信号与系统
第四章
第 4章 连续信号与系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
4.2 典型信号的拉普拉斯变换
4.3 拉普拉斯变换的性质
4.4 拉普拉斯反变换
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
4.6 连续系统的复频域分析
4.7 系统函数
4.8 由系统函数的零, 极点分析系统特性
4.9 连续系统的稳定性
4.10 系统的信号流图
习题 4
第 4章 连续信号与系统的复频域分析
傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （ 如分析谐波
成分, 系统的频率响应, 波形失真, 抽样, 滤波等 ） 是十
分有效的 。 但在应用这一方法时, 信号 f(t)必须满足狄里赫
勒条件 。 而实际中会遇到许多信号, 例如阶跃信号 ?(t),斜
坡信号 t?(t),单边正弦信号 sint?(t)等, 它们并不满足绝对可
积条件, 从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换 。
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换, 但其
变换式中常常含有冲激函数, 使分析计算较为麻烦 。 此外,
还有一些信号, 如单边指数信号 e?t?(t) (?>0),则根本不存
在傅里叶变换, 因此, 傅里叶变换的运用便受到一定的限
制, 其次, 求取傅里叶反变换有时也是比较困难的, 此处
尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应,
这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的 。 因
此, 有必要寻求更有效而简便的方法, 人们将傅里叶变换
推广为拉普拉斯变换 （ LT,Laplace Transform） 。
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换, 对拉普拉斯变
换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正, 反变换以
及拉普拉斯变换的一些基本性质, 并以此为基础, 着重讨
论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来
分析系统的时域特性, 频域特性等 。
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
信号 f(t)之所以不能满足绝对可积的条件, 是由于当 t??或
t? - ?时, f ( t )不趋于零 。 如果用一个实指数函数 e-? t去乘
f(t),只要 ?的数值选择得适当, 就可以克服这个困难 。 例
如, 对于信号
??
?
?
?
?
?
?
0e
0e
)(
t
t
tf
ta
tb
式中 a,b都是正实数, 且 a > b 。 只要选择 a > ? > b,就能
保证当 t? ? 和 t? － ? 时, f ( t )e-?t 均趋于零 。 通常把 e-?t
称为收敛因子 。 f ( t )乘以收敛因子 e-?t 后的信号 f ( t )e-?t的傅
里叶变换为
它是 的函数, 可写成
? ??? ??? ? dteetfetf tjtt ??? )(])([F
? ??? ??? dtetf tj )()( ??
?? j?
? ?F j f t e d tj t? ? ? ?? ? ? ?
??
?
? ( ) ( )
? ??? ?? dtetfsF st)()(
记为
最后得到
式 （ 4.1-5） 称为 f (t)的双边拉普拉斯变换 (bilateral Laplace
Transform),称 F(s） 是 f ( t )的象函数 。 而式 (4.1-6) 是 F（ s）
的双边拉普拉斯反变换, 称 f (t) 是 F(s)的原函数 。
式 （ 4.1-5） 和 （ 4.1-6） 称为双边拉普拉斯变换对, 可以用
双箭头表示 f ( t )与 F(s)之间这种变换与反变换的关系
其傅氏反变换为
? ???? ? ?? ?? desFetf tjt )(2 1)(
? ??? ?? dtetfsF st)()(
? ?f t j F s e d ss t
j
j
( ) ?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
（ 4.1-5）
（ 4.1-6）
)]([)()],([)( sFtftfsF -1LL ??记
)()( sFtf ?
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出, f
( t ) 的双边拉普拉斯变换 F(s)=F( )是把 f ( t )乘以 e - ? t之后
再进行的傅里叶变换, 或者说 F(s)是 f ( t ) 的广义傅里叶变换 。
而 f ( t )e - ? t 较容易满足绝对可积的条件, 这就意味着许多原来
不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换, 即双边拉普
拉斯变换, 于是, 拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围 。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将
时间域函数 f ( t )变换为频率域函数 F( )，或作相反的变换，此
处时域变量 t 和频域变量 都是实数；而拉普拉斯变换则是
将时间域函数 f ( t ) 变换为复频域函数 F(s)，或作相反的变换，
这里时域变量 t 是实数，复频变量 s 是复数。概括地说，傅里
叶变换建立了时域和频域 ( 域 ) 间的联系，而拉普拉斯变换
则建立了时域和复频域（ S域）间的联系。
?? j?
?
?
?
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
从以上讨论可知，当信号 f (t)乘以收敛因子 e-?t后，就有可能
满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看 f (t)的
性质与 ? 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t)，
通常并不是在所有的 ? 值上都能使式 (4.1-5)的积分收敛，
即并不是对所有的 ? 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯
变换，而只是在 ? 值的一定范围内,f ( t )才存在拉普拉斯
变换。通常把使 f (t)e-?t 满足绝对可积条件的 ? 值的范围称
为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC,region of convergence )。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函
数的拉普拉斯变换不存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉
普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完
全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收
敛域。
4.1.3 （ 单边 ） 拉普拉斯变换
考虑到实际中遇到的信号都是有始 （ 因果 ） 信号, 即 t < 0 时
f ( t ) = 0,以及信号虽然不起始于 0,而问题的讨论只须考虑信
号 的部分 。 在这两种情况下, 式 （ 4.1-5） 可改写为,
（ 4.1-8）
上 式 称为 f(t) 的 单边 拉普 拉斯 变换 （ unilateral Laplace
Transform）, 记为 ￡[ f (t) ]。 相应的反变换为,
t > 0 (4.1-9）
记为 ￡-1[ F(s)]。 即
F(s) =￡[ f (t) ] 和 f (t) = ￡–1 [ F (s) ]
0?
? ? ??? 0 )()( dtetfsF st
? ?f t j F s e d ss t
j
j
( ) ?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
式 （ 4.1-8） 中积分下限用 0－ 而不用 0＋, 目的是可把 t = 0－
时出现的冲激考虑到变换中去, 当利用单边拉普拉斯变换
解微分方程时, 可以直接引用已知的起始状态 f (0－ )而求得
全部结果, 无需专门计算 0－ 到 0＋ 的跳变 。
由于在分析因果系统, 特别是具有非零初始条件的线性
常系数微分方程时, 单边拉普拉斯变换具有重要价值, 所
以, 我们在下文中讨论的拉普拉斯变换 （ 简称拉氏变换 ）
都是指单边拉普拉斯变换 。
如果因果信号 f ( t )满足,（ 1） 在有限区间 a < t < b内
（ 0 ? a < b < ?） 可积； （ 2） 对于某个 ?0,有,
（ 4.1-10）
则对于 Re[s] = ? > ?0,拉普拉斯变换积分式 （ 4.1-8） 绝对
且一致收敛 。 即 f ( t )存在拉普拉斯变换 。
)(0)(lim 0??? ????? tt etf
?0 为 最 低 限 度 的 ? 值, 称 为 收 敛 坐 标 ( abscissa of
convergence ),它的取值与函数 f ( t ) 的性质有关 。 经过 ?0的
垂直线是收敛边界, 或称为收敛轴 。 由于单边拉普拉斯变换
的收敛域是由 Re[s] = ? > ?0的半平面组成, 因此其收敛域都
位于收敛轴的右边 。 凡满足式 (4.1-10)的函数 f ( t )称为, 指
数阶函数,, 意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数 f(t)
可能存在的发散性压下去, 使之成为收敛函数 。
由于 (单边 )拉氏变换的收敛域是由 Re(s) >?0的半平面组成,
收敛域比较容易确定, 故在一般情况下, 不再加注其收敛域 。
我们在此再强调一下, 以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉
普拉斯变换 。
4.2 典型信号的拉普拉斯变换
下面给出一些典型信号的拉氏变换 。 因为 f ( t )与 f ( t ) 的
单边拉氏变换相同, 因此假定这些信号都是有始信号 。
1,指数信号
2,单边阶跃信号
3,单边正弦信号
4,单边余弦信号 cost
)(t?
??
?
??
?
ste
t 1)(
2
0
2
0
0 )(s in ?
???
?? stt
st
1)( ??
2
0
20 )(c o s ??? ?? s
stt
5,单边衰减正弦信号
6,单边衰减余弦信号
7,单位冲激信号
8,t的正幂信号 t n,（ n为正整数 ）
9,单边双曲正弦函数 sh和余弦函数 ch
e t t st? ? ? ?? ? ? ?? ?s in ( ) ( )0 02
0
2
2
0
20 )()(c o s ??
????
??
???
s
stte t
1)( ?t?
1
!)(
?? n
n
s
ntt ?
22)(s in h ?
???
?? stt 22)(c o s h ??? ?? s
stt
4.3 拉普拉斯变换的性质
在实际应用中, 人们常常不是利用定义式计算拉氏变换,
而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质 。 这些性质与傅
里叶变换性质极为相似, 在某些性质中, 只要把傅氏变换
中的 j?用 s替代即可 。 但是, 傅氏变换是双边的, 而这里讨
论的拉氏变换是单边的, 所以某些性质又有差别 。 有些性
质与傅氏变换相类似 。
1,线性
2,时移性
3,比例性 （ 尺度变换 ）
4,频移性
5,时域微分
6,时域积分
7,初值定理
8,终值定理
拉氏变换还有一些其它性质, 如时域卷积和复频域卷积等,
它们与傅氏变换的性质类似, 不再重复 。 表 4-2列出了常用
拉氏变换的性质 。
4.4 拉普拉斯反变换
从象函数 F(s)求原函数 f (t)的过程称为拉普拉斯反变换 。
简单的拉普拉斯反变换只要应用表 4-1以及上节讨论的拉氏
变换的性质便可得到相应的时间函数 。
求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式
展开法和围线积分法 。 前者是将复杂变换式分解为许多简
单变换式之和, 然后分别查表即可求得原信号, 它适合于
F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分,
它的适用范围更广 。
4.4.1部分分式展开法
常见的拉氏变换式是 s的多项式之比 （ 有理函数 ）, 一般形
式是,
)(
)()(
sD
sNsF ?
式中 N(s)和 D(s)分别为 F(s)的分子多项式和分母多项式 。 ai ( i=
0,1,…,n),bj (j = 0,1,…,m)均为实数 。 如果 N(s)的阶次比 D(s)的
阶次高, 则要用长除法将 F(s)化成多项式与真分式之和, 即
（ 4.4-2 ）
由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由
微分性质直接求得 。
所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。下面着重讨论是
真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况,
商 +真分式 ??
)(
)()(
sD
sNsF
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
??????? ?2
2
1
1
1,D(s) = 0的根都是相异实根
因式分解为
)())(()( 21 nn ssssssasD ???? ?
F(s)可表示为
然后, 由表 4－ 1进行反变换 。
2,D(s) = 0有复根且无重复根
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
???? ?
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
?
??
?
?
?
? ?
2
2
1
1
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn ?????? ??
))(( 21 cbsssD ???
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF ?
??
???
的反变换可用配方法。cbss ksk ?? ?2 21其中
3,D(s) = 0的根为重根
同样, 可求得反变换 。
4.4.2 围线积分法
拉普拉斯反变换式是
拉氏反变换的运算转换为求被积函数在各极点上的留数 。
可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD ?
)()()()( 11 nppn ssssssasD ???? ? ?
)(
)(
)()()()(
)(
1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
k
sF pppp ?
?
?
?
??
?
?
?
? ?? ?
? ?f t j F s e d ss t
j
j
( ) ?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
0,]e)([sRe)( ?? ?? tsFtf kssts
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
由于拉氏变换是由傅氏变换推广而来, 当 ?＝ 0 时, 拉氏变换
就是傅氏变换 。 对于有始信号, 即 t < 0 时, f( t ) = 0,则 f ( t )
的拉氏变换即为单边拉氏变换 。 因而, 单边拉氏变换与傅氏
变换之间必有联系 。 本节讨论有始信号的傅氏变换与拉氏变
换之关系, 及由拉氏变换求取傅氏变换的方法 。 根据收敛坐
标值, 可分为三种情况 。
1,?0 > 0
傅氏变换不存在 。 不能由拉氏变换去求得其傅氏变换 。
2,?0 < 0
在拉氏变换式中令 s=j?,就可得到傅氏变换 。
3,?0 = 0
这时傅氏变换中必然包含有冲激函数或它们的导数 。
4.6 连续系统的复频域分析
4.6.1 微分方程的复频域分析法
对于任何一个线性时不变系统都可用下列常系数线性微分方
程来描述 。
对上式两边取拉氏变换, 并假定为有始函数, 即 t < 0时,
x(t)= 0,因而, x(0-)=x’(0-)=0 。
利用时域微分性质, 有
以二阶常系数线性微分方程为例
)()()()()( 01012 txbtxbtyatyatya ????????
)()( 01 sXbssXb ??
)()]0()([)]0()0()([ 0122 sYayssYaysysYsa ?????? ???
由此可见, 时域中的微分方程已转换为复频域中的代数方程,
并且自动地引入初始状态, 这样十分便于直接求出全响应 。
全响应的象函数为
上式表明响应由两部分组成 。 一部分是由激励产生的零状
态响应；另一部分是系统的初始状态产生的零输入响应 。
01
2
2
122
01
2
2
01 )0()0()0()()(
asasa
yayasyasX
asasa
bsbsY
??
????
??
??? ???
)()( sYsY zizs ??
)(
)()(
sX
sYsH zs?
系统函数的定义,
阶导数的初始状态的表示响应式中,ityy i )()0()( ?
它是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比, 称为系
统函数 。
对 Y(s) 进行反变换, 可得全响应的时域表达式,
4.6.2 电路的复频域模型
当人们在复频域内分析具体电路时, 此时可不必先列写微分
方程, 再用拉氏变换进行分析, 而是先根据复频域电路模型,
从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程, 然后求解复
频域响应并进行拉氏反变换 。 下面先介绍电路元件的复频域
模型 。
电阻元件的电压与电流的时域关系为
)()()]([)]([)]([)( 111 tytysYLsYLsYLty zizszizs ????? ???
)()( tRit RR ??
将上式两边取拉氏变换, 得
（ 4.6-9）
由式 （ 4.6-9） 可得到电阻元件的复频域模型如图 4.6-1所示 。
显然, 电阻元件的复频域模型与时域模型具有相同的形式 。
)()( sRIsV RR ?
+ - )(sV
R
)(sIR
+ - )(tv
R
)(tiR
电容元件的电压与电流的时域关系为
)0()(1)(
0
??? ?
? c
t
cC vdiCt ???
将上式两边取拉氏变换, 得
（ 4.6-10）
或 （ 4.6-11）
上式表明, 一个具有初始电压的电容元件, 其复频域模型为
一个复频容抗与一个大小为的电压源相串联, 或者是与一个
大小为的电流源并联, 如图 4.6-2所示 。
)0(1)(1)( ??? CcC ssIsCsV ?
)0()()( ??? ccc cvss c VsI
)(sIc
+ -
)(svc
)0(1 ?cvs
+ -
sc
1 )(sIc
+ - )(sv
c
)0( ?ccv
sc
1
电感元件的电压与电流的时域关系为
将上式两边取拉氏变换, 得
（ 4.6-12）
或 （ 4.6-13）
上式表明, 一个具有初始电流的电感元件, 其复频域模型为
一个复频感抗与一个大小为的电压源相串联, 或者是与一个
大小为的电流源相并联, 如图 4.6-3所示 。
dt
tdiLt L
L
)()( ??
s
isV
sLsI
L
LL
)0()(1)( ???
)0()()( ??? LLL Liss L IsV
sL
+ -
)(sVL
)0( ?LLi)(sI
L
- +
sL
+ -
)(sVL
s
iL )0( ?
)(sIL
把电路中每个元件都用它的复频域模型来代替, 将信号
源及各分析变量用其拉氏变换式代替, 就可由时域电路模
型得到复频域电路模型 。 在复频域电路中, 电压 V(s)与电
流 I ( s ) 的关系是代数关系, 可以应用与电阻电路一样的分
析方法与定理列写求解响应的变换式 。
4.7 系统函数
4.7.1系统函数与零状态响应
系统函数 H(s)是在零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变
换与激励的拉氏变换之比 。 式 （ 4.6-1） 表示的线性时不变
系统, 其系统函数由式 （ 4.6-7） 给出, 即
（ 4.7-1）
可见, 已知系统时域描述的微分方程就很容易直接写出系
统复频域描述的系统函数, 反之亦然 。
系统函数仅决定于系统本身的特性, 与系统的激励无关,
它在系统分析与综合中占有重要地位 。
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?
由于 YZS(s) = H(s) X(s)
当系统的激励为 ?(t) 时, 零状态响应为 h(t),故
￡[h(t)] = H(s) ￡[?(t)] =H(s) ( 4.7-2）
即系统函数 H(s)与冲激响应 h(t)是一对拉氏变换 。 h(t)与 H(s)
分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的特性 。 在时
域, 频域和复频域, 系统的输入和零状态输出的关系由频域
和复频域卷积定理相联系 。
h t H s( ) ( )?
当系统的激励为
时,
系统的零状态响应由卷积积分可求得为
（ 4.7-3）
上式表明, 若激励是无时限的复指数信号时, 则因果系统的
零状态响应也是全响应仍为相同复频率的指数信号, 但被加
权了 H(s)。 或者说, 只要将激励乘以系统函数 H(s)便可求得
响应 （ 条件是,s位于 H(s)的收敛域内, 即位于 H(s)的最右极
点的右边 ） 。
因此, 用拉氏变换法分析系统的零状态响应, 实质上就是将
激励信号分解为许多不同复频率的复指数分量之和, 即
)()( 1 ??????? tetx ts
)()( 10 111 sHedehe tssts ?? ? ?? ?? ?
?? ? ?? ?? ?? ? ?? ???? ?? dehedehty ststszs 111 )()()( )(
其中每个复指数分量的响应由式（ 4.7-3）可得为，最后将这
些响应分量迭加，即得系统的零状态响应
x t
j
X s e d s
j
j
s t( ) ( )?
? ?
? ?
?
1
2 ? ?
?
即
y t
j
X s H s e d sZS
j
j
s t( ) ( ) ( )?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
y t
j
Y s e d sZS ZS
j
j
s t( ) ( )?
? ?
? ?
?
1
2 ? ?
? （ 4.7-4）
4.7.2 系统函数的求法
综上所述, 系统函数可以由零状态条件下从系统的微分方
程经过拉氏变换求得, 或从系统的冲激响应求拉氏变换而
得到 。 对于具体的电路, 系统函数还可以用零状态下的复
频域等效电路 （ 模型 ） 求得 。
4.7.3 系统框图化简
在工程分析中, 人们较喜欢采用方框图的表示形式, 因此
系统可以用框图表示 。 一个大系统可以由许多子系统作适
当联接组成, 当各子系统的系统函数已知时, 可通过框图
化简求得总系统的系统函数 。 系统的基本联接方式有级联,
并联及反馈三种 。
1,级联
如图 4.7-3所示 。 两个子系统的系统函数分别为 H1(s)和 H2(s)，
整个系统的系统函数为
（ 4.7-5）
即, 子系统级联时, 总系统函数为各个子系统函数之积
2,并联
如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称, 和点,, 在 X(s)后面
的 A点叫做, 分点, 。
（ 4.7-6）
即, 子系统并联时, 总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21?
)s(H1 )s(H2
X(s) Y(s)
2,并联
如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称, 和点,, 在 X(s)后
面的 A点叫做, 分点, 。
（ 4.7-6）
即, 子系统并联时, 总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21 ??
?
X(s)
)s(H2
)s(H1 Y(s)
3,反馈
图 4.7-5表示子系统 H1(s)的输出信号反馈到输入端的情况,
其中 H1(s)称为正向通路的系统函数, H2(s)称为反馈通路的
系统函数,, +‖号表示正反馈, 即输入信号与反馈信号相
加,
―－”号表示负反馈，即输入信号与反馈信号相减。没有
反馈通路的系统称为开环系统，有了反馈通路则成闭环系
统。
在有反馈时的总系统函数为
（ 4.7-7）
对于负反馈的情况, 上式分母中取正号； (对于正反馈的
情况, 上式分母中取负号 。 )
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
sHsH
sH
sX
sYsH
???
?
)s(EX(s)
Y(s)
)s(H2
)s(H1-
4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性
4.8.1系统函数的零点与极点
一般来说, 线性系统的系统函数是以多项式之比的形式出现
的 。 将式 (4.7-1)给出的系统函数的分子, 分母进行因式分解,
进一步可得
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
ps
zs
H
sD
sN
sH
n
k
k
m
j
j
?
?
?
?
?
?
??
当一个系统函数的全部零点, 极点及确定后, 这个系统函数
也就可以完全确定 。 由于 H0只是一个比例常数, 对的函数形
式没有影响, 所以一个系统随变量 s变化的特性可以完全由它
的零点和极点表示 。 把系统函数的零点和极点绘在 S平面上
的图形叫做系统函数的零, 极点图 。 其中零点用, o‖表示,
极点用,, 表示 。 若为 n重零点或极点, 则注以 ( n )。
一个实际电系统的参数 （ 如 R,L,C等 ） 必为实数,
故系统函数的分子多项式和分母多项式系数 bj (j=0,1,…,m)和
ai ( i=0,1,…,n)必均为实数, 因而实际系统的系统函数必定是
复变量 s的实有理函数, 它的零点或极点一定是实数或成对出
现的共轭复数 。
借助系统函数在 S平面的零, 极点分布的研究, 可以
简明, 直观地给出系统响应的许多规律, 以统一的观点阐明
系统诸方面的性能 。 系统的时域, 频域特性集中地以其系统
的零, 极点分布表现出来 。 从的零, 极点的分布不仅可以揭
示系统的时域特性的规律, 而且还可用来阐明系统的频率响
应特性和系统的稳定性等方面的性能 。
?
1,由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应的模式
系统函数 H(s) 与冲激响应 h ( t )是一对拉氏变换, 因此根据
H(s)的零, 极点分布就可以确定系统的冲激响应的模式 。
（ 1） 若的极点位于 S平面的原点, 如, 则 h ( t ) =?(t),
冲激响应的模式为阶跃函数 。
（ 2） 若的极点位于 S平面的正实轴上,
如, 则 h ( t ) =e?t ?(t), 冲激响应的模式为增长指数函数；若
的极点位于 S平面的负实轴上, 如, 则 h ( t ) = e-?t ?(t), 冲激
响应的模式为衰减指数函数 。
（ 3） 若的极点位于 S平面的虚轴 （ 极点必以共轭形式出
现 ） 上, 如
,则, 冲激响应的模式为等幅振荡 。
2
0
2
0)(
?
?
?? ssH
)(s in)( 0 ttth ???
（ 4） 若的共轭极点位于 S右半平面,
如
则
,
冲激响应的模式为增幅或减幅振荡。
以上分析了的极点与冲激响应模式的关系。零点分布的
情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应模式没
有影响。
2
0
2
0
)()( ??
?
??? ssH
)(s in)( 0 tteth t ?????
2,由系统函数的零极点分布确定系统全响应模式
)s(Y)s(Y)s(Y zizs ??
)s(Y)s(X)s(H zi??
(1),零状态响应 )t(y
zs
H(s)与系统全响应模式之间的关系
H(s)的极点确定零状态响应中 自然 响应 的模式
X(s)的极点确定零状态响应中 强制 响应 的模式
当的极点与的零点或的零点与的极点相消时, 就会使的极
点所对应的自然响应模式或的极点所对应的强制响应模式消
失 。
(2),零输入响应 )(ty
zi
故零输入响应 （ 自然响应 ） 的模式由 D(s)=0的根确定, 它的幅
度和相位则与初始状态有关 。 这里 D(s)=0称为系统的特征方程,
其根称为特征根或系统的固有频率 。 可以说, 零输入响应的模
式由系统的固有频率确定 。 如果 H(s)没有零, 极点相消, 则特
征方程 D(s)=0的根也就是 H(s)的极点, 则零输入响应的模式由
H(s)的极点确定 。 但是, 当 H(s)的零极点相消时, 系统的某些
固有频率在 H(s)的极点中将不再出现, 这时零输入响应的模式
不再由 H(s)的极点确定, 但 H(s)的零极点是否相消, 并不影响
零状态响应的模式 。 这一现象说明, 系统函数一般只用于研究
系统 H(s)的零状态响应 。
系统的完全响应 y(t)也可以分为暂态响应和稳态响应。随着时
间 t 的增大而衰减为零的部分为暂态响应，其余部分为稳态响
应。暂态响应与 H(s)和 X(s)都有关系。当 H(s)和 X(s)的极点都在
S域左半平面时，暂态响应等于自然响应与强制响应之和，稳
态响应等于零。若 X(s)的极点实部大于或等于零，即 Re[pi] ；
或者极点在原点，仍假定 H(s)的极点 Re[pi] <0，此情况下，自
然响应就是暂态响应，强制响应就是稳态响应。 0?
4.8.3由系统函数的零、极点分布确定系统的频率响应特性
系统函数 H(s)在 S平面的零, 极点分布与其频率特性有直接
关系 。 利用系统函数的零, 极点分布就可以借助几何作图法
确定系统的频率响应特性 （ 简称频响特性 ） 。
若系统函数的极点均位于 S左半平面, 那么它在虚轴上 （ s
= j?） 也收敛, 令 s = j?,也就是在 S平面中令 s只沿虚轴变化,
则 H(s)| s= j ? =H(j?)或写作 H(?)即为系统的频响特性 。
在式 （ 4.8-1） 系统函数 H(s) 的表达式中, 令 s = j?,则得,
)(
)j(
)j(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
p
z
HH
n
k
k
m
j
j
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
可以看出, 频响特性取决于系统的零, 极点分布 。 即取决于 zj=pk
的位置, H0是系数, 对频响特性无关紧要 。 式 （ 4.8-6） 分母中任
一极点因子 （ j?-pk） 相当于由极点 pk引向虚轴上某点 j?的一个矢
量, 称为极点矢量；分子中任一零点因子 （ j?-zj） 相当于由零点
zj引向虚轴上某点 j?的一个矢量, 称为零点矢量 。 图 4.8-5中画出
了由零点 zj和极点 pk与虚轴上某点 j?联接构成的零点矢量 j? - zj和
极点矢量 j? - pk 。 图中 Nj,Mk分别表示零点矢量和极点矢量的模,
?j,?k分别表示零点矢量和极点矢量的辐角 。 即
j? - zj = Nj
j? - pk = Mk （ 4.8-7）
于是, 幅频特性为
（ 4.8-9）
相频特性为
（ 4.8-10）
?
?
?
??
n
k
k
m
j
j
M
N
HH
1
1
0)(?
? ?
? ?
??
m
j
n
k
kj
1 1
)( ????
当 ?自原点沿虚轴运动并趋于无穷大时, 各零点矢量和极点
矢量的模和辐角都随之改变, 于是得出幅频特性和相频特性
曲线 。
讨论可知, 如果系统函数的某一极点十分靠近虚轴时, 则当
角频率 ?在该极点虚部附近处时, 幅频特性有一峰值, 相频
特性急剧减小 。 类似地, 如果系统函数有一零点十分靠近虚
轴时, 则当角频率 ?在该零点虚部附近处时, 幅频特性有一
谷值, 相频特性急剧增大 。
4,9 连续时间系统的稳定性
4.9.1 稳定系统
稳定系统是指对于有界的激励产生有界的响应 （ BIBO） 的
系统 。 如果对于有界的激励产生无限增大的响应, 则系统
是不稳定的 。 稳定性是系统本身特性的反映, 系统是否稳
定与激励今后的情况无关 。
设连续时间系统的输入信号 x(t)为有界, 即, |x(t)| ? Mx,Mx
为有界正值, 由于零状态响应
欲使 y(t)为有界输出, 即 |y(t)| <?, 则式 (4.9-1)必须是有界的,
也就是系统的冲激响应 h(t)必须满足绝对可积条件
(4.9-2)
对于因果系统的冲激响应, 当 t < 0时, h(t) = 0,式 (4.9-2)可写
为
(4.9-3)
? ??
?
??
??? ?? dhty )(
? ??
?
???
0
)( ?? dhty
?
?
??
??? ??? dtxhtxthty )()()()()(
系统的冲激响应 h(t)和系统函数 H(s)从不同侧面表征系统的本
性 。 判别系统是否稳定, 既可从时域方面也可从 S域方面进行,
即通过研究 H(s)在 S平面中极点分布的位置, 可很方便地给出有
关系统稳定性的结论 。
从 4.8.2节中有关系统函数 H(s)的极点分布与冲激响应模式关系
的分析中, 可得出系统极点分布与稳定性的关系 。
（ 1） 若 H(s)的全部极点均位于 S左半平面 （ 不包括虚轴 ）, 则
在 t??时, h(t)消失, 系统是稳定系统 。
（ 2） 若在 H(s)的极点中, 只要有一个位于 S右半平面或在虚轴
（ 包括原点 ） 上具有二重以上极点, 则在 t??时, h(t)??,系
统是不稳定系统 。
（ 3） 若在 H(s)的极点中, 除了位于 S左半平面外, 还有一阶极
点位于虚轴 （ 包括原点 ） 上, 则 h(t)为有限值或为等幅振荡, 系
统是临界稳定系统 。
因此, 系统稳定的充分必要条件是系统函数 H(s)的极点均位于 S
左半平面, 或者说系统的特征方程 D(s) = 0的根都具有负的实部 。
4.9.2 连续系统的稳定性准则
连续系统的稳定性准则也称为罗斯 ——霍尔维兹准则
（ Routh-Hurwitz criterion） 。
罗斯 ——霍尔维兹准则指出：多项式 D(s)是霍尔维兹
多项式的充分和必要条件是罗斯表中第 1列的全部元素均大
于 0,即如果罗斯表中第 1列的元素均为不等于 0的正值, 则
D(s)=0的根全部位于 S平面的左半部, 故系统稳定 。 如果罗
斯表中第 1列元素的符号不完全相同, 那么其符号改变次数
恰恰就是具有正实部或位于 S右半平面的根的数目 。
4.10 系统的信号流图
用方框图描述系统较直观, 但是当系统很复杂时, 方框图
的化简过程是很繁杂的 。 此时, 可以应用信号流图和梅森
（ Mason） 公式进行化简 。
4.10.1信号流图
信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间因果关
系的一种表示方法, 实际上是一种由点和标以方向的线构
成的图形, 它也是一种模拟图形, 可以从方框图演变出来 。
图 4.10-1（ a） 所示是用系统函数表示的系统方框图, 变成
信号流图形式如图 4.10-1（ b） 所示, 箭头指示信号流动方
向, 线段的权值就是该区间的系统函数 。
方框图描述了系统中各局部系统之间的连接关系，信号流
图简化了方框图的表示形式，从而更醒目地表明系统中各信
号（变量）之间的因果关系。
下面先定义信号流图中的一些术语 。
节点, 表示信号或系统中变量的点 。
支路, 连接两个节点之间的定向线段 。
支路系统函数, 连接该支路节点之间系统函数 。
输入节点或源点, 只有输出支路的节点, 它对应的是输入信号 。
输出节点或阱点,只有输入支路的节点, 它对应的是输出信号 。
混合节点, 既有输入支路又有输出支路的节点 。 仅有一条输出
支路的混合节点称为, 和点, ；仅有一条输入支路的混合节
点称为, 分点, 。
信号流图说明了系统中各节点信号之间的代数运算关系,
或者说支路表示了系统中一个信号对另一个信号的函数关系 。
信号只能沿着支路的箭头方向通过 。 实际上每一支路相当于
一个乘法器 。 混合节点信号就是该节点所有输入支路信号的
总和, 并把总和信号传向连接该节点的每一输出支路 。 例如
图 4.10-1（ b） 中节点信号 X1的总和信号为 X1 = H1 X+ H3 X2,，
而节点信号 Y1 =X2 =H2 X1, 由于同一系统可以写成不同形
式的方程, 因此, 对于一个给定系统, 画出的信号流图不是
唯一的 。
4.10.2梅森公式
信号流图用于系统分析的基本目的在于简化复杂系统, 并
确定系统输入和输出之间的关系式 。 信号流图也可以逐步
简化, 类似方框图的简化, 以求出总系统函数 。 但这个过
程仍嫌太繁琐 。 梅森公式是通过观察直接求得系统函数的
一种方法 。
梅森公式表明在信号流图中, 源点和阱点之间的系统函数为,
（ 4.10-1） ?
?
????
m
i
iiPsX
sYsH
1
1
)(
)()(
式中 Pi—— 第 i条前向通路的增益；
?——信号流图的特征行列式
（ 4.10-2）
??????? ???
fed
fed
cb
cb
a
a LLLLLL
,,,
1
其中 ——所有不同环路的增益之和；
——所有两个互不接触环路增益乘积之和；
?
a
aL
?
cb
cb LL
,
——所有三个互不接触环路增益乘积
之和；
?i ——将第 i条前向通路除去后 （ 包括该前
向通路经过的所有节点 ） 再计算的 ? 。
?
fed
fed LLL
,,
第四章
第 4章 连续信号与系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
4.2 典型信号的拉普拉斯变换
4.3 拉普拉斯变换的性质
4.4 拉普拉斯反变换
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
4.6 连续系统的复频域分析
4.7 系统函数
4.8 由系统函数的零, 极点分析系统特性
4.9 连续系统的稳定性
4.10 系统的信号流图
习题 4
第 4章 连续信号与系统的复频域分析
傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面 （ 如分析谐波
成分, 系统的频率响应, 波形失真, 抽样, 滤波等 ） 是十
分有效的 。 但在应用这一方法时, 信号 f(t)必须满足狄里赫
勒条件 。 而实际中会遇到许多信号, 例如阶跃信号 ?(t),斜
坡信号 t?(t),单边正弦信号 sint?(t)等, 它们并不满足绝对可
积条件, 从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换 。
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换, 但其
变换式中常常含有冲激函数, 使分析计算较为麻烦 。 此外,
还有一些信号, 如单边指数信号 e?t?(t) (?>0),则根本不存
在傅里叶变换, 因此, 傅里叶变换的运用便受到一定的限
制, 其次, 求取傅里叶反变换有时也是比较困难的, 此处
尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应,
这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的 。 因
此, 有必要寻求更有效而简便的方法, 人们将傅里叶变换
推广为拉普拉斯变换 （ LT,Laplace Transform） 。
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换, 对拉普拉斯变
换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正, 反变换以
及拉普拉斯变换的一些基本性质, 并以此为基础, 着重讨
论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来
分析系统的时域特性, 频域特性等 。
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
信号 f(t)之所以不能满足绝对可积的条件, 是由于当 t??或
t? - ?时, f ( t )不趋于零 。 如果用一个实指数函数 e-? t去乘
f(t),只要 ?的数值选择得适当, 就可以克服这个困难 。 例
如, 对于信号
??
?
?
?
?
?
?
0e
0e
)(
t
t
tf
ta
tb
式中 a,b都是正实数, 且 a > b 。 只要选择 a > ? > b,就能
保证当 t? ? 和 t? － ? 时, f ( t )e-?t 均趋于零 。 通常把 e-?t
称为收敛因子 。 f ( t )乘以收敛因子 e-?t 后的信号 f ( t )e-?t的傅
里叶变换为
它是 的函数, 可写成
? ??? ??? ? dteetfetf tjtt ??? )(])([F
? ??? ??? dtetf tj )()( ??
?? j?
? ?F j f t e d tj t? ? ? ?? ? ? ?
??
?
? ( ) ( )
? ??? ?? dtetfsF st)()(
记为
最后得到
式 （ 4.1-5） 称为 f (t)的双边拉普拉斯变换 (bilateral Laplace
Transform),称 F(s） 是 f ( t )的象函数 。 而式 (4.1-6) 是 F（ s）
的双边拉普拉斯反变换, 称 f (t) 是 F(s)的原函数 。
式 （ 4.1-5） 和 （ 4.1-6） 称为双边拉普拉斯变换对, 可以用
双箭头表示 f ( t )与 F(s)之间这种变换与反变换的关系
其傅氏反变换为
? ???? ? ?? ?? desFetf tjt )(2 1)(
? ??? ?? dtetfsF st)()(
? ?f t j F s e d ss t
j
j
( ) ?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
（ 4.1-5）
（ 4.1-6）
)]([)()],([)( sFtftfsF -1LL ??记
)()( sFtf ?
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出, f
( t ) 的双边拉普拉斯变换 F(s)=F( )是把 f ( t )乘以 e - ? t之后
再进行的傅里叶变换, 或者说 F(s)是 f ( t ) 的广义傅里叶变换 。
而 f ( t )e - ? t 较容易满足绝对可积的条件, 这就意味着许多原来
不存在傅里叶变换的信号都存在广义傅里叶变换, 即双边拉普
拉斯变换, 于是, 拉普拉斯变换扩大了信号的变换范围 。
拉普拉斯变换与傅里叶变换的基本区别在于：傅里叶变换是将
时间域函数 f ( t )变换为频率域函数 F( )，或作相反的变换，此
处时域变量 t 和频域变量 都是实数；而拉普拉斯变换则是
将时间域函数 f ( t ) 变换为复频域函数 F(s)，或作相反的变换，
这里时域变量 t 是实数，复频变量 s 是复数。概括地说，傅里
叶变换建立了时域和频域 ( 域 ) 间的联系，而拉普拉斯变换
则建立了时域和复频域（ S域）间的联系。
?? j?
?
?
?
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
从以上讨论可知，当信号 f (t)乘以收敛因子 e-?t后，就有可能
满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看 f (t)的
性质与 ? 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t)，
通常并不是在所有的 ? 值上都能使式 (4.1-5)的积分收敛，
即并不是对所有的 ? 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯
变换，而只是在 ? 值的一定范围内,f ( t )才存在拉普拉斯
变换。通常把使 f (t)e-?t 满足绝对可积条件的 ? 值的范围称
为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC,region of convergence )。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函
数的拉普拉斯变换不存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉
普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完
全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收
敛域。
4.1.3 （ 单边 ） 拉普拉斯变换
考虑到实际中遇到的信号都是有始 （ 因果 ） 信号, 即 t < 0 时
f ( t ) = 0,以及信号虽然不起始于 0,而问题的讨论只须考虑信
号 的部分 。 在这两种情况下, 式 （ 4.1-5） 可改写为,
（ 4.1-8）
上 式 称为 f(t) 的 单边 拉普 拉斯 变换 （ unilateral Laplace
Transform）, 记为 ￡[ f (t) ]。 相应的反变换为,
t > 0 (4.1-9）
记为 ￡-1[ F(s)]。 即
F(s) =￡[ f (t) ] 和 f (t) = ￡–1 [ F (s) ]
0?
? ? ??? 0 )()( dtetfsF st
? ?f t j F s e d ss t
j
j
( ) ?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
式 （ 4.1-8） 中积分下限用 0－ 而不用 0＋, 目的是可把 t = 0－
时出现的冲激考虑到变换中去, 当利用单边拉普拉斯变换
解微分方程时, 可以直接引用已知的起始状态 f (0－ )而求得
全部结果, 无需专门计算 0－ 到 0＋ 的跳变 。
由于在分析因果系统, 特别是具有非零初始条件的线性
常系数微分方程时, 单边拉普拉斯变换具有重要价值, 所
以, 我们在下文中讨论的拉普拉斯变换 （ 简称拉氏变换 ）
都是指单边拉普拉斯变换 。
如果因果信号 f ( t )满足,（ 1） 在有限区间 a < t < b内
（ 0 ? a < b < ?） 可积； （ 2） 对于某个 ?0,有,
（ 4.1-10）
则对于 Re[s] = ? > ?0,拉普拉斯变换积分式 （ 4.1-8） 绝对
且一致收敛 。 即 f ( t )存在拉普拉斯变换 。
)(0)(lim 0??? ????? tt etf
?0 为 最 低 限 度 的 ? 值, 称 为 收 敛 坐 标 ( abscissa of
convergence ),它的取值与函数 f ( t ) 的性质有关 。 经过 ?0的
垂直线是收敛边界, 或称为收敛轴 。 由于单边拉普拉斯变换
的收敛域是由 Re[s] = ? > ?0的半平面组成, 因此其收敛域都
位于收敛轴的右边 。 凡满足式 (4.1-10)的函数 f ( t )称为, 指
数阶函数,, 意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数 f(t)
可能存在的发散性压下去, 使之成为收敛函数 。
由于 (单边 )拉氏变换的收敛域是由 Re(s) >?0的半平面组成,
收敛域比较容易确定, 故在一般情况下, 不再加注其收敛域 。
我们在此再强调一下, 以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉
普拉斯变换 。
4.2 典型信号的拉普拉斯变换
下面给出一些典型信号的拉氏变换 。 因为 f ( t )与 f ( t ) 的
单边拉氏变换相同, 因此假定这些信号都是有始信号 。
1,指数信号
2,单边阶跃信号
3,单边正弦信号
4,单边余弦信号 cost
)(t?
??
?
??
?
ste
t 1)(
2
0
2
0
0 )(s in ?
???
?? stt
st
1)( ??
2
0
20 )(c o s ??? ?? s
stt
5,单边衰减正弦信号
6,单边衰减余弦信号
7,单位冲激信号
8,t的正幂信号 t n,（ n为正整数 ）
9,单边双曲正弦函数 sh和余弦函数 ch
e t t st? ? ? ?? ? ? ?? ?s in ( ) ( )0 02
0
2
2
0
20 )()(c o s ??
????
??
???
s
stte t
1)( ?t?
1
!)(
?? n
n
s
ntt ?
22)(s in h ?
???
?? stt 22)(c o s h ??? ?? s
stt
4.3 拉普拉斯变换的性质
在实际应用中, 人们常常不是利用定义式计算拉氏变换,
而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质 。 这些性质与傅
里叶变换性质极为相似, 在某些性质中, 只要把傅氏变换
中的 j?用 s替代即可 。 但是, 傅氏变换是双边的, 而这里讨
论的拉氏变换是单边的, 所以某些性质又有差别 。 有些性
质与傅氏变换相类似 。
1,线性
2,时移性
3,比例性 （ 尺度变换 ）
4,频移性
5,时域微分
6,时域积分
7,初值定理
8,终值定理
拉氏变换还有一些其它性质, 如时域卷积和复频域卷积等,
它们与傅氏变换的性质类似, 不再重复 。 表 4-2列出了常用
拉氏变换的性质 。
4.4 拉普拉斯反变换
从象函数 F(s)求原函数 f (t)的过程称为拉普拉斯反变换 。
简单的拉普拉斯反变换只要应用表 4-1以及上节讨论的拉氏
变换的性质便可得到相应的时间函数 。
求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式
展开法和围线积分法 。 前者是将复杂变换式分解为许多简
单变换式之和, 然后分别查表即可求得原信号, 它适合于
F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分,
它的适用范围更广 。
4.4.1部分分式展开法
常见的拉氏变换式是 s的多项式之比 （ 有理函数 ）, 一般形
式是,
)(
)()(
sD
sNsF ?
式中 N(s)和 D(s)分别为 F(s)的分子多项式和分母多项式 。 ai ( i=
0,1,…,n),bj (j = 0,1,…,m)均为实数 。 如果 N(s)的阶次比 D(s)的
阶次高, 则要用长除法将 F(s)化成多项式与真分式之和, 即
（ 4.4-2 ）
由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由
微分性质直接求得 。
所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。下面着重讨论是
真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况,
商 +真分式 ??
)(
)()(
sD
sNsF
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
??????? ?2
2
1
1
1,D(s) = 0的根都是相异实根
因式分解为
)())(()( 21 nn ssssssasD ???? ?
F(s)可表示为
然后, 由表 4－ 1进行反变换 。
2,D(s) = 0有复根且无重复根
)())((
)(
)(
)(
21 nn ssssssa
sN
sD
sN
???? ?
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
?
??
?
?
?
? ?
2
2
1
1
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn ?????? ??
))(( 21 cbsssD ???
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF ?
??
???
的反变换可用配方法。cbss ksk ?? ?2 21其中
3,D(s) = 0的根为重根
同样, 可求得反变换 。
4.4.2 围线积分法
拉普拉斯反变换式是
拉氏反变换的运算转换为求被积函数在各极点上的留数 。
可写成则重根只有一个若 )(,0)( sDpsD ?
)()()()( 11 nppn ssssssasD ???? ? ?
)(
)(
)()()()(
)(
1
1
1
11
2
1
12
1
1
)1(1
1
1
sD
sN
ss
k
ss
k
ss
k
ss
k
sF pppp ?
?
?
?
??
?
?
?
? ?? ?
? ?f t j F s e d ss t
j
j
( ) ?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
0,]e)([sRe)( ?? ?? tsFtf kssts
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
由于拉氏变换是由傅氏变换推广而来, 当 ?＝ 0 时, 拉氏变换
就是傅氏变换 。 对于有始信号, 即 t < 0 时, f( t ) = 0,则 f ( t )
的拉氏变换即为单边拉氏变换 。 因而, 单边拉氏变换与傅氏
变换之间必有联系 。 本节讨论有始信号的傅氏变换与拉氏变
换之关系, 及由拉氏变换求取傅氏变换的方法 。 根据收敛坐
标值, 可分为三种情况 。
1,?0 > 0
傅氏变换不存在 。 不能由拉氏变换去求得其傅氏变换 。
2,?0 < 0
在拉氏变换式中令 s=j?,就可得到傅氏变换 。
3,?0 = 0
这时傅氏变换中必然包含有冲激函数或它们的导数 。
4.6 连续系统的复频域分析
4.6.1 微分方程的复频域分析法
对于任何一个线性时不变系统都可用下列常系数线性微分方
程来描述 。
对上式两边取拉氏变换, 并假定为有始函数, 即 t < 0时,
x(t)= 0,因而, x(0-)=x’(0-)=0 。
利用时域微分性质, 有
以二阶常系数线性微分方程为例
)()()()()( 01012 txbtxbtyatyatya ????????
)()( 01 sXbssXb ??
)()]0()([)]0()0()([ 0122 sYayssYaysysYsa ?????? ???
由此可见, 时域中的微分方程已转换为复频域中的代数方程,
并且自动地引入初始状态, 这样十分便于直接求出全响应 。
全响应的象函数为
上式表明响应由两部分组成 。 一部分是由激励产生的零状
态响应；另一部分是系统的初始状态产生的零输入响应 。
01
2
2
122
01
2
2
01 )0()0()0()()(
asasa
yayasyasX
asasa
bsbsY
??
????
??
??? ???
)()( sYsY zizs ??
)(
)()(
sX
sYsH zs?
系统函数的定义,
阶导数的初始状态的表示响应式中,ityy i )()0()( ?
它是零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比, 称为系
统函数 。
对 Y(s) 进行反变换, 可得全响应的时域表达式,
4.6.2 电路的复频域模型
当人们在复频域内分析具体电路时, 此时可不必先列写微分
方程, 再用拉氏变换进行分析, 而是先根据复频域电路模型,
从电路中直接列写求解复频域响应的代数方程, 然后求解复
频域响应并进行拉氏反变换 。 下面先介绍电路元件的复频域
模型 。
电阻元件的电压与电流的时域关系为
)()()]([)]([)]([)( 111 tytysYLsYLsYLty zizszizs ????? ???
)()( tRit RR ??
将上式两边取拉氏变换, 得
（ 4.6-9）
由式 （ 4.6-9） 可得到电阻元件的复频域模型如图 4.6-1所示 。
显然, 电阻元件的复频域模型与时域模型具有相同的形式 。
)()( sRIsV RR ?
+ - )(sV
R
)(sIR
+ - )(tv
R
)(tiR
电容元件的电压与电流的时域关系为
)0()(1)(
0
??? ?
? c
t
cC vdiCt ???
将上式两边取拉氏变换, 得
（ 4.6-10）
或 （ 4.6-11）
上式表明, 一个具有初始电压的电容元件, 其复频域模型为
一个复频容抗与一个大小为的电压源相串联, 或者是与一个
大小为的电流源并联, 如图 4.6-2所示 。
)0(1)(1)( ??? CcC ssIsCsV ?
)0()()( ??? ccc cvss c VsI
)(sIc
+ -
)(svc
)0(1 ?cvs
+ -
sc
1 )(sIc
+ - )(sv
c
)0( ?ccv
sc
1
电感元件的电压与电流的时域关系为
将上式两边取拉氏变换, 得
（ 4.6-12）
或 （ 4.6-13）
上式表明, 一个具有初始电流的电感元件, 其复频域模型为
一个复频感抗与一个大小为的电压源相串联, 或者是与一个
大小为的电流源相并联, 如图 4.6-3所示 。
dt
tdiLt L
L
)()( ??
s
isV
sLsI
L
LL
)0()(1)( ???
)0()()( ??? LLL Liss L IsV
sL
+ -
)(sVL
)0( ?LLi)(sI
L
- +
sL
+ -
)(sVL
s
iL )0( ?
)(sIL
把电路中每个元件都用它的复频域模型来代替, 将信号
源及各分析变量用其拉氏变换式代替, 就可由时域电路模
型得到复频域电路模型 。 在复频域电路中, 电压 V(s)与电
流 I ( s ) 的关系是代数关系, 可以应用与电阻电路一样的分
析方法与定理列写求解响应的变换式 。
4.7 系统函数
4.7.1系统函数与零状态响应
系统函数 H(s)是在零状态条件下系统的零状态响应的拉氏变
换与激励的拉氏变换之比 。 式 （ 4.6-1） 表示的线性时不变
系统, 其系统函数由式 （ 4.6-7） 给出, 即
（ 4.7-1）
可见, 已知系统时域描述的微分方程就很容易直接写出系
统复频域描述的系统函数, 反之亦然 。
系统函数仅决定于系统本身的特性, 与系统的激励无关,
它在系统分析与综合中占有重要地位 。
01
1
1
01
1
1)(
asasasa
bsbsbsbsH
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?
由于 YZS(s) = H(s) X(s)
当系统的激励为 ?(t) 时, 零状态响应为 h(t),故
￡[h(t)] = H(s) ￡[?(t)] =H(s) ( 4.7-2）
即系统函数 H(s)与冲激响应 h(t)是一对拉氏变换 。 h(t)与 H(s)
分别从时域和复频域两个方面表征了同一系统的特性 。 在时
域, 频域和复频域, 系统的输入和零状态输出的关系由频域
和复频域卷积定理相联系 。
h t H s( ) ( )?
当系统的激励为
时,
系统的零状态响应由卷积积分可求得为
（ 4.7-3）
上式表明, 若激励是无时限的复指数信号时, 则因果系统的
零状态响应也是全响应仍为相同复频率的指数信号, 但被加
权了 H(s)。 或者说, 只要将激励乘以系统函数 H(s)便可求得
响应 （ 条件是,s位于 H(s)的收敛域内, 即位于 H(s)的最右极
点的右边 ） 。
因此, 用拉氏变换法分析系统的零状态响应, 实质上就是将
激励信号分解为许多不同复频率的复指数分量之和, 即
)()( 1 ??????? tetx ts
)()( 10 111 sHedehe tssts ?? ? ?? ?? ?
?? ? ?? ?? ?? ? ?? ???? ?? dehedehty ststszs 111 )()()( )(
其中每个复指数分量的响应由式（ 4.7-3）可得为，最后将这
些响应分量迭加，即得系统的零状态响应
x t
j
X s e d s
j
j
s t( ) ( )?
? ?
? ?
?
1
2 ? ?
?
即
y t
j
X s H s e d sZS
j
j
s t( ) ( ) ( )?
? ?
? ?
?12 ?
?
?
y t
j
Y s e d sZS ZS
j
j
s t( ) ( )?
? ?
? ?
?
1
2 ? ?
? （ 4.7-4）
4.7.2 系统函数的求法
综上所述, 系统函数可以由零状态条件下从系统的微分方
程经过拉氏变换求得, 或从系统的冲激响应求拉氏变换而
得到 。 对于具体的电路, 系统函数还可以用零状态下的复
频域等效电路 （ 模型 ） 求得 。
4.7.3 系统框图化简
在工程分析中, 人们较喜欢采用方框图的表示形式, 因此
系统可以用框图表示 。 一个大系统可以由许多子系统作适
当联接组成, 当各子系统的系统函数已知时, 可通过框图
化简求得总系统的系统函数 。 系统的基本联接方式有级联,
并联及反馈三种 。
1,级联
如图 4.7-3所示 。 两个子系统的系统函数分别为 H1(s)和 H2(s)，
整个系统的系统函数为
（ 4.7-5）
即, 子系统级联时, 总系统函数为各个子系统函数之积
2,并联
如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称, 和点,, 在 X(s)后面
的 A点叫做, 分点, 。
（ 4.7-6）
即, 子系统并联时, 总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21?
)s(H1 )s(H2
X(s) Y(s)
2,并联
如图 4.7-4所示 。 图中表示加法器或称, 和点,, 在 X(s)后
面的 A点叫做, 分点, 。
（ 4.7-6）
即, 子系统并联时, 总系统函数为各个子系统函数之和 。
)s(H)s(H)s(H 21 ??
?
X(s)
)s(H2
)s(H1 Y(s)
3,反馈
图 4.7-5表示子系统 H1(s)的输出信号反馈到输入端的情况,
其中 H1(s)称为正向通路的系统函数, H2(s)称为反馈通路的
系统函数,, +‖号表示正反馈, 即输入信号与反馈信号相
加,
―－”号表示负反馈，即输入信号与反馈信号相减。没有
反馈通路的系统称为开环系统，有了反馈通路则成闭环系
统。
在有反馈时的总系统函数为
（ 4.7-7）
对于负反馈的情况, 上式分母中取正号； (对于正反馈的
情况, 上式分母中取负号 。 )
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
sHsH
sH
sX
sYsH
???
?
)s(EX(s)
Y(s)
)s(H2
)s(H1-
4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性
4.8.1系统函数的零点与极点
一般来说, 线性系统的系统函数是以多项式之比的形式出现
的 。 将式 (4.7-1)给出的系统函数的分子, 分母进行因式分解,
进一步可得
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
ps
zs
H
sD
sN
sH
n
k
k
m
j
j
?
?
?
?
?
?
??
当一个系统函数的全部零点, 极点及确定后, 这个系统函数
也就可以完全确定 。 由于 H0只是一个比例常数, 对的函数形
式没有影响, 所以一个系统随变量 s变化的特性可以完全由它
的零点和极点表示 。 把系统函数的零点和极点绘在 S平面上
的图形叫做系统函数的零, 极点图 。 其中零点用, o‖表示,
极点用,, 表示 。 若为 n重零点或极点, 则注以 ( n )。
一个实际电系统的参数 （ 如 R,L,C等 ） 必为实数,
故系统函数的分子多项式和分母多项式系数 bj (j=0,1,…,m)和
ai ( i=0,1,…,n)必均为实数, 因而实际系统的系统函数必定是
复变量 s的实有理函数, 它的零点或极点一定是实数或成对出
现的共轭复数 。
借助系统函数在 S平面的零, 极点分布的研究, 可以
简明, 直观地给出系统响应的许多规律, 以统一的观点阐明
系统诸方面的性能 。 系统的时域, 频域特性集中地以其系统
的零, 极点分布表现出来 。 从的零, 极点的分布不仅可以揭
示系统的时域特性的规律, 而且还可用来阐明系统的频率响
应特性和系统的稳定性等方面的性能 。
?
1,由系统函数的零、极点分布确定系统的冲激响应的模式
系统函数 H(s) 与冲激响应 h ( t )是一对拉氏变换, 因此根据
H(s)的零, 极点分布就可以确定系统的冲激响应的模式 。
（ 1） 若的极点位于 S平面的原点, 如, 则 h ( t ) =?(t),
冲激响应的模式为阶跃函数 。
（ 2） 若的极点位于 S平面的正实轴上,
如, 则 h ( t ) =e?t ?(t), 冲激响应的模式为增长指数函数；若
的极点位于 S平面的负实轴上, 如, 则 h ( t ) = e-?t ?(t), 冲激
响应的模式为衰减指数函数 。
（ 3） 若的极点位于 S平面的虚轴 （ 极点必以共轭形式出
现 ） 上, 如
,则, 冲激响应的模式为等幅振荡 。
2
0
2
0)(
?
?
?? ssH
)(s in)( 0 ttth ???
（ 4） 若的共轭极点位于 S右半平面,
如
则
,
冲激响应的模式为增幅或减幅振荡。
以上分析了的极点与冲激响应模式的关系。零点分布的
情况只影响冲激响应的幅度和相位，而对冲激响应模式没
有影响。
2
0
2
0
)()( ??
?
??? ssH
)(s in)( 0 tteth t ?????
2,由系统函数的零极点分布确定系统全响应模式
)s(Y)s(Y)s(Y zizs ??
)s(Y)s(X)s(H zi??
(1),零状态响应 )t(y
zs
H(s)与系统全响应模式之间的关系
H(s)的极点确定零状态响应中 自然 响应 的模式
X(s)的极点确定零状态响应中 强制 响应 的模式
当的极点与的零点或的零点与的极点相消时, 就会使的极
点所对应的自然响应模式或的极点所对应的强制响应模式消
失 。
(2),零输入响应 )(ty
zi
故零输入响应 （ 自然响应 ） 的模式由 D(s)=0的根确定, 它的幅
度和相位则与初始状态有关 。 这里 D(s)=0称为系统的特征方程,
其根称为特征根或系统的固有频率 。 可以说, 零输入响应的模
式由系统的固有频率确定 。 如果 H(s)没有零, 极点相消, 则特
征方程 D(s)=0的根也就是 H(s)的极点, 则零输入响应的模式由
H(s)的极点确定 。 但是, 当 H(s)的零极点相消时, 系统的某些
固有频率在 H(s)的极点中将不再出现, 这时零输入响应的模式
不再由 H(s)的极点确定, 但 H(s)的零极点是否相消, 并不影响
零状态响应的模式 。 这一现象说明, 系统函数一般只用于研究
系统 H(s)的零状态响应 。
系统的完全响应 y(t)也可以分为暂态响应和稳态响应。随着时
间 t 的增大而衰减为零的部分为暂态响应，其余部分为稳态响
应。暂态响应与 H(s)和 X(s)都有关系。当 H(s)和 X(s)的极点都在
S域左半平面时，暂态响应等于自然响应与强制响应之和，稳
态响应等于零。若 X(s)的极点实部大于或等于零，即 Re[pi] ；
或者极点在原点，仍假定 H(s)的极点 Re[pi] <0，此情况下，自
然响应就是暂态响应，强制响应就是稳态响应。 0?
4.8.3由系统函数的零、极点分布确定系统的频率响应特性
系统函数 H(s)在 S平面的零, 极点分布与其频率特性有直接
关系 。 利用系统函数的零, 极点分布就可以借助几何作图法
确定系统的频率响应特性 （ 简称频响特性 ） 。
若系统函数的极点均位于 S左半平面, 那么它在虚轴上 （ s
= j?） 也收敛, 令 s = j?,也就是在 S平面中令 s只沿虚轴变化,
则 H(s)| s= j ? =H(j?)或写作 H(?)即为系统的频响特性 。
在式 （ 4.8-1） 系统函数 H(s) 的表达式中, 令 s = j?,则得,
)(
)j(
)j(
)(
0
1
1
0
为标量系数H
p
z
HH
n
k
k
m
j
j
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
可以看出, 频响特性取决于系统的零, 极点分布 。 即取决于 zj=pk
的位置, H0是系数, 对频响特性无关紧要 。 式 （ 4.8-6） 分母中任
一极点因子 （ j?-pk） 相当于由极点 pk引向虚轴上某点 j?的一个矢
量, 称为极点矢量；分子中任一零点因子 （ j?-zj） 相当于由零点
zj引向虚轴上某点 j?的一个矢量, 称为零点矢量 。 图 4.8-5中画出
了由零点 zj和极点 pk与虚轴上某点 j?联接构成的零点矢量 j? - zj和
极点矢量 j? - pk 。 图中 Nj,Mk分别表示零点矢量和极点矢量的模,
?j,?k分别表示零点矢量和极点矢量的辐角 。 即
j? - zj = Nj
j? - pk = Mk （ 4.8-7）
于是, 幅频特性为
（ 4.8-9）
相频特性为
（ 4.8-10）
?
?
?
??
n
k
k
m
j
j
M
N
HH
1
1
0)(?
? ?
? ?
??
m
j
n
k
kj
1 1
)( ????
当 ?自原点沿虚轴运动并趋于无穷大时, 各零点矢量和极点
矢量的模和辐角都随之改变, 于是得出幅频特性和相频特性
曲线 。
讨论可知, 如果系统函数的某一极点十分靠近虚轴时, 则当
角频率 ?在该极点虚部附近处时, 幅频特性有一峰值, 相频
特性急剧减小 。 类似地, 如果系统函数有一零点十分靠近虚
轴时, 则当角频率 ?在该零点虚部附近处时, 幅频特性有一
谷值, 相频特性急剧增大 。
4,9 连续时间系统的稳定性
4.9.1 稳定系统
稳定系统是指对于有界的激励产生有界的响应 （ BIBO） 的
系统 。 如果对于有界的激励产生无限增大的响应, 则系统
是不稳定的 。 稳定性是系统本身特性的反映, 系统是否稳
定与激励今后的情况无关 。
设连续时间系统的输入信号 x(t)为有界, 即, |x(t)| ? Mx,Mx
为有界正值, 由于零状态响应
欲使 y(t)为有界输出, 即 |y(t)| <?, 则式 (4.9-1)必须是有界的,
也就是系统的冲激响应 h(t)必须满足绝对可积条件
(4.9-2)
对于因果系统的冲激响应, 当 t < 0时, h(t) = 0,式 (4.9-2)可写
为
(4.9-3)
? ??
?
??
??? ?? dhty )(
? ??
?
???
0
)( ?? dhty
?
?
??
??? ??? dtxhtxthty )()()()()(
系统的冲激响应 h(t)和系统函数 H(s)从不同侧面表征系统的本
性 。 判别系统是否稳定, 既可从时域方面也可从 S域方面进行,
即通过研究 H(s)在 S平面中极点分布的位置, 可很方便地给出有
关系统稳定性的结论 。
从 4.8.2节中有关系统函数 H(s)的极点分布与冲激响应模式关系
的分析中, 可得出系统极点分布与稳定性的关系 。
（ 1） 若 H(s)的全部极点均位于 S左半平面 （ 不包括虚轴 ）, 则
在 t??时, h(t)消失, 系统是稳定系统 。
（ 2） 若在 H(s)的极点中, 只要有一个位于 S右半平面或在虚轴
（ 包括原点 ） 上具有二重以上极点, 则在 t??时, h(t)??,系
统是不稳定系统 。
（ 3） 若在 H(s)的极点中, 除了位于 S左半平面外, 还有一阶极
点位于虚轴 （ 包括原点 ） 上, 则 h(t)为有限值或为等幅振荡, 系
统是临界稳定系统 。
因此, 系统稳定的充分必要条件是系统函数 H(s)的极点均位于 S
左半平面, 或者说系统的特征方程 D(s) = 0的根都具有负的实部 。
4.9.2 连续系统的稳定性准则
连续系统的稳定性准则也称为罗斯 ——霍尔维兹准则
（ Routh-Hurwitz criterion） 。
罗斯 ——霍尔维兹准则指出：多项式 D(s)是霍尔维兹
多项式的充分和必要条件是罗斯表中第 1列的全部元素均大
于 0,即如果罗斯表中第 1列的元素均为不等于 0的正值, 则
D(s)=0的根全部位于 S平面的左半部, 故系统稳定 。 如果罗
斯表中第 1列元素的符号不完全相同, 那么其符号改变次数
恰恰就是具有正实部或位于 S右半平面的根的数目 。
4.10 系统的信号流图
用方框图描述系统较直观, 但是当系统很复杂时, 方框图
的化简过程是很繁杂的 。 此时, 可以应用信号流图和梅森
（ Mason） 公式进行化简 。
4.10.1信号流图
信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间因果关
系的一种表示方法, 实际上是一种由点和标以方向的线构
成的图形, 它也是一种模拟图形, 可以从方框图演变出来 。
图 4.10-1（ a） 所示是用系统函数表示的系统方框图, 变成
信号流图形式如图 4.10-1（ b） 所示, 箭头指示信号流动方
向, 线段的权值就是该区间的系统函数 。
方框图描述了系统中各局部系统之间的连接关系，信号流
图简化了方框图的表示形式，从而更醒目地表明系统中各信
号（变量）之间的因果关系。
下面先定义信号流图中的一些术语 。
节点, 表示信号或系统中变量的点 。
支路, 连接两个节点之间的定向线段 。
支路系统函数, 连接该支路节点之间系统函数 。
输入节点或源点, 只有输出支路的节点, 它对应的是输入信号 。
输出节点或阱点,只有输入支路的节点, 它对应的是输出信号 。
混合节点, 既有输入支路又有输出支路的节点 。 仅有一条输出
支路的混合节点称为, 和点, ；仅有一条输入支路的混合节
点称为, 分点, 。
信号流图说明了系统中各节点信号之间的代数运算关系,
或者说支路表示了系统中一个信号对另一个信号的函数关系 。
信号只能沿着支路的箭头方向通过 。 实际上每一支路相当于
一个乘法器 。 混合节点信号就是该节点所有输入支路信号的
总和, 并把总和信号传向连接该节点的每一输出支路 。 例如
图 4.10-1（ b） 中节点信号 X1的总和信号为 X1 = H1 X+ H3 X2,，
而节点信号 Y1 =X2 =H2 X1, 由于同一系统可以写成不同形
式的方程, 因此, 对于一个给定系统, 画出的信号流图不是
唯一的 。
4.10.2梅森公式
信号流图用于系统分析的基本目的在于简化复杂系统, 并
确定系统输入和输出之间的关系式 。 信号流图也可以逐步
简化, 类似方框图的简化, 以求出总系统函数 。 但这个过
程仍嫌太繁琐 。 梅森公式是通过观察直接求得系统函数的
一种方法 。
梅森公式表明在信号流图中, 源点和阱点之间的系统函数为,
（ 4.10-1） ?
?
????
m
i
iiPsX
sYsH
1
1
)(
)()(
式中 Pi—— 第 i条前向通路的增益；
?——信号流图的特征行列式
（ 4.10-2）
??????? ???
fed
fed
cb
cb
a
a LLLLLL
,,,
1
其中 ——所有不同环路的增益之和；
——所有两个互不接触环路增益乘积之和；
?
a
aL
?
cb
cb LL
,
——所有三个互不接触环路增益乘积
之和；
?i ——将第 i条前向通路除去后 （ 包括该前
向通路经过的所有节点 ） 再计算的 ? 。
?
fed
fed LLL
,,
