图方法即数字滤波的硬件实
现方法，根据实现的结构不同，可分为直接实现、并联实
现和级联实现等不同方式。
由于递归型数字滤波器含有反馈环路，因此，系统的单位
函数响应 h(k)通常是无限长的，所以递归型数字滤波器一般
属于 IIR型滤波器。
2,非递归型数字滤波器
非递归滤波器的 H(z) 除 z = 0点外，只有零点没有极点，
因此，它属于“全零点数字滤波器”。当然，这种系统总是
稳定的，由于的长度是有限的，因此这类滤波器属于 FIR型
滤波器。
我们在这里简要介绍了一些数字滤波器的基本内容，更加
深入全面的讨论将在后续课程“数字信号处理”中进行。
