电路基础
第二章 电路的基本分析方法
2.1 支路电流法
2.2 网孔分析法
2.3 节点电位法
2.4 小结
电路基础
2.1 支 路 电 流 法
在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电流,
支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代数和,
由元件约束关系 (VAR)不难得到每个支路上的电流与支路
两端电压的关系, 即支路的 VAR。 如图 2.1-1 所示, 它的
VAR 为
suRiu ??
图 2.1 - 1 电路中一条支路
电路基础
2.1.1 支路电流法
支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量, 根据
元件的 VAR 及 KCL,KVL约束, 建立数目足够且相互独立
的方程组, 解出各支路电流, 进而再根据电路有关的基本
概念求得人们期望得到的电路中任何处的电压, 功率等 。
如图 2.1 - 2 电路, 它有 3 条支路, 设各支路电流分别
为 i1,i2,i3,其参考方向标示在图上 。 就本例而言, 问题是如
何找到包含未知量 i1,i2,i3 的 3个相互独立的方程组 。
电路基础
图 2.1-2 支路电流法分析用图
电路基础
根据 KCL，对节点 a 和 b 分别建立电流方程。设流出
节点的电流取正号，则有
0
0
321
321
???
????
iii
iii
节点 a
节点 b
根据 KVL,按图中所标巡行方向 (或称绕行方向 )对回路 Ⅰ,
Ⅱ, Ⅲ 分别列写 KVL方程 (注意：在列写方程中, 若遇到电阻,
两端电压就应用欧姆定律表示为电阻与电流乘积 ),得
13311 suiRiR ??
23322 suiRiR ??
212211 ss uuiRiR ???
回路 Ⅰ
回路 Ⅱ
回路 Ⅲ
(2.1-2)
电路基础
当未知变量数目与独立方程数目相等时, 未知变量才可
能有唯一解 。 我们从上述 5 个方程中选取出 3 个相互独立
的方程如下：
?
?
?
??
?
?
???
???
????
23322
13311
321
0
0
0
s
s
uiRiR
uiRiR
iii
(2.1-7)
(2.1-7)式即是图 2.1-2 所示电路以支路电流为未知量的足够的
相互独立的方程组之一, 它完整地描述了该电路中各支路电
流和支路电压之间的相互约束关系 。
电路基础
2.1.2 独立方程的列写
一个有 n个节点, b条支路的电路, 若以支路电流作未知
变量, 可按如下方法列写出所需独立方程 。
(1) 从 n 个节点中任意择其 n-1个节点, 依 KCL列节点电
流方程, 则 n-1个方程将是相互独立的 。 这一点是不难理解
的, 因为任一条支路一定与电路中两个节点相连, 它上面的
电流总是从一个节点流出, 流向另一个节点 。 如果对所有 n
个节点列 KCL方程时, 规定流出节点的电流取正号, 流入节
点的电流取负号, 每一个支路电流在 n个方程中一定出现两
次, 一次为正号 (+ij),一次为负号 (-ij),若把这 n个方程相加,
它一定是等于零的恒等式, 即
电路基础
0)]()[()(
1 1
?????? ??
? ?
j
n
k
b
j
jk iii
式中,n表示节点数； (∑i)k 表示第 k 个节点电流代数和；
表示对 n 个节点电流和再求和； 表示
b 条支路一次取正号, 一次取负号的电流和 。
? ?
?
n
k k
i
1
)( ?
?
???
b
j
jj ii
1
)]()[(
(2.1-8)式说明依 KCL列出的 n个 KCL方程不是相互独立的 。 但
从这 n个方程中任意去掉一个节点电流方程, 那么与该节点相
连的各支路电流在余下的 n-1 个节点电流方程中只出现一次 。
如果将剩下的 n-1 个节点电流方程相加, 其结果不可能恒为
零, 所以这 n-1 个节点电流方程是相互独立的 。 习惯上把电
路中所列方程相互独立的节点称为独立节点 。
电路基础
(2) n个节点 b 条支路的电路, 用支路电流法分析时需
b 个相互独立的方程, 由 KCL已经列出了 n-1 个相互独立的
KCL方程, 那么剩下的 b-(n-1)个独立方程当然应该由 KVL
列出 。 可以证明, 由 KVL能列写且仅能列写的独立方程数
为 b-(n-1)个 。 习惯上把能列写独立方程的回路称为独立回
路 。 独立回路可以这样选取,使所选各回路都包含一条其
他回路所没有的新支路 。 对平面电路, 如果它有 n 个节点,
b 条支路, 也可以证明它的网孔数恰为 b-(n-1)个, 按网孔
由 KVL列出的电压方程相互独立 。
电路基础
归纳, 明确支路电流法分析电路的步骤 。
第一步：设出各支路电流, 标明参考方向 。 任取 n-1个节
点, 依 KCL列独立节点电流方程 (n 为电路节点数 )。
第二步：选取独立回路 (平面电路一般选网孔 ),并选定
巡行方向, 依 KVL列写出所选独立回路电压方程 。
第三步：如若电路中含有受控源, 还应将控制量用未知
电流表示, 多加一个辅助方程 。
第四步：求解一, 二, 三步列写的联立方程组, 就得到
各支路电流 。
第五步：如果需要，再根据元件约束关系等计算电路中
任何处的电压、功率。
电路基础
例 2.1-1 图示 2.1-3 电路中, 已知 R1=15Ω,R2=1.5Ω，
R3=1Ω,us1=15V,us2=4.5V,us3=9V。 求电压 uab及各电源产生
的功率 。
图 2.1-3 例 2.1-1 用图
电路基础
解 设支路电流 i1,i2,i3 参
考方向如图中所标 。 依 KCL
列写节点 a 的电流方程为：
0321 ???? iii
(2.1-9)
选网孔作为独立回路, 并设绕行方向于图上, 由 KVL列
写网孔 Ⅰ, Ⅱ 的电压方程分别为
网孔 Ⅰ
5.45.10
6015
32
31
???
???
ii
ii
网孔 Ⅱ
(2.1-10)
(2.1-11)
电路基础
联立求解得电流 i1,i2,i3 分别为,
电压
Vuiu sab 5.7915.11 33 ?????????
Ai 5.01 ?
Ai 22 ?
Ai 5.13 ?
电路基础
设电源 us1,us2,us3 产生的功率分别为 ps1,ps2,ps3,由求得的支
路电流, 可算得
Wiup
Wiup
Wiup
ss
ss
ss
5.135.19
925.4
5.75.015
333
221
111
????
???????
????
电路基础
例 2.1-2 图 2.1-4 所示电路为电桥电路, AB支路为电
源支路, CD支路为桥路, 试用支路电流法求电流 ig,并讨
论电桥平衡条件 。
图 2.1-4 例 2.1-2 用图
电路基础
解 设各支路电流参考方向和回路的巡行方向如图中
所标 。 该电路有 6 条支路, 4 个节点, 以支路电流为未知
量, 应建立 3 个独立节点的 KCL方程, 3个独立回路的
KVL方程 。 根据元件 VAR 和 KCL,KVL列出以下方程组：
对于节点 A i1+i2-i=0
对于节点 C -i1+ig+i3=0
对于节点 D -i2-ig+i4=0
对于回路 Ⅰ -R1i1+R2i2-Rgig=0
对于回路 Ⅱ -R3i3+R4i4+Rgig=0
对于回路 Ⅲ R1i1+R3i3+Ri=us
电路基础
解上述方程组，得
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
????
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
???
??
?
?
??
?
?
?
?
2
41
33
22
4
43
2
41
31
2
41
3
R
RR
RR
R
RR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
u
R
RR
R
i
gg
g
s
g
当 ig=0,即桥路上电流为零 (或桥路两端电压,uCD=0)时称该电
桥达到平衡 。 由 ig 的表示式可知分母是有限值, 因而仅当
2
41
3 R
RRR ?
即
4132 RRRR ?
或
4
3
2
1
R
R
R
R ? 时 ig=0,这就是电桥平衡的条件。
电路基础
例 2.1-3 图 2.1-5 所示电路中包含有电压控制的电压
源, 试以支路电流作为求解变量, 列写出求解本电路所必
需的独立方程组 。 (注意对受控源的处理, 对所列方程不必
求解 。 )
图 2.1-5 例 2.1-3 用图
电路基础
解 设各支路电流, 各网孔绕向如图所示 。 应用 KCL、
KVL 及元件 VAR列写方程为
对节点 a -i1+i2+i3 = 0
对网孔 Ⅰ R1i1+R2i2+0 = us
对网孔 Ⅱ 0-R2i2+(R3+R4)i3 =μu1
上述 3 个方程有 i1,i2,i3 及 u1 4个未知量, 无法求解, 还必
须寻求另一个独立方程 。 将控制量 u1 用支路电流表示, 即
u1 = R1i1
电路基础
如果电路中的受控源的控制量就是某一支路电流,
那么方程组中方程个数可以不增加, 由列写出的前 3 个
基本方程稍加整理即可求解 。 如果受控源的控制量是另
外的变量, 那么需对含受控源电路先按前面讲述的步骤
一, 二去列写基本方程 (列写的过程中把受控源先作为独
立源一样看待 ),然后再加一个控制量用未知电流表示的
辅助方程, 这一点应特别注意 。
电路基础
2.2 网 孔 分 析 法
2.2.1 网孔电流
欲使方程数目减少, 必使求解的未知量数目减少 。 在
一个平面电路里, 因为网孔是由若干条支路构成的闭合回
路, 所以它的网孔个数必定少于支路个数 。 如果我们设想
在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各
支路循环流动, 如图 2.2-1中实线箭头所示, 把这一假想的
电流称作网孔电流 。
电路基础
图 2.2-1 网孔法分析用图
网孔电流是完备的变量。
电路基础
例如图 2.2-1电路中, i1=iA,i2=iB,i3=iC。 如果某支路属于
两个网孔所共有, 则该支路上的电流就等于流经该支路二
网孔电流的代数和 。 例如图 2.2-1 电路中支路电流 i4,它等于
流经该支路的 A,C 网孔电流的代数和 。 与支路电流方向一
致的网孔电流取正号, 反之取负号, 即有
CA iii ??4
网孔电流是相互独立的变量 。 如图 2.2-1 电路中的 3 个网
孔电流 iA,iB,iC,知其中任意两个求不出第三个 。 这是因为每
个网孔电流在它流进某一节点的同时又流出该节点, 它自身
满足了 KCL,所以不能通过节点 KCL方程建立各网孔电流之
间的关系, 也就说明了网孔电流是相互独立的变量 。
电路基础
2.2.2
对平面电路, 以假想的网孔电流作未知量, 依 KVL
列出网孔电压方程式 (网孔内电阻上电压通过欧姆定律
换算为电阻乘电流表示 ),求解出网孔电流, 进而求得
各支路电流, 电压, 功率等, 这种求解电路的方法称网
孔电流法 (简称网孔法 )。 应用网孔法分析电路的关键是
如何简便, 正确地列写出网孔电压方程 (在 2.1 中已经明
确过网孔电压方程是相互独立的 )。
电路基础
设图 2.2-1电路中网孔电流 iA,iB,iC,其参考方向即作为列
写方程的巡行方向 。 按网孔列写 KVL方程如下：
网孔 A R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0
网孔 B R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0
网孔 C R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0
按未知量顺序排列并加以整理, 同时将已知激励源也移
至等式右端 。 这样整理改写上述 3 式得
4145541 )( ssCBA uuiRiRiRRR ??????
266525 )( sCBA uiRiRRRiR ?????
4364364 )( ssCBA uuiRRRiRiR ???????
(2.2-1)
(2.2-2)
(2.2-3)
电路基础
观察 (2.2-1)式, 可以看出,iA前的系数 (R1+R4+R5)恰好
是网孔 A 内所有电阻之和, 称它为网孔 A的自电阻, 以符号
R11 表示； iB 前的系数 (+R5)是网孔 A 和网孔 B 公共支路上
的电阻, 称它为网孔 A 与网孔 B 的互电阻, 以符号 R12表示,
由于流过 R5 的网孔电流 iA,iB 方向相同, 故 R5 前为, +”
号； iC 前系数 (-R4)是网孔 A 和网孔 C 公共支路上的电阻,
称它为网孔 A 与网孔 C 的互电阻, 以符号 R13表示, 由于流
经 R4 的网孔电流 iA,iC 方向相反, 故 R4 前取, -”号；等式
右端 us1-us4表示网孔 A 中电压源的代数和, 以符号 us11表示,
计算 us11时遇到各电压源的取号法则是, 在巡行中先遇到
电压源正极性端取负号, 反之取正号 。
电路基础
用同样的方法可求出 (2.2-2),(2.2-3)式的自电阻, 互电
阻及网孔等效电压源, 即
62365222521,,RRRRRRRR ?????
222 ss uu ?
,,632431 RRRR ??? 64333 RRRR ???
4333 sss uuu ??
电路基础
归纳总结得到应用网孔法分析具有 3 个网孔电路的方
程通式 (一般式 ),即
?
?
?
??
?
?
???
???
???
33333231
22232221
11131211
sCBA
sCBA
sCBA
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
(2.2-4)
如果电路有 m 个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为
?
?
?
??
?
?
????
????
????
s m mMmmBmAm
sMmBA
sMmBA
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
?
?
?
21
2222221
1111211
… (2.2-5)
电路基础
在应用方程通式列方程时要特别注意, 取号, 问题：因
取网孔电流方向作为列写 KVL方程的巡行方向, 所以各网孔
的自电阻恒为正；为了使方程通式形式整齐统一, 故把公共
支路电阻上电压的正负号归纳在有关的互电阻中, 使方程通
式 (2.2-4)或 (2.2-5)式的左端各项前都是, +”号, 但求互电阻
时就要注意取正号或取负号的问题 。 两网孔电流在流经公共
支路时方向一致, 互电阻等于公共支路上电阻相加取正号,
两网孔电流在流经公共支路时方向相反, 互电阻等于公共支
路上电阻相加取负号；求等效电压源时遇电压源的取号法则
表面上看起来与应用 Σu=0 列方程时遇电压源的取号法则相
反, 实际上二者是完全一致的, 因为网孔方程的 us11(或 us22,
us33)是直接放在等式右端的 。
电路基础
例 2.2-1 对图 2.2-2 所示电路，求各支路电流。
图 2.2-2 例 2.2-1 用图
电路基础
解 本问题有 6 个支路, 3 个网孔, 用上节讲的支路电
流法需解 6 元方程组, 而用网孔法只需解 3 元方程, 显然
网孔法要比支路电流法简单得多, 今后用手解算电路的话,
一般用网孔法而不用支路电流法 。
第一步：设网孔电流 iA,iB,iC 如图所示 。 一般网孔电流
方向即认为是列 KVL方程时的巡行方向 。
第二步：观察电路直接列写方程 。 观察电路心算求自
电阻, 互电阻, 等效电压源数值, 代入方程通式即写出所
需要的方程组 。 就本例, 把自电阻, 互电阻, 等效电压源
写出如下：
电路基础
VuRRR
VuRRR
VuRRR
s
s
s
6,11,2,6
12,2,5,1
19,6,1,10
33333231
22232221
11131211
??????????
??????????
?????????
代入 (2.2-4)式得
?
?
?
??
?
?
????
?????
???
61126
1225
19610
CBA
CBA
CBA
iii
iii
iii
(2.2-6)
电路基础
第三步：解方程得各网孔电流 。
AiA 3? AiB 1?? AiC 2?
第四步：由网孔电流求各支路电流 。 设各支路电流参
考方向如图所示, 根据支路电流与网孔电流之间的关系,
得
,321
,2
,3
5
3
1
Aiii
Aii
Aii
CB
c
A
???????
??
??
Aiii
Aiii
Aii
BA
cA
B
4)1(3
123
1
6
4
2
??????
?????
???
第五步,如果需要,可由支路电流求电路中任何处的
电压,功率。
电路基础
例 2.2-2 对图 2.2-3 所示电路, 求电阻 R 上消耗的功率 pR。
图 2.2-3 例 2.2-2 用图
电路基础
?
?
?
??
?
?
????
?????
???
563
9393
1936
CBA
CBA
CBA
iii
iii
iii
解
(2.2-7)
化简 (2.2-7)式 (第二个方程可两端相约化简 )得
?
?
?
??
?
?
????
?????
???
563
33
1936
CBA
CBA
CBA
iii
iii
iii
电路基础
由化简的方程组求得
WRip
Aii
RR
CR
822
2
22 ????
??
(1) 网孔法是回路法的特殊情况 。 网孔只是平面电路的
一组独立回路, 不过许多实际电路都属于平面电路, 选取
网孔作独立回路方便易行, 所以把这种特殊条件下的回路
法归纳为网孔法 。
(2) 回路法更具有一般性，它不仅适用于分析平面电路，
而且也适用于分析非平面电路，在使用中还具有一定的灵
活性 。
电路基础
例 2.2-3 求图 2.2-4 所示电路中的电压 uab。
图 2.2-4 例 2.2-3 用图
电路基础
解 设网孔电流 iA,iB 如图中所标，观察电路，应用方
程通式列基本方程为
??
?
?
?
????
???
4262
26212
xBA
xBA
uii
uii
由图可以看出控制量 ux 仅与回路电流 iB 有关，故有辅助方程
Bx iu 4?
（ 2.2-8）
（ 2.2-9）
将 (2.2-9)式代入 (2.2-8)式并经化简整理，得
??
?
?
?
????
??
2
12
BA
BA
ii
ii （ 2.2-10）
电路基础
解 (2.2-10)方程组,得
ViU
AiAi
Bx
BA
12344
3,1
????
???
所以
VUiu xAab 14122)1(10210 ????????
电路基础
例 2.2-4 对图 2.2-5 所示电路, 求各支路电流 。
图 2.2-5 例 2.2-4 用图
电路基础
解 本题两个网孔的公共支路上有一理想电流源 。 如果
按图 (a)电路设出网孔电流, 如何列写网孔方程呢? 这里需注
意, 网孔方程实际上是依 KVL列写的回路电压方程, 即网
孔内各元件上电压代数和等于零, 那么在巡行中遇到理想电
流源 (或受控电流源 ),它两端电压取多大呢? 根据电流源特
性, 它的端电压与外电路有关, 在电路未求解出之前是不知
道的 。 这时可先假设该电流源两端电压为 ux,把 ux 当作理想
电压源一样看待列写基本方程 。 因为引入了电流源两端电压
ux这个未知量, 所以列出的基本方程就少于未知量数, 必须
再找一个与之相互独立的方程方可求解 。 这个方程也是不难
找到的, 因为理想电流源所在支路的支路电流 i3等于 is,i3
又等于二网孔电流代数和, 这样就可写辅助方程, 即
电路基础
sAB iii ??
用网孔法求解图 (a)电路所需的方程为
?
?
?
??
?
?
???
?????
?????
sBA
sxBA
sxBA
iii
uuiRRiR
uuiRiRR
2323
1331
)(
)(
电路基础
将图 (a)电路伸缩扭动变形, 使理想电流源所在支路单
独属于某一网孔, 如图 (b)电路所示 。 理想电流源支路单独
属于网孔 B,设 B 网孔电流 iB 与 is方向一致, 则
sB ii ?
所以只需列出网孔 A 一个方程即可求解。 网孔 A 的方程为
21221 )( sssA uuiRiRR ????
21
221
RR
iRuui sss
A ?
???
所以
电路基础
进一步可求得电流
21
121
12
3
21
221
1
RR
iRuu
iii
ii
RR
iRuu
ii
sss
s
s
sss
A
?
??
???
?
?
??
??
电路基础
2.3 节 点 电 位 法
图 2.3-1 节点法分析用图
2.3.1 节点电位
电路基础
在电路中, 任选一节点作参考点, 其余各节点到参考
点之间的电压称为相应各节点的电位 。 如图 2.3-1 电路,
选节点 4 作参考点 (亦可选其他节点作参考点 ),设节点 1，
2,3 的电位分别为 v1,v2,v3。 显然, 这个电路中任何两点
间的电压, 任何一支路上的电流, 都可应用已知的节点电
位求出 。 例如, 支路电流
344
2111 )(
vGi
vvGi
?
??
电导 G5 吸收的功率
2
3155 )( vvGp ??
电路基础
这就说明了 节点电位是完备的变量 。 观察图 2.3-1 可见, 对
电路中任何一个回路列写 KVL方程, 回路中的节点, 其电位
一定出现一次正号一次负号 。 例如图中 A 回路, 由 KVL
列写方程为
0312312 ??? uuu
将上式中各电压写为电位差表示,即有
0133221 ?????? vvvvvv
节点电位变量是相互独立的变量。
电路基础
2.3.2 节点电位法
以各节点电位为未知量, 将各支路电流通过支路 VAR
用未知节点电位表示, 依 KCL 列节点电流方程 (简称节点方
程 ),求解出各节点电位变量, 进而求得电路中需要求的电
流, 电压, 功率等, 这种分析法称为节点电位法 。 下面我
们以图 2.3-1 电路为例来看方程的列写过程, 并从中归纳总
结出简便列写方程的方法 。 参考点与各节点电位如图中所
标, 设出各支路电流, 由支路 VAR将各支路电流用节点电
位表示, 即
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
)(
)(
)(
3155
344
3233
222
2111
vvGi
vGi
vvGi
vGi
vvGi
(2.3-2)
电路基础
现在依 KCL列出节点 1,2,3的 KCL方程, 设流出节点的电
流取正号, 流入节点的电流取负号, 可得
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
0
0
0
534
2132
2151
iii
iiii
iiii
s
ss
节点 1
节点 2
节点 3
(2.3-3)
将 (2.3-2)式代入 (2.3-3)式,得
?
?
?
??
?
?
?????
??????
??????
0)()(
0)()(
0)()(
31532334
221132322
21315211
vvGvvGvG
ivvGvvGvG
iivvGvvG
s
ss
(2.3-4)
电路基础
为了方便应用克莱姆法则求解, 将 (2.3-4)式按未知量顺序重
新排列, 已知的电流源移至等式右端并加以整理, 得
0)(
)(
)(
35432315
233232111
213521151
??????
??????
?????
vGGGvGvG
ivGvGGGvG
iivGvGvGG
s
ss
(2.3-5)
(2.3-6)
(2.3-7)
电路基础
观察整理后的方程, 以 (2.3-5)式为例, 变量 v1前的系
数 (G1+G5)恰是与第一个节点相连各支路的电导之和, 称
为节点 1 的自电导, 以符号 G11表示 。 变量 v2前系数 (-G1),
它是 1 与 2 节点间的互电导, 以符号 G12表示, 它等于与
该两节点相连的公共支路上电导之和, 并取负号 。 v3 前系
数 (-G5)是节点 1 与节点 3 之间的互电导, 以 G13表示, 它
等于与节点 1,3 相连的公共支路上电导之和, 并取负号 。
等式右端 is1-is2 是流入节点 1 的电流源的代数和, 以符
号 is11 表示, 称为等效电流源 。 计算 is11 时是以流入节点 1
的电流源为正, 流出节点 1 的电流源为负 。 同理可找出
(2.3-6),(2.3-7)式的自电导, 互电导, 等效电流源, 即
电路基础
0,
,,
,,
33222
54333332531
32332122121
??
???????
???????
sss
iii
GGGGGGGG
GGGGGGGG
归纳总结得到应用节点法分析具有 3 个独立节点电路
的方程通式 (一般式 ),即
?
?
?
??
?
?
???
???
???
33333232131
22323222121
11313212111
s
s
s
ivGvGvG
ivGvGvG
ivGvGvG
(2.3-8)
电路基础
如果电路有 n 个独立节点，我们也不难得到列写节点
方程的通式为
?
?
?
??
?
?
????
????
????
s nnnnnnn
snn
snn
ivGvGvG
ivGvGvG
ivGvGvG
?
?
?
2211
222222121
111212111
… (2.3-9)
电路基础
例 2.3-1 如图 2.3-2 所示电路, 求电导 G1,G2,G3 中的
电流及图中 3 个电流源分别产生的功率 。
图 2.3-2 例 2.3-1 用图
电路基础
解 采用节点电位法求解 。
第一步：选参考点, 设节点电位 。 对本问题, 选节点 4
为参考点, 设节点 1,2,3 的电位分别为 v1,v2,v3。 若电
路接地点已给出, 就不需要再选参考点, 只需设出节点电
位就算完成了这一步 。
第二步：观察电路, 应用 (2.3-8)或 (2.3-9)式直接列写方
程 。 一般心算求出各节点的自电导, 互电导和等效电流源
数值, 代入通式写出方程 。 当然写出求自电导, 互电导,
等效电流源的过程亦可以 。 对本例电路, 有
电路基础
AiAiAi
SGSGSG
SGSGSG
SGSGSG
sss
25,3,1183
11425,2,4
2,6321,3
4,3,743
332211
333231
232221
131211
???????
????????
????????
???????
将求得的自电导、互电导、等效电流源代入式 (2.3-8)，得
?
?
?
??
?
?
????
????
????
251124
3263
11437
321
321
321
vvv
vvv
vvv
2.3-10
电路基础
第三步：解方程，求得各节点电位。解方程组得：
Vv 11 ? Vv 22 ? Vv 33 ?第四步：由求得的各节点电位, 求题目中需要求的各
量 。 我们先求 3 个电导上的电流 。 设通过电导 G1,G2、
G3 的电流分别为 i1,i2,i3,参考方向如图中所标, 由欧姆
定律电导形式可算得 3 个电流分别为
AvGi
AvvuGi
AvvuGi
1535
8)13(4)(4
3)12(3)(3
333
133122
122111
????
????????
????????
电路基础
再求电流源产生功率 。 设 ps1,ps2,ps3分别代表电流
源 is1,is2,is3产生的功率 。 由计算一段电路产生功率的公
式, 算得
Wvip
Wvvip
Wvip
ss
ss
ss
75325
3)1(3)(
818
333
2122
111
????
????????
???????
电路基础
例 2.3-2 如图 2.3-3(a)所示电路中, 各电压源, 电阻的
数值如图上所标, 求各支路上的电流 。
图 2.3-3 例 2.3-2 用图
电路基础
解 在一些电路里, 常给出电阻参数和电压源形式的激
励 。 在这种情况下应用节点法分析时, 可先应用电源互换
将电压源形式变换为电流源形式, 各电阻参数换算为电导
参数, 如图 (2.3-3)(b)所示 。 在 (b)图中, 设节点 3 为参考点,
并设节点 1,2 的电位分别为 v1,v2,可得方程组为
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
4
10
10
4
20
1
10
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
10
3
4
1
2
1
4
1
2
1
20
1
5
1
21
21
vv
vv
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
10
21
10
9
4
3
2
11
4
3
21
21
vv
vv
化简上方程组，得
(2.3-11)
电路基础
解方程组,得
Vv
Vv
6
10
2
1
?
?
(b)图所求的各节点电位数值也就是 (a)图相应节点的电位
值 。 在图 2.3-3(a)中设出各支路电流, 由支路 VAR,得
A
v
iA
v
i
A
vv
iA
vv
i
A
v
iA
v
i
2.0
10
64
10
4
,4.0
20
6
20
5.1
4
410
4
)(10
,2
2
610
2
5.0
20
10
20
,1
5
1015
5
15
2
6
2
5
12
4
21
3
1
2
1
1
?
?
?
?
????
?
?
?
??
??
?
?
?
?
????
?
?
?
?
电路基础
列写方程时电阻要换算为电导；计算节点等效电流源
时, 该电流源的数值等于电压除以该支路的电阻, 若电压
源正极性端向着该节点则取正号, 反之取负号 。
电路基础
例 2.3-3 对图 2.3-4 所示电路, 求 u 与 i。
图 2.3-4 例 2.3-3 用图
电路基础
解 本问题电路的 1,4 节点间有一理想电压源支路,
(1) 若原电路没有指定参考点, 可选择其理想电压源支
路所连的两个节点之一作参考点, 譬如本问题, 选节点 4
作为参考点, 这时节点 1 的电位 v1=2V,可作为已知量,
这样可少列一个方程 。 设节点 2,3 的电位分别为 v2,v3,
由电路可写方程组
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
42
1
1
1
1
1
1
42
2
1
2
1
2
1
3
2
v
v
(2.3-12)
电路基础
写 (2.3-12)方程组时, 把 v1=2V当作已知量直接代入了方程
组 。 因为对求电路的节点电位来说, 可以把电路中 1Ω电阻
与 4A电流源相串联的支路等效为一个 4A电流源支路, 所
以与 4A电流源串联的 1Ω电阻不能计入节点 2,节点 3 自
电导里, 也不能计入节点 2,3 之间的互电导里 。 解 (2.3-
12)式方程组, 得
VvVv 1,5 32 ???
由欧姆定律，求得
Vvvuu
A
vvu
i
6)1(541
3
1
)1(2
1
31
1
13
3223 ??????????
?
??
?
?
??
Vu 1046 ???
因为电压
所以电压
电路基础
以节点 3 作参考点，设节点 4 的电位为 v4,对这个电路列
写的方程组为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
2
1
1
2
1
2
1
4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
41
42
421
21
vv
ivv
vvv
ivv
x
x
(辅助方程 )
VuAi
VvVvVv
10,3
1,6,3 421
??
???
电路基础
例 2.3-4 对图 2.3-5 所示电路, 求 v1,i1。
图 2.3-5 例 2.3-4 用图
电路基础
解
?
?
?
??
?
?
?
?????
????
2
21
21
8.0
888.22
682)42(
vi
vv
ivv
(辅助方程 )
?
?
?
??
?
?
??
????
???
08.0
84.1
433
2
21
21
iv
vv
ivv
Avi
Vv
12344
3
11
1
????
?
电路基础
2.4 小 结
2.4.1 方程法分析
1,支路电流法
2,网孔分析法
3,节点电位法
电路基础
2.4.2 方程通式
1,网孔方程通式
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
33333231
22232221
11131211
sCBA
sCBA
sCBA
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
电路基础
2,节点方程通式
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
33333232131
22323222121
11313212111
s
s
s
ivGvGvG
ivGvGvG
ivGvGvG
第二章 电路的基本分析方法
2.1 支路电流法
2.2 网孔分析法
2.3 节点电位法
2.4 小结
电路基础
2.1 支 路 电 流 法
在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电流,
支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代数和,
由元件约束关系 (VAR)不难得到每个支路上的电流与支路
两端电压的关系, 即支路的 VAR。 如图 2.1-1 所示, 它的
VAR 为
suRiu ??
图 2.1 - 1 电路中一条支路
电路基础
2.1.1 支路电流法
支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量, 根据
元件的 VAR 及 KCL,KVL约束, 建立数目足够且相互独立
的方程组, 解出各支路电流, 进而再根据电路有关的基本
概念求得人们期望得到的电路中任何处的电压, 功率等 。
如图 2.1 - 2 电路, 它有 3 条支路, 设各支路电流分别
为 i1,i2,i3,其参考方向标示在图上 。 就本例而言, 问题是如
何找到包含未知量 i1,i2,i3 的 3个相互独立的方程组 。
电路基础
图 2.1-2 支路电流法分析用图
电路基础
根据 KCL，对节点 a 和 b 分别建立电流方程。设流出
节点的电流取正号，则有
0
0
321
321
???
????
iii
iii
节点 a
节点 b
根据 KVL,按图中所标巡行方向 (或称绕行方向 )对回路 Ⅰ,
Ⅱ, Ⅲ 分别列写 KVL方程 (注意：在列写方程中, 若遇到电阻,
两端电压就应用欧姆定律表示为电阻与电流乘积 ),得
13311 suiRiR ??
23322 suiRiR ??
212211 ss uuiRiR ???
回路 Ⅰ
回路 Ⅱ
回路 Ⅲ
(2.1-2)
电路基础
当未知变量数目与独立方程数目相等时, 未知变量才可
能有唯一解 。 我们从上述 5 个方程中选取出 3 个相互独立
的方程如下：
?
?
?
??
?
?
???
???
????
23322
13311
321
0
0
0
s
s
uiRiR
uiRiR
iii
(2.1-7)
(2.1-7)式即是图 2.1-2 所示电路以支路电流为未知量的足够的
相互独立的方程组之一, 它完整地描述了该电路中各支路电
流和支路电压之间的相互约束关系 。
电路基础
2.1.2 独立方程的列写
一个有 n个节点, b条支路的电路, 若以支路电流作未知
变量, 可按如下方法列写出所需独立方程 。
(1) 从 n 个节点中任意择其 n-1个节点, 依 KCL列节点电
流方程, 则 n-1个方程将是相互独立的 。 这一点是不难理解
的, 因为任一条支路一定与电路中两个节点相连, 它上面的
电流总是从一个节点流出, 流向另一个节点 。 如果对所有 n
个节点列 KCL方程时, 规定流出节点的电流取正号, 流入节
点的电流取负号, 每一个支路电流在 n个方程中一定出现两
次, 一次为正号 (+ij),一次为负号 (-ij),若把这 n个方程相加,
它一定是等于零的恒等式, 即
电路基础
0)]()[()(
1 1
?????? ??
? ?
j
n
k
b
j
jk iii
式中,n表示节点数； (∑i)k 表示第 k 个节点电流代数和；
表示对 n 个节点电流和再求和； 表示
b 条支路一次取正号, 一次取负号的电流和 。
? ?
?
n
k k
i
1
)( ?
?
???
b
j
jj ii
1
)]()[(
(2.1-8)式说明依 KCL列出的 n个 KCL方程不是相互独立的 。 但
从这 n个方程中任意去掉一个节点电流方程, 那么与该节点相
连的各支路电流在余下的 n-1 个节点电流方程中只出现一次 。
如果将剩下的 n-1 个节点电流方程相加, 其结果不可能恒为
零, 所以这 n-1 个节点电流方程是相互独立的 。 习惯上把电
路中所列方程相互独立的节点称为独立节点 。
电路基础
(2) n个节点 b 条支路的电路, 用支路电流法分析时需
b 个相互独立的方程, 由 KCL已经列出了 n-1 个相互独立的
KCL方程, 那么剩下的 b-(n-1)个独立方程当然应该由 KVL
列出 。 可以证明, 由 KVL能列写且仅能列写的独立方程数
为 b-(n-1)个 。 习惯上把能列写独立方程的回路称为独立回
路 。 独立回路可以这样选取,使所选各回路都包含一条其
他回路所没有的新支路 。 对平面电路, 如果它有 n 个节点,
b 条支路, 也可以证明它的网孔数恰为 b-(n-1)个, 按网孔
由 KVL列出的电压方程相互独立 。
电路基础
归纳, 明确支路电流法分析电路的步骤 。
第一步：设出各支路电流, 标明参考方向 。 任取 n-1个节
点, 依 KCL列独立节点电流方程 (n 为电路节点数 )。
第二步：选取独立回路 (平面电路一般选网孔 ),并选定
巡行方向, 依 KVL列写出所选独立回路电压方程 。
第三步：如若电路中含有受控源, 还应将控制量用未知
电流表示, 多加一个辅助方程 。
第四步：求解一, 二, 三步列写的联立方程组, 就得到
各支路电流 。
第五步：如果需要，再根据元件约束关系等计算电路中
任何处的电压、功率。
电路基础
例 2.1-1 图示 2.1-3 电路中, 已知 R1=15Ω,R2=1.5Ω，
R3=1Ω,us1=15V,us2=4.5V,us3=9V。 求电压 uab及各电源产生
的功率 。
图 2.1-3 例 2.1-1 用图
电路基础
解 设支路电流 i1,i2,i3 参
考方向如图中所标 。 依 KCL
列写节点 a 的电流方程为：
0321 ???? iii
(2.1-9)
选网孔作为独立回路, 并设绕行方向于图上, 由 KVL列
写网孔 Ⅰ, Ⅱ 的电压方程分别为
网孔 Ⅰ
5.45.10
6015
32
31
???
???
ii
ii
网孔 Ⅱ
(2.1-10)
(2.1-11)
电路基础
联立求解得电流 i1,i2,i3 分别为,
电压
Vuiu sab 5.7915.11 33 ?????????
Ai 5.01 ?
Ai 22 ?
Ai 5.13 ?
电路基础
设电源 us1,us2,us3 产生的功率分别为 ps1,ps2,ps3,由求得的支
路电流, 可算得
Wiup
Wiup
Wiup
ss
ss
ss
5.135.19
925.4
5.75.015
333
221
111
????
???????
????
电路基础
例 2.1-2 图 2.1-4 所示电路为电桥电路, AB支路为电
源支路, CD支路为桥路, 试用支路电流法求电流 ig,并讨
论电桥平衡条件 。
图 2.1-4 例 2.1-2 用图
电路基础
解 设各支路电流参考方向和回路的巡行方向如图中
所标 。 该电路有 6 条支路, 4 个节点, 以支路电流为未知
量, 应建立 3 个独立节点的 KCL方程, 3个独立回路的
KVL方程 。 根据元件 VAR 和 KCL,KVL列出以下方程组：
对于节点 A i1+i2-i=0
对于节点 C -i1+ig+i3=0
对于节点 D -i2-ig+i4=0
对于回路 Ⅰ -R1i1+R2i2-Rgig=0
对于回路 Ⅱ -R3i3+R4i4+Rgig=0
对于回路 Ⅲ R1i1+R3i3+Ri=us
电路基础
解上述方程组，得
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
????
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
???
??
?
?
??
?
?
?
?
2
41
33
22
4
43
2
41
31
2
41
3
R
RR
RR
R
RR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
u
R
RR
R
i
gg
g
s
g
当 ig=0,即桥路上电流为零 (或桥路两端电压,uCD=0)时称该电
桥达到平衡 。 由 ig 的表示式可知分母是有限值, 因而仅当
2
41
3 R
RRR ?
即
4132 RRRR ?
或
4
3
2
1
R
R
R
R ? 时 ig=0,这就是电桥平衡的条件。
电路基础
例 2.1-3 图 2.1-5 所示电路中包含有电压控制的电压
源, 试以支路电流作为求解变量, 列写出求解本电路所必
需的独立方程组 。 (注意对受控源的处理, 对所列方程不必
求解 。 )
图 2.1-5 例 2.1-3 用图
电路基础
解 设各支路电流, 各网孔绕向如图所示 。 应用 KCL、
KVL 及元件 VAR列写方程为
对节点 a -i1+i2+i3 = 0
对网孔 Ⅰ R1i1+R2i2+0 = us
对网孔 Ⅱ 0-R2i2+(R3+R4)i3 =μu1
上述 3 个方程有 i1,i2,i3 及 u1 4个未知量, 无法求解, 还必
须寻求另一个独立方程 。 将控制量 u1 用支路电流表示, 即
u1 = R1i1
电路基础
如果电路中的受控源的控制量就是某一支路电流,
那么方程组中方程个数可以不增加, 由列写出的前 3 个
基本方程稍加整理即可求解 。 如果受控源的控制量是另
外的变量, 那么需对含受控源电路先按前面讲述的步骤
一, 二去列写基本方程 (列写的过程中把受控源先作为独
立源一样看待 ),然后再加一个控制量用未知电流表示的
辅助方程, 这一点应特别注意 。
电路基础
2.2 网 孔 分 析 法
2.2.1 网孔电流
欲使方程数目减少, 必使求解的未知量数目减少 。 在
一个平面电路里, 因为网孔是由若干条支路构成的闭合回
路, 所以它的网孔个数必定少于支路个数 。 如果我们设想
在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各
支路循环流动, 如图 2.2-1中实线箭头所示, 把这一假想的
电流称作网孔电流 。
电路基础
图 2.2-1 网孔法分析用图
网孔电流是完备的变量。
电路基础
例如图 2.2-1电路中, i1=iA,i2=iB,i3=iC。 如果某支路属于
两个网孔所共有, 则该支路上的电流就等于流经该支路二
网孔电流的代数和 。 例如图 2.2-1 电路中支路电流 i4,它等于
流经该支路的 A,C 网孔电流的代数和 。 与支路电流方向一
致的网孔电流取正号, 反之取负号, 即有
CA iii ??4
网孔电流是相互独立的变量 。 如图 2.2-1 电路中的 3 个网
孔电流 iA,iB,iC,知其中任意两个求不出第三个 。 这是因为每
个网孔电流在它流进某一节点的同时又流出该节点, 它自身
满足了 KCL,所以不能通过节点 KCL方程建立各网孔电流之
间的关系, 也就说明了网孔电流是相互独立的变量 。
电路基础
2.2.2
对平面电路, 以假想的网孔电流作未知量, 依 KVL
列出网孔电压方程式 (网孔内电阻上电压通过欧姆定律
换算为电阻乘电流表示 ),求解出网孔电流, 进而求得
各支路电流, 电压, 功率等, 这种求解电路的方法称网
孔电流法 (简称网孔法 )。 应用网孔法分析电路的关键是
如何简便, 正确地列写出网孔电压方程 (在 2.1 中已经明
确过网孔电压方程是相互独立的 )。
电路基础
设图 2.2-1电路中网孔电流 iA,iB,iC,其参考方向即作为列
写方程的巡行方向 。 按网孔列写 KVL方程如下：
网孔 A R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0
网孔 B R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0
网孔 C R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0
按未知量顺序排列并加以整理, 同时将已知激励源也移
至等式右端 。 这样整理改写上述 3 式得
4145541 )( ssCBA uuiRiRiRRR ??????
266525 )( sCBA uiRiRRRiR ?????
4364364 )( ssCBA uuiRRRiRiR ???????
(2.2-1)
(2.2-2)
(2.2-3)
电路基础
观察 (2.2-1)式, 可以看出,iA前的系数 (R1+R4+R5)恰好
是网孔 A 内所有电阻之和, 称它为网孔 A的自电阻, 以符号
R11 表示； iB 前的系数 (+R5)是网孔 A 和网孔 B 公共支路上
的电阻, 称它为网孔 A 与网孔 B 的互电阻, 以符号 R12表示,
由于流过 R5 的网孔电流 iA,iB 方向相同, 故 R5 前为, +”
号； iC 前系数 (-R4)是网孔 A 和网孔 C 公共支路上的电阻,
称它为网孔 A 与网孔 C 的互电阻, 以符号 R13表示, 由于流
经 R4 的网孔电流 iA,iC 方向相反, 故 R4 前取, -”号；等式
右端 us1-us4表示网孔 A 中电压源的代数和, 以符号 us11表示,
计算 us11时遇到各电压源的取号法则是, 在巡行中先遇到
电压源正极性端取负号, 反之取正号 。
电路基础
用同样的方法可求出 (2.2-2),(2.2-3)式的自电阻, 互电
阻及网孔等效电压源, 即
62365222521,,RRRRRRRR ?????
222 ss uu ?
,,632431 RRRR ??? 64333 RRRR ???
4333 sss uuu ??
电路基础
归纳总结得到应用网孔法分析具有 3 个网孔电路的方
程通式 (一般式 ),即
?
?
?
??
?
?
???
???
???
33333231
22232221
11131211
sCBA
sCBA
sCBA
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
(2.2-4)
如果电路有 m 个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为
?
?
?
??
?
?
????
????
????
s m mMmmBmAm
sMmBA
sMmBA
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
?
?
?
21
2222221
1111211
… (2.2-5)
电路基础
在应用方程通式列方程时要特别注意, 取号, 问题：因
取网孔电流方向作为列写 KVL方程的巡行方向, 所以各网孔
的自电阻恒为正；为了使方程通式形式整齐统一, 故把公共
支路电阻上电压的正负号归纳在有关的互电阻中, 使方程通
式 (2.2-4)或 (2.2-5)式的左端各项前都是, +”号, 但求互电阻
时就要注意取正号或取负号的问题 。 两网孔电流在流经公共
支路时方向一致, 互电阻等于公共支路上电阻相加取正号,
两网孔电流在流经公共支路时方向相反, 互电阻等于公共支
路上电阻相加取负号；求等效电压源时遇电压源的取号法则
表面上看起来与应用 Σu=0 列方程时遇电压源的取号法则相
反, 实际上二者是完全一致的, 因为网孔方程的 us11(或 us22,
us33)是直接放在等式右端的 。
电路基础
例 2.2-1 对图 2.2-2 所示电路，求各支路电流。
图 2.2-2 例 2.2-1 用图
电路基础
解 本问题有 6 个支路, 3 个网孔, 用上节讲的支路电
流法需解 6 元方程组, 而用网孔法只需解 3 元方程, 显然
网孔法要比支路电流法简单得多, 今后用手解算电路的话,
一般用网孔法而不用支路电流法 。
第一步：设网孔电流 iA,iB,iC 如图所示 。 一般网孔电流
方向即认为是列 KVL方程时的巡行方向 。
第二步：观察电路直接列写方程 。 观察电路心算求自
电阻, 互电阻, 等效电压源数值, 代入方程通式即写出所
需要的方程组 。 就本例, 把自电阻, 互电阻, 等效电压源
写出如下：
电路基础
VuRRR
VuRRR
VuRRR
s
s
s
6,11,2,6
12,2,5,1
19,6,1,10
33333231
22232221
11131211
??????????
??????????
?????????
代入 (2.2-4)式得
?
?
?
??
?
?
????
?????
???
61126
1225
19610
CBA
CBA
CBA
iii
iii
iii
(2.2-6)
电路基础
第三步：解方程得各网孔电流 。
AiA 3? AiB 1?? AiC 2?
第四步：由网孔电流求各支路电流 。 设各支路电流参
考方向如图所示, 根据支路电流与网孔电流之间的关系,
得
,321
,2
,3
5
3
1
Aiii
Aii
Aii
CB
c
A
???????
??
??
Aiii
Aiii
Aii
BA
cA
B
4)1(3
123
1
6
4
2
??????
?????
???
第五步,如果需要,可由支路电流求电路中任何处的
电压,功率。
电路基础
例 2.2-2 对图 2.2-3 所示电路, 求电阻 R 上消耗的功率 pR。
图 2.2-3 例 2.2-2 用图
电路基础
?
?
?
??
?
?
????
?????
???
563
9393
1936
CBA
CBA
CBA
iii
iii
iii
解
(2.2-7)
化简 (2.2-7)式 (第二个方程可两端相约化简 )得
?
?
?
??
?
?
????
?????
???
563
33
1936
CBA
CBA
CBA
iii
iii
iii
电路基础
由化简的方程组求得
WRip
Aii
RR
CR
822
2
22 ????
??
(1) 网孔法是回路法的特殊情况 。 网孔只是平面电路的
一组独立回路, 不过许多实际电路都属于平面电路, 选取
网孔作独立回路方便易行, 所以把这种特殊条件下的回路
法归纳为网孔法 。
(2) 回路法更具有一般性，它不仅适用于分析平面电路，
而且也适用于分析非平面电路，在使用中还具有一定的灵
活性 。
电路基础
例 2.2-3 求图 2.2-4 所示电路中的电压 uab。
图 2.2-4 例 2.2-3 用图
电路基础
解 设网孔电流 iA,iB 如图中所标，观察电路，应用方
程通式列基本方程为
??
?
?
?
????
???
4262
26212
xBA
xBA
uii
uii
由图可以看出控制量 ux 仅与回路电流 iB 有关，故有辅助方程
Bx iu 4?
（ 2.2-8）
（ 2.2-9）
将 (2.2-9)式代入 (2.2-8)式并经化简整理，得
??
?
?
?
????
??
2
12
BA
BA
ii
ii （ 2.2-10）
电路基础
解 (2.2-10)方程组,得
ViU
AiAi
Bx
BA
12344
3,1
????
???
所以
VUiu xAab 14122)1(10210 ????????
电路基础
例 2.2-4 对图 2.2-5 所示电路, 求各支路电流 。
图 2.2-5 例 2.2-4 用图
电路基础
解 本题两个网孔的公共支路上有一理想电流源 。 如果
按图 (a)电路设出网孔电流, 如何列写网孔方程呢? 这里需注
意, 网孔方程实际上是依 KVL列写的回路电压方程, 即网
孔内各元件上电压代数和等于零, 那么在巡行中遇到理想电
流源 (或受控电流源 ),它两端电压取多大呢? 根据电流源特
性, 它的端电压与外电路有关, 在电路未求解出之前是不知
道的 。 这时可先假设该电流源两端电压为 ux,把 ux 当作理想
电压源一样看待列写基本方程 。 因为引入了电流源两端电压
ux这个未知量, 所以列出的基本方程就少于未知量数, 必须
再找一个与之相互独立的方程方可求解 。 这个方程也是不难
找到的, 因为理想电流源所在支路的支路电流 i3等于 is,i3
又等于二网孔电流代数和, 这样就可写辅助方程, 即
电路基础
sAB iii ??
用网孔法求解图 (a)电路所需的方程为
?
?
?
??
?
?
???
?????
?????
sBA
sxBA
sxBA
iii
uuiRRiR
uuiRiRR
2323
1331
)(
)(
电路基础
将图 (a)电路伸缩扭动变形, 使理想电流源所在支路单
独属于某一网孔, 如图 (b)电路所示 。 理想电流源支路单独
属于网孔 B,设 B 网孔电流 iB 与 is方向一致, 则
sB ii ?
所以只需列出网孔 A 一个方程即可求解。 网孔 A 的方程为
21221 )( sssA uuiRiRR ????
21
221
RR
iRuui sss
A ?
???
所以
电路基础
进一步可求得电流
21
121
12
3
21
221
1
RR
iRuu
iii
ii
RR
iRuu
ii
sss
s
s
sss
A
?
??
???
?
?
??
??
电路基础
2.3 节 点 电 位 法
图 2.3-1 节点法分析用图
2.3.1 节点电位
电路基础
在电路中, 任选一节点作参考点, 其余各节点到参考
点之间的电压称为相应各节点的电位 。 如图 2.3-1 电路,
选节点 4 作参考点 (亦可选其他节点作参考点 ),设节点 1，
2,3 的电位分别为 v1,v2,v3。 显然, 这个电路中任何两点
间的电压, 任何一支路上的电流, 都可应用已知的节点电
位求出 。 例如, 支路电流
344
2111 )(
vGi
vvGi
?
??
电导 G5 吸收的功率
2
3155 )( vvGp ??
电路基础
这就说明了 节点电位是完备的变量 。 观察图 2.3-1 可见, 对
电路中任何一个回路列写 KVL方程, 回路中的节点, 其电位
一定出现一次正号一次负号 。 例如图中 A 回路, 由 KVL
列写方程为
0312312 ??? uuu
将上式中各电压写为电位差表示,即有
0133221 ?????? vvvvvv
节点电位变量是相互独立的变量。
电路基础
2.3.2 节点电位法
以各节点电位为未知量, 将各支路电流通过支路 VAR
用未知节点电位表示, 依 KCL 列节点电流方程 (简称节点方
程 ),求解出各节点电位变量, 进而求得电路中需要求的电
流, 电压, 功率等, 这种分析法称为节点电位法 。 下面我
们以图 2.3-1 电路为例来看方程的列写过程, 并从中归纳总
结出简便列写方程的方法 。 参考点与各节点电位如图中所
标, 设出各支路电流, 由支路 VAR将各支路电流用节点电
位表示, 即
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
)(
)(
)(
3155
344
3233
222
2111
vvGi
vGi
vvGi
vGi
vvGi
(2.3-2)
电路基础
现在依 KCL列出节点 1,2,3的 KCL方程, 设流出节点的电
流取正号, 流入节点的电流取负号, 可得
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
0
0
0
534
2132
2151
iii
iiii
iiii
s
ss
节点 1
节点 2
节点 3
(2.3-3)
将 (2.3-2)式代入 (2.3-3)式,得
?
?
?
??
?
?
?????
??????
??????
0)()(
0)()(
0)()(
31532334
221132322
21315211
vvGvvGvG
ivvGvvGvG
iivvGvvG
s
ss
(2.3-4)
电路基础
为了方便应用克莱姆法则求解, 将 (2.3-4)式按未知量顺序重
新排列, 已知的电流源移至等式右端并加以整理, 得
0)(
)(
)(
35432315
233232111
213521151
??????
??????
?????
vGGGvGvG
ivGvGGGvG
iivGvGvGG
s
ss
(2.3-5)
(2.3-6)
(2.3-7)
电路基础
观察整理后的方程, 以 (2.3-5)式为例, 变量 v1前的系
数 (G1+G5)恰是与第一个节点相连各支路的电导之和, 称
为节点 1 的自电导, 以符号 G11表示 。 变量 v2前系数 (-G1),
它是 1 与 2 节点间的互电导, 以符号 G12表示, 它等于与
该两节点相连的公共支路上电导之和, 并取负号 。 v3 前系
数 (-G5)是节点 1 与节点 3 之间的互电导, 以 G13表示, 它
等于与节点 1,3 相连的公共支路上电导之和, 并取负号 。
等式右端 is1-is2 是流入节点 1 的电流源的代数和, 以符
号 is11 表示, 称为等效电流源 。 计算 is11 时是以流入节点 1
的电流源为正, 流出节点 1 的电流源为负 。 同理可找出
(2.3-6),(2.3-7)式的自电导, 互电导, 等效电流源, 即
电路基础
0,
,,
,,
33222
54333332531
32332122121
??
???????
???????
sss
iii
GGGGGGGG
GGGGGGGG
归纳总结得到应用节点法分析具有 3 个独立节点电路
的方程通式 (一般式 ),即
?
?
?
??
?
?
???
???
???
33333232131
22323222121
11313212111
s
s
s
ivGvGvG
ivGvGvG
ivGvGvG
(2.3-8)
电路基础
如果电路有 n 个独立节点，我们也不难得到列写节点
方程的通式为
?
?
?
??
?
?
????
????
????
s nnnnnnn
snn
snn
ivGvGvG
ivGvGvG
ivGvGvG
?
?
?
2211
222222121
111212111
… (2.3-9)
电路基础
例 2.3-1 如图 2.3-2 所示电路, 求电导 G1,G2,G3 中的
电流及图中 3 个电流源分别产生的功率 。
图 2.3-2 例 2.3-1 用图
电路基础
解 采用节点电位法求解 。
第一步：选参考点, 设节点电位 。 对本问题, 选节点 4
为参考点, 设节点 1,2,3 的电位分别为 v1,v2,v3。 若电
路接地点已给出, 就不需要再选参考点, 只需设出节点电
位就算完成了这一步 。
第二步：观察电路, 应用 (2.3-8)或 (2.3-9)式直接列写方
程 。 一般心算求出各节点的自电导, 互电导和等效电流源
数值, 代入通式写出方程 。 当然写出求自电导, 互电导,
等效电流源的过程亦可以 。 对本例电路, 有
电路基础
AiAiAi
SGSGSG
SGSGSG
SGSGSG
sss
25,3,1183
11425,2,4
2,6321,3
4,3,743
332211
333231
232221
131211
???????
????????
????????
???????
将求得的自电导、互电导、等效电流源代入式 (2.3-8)，得
?
?
?
??
?
?
????
????
????
251124
3263
11437
321
321
321
vvv
vvv
vvv
2.3-10
电路基础
第三步：解方程，求得各节点电位。解方程组得：
Vv 11 ? Vv 22 ? Vv 33 ?第四步：由求得的各节点电位, 求题目中需要求的各
量 。 我们先求 3 个电导上的电流 。 设通过电导 G1,G2、
G3 的电流分别为 i1,i2,i3,参考方向如图中所标, 由欧姆
定律电导形式可算得 3 个电流分别为
AvGi
AvvuGi
AvvuGi
1535
8)13(4)(4
3)12(3)(3
333
133122
122111
????
????????
????????
电路基础
再求电流源产生功率 。 设 ps1,ps2,ps3分别代表电流
源 is1,is2,is3产生的功率 。 由计算一段电路产生功率的公
式, 算得
Wvip
Wvvip
Wvip
ss
ss
ss
75325
3)1(3)(
818
333
2122
111
????
????????
???????
电路基础
例 2.3-2 如图 2.3-3(a)所示电路中, 各电压源, 电阻的
数值如图上所标, 求各支路上的电流 。
图 2.3-3 例 2.3-2 用图
电路基础
解 在一些电路里, 常给出电阻参数和电压源形式的激
励 。 在这种情况下应用节点法分析时, 可先应用电源互换
将电压源形式变换为电流源形式, 各电阻参数换算为电导
参数, 如图 (2.3-3)(b)所示 。 在 (b)图中, 设节点 3 为参考点,
并设节点 1,2 的电位分别为 v1,v2,可得方程组为
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
4
10
10
4
20
1
10
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
10
3
4
1
2
1
4
1
2
1
20
1
5
1
21
21
vv
vv
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??
10
21
10
9
4
3
2
11
4
3
21
21
vv
vv
化简上方程组，得
(2.3-11)
电路基础
解方程组,得
Vv
Vv
6
10
2
1
?
?
(b)图所求的各节点电位数值也就是 (a)图相应节点的电位
值 。 在图 2.3-3(a)中设出各支路电流, 由支路 VAR,得
A
v
iA
v
i
A
vv
iA
vv
i
A
v
iA
v
i
2.0
10
64
10
4
,4.0
20
6
20
5.1
4
410
4
)(10
,2
2
610
2
5.0
20
10
20
,1
5
1015
5
15
2
6
2
5
12
4
21
3
1
2
1
1
?
?
?
?
????
?
?
?
??
??
?
?
?
?
????
?
?
?
?
电路基础
列写方程时电阻要换算为电导；计算节点等效电流源
时, 该电流源的数值等于电压除以该支路的电阻, 若电压
源正极性端向着该节点则取正号, 反之取负号 。
电路基础
例 2.3-3 对图 2.3-4 所示电路, 求 u 与 i。
图 2.3-4 例 2.3-3 用图
电路基础
解 本问题电路的 1,4 节点间有一理想电压源支路,
(1) 若原电路没有指定参考点, 可选择其理想电压源支
路所连的两个节点之一作参考点, 譬如本问题, 选节点 4
作为参考点, 这时节点 1 的电位 v1=2V,可作为已知量,
这样可少列一个方程 。 设节点 2,3 的电位分别为 v2,v3,
由电路可写方程组
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
42
1
1
1
1
1
1
42
2
1
2
1
2
1
3
2
v
v
(2.3-12)
电路基础
写 (2.3-12)方程组时, 把 v1=2V当作已知量直接代入了方程
组 。 因为对求电路的节点电位来说, 可以把电路中 1Ω电阻
与 4A电流源相串联的支路等效为一个 4A电流源支路, 所
以与 4A电流源串联的 1Ω电阻不能计入节点 2,节点 3 自
电导里, 也不能计入节点 2,3 之间的互电导里 。 解 (2.3-
12)式方程组, 得
VvVv 1,5 32 ???
由欧姆定律，求得
Vvvuu
A
vvu
i
6)1(541
3
1
)1(2
1
31
1
13
3223 ??????????
?
??
?
?
??
Vu 1046 ???
因为电压
所以电压
电路基础
以节点 3 作参考点，设节点 4 的电位为 v4,对这个电路列
写的方程组为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
2
1
1
2
1
2
1
4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
41
42
421
21
vv
ivv
vvv
ivv
x
x
(辅助方程 )
VuAi
VvVvVv
10,3
1,6,3 421
??
???
电路基础
例 2.3-4 对图 2.3-5 所示电路, 求 v1,i1。
图 2.3-5 例 2.3-4 用图
电路基础
解
?
?
?
??
?
?
?
?????
????
2
21
21
8.0
888.22
682)42(
vi
vv
ivv
(辅助方程 )
?
?
?
??
?
?
??
????
???
08.0
84.1
433
2
21
21
iv
vv
ivv
Avi
Vv
12344
3
11
1
????
?
电路基础
2.4 小 结
2.4.1 方程法分析
1,支路电流法
2,网孔分析法
3,节点电位法
电路基础
2.4.2 方程通式
1,网孔方程通式
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电路基础
2,节点方程通式
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