电路基础
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流
5.2 利用相量表示正弦信号
5.3 R,L,C元件 VAR的相量形式和
KCL,KVL的相量形式
5.4 阻抗与导纳
5.5 电路基本元件的功率和能量
5.6 正弦稳态电路中的功率
5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输
5.8 正弦稳态电路的相量分析法
5.9 三相电路概述
5.10 小结
补充
电路基础
5.1 正弦电压和电流
5.1.1 正弦量的三要素
所谓周期信号, 就是每隔一定的时间 T,电流或电压的波形
重复出现；或者说, 每隔一定的时间 T,电流或电压完成一个
循环 。 图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形, 周期信号的数学
表示式为
)()( kTtftf ??
式中 k为任何整数 。 周期信号完成一个循环所需要的时间 T称
为周期, 单位为秒 (s)。
电路基础
图 5.1-1 周期信号
电路基础
周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用 f
表示。 显然，频率与周期的关系为
Tf
1?
频率的单位为赫兹 (Hz)。 我国电力网所供给的交流电
的频率是 50 Hz,其周期是 0.02s。 实验室用的音频信号源
的频率大约从 20~20× 103Hz 左右, 相 应 的 周 期 为
0.05s~0.05 ms 左右 。
电路基础
图 5.1-2 正弦电流
电路基础
按正弦 (余弦 )规律变化的周期信号, 称为正弦交流电,
简称交流电 。 以电流为例, 其瞬时表达式为
)c o s ()( im tIti ?? ??
由于正弦信号变化一周，其相位变化了 2π弧度，于是有
????? 2)(])([ ????? ii tTt
fT ??? 22 ??
ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数, 称为角频率,
其单位是弧度 /秒 (rad/s)。 当 t=0时, 相位角为 θi,称为初相位
或初相角, 简称初相 。 工程上为了方便, 初相角 θi常用角度表
示 。
电路基础
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
)co s ()(
)co s ()(
222
111
??
??
??
??
tUtu
tUtu
m
m
它们的相位之差称为相位差，用 ψ表示，即
2121 )()( ??????? ?????? tt
两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。
电路基础
图 5.1-3 相位差
电路基础
例 5.1-1 已知正弦电流 i(t)的波形如图 5.1-4 所示, 角频率
ω=103rad/s。 试写出 i(t)的表达式, 并求 i(t)达到第一个正的最
大值的时间 t1。
图 5.1-4 例 5.1-1用图
电路基础
解 由图可知,i(t)的振幅为 100A,即
Atti i )10co s (1 0 0)( 3 ???
当 t=0 时，电流为 50A，用 t=0 代入上式，得
5.0co s
50co s1 0 0)0(
?
??
i
i
i
?
?
故
电路基础
当 ωt1=π/3时，电流达到正最大值，即
mst i 047.1103 31 ???? ????
Atti ?
?
??
?
? ??
310co s1 0 0)(
3 ?
于是
3
?? ??
i
由于 i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
电路基础
例 5.1-2 设有两频率相同的正弦电流
Atti
Atti
)40s i n (10
)60co s (5
2
1
???
???
?
?
）（
）（
问哪个电流滞后，滞后的角度是多少?
解 首先把 i2(t)改写成用余弦函数表示，即
At
ttti
)50c o s (10
)5090s i n (10)40s i n (10)(2
???
????????
?
??
????????? 110)50(6021 ???
故相位差
电路基础
5.1.3 有效值
正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通
过两个阻值相等的电阻 。 如果在相同的时间 T内 (T可取为正
弦信号的周期 ),两个电阻消耗的能量相等, 那么, 我们称
该直流电的值为正弦信号的有效值 。
当直流电流 I流过电阻 R时, 该电阻在时间 T内消耗的电
能为
RTIW 2??
电路基础
当正弦电流 i流过电阻 R时，在相同的时间 T内，电阻消
耗的电能为
dttRidttpW T T )()(
0 0
2
~ ? ???
上式中 p(t) 表 示 电 阻 在 任 一 瞬 间 消 耗 的 功 率, 即
p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。 根据有效值的定义, 有
dttRiRTI
WW
T
)(
0
22
~
??
? ?
电路基础
??
T
dtti
T
I
0
2 )(1
故正弦电流的有效值为
正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均
值再取平方根, 故有效值也称为均方根值 。
类似地，可得正弦电压的有效值为
??
T
dttu
T
U
0
2 )(1
(5.1-5)
电路基础
将正弦电流的表达式
)c o s ()( im tIti ?? ??
代入 (5.1-5)式,得正弦电流的有效值为
mm
T
i
m
T
im
II
dtt
I
T
dttI
T
I
707.0
2
1
)](2c o s1[
2
1
)(c o s
1
0
2
0
22
??
???
??
?
?
??
??
电路基础
同理，可得正弦电压的有效值
mm UUU 707.02
1 ??
必须指出, 交流测量仪表指示的电流, 电压读数一般都是
有效值 。
引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
)c o s (2)c o s ()(
)c o s (2)c o s ()(
uum
iim
tUtUtu
tItIti
????
????
????
????
电路基础
5.2 利用相量表示正弦信号
一个复数既能表示成代数型, 也能表示成指数型 。 设
A为一复数, a1和 a2分别为其实部和虚部, 则
?jaejaaA ??? 21
代数型 指数型
式中 a称为复数 A的模； φ称为复数 A的辐角。
电路基础
图 5.2-1 复数的图示
电路基础
?
?
?
??
?
?
?
??
1
2
2
2
2
1
a
a
a r ct g
aaa
?
??
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
2
1
aa
aa
]I m [],R e[ 21 AaAa ??
实部 a1和虚部 a2也表示为
和
??? aA
电路基础
5.2.1 利用相量表示正弦信号
假设某正弦电流为
??
??
? s i nco s
)co s ()(
je
tIti
j
im
??
??
根据欧拉公式
可以把复指数函数 Im e j(ωt+θi)展开成
)s i n ()c o s ()( immtjm tjItIeI ii ?????? ?????
)co s (]R e[)( )( imtjm tIeIti i ???? ??? ?
(5.2-3)
电路基础
]R e[
][]R e[)(
)(
tj
m
j
me
tj
m
eI
eeIReIti tjii
?
??? ?
?
?
?
??
式中
ijmm eII ???
把式 (5.2-3)进一步写成
电路基础
图 5.2-2 相量图
电路基础
)co s ( 1 im tI ?? ?
]R e[)( tjm eIti ???
]R e []R e [
]R e [)c o s (
)(
tj
m
tjj
m
tj
mum
eUeeU
eUtUu
u
u
???
??
??
???
???
?
um
j
mm UeUU u ?
? ??? ??
电路基础
图
5.
2-
3
旋
转
相
量
及
其
在
实
轴
上
的
投
影
电路基础
例如, 已知角频率为 ω的正弦电流的相量,
那么该电流的表达式为
AeI jm ?? 305?
Atti )30c o s (5)( ??? ?
若已知正弦电压 u=10cos(ωt-45° ) V,则电压相量为
VeU jm ????? ?? 451010 45?
电路基础
相量也可以用有效值来定义,即
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
u
m
u
j
i
m
i
j
U
UUeU
I
IIeI
u
i
??
??
?
?
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
UU
II
??
??
2
1
2
1
电路基础
5.2.2 几个定理
1,定理 1
如果 K是一个实常数,A(t)是任何实变数 t的复函数，则
)]([)](R e [ tAK P etKA ?
证明 设
)](R e[)()](R e[
)()()(
)()()(
1
21
21
tAktKatKA
tjKatKatKA
tjatatA
??
??
??
则
故
电路基础
2,定理 2
如果 A(t)和 B(t)是任何实变数 t的复函数，则
)](R e [)](R e [)]()(R e [ tBtAtBtA ???
)](R e [)](R e [)()()]()(R e [
),()()(),()()(
11
2121
tBtAtbtatBtA
tjatbtBtjatatA
?????
????
证明
设
则
电路基础
3,定理 3
设相量
?jAeA ??, 则
]R e [)(Re)][ R e ( tjtjtj eAjeA
dt
deA
dt
d ??? ? ??? ?
??
?
??
??
? ?)R e ()][ R e ( )( ??? ?? tjtj AedtdeAdtd ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
?
)(Re
]R e []R e [
)s i n ()]c o s ([
tj
tjtj
eA
dt
d
eAjAej
tAtA
dt
d
?
???
??
?????
?
?）（
电路基础
4,定理 4
设 和 为相量,ω为角频率。如果在所有时刻都满足A? B?
]R e []R e [ tjtj eBeA ?? ?? ?
则
BA ?? ?
电路基础
电路基础
例 5.2 – 1 电路如图 5.2 - 4(a)所示, 已知电流 i1和 i2分别为
Atti
Atti
)1.53c os (10)(
)9.36c os (5)(
2
1
???
???
?
?
图 5.2 – 4 例 5.2 - 1用图
电路基础
电路基础
5.3 R,L,C元件 VAR
和 KCL,KVL的相量形式
5.3.1 R,L,C元件 VAR的相量形式
1,电阻元件
假设电阻 R两端的电压与电流采用关联参考方向, 如图
5.3 - 1 所示 。 设通过电阻的正弦电流为
)c o s ()( im tIti ?? ??
电路基础
5.3-1 电阻元件
电路基础
对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧
姆定律，即
)c o s ()c o s ()()( umim tUtRItRitu ???? ?????
?
?
?
?
?
iu
mm RIU
??
电阻上的正弦电流和电压用相量表示为
]R e[)co s ()( tjmim eItIti ??? ????
]R e [)c o s ()( tjmum eUtUtu ??? ????
电路基础
ujmmijmm eUUeII ?? ?? ??,
根据欧姆定律，有
]R e []R e [ tjmtjm eIReU ?? ?? ?
]R e[]R e[ tjmtjm eIeU ?? ?? ?
IRU
IRU mm
??
??
?
?
iu jmjm eRIeU ?? ?
iu
RUm
?? ?
? Im
电路基础
图 5.3-2 电阻元件的电流、电压波形和相量图
电路基础
2,电感元件
设有一电感 L,其电压, 电流采用关联参考方向, 如图
5.3-3(a)所示, 当通过电感的电流为
)c o s ()( im tIti ?? ??
)s i n ()( im tLIdtdiLtu ??? ????
)co s (
)90co s (
um
im
tU
tLI
??
???
??
????
电路基础
图 5.3-3 电感元件
电路基础
电路基础
??
?
?
?
???
?
90iu
mm LIU
??
?
L
m
m XL
I
U
I
U ??? ?
它们振幅之间的关系为
式中 XL=ωL=2πfL具有电阻的量纲, 称为感抗 。 当 L的单位
为 H,ω的单位为 rad/s时, XL单位为 Ω 。
电路基础
对于一定的电感 L,当频率越高时, 其所呈现的感抗
越大；反之越小 。
]R e [)c os ()(
]R e [)c os ()(
tj
mum
tj
mim
eUtUtu
eItIti
?
?
??
??
?
?
???
???
ujmmijmm eUUeII ?? ?? ??,
式中
dt
diLu ?根据
]R e []R e [ tjmtjm eIdtdLeU ?? ?? ?
]R e[]R e[ tjmtjm eILjeU ?? ? ?? ?
电路基础
Lj
I
U
I
U
IjXU
IjXILjU
m
m
L
mLmm
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
???
(5.3-6)
因为 (5.3-6)式可以写成
)90( ???? iiu j
m
j
m
j
m eLIeLIjeU
??? ??
???? 90,iumm LIU ???
电路基础
图 5.3-5 电感元件的电流、电压波形图
电路基础
3,电容元件
图 5.3-6 电容元件
电路基础
当电容两端的电压为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
时，通过电容的电流
)c o s (
)90c o s (
)s i n (
im
um
um
tI
tCU
tCU
dt
du
Ci
??
???
???
??
????
????
??
?
?
?
???
?
90ui
mm CUI
??
?
电路基础
通过电容的电流与电容电压是相同频率的正弦量, 而且
电流的相位超前电压 90° 。 它们振幅之间的关系为
fCC
X
X
CI
U
I
U
C
C
m
m
??
?
2
11
1
??
???
具有电阻的量纲, 称为容抗 。 当 C的单位为 F,ω的单
位为 rad/s时, XC的单位为 Ω。
当电容 C一定时，频率越高，其所呈现的容抗越小；反
之越大。
电路基础
图 5.3-7 XC的频率特性曲线
电路基础
电容电压和电流可用相量表示为
]R e [)c os ()(
]R e [)c os ()(
tj
mim
tj
mum
eItItu
eUtUtu
?
?
??
??
?
?
???
???
iu jmmjmm eIIeUU ?? ?? ??,
式中,根据
dt
duCi ?
]R e []R e [ tjmtjm eUdtdCeI ?? ?? ?
]R e[]R e[ tjmtjm eUCjeI ?? ? ?? ?
上式可写成
电路基础
?
?
?
?
?
??
????
?
IjXU
IjXI
C
jU
UCjI
C
mCmm
mm
??
???
??
?
?
1
根据节 5.2 中定理 4,可得
或
（ 5.3-11）
因为 (5.3-11)式可以写成
)90(11 ????? ii j
m
j
mum eICeICjejU
??
???
故
???? 90,1 iumm ICU ???
电路基础
图 5.3-8 电容元件的电流、电压波形图
电路基础
5.3.2 KCL,KVL的相量形式
对于任意瞬间,KCL的表达式为
0?? i
电路基础
图 5.3-9 流向节点 A的电流分布
对于图 5.3-9 所示的节点 A 有
0321 ????? iiii
电路基础
0]R e[]R e[]R e[ 321 ??? tjmtjmtjm eIeIeI ??? ???
0])R e[ ( 321 ??? tjmmm eIII ????
0321 ??? mmm III ???
对于任意节点，则有
0
0
??
??
I
I m
?
?
流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。
电路基础
同理可得 KVL的相量形式为
0?? mU?
0?? U?
或
它表明, 在正弦稳态电路中, 沿任意闭合回路绕行一
周, 各支路电压相量的代数和恒等于零 。
电路基础
例 5.3-1图 5.3-10(a)所示 RL串联电路 。 已知 R=50Ω,
L=25μH,us(t)=10cos106tV。 求电流 i(t),并画出相量图 。
图 5.3-10 例 5.3-1用图
电路基础
解 激励 us(t)的相量为
?? 010 jsm eU?
LmRmsm UUU ??? ??
Atti
A
jjXR
U
I
IjXRIjXIRU
LX
IjXUIRU
L
sm
m
mLmLmsm
L
mLLmmRm
)6.2610c o s (1 7 9.0)(
6.261 7 9.0
6.269.55
10
2550
010
)(
25102510
,
6
66
???
????
??
?
?
??
?
?
?
????
??????
??
?
?
?
????
????
?
电路基础
例 5.3-2 RC并联电路如图 5.3-11(a)所示 。 已知 R=5Ω,
C=0.1 F,us(t)= 10cos2t V。 求电流 i(t)并画出相量图 。
2
图 5.3-11 例 5.3-2用图
电路基础
解 电压源 us的有效值相量为
VU s ??? 010?
????? 51.02 11CX C ?
CR III ??? ??
Atti
AjI
Aj
jjX
U
I
A
R
U
I
C
s
C
s
R
)452c o s (4)(
452222
2
5
010
202
5
010
???
?????
?
?
??
?
?
?
????
??
??
?
?
?
?
?
电路基础
5.4 阻 抗 与 导 纳
5.4.1 阻抗与导纳
图 5.4-1
电路基础
端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用 Z表示
I
U
Z
I
U
Z
m
m
?
?
?
?
?
?
可改写成
IZU
IZU mm
??
??
?
?
电路基础
如果无源二端网络分别为单个元件 R,L和 C,则它们相
应的阻抗分别为
CjZLjZRZ ??
1,,???
把阻抗的倒数定义为导纳，并用 Y表示,即
U
I
U
I
Y
Z
Y
m
m
?
?
?
?
??
?
1
(5.4-4)
电路基础
导纳 Y的单位是西门子 (S)。 当无源二端网络分别为单个元件
R,L和 C时, 它们相应的导纳分别为
C
L
jBCjY
jB
L
j
Lj
Y
G
R
Y
??
?????
??
?
??
11
1
式中 G为电导, 和 BC=ωC分别称为感纳和容纳,
单位为西门子 (S)。 L
BL ?1?
(5.4-4)式也可改写为
UYI
UYI mm
??
??
?
?
电路基础
5.4.2 RLC串联电路
图 5.4-2 RLC串联电路及其相量模型
电路基础
设电路中的电流为
)c o s (2)( ititi ?? ??
ijIeI ???
CLR UUUU ???? ???
根据 R,L,C元件的 VAR,有
C
XLX
IjXUIjXUIRU
CL
CCLLR
?
?
1
,
,,
??
???? ??????
电路基础
I
U
Z
IZIXXjR
IjXIjXIRU
CL
CL
?
?
??
????
?
????
???
)]([
jXRXXjRZ CL ????? )(
阻抗 Z也可写成极坐标形式,即
Zzj ZeZjXRZ ?? ?????
式中 |Z|和 φZ分别称为阻抗模和阻抗角。
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
Z
Z
Z
ZX
ZR
R
X
a r ct g
XRZ
?
?
?
s in
c o s
22
Ziu
i
u jj
j
j
ZeeIUIeUeIUZ ????
?
???? ? )(??
?
?
?
?
?
??
??
iuZ
m
m
I
U
I
U
Z
???
电路基础
阻抗模等于电压相量 与电流相量 的模值之比, 阻
抗角等于电压相量 超前电流相量 的相位角 。 若 φZ>0，
表示电压相量 超前电流相量 ； 若 φZ<0,表示电压相
量 滞后电流相量 。
U? I?
U? I?
U? I?
I?U?
由于电抗
CLXXX CL ??
1????
与频率有关，因此，在不同的频率下，阻抗有不同的特性。
电路基础
图 5.4-3 RLC串联电路的相量图
电路基础
电路基础
电路基础
5.4.3 GCL并联电路
图 5.4-5 GCL并联电路的相量模型
电路基础
CBLB CL ?? ??,1
LCG
j
IIII
UeU u
????
?
???
? ?
UjBUYI
UjBUYI
UGI
LLL
CCC
G
???
???
??
???
??
?
电路基础
U
I
Y
UYUBBjGUjBUjBUGI LCLC
?
?
??????
?
??????? )]([
yj
LC
eYjBGY
jBGBBjGY
?
???
????? )(
?
?
?
?
?
?
??
G
B
a r c tg
BGY
y?
22
电路基础
??
?
?
?
?
?
y
y
YB
YG
?
?
s in
c o s
导纳模 |Y|,导纳角 φy与电压, 电流 的关系为
U? I?
yui
u
i jj
j
j
eYeUIUeIeUIY ????
?
???? ? )(?
?
?
?
?
?
?
????
??
Zuiy
ZU
I
Y
????
1
导纳模等于电流 与电压 的模值之比。I? U?
导纳角等于电流 与电压 的相位差。I? U?
电路基础
例 5.4-2 有一个 RCL并联电路, 已知 R=10 Ω,C=0.5μF,
L=5μH,正弦电压源的电压有效值 U=2V,ω=106 rad/s。 求
总电流 并说明电路的性质 。
解 电路的导纳为
s
L
B
sCB
s
R
G
BBjGY
L
C
LC
2.0
10510
11
5.0105.010
1.0
1
)(
66
66
?
??
??
?????
??
???
?
?
?
?
电路基础
AUYI
VU
sjjY
????
???
????????
56.716 3 2.0
02
56.713 1 6.03.01.0)2.05.0(1.0
??
?
导纳角 φY=71.56°, 表示电流 超前电压 为 71.56° 。 因
此, 电路呈电容性 。
I? U?
电路基础
5.4.4 阻抗和导纳的串、并联
若有 n个阻抗相串联，它的等效阻抗为
U
Z
Z
U
jXRZZ
n
k
k
i
i
n
k
n
k
kkk
??
?
? ?
?
? ?
?
???
1
1 1
)(
分压公式为
为 n个串联阻抗的总电压相量； 为第 i个阻抗上的电压相量。U?
iU?
电路基础
若有 n个导纳相并联，它的等效导纳为
??
??
???
n
k
kk
n
k
k jBGYY
11
)(
I
Y
Y
I n
k
k
i
i
??
?
?
?
1
分流公式为
为通过任一导纳 Yi的电流相量； 为总电流相量。
iI?
I?
电路基础
若两个阻抗 Z1和 Z2相并联，则等效阻抗为
21
21
ZZ
ZZZ
?
?
分流公式为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
I
ZZ
Z
I
I
ZZ
Z
I
??
??
21
1
2
21
2
1
电路基础
例 5.4-3 RL串联电路如图 5.4-6 所示 。 若要求在
ω=106rad/s时, 把它等效成 R′L′并联电路, 试求 R′和 L′的大
小 。
图 5.4-6 例 5.4-3 用图
电路基础
解
电路基础
例 5.4-4 电路如图 5.4-7(a)所示 。 其中
求电流 i(t),iL(t)和 iC(t)。
tVtu s 0005c o s102)( ?
图 5.4-7 例 5.4-4用图
电路基础
图 5.4-8 例 5.4-4解题图
电路基础
解 VU
s ??? 010?
????? kLX L 510005?
?????? ? kCX C 2101.00 0 05 11 6?
电路基础
电路基础
例 5.4-5 电路如图 5.4-9(a)所示 。 已知 R1=30 Ω,R2=100Ω,
C=0.1μF,L=1mH,。 求电压 u(t)
和 ab两端的等效阻抗 Zab。
Atti )6010co s (2.02)( 52 ???
图 5.4-9 例 5.4-5 用图
电路基础
解
?????? ? 10010110 35LX L ?
?????? ? 1 00101.010 11 65CX C ?
电路基础
电路基础
5.5 电路基本元件的功率和能量
图 5.5-1 电阻元件的瞬时功率波形
电路基础
设电压 u(t)为
)c o s (
)(
)(
)c o s ()(
um
um
tI
R
tu
ti
tUtu
??
??
???
??
)(2c o s
)](2c o s
2
1
2
1
)](2c o s1[
2
1
)(c o s)()()(
2
u
ummmm
umm
umm
tUIUI
tIUIU
tIU
tIUtitutp
??
??
??
??
???
???
???
???
电路基础
瞬时功率在一周期内的平均值，称为平均功率。用 P表示，即
?? T dttpTP 0 )(1
RI
R
U
UIP
RI
R
U
IUP
m
m
mm
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
???
???
或用有效值表示为
平均功率也称为有功功率 。 通常, 我们所说的功率都是指
平均功率 。 例如, 60W灯泡是指灯泡的平均功率为 60 W。
电路基础
设电感电压 u为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
电感电流 i滞后电压 90°,即
L
U
X
U
I
tItIti
m
L
m
m
umum
?
????
??
?????? )s i n ()90co s ()(
)(2s i n
)(2s i n
2
1
)s i n ()c o s ()()()(
u
umm
uumm
tUI
tIU
ttIUtitutp
??
??
????
??
??
????
电路基础
电感贮存的磁能为
)(s i n2121 222 umL tLILi ??? ???
利用三角公式 sin2 X=(1-cos2X)/2,上式可改写成
)(2c o s
2
1
2
1
)(2c o s
4
1
4
1
)](2c o s1[
4
1
22
22
2
u
umm
umL
tLILI
tLILI
tLI
??
??
???
???
???
???
2
0 2
11 LIdt
TW
T
LL a v ?? ? ?
电路基础
图 5.5-2 电感的瞬时功率和能量的波形
电路基础
当 t=T/4 时，电感的贮能达到最大值
LILI mL 22m a x
2
1 ???
电感是不消耗能量的, 它只是与外电路或电源进行能量
交换, 故平均功率等于零 。
? ??
T
dttp
T
P
0
0)(1
电路基础
图 5.5-3 电容的瞬时功率和能量波形
电路基础
设电容电压 u为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
m
C
m
m
umum
CU
X
U
I
tItIti
?
????
??
??????? )s i n ()90co s ()(
)(2s i n
)(2s i n
2
1
)s i n ()c o s ()()()(
u
umm
uumm
tUI
tIU
ttIUtitutp
??
??
????
???
???
?????
电容的瞬时功率为
电路基础
)(c o s2121 222 umC tCUCu ??? ???
电容贮存的电能为
2
2c o s1c o s 2 xx ??
)(2c o s
2
1
2
1
)(2c o s
4
1
2
1
22
22
u
umC
tCUCu
tCUCu
??
???
???
???
利用三角公式
上式可改写成
电容的平均贮能为
2
2
1 CUW
C av ?
电路基础
在 (0~T/4)期间,u>0,i<0,故 p<0,电容供给功率 。 在此
期间, 电容电压由最大值逐渐减少到零, 电容把贮存的电能
全部供给了外电路或电源 。 当 t=T/4 时, 电容的贮能 wC=0。
在 (T/4~T/2)期间,u<0,i<0,故 p>0,电容吸收功率 。 这时,
电容反向充电, 电容电压由零逐渐达到负的最大值, 电容从
外电路或电源获得能量并贮存在电场中 。 当 t=T/2时, 电容的
存贮能量达到最大值
22
m a x 2
1 CUCUw
mC ??
电容也不消耗能量, 只是与外电路或电源进行能量交换,
故平均功率也等于零 。
? ?? T dttpTP 0 0)(1
电路基础
例 5.5-1 电路如图 5.5-4(a)所示, 已知,
求电阻 R1,R2消耗的功率和电感 L,电容 C的平均贮能 。
tVtu s 5c o s102)( ??
图 5.5-4 例 5.5-1 用图
电路基础
解
??
?
??
?????
4
05.05
11
515
C
X
LX
C
L
?
?
VU s ??? 010?
VjIjXU
A
j
U
I
A
j
U
I
CC
s
s
???????????
???
???
??
?
?
?
????
??
??
?
?
?
9.3681.53242
1.532
1.535
010
43
4541.1
4507.7
010
55
2
1
??
?
?
?
?
电路基础
JCUW
JLIW
WRIP
WRIP
C a v
vL
6.16405.0
2
1
2
1
121
2
1
2
1
1232
10541.1
2
1
2
1
2
2
2
12
2
1
2
11
?????
?????
????
????
?
电路基础
5.6 正弦稳态电路中的功率
5.6.1 二端电路的功率
图 5.6-1 二端电路的瞬时功率波形
电路基础
设端口电压为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
电流 i是相同频率的正弦量，设为
)c o s ()( im tIti ?? ??
)c o s ()c o s ()()()( iumm ttIUtitutp ???? ????
2
)c o s ()c o s (c o sc o s yxyxyx ????
)2c o s ()c o s (
)2c o s (
2
1
)c o s (
2
1
)(
iuiu
iummiumm
tUIUI
tIUIUtp
?????
?????
?????
?????
电路基础
当 u>0,i>0或 u<0,i<0 时, 二端电路吸收功率, p>0；当
u>0,i<0或 u<0,i>0 时, 二端电路供给功率, p<0。 这表明
二端电路中的动态元件与外电路或电源进行能量交换 。
在一周期内，二端电路吸收的功率大于供给的功率。
二端电路的平均功率不为零,即
)c o s (
)c o s (
2
1
)(
1
0
iu
T
iumm
UI
IUdttp
T
P
??
??
??
??? ?
电路基础
图 5.6-2 无源二端电路可以等效为阻抗
电路基础
电压与电流的相位差等于阻抗角,即
iuZ ??? ??
ZZmm UIIUP ?? c o sc o s2
1 ??
阻抗的平均功率不仅与电流, 电压的振幅 (或有效值 )大
小有关, 而且与 cosφZ有关 。 cosφZ称为功率因数, 通常用 λ
表示, 故阻抗角 φZ也称为功率因数角 。
当阻抗为电阻性时, φZ=0,cosφZ=1,。 当
阻抗为纯电感或纯电容性时, φZ=± 90°, cosφZ=0,P=0。UI
IUP mm ??
2
电路基础
把 UmIm/2 或 UI称为视在功率, 用 S或 PS表示 (本书为与复
功率区分, 采用 PS作为视在功率符号 ),即
UIIUP mmS ?? 21
视在功率的单位为伏安 (V·A) 。
电路基础
5.6.2 无功功率和复功率
二端电路 N的无功功率 Q(或 PQ)定义为
)s i n ()s i n (21 iuiumm UIIUQ ???? ????
其单位为伏安 (V·A) 。
设二端电路的端口电压与电流的相量图如图 5.6-3 所示 。
电流相量 分解为两个分量：一个与电压相量 同相的分
量 ; 另一个与 正交的分量 。 它们的值分别为
I? U?
xI? U? xI?
)s in (
)co s (
iuy
iux
II
II
??
??
??
??
(5.6-5)
电路基础
图 5.6-3 端口电压、电流相量图
电路基础
二端电路的有功功率看作是由电流 与电压 所产生的,即
xI? U?
)c o s ( iux UIUIP ?? ???
无功功率看作是由电流 与电压 产生的,即
yI? U?
)s i n ( iuy UIUIQ ?? ???
当二端电路不含独立源时,φZ=θu-θi,(5.6-5)式可写为
ZUIQ ?s in?
当电路 N是纯电阻时, φZ=0,QR=0；当电路 N是电感时,
φZ=90°,QL=UI; 当电路 N是电容时, φZ=-90°,QC=-UI。
电路基础
工程上为了计算方便, 把有功功率作为实部, 无功功率
作为虚部, 组成复功率, 用 S表示, 即
jQPS ??
)(
)]s i n ()[ c o s (
)s i n ()c o s (
iuj
iuiu
iuiu
eS
jUI
j U IUIS
??
????
????
?
?
????
????
22 QPS ??
若二端电路 N不含独立源,φZ=θu-θi,则
ZjeSjQPS ????
电路基础
图 5.6-4 功率三角形
电路基础
iuiu jjj IeUeU I eS ???? ?? ?? )(
ijIeI ???*?
*
*
2
1
mm IUS
IUS
??
??
?
?
如果二端电路的独立源为零, 且支路数为 m,那么, 无
源二端电路的有功功率, 无功功率和复功率分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
k
k
m
k
k
m
k
k
SS
QQ
PP
1
1
1
电路基础
图 5.6-5 例 5.6-1 用图
例 5.6-1 电路如图 5.6-5 所示 。 已知 R1=6Ω,R2=16Ω,XL=8Ω,
XC=12 Ω,=20∠ 0° V。 求该电路的平均功率 P,无功功率 Q、
视在功率 PS和功率因数 。
U?
电路基础
解 设 R1L串联支路的阻抗为
???????? 1.53108611 jjXRZ L
????????? 9.3620121622 jjXRZ C
R2C串联支路的阻抗为
各电流相量分别为
电路基础
89.0c o s ?Z?
21
21
QQQ
PPP
??
??
电路基础
例 5.6-2 某输电线路的相量模型如图 5.6-6 所示 。 输电线的
损耗电阻 R1和等效感抗 X1为,Z2为感性负载, 已知其
消耗功率 P=500kW,Z2两端的电压有效值 U2=5 500V,功率因数
cosφZ2=0.91。 求输入电压的有效值 U和损耗电阻 R1消耗的功率 。
图 5.6-6 例 5.6-2 用图
??? 611 XR
电路基础
解 设负载两端电压 为参考相量。即
2U?
电路基础
电路基础
例 5.6-3 图 5.6-7(a)所示电路为日光灯简图 。 图中 L为铁
芯电感, 称为镇流器 (扼流图 )。 已知 U=220V,f=50Hz,日光
灯功率为 40W,额定电流为 0.4 A。
(1) 电感 L和电感上的电压 UL;
(2) 若要使功率因数提高到 0.8,需要在日光灯两端并
联多大的电容 C。
电路基础
图 5.6-7 例 5.6-3用图
电路基础
解 (1) 求 L和 UL。
电路基础
(2) 求并联电容的电容量 C。
CL
L
III
II
???
??
??
?
设电压为参考相量
VU ??? 0220?
AI L ???? 634.0?
8.0c o s ?Z?
??? 9.36'Z?
电路基础
AU PI
Z
2 2 7.08.02 2 0 40co s ' ???? ?
输电线电流为
电路基础
5.7
图 5.7-1
电路基础
由图可知，电路中的电流为
)()( LiLi
s
Li
s
XXjRR
U
ZZ
UI
???
?
?
?
???
22 )()(
LiLi
s
XXRR
UI
???
?
22
2
52
)()( LiLi
L
LL XXRR
RURIP
?????
负载吸收的功率
电流的有效值为
电路基础
若 RL保持不变, 只改变 XL,当 Xi+XL=0 时,PL获得最大值
2
2
)( Li
Ls
L RR
RUP
??
iL
LiLLi
Li
LiLL
s
L
L
RR
RRRRR
RR
RRRRRi
U
dR
dP
?
????
?
?
???
?
0)(2)(
0
)(
)(2)(
2
4
2
2
??
?
?
?
?
??
iL
iL
RR
XX
当负载电阻和电抗均可变时，负载吸收最大功率的条件为
电路基础
即
*iL ZZ ?
当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时, 负载能获
得最大功率, 称为最大功率匹配或共轭匹配 。
i
sm
i
s
L R
U
R
UP
42
1
4
2
m a x ??
iLi
s
Li
s
jXRR
U
RZ
UI
????? )(
???
22)(
iLi
s
XRR
UI
??
?
电路基础
负载吸收的功率为
22
2
2
)( iLi
Ls
LL XRR
RURIP
????
当 RL改变,PL获得最大值的条件是
iiiL
LiLiLi
iLi
LiLiLi
s
L
L
ZXRR
RRRXRR
XRR
RRRXRR
U
dR
dP
???
?????
??
????
?
22
22
222
22
2
0)(2)(
])[(
)(2)(
当负载阻抗为纯电阻时, 负载电阻获得最大功率的条
件是负载电阻与电源的内阻抗模相等 。
电路基础
例 5.7-1 电路如图 5.7-2 所示, 其中 R和 L为电源内部损
耗和电感 。 已知 R=5Ω,L=50 μH,us= ·10cos105t V。
(1) 当 RL=5Ω时, 试求其消耗的功率 。
(2) 当 RL等于多大时, 能获得最大功率? 最大功率等于
多少?
(3) 若在 RL两端并联一电容 C,问 RL和 C等于多大时,
能与内阻抗共轭匹配? 并求负载吸收的最大功率 PLmax。
2
电路基础
图 5.7-2 例 5.7-1用图
电路基础
解 电源内阻抗为
????????? ? 551050105 65 jjjXRZ Li
(1) 当 RL=5Ω时，电路中的电流为
A
jjRZ
U
I
Li
s
????
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
?
6.2689.0
6.2618.11
010
510
010
555
010??
WRIR LL 4589.0 22 ????
负载 RL消耗的功率为
电路基础
(2) 当 时能获得最大功率,即
22 LL XRR ??
???? 07.755 22LR
A
jjRZ
U
I
Li
s
????
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
?
5.227 6 6.0
5.2206.13
010
507.12
010
07.755
010??
WRIP LL 15.407.7766.0 22 ????
电路基础
(3) 当负载与内阻抗共轭匹配时,能获得最大功率。 由
图可知，负载导纳为
CjRY
L
L ???
1
2)(1)(1
11
11
2
2
L
L
L
L
L
L
L
L
L
CR
CR
j
CR
R
CRj
R
Cj
R
Y
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
?
?
?
根据 ZL=Z*i=5-j5，得
电路基础
由上式解得
FCR L ?1,10 ???
A
ZZ
UI
Li
s 1
10
010 ????
?
?
??
负载吸收最大功率为
W
R
U
P
WZIP
i
s
L
LL
5
54
10
4
551]R e [
22
m a x
2
m a x
?
?
??
????
电路基础
5.8 正弦稳态电路的相量分析法
5.8.1 网孔法
例 5.8-1 电路的相量模型如图 5.8-1 所示, 求电流 和
1I? 2I?
图 5.8-1 例 5.8-1 用图
电路基础
电路基础
5.8.2
例 5.8-2 电路的相量模型如图 5.8-2所示。求各节点的
电压相量。
图 5.8-2 例 5.8-2 用图
电路基础
解
?????
?
?
??
?
?
?
???
????
?
?
??
?
?
????
05.1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
32
321
V
j
V
VV
j
V
??
???
电路基础
5.8.3 等效电源定理
例 5.8-3 电路的相量模型如图 5.8-3(a)所示, 试问负载阻
抗 ZL为何值时能获得最大功率? 最大功率 PLmax是多少?
图 5.8-3 例 5.8-3 用图
电路基础
解 将负载 ZL断开, 电路如图 (b)所示 。
电阻与电感并联的阻抗为
VIZU
j
j
j
Z
sRLoc
RL
???????????
???????
?
?
?
4510024552
554552
1010
1010
??
W
R
U
P
jjXRZZ
jjZZ
L
oc
L
LLL
RL
5
54
10
4
35
358
22
m a x
*
0
0
?
?
??
??????
?????
电路基础
例 5.8-4 电路如图 5.8-4(a)所示。
tVttu s ?? 2c o s102c o s10215)( ?????
式中 ω=103 rad/s。求 ab两端的输出电压 u(t)。
图 5.8-4 例 5.8-4 用图
电路基础
tVu
tVu
Vu
uuutu
s
s
s
ssss
?
?
2c o s102
c o s102
15
)(
3
2
1
321
??
??
?
???解 电源 u
s(t)可以看作是 3 个电源叠加而成的，即
(1) us1作用于电路。
Vutu s 15)( 11 ??
电路基础
电路基础
(3) us3作用于电路。
电路基础
例 5.8-5 电路的相量模型如图 5.8-5 所示 。 已知 R=3Ω,
XC=4Ω,XL=4Ω,电容电压的有效值 UC=20V,求电流有效值 I。
图 5.8-5 例 5.8-5 用图
电路基础
解 设电容电压 为参考相量，即
VU C ??? 020?
CU?
?????????
?
?
??
?
?
?
1.53543
5
4
020
1
1
jjXRZ
Aj
jjX
U
I
C
C
C
?
?
AjjIII
Aj
jjX
U
I
VIZU
L
????????
??????
??
??
????
075.3575.35
575.31.5325.6
4
9.3625
9.3625
21
2
11
???
?
?
??
电路基础
例 5.8-6 电路如图 5.8-6(a)所示 。 已知 C=0.02F,L=1H，
,)905c o s (2 AtiC ???
电路消耗的功率 P=10 W，试求电阻 R和电压 uL。
图 5.8-6 例 5.8-6 用图
电路基础
解
????
?
????????
??
?
??
?????
10
10
100
010110
10
02.05
11
515
2
2
P
U
R
R
U
P
VjjIjXU
C
X
LX
C
C
CCC
C
L
??
?
?
电路基础
通过电阻的电流相量为
Vtu
VjIjXU
AjIII
A
R
U
I
L
LL
CR
C
R
)1355c o s (10
135524525
45211
01
10
010
???
?????????
???????
???
??
??
??
???
?
?
根据 KCL得
电路基础
5.9 三相电路概述
图 5.9-1 三相电源
电路基础
这三个相电压的瞬时表示式为
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
)240c o s (2)(
)120c o s (2)(
c o s2)(
tUtu
tUtu
tUtu
pc
pb
pa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
????
???
1 2 02 4 0
1 2 0
0
ppc
pb
pa
UUU
UU
UU
?
?
?
电路基础
图 5.9-2 对称三相电压相量图
电路基础
5.9.1 三相电源的连接
图 5.9-3 三相电源的 Y形连接
电路基础
由图 5.9 - 3(a)可知,3 个线电压相量分别为
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
acca
cbbc
baab
UUU
UUU
UUU
???
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???????????
303
2
3
2
3
2
3
2
1
1200
pp
ppppab
UUj
UjUUUU ?
???
????
1 5 03
903
pca
pbc
UU
UU
?
?
电路基础
电路基础
若相电压是对称的, 则线电压也是对称的, 而且线电压的有
效值 (振幅 )是相电压的 倍 。 设线电压的有效值为 Ul,即3
pl UU 3?
在三相电压组成的闭合回路中，回路中的总电压为
0??? cba UUU ???
其相量图如图 5.9-5(a)所示 。 如果将某一电压源接反了,
例如电压源 uc,将 z与 y,c与 a相接, 这时闭合回路中的总电
压为
cpjjpcba UUeeUUUU ???? 2602)1( 1 2 01 2 0 ??????????? ???
电路基础
电路基础
5.9.2 三相电路的计算
图 5.9-6 对称三相四线制
电路基础
设负载阻抗 Z=|Z|∠ φZ,由于图 5.9-6 的电路只有两个节点,
因而用节点法分析较为方便 。 设 0为参考节点, 节点 0′到 0
的电压为, 列出节点方程为
0'0U?
Z
UUU
Z
U
Z
U
Z
U
U
ZZZZ
cba
cba
???
???
?
??
?
?????
?
?
??
?
?
???
0'0
0
1111
0??? cba UUU ???
00'0 ?U?
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???
?
??
??
1 2 0
1 2 0
0
Z
pc
c
Z
pb
b
Z
p
Z
pa
a
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ZZ lllppp IUIIUPP ?? c o s3c o s33 ???
ZZ l
l
ppp I
UIUP ?? c o s
3
c o s ??
电路基础
图 5.9-7 负载的△形连接
电路基础
设线电压为
???
????
???
1 2 0
1 2 0
0
lca
lbc
lab
UU
UU
UU
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
???
?
??
??
1 2 0
1 2 0
0
Zp
ca
ca
Zp
bc
bc
Zp
Z
lab
ab
I
Z
U
I
I
Z
U
I
I
Z
U
Z
U
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
电路基础
相电流是对称的, 其有效值 。 线电流为
Z
UI l
p ?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
??????????????
903
1 5 03
3031 2 0
Zpbccac
Zpabbcb
ZpZpZpcaaba
IIII
IIII
IIIIII
?
?
???
???
???
???
pl II 3?
Zppp IUP ?co s?
ZZ llppp IUIUPP ?? c o s3c o s33 ???
电路基础
例 5.9-1 对称三相三线制的线电压为 380V,每相负载阻抗
为 Z=10∠ 53.1° Ω,求负载为 Y形和 △ 形连接时的电流和三相
功率 。
解 正弦稳态电路中, 如不加说明, 电流, 电压的大小都
是指有效值 。
(1) 负载为 Y形连接时，电路如图 5.9-8(a)所示。相电压的
有效值为
VUU lp 22033803 ???
A
Z
U
I
VU
a
a
a
????
??
??
??
???
1.5322
1.5310
0220
0220
?
?
?
故
可以设想电源中点 0 与负载中点 0′用理想导体连接,并设
电路基础
图 5.9-8
电路基础
其它两相电流为
AI
AI
c
b
?????????
??????????
9.66221201.5322
1.173221201.5322
?
?
三相总功率为
WIUP Zll 6 8 881.53c o s223 8 03c o s3 ??????? ?
电路基础
(2) 负载为△型连接时，电路如图 5.9-8(b)所示。设
A
Z
U
I
VU
ab
ab
ab
????
??
??
??
???
1.5338
1.5310
0380
0380
?
?
?
则
其它两相电流为
AI
AI
ca
bc
???
????
9.6638
1.17338
?
?
电路基础
线电流为
AII
AII
AII
Zpc
Zpb
Zpa
????????
?????????
?????????
9.36383903
1.2 0 33831 5 03
1.83383303
?
?
?
?
?
?
三相功率为
W
IUP Zll
06426
1.53co s3833803co s3
?
??????? ?
电路基础
补充
谐振电路
一、串联电路的谐振
电路基础
一,串联电路的谐振 在下图所示的 RLC串联电路中,
电流与电压的相位是不同的。 若要使其相位相同,可通过
调节电路中的 L,C
补充 谐振电路
I ··
(a)
I·
(b)
串联谐振电路
UI·
L UL·
UC·
UL
UC·
U·＝ UR·
C
电路基础
1、串联谐振的定义：
在 R-L-C串联电路中，当 电压电流参考方向一致时，
电路端电压与电路电流相位相同的现象称为串联谐振。
该电路阻抗为：
ZCL ZXXjRCLjRZ ????????? )()
1(
??
其中：
R
XXa r c tg CL
z
???
电流为
Z
UI S
.
1
.
?
当角频率,L,C满足一定条件时,XL =XC,此时
电路中电流电压在参考方向一致的情况下相位相同。
电路基础
当电感上的电压与电容上的电压幅值相等,相位相反
时,它们正好相互抵消,
得 XL=XC
即
或
得
可见,
CLCL IXIXUU ??,
CL ??
1?
fcfL ?? 2
12 ?
LCff ?2
1
0 ??
2、串联谐振的条件
电路基础
在式中,将 f0称为谐振频率。当电路参数 L,C一定时,
f0为一定值,所以 f0又称为电路的固有频率。 若此时外加信
号的频率与 f0相一致,电路将工作在谐振状态。 若要使电
路在频率为 f的外加电压下发生谐振,可以通过改变电路参
数 L,C,使电路的固有频率 f0与外加电压的频率 f相等来实
现。
调电容
L
C 2
0
1
?
?
调电感
C
L 2
0
1
?
?
电路基础
(3) 电感的端电压 与电容的端电压 大小相等,相
位相反,相互补偿,外加电压与电阻上的电压相平衡,即
,其相量图如图 2- 43（ b
RUU
.,?
LU
.
CU
.
（ 1）电路中的电流 I=U/R为最大，电流与电压同相
位,电路呈电阻性。
（ 2） 阻抗最小且为纯电阻,电流最大。因为谐振时,
电抗 X=0,所以 Z=R+jX=R。
3、串联谐振的特征,
电路基础
(4) 电感或电容两端的电压可能大大超过外加电压。 电感
或电容的端电压与外电压之比为
Q值称为谐振电路的品质因数。 可见,当 XL>> R时,
在 L或 C的两端就会产生超过外加电压几十至几百倍的电
压,。 所以串联谐振也叫做电压谐振。
R
L
R
X
RI
IX
U
UQ LLL 0?????
(5) 谐振时，电路的电抗为零，感抗和容抗相等并等于电
路的特性阻抗 。?
C
L??
电路基础
4、串联谐振电路的谐振曲线
对于 RLC串联电路，当外加电压的频率变动时，电路中的
电流、电压、阻抗、导纳等都将随着频率而改变，这种随
频率变化的关系，称为频率特性。其中表明电流、电压与
频率关系的曲线，称为谐振曲线。
电路基础
电路中电流为：
Z
UI S
.
1
.
?
有效值为,YU
Z
U
C
LR
UI
S
SS ??
??
?
22 )1(
?
?
由于电路中电抗 X随频率而变化，所以阻抗和导纳的模
也随之而变化，导致电流有效值大小也随频率变化。
串联谐振电路中电流有效值大小随电源频率变化的曲线
称为串联谐振电路的电流幅频曲线或称电流谐振曲线。
电路基础
从图上看出，当 时，电流达到最大值。
0?? ?
电路基础
由于
20
0
0
2
0
0
0
22 )(1
)(1
)
1
(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
Q
I
R
L
R
U
C
LR
U
I SS
即：
20
0
20 )(1
1
?
?
?
?
??
?
Q
I
I
电路基础
通用电流谐振曲线。
电路基础
5、串联谐振电路的通频带
当信号通过某电路时，各种频率成分的电压在电路中
产生的电流，其振幅如果能保持原来的电压振幅间的比
例，那么我们说信号通过电路时没有产生幅度失真。
在实际应用种常把电路电流 的频率范围称为
该电路的通频带。用 B表示。 02
1 II ?
电路基础
fffB ???? 212
通频带与电路参数的关系：
Q
ffB 02 ???
电路基础
2.8.2 并联谐振
如果将电感线圈与电容器相并联,若电路参数选取适
当,可使总电流 I与外加电压 U同相位,此时电路发生了并
联谐振。 实际上线圈也存在电阻,可看成 R与 L串联后再
与 C相并联,如图 2 - 43所示。
( a )
I
C
·
( b )
图2 - 4 3 并联谐振电路
U
·
U
L
·
U
R
·
U
C
·
I
L
·
U
·
I
·
I
1
电路基础
R,L支路中的电流为
LjR
U
jXR
UI
L ??
?
?
?
..
1
.
电容 C支路中的电流为
.
..
.
1
UCj
C
j
U
jX
U
I
C
C ?
?
?
?
?
?
?
则总电流为
.
2222
.
22
.
.
..
1
.
)()(
]
)(
[
U
LR
L
Cj
LR
R
UCj
LR
LjR
UCj
LjR
U
cIII
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
电路基础
从上式可看出,若要使电路中的 电流与外加电压 同相位,
必须使 的虚部为零,即
.I,U
.I
22 )( LR
LC
?
??
??
一般情况下,线圈的电阻 R很小,可忽略不计,
LC
f
LC
L
C
?
?
?
?
2
1
1
1
0
0
?
?
?
谐振角频率为
因此谐振频率为
电路基础
并联谐振具有以下特征,
（ 1） 电流与电压同相位,电路呈现电阻性。
（ 2） 阻抗最大,电流最小。
因谐振时,的虚部为零,.I
R
L
R
LR
Z
Z
U
R
LR
U
U
LR
R
I
2
0
2
0
2
.
2
0
2
.
.
2
0
2
0
.
)()(
)()(
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
即
电路基础
由于实际的电阻 R很小,因此并联谐振阻抗非常高。若 R→0
时,Z→∞ 。可见并联谐振电路会阻止频率 f0的电流通过,使电
流非常小。
（ 3） 流经电感的电流与电容的电流大小相等,相位相反。
相量图如图 2 - 43（ b）所示。由于 与 同相位,且 的
数值又最小,所以 与 大小近似相等,相位相反。
（ 4） 电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流。
电感支路的电流 IL（或电容支路的电流 IC）与总电流 I0之比
称为电路的品质因数 Q。
.U,I,I
.
LI CI
.
电路基础
R
L
L
R
L
L
Z
Z
U
L
U
I
I
Q L 0
0
2
0
0
0
0
0
0
)(
?
?
?
?
?
????
由于 R<<ω0L,一般可使通过电感或电容支路的电流是总
电流的几十至几百倍,因此并联谐振又称为电流谐振。
电路基础
2.8.3 谐振电路的应用
在电力系统中,若发生串联谐振是非常危险的,例如
外加电压为 U=220V,Q=10,如果发生谐振,电感或电容两
端的电压 UL=UC=QU=10× 220=2200V。若 Q值再大,其
两端的电压会更大,这样高的电压会对设备造成损害。
考虑到电路谐振这一特点,就可设法避免因此而造成电器
设备的损坏并保障人身安全。
电路基础
在电子技术中,串联谐振却得到了广泛应用。例如,在无
线电接收机中,串联谐振可用于信号的选择（选频）。图 2 -
44（ a）是收音机中磁性天线的示意图。 线圈绕在磁棒上
（ L）,两端接上可变电容（ C）。 当不同频率的电磁波信号
经过天线时,线圈中就会感应出不同频率的电动势 e,其原理
线路如图 2 - 44（ b）所示。 电路中的电流是各个不同频率电
动势 e1,e2 … en所产生电流的叠加。 如果调节电容 C使之
与某电台的信号频率 fn发生谐振,则电路对该电台信号源 en阻
抗最小,该频率的信号电流最大,在电感两端就会得到最高的
输出电压,经放大和后续电路处理后,扬声器就播出该电台的
节目。 而对于其他电台的信号频率,电路不发生谐振,阻抗很
大,故电流受到抑制,电感上输出的电压就很小。 因此,调节
电容 C的数值,电路就会对不同的频率发生谐振,从而达到选
择电台节目的目的。 谐振电路的 Q值越大,
电路基础
＋
－
C
R
L
( a ) ( b )
＋
－
f
1
f
2
e
1
e
2
＋
－
f
n
e
n
R
L
C
图2 - 4 4 串联谐振选频电路
线圈
天线
电路基础
例 2.17 某收音机选频电路的电阻为 10Ω,电感为
0.26mH,当电容调至 238 pF时,与某电台的广播信号发生串
联谐振。 试求,
（ 1） 谐振频率 ;
（ 2） 该电路的品质因数 Q;
（ 3） 若信号输入为 10μV,求电路中的电流及电感的端
电压 ;
（ 4） 某电台的频率是 960kHz,若它也在该选频电路
中感应出 10μV的电压,电感两端该频率的电压是多少？
电路基础
解 （ 1） 谐振频率
k H zLCf 6 4 0102 3 81026.02 12 1 1230 ????? ??? ??
即与中波段的 f=640kHz的电台发生谐振。
(2) 品质因数
10510 1026.01064022
33
0 ????????
???
R
Lf
R
XQ L
（ 3） 当信号电动势为 10μV时,电流为
AVREII ?? 110100 ?????
电感两端电压为
mVQUUU CL 05.1101 0 5 ?????
电路基础
（ 4） 频率为 960kHz时,选频电路对该频率的阻抗为
????????? 87087010)2 12( 222222 fCfLRXRZ ??
当信号的感应电压为 10μV时,与该频率对应的电流为
AAI ?0115.0100115.0870 1010' 6
6
????? ?
?
电感上与该频率相对应的电压为
VIXU LL ?18'' ??
电路基础
由此可见,在上面的选频电路中,电感两端与 640 kHz
信号相对应的电压与 960 kHz信号相对应电压 1050/18=58.4
倍。这就是说,f=960kHz的电台受到了抑制（同理也抑制了
其它电台）,只选择了频率为 640 kHz的电台。 L
i
s
C
图2 - 4 5 并联谐振选频电路
电路基础
并联谐振在无线电工程及电子仪器中也得到广泛的应
用,例如利用谐振时的高阻抗来进行选频。如图 2 - 45 所示,
将一信号源接于 LC并联电路,信号源输出含有多个不同频
率的信号,当并联电路对其中某一频率的信号发生谐振时,
会对其呈现出最大的抗阻 Zmax,从而在信号源两端得到最
大电压 Umax,而对其他频率的信号则呈现小阻抗,电压很
低,可忽略不计,因此在并联谐振电路的两端可把所需频率
的信号筛选出来,其他频率的信号则被抑制掉,从而实现了
选频的作用。选频特性的好坏由 Q值决定。
电路基础
例 2.18 在收音机中频放大器中,利用并联谐振电路
对 465kHz的信号进行选频,设线圈 L=150μH,电阻 R=5Ω,谐
振时的总电流 I0=1mA。试求,
（ 1） 对 465kHz信号应选用多大电容 ;
（ 2） 谐振时的阻抗 ;
（ 3） 电路的品质因数 ;
（ 4） 电感,电容中的电流。
电路基础
解（ 1） 选择 465kHz的信号,必须使电路的固有频率
f0=465kHz。
???????? ? 438101501046522 6300 ??? LfL
因为线圈电阻 R=5Ω,ω0L>>R,所以 ω0L≈1/ω0C,由此可得
pFLfLC 78010150)104652( 1)2( 11 6232
0
2
0
???????? ????
（ 2） 谐振阻抗
??? KRLZ 4.38)(
2
0
0
?
电路基础
(3) 品质因数
880 ?? R LQ ?
(4) 电感及电容中的电流
mAQIII CL 880 ???
电路基础
5.10 小 结
1,正弦信号的三要素和相量表示
)c o s (2)c o s ()( iim tItIti ???? ????
式中振幅 Im(有效值 I),角频率 ω(频率 f)和初相角 θi称为正弦
信号的三要素 。 设两个频率相同的正弦电流 i1和 i2,它们的
初相角分别为 θ1和 θ2,那么这两个电流的相位差等于它们
的初相角之差, 即
21 ??? ??
电路基础
若 ψ>0,表示 i1的相位超前 i2; 若 ψ<0,表示 i1的相位滞后 i2。
正弦电流可以表示为
]2R e []R e [)c o s ( tjtjmim eIeItIi ???? ?????
式中 称为电流振幅 (有效值 )相量 。
相量是一个复常数, 它的模表示了正弦电流的振幅 (有效
值 ),辐角表示了正弦电流的初相角 。
)( ii jjmm IeIeII ?? ?? ??
电路基础
2,R,L,C元件 VAR相量形式
电路基础
3,阻抗与导纳
一个无源二端电路可以等效成一个阻抗或导纳。 阻抗定义为
ZZI
UZ ????
?
?
m
m
I
U
I
UZ ??
iuZ ??? ??
jXRZZ Z ???? ?
电路基础
??
?
?
?
?
?
Z
Z
ZX
ZR
?
?
s in
c o s
?
?
?
?
?
?
??
R
X
a rct g
XRZ
Z?
22
指数型与代数型的转换关系为
导纳定义为
yYU
IY ????
?
?
ZY
1?
电路基础
|Y|称为导纳模,φy称为导纳角。它们与电流、电压之间有如
下关系：
?
?
?
?
?
??
??
uiy
m
m
U
I
U
I
Y
???
Zy
Z
Y
?? ??
?
1
导纳也可以表示成代数型，即
jBGYY y ???? ?
电路基础
指数型与代数型的转换关系为
??
?
?
?
?
?
y
y
YB
YG
?
?
s in
c o s
?
?
?
?
?
?
??
G
B
a r c tg
BGY
y?
22
电路基础
4,电路定律的相量形式和相量分析法
KCL和 KVL的相量形式分别为
0
0
?
?
?
?
U
I
?
?
欧姆定律的相量形式为
IZU ?? ?
电路基础
5,正弦稳态电路的功率
Z
Z
UIQ
UIP
?
?
s in
co s
?
?
Zj
S
eSjQPS
UIP
????
?
任一阻抗 Z的有功功率 (平均功率 )和无功功率分别为
视在功率为
复功率为
在电源和内阻抗 Zi一定条件下，负载阻抗 ZL获得最大功率的条件为
*iL ZZ ?
电路基础
这称为共轭匹配,此时负载获得的最大功率为
iiiL ZXRP ???
22
这称为模匹配, 即负载电阻 RL等于内阻抗的模 |Zi|时, 能
获得最大功率 。 计算模匹配情况下的最大功率, 首先应
该计算流过负载电阻 RL的电流, 那么负载电阻消耗的
功率为
RI?
LRL RIP
2?
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1 正弦电压和电流
5.2 利用相量表示正弦信号
5.3 R,L,C元件 VAR的相量形式和
KCL,KVL的相量形式
5.4 阻抗与导纳
5.5 电路基本元件的功率和能量
5.6 正弦稳态电路中的功率
5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输
5.8 正弦稳态电路的相量分析法
5.9 三相电路概述
5.10 小结
补充
电路基础
5.1 正弦电压和电流
5.1.1 正弦量的三要素
所谓周期信号, 就是每隔一定的时间 T,电流或电压的波形
重复出现；或者说, 每隔一定的时间 T,电流或电压完成一个
循环 。 图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形, 周期信号的数学
表示式为
)()( kTtftf ??
式中 k为任何整数 。 周期信号完成一个循环所需要的时间 T称
为周期, 单位为秒 (s)。
电路基础
图 5.1-1 周期信号
电路基础
周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用 f
表示。 显然，频率与周期的关系为
Tf
1?
频率的单位为赫兹 (Hz)。 我国电力网所供给的交流电
的频率是 50 Hz,其周期是 0.02s。 实验室用的音频信号源
的频率大约从 20~20× 103Hz 左右, 相 应 的 周 期 为
0.05s~0.05 ms 左右 。
电路基础
图 5.1-2 正弦电流
电路基础
按正弦 (余弦 )规律变化的周期信号, 称为正弦交流电,
简称交流电 。 以电流为例, 其瞬时表达式为
)c o s ()( im tIti ?? ??
由于正弦信号变化一周，其相位变化了 2π弧度，于是有
????? 2)(])([ ????? ii tTt
fT ??? 22 ??
ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数, 称为角频率,
其单位是弧度 /秒 (rad/s)。 当 t=0时, 相位角为 θi,称为初相位
或初相角, 简称初相 。 工程上为了方便, 初相角 θi常用角度表
示 。
电路基础
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
)co s ()(
)co s ()(
222
111
??
??
??
??
tUtu
tUtu
m
m
它们的相位之差称为相位差，用 ψ表示，即
2121 )()( ??????? ?????? tt
两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。
电路基础
图 5.1-3 相位差
电路基础
例 5.1-1 已知正弦电流 i(t)的波形如图 5.1-4 所示, 角频率
ω=103rad/s。 试写出 i(t)的表达式, 并求 i(t)达到第一个正的最
大值的时间 t1。
图 5.1-4 例 5.1-1用图
电路基础
解 由图可知,i(t)的振幅为 100A,即
Atti i )10co s (1 0 0)( 3 ???
当 t=0 时，电流为 50A，用 t=0 代入上式，得
5.0co s
50co s1 0 0)0(
?
??
i
i
i
?
?
故
电路基础
当 ωt1=π/3时，电流达到正最大值，即
mst i 047.1103 31 ???? ????
Atti ?
?
??
?
? ??
310co s1 0 0)(
3 ?
于是
3
?? ??
i
由于 i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
电路基础
例 5.1-2 设有两频率相同的正弦电流
Atti
Atti
)40s i n (10
)60co s (5
2
1
???
???
?
?
）（
）（
问哪个电流滞后，滞后的角度是多少?
解 首先把 i2(t)改写成用余弦函数表示，即
At
ttti
)50c o s (10
)5090s i n (10)40s i n (10)(2
???
????????
?
??
????????? 110)50(6021 ???
故相位差
电路基础
5.1.3 有效值
正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通
过两个阻值相等的电阻 。 如果在相同的时间 T内 (T可取为正
弦信号的周期 ),两个电阻消耗的能量相等, 那么, 我们称
该直流电的值为正弦信号的有效值 。
当直流电流 I流过电阻 R时, 该电阻在时间 T内消耗的电
能为
RTIW 2??
电路基础
当正弦电流 i流过电阻 R时，在相同的时间 T内，电阻消
耗的电能为
dttRidttpW T T )()(
0 0
2
~ ? ???
上式中 p(t) 表 示 电 阻 在 任 一 瞬 间 消 耗 的 功 率, 即
p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。 根据有效值的定义, 有
dttRiRTI
WW
T
)(
0
22
~
??
? ?
电路基础
??
T
dtti
T
I
0
2 )(1
故正弦电流的有效值为
正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均
值再取平方根, 故有效值也称为均方根值 。
类似地，可得正弦电压的有效值为
??
T
dttu
T
U
0
2 )(1
(5.1-5)
电路基础
将正弦电流的表达式
)c o s ()( im tIti ?? ??
代入 (5.1-5)式,得正弦电流的有效值为
mm
T
i
m
T
im
II
dtt
I
T
dttI
T
I
707.0
2
1
)](2c o s1[
2
1
)(c o s
1
0
2
0
22
??
???
??
?
?
??
??
电路基础
同理，可得正弦电压的有效值
mm UUU 707.02
1 ??
必须指出, 交流测量仪表指示的电流, 电压读数一般都是
有效值 。
引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
)c o s (2)c o s ()(
)c o s (2)c o s ()(
uum
iim
tUtUtu
tItIti
????
????
????
????
电路基础
5.2 利用相量表示正弦信号
一个复数既能表示成代数型, 也能表示成指数型 。 设
A为一复数, a1和 a2分别为其实部和虚部, 则
?jaejaaA ??? 21
代数型 指数型
式中 a称为复数 A的模； φ称为复数 A的辐角。
电路基础
图 5.2-1 复数的图示
电路基础
?
?
?
??
?
?
?
??
1
2
2
2
2
1
a
a
a r ct g
aaa
?
??
?
?
?
?
?
?
?
s in
c o s
2
1
aa
aa
]I m [],R e[ 21 AaAa ??
实部 a1和虚部 a2也表示为
和
??? aA
电路基础
5.2.1 利用相量表示正弦信号
假设某正弦电流为
??
??
? s i nco s
)co s ()(
je
tIti
j
im
??
??
根据欧拉公式
可以把复指数函数 Im e j(ωt+θi)展开成
)s i n ()c o s ()( immtjm tjItIeI ii ?????? ?????
)co s (]R e[)( )( imtjm tIeIti i ???? ??? ?
(5.2-3)
电路基础
]R e[
][]R e[)(
)(
tj
m
j
me
tj
m
eI
eeIReIti tjii
?
??? ?
?
?
?
??
式中
ijmm eII ???
把式 (5.2-3)进一步写成
电路基础
图 5.2-2 相量图
电路基础
)co s ( 1 im tI ?? ?
]R e[)( tjm eIti ???
]R e []R e [
]R e [)c o s (
)(
tj
m
tjj
m
tj
mum
eUeeU
eUtUu
u
u
???
??
??
???
???
?
um
j
mm UeUU u ?
? ??? ??
电路基础
图
5.
2-
3
旋
转
相
量
及
其
在
实
轴
上
的
投
影
电路基础
例如, 已知角频率为 ω的正弦电流的相量,
那么该电流的表达式为
AeI jm ?? 305?
Atti )30c o s (5)( ??? ?
若已知正弦电压 u=10cos(ωt-45° ) V,则电压相量为
VeU jm ????? ?? 451010 45?
电路基础
相量也可以用有效值来定义,即
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
u
m
u
j
i
m
i
j
U
UUeU
I
IIeI
u
i
??
??
?
?
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
UU
II
??
??
2
1
2
1
电路基础
5.2.2 几个定理
1,定理 1
如果 K是一个实常数,A(t)是任何实变数 t的复函数，则
)]([)](R e [ tAK P etKA ?
证明 设
)](R e[)()](R e[
)()()(
)()()(
1
21
21
tAktKatKA
tjKatKatKA
tjatatA
??
??
??
则
故
电路基础
2,定理 2
如果 A(t)和 B(t)是任何实变数 t的复函数，则
)](R e [)](R e [)]()(R e [ tBtAtBtA ???
)](R e [)](R e [)()()]()(R e [
),()()(),()()(
11
2121
tBtAtbtatBtA
tjatbtBtjatatA
?????
????
证明
设
则
电路基础
3,定理 3
设相量
?jAeA ??, 则
]R e [)(Re)][ R e ( tjtjtj eAjeA
dt
deA
dt
d ??? ? ??? ?
??
?
??
??
? ?)R e ()][ R e ( )( ??? ?? tjtj AedtdeAdtd ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
?
)(Re
]R e []R e [
)s i n ()]c o s ([
tj
tjtj
eA
dt
d
eAjAej
tAtA
dt
d
?
???
??
?????
?
?）（
电路基础
4,定理 4
设 和 为相量,ω为角频率。如果在所有时刻都满足A? B?
]R e []R e [ tjtj eBeA ?? ?? ?
则
BA ?? ?
电路基础
电路基础
例 5.2 – 1 电路如图 5.2 - 4(a)所示, 已知电流 i1和 i2分别为
Atti
Atti
)1.53c os (10)(
)9.36c os (5)(
2
1
???
???
?
?
图 5.2 – 4 例 5.2 - 1用图
电路基础
电路基础
5.3 R,L,C元件 VAR
和 KCL,KVL的相量形式
5.3.1 R,L,C元件 VAR的相量形式
1,电阻元件
假设电阻 R两端的电压与电流采用关联参考方向, 如图
5.3 - 1 所示 。 设通过电阻的正弦电流为
)c o s ()( im tIti ?? ??
电路基础
5.3-1 电阻元件
电路基础
对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧
姆定律，即
)c o s ()c o s ()()( umim tUtRItRitu ???? ?????
?
?
?
?
?
iu
mm RIU
??
电阻上的正弦电流和电压用相量表示为
]R e[)co s ()( tjmim eItIti ??? ????
]R e [)c o s ()( tjmum eUtUtu ??? ????
电路基础
ujmmijmm eUUeII ?? ?? ??,
根据欧姆定律，有
]R e []R e [ tjmtjm eIReU ?? ?? ?
]R e[]R e[ tjmtjm eIeU ?? ?? ?
IRU
IRU mm
??
??
?
?
iu jmjm eRIeU ?? ?
iu
RUm
?? ?
? Im
电路基础
图 5.3-2 电阻元件的电流、电压波形和相量图
电路基础
2,电感元件
设有一电感 L,其电压, 电流采用关联参考方向, 如图
5.3-3(a)所示, 当通过电感的电流为
)c o s ()( im tIti ?? ??
)s i n ()( im tLIdtdiLtu ??? ????
)co s (
)90co s (
um
im
tU
tLI
??
???
??
????
电路基础
图 5.3-3 电感元件
电路基础
电路基础
??
?
?
?
???
?
90iu
mm LIU
??
?
L
m
m XL
I
U
I
U ??? ?
它们振幅之间的关系为
式中 XL=ωL=2πfL具有电阻的量纲, 称为感抗 。 当 L的单位
为 H,ω的单位为 rad/s时, XL单位为 Ω 。
电路基础
对于一定的电感 L,当频率越高时, 其所呈现的感抗
越大；反之越小 。
]R e [)c os ()(
]R e [)c os ()(
tj
mum
tj
mim
eUtUtu
eItIti
?
?
??
??
?
?
???
???
ujmmijmm eUUeII ?? ?? ??,
式中
dt
diLu ?根据
]R e []R e [ tjmtjm eIdtdLeU ?? ?? ?
]R e[]R e[ tjmtjm eILjeU ?? ? ?? ?
电路基础
Lj
I
U
I
U
IjXU
IjXILjU
m
m
L
mLmm
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
???
(5.3-6)
因为 (5.3-6)式可以写成
)90( ???? iiu j
m
j
m
j
m eLIeLIjeU
??? ??
???? 90,iumm LIU ???
电路基础
图 5.3-5 电感元件的电流、电压波形图
电路基础
3,电容元件
图 5.3-6 电容元件
电路基础
当电容两端的电压为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
时，通过电容的电流
)c o s (
)90c o s (
)s i n (
im
um
um
tI
tCU
tCU
dt
du
Ci
??
???
???
??
????
????
??
?
?
?
???
?
90ui
mm CUI
??
?
电路基础
通过电容的电流与电容电压是相同频率的正弦量, 而且
电流的相位超前电压 90° 。 它们振幅之间的关系为
fCC
X
X
CI
U
I
U
C
C
m
m
??
?
2
11
1
??
???
具有电阻的量纲, 称为容抗 。 当 C的单位为 F,ω的单
位为 rad/s时, XC的单位为 Ω。
当电容 C一定时，频率越高，其所呈现的容抗越小；反
之越大。
电路基础
图 5.3-7 XC的频率特性曲线
电路基础
电容电压和电流可用相量表示为
]R e [)c os ()(
]R e [)c os ()(
tj
mim
tj
mum
eItItu
eUtUtu
?
?
??
??
?
?
???
???
iu jmmjmm eIIeUU ?? ?? ??,
式中,根据
dt
duCi ?
]R e []R e [ tjmtjm eUdtdCeI ?? ?? ?
]R e[]R e[ tjmtjm eUCjeI ?? ? ?? ?
上式可写成
电路基础
?
?
?
?
?
??
????
?
IjXU
IjXI
C
jU
UCjI
C
mCmm
mm
??
???
??
?
?
1
根据节 5.2 中定理 4,可得
或
（ 5.3-11）
因为 (5.3-11)式可以写成
)90(11 ????? ii j
m
j
mum eICeICjejU
??
???
故
???? 90,1 iumm ICU ???
电路基础
图 5.3-8 电容元件的电流、电压波形图
电路基础
5.3.2 KCL,KVL的相量形式
对于任意瞬间,KCL的表达式为
0?? i
电路基础
图 5.3-9 流向节点 A的电流分布
对于图 5.3-9 所示的节点 A 有
0321 ????? iiii
电路基础
0]R e[]R e[]R e[ 321 ??? tjmtjmtjm eIeIeI ??? ???
0])R e[ ( 321 ??? tjmmm eIII ????
0321 ??? mmm III ???
对于任意节点，则有
0
0
??
??
I
I m
?
?
流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。
电路基础
同理可得 KVL的相量形式为
0?? mU?
0?? U?
或
它表明, 在正弦稳态电路中, 沿任意闭合回路绕行一
周, 各支路电压相量的代数和恒等于零 。
电路基础
例 5.3-1图 5.3-10(a)所示 RL串联电路 。 已知 R=50Ω,
L=25μH,us(t)=10cos106tV。 求电流 i(t),并画出相量图 。
图 5.3-10 例 5.3-1用图
电路基础
解 激励 us(t)的相量为
?? 010 jsm eU?
LmRmsm UUU ??? ??
Atti
A
jjXR
U
I
IjXRIjXIRU
LX
IjXUIRU
L
sm
m
mLmLmsm
L
mLLmmRm
)6.2610c o s (1 7 9.0)(
6.261 7 9.0
6.269.55
10
2550
010
)(
25102510
,
6
66
???
????
??
?
?
??
?
?
?
????
??????
??
?
?
?
????
????
?
电路基础
例 5.3-2 RC并联电路如图 5.3-11(a)所示 。 已知 R=5Ω,
C=0.1 F,us(t)= 10cos2t V。 求电流 i(t)并画出相量图 。
2
图 5.3-11 例 5.3-2用图
电路基础
解 电压源 us的有效值相量为
VU s ??? 010?
????? 51.02 11CX C ?
CR III ??? ??
Atti
AjI
Aj
jjX
U
I
A
R
U
I
C
s
C
s
R
)452c o s (4)(
452222
2
5
010
202
5
010
???
?????
?
?
??
?
?
?
????
??
??
?
?
?
?
?
电路基础
5.4 阻 抗 与 导 纳
5.4.1 阻抗与导纳
图 5.4-1
电路基础
端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用 Z表示
I
U
Z
I
U
Z
m
m
?
?
?
?
?
?
可改写成
IZU
IZU mm
??
??
?
?
电路基础
如果无源二端网络分别为单个元件 R,L和 C,则它们相
应的阻抗分别为
CjZLjZRZ ??
1,,???
把阻抗的倒数定义为导纳，并用 Y表示,即
U
I
U
I
Y
Z
Y
m
m
?
?
?
?
??
?
1
(5.4-4)
电路基础
导纳 Y的单位是西门子 (S)。 当无源二端网络分别为单个元件
R,L和 C时, 它们相应的导纳分别为
C
L
jBCjY
jB
L
j
Lj
Y
G
R
Y
??
?????
??
?
??
11
1
式中 G为电导, 和 BC=ωC分别称为感纳和容纳,
单位为西门子 (S)。 L
BL ?1?
(5.4-4)式也可改写为
UYI
UYI mm
??
??
?
?
电路基础
5.4.2 RLC串联电路
图 5.4-2 RLC串联电路及其相量模型
电路基础
设电路中的电流为
)c o s (2)( ititi ?? ??
ijIeI ???
CLR UUUU ???? ???
根据 R,L,C元件的 VAR,有
C
XLX
IjXUIjXUIRU
CL
CCLLR
?
?
1
,
,,
??
???? ??????
电路基础
I
U
Z
IZIXXjR
IjXIjXIRU
CL
CL
?
?
??
????
?
????
???
)]([
jXRXXjRZ CL ????? )(
阻抗 Z也可写成极坐标形式,即
Zzj ZeZjXRZ ?? ?????
式中 |Z|和 φZ分别称为阻抗模和阻抗角。
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
Z
Z
Z
ZX
ZR
R
X
a r ct g
XRZ
?
?
?
s in
c o s
22
Ziu
i
u jj
j
j
ZeeIUIeUeIUZ ????
?
???? ? )(??
?
?
?
?
?
??
??
iuZ
m
m
I
U
I
U
Z
???
电路基础
阻抗模等于电压相量 与电流相量 的模值之比, 阻
抗角等于电压相量 超前电流相量 的相位角 。 若 φZ>0，
表示电压相量 超前电流相量 ； 若 φZ<0,表示电压相
量 滞后电流相量 。
U? I?
U? I?
U? I?
I?U?
由于电抗
CLXXX CL ??
1????
与频率有关，因此，在不同的频率下，阻抗有不同的特性。
电路基础
图 5.4-3 RLC串联电路的相量图
电路基础
电路基础
电路基础
5.4.3 GCL并联电路
图 5.4-5 GCL并联电路的相量模型
电路基础
CBLB CL ?? ??,1
LCG
j
IIII
UeU u
????
?
???
? ?
UjBUYI
UjBUYI
UGI
LLL
CCC
G
???
???
??
???
??
?
电路基础
U
I
Y
UYUBBjGUjBUjBUGI LCLC
?
?
??????
?
??????? )]([
yj
LC
eYjBGY
jBGBBjGY
?
???
????? )(
?
?
?
?
?
?
??
G
B
a r c tg
BGY
y?
22
电路基础
??
?
?
?
?
?
y
y
YB
YG
?
?
s in
c o s
导纳模 |Y|,导纳角 φy与电压, 电流 的关系为
U? I?
yui
u
i jj
j
j
eYeUIUeIeUIY ????
?
???? ? )(?
?
?
?
?
?
?
????
??
Zuiy
ZU
I
Y
????
1
导纳模等于电流 与电压 的模值之比。I? U?
导纳角等于电流 与电压 的相位差。I? U?
电路基础
例 5.4-2 有一个 RCL并联电路, 已知 R=10 Ω,C=0.5μF,
L=5μH,正弦电压源的电压有效值 U=2V,ω=106 rad/s。 求
总电流 并说明电路的性质 。
解 电路的导纳为
s
L
B
sCB
s
R
G
BBjGY
L
C
LC
2.0
10510
11
5.0105.010
1.0
1
)(
66
66
?
??
??
?????
??
???
?
?
?
?
电路基础
AUYI
VU
sjjY
????
???
????????
56.716 3 2.0
02
56.713 1 6.03.01.0)2.05.0(1.0
??
?
导纳角 φY=71.56°, 表示电流 超前电压 为 71.56° 。 因
此, 电路呈电容性 。
I? U?
电路基础
5.4.4 阻抗和导纳的串、并联
若有 n个阻抗相串联，它的等效阻抗为
U
Z
Z
U
jXRZZ
n
k
k
i
i
n
k
n
k
kkk
??
?
? ?
?
? ?
?
???
1
1 1
)(
分压公式为
为 n个串联阻抗的总电压相量； 为第 i个阻抗上的电压相量。U?
iU?
电路基础
若有 n个导纳相并联，它的等效导纳为
??
??
???
n
k
kk
n
k
k jBGYY
11
)(
I
Y
Y
I n
k
k
i
i
??
?
?
?
1
分流公式为
为通过任一导纳 Yi的电流相量； 为总电流相量。
iI?
I?
电路基础
若两个阻抗 Z1和 Z2相并联，则等效阻抗为
21
21
ZZ
ZZZ
?
?
分流公式为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
I
ZZ
Z
I
I
ZZ
Z
I
??
??
21
1
2
21
2
1
电路基础
例 5.4-3 RL串联电路如图 5.4-6 所示 。 若要求在
ω=106rad/s时, 把它等效成 R′L′并联电路, 试求 R′和 L′的大
小 。
图 5.4-6 例 5.4-3 用图
电路基础
解
电路基础
例 5.4-4 电路如图 5.4-7(a)所示 。 其中
求电流 i(t),iL(t)和 iC(t)。
tVtu s 0005c o s102)( ?
图 5.4-7 例 5.4-4用图
电路基础
图 5.4-8 例 5.4-4解题图
电路基础
解 VU
s ??? 010?
????? kLX L 510005?
?????? ? kCX C 2101.00 0 05 11 6?
电路基础
电路基础
例 5.4-5 电路如图 5.4-9(a)所示 。 已知 R1=30 Ω,R2=100Ω,
C=0.1μF,L=1mH,。 求电压 u(t)
和 ab两端的等效阻抗 Zab。
Atti )6010co s (2.02)( 52 ???
图 5.4-9 例 5.4-5 用图
电路基础
解
?????? ? 10010110 35LX L ?
?????? ? 1 00101.010 11 65CX C ?
电路基础
电路基础
5.5 电路基本元件的功率和能量
图 5.5-1 电阻元件的瞬时功率波形
电路基础
设电压 u(t)为
)c o s (
)(
)(
)c o s ()(
um
um
tI
R
tu
ti
tUtu
??
??
???
??
)(2c o s
)](2c o s
2
1
2
1
)](2c o s1[
2
1
)(c o s)()()(
2
u
ummmm
umm
umm
tUIUI
tIUIU
tIU
tIUtitutp
??
??
??
??
???
???
???
???
电路基础
瞬时功率在一周期内的平均值，称为平均功率。用 P表示，即
?? T dttpTP 0 )(1
RI
R
U
UIP
RI
R
U
IUP
m
m
mm
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
???
???
或用有效值表示为
平均功率也称为有功功率 。 通常, 我们所说的功率都是指
平均功率 。 例如, 60W灯泡是指灯泡的平均功率为 60 W。
电路基础
设电感电压 u为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
电感电流 i滞后电压 90°,即
L
U
X
U
I
tItIti
m
L
m
m
umum
?
????
??
?????? )s i n ()90co s ()(
)(2s i n
)(2s i n
2
1
)s i n ()c o s ()()()(
u
umm
uumm
tUI
tIU
ttIUtitutp
??
??
????
??
??
????
电路基础
电感贮存的磁能为
)(s i n2121 222 umL tLILi ??? ???
利用三角公式 sin2 X=(1-cos2X)/2,上式可改写成
)(2c o s
2
1
2
1
)(2c o s
4
1
4
1
)](2c o s1[
4
1
22
22
2
u
umm
umL
tLILI
tLILI
tLI
??
??
???
???
???
???
2
0 2
11 LIdt
TW
T
LL a v ?? ? ?
电路基础
图 5.5-2 电感的瞬时功率和能量的波形
电路基础
当 t=T/4 时，电感的贮能达到最大值
LILI mL 22m a x
2
1 ???
电感是不消耗能量的, 它只是与外电路或电源进行能量
交换, 故平均功率等于零 。
? ??
T
dttp
T
P
0
0)(1
电路基础
图 5.5-3 电容的瞬时功率和能量波形
电路基础
设电容电压 u为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
m
C
m
m
umum
CU
X
U
I
tItIti
?
????
??
??????? )s i n ()90co s ()(
)(2s i n
)(2s i n
2
1
)s i n ()c o s ()()()(
u
umm
uumm
tUI
tIU
ttIUtitutp
??
??
????
???
???
?????
电容的瞬时功率为
电路基础
)(c o s2121 222 umC tCUCu ??? ???
电容贮存的电能为
2
2c o s1c o s 2 xx ??
)(2c o s
2
1
2
1
)(2c o s
4
1
2
1
22
22
u
umC
tCUCu
tCUCu
??
???
???
???
利用三角公式
上式可改写成
电容的平均贮能为
2
2
1 CUW
C av ?
电路基础
在 (0~T/4)期间,u>0,i<0,故 p<0,电容供给功率 。 在此
期间, 电容电压由最大值逐渐减少到零, 电容把贮存的电能
全部供给了外电路或电源 。 当 t=T/4 时, 电容的贮能 wC=0。
在 (T/4~T/2)期间,u<0,i<0,故 p>0,电容吸收功率 。 这时,
电容反向充电, 电容电压由零逐渐达到负的最大值, 电容从
外电路或电源获得能量并贮存在电场中 。 当 t=T/2时, 电容的
存贮能量达到最大值
22
m a x 2
1 CUCUw
mC ??
电容也不消耗能量, 只是与外电路或电源进行能量交换,
故平均功率也等于零 。
? ?? T dttpTP 0 0)(1
电路基础
例 5.5-1 电路如图 5.5-4(a)所示, 已知,
求电阻 R1,R2消耗的功率和电感 L,电容 C的平均贮能 。
tVtu s 5c o s102)( ??
图 5.5-4 例 5.5-1 用图
电路基础
解
??
?
??
?????
4
05.05
11
515
C
X
LX
C
L
?
?
VU s ??? 010?
VjIjXU
A
j
U
I
A
j
U
I
CC
s
s
???????????
???
???
??
?
?
?
????
??
??
?
?
?
9.3681.53242
1.532
1.535
010
43
4541.1
4507.7
010
55
2
1
??
?
?
?
?
电路基础
JCUW
JLIW
WRIP
WRIP
C a v
vL
6.16405.0
2
1
2
1
121
2
1
2
1
1232
10541.1
2
1
2
1
2
2
2
12
2
1
2
11
?????
?????
????
????
?
电路基础
5.6 正弦稳态电路中的功率
5.6.1 二端电路的功率
图 5.6-1 二端电路的瞬时功率波形
电路基础
设端口电压为
)c o s ()( um tUtu ?? ??
电流 i是相同频率的正弦量，设为
)c o s ()( im tIti ?? ??
)c o s ()c o s ()()()( iumm ttIUtitutp ???? ????
2
)c o s ()c o s (c o sc o s yxyxyx ????
)2c o s ()c o s (
)2c o s (
2
1
)c o s (
2
1
)(
iuiu
iummiumm
tUIUI
tIUIUtp
?????
?????
?????
?????
电路基础
当 u>0,i>0或 u<0,i<0 时, 二端电路吸收功率, p>0；当
u>0,i<0或 u<0,i>0 时, 二端电路供给功率, p<0。 这表明
二端电路中的动态元件与外电路或电源进行能量交换 。
在一周期内，二端电路吸收的功率大于供给的功率。
二端电路的平均功率不为零,即
)c o s (
)c o s (
2
1
)(
1
0
iu
T
iumm
UI
IUdttp
T
P
??
??
??
??? ?
电路基础
图 5.6-2 无源二端电路可以等效为阻抗
电路基础
电压与电流的相位差等于阻抗角,即
iuZ ??? ??
ZZmm UIIUP ?? c o sc o s2
1 ??
阻抗的平均功率不仅与电流, 电压的振幅 (或有效值 )大
小有关, 而且与 cosφZ有关 。 cosφZ称为功率因数, 通常用 λ
表示, 故阻抗角 φZ也称为功率因数角 。
当阻抗为电阻性时, φZ=0,cosφZ=1,。 当
阻抗为纯电感或纯电容性时, φZ=± 90°, cosφZ=0,P=0。UI
IUP mm ??
2
电路基础
把 UmIm/2 或 UI称为视在功率, 用 S或 PS表示 (本书为与复
功率区分, 采用 PS作为视在功率符号 ),即
UIIUP mmS ?? 21
视在功率的单位为伏安 (V·A) 。
电路基础
5.6.2 无功功率和复功率
二端电路 N的无功功率 Q(或 PQ)定义为
)s i n ()s i n (21 iuiumm UIIUQ ???? ????
其单位为伏安 (V·A) 。
设二端电路的端口电压与电流的相量图如图 5.6-3 所示 。
电流相量 分解为两个分量：一个与电压相量 同相的分
量 ; 另一个与 正交的分量 。 它们的值分别为
I? U?
xI? U? xI?
)s in (
)co s (
iuy
iux
II
II
??
??
??
??
(5.6-5)
电路基础
图 5.6-3 端口电压、电流相量图
电路基础
二端电路的有功功率看作是由电流 与电压 所产生的,即
xI? U?
)c o s ( iux UIUIP ?? ???
无功功率看作是由电流 与电压 产生的,即
yI? U?
)s i n ( iuy UIUIQ ?? ???
当二端电路不含独立源时,φZ=θu-θi,(5.6-5)式可写为
ZUIQ ?s in?
当电路 N是纯电阻时, φZ=0,QR=0；当电路 N是电感时,
φZ=90°,QL=UI; 当电路 N是电容时, φZ=-90°,QC=-UI。
电路基础
工程上为了计算方便, 把有功功率作为实部, 无功功率
作为虚部, 组成复功率, 用 S表示, 即
jQPS ??
)(
)]s i n ()[ c o s (
)s i n ()c o s (
iuj
iuiu
iuiu
eS
jUI
j U IUIS
??
????
????
?
?
????
????
22 QPS ??
若二端电路 N不含独立源,φZ=θu-θi,则
ZjeSjQPS ????
电路基础
图 5.6-4 功率三角形
电路基础
iuiu jjj IeUeU I eS ???? ?? ?? )(
ijIeI ???*?
*
*
2
1
mm IUS
IUS
??
??
?
?
如果二端电路的独立源为零, 且支路数为 m,那么, 无
源二端电路的有功功率, 无功功率和复功率分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
k
k
m
k
k
m
k
k
SS
PP
1
1
1
电路基础
图 5.6-5 例 5.6-1 用图
例 5.6-1 电路如图 5.6-5 所示 。 已知 R1=6Ω,R2=16Ω,XL=8Ω,
XC=12 Ω,=20∠ 0° V。 求该电路的平均功率 P,无功功率 Q、
视在功率 PS和功率因数 。
U?
电路基础
解 设 R1L串联支路的阻抗为
???????? 1.53108611 jjXRZ L
????????? 9.3620121622 jjXRZ C
R2C串联支路的阻抗为
各电流相量分别为
电路基础
89.0c o s ?Z?
21
21
QQQ
PPP
??
??
电路基础
例 5.6-2 某输电线路的相量模型如图 5.6-6 所示 。 输电线的
损耗电阻 R1和等效感抗 X1为,Z2为感性负载, 已知其
消耗功率 P=500kW,Z2两端的电压有效值 U2=5 500V,功率因数
cosφZ2=0.91。 求输入电压的有效值 U和损耗电阻 R1消耗的功率 。
图 5.6-6 例 5.6-2 用图
??? 611 XR
电路基础
解 设负载两端电压 为参考相量。即
2U?
电路基础
电路基础
例 5.6-3 图 5.6-7(a)所示电路为日光灯简图 。 图中 L为铁
芯电感, 称为镇流器 (扼流图 )。 已知 U=220V,f=50Hz,日光
灯功率为 40W,额定电流为 0.4 A。
(1) 电感 L和电感上的电压 UL;
(2) 若要使功率因数提高到 0.8,需要在日光灯两端并
联多大的电容 C。
电路基础
图 5.6-7 例 5.6-3用图
电路基础
解 (1) 求 L和 UL。
电路基础
(2) 求并联电容的电容量 C。
CL
L
III
II
???
??
??
?
设电压为参考相量
VU ??? 0220?
AI L ???? 634.0?
8.0c o s ?Z?
??? 9.36'Z?
电路基础
AU PI
Z
2 2 7.08.02 2 0 40co s ' ???? ?
输电线电流为
电路基础
5.7
图 5.7-1
电路基础
由图可知，电路中的电流为
)()( LiLi
s
Li
s
XXjRR
U
ZZ
UI
???
?
?
?
???
22 )()(
LiLi
s
XXRR
UI
???
?
22
2
52
)()( LiLi
L
LL XXRR
RURIP
?????
负载吸收的功率
电流的有效值为
电路基础
若 RL保持不变, 只改变 XL,当 Xi+XL=0 时,PL获得最大值
2
2
)( Li
Ls
L RR
RUP
??
iL
LiLLi
Li
LiLL
s
L
L
RR
RRRRR
RR
RRRRRi
U
dR
dP
?
????
?
?
???
?
0)(2)(
0
)(
)(2)(
2
4
2
2
??
?
?
?
?
??
iL
iL
RR
XX
当负载电阻和电抗均可变时，负载吸收最大功率的条件为
电路基础
即
*iL ZZ ?
当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时, 负载能获
得最大功率, 称为最大功率匹配或共轭匹配 。
i
sm
i
s
L R
U
R
UP
42
1
4
2
m a x ??
iLi
s
Li
s
jXRR
U
RZ
UI
????? )(
???
22)(
iLi
s
XRR
UI
??
?
电路基础
负载吸收的功率为
22
2
2
)( iLi
Ls
LL XRR
RURIP
????
当 RL改变,PL获得最大值的条件是
iiiL
LiLiLi
iLi
LiLiLi
s
L
L
ZXRR
RRRXRR
XRR
RRRXRR
U
dR
dP
???
?????
??
????
?
22
22
222
22
2
0)(2)(
])[(
)(2)(
当负载阻抗为纯电阻时, 负载电阻获得最大功率的条
件是负载电阻与电源的内阻抗模相等 。
电路基础
例 5.7-1 电路如图 5.7-2 所示, 其中 R和 L为电源内部损
耗和电感 。 已知 R=5Ω,L=50 μH,us= ·10cos105t V。
(1) 当 RL=5Ω时, 试求其消耗的功率 。
(2) 当 RL等于多大时, 能获得最大功率? 最大功率等于
多少?
(3) 若在 RL两端并联一电容 C,问 RL和 C等于多大时,
能与内阻抗共轭匹配? 并求负载吸收的最大功率 PLmax。
2
电路基础
图 5.7-2 例 5.7-1用图
电路基础
解 电源内阻抗为
????????? ? 551050105 65 jjjXRZ Li
(1) 当 RL=5Ω时，电路中的电流为
A
jjRZ
U
I
Li
s
????
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
?
6.2689.0
6.2618.11
010
510
010
555
010??
WRIR LL 4589.0 22 ????
负载 RL消耗的功率为
电路基础
(2) 当 时能获得最大功率,即
22 LL XRR ??
???? 07.755 22LR
A
jjRZ
U
I
Li
s
????
??
??
?
?
??
?
??
??
?
?
?
5.227 6 6.0
5.2206.13
010
507.12
010
07.755
010??
WRIP LL 15.407.7766.0 22 ????
电路基础
(3) 当负载与内阻抗共轭匹配时,能获得最大功率。 由
图可知，负载导纳为
CjRY
L
L ???
1
2)(1)(1
11
11
2
2
L
L
L
L
L
L
L
L
L
CR
CR
j
CR
R
CRj
R
Cj
R
Y
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
?
?
?
根据 ZL=Z*i=5-j5，得
电路基础
由上式解得
FCR L ?1,10 ???
A
ZZ
UI
Li
s 1
10
010 ????
?
?
??
负载吸收最大功率为
W
R
U
P
WZIP
i
s
L
LL
5
54
10
4
551]R e [
22
m a x
2
m a x
?
?
??
????
电路基础
5.8 正弦稳态电路的相量分析法
5.8.1 网孔法
例 5.8-1 电路的相量模型如图 5.8-1 所示, 求电流 和
1I? 2I?
图 5.8-1 例 5.8-1 用图
电路基础
电路基础
5.8.2
例 5.8-2 电路的相量模型如图 5.8-2所示。求各节点的
电压相量。
图 5.8-2 例 5.8-2 用图
电路基础
解
?????
?
?
??
?
?
?
???
????
?
?
??
?
?
????
05.1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
32
321
V
j
V
VV
j
V
??
???
电路基础
5.8.3 等效电源定理
例 5.8-3 电路的相量模型如图 5.8-3(a)所示, 试问负载阻
抗 ZL为何值时能获得最大功率? 最大功率 PLmax是多少?
图 5.8-3 例 5.8-3 用图
电路基础
解 将负载 ZL断开, 电路如图 (b)所示 。
电阻与电感并联的阻抗为
VIZU
j
j
j
Z
sRLoc
RL
???????????
???????
?
?
?
4510024552
554552
1010
1010
??
W
R
U
P
jjXRZZ
jjZZ
L
oc
L
LLL
RL
5
54
10
4
35
358
22
m a x
*
0
0
?
?
??
??????
?????
电路基础
例 5.8-4 电路如图 5.8-4(a)所示。
tVttu s ?? 2c o s102c o s10215)( ?????
式中 ω=103 rad/s。求 ab两端的输出电压 u(t)。
图 5.8-4 例 5.8-4 用图
电路基础
tVu
tVu
Vu
uuutu
s
s
s
ssss
?
?
2c o s102
c o s102
15
)(
3
2
1
321
??
??
?
???解 电源 u
s(t)可以看作是 3 个电源叠加而成的，即
(1) us1作用于电路。
Vutu s 15)( 11 ??
电路基础
电路基础
(3) us3作用于电路。
电路基础
例 5.8-5 电路的相量模型如图 5.8-5 所示 。 已知 R=3Ω,
XC=4Ω,XL=4Ω,电容电压的有效值 UC=20V,求电流有效值 I。
图 5.8-5 例 5.8-5 用图
电路基础
解 设电容电压 为参考相量，即
VU C ??? 020?
CU?
?????????
?
?
??
?
?
?
1.53543
5
4
020
1
1
jjXRZ
Aj
jjX
U
I
C
C
C
?
?
AjjIII
Aj
jjX
U
I
VIZU
L
????????
??????
??
??
????
075.3575.35
575.31.5325.6
4
9.3625
9.3625
21
2
11
???
?
?
??
电路基础
例 5.8-6 电路如图 5.8-6(a)所示 。 已知 C=0.02F,L=1H，
,)905c o s (2 AtiC ???
电路消耗的功率 P=10 W，试求电阻 R和电压 uL。
图 5.8-6 例 5.8-6 用图
电路基础
解
????
?
????????
??
?
??
?????
10
10
100
010110
10
02.05
11
515
2
2
P
U
R
R
U
P
VjjIjXU
C
X
LX
C
C
CCC
C
L
??
?
?
电路基础
通过电阻的电流相量为
Vtu
VjIjXU
AjIII
A
R
U
I
L
LL
CR
C
R
)1355c o s (10
135524525
45211
01
10
010
???
?????????
???????
???
??
??
??
???
?
?
根据 KCL得
电路基础
5.9 三相电路概述
图 5.9-1 三相电源
电路基础
这三个相电压的瞬时表示式为
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
)240c o s (2)(
)120c o s (2)(
c o s2)(
tUtu
tUtu
tUtu
pc
pb
pa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
????
???
1 2 02 4 0
1 2 0
0
ppc
pb
pa
UUU
UU
UU
?
?
?
电路基础
图 5.9-2 对称三相电压相量图
电路基础
5.9.1 三相电源的连接
图 5.9-3 三相电源的 Y形连接
电路基础
由图 5.9 - 3(a)可知,3 个线电压相量分别为
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
acca
cbbc
baab
UUU
UUU
UUU
???
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???????????
303
2
3
2
3
2
3
2
1
1200
pp
ppppab
UUj
UjUUUU ?
???
????
1 5 03
903
pca
pbc
UU
UU
?
?
电路基础
电路基础
若相电压是对称的, 则线电压也是对称的, 而且线电压的有
效值 (振幅 )是相电压的 倍 。 设线电压的有效值为 Ul,即3
pl UU 3?
在三相电压组成的闭合回路中，回路中的总电压为
0??? cba UUU ???
其相量图如图 5.9-5(a)所示 。 如果将某一电压源接反了,
例如电压源 uc,将 z与 y,c与 a相接, 这时闭合回路中的总电
压为
cpjjpcba UUeeUUUU ???? 2602)1( 1 2 01 2 0 ??????????? ???
电路基础
电路基础
5.9.2 三相电路的计算
图 5.9-6 对称三相四线制
电路基础
设负载阻抗 Z=|Z|∠ φZ,由于图 5.9-6 的电路只有两个节点,
因而用节点法分析较为方便 。 设 0为参考节点, 节点 0′到 0
的电压为, 列出节点方程为
0'0U?
Z
UUU
Z
U
Z
U
Z
U
U
ZZZZ
cba
cba
???
???
?
??
?
?????
?
?
??
?
?
???
0'0
0
1111
0??? cba UUU ???
00'0 ?U?
电路基础
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???
?
??
??
1 2 0
1 2 0
0
Z
pc
c
Z
pb
b
Z
p
Z
pa
a
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
I
Z
U
Z
U
Z
U
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ZZ lllppp IUIIUPP ?? c o s3c o s33 ???
ZZ l
l
ppp I
UIUP ?? c o s
3
c o s ??
电路基础
图 5.9-7 负载的△形连接
电路基础
设线电压为
???
????
???
1 2 0
1 2 0
0
lca
lbc
lab
UU
UU
UU
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
???
?
??
??
1 2 0
1 2 0
0
Zp
ca
ca
Zp
bc
bc
Zp
Z
lab
ab
I
Z
U
I
I
Z
U
I
I
Z
U
Z
U
I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
电路基础
相电流是对称的, 其有效值 。 线电流为
Z
UI l
p ?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
??????????????
903
1 5 03
3031 2 0
Zpbccac
Zpabbcb
ZpZpZpcaaba
IIII
IIII
IIIIII
?
?
???
???
???
???
pl II 3?
Zppp IUP ?co s?
ZZ llppp IUIUPP ?? c o s3c o s33 ???
电路基础
例 5.9-1 对称三相三线制的线电压为 380V,每相负载阻抗
为 Z=10∠ 53.1° Ω,求负载为 Y形和 △ 形连接时的电流和三相
功率 。
解 正弦稳态电路中, 如不加说明, 电流, 电压的大小都
是指有效值 。
(1) 负载为 Y形连接时，电路如图 5.9-8(a)所示。相电压的
有效值为
VUU lp 22033803 ???
A
Z
U
I
VU
a
a
a
????
??
??
??
???
1.5322
1.5310
0220
0220
?
?
?
故
可以设想电源中点 0 与负载中点 0′用理想导体连接,并设
电路基础
图 5.9-8
电路基础
其它两相电流为
AI
AI
c
b
?????????
??????????
9.66221201.5322
1.173221201.5322
?
?
三相总功率为
WIUP Zll 6 8 881.53c o s223 8 03c o s3 ??????? ?
电路基础
(2) 负载为△型连接时，电路如图 5.9-8(b)所示。设
A
Z
U
I
VU
ab
ab
ab
????
??
??
??
???
1.5338
1.5310
0380
0380
?
?
?
则
其它两相电流为
AI
AI
ca
bc
???
????
9.6638
1.17338
?
?
电路基础
线电流为
AII
AII
AII
Zpc
Zpb
Zpa
????????
?????????
?????????
9.36383903
1.2 0 33831 5 03
1.83383303
?
?
?
?
?
?
三相功率为
W
IUP Zll
06426
1.53co s3833803co s3
?
??????? ?
电路基础
补充
谐振电路
一、串联电路的谐振
电路基础
一,串联电路的谐振 在下图所示的 RLC串联电路中,
电流与电压的相位是不同的。 若要使其相位相同,可通过
调节电路中的 L,C
补充 谐振电路
I ··
(a)
I·
(b)
串联谐振电路
UI·
L UL·
UC·
UL
UC·
U·＝ UR·
C
电路基础
1、串联谐振的定义：
在 R-L-C串联电路中，当 电压电流参考方向一致时，
电路端电压与电路电流相位相同的现象称为串联谐振。
该电路阻抗为：
ZCL ZXXjRCLjRZ ????????? )()
1(
??
其中：
R
XXa r c tg CL
z
???
电流为
Z
UI S
.
1
.
?
当角频率,L,C满足一定条件时,XL =XC,此时
电路中电流电压在参考方向一致的情况下相位相同。
电路基础
当电感上的电压与电容上的电压幅值相等,相位相反
时,它们正好相互抵消,
得 XL=XC
即
或
得
可见,
CLCL IXIXUU ??,
CL ??
1?
fcfL ?? 2
12 ?
LCff ?2
1
0 ??
2、串联谐振的条件
电路基础
在式中,将 f0称为谐振频率。当电路参数 L,C一定时,
f0为一定值,所以 f0又称为电路的固有频率。 若此时外加信
号的频率与 f0相一致,电路将工作在谐振状态。 若要使电
路在频率为 f的外加电压下发生谐振,可以通过改变电路参
数 L,C,使电路的固有频率 f0与外加电压的频率 f相等来实
现。
调电容
L
C 2
0
1
?
?
调电感
C
L 2
0
1
?
?
电路基础
(3) 电感的端电压 与电容的端电压 大小相等,相
位相反,相互补偿,外加电压与电阻上的电压相平衡,即
,其相量图如图 2- 43（ b
RUU
.,?
LU
.
CU
.
（ 1）电路中的电流 I=U/R为最大，电流与电压同相
位,电路呈电阻性。
（ 2） 阻抗最小且为纯电阻,电流最大。因为谐振时,
电抗 X=0,所以 Z=R+jX=R。
3、串联谐振的特征,
电路基础
(4) 电感或电容两端的电压可能大大超过外加电压。 电感
或电容的端电压与外电压之比为
Q值称为谐振电路的品质因数。 可见,当 XL>> R时,
在 L或 C的两端就会产生超过外加电压几十至几百倍的电
压,。 所以串联谐振也叫做电压谐振。
R
L
R
X
RI
IX
U
UQ LLL 0?????
(5) 谐振时，电路的电抗为零，感抗和容抗相等并等于电
路的特性阻抗 。?
C
L??
电路基础
4、串联谐振电路的谐振曲线
对于 RLC串联电路，当外加电压的频率变动时，电路中的
电流、电压、阻抗、导纳等都将随着频率而改变，这种随
频率变化的关系，称为频率特性。其中表明电流、电压与
频率关系的曲线，称为谐振曲线。
电路基础
电路中电流为：
Z
UI S
.
1
.
?
有效值为,YU
Z
U
C
LR
UI
S
SS ??
??
?
22 )1(
?
?
由于电路中电抗 X随频率而变化，所以阻抗和导纳的模
也随之而变化，导致电流有效值大小也随频率变化。
串联谐振电路中电流有效值大小随电源频率变化的曲线
称为串联谐振电路的电流幅频曲线或称电流谐振曲线。
电路基础
从图上看出，当 时，电流达到最大值。
0?? ?
电路基础
由于
20
0
0
2
0
0
0
22 )(1
)(1
)
1
(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
Q
I
R
L
R
U
C
LR
U
I SS
即：
20
0
20 )(1
1
?
?
?
?
??
?
Q
I
I
电路基础
通用电流谐振曲线。
电路基础
5、串联谐振电路的通频带
当信号通过某电路时，各种频率成分的电压在电路中
产生的电流，其振幅如果能保持原来的电压振幅间的比
例，那么我们说信号通过电路时没有产生幅度失真。
在实际应用种常把电路电流 的频率范围称为
该电路的通频带。用 B表示。 02
1 II ?
电路基础
fffB ???? 212
通频带与电路参数的关系：
Q
ffB 02 ???
电路基础
2.8.2 并联谐振
如果将电感线圈与电容器相并联,若电路参数选取适
当,可使总电流 I与外加电压 U同相位,此时电路发生了并
联谐振。 实际上线圈也存在电阻,可看成 R与 L串联后再
与 C相并联,如图 2 - 43所示。
( a )
I
C
·
( b )
图2 - 4 3 并联谐振电路
U
·
U
L
·
U
R
·
U
C
·
I
L
·
U
·
I
·
I
1
电路基础
R,L支路中的电流为
LjR
U
jXR
UI
L ??
?
?
?
..
1
.
电容 C支路中的电流为
.
..
.
1
UCj
C
j
U
jX
U
I
C
C ?
?
?
?
?
?
?
则总电流为
.
2222
.
22
.
.
..
1
.
)()(
]
)(
[
U
LR
L
Cj
LR
R
UCj
LR
LjR
UCj
LjR
U
cIII
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
电路基础
从上式可看出,若要使电路中的 电流与外加电压 同相位,
必须使 的虚部为零,即
.I,U
.I
22 )( LR
LC
?
??
??
一般情况下,线圈的电阻 R很小,可忽略不计,
LC
f
LC
L
C
?
?
?
?
2
1
1
1
0
0
?
?
?
谐振角频率为
因此谐振频率为
电路基础
并联谐振具有以下特征,
（ 1） 电流与电压同相位,电路呈现电阻性。
（ 2） 阻抗最大,电流最小。
因谐振时,的虚部为零,.I
R
L
R
LR
Z
Z
U
R
LR
U
U
LR
R
I
2
0
2
0
2
.
2
0
2
.
.
2
0
2
0
.
)()(
)()(
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
即
电路基础
由于实际的电阻 R很小,因此并联谐振阻抗非常高。若 R→0
时,Z→∞ 。可见并联谐振电路会阻止频率 f0的电流通过,使电
流非常小。
（ 3） 流经电感的电流与电容的电流大小相等,相位相反。
相量图如图 2 - 43（ b）所示。由于 与 同相位,且 的
数值又最小,所以 与 大小近似相等,相位相反。
（ 4） 电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流。
电感支路的电流 IL（或电容支路的电流 IC）与总电流 I0之比
称为电路的品质因数 Q。
.U,I,I
.
LI CI
.
电路基础
R
L
L
R
L
L
Z
Z
U
L
U
I
I
Q L 0
0
2
0
0
0
0
0
0
)(
?
?
?
?
?
????
由于 R<<ω0L,一般可使通过电感或电容支路的电流是总
电流的几十至几百倍,因此并联谐振又称为电流谐振。
电路基础
2.8.3 谐振电路的应用
在电力系统中,若发生串联谐振是非常危险的,例如
外加电压为 U=220V,Q=10,如果发生谐振,电感或电容两
端的电压 UL=UC=QU=10× 220=2200V。若 Q值再大,其
两端的电压会更大,这样高的电压会对设备造成损害。
考虑到电路谐振这一特点,就可设法避免因此而造成电器
设备的损坏并保障人身安全。
电路基础
在电子技术中,串联谐振却得到了广泛应用。例如,在无
线电接收机中,串联谐振可用于信号的选择（选频）。图 2 -
44（ a）是收音机中磁性天线的示意图。 线圈绕在磁棒上
（ L）,两端接上可变电容（ C）。 当不同频率的电磁波信号
经过天线时,线圈中就会感应出不同频率的电动势 e,其原理
线路如图 2 - 44（ b）所示。 电路中的电流是各个不同频率电
动势 e1,e2 … en所产生电流的叠加。 如果调节电容 C使之
与某电台的信号频率 fn发生谐振,则电路对该电台信号源 en阻
抗最小,该频率的信号电流最大,在电感两端就会得到最高的
输出电压,经放大和后续电路处理后,扬声器就播出该电台的
节目。 而对于其他电台的信号频率,电路不发生谐振,阻抗很
大,故电流受到抑制,电感上输出的电压就很小。 因此,调节
电容 C的数值,电路就会对不同的频率发生谐振,从而达到选
择电台节目的目的。 谐振电路的 Q值越大,
电路基础
＋
－
C
R
L
( a ) ( b )
＋
－
f
1
f
2
e
1
e
2
＋
－
f
n
e
n
R
L
C
图2 - 4 4 串联谐振选频电路
线圈
天线
电路基础
例 2.17 某收音机选频电路的电阻为 10Ω,电感为
0.26mH,当电容调至 238 pF时,与某电台的广播信号发生串
联谐振。 试求,
（ 1） 谐振频率 ;
（ 2） 该电路的品质因数 Q;
（ 3） 若信号输入为 10μV,求电路中的电流及电感的端
电压 ;
（ 4） 某电台的频率是 960kHz,若它也在该选频电路
中感应出 10μV的电压,电感两端该频率的电压是多少？
电路基础
解 （ 1） 谐振频率
k H zLCf 6 4 0102 3 81026.02 12 1 1230 ????? ??? ??
即与中波段的 f=640kHz的电台发生谐振。
(2) 品质因数
10510 1026.01064022
33
0 ????????
???
R
Lf
R
XQ L
（ 3） 当信号电动势为 10μV时,电流为
AVREII ?? 110100 ?????
电感两端电压为
mVQUUU CL 05.1101 0 5 ?????
电路基础
（ 4） 频率为 960kHz时,选频电路对该频率的阻抗为
????????? 87087010)2 12( 222222 fCfLRXRZ ??
当信号的感应电压为 10μV时,与该频率对应的电流为
AAI ?0115.0100115.0870 1010' 6
6
????? ?
?
电感上与该频率相对应的电压为
VIXU LL ?18'' ??
电路基础
由此可见,在上面的选频电路中,电感两端与 640 kHz
信号相对应的电压与 960 kHz信号相对应电压 1050/18=58.4
倍。这就是说,f=960kHz的电台受到了抑制（同理也抑制了
其它电台）,只选择了频率为 640 kHz的电台。 L
i
s
C
图2 - 4 5 并联谐振选频电路
电路基础
并联谐振在无线电工程及电子仪器中也得到广泛的应
用,例如利用谐振时的高阻抗来进行选频。如图 2 - 45 所示,
将一信号源接于 LC并联电路,信号源输出含有多个不同频
率的信号,当并联电路对其中某一频率的信号发生谐振时,
会对其呈现出最大的抗阻 Zmax,从而在信号源两端得到最
大电压 Umax,而对其他频率的信号则呈现小阻抗,电压很
低,可忽略不计,因此在并联谐振电路的两端可把所需频率
的信号筛选出来,其他频率的信号则被抑制掉,从而实现了
选频的作用。选频特性的好坏由 Q值决定。
电路基础
例 2.18 在收音机中频放大器中,利用并联谐振电路
对 465kHz的信号进行选频,设线圈 L=150μH,电阻 R=5Ω,谐
振时的总电流 I0=1mA。试求,
（ 1） 对 465kHz信号应选用多大电容 ;
（ 2） 谐振时的阻抗 ;
（ 3） 电路的品质因数 ;
（ 4） 电感,电容中的电流。
电路基础
解（ 1） 选择 465kHz的信号,必须使电路的固有频率
f0=465kHz。
???????? ? 438101501046522 6300 ??? LfL
因为线圈电阻 R=5Ω,ω0L>>R,所以 ω0L≈1/ω0C,由此可得
pFLfLC 78010150)104652( 1)2( 11 6232
0
2
0
???????? ????
（ 2） 谐振阻抗
??? KRLZ 4.38)(
2
0
0
?
电路基础
(3) 品质因数
880 ?? R LQ ?
(4) 电感及电容中的电流
mAQIII CL 880 ???
电路基础
5.10 小 结
1,正弦信号的三要素和相量表示
)c o s (2)c o s ()( iim tItIti ???? ????
式中振幅 Im(有效值 I),角频率 ω(频率 f)和初相角 θi称为正弦
信号的三要素 。 设两个频率相同的正弦电流 i1和 i2,它们的
初相角分别为 θ1和 θ2,那么这两个电流的相位差等于它们
的初相角之差, 即
21 ??? ??
电路基础
若 ψ>0,表示 i1的相位超前 i2; 若 ψ<0,表示 i1的相位滞后 i2。
正弦电流可以表示为
]2R e []R e [)c o s ( tjtjmim eIeItIi ???? ?????
式中 称为电流振幅 (有效值 )相量 。
相量是一个复常数, 它的模表示了正弦电流的振幅 (有效
值 ),辐角表示了正弦电流的初相角 。
)( ii jjmm IeIeII ?? ?? ??
电路基础
2,R,L,C元件 VAR相量形式
电路基础
3,阻抗与导纳
一个无源二端电路可以等效成一个阻抗或导纳。 阻抗定义为
ZZI
UZ ????
?
?
m
m
I
U
I
UZ ??
iuZ ??? ??
jXRZZ Z ???? ?
电路基础
??
?
?
?
?
?
Z
Z
ZX
ZR
?
?
s in
c o s
?
?
?
?
?
?
??
R
X
a rct g
XRZ
Z?
22
指数型与代数型的转换关系为
导纳定义为
yYU
IY ????
?
?
ZY
1?
电路基础
|Y|称为导纳模,φy称为导纳角。它们与电流、电压之间有如
下关系：
?
?
?
?
?
??
??
uiy
m
m
U
I
U
I
Y
???
Zy
Z
Y
?? ??
?
1
导纳也可以表示成代数型，即
jBGYY y ???? ?
电路基础
指数型与代数型的转换关系为
??
?
?
?
?
?
y
y
YB
YG
?
?
s in
c o s
?
?
?
?
?
?
??
G
B
a r c tg
BGY
y?
22
电路基础
4,电路定律的相量形式和相量分析法
KCL和 KVL的相量形式分别为
0
0
?
?
?
?
U
I
?
?
欧姆定律的相量形式为
IZU ?? ?
电路基础
5,正弦稳态电路的功率
Z
Z
UIQ
UIP
?
?
s in
co s
?
?
Zj
S
eSjQPS
UIP
????
?
任一阻抗 Z的有功功率 (平均功率 )和无功功率分别为
视在功率为
复功率为
在电源和内阻抗 Zi一定条件下，负载阻抗 ZL获得最大功率的条件为
*iL ZZ ?
电路基础
这称为共轭匹配,此时负载获得的最大功率为
iiiL ZXRP ???
22
这称为模匹配, 即负载电阻 RL等于内阻抗的模 |Zi|时, 能
获得最大功率 。 计算模匹配情况下的最大功率, 首先应
该计算流过负载电阻 RL的电流, 那么负载电阻消耗的
功率为
RI?
LRL RIP
2?
