电路基础
第四章 动态电路的时域分析
4.1 动态元件
4.2 动态电路的方程
4.3 一阶电路的零输入响应
4.4 一阶电路的零状态响应
4.5 一阶电路的完全响应
4.6 一阶电路的单位阶跃响应
4.7 二阶电路分析
4.8 正弦激励下一阶电路的响应
4.9 小结
电路基础
4.1 动 态元件
图 4.1-1 线性时不变电容元件
电路基础
电荷 量 q与其端电压的关系为
)()( tCutq ?
式中 C称为电容元件的电容量, 单位为法拉 (F)。 电容元件简
称为电容, 其符号 C既表示元件的参数, 也表示电容元件 。
,关心的是元件的 VAR。 若电容端电压 u
与通过的电流 i采用 关联参考方向, 如图 4.1-1(b)所示, 则有
dt
duC
dt
dqi ?? （ 4.1-2）
电路基础
(1) 任何时刻, 通过电容元件的电流与该时刻的电压变
化率成正比 。 如果电容两端加直流电压, 则 i=0,电容元件
相当于开路 。 故电容元件有隔断直流的作用 。
(2) 在实际电路中, 通过电容的电流 i总是为有限值, 这
意味着 du/dt必须为有限值, 也就是说, 电容两端电压 u必定
是时间 t的连续函数, 而不能跃变 。 这从数学上可 以很好地
理解, 当函数的导数为有限值时, 其函数必定连续 。
将式 (4.1-2)改写为
dtti
C
tdu )(1)( ?
对上式从 -∞到 t进行积分，并设 u(-∞)=0，得
???
??
?
t
di
C
tdu )(1)(
电路基础
电容有“记忆”电流的作用
设 t0为初始时刻。如果只讨论 t≥t0的情况，式 (4.1-3)可改写为
??
????
di
C
tu
di
C
di
C
tu
t
t
t
t
t
?
??
??
??
??
0
0
0
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
0
?? diCtu t?
??
? 0 )(1)( 0
dt
tdutCutitutp )()()()()( ??
电路基础
)(
2
1
)(
2
1
)()(
)(
)(
)()(
22
)(
)(
????
?
?
?
?
?
?
??
??
??
CutCu
duCu
d
d
du
Cu
dpt
tu
u
t
t
C
??
?
?
?
?
???
一般总可以认为 u(-∞)=0,得电容的储能为
)(21)( 2 tCutC ??
电容所储存的 能量一定大于或等于零。
电路基础
例 4.1-1 图 4.1 - 2(a) 所 示 电 路 中 的 us(t)
波形如图 (b)所示, 已知电容 C=0.5F,求电流 i,功率 p(t)和储
能 wC(t),并绘出它们的波形 。
解 写出 us的函数表示式为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0
)2(2
2
0
)(
t
t
tu
s
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
1
1
0
)(
dt
du
Cti
s
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
)2(2
2
0
)(
t
t
tp
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
电路基础
其波形如图 (d)所示。 根据电容储能
)(21 2 tCuw C ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
)2(
0
)(
2
2
t
t
tw
C
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
电路基础
图 4.1 – 2 例 4.1 - 1用图
电路基础
图 4.1 – 2 例 4.1 - 1用图
电路基础
4.1.2 电感元件
图 4.1 – 3 实际电感器示意图
电路基础
图 4.1 – 4 线性时不变电感元件
电路基础
dt
tdi
Ltu
dt
d
tu
tLit
)(
)(
)(
)()(
?
?
?
?
?
(1) 任何时刻, 电感元件两端的电压与该时刻的电流变
化率成正比 。 如果通过电感的电流是直流, 则 u=0,电感相
当于短路 。
(2) 由于电感上的电压为有限值, 故电感中的电流不能
跃变 。
（ 4.1-9）
电路基础
对 (4.1 - 9)式两端同时积分，并设 i(-∞)=0,得
?? duLti t?
??
? )(1)(
设 t0为初始时刻,(4.1 - 10)式可改写为
??
????
du
L
ti
du
L
du
L
ti
t
t
t
t
t
?
??
??
??
??
0
0
0
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
0
?? duLti t?
??
? )(1)( 0
（ 4.1-10）
电路基础
设电感上的电压, 电流采用关联参考方向, 由 (4.1-9)式,
得电感元件的吸收功率为
dt
tditLititutp )()()()()( ??
对上式从 -∞到 t进行积分,得电感元件的储能为
)(
2
1
)()(
)(
)()()(
2
)(
)(
tLidiiL
d
d
di
iLdptw
ti
i
tt
L
??
??
?
??
??
????
??
?
?
?
???
电路基础
4.1.3 电感、电容的串、并联
图 4.1 – 5 电感串联
电路基础
根据电感元件 VAR的微分形式,有
dt
diLu
dt
diLu
2211,??
dt
diL
dt
diLLuuu ????? )(
2121
21 LLL ??
nLLLL ??????? 21
uLdtdi 1?
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
u
LL
L
u
L
L
u
u
LL
L
u
L
L
u
21
22
2
21
11
1
电感 L1与 L2相并联的电路如图 4.1 - 6(a)所示, 电感 L1和
L2的两端为同一电压 u。 根据电感元件 VAR的积分形式有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
du
L
i
du
L
i
t
t
)(
1
)(
1
2
2
1
1
电路基础
图 4.1 – 6 电感并联
电路基础
由 KCL，得端口电流
??
??
du
L
du
LL
iii
t
t
?
?
??
??
?
??
?
?
??
?
?
????
)(
1
)(
11
21
21
式中
21
111
LLL
??
21
21
LL
LLL
?
?
电路基础
nLLLL
1111
21
???????
Lidut ??
??
?? )(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
i
LL
L
i
L
i
i
LL
L
i
L
i
21
1
2
2
21
2
1
1
1
1
电路基础
图 4.1 – 7 电容串联
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
t
t
di
C
u
di
C
u
??
??
)(
1
)(
1
2
2
1
1
??
??
di
C
di
CC
uuu
t
t
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
)(
1
)(
11
21
21
21
111
CCC ??
电路基础
或写为
21
21
CC
CCC
?
?
若有 n个电容 Ci(i=1,2,…,n)相串联，同理可推得其等效电容为
nCCCC
1111
21
???? ?
Cudit ??
??
?? )(
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
u
CC
C
u
C
C
u
u
CC
C
u
C
C
u
21
1
2
2
21
2
1
1
电容 C1和 C2相并联的电路如图 4.1-8(a)所示, 电容 C1与
C2两端为同一电压 u。 根据电容元件 VAR的微分形式, 有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dt
du
Ci
dt
du
Ci
22
11
电路基础
由 KCL，得端口电流为
dt
du
C
dt
du
CCiii
?
???? )(
2121
21 CCC ??
电路基础
图 4.1 – 8 电容并联
电路基础
若有 n个电容 Ci(i=1,2,…,n)相并联，同理可推得其等效电容为
nCCCC ???? ?21
iCdtdu 1?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
i
CC
C
i
C
C
i
i
CC
C
i
C
C
i
21
22
2
21
11
1
电路基础
4.2 动态电路的方程
4.2.1 方程的建立
图 4.2 – 1 RC串联电路
电路基础
电路中开关的接通, 断开或者电路参数的突然变化等
统称为, 换路, 。
)()()( tututu sCR ??
dt
duRCRiu
dt
duCi C
R
C ???,
sC
C u
RCuRCdt
du 11 ??
根据 KVL列出电路的回路电压方程为
由于
将它们代入上式,并稍加整理,得
电路基础
图 4.2 – 2 RL并联电路
电路基础
)()()( tititi sLR ??
dt
diLu
R
uCi L
L
L ??,
sL
L i
L
Ri
L
R
dt
di ??
电路基础
图 4.2 – 3 RLC串联电路
电路基础
图 4.2-3所示 RLC串联电路, 若仍以电容电压 uC(t)作为电
路响应, 根据 KVL可得
)()()()( tutututu sCRL ???
由于
2
2
,,dt udLCdtdiLudtduRCRiudtduCi CLCRC ?????
sC
CC u
LCuLCdt
du
L
R
dt
ud 11
2
2
???
一般而言, 若电路中含有 n个独立的动态元件, 那么描
述该电路的微分方程是 n阶的, 称为 n阶电路 。
电路基础
4.2.2 电路量的初始值计算
我们把电路发生换路的时刻记为 t0,把换路前一瞬间记
为 t0-,而把换路后一瞬间记为 t0+。 当 t=t0+时, 电容电压 uC和
电感电流 iL分别为
??
?
?
?
?
?
??
??
)()(
)()(
00
00
titi
tutu
LL
CC
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
0
0
)(
1
)()(
)(
1
)()(
00
00
t
t
LLL
t
t
CCC
du
L
titi
di
C
tutu
??
??
（ 4.2-4）
电路基础
若在 t=t0处, 电容电流 iC和电感电压 uL为有限值, 则电容电压
uC和电感电流 iL在该处连续, 它们不能跃变 。
一般情况下，选择 t0=0，则由 (4.2 - 4)式得
??
?
?
?
?
?
??
??
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
根据置换定理, 在 t=t0+时, 用电压等于 u(t0+) 的电压
源替代电容元件, 用电流等于 iL(t0+)的电流源替代电感元件,
独立电源均取 t=t0+时的值 。
电路基础
例 4.2 – 1 电路如图 4.2 - 4(a)所示 。 在开关闭合前, 电
路已处于稳定 。 当 t=0时开关闭合, 求初始值 i1(0+),i2(0+)和
iC(0+)。
图 4.2 – 4 例 4.2 - 1用图
电路基础
解 (1) 求开关闭合前的电容电压 uC(0-)。 由于开关闭合
前电路已处于稳定, uC(t)不再变化, duC/dt=0,故 iC=0,电
容可看作开路 。 t=0-时电路如图 (b)所示, 由图 (b)可得
Vu C 12)0( ??
(2) 画出 0+等效电路。根据换路定律有
Vuu CC 12)0()0( ?? ?
电路基础
(3) 由 0+等效电路，计算各电流的初始值。由图 (c)可知
Aiii
A
R
u
i
R
uU
i
C
C
Cs
5.1)0()0()0(
5.1
8
12)0(
)0(
0
4
1212)0(
)0(
21
2
2
1
1
????
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
电路基础
例 4.2 电路如图 4.2 - 5(a)所示, t=0时开关 S由 1板向 2，
在 t＜ 0时电路处于稳定 。 求初始值 i1(0+),i2(0+)和 uL(0+)。
图 4.2 – 5 例 4.2 - 2用图
电路基础
解
A
R
Ui s
L 33
9)0(
1
????
(1) 由 t＜ 0时的电路，求 iL(0-)。
Aii LL 3)0()0( ?? ??
(2) 画出 0+等效电路。根据换路定律，有
电路基础
(3) 由 0+等效电路，计算各初始值。由图 (c)可知
ViRu
A
L
iii
Ai
RR
R
i
L
L
6)1(6)0()0(
132)0()0()0(
23
63
6
)0()0(
22
12
21
2
1
??????
???????
??
?
??
?
?
??
??
?
电路基础
例 4.2-3 电路如图 4.2 - 6(a)所示, t=0时开关 S由 1扳向 2，
在 t＜ 0时电路已处于稳定 。 求初始值 i2(0+),iC(0+)。
图 4.2 – 6 例 4.2 - 3用图
电路基础
解 (1)
ViRu
A
RR
U
i
LC
s
L
2045)0()0(
4
51
24
)0(
2
21
????
?
?
?
?
?
??
?
(2) 画出 0+等效电路。根据换路定律有
Aii
Vuu
LL
CC
4)0()0(
20)0()0(
??
??
??
??
电路基础
(3) 由 0+等效电路，计算各初始值。
044)0()0()0(
4
5
20)0(
)0(
2
2
2
?????
???
???
?
?
iii
A
R
U
i
LC
C
求初始值的简要步骤如下：
(1) 由 t＜ 0时的电路, 求出 uC(0-),iL(0-)；
(2) 画出 0+等效电路；
(3) 由 0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。
电路基础
4.3 一阶电路的零输入响应
我们把这种外加激励为零, 仅由动态元件初始储能所
产生的电流和电压, 称为动态电路的零输入响应 。
图 4.3 – 1 一阶 RC电路的零输入响应
电路基础
(4.3-1)
(4.3-2)
电路基础
(4.3-2)
令 具有时间量纲,即??,RC?
电路基础
电路在 t＜ 0时, 处于稳定状态, 电容上的电压为 R0Is。 当
电路发生换路后, 电容电压由 uC(0+)逐渐下降到零, 我们把
这一过程称为过渡过程, 或称为暂态过程 。 当 t→∞ 时, 过渡
过程结束, 电路又处于另一稳定状态 。 时间常数 τ的大小反
映了电路过渡过程的进展速度, τ越大, 过渡过程 的进展越慢 。
当 t=τ时,
当 t=4τ时，
电路基础
图 4.3 – 2 不同时间常数的 uC波形
电路基础
电路基础
由 KVL得
LR
L
L
RL
Riu
dt
di
Lu
uu
??
??
,
0
0?? LL i
L
R
dt
di
根据换路定律，得初始条件为
0)0()0( Iii LL ?? ??
电路基础
(4.3-9)
电路基础
令 τ=L/R,它同样具有时间量纲, 是 R,L串联电路的时间常
数 。 这样, (4.3 - 9) 式可表示为
0)0( 0 ??? ??? teIeii
tt
LL
??
由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的, 随
着时间 t的增加, 动态元件的初始储能逐渐被电阻 R所消耗,
因此, 零输入响应总是按指数规律逐渐 衰减到零 。 若零输入
响应用 yx(t)表示之, 其初始值为 yx(0+),那么
0)0()( ?? ?? teyty
t
xx
?
电路基础
例 4.3 – 1 电路如图 4.3 - 4(a) 所示 。 t＜ 0时电路处于稳定,
t=0时开关 S打开 。 求 t＞ 0 时的电流 iL和电 压 uR,uL。
图 4.3 – 4 例 4.3 - 1用图
电路基础
电路基础
电路基础
4.4 一阶电路的零状态响应
电路的零状态响应定义为：电路的初始储能为零, 仅
由 t≥0外加激励所产生的响应 。
图 4.4-1 一阶 RC电路的零状态响应
电路基础
R
tuUti Cs )()( ??
sCR Uuu ??
dt
duRCRiu
dt
duCi C
R
C ???,
sC
C U
RCuRCdt
du 11 ??
电路基础
0)0( ??Cu
CpChC uuu ??
01 ?? ChCh uRCdtdu
其初始条件为
其特征方程为
01 ?? RCp
RCp
1??
电路基础
RC
t
pt
Ch AeAeu
???
sURCKRC
11 ?
表 4-1 不同激励时动态电路的特解
电路基础
sCp UKu ??
0)0( ???? sC UAu
sUA ??
0
0)1(
???
???
?
?
tAe
R
U
dt
du
Ci
tVeUu
t
sC
t
sC
?
?
sLR Iii ??1
电路基础
L
LR
R
L
L
RLR
i
R
R
dt
di
R
L
R
u
i
iR
dt
di
Luuu
1
2
11
1
1
221
???
????
sL
L I
L
Ri
L
RR
dt
di 121 ???
0)0( ??Li
电路基础
?
121 ?????
L
RRp
21 RR
L
?
??
?
t
Lh Aei
?
?
sIL
RK
L
RR 121 ??
sLP IRR
RKi
21
1
???
电路基础
s
t
LpLhL IRR
RAeiii
21
1
?
????
?
?
0)0(
21
1 ?
???? sL IRR
RAi
sIRR
RA
21
1
?
??
0
0)1(
1
21
1
???
??
?
?
?
?
tVeIR
dt
di
Lu
tAeI
RR
R
i
t
s
L
L
t
sL
?
?
电路基础
AI
RR
R
i
tVeu
tAei
sL
t
L
t
L
1)(
06
01
21
1
2
2
?
?
??
??
???
?
?
电路基础
4.4-2 一阶 RL电路的零状态响应
电路基础
4.5 一阶电路的完全响应
假若电路的初始状态不为零, 同时又有外加激励电
源的作用, 这时电路的响应称为完全响应 。 对于线性电
路而言, 其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和,
即
)()()( tytyty fx ??
电路基础
图 4.5-1 一阶电路的等效
电路基础
图 4.5-2 一阶 RC电路
sR
R
RC
CRC
sRC
Ii
dt
di
dt
di
RC
dt
du
CiRiu
Iii
??
11
,
??
???
??
(4.5-1)
电路基础
图 4.5-3 一阶 RL电路
sL
L
L
LLR
sLR
U
L
i
dt
di
dt
di
LuRiu
Uuu
11
,
??
??
??
?
(4.5-2)
电路基础
假如电路的响应用 y(t)表示, 激励用 f(t)表示, 那么由
(4.5-1)式和 (4.5-2)式可知, 一阶电路微分方程的一般形式可
表示为
?
?
?
?
?
??
? )0(:
)()(
1)(
y
tbfty
dt
tdy
初始条件
? (4.5-3)
式中 τ为一阶电路的时间常数 。 b为常数, 其大小由电路结
构和元件参数所决定 。 (4.5-3)式为一阶线性常系数非齐次
微分方程 。 其齐次解为 Ae-t/τ,其中 A为待定常数 。 由于激
励 f(t)为直流电源, 故其特解为常数, 令 yp(t)=K。 这样 (4.5-
3)式的完全解为
KAetytyty
t
ph ????
? ?)()()( (4.5-4)
电路基础
将初始条件代入上式,得
KAy ??? )0(
KyA ?? ? )0(
?
t
eKyKty ?? ??? ])0([)(
)()( ??? ?? ytyI i mK t
当 t→∞ 时，上式右端的第二项趋于零，于是得
(4.5-6)
电路基础
y(∞)称为响应的稳态值, 它表示在直流电源作用下, t→∞ 时
的响应值 。 将 (4.5-6)式代入 (4.5-5)式, 得
? ?
?
? ?
0)]()0([)()( ??????
?
? teyyyty
t
??? ???? ??
自由响应
暂态响应
强迫响应
稳态响应
?
电路基础
计算图 4.5-3所示 RL电路中的电感电流 iL。 由于 iL(0+)=I0，
iL(∞)=Us/R和 τ=L/R,代入三要素公式得
0][ 0 ????
?
te
R
U
I
R
U
i
t
L
R
ss
L
?? ??? ?????
暂态响应稳态响应
上式也可改写为
010 ???
?
?
?
?
?
?
???
??
te
R
U
eIi
t
L
R
s
L
t
L
R
??? ???? ??? ??
零状态响应
零输入响应
电路基础
以图 4.5-3所示的电路为例, 在求零输入响应时, 独立
电源要为零, 即电压源短路, 电流源开路, 如图 4.5-4(a)所
示 。 这时电感中的初始电流 iLx(0+)=I0。 由于电路中无独立
电源, 故 t→∞ 时, 电感中储存的磁能全部被电阻所消耗,
电感电流 iLx(∞)=0。 时间常数 τ=L/R,利用三要素公式得
00 ??
?
teIi
t
L
R
Lx
电路基础
图 4.5-4 分别求零输入响应和零状态响应时的 RL电路
电路基础
求零状态响应时, 初始状态为零, 即 iLf(0+)=0,电路如
图 4.5-4(b)所示 。 当 t→∞ 时, 电路达到稳定, iLf(∞)=Us/R。 利
用三要素公式得
0)1( ???
?
te
R
Ui tLRs
Lf
电路基础
图 4.5-5 iL的波形
电路基础
例 4.5-1 图 4.5-6(a)所示电路, t=0时开关 S闭合, 闭合前
电路处于稳定 。 求 t>0时的电感电流 iL。
图 4.5-6 例 4.5-1用图
电路基础
解 (1) 求 iL(0+)。 开关闭合前电路处于稳定, 电感看作短
路, iL(0-)=Is=3A,根据换路定律, 有
Aii LL 3)0()0( ?? ??
(2) 求 iL(∞)。
AI
RR
Ri
sL 1321
1)(
21
1 ??
?
?
?
??
电路基础
(3) 求 τ。
s
R
L
RRR
3
1
32121
??
??????
?
(4) 求 iL
? ? 021)13(1
33 ?????? ?? tAeei tt
L
暂态响应稳态响应
电路基础
例 4.5-2 电路如图 4.5-7(a)所示, t<0时电路处于稳态 。 t=0
时 S1打开, S2闭合 。 求电容电压 uC和电流 i.
图 4.5-7 例 4.5-2用图
电路基础
解 (1) 求 uC(0+)和 i(0+),t=0-时，电容 C相当于开路，故
VIRR RRu sC 6363 63)0(
31
31 ??
?
??
???
Vuu CC 6)0()0( ?? ??
Vu
u
4)0(
4
3
3
2
6
)0(
3
1
6
1
2
1
1
1
?
????
?
?
?
?
?
??
?
?
ARuUi s 313 43)0()0(
4
1 ?????? ?
?
电路基础
(2) 求 uC(∞)和 i(∞),
A
RR
U
i
VU
RR
R
u
s
sC
3
1
36
3
)(
23
36
6
)(
43
43
3
?
?
?
?
??
??
?
?
?
??
(3) 求 τ。
????????? 463 632
43
43
2 RR
RRRR
sRC 25.04 ?????
电路基础
(4) 求 uC和 i。
0
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
042)26(2
2
2
22
????
?
?
?
?
?
????
??????
??
??
tAeei
tVeeu
tt
tt
C
电路基础
图 4.5-8 uC和 i的波形
电路基础
4.6 一阶电路的单位阶跃响应
4.6.1
单位阶跃函数用 ε(t)表示，其定义为
??
?
?
?
?
?
?
01
00
)(
t
t
t?
电路基础
图 4.6-1 单位阶跃函数
电路基础
单位阶跃函数可以用来描述 1V或 1A的直流源接入
电路的情况 。 例如图 4.6-2(a)所示 1V电压源在 t=0时接入
电路, 端口电压可表示为
Vttu )()( ??
Atti )()( ??
电路基础
图 4.6-2 单位阶跃函数示意图
电路基础
图 4.6-3 阶跃函数和延时阶跃函数
??
?
?
?
?
?
??
0
0
0
1
0
)(
tt
tt
tt?
电路基础
)]()([)()()( 00 tttAttAtAtf ?????? ????
图
4.
6-
4
矩
形
脉
冲
分
解
电路基础
图 4.6 - 5
电路基础
4.6.2 一阶电路的单位阶跃响应
当激励为单位阶跃函数时, 电路的零状态响应称为单
位阶跃响应 。 简称阶跃响应, 用 g(t)表示之 。
电路基础
例 4.6-1 图 4.6-6(a)所示电路, 若以电流 iL为输出, 求
其阶跃响应 g(t)。
图 4.6-6 例 4.6-1用图
电路基础
解 根据阶跃响应的定义, 令 us=ε(t),它相当于 1V电压
源在 t=0时接入电路, 如图 (b)所示, 而且电路的初始状态
iL(0+)=iL(0-)=0。 由图 (b)可知, iL的稳态值和该电路的时间常
数分别为
Atetitg
s
R
L
A
R
U
i
t
L
s
L
)()1(
2
1
)()(
2
1
1
5.0
2
1
)(
2
1
?
?
?
???
???
???
电路基础
线性电路具有两个特性：齐次性和叠加性 。 若以 f(t)表
示激励, yf(t)表示电路的零状态响应 。
)()()()(
)()(
)()(
)()(
)()(
2121
22
11
tytytftf
tytf
tytf
tAytAf
tytf
ff
f
f
f
f
???
?
?
?
?
齐次性可表示为
叠加性可表示为
电路基础
如果电路既满足齐次性又满足叠加性，则该电路是线
性的，可表示为
)()()()( 22112211 tyAtyAtfAtfA ff ???
如果电路元件的参数不随时间变化, 则该电路为时不
变电路 。 这时, 电路的零状态响应的函数形式与激励接入
电路的时间无关, 即
)()(
)()(
00 ttyttf
tytf
f
f
???
?
电路基础
图 4.6-7 时不变特性
电路基础
)()()(
)()()(
0
0
ttAgtAgty
ttAtAtf
f
???
??? ??
电路的线性时不变特性, 将给电路的计算带来许多方
便 。 例如, 若电路的激励为图 4.6-4(a)所示的矩形脉冲信号,
即
根据线性时不变特性，该电路的零状态响应为
电路基础
例 4.6-2 图 4.6-8(a)所示电路, 其激励 is的波形如图 (b)所
示 。 若以 uC为输出, 求其零状态响应 。
解 激励 is可表示为
图 4.6-8 例 4.6-2用图
电路基础
Vtgtgtu
Attti
Cf
s
)2(2)(2)(
)2(2)(2)(
???
??? ??
sRC
Vu C
22.010
616)(
????
????
?
Vtetetu
Vtetg
tt
Cf
t
)2()1(12)()1(12)(
)()1(6)(
2
2
2
2
1
?????
??
?
??
?
??
?
故阶跃响应为
零状态响应为
电路基础
4.7 二阶电路分析
图 4.7-1 RLC串联电路
电路基础
2
2
dt
ucd
LC
dt
di
LuL
dt
du
RCRiu
dt
du
Ci
uuuu
C
R
C
sCRL
??
??
?
???
由 KVL得
由于
sC
CC u
LCuLCdt
du
L
R
dt
ud 11
2
2
???
电路基础
令 2α=R/L,α称为衰减常数,ω0=1/ 称为固有振荡频率。LC
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
C
i
C
i
dt
du
uu
dt
du
dt
ud
C
t
C
sC
CC
)0()0(
2
0
2
0
2
02
2
???
电路基础
表 4-2 二阶电路的齐次解
电路基础
4.7.1 零输入响应
根据零输入响应的定义, 令 us=0,同时为了简化讨论中
的计算, 又不失一般性, 令 uC(0)=U0,iL(0)=0。
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
0
)0(
,)0(
02
00
2
02
2
C
i
dt
du
Uu
u
dt
du
dt
ud
L
t
C
C
C
CC
??
上式为二阶齐次微分方程，其特征方程为
02 202 ??? ?? pp
电路基础
其特征根为
2
0
2
2,1 ??? ????p
(1) α>ω0,即 R>2 。 此时 p1,p2为不相等的负实数,
称为过阻尼情况 。
CL /
?
?
?
?
?
????
????
2
0
2
2
2
0
2
1
???
???
p
p
微分方程的通解为
tptp
C eAeAu
2
21 1 ??
电路基础
?
?
?
?
?
???
??
? 0
)0(
22110
21
pApA
dt
du
AAu
t
C
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
1
2
12
2
1
)0(
)0(
pp
up
A
pp
up
A
C
C
)()()0( 21 12
12
tepep
pp
uu tptpC
C ????
电路基础
回路中的电流
)0(
)()(
21
21
21
C
tptpC
u
pp
Cpp
K
teeK
dt
du
Ci
?
?
???? ?
放电电流达最大的时刻 tm可用求极值的方法解得，令
0)( 21 21 ??? mm tptp epepKdtdi
1
2
21
11
p
pn
pp
t m
?
?
电路基础
图 4.7-2 过阻尼时的 uC和 i的波形
电路基础
(2) α=ω0,即 。 此时 p1,p2为相等的负实数,
称为临界阻尼 。 特征根为
CLR /2?
???? 21 pp
微分方程的通解为
)( 21 tAAeu atC ?? ?
1)0( Au C ?
由初始条件
0210 ????? AAdtdu tC ?
电路基础
??
?
?
?
?
?
)0(
)0(
2
1
C
C
auA
uA
)()0(
)()1)(0(
2
tteCau
dt
du
Ci
teatuu
at
C
C
at
CC
?
?
?
?
???
??
电路基础
(3) α<ω0,即 。 此时 p1,p2为一对共轭复根,
称为欠阻尼或衰减振荡 。 特征根为
CLR /2?
djap ???? ???????
2
0
2
2,1
22
0 ??? ??d
)()co s ( ttAeu datC ??? ?? ?
0s i nc o s
c o s)0(
0 ????
?
? ????
?
dt
C
C
AA
dt
du
Au
式中 A和 φ为待定常数。由初始条件
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
d
C
a r ct g
uA
?
?
?
?
?
0
)0(
)0(
)(s i n
)(c o s)0(
2
0
0
0
0
C
d
d
atC
d
d
at
d
CC
u
C
I
tteI
dt
du
Ci
t
a
a r ct gteuu
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
电路基础
图 4.7-3 欠阻尼时的 uC和 i波形
电路基础
当 R=0时,α=0,
0220 ???? ???d
??
?
?
?
??
?
)(s i n)0(
)(c o s)0(
00
0
ttCui
ttuu
C
CC
???
??
由上式可知, 此时 uC和 i为等幅振荡 。 这是由于 R=0，
电路仅由 L,C构成, 在振荡过程中不再有能量损耗 。
该振荡由电路的初始储能所产生, 故称为自由振荡 。
电路基础
4.7.2 阶跃响应
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
0
)0(
,0)0(
)(2
0
2
0
2
02
2
C
i
dt
du
u
tu
dt
du
dt
ud
t
C
C
C
CC
????
CpChC uututg ??? )()(
1?Cpu
电路基础
若以 p1,p2为不相等的负实根为例，其阶跃响应为
1)( 21 21 ??? tptp eAeAtg
?
?
?
?
?
????
????
?
?
0
01)0(
2211
0
21
0
pApA
dt
du
dt
dg
AAg
t
C
t
由初始条件
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
2
2
12
2
1
pp
p
A
pp
p
A解得
电路基础
)()(11)( 21 12
12
tepep
pp
tg tptp ??
?
?
??
? ?
?
??
当 p1=p2=-α,临界阻尼时
? ?
d
d
at
d
t
a r ct g
ttetg
tettg
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
)()c o s (1)(
)()1(1)(
0
当 p1,2=-α± jωd,欠阻尼时
电路基础
4.8
图 4.8-1 正弦电压源作用于 RC电路
电路基础
图 4.8-1(a)所示一阶 RC电路, t=0时开关闭合 。 若电容电压
的初始值 uC(0)=U0,电压源为
VtUtu ssms )c o s ()( ?? ??
)c o s ( ssmCC tUu
dt
duRC ?? ???
)()()( tututu CpChC ??
RC
t
Ch Aetu
??)(
电路基础
)co s ()( ?? ?? tUtu CmCp
)c o s ()()s i n ( ssmCmcm tUtUtR C U ??????? ??????
CmCm UKC R UK ?? 21,?
? ?
CRa r c t g
K
K
a r c t g
CRUKKK Cm
??
?
??
????
2
1
22
2
2
1 1
令
电路基础
图 4.8-2 直角三角形图示
电路基础
由图可得
?? c os,s i n 21 KKKK ??
)c o s (
)c o s (c o s)s i n (s i n
ssm tU
tKtK
??
??????
??
????
)c o s (s i ns i nc o sc o s ?????? ???
)c o s ()c o s ( ssm tUtK ????? ????
电路基础
若使上式等号两端相等，必须满足
??
?
?
?
??
???
s
smCm UCRUK
???
? 1)( 2
CRa r c t g
CR
U
U
ss
sm
Cm
?????
?
????
?
?
1)(
2
)co s ()( ?? ??? ? tUAetu CmRC
t
C
电路基础
利用初始条件确定常数 A,即
?
?
co s
co s)0(
0
0
Cm
CmC
UUA
UUAu
??
???
?? ??? ????? ???? ??
稳态响应暂态响应
)c o s ()c o s()( 0 ??? ????
?
tUeUUtu CmRC
t
CmC
t > 0
电路基础
图 4.8-3 uC(t)波形
电路基础
4.9 小 结
(1) 动态元件的 VAR是微分或积分关系，如下表所示。
电路基础
(2) 描述动态电路的方程是微分方程 。 利用 KCL,
KVL和元件的 VAR可列写出待求响应的微分方程 。 利用
换路定律和 0+等效电路, 可求得电路中各电流, 电压的
初始值 。
电路基础
(3) 零输入响应是激励为零, 由电路的初始储能产生的响
应, 它是齐次微分方程满足初始条件的解 。 零状态响应是电
路的初始状态为零, 由激励产生的响应, 它是非齐次微分方
程满足初始条件的解, 包含齐次解和特解两部分 。 假若电路
的初始状态不为零, 在外加激励电源作用下, 电路的响应为
完全响应, 它等于零输入响应与零状态响应之和 。
动态电路的响应也可以分为自由响应与强迫响应 。 对于
稳定电路, 在直流电源或正弦电源激励下, 强迫响应为稳态
响应, 它与激励具有相同的函数形式 。 自由响应即为暂态响
应, 它随着时间的增加逐渐衰减到零 。
零输入响应和自由响应都是满足齐次微分方程的解, 它
们的形式相同, 但常数不同 。 零输入响应的待定常数仅由输
入为零时的初始条件 yx(0+)所确定, 而自由响应的待定常数由
全响应的初始条件 y(0+)所确定 。
电路基础
(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电
源或阶跃信号作用下的电路响应 。 三要素公式为
?
t
eyyyty ?? ????? )]()0([)()(
t > 0
① 初始值 y(0+)：利用换路定律和 0+等效电路求得 。
② 稳态响应 y(∞),在直流电源或阶跃信号作用下, 电路达
到稳态时, 电容看作开路, 电感看作短路, 此时电路成为电
阻电路 。 利用电阻电路的分析方法, 求得稳态响应 y(∞)。
③ 时常数 τ,RC电路, τ=RC; RL电路, τ=L/R。 式中 R为断
开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻 。
电路基础
(5) 单位阶跃响应 g(t)定义为：在 ε(t)作用下电路的零状
态响应 。
(6) 对于二阶电路, 只要求了解由于其特征根 p1,p2的
取值有 3种不同的情况, 其响应分为过阻尼, 临界阻尼和
欠阻尼 。
第四章 动态电路的时域分析
4.1 动态元件
4.2 动态电路的方程
4.3 一阶电路的零输入响应
4.4 一阶电路的零状态响应
4.5 一阶电路的完全响应
4.6 一阶电路的单位阶跃响应
4.7 二阶电路分析
4.8 正弦激励下一阶电路的响应
4.9 小结
电路基础
4.1 动 态元件
图 4.1-1 线性时不变电容元件
电路基础
电荷 量 q与其端电压的关系为
)()( tCutq ?
式中 C称为电容元件的电容量, 单位为法拉 (F)。 电容元件简
称为电容, 其符号 C既表示元件的参数, 也表示电容元件 。
,关心的是元件的 VAR。 若电容端电压 u
与通过的电流 i采用 关联参考方向, 如图 4.1-1(b)所示, 则有
dt
duC
dt
dqi ?? （ 4.1-2）
电路基础
(1) 任何时刻, 通过电容元件的电流与该时刻的电压变
化率成正比 。 如果电容两端加直流电压, 则 i=0,电容元件
相当于开路 。 故电容元件有隔断直流的作用 。
(2) 在实际电路中, 通过电容的电流 i总是为有限值, 这
意味着 du/dt必须为有限值, 也就是说, 电容两端电压 u必定
是时间 t的连续函数, 而不能跃变 。 这从数学上可 以很好地
理解, 当函数的导数为有限值时, 其函数必定连续 。
将式 (4.1-2)改写为
dtti
C
tdu )(1)( ?
对上式从 -∞到 t进行积分，并设 u(-∞)=0，得
???
??
?
t
di
C
tdu )(1)(
电路基础
电容有“记忆”电流的作用
设 t0为初始时刻。如果只讨论 t≥t0的情况，式 (4.1-3)可改写为
??
????
di
C
tu
di
C
di
C
tu
t
t
t
t
t
?
??
??
??
??
0
0
0
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
0
?? diCtu t?
??
? 0 )(1)( 0
dt
tdutCutitutp )()()()()( ??
电路基础
)(
2
1
)(
2
1
)()(
)(
)(
)()(
22
)(
)(
????
?
?
?
?
?
?
??
??
??
CutCu
duCu
d
d
du
Cu
dpt
tu
u
t
t
C
??
?
?
?
?
???
一般总可以认为 u(-∞)=0,得电容的储能为
)(21)( 2 tCutC ??
电容所储存的 能量一定大于或等于零。
电路基础
例 4.1-1 图 4.1 - 2(a) 所 示 电 路 中 的 us(t)
波形如图 (b)所示, 已知电容 C=0.5F,求电流 i,功率 p(t)和储
能 wC(t),并绘出它们的波形 。
解 写出 us的函数表示式为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0
)2(2
2
0
)(
t
t
tu
s
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
1
1
0
)(
dt
du
Cti
s
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
)2(2
2
0
)(
t
t
tp
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
电路基础
其波形如图 (d)所示。 根据电容储能
)(21 2 tCuw C ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
)2(
0
)(
2
2
t
t
tw
C
st
st
st
t
2
21
10
0
?
??
??
?
电路基础
图 4.1 – 2 例 4.1 - 1用图
电路基础
图 4.1 – 2 例 4.1 - 1用图
电路基础
4.1.2 电感元件
图 4.1 – 3 实际电感器示意图
电路基础
图 4.1 – 4 线性时不变电感元件
电路基础
dt
tdi
Ltu
dt
d
tu
tLit
)(
)(
)(
)()(
?
?
?
?
?
(1) 任何时刻, 电感元件两端的电压与该时刻的电流变
化率成正比 。 如果通过电感的电流是直流, 则 u=0,电感相
当于短路 。
(2) 由于电感上的电压为有限值, 故电感中的电流不能
跃变 。
（ 4.1-9）
电路基础
对 (4.1 - 9)式两端同时积分，并设 i(-∞)=0,得
?? duLti t?
??
? )(1)(
设 t0为初始时刻,(4.1 - 10)式可改写为
??
????
du
L
ti
du
L
du
L
ti
t
t
t
t
t
?
??
??
??
??
0
0
0
)(
1
)(
)(
1
)(
1
)(
0
?? duLti t?
??
? )(1)( 0
（ 4.1-10）
电路基础
设电感上的电压, 电流采用关联参考方向, 由 (4.1-9)式,
得电感元件的吸收功率为
dt
tditLititutp )()()()()( ??
对上式从 -∞到 t进行积分,得电感元件的储能为
)(
2
1
)()(
)(
)()()(
2
)(
)(
tLidiiL
d
d
di
iLdptw
ti
i
tt
L
??
??
?
??
??
????
??
?
?
?
???
电路基础
4.1.3 电感、电容的串、并联
图 4.1 – 5 电感串联
电路基础
根据电感元件 VAR的微分形式,有
dt
diLu
dt
diLu
2211,??
dt
diL
dt
diLLuuu ????? )(
2121
21 LLL ??
nLLLL ??????? 21
uLdtdi 1?
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
u
LL
L
u
L
L
u
u
LL
L
u
L
L
u
21
22
2
21
11
1
电感 L1与 L2相并联的电路如图 4.1 - 6(a)所示, 电感 L1和
L2的两端为同一电压 u。 根据电感元件 VAR的积分形式有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
du
L
i
du
L
i
t
t
)(
1
)(
1
2
2
1
1
电路基础
图 4.1 – 6 电感并联
电路基础
由 KCL，得端口电流
??
??
du
L
du
LL
iii
t
t
?
?
??
??
?
??
?
?
??
?
?
????
)(
1
)(
11
21
21
式中
21
111
LLL
??
21
21
LL
LLL
?
?
电路基础
nLLLL
1111
21
???????
Lidut ??
??
?? )(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
i
LL
L
i
L
i
i
LL
L
i
L
i
21
1
2
2
21
2
1
1
1
1
电路基础
图 4.1 – 7 电容串联
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
t
t
di
C
u
di
C
u
??
??
)(
1
)(
1
2
2
1
1
??
??
di
C
di
CC
uuu
t
t
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
)(
1
)(
11
21
21
21
111
CCC ??
电路基础
或写为
21
21
CC
CCC
?
?
若有 n个电容 Ci(i=1,2,…,n)相串联，同理可推得其等效电容为
nCCCC
1111
21
???? ?
Cudit ??
??
?? )(
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
u
CC
C
u
C
C
u
u
CC
C
u
C
C
u
21
1
2
2
21
2
1
1
电容 C1和 C2相并联的电路如图 4.1-8(a)所示, 电容 C1与
C2两端为同一电压 u。 根据电容元件 VAR的微分形式, 有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
dt
du
Ci
dt
du
Ci
22
11
电路基础
由 KCL，得端口电流为
dt
du
C
dt
du
CCiii
?
???? )(
2121
21 CCC ??
电路基础
图 4.1 – 8 电容并联
电路基础
若有 n个电容 Ci(i=1,2,…,n)相并联，同理可推得其等效电容为
nCCCC ???? ?21
iCdtdu 1?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
i
CC
C
i
C
C
i
i
CC
C
i
C
C
i
21
22
2
21
11
1
电路基础
4.2 动态电路的方程
4.2.1 方程的建立
图 4.2 – 1 RC串联电路
电路基础
电路中开关的接通, 断开或者电路参数的突然变化等
统称为, 换路, 。
)()()( tututu sCR ??
dt
duRCRiu
dt
duCi C
R
C ???,
sC
C u
RCuRCdt
du 11 ??
根据 KVL列出电路的回路电压方程为
由于
将它们代入上式,并稍加整理,得
电路基础
图 4.2 – 2 RL并联电路
电路基础
)()()( tititi sLR ??
dt
diLu
R
uCi L
L
L ??,
sL
L i
L
Ri
L
R
dt
di ??
电路基础
图 4.2 – 3 RLC串联电路
电路基础
图 4.2-3所示 RLC串联电路, 若仍以电容电压 uC(t)作为电
路响应, 根据 KVL可得
)()()()( tutututu sCRL ???
由于
2
2
,,dt udLCdtdiLudtduRCRiudtduCi CLCRC ?????
sC
CC u
LCuLCdt
du
L
R
dt
ud 11
2
2
???
一般而言, 若电路中含有 n个独立的动态元件, 那么描
述该电路的微分方程是 n阶的, 称为 n阶电路 。
电路基础
4.2.2 电路量的初始值计算
我们把电路发生换路的时刻记为 t0,把换路前一瞬间记
为 t0-,而把换路后一瞬间记为 t0+。 当 t=t0+时, 电容电压 uC和
电感电流 iL分别为
??
?
?
?
?
?
??
??
)()(
)()(
00
00
titi
tutu
LL
CC
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
0
0
)(
1
)()(
)(
1
)()(
00
00
t
t
LLL
t
t
CCC
du
L
titi
di
C
tutu
??
??
（ 4.2-4）
电路基础
若在 t=t0处, 电容电流 iC和电感电压 uL为有限值, 则电容电压
uC和电感电流 iL在该处连续, 它们不能跃变 。
一般情况下，选择 t0=0，则由 (4.2 - 4)式得
??
?
?
?
?
?
??
??
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
根据置换定理, 在 t=t0+时, 用电压等于 u(t0+) 的电压
源替代电容元件, 用电流等于 iL(t0+)的电流源替代电感元件,
独立电源均取 t=t0+时的值 。
电路基础
例 4.2 – 1 电路如图 4.2 - 4(a)所示 。 在开关闭合前, 电
路已处于稳定 。 当 t=0时开关闭合, 求初始值 i1(0+),i2(0+)和
iC(0+)。
图 4.2 – 4 例 4.2 - 1用图
电路基础
解 (1) 求开关闭合前的电容电压 uC(0-)。 由于开关闭合
前电路已处于稳定, uC(t)不再变化, duC/dt=0,故 iC=0,电
容可看作开路 。 t=0-时电路如图 (b)所示, 由图 (b)可得
Vu C 12)0( ??
(2) 画出 0+等效电路。根据换路定律有
Vuu CC 12)0()0( ?? ?
电路基础
(3) 由 0+等效电路，计算各电流的初始值。由图 (c)可知
Aiii
A
R
u
i
R
uU
i
C
C
Cs
5.1)0()0()0(
5.1
8
12)0(
)0(
0
4
1212)0(
)0(
21
2
2
1
1
????
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
电路基础
例 4.2 电路如图 4.2 - 5(a)所示, t=0时开关 S由 1板向 2，
在 t＜ 0时电路处于稳定 。 求初始值 i1(0+),i2(0+)和 uL(0+)。
图 4.2 – 5 例 4.2 - 2用图
电路基础
解
A
R
Ui s
L 33
9)0(
1
????
(1) 由 t＜ 0时的电路，求 iL(0-)。
Aii LL 3)0()0( ?? ??
(2) 画出 0+等效电路。根据换路定律，有
电路基础
(3) 由 0+等效电路，计算各初始值。由图 (c)可知
ViRu
A
L
iii
Ai
RR
R
i
L
L
6)1(6)0()0(
132)0()0()0(
23
63
6
)0()0(
22
12
21
2
1
??????
???????
??
?
??
?
?
??
??
?
电路基础
例 4.2-3 电路如图 4.2 - 6(a)所示, t=0时开关 S由 1扳向 2，
在 t＜ 0时电路已处于稳定 。 求初始值 i2(0+),iC(0+)。
图 4.2 – 6 例 4.2 - 3用图
电路基础
解 (1)
ViRu
A
RR
U
i
LC
s
L
2045)0()0(
4
51
24
)0(
2
21
????
?
?
?
?
?
??
?
(2) 画出 0+等效电路。根据换路定律有
Aii
Vuu
LL
CC
4)0()0(
20)0()0(
??
??
??
??
电路基础
(3) 由 0+等效电路，计算各初始值。
044)0()0()0(
4
5
20)0(
)0(
2
2
2
?????
???
???
?
?
iii
A
R
U
i
LC
C
求初始值的简要步骤如下：
(1) 由 t＜ 0时的电路, 求出 uC(0-),iL(0-)；
(2) 画出 0+等效电路；
(3) 由 0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。
电路基础
4.3 一阶电路的零输入响应
我们把这种外加激励为零, 仅由动态元件初始储能所
产生的电流和电压, 称为动态电路的零输入响应 。
图 4.3 – 1 一阶 RC电路的零输入响应
电路基础
(4.3-1)
(4.3-2)
电路基础
(4.3-2)
令 具有时间量纲,即??,RC?
电路基础
电路在 t＜ 0时, 处于稳定状态, 电容上的电压为 R0Is。 当
电路发生换路后, 电容电压由 uC(0+)逐渐下降到零, 我们把
这一过程称为过渡过程, 或称为暂态过程 。 当 t→∞ 时, 过渡
过程结束, 电路又处于另一稳定状态 。 时间常数 τ的大小反
映了电路过渡过程的进展速度, τ越大, 过渡过程 的进展越慢 。
当 t=τ时,
当 t=4τ时，
电路基础
图 4.3 – 2 不同时间常数的 uC波形
电路基础
电路基础
由 KVL得
LR
L
L
RL
Riu
dt
di
Lu
uu
??
??
,
0
0?? LL i
L
R
dt
di
根据换路定律，得初始条件为
0)0()0( Iii LL ?? ??
电路基础
(4.3-9)
电路基础
令 τ=L/R,它同样具有时间量纲, 是 R,L串联电路的时间常
数 。 这样, (4.3 - 9) 式可表示为
0)0( 0 ??? ??? teIeii
tt
LL
??
由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的, 随
着时间 t的增加, 动态元件的初始储能逐渐被电阻 R所消耗,
因此, 零输入响应总是按指数规律逐渐 衰减到零 。 若零输入
响应用 yx(t)表示之, 其初始值为 yx(0+),那么
0)0()( ?? ?? teyty
t
xx
?
电路基础
例 4.3 – 1 电路如图 4.3 - 4(a) 所示 。 t＜ 0时电路处于稳定,
t=0时开关 S打开 。 求 t＞ 0 时的电流 iL和电 压 uR,uL。
图 4.3 – 4 例 4.3 - 1用图
电路基础
电路基础
电路基础
4.4 一阶电路的零状态响应
电路的零状态响应定义为：电路的初始储能为零, 仅
由 t≥0外加激励所产生的响应 。
图 4.4-1 一阶 RC电路的零状态响应
电路基础
R
tuUti Cs )()( ??
sCR Uuu ??
dt
duRCRiu
dt
duCi C
R
C ???,
sC
C U
RCuRCdt
du 11 ??
电路基础
0)0( ??Cu
CpChC uuu ??
01 ?? ChCh uRCdtdu
其初始条件为
其特征方程为
01 ?? RCp
RCp
1??
电路基础
RC
t
pt
Ch AeAeu
???
sURCKRC
11 ?
表 4-1 不同激励时动态电路的特解
电路基础
sCp UKu ??
0)0( ???? sC UAu
sUA ??
0
0)1(
???
???
?
?
tAe
R
U
dt
du
Ci
tVeUu
t
sC
t
sC
?
?
sLR Iii ??1
电路基础
L
LR
R
L
L
RLR
i
R
R
dt
di
R
L
R
u
i
iR
dt
di
Luuu
1
2
11
1
1
221
???
????
sL
L I
L
Ri
L
RR
dt
di 121 ???
0)0( ??Li
电路基础
?
121 ?????
L
RRp
21 RR
L
?
??
?
t
Lh Aei
?
?
sIL
RK
L
RR 121 ??
sLP IRR
RKi
21
1
???
电路基础
s
t
LpLhL IRR
RAeiii
21
1
?
????
?
?
0)0(
21
1 ?
???? sL IRR
RAi
sIRR
RA
21
1
?
??
0
0)1(
1
21
1
???
??
?
?
?
?
tVeIR
dt
di
Lu
tAeI
RR
R
i
t
s
L
L
t
sL
?
?
电路基础
AI
RR
R
i
tVeu
tAei
sL
t
L
t
L
1)(
06
01
21
1
2
2
?
?
??
??
???
?
?
电路基础
4.4-2 一阶 RL电路的零状态响应
电路基础
4.5 一阶电路的完全响应
假若电路的初始状态不为零, 同时又有外加激励电
源的作用, 这时电路的响应称为完全响应 。 对于线性电
路而言, 其完全响应等于零输入响应与零状态响应之和,
即
)()()( tytyty fx ??
电路基础
图 4.5-1 一阶电路的等效
电路基础
图 4.5-2 一阶 RC电路
sR
R
RC
CRC
sRC
Ii
dt
di
dt
di
RC
dt
du
CiRiu
Iii
??
11
,
??
???
??
(4.5-1)
电路基础
图 4.5-3 一阶 RL电路
sL
L
L
LLR
sLR
U
L
i
dt
di
dt
di
LuRiu
Uuu
11
,
??
??
??
?
(4.5-2)
电路基础
假如电路的响应用 y(t)表示, 激励用 f(t)表示, 那么由
(4.5-1)式和 (4.5-2)式可知, 一阶电路微分方程的一般形式可
表示为
?
?
?
?
?
??
? )0(:
)()(
1)(
y
tbfty
dt
tdy
初始条件
? (4.5-3)
式中 τ为一阶电路的时间常数 。 b为常数, 其大小由电路结
构和元件参数所决定 。 (4.5-3)式为一阶线性常系数非齐次
微分方程 。 其齐次解为 Ae-t/τ,其中 A为待定常数 。 由于激
励 f(t)为直流电源, 故其特解为常数, 令 yp(t)=K。 这样 (4.5-
3)式的完全解为
KAetytyty
t
ph ????
? ?)()()( (4.5-4)
电路基础
将初始条件代入上式,得
KAy ??? )0(
KyA ?? ? )0(
?
t
eKyKty ?? ??? ])0([)(
)()( ??? ?? ytyI i mK t
当 t→∞ 时，上式右端的第二项趋于零，于是得
(4.5-6)
电路基础
y(∞)称为响应的稳态值, 它表示在直流电源作用下, t→∞ 时
的响应值 。 将 (4.5-6)式代入 (4.5-5)式, 得
? ?
?
? ?
0)]()0([)()( ??????
?
? teyyyty
t
??? ???? ??
自由响应
暂态响应
强迫响应
稳态响应
?
电路基础
计算图 4.5-3所示 RL电路中的电感电流 iL。 由于 iL(0+)=I0，
iL(∞)=Us/R和 τ=L/R,代入三要素公式得
0][ 0 ????
?
te
R
U
I
R
U
i
t
L
R
ss
L
?? ??? ?????
暂态响应稳态响应
上式也可改写为
010 ???
?
?
?
?
?
?
???
??
te
R
U
eIi
t
L
R
s
L
t
L
R
??? ???? ??? ??
零状态响应
零输入响应
电路基础
以图 4.5-3所示的电路为例, 在求零输入响应时, 独立
电源要为零, 即电压源短路, 电流源开路, 如图 4.5-4(a)所
示 。 这时电感中的初始电流 iLx(0+)=I0。 由于电路中无独立
电源, 故 t→∞ 时, 电感中储存的磁能全部被电阻所消耗,
电感电流 iLx(∞)=0。 时间常数 τ=L/R,利用三要素公式得
00 ??
?
teIi
t
L
R
Lx
电路基础
图 4.5-4 分别求零输入响应和零状态响应时的 RL电路
电路基础
求零状态响应时, 初始状态为零, 即 iLf(0+)=0,电路如
图 4.5-4(b)所示 。 当 t→∞ 时, 电路达到稳定, iLf(∞)=Us/R。 利
用三要素公式得
0)1( ???
?
te
R
Ui tLRs
Lf
电路基础
图 4.5-5 iL的波形
电路基础
例 4.5-1 图 4.5-6(a)所示电路, t=0时开关 S闭合, 闭合前
电路处于稳定 。 求 t>0时的电感电流 iL。
图 4.5-6 例 4.5-1用图
电路基础
解 (1) 求 iL(0+)。 开关闭合前电路处于稳定, 电感看作短
路, iL(0-)=Is=3A,根据换路定律, 有
Aii LL 3)0()0( ?? ??
(2) 求 iL(∞)。
AI
RR
Ri
sL 1321
1)(
21
1 ??
?
?
?
??
电路基础
(3) 求 τ。
s
R
L
RRR
3
1
32121
??
??????
?
(4) 求 iL
? ? 021)13(1
33 ?????? ?? tAeei tt
L
暂态响应稳态响应
电路基础
例 4.5-2 电路如图 4.5-7(a)所示, t<0时电路处于稳态 。 t=0
时 S1打开, S2闭合 。 求电容电压 uC和电流 i.
图 4.5-7 例 4.5-2用图
电路基础
解 (1) 求 uC(0+)和 i(0+),t=0-时，电容 C相当于开路，故
VIRR RRu sC 6363 63)0(
31
31 ??
?
??
???
Vuu CC 6)0()0( ?? ??
Vu
u
4)0(
4
3
3
2
6
)0(
3
1
6
1
2
1
1
1
?
????
?
?
?
?
?
??
?
?
ARuUi s 313 43)0()0(
4
1 ?????? ?
?
电路基础
(2) 求 uC(∞)和 i(∞),
A
RR
U
i
VU
RR
R
u
s
sC
3
1
36
3
)(
23
36
6
)(
43
43
3
?
?
?
?
??
??
?
?
?
??
(3) 求 τ。
????????? 463 632
43
43
2 RR
RRRR
sRC 25.04 ?????
电路基础
(4) 求 uC和 i。
0
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
042)26(2
2
2
22
????
?
?
?
?
?
????
??????
??
??
tAeei
tVeeu
tt
tt
C
电路基础
图 4.5-8 uC和 i的波形
电路基础
4.6 一阶电路的单位阶跃响应
4.6.1
单位阶跃函数用 ε(t)表示，其定义为
??
?
?
?
?
?
?
01
00
)(
t
t
t?
电路基础
图 4.6-1 单位阶跃函数
电路基础
单位阶跃函数可以用来描述 1V或 1A的直流源接入
电路的情况 。 例如图 4.6-2(a)所示 1V电压源在 t=0时接入
电路, 端口电压可表示为
Vttu )()( ??
Atti )()( ??
电路基础
图 4.6-2 单位阶跃函数示意图
电路基础
图 4.6-3 阶跃函数和延时阶跃函数
??
?
?
?
?
?
??
0
0
0
1
0
)(
tt
tt
tt?
电路基础
)]()([)()()( 00 tttAttAtAtf ?????? ????
图
4.
6-
4
矩
形
脉
冲
分
解
电路基础
图 4.6 - 5
电路基础
4.6.2 一阶电路的单位阶跃响应
当激励为单位阶跃函数时, 电路的零状态响应称为单
位阶跃响应 。 简称阶跃响应, 用 g(t)表示之 。
电路基础
例 4.6-1 图 4.6-6(a)所示电路, 若以电流 iL为输出, 求
其阶跃响应 g(t)。
图 4.6-6 例 4.6-1用图
电路基础
解 根据阶跃响应的定义, 令 us=ε(t),它相当于 1V电压
源在 t=0时接入电路, 如图 (b)所示, 而且电路的初始状态
iL(0+)=iL(0-)=0。 由图 (b)可知, iL的稳态值和该电路的时间常
数分别为
Atetitg
s
R
L
A
R
U
i
t
L
s
L
)()1(
2
1
)()(
2
1
1
5.0
2
1
)(
2
1
?
?
?
???
???
???
电路基础
线性电路具有两个特性：齐次性和叠加性 。 若以 f(t)表
示激励, yf(t)表示电路的零状态响应 。
)()()()(
)()(
)()(
)()(
)()(
2121
22
11
tytytftf
tytf
tytf
tAytAf
tytf
ff
f
f
f
f
???
?
?
?
?
齐次性可表示为
叠加性可表示为
电路基础
如果电路既满足齐次性又满足叠加性，则该电路是线
性的，可表示为
)()()()( 22112211 tyAtyAtfAtfA ff ???
如果电路元件的参数不随时间变化, 则该电路为时不
变电路 。 这时, 电路的零状态响应的函数形式与激励接入
电路的时间无关, 即
)()(
)()(
00 ttyttf
tytf
f
f
???
?
电路基础
图 4.6-7 时不变特性
电路基础
)()()(
)()()(
0
0
ttAgtAgty
ttAtAtf
f
???
??? ??
电路的线性时不变特性, 将给电路的计算带来许多方
便 。 例如, 若电路的激励为图 4.6-4(a)所示的矩形脉冲信号,
即
根据线性时不变特性，该电路的零状态响应为
电路基础
例 4.6-2 图 4.6-8(a)所示电路, 其激励 is的波形如图 (b)所
示 。 若以 uC为输出, 求其零状态响应 。
解 激励 is可表示为
图 4.6-8 例 4.6-2用图
电路基础
Vtgtgtu
Attti
Cf
s
)2(2)(2)(
)2(2)(2)(
???
??? ??
sRC
Vu C
22.010
616)(
????
????
?
Vtetetu
Vtetg
tt
Cf
t
)2()1(12)()1(12)(
)()1(6)(
2
2
2
2
1
?????
??
?
??
?
??
?
故阶跃响应为
零状态响应为
电路基础
4.7 二阶电路分析
图 4.7-1 RLC串联电路
电路基础
2
2
dt
ucd
LC
dt
di
LuL
dt
du
RCRiu
dt
du
Ci
uuuu
C
R
C
sCRL
??
??
?
???
由 KVL得
由于
sC
CC u
LCuLCdt
du
L
R
dt
ud 11
2
2
???
电路基础
令 2α=R/L,α称为衰减常数,ω0=1/ 称为固有振荡频率。LC
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
C
i
C
i
dt
du
uu
dt
du
dt
ud
C
t
C
sC
CC
)0()0(
2
0
2
0
2
02
2
???
电路基础
表 4-2 二阶电路的齐次解
电路基础
4.7.1 零输入响应
根据零输入响应的定义, 令 us=0,同时为了简化讨论中
的计算, 又不失一般性, 令 uC(0)=U0,iL(0)=0。
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
0
)0(
,)0(
02
00
2
02
2
C
i
dt
du
Uu
u
dt
du
dt
ud
L
t
C
C
C
CC
??
上式为二阶齐次微分方程，其特征方程为
02 202 ??? ?? pp
电路基础
其特征根为
2
0
2
2,1 ??? ????p
(1) α>ω0,即 R>2 。 此时 p1,p2为不相等的负实数,
称为过阻尼情况 。
CL /
?
?
?
?
?
????
????
2
0
2
2
2
0
2
1
???
???
p
p
微分方程的通解为
tptp
C eAeAu
2
21 1 ??
电路基础
?
?
?
?
?
???
??
? 0
)0(
22110
21
pApA
dt
du
AAu
t
C
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
1
2
12
2
1
)0(
)0(
pp
up
A
pp
up
A
C
C
)()()0( 21 12
12
tepep
pp
uu tptpC
C ????
电路基础
回路中的电流
)0(
)()(
21
21
21
C
tptpC
u
pp
Cpp
K
teeK
dt
du
Ci
?
?
???? ?
放电电流达最大的时刻 tm可用求极值的方法解得，令
0)( 21 21 ??? mm tptp epepKdtdi
1
2
21
11
p
pn
pp
t m
?
?
电路基础
图 4.7-2 过阻尼时的 uC和 i的波形
电路基础
(2) α=ω0,即 。 此时 p1,p2为相等的负实数,
称为临界阻尼 。 特征根为
CLR /2?
???? 21 pp
微分方程的通解为
)( 21 tAAeu atC ?? ?
1)0( Au C ?
由初始条件
0210 ????? AAdtdu tC ?
电路基础
??
?
?
?
?
?
)0(
)0(
2
1
C
C
auA
uA
)()0(
)()1)(0(
2
tteCau
dt
du
Ci
teatuu
at
C
C
at
CC
?
?
?
?
???
??
电路基础
(3) α<ω0,即 。 此时 p1,p2为一对共轭复根,
称为欠阻尼或衰减振荡 。 特征根为
CLR /2?
djap ???? ???????
2
0
2
2,1
22
0 ??? ??d
)()co s ( ttAeu datC ??? ?? ?
0s i nc o s
c o s)0(
0 ????
?
? ????
?
dt
C
C
AA
dt
du
Au
式中 A和 φ为待定常数。由初始条件
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
d
C
a r ct g
uA
?
?
?
?
?
0
)0(
)0(
)(s i n
)(c o s)0(
2
0
0
0
0
C
d
d
atC
d
d
at
d
CC
u
C
I
tteI
dt
du
Ci
t
a
a r ct gteuu
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
电路基础
图 4.7-3 欠阻尼时的 uC和 i波形
电路基础
当 R=0时,α=0,
0220 ???? ???d
??
?
?
?
??
?
)(s i n)0(
)(c o s)0(
00
0
ttCui
ttuu
C
CC
???
??
由上式可知, 此时 uC和 i为等幅振荡 。 这是由于 R=0，
电路仅由 L,C构成, 在振荡过程中不再有能量损耗 。
该振荡由电路的初始储能所产生, 故称为自由振荡 。
电路基础
4.7.2 阶跃响应
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
0
)0(
,0)0(
)(2
0
2
0
2
02
2
C
i
dt
du
u
tu
dt
du
dt
ud
t
C
C
C
CC
????
CpChC uututg ??? )()(
1?Cpu
电路基础
若以 p1,p2为不相等的负实根为例，其阶跃响应为
1)( 21 21 ??? tptp eAeAtg
?
?
?
?
?
????
????
?
?
0
01)0(
2211
0
21
0
pApA
dt
du
dt
dg
AAg
t
C
t
由初始条件
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
2
2
12
2
1
pp
p
A
pp
p
A解得
电路基础
)()(11)( 21 12
12
tepep
pp
tg tptp ??
?
?
??
? ?
?
??
当 p1=p2=-α,临界阻尼时
? ?
d
d
at
d
t
a r ct g
ttetg
tettg
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
)()c o s (1)(
)()1(1)(
0
当 p1,2=-α± jωd,欠阻尼时
电路基础
4.8
图 4.8-1 正弦电压源作用于 RC电路
电路基础
图 4.8-1(a)所示一阶 RC电路, t=0时开关闭合 。 若电容电压
的初始值 uC(0)=U0,电压源为
VtUtu ssms )c o s ()( ?? ??
)c o s ( ssmCC tUu
dt
duRC ?? ???
)()()( tututu CpChC ??
RC
t
Ch Aetu
??)(
电路基础
)co s ()( ?? ?? tUtu CmCp
)c o s ()()s i n ( ssmCmcm tUtUtR C U ??????? ??????
CmCm UKC R UK ?? 21,?
? ?
CRa r c t g
K
K
a r c t g
CRUKKK Cm
??
?
??
????
2
1
22
2
2
1 1
令
电路基础
图 4.8-2 直角三角形图示
电路基础
由图可得
?? c os,s i n 21 KKKK ??
)c o s (
)c o s (c o s)s i n (s i n
ssm tU
tKtK
??
??????
??
????
)c o s (s i ns i nc o sc o s ?????? ???
)c o s ()c o s ( ssm tUtK ????? ????
电路基础
若使上式等号两端相等，必须满足
??
?
?
?
??
???
s
smCm UCRUK
???
? 1)( 2
CRa r c t g
CR
U
U
ss
sm
Cm
?????
?
????
?
?
1)(
2
)co s ()( ?? ??? ? tUAetu CmRC
t
C
电路基础
利用初始条件确定常数 A,即
?
?
co s
co s)0(
0
0
Cm
CmC
UUA
UUAu
??
???
?? ??? ????? ???? ??
稳态响应暂态响应
)c o s ()c o s()( 0 ??? ????
?
tUeUUtu CmRC
t
CmC
t > 0
电路基础
图 4.8-3 uC(t)波形
电路基础
4.9 小 结
(1) 动态元件的 VAR是微分或积分关系，如下表所示。
电路基础
(2) 描述动态电路的方程是微分方程 。 利用 KCL,
KVL和元件的 VAR可列写出待求响应的微分方程 。 利用
换路定律和 0+等效电路, 可求得电路中各电流, 电压的
初始值 。
电路基础
(3) 零输入响应是激励为零, 由电路的初始储能产生的响
应, 它是齐次微分方程满足初始条件的解 。 零状态响应是电
路的初始状态为零, 由激励产生的响应, 它是非齐次微分方
程满足初始条件的解, 包含齐次解和特解两部分 。 假若电路
的初始状态不为零, 在外加激励电源作用下, 电路的响应为
完全响应, 它等于零输入响应与零状态响应之和 。
动态电路的响应也可以分为自由响应与强迫响应 。 对于
稳定电路, 在直流电源或正弦电源激励下, 强迫响应为稳态
响应, 它与激励具有相同的函数形式 。 自由响应即为暂态响
应, 它随着时间的增加逐渐衰减到零 。
零输入响应和自由响应都是满足齐次微分方程的解, 它
们的形式相同, 但常数不同 。 零输入响应的待定常数仅由输
入为零时的初始条件 yx(0+)所确定, 而自由响应的待定常数由
全响应的初始条件 y(0+)所确定 。
电路基础
(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电
源或阶跃信号作用下的电路响应 。 三要素公式为
?
t
eyyyty ?? ????? )]()0([)()(
t > 0
① 初始值 y(0+)：利用换路定律和 0+等效电路求得 。
② 稳态响应 y(∞),在直流电源或阶跃信号作用下, 电路达
到稳态时, 电容看作开路, 电感看作短路, 此时电路成为电
阻电路 。 利用电阻电路的分析方法, 求得稳态响应 y(∞)。
③ 时常数 τ,RC电路, τ=RC; RL电路, τ=L/R。 式中 R为断
开动态元件后的戴维南等效电路的等效电阻 。
电路基础
(5) 单位阶跃响应 g(t)定义为：在 ε(t)作用下电路的零状
态响应 。
(6) 对于二阶电路, 只要求了解由于其特征根 p1,p2的
取值有 3种不同的情况, 其响应分为过阻尼, 临界阻尼和
欠阻尼 。
