电路基础
第六章 互感与理想变压器
6.1 耦合电感元件
6.2 耦合电感的去耦等效
6.3 含互感电路的相量法分析
6.4 理想变压器
6.5 实际变压器模型
电路基础
6.1 耦合电感元件
6.1.1 耦合电感的基本概念
图 6.1-1耦合电感元件
电路基础
21221
12112
??
??
N
N
?
?
2
12
12
1
21
21
i
M
i
M
?
?
?
?
2112 MM ?
21 LLM ?
电路基础
φ12≤φ22,φ21≤φ11,所以
21
2
222
1
111
1
212
2
121
1
21
2
12
2112
2
LL
i
N
i
N
i
N
i
N
ii
MMM
??
???
??
????
21 LLM ?
21 LLkM ?
21 LL
Mk ?
电路基础
图 6.1-2 耦合系数 k与线圈相互位置的关系
电路基础
6.1.2 耦合电感线圈上的电压、电流关系
图 6.1-3 磁通相助的耦合电感
电路基础
12221222
21112111
MiiL
MiiL
????
????
???
???
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1 ???
?
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2 ???
?
电路基础
图 6.1-4 磁通相消的耦合电感
电路基础
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
12
2
2
2
21
1
1
1
21222
12111
???
???
??
??
?
?
???
???
当电流分别从两线圈各自的某端同时流入 (或流出 )时, 若
两者产生的磁通相助, 则这两端称为两互感线圈的同名端,
用标志, ·”或, *” 表示 。
电路基础
图 6.1-5 互感线圈的同名端
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
??
电路基础
图 6.1-6 磁通相消情况互感线圈
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
??
电路基础
图 6.1-7 互感线圈同名端的测定
电路基础
例 6.1-1 图 6.1-8(a) 所示电路, 已知 R1=10Ω,L1=5H,
L2=2H,M=1H,i1(t)波形如图 6.1-8(b)所示 。 试求电流源两端
电压 uac(t)及开路电压 ude(t)。
图 6.1-8 例 6.1-1用图
电路基础
解 由于第 2个线圈开路，其电流为零，所以 R2上电压
为零,L2上自感电压为零,L2上仅有电流 i1在其上产生的
互感电压。这一电压也就是 d,e开路时的电压。根据 i1的
参考方向及同名端位置，可知
dt
tdiMtu
de
)()( 1?
dt
tdiLtu
bc
)()( 1
1?
dt
tdiLtiRtututu
bcabac
)()()()()( 1
111 ????
电路基础
在 0≤t≤1 s时
Atti 10)(1 ?
(由给出的 i1(t)波形写出 )
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
de
bcabac
bc
ab
10
)10(
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501 0 0)()()(
50)10(5)(
1 0 01010)()(
1
1
1
11
???
????
???
????
电路基础
在 1≤t≤2s时
Atti 2010)(1 ???
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
dc
bcabac
bc
ab
10
)2010(
1)(
1 5 01 0 0)()()(
50)2010(5)(
2 0 01 0 0)2010(10)()(
1
1
1
11
??
??
??
?????
??????
???????
电路基础
在 t≥2s时
0)(1 ?ti
0,0,0,0 ???? deacbcab uuuu
?
?
?
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?
?
??
?
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0
150100
50100
)( Vt
Vt
tu ac
?
?
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??
?
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??
0
10
10
)( V
V
tu
de
其余
st
st
21
10
??
??
其余
st
st
21
10
??
??
电路基础
例 6.1-2 图 6.1-9所示互感线圈模型电路, 同名端位置
及各线圈电压, 电流的参考方向均标示在图上, 试列写出
该互感线圈的电压, 电流关系式 (指微分关系 )。
图 6.1-9 例 6.1-2用图
电路基础
解
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
???
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
电路基础
6.2 耦合电感的去耦等效
6.2.1 耦合电感的串联等效
图 6.2-1 互感线圈顺接串联
电路基础
由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、电流关系，得
dt
di
L
dt
di
MLL
dt
di
M
dt
di
L
dt
di
M
dt
di
Luuu
ab
?
???
??????
)2(
21
2121
MLLL ab 221 ???
式中
电路基础
图 6.2-2 互感线圈反接串联
MLLL ab 221 ???
电路基础
6.2.2 耦合电感的 T型等效
1,同名端为共端的 T
图 6.2-3 同名端为共端的 T型去耦等效
电路基础
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
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??
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
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M
dt
di
M
dt
di
M
dt
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Lu
)(
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2111
11
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????
dt
iid
M
dt
di
ML
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M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
?
???
????
电路基础
2,异名端为共端的 T型去耦等效
图 6.2-4 异名端为共端的 T型去耦等效
电路基础
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
??
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 2111
2111
11
?
???
????
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
?
???
????
电路基础
以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法,
它们适用于任何变动电压, 电流情况, 当然也可用于正弦
稳态交流电路 。 应再次明确, 无论是互感串联二端子等效
还是 T型去耦多端子等效, 都是对端子以外的电压, 电流,
功率来说的, 其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系
数, 互感系数有关, 而且还与同名端的位置有关 。
电路基础
例 6.2-1 图 6.2-5(a)为互感线圈的并联, 其中 a,c端为同名
端, 求端子 1,2间的等效电感 Leq 。
图 6.2-5 互感线圈并联
电路基础
解
应用互感 T型去耦等效, 将 (a)图等效为 (b)图 (要特别注
意等效端子, 将 (a),(b)图中相应的端子都标上 )。 应用无互
感的电感串, 并联关系, 由 (b)图可得
MLL
MLL
MLL
MLML
M
MLMLML eq
22
))((
)/ / ()(
21
2
21
21
21
21
??
?
?
??
??
??
????
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
??
??
电路基础
例 6.2-2 如图 6.2-6(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈,
已知 us(t)=2cos(2t+45° ) V,L1=L2=1.5H,M=0.5 H,负载电阻
RL=1Ω。 求 RL上吸收的平均功率 PL。
图 6.2-6 含有互感的正弦稳态电路
电路基础
解
A
jjjj
U
I smm ???
??
??
?
????
? 022
45
2
1
452
2)]2(1/ / [)21(
?
?
AjjIjjj jjI mLm ????????????? ?? 135202211 12121 21 ??
WRIP LLmL 212
2
1
2
1 22 ?????
电路基础
例 6.2-3 图 6.2-7(a) 所示正弦稳态电路, 已知 L1=7H,
L2=4H,M=2H,R=8Ω,us(t)=20 cost V,求电流 i2(t)。
图 6.2-7 例 6.2-3用图
电路基础
解
Ajjj UI smm ?????? ?????? 9.3629.3610 0202//258
??
AIjj jI mLm ??????????? 9.3619.3622122 2 ??
Atti )9.36c o s ()(2 ???
电路基础
6.3 含互感电路的相量法分析
6.3.1 含互感电路的方程法分析
图 6.3-1 两个回路的互感电路
电路基础
由 KVL得
?
?
?
?
?
?
?
????
???
0)( 12
222
21
111
dt
di
M
dt
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LiRR
u
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di
M
dt
di
LiR
L
s
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????
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)(
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2111
ILjRRIMj
UIMjILjR
L
s
??
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??
??
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?
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??
0222121
212111
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??
???
电路基础
22
221121122211
21
1
22
21
2
22
2211
22
21122211
22
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1211
22
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MZZ
UMj
ZZZZ
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I
Z
Z
I
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UZ
ZZZZ
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22
2211
22
1 ))((
)(
MLjRRLjR
ULjRRI
L
sL
???
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????
??? ??
22
2211
2 ))(( MLjRRLjR
UMjI
L
s
???
?
????
?? ??
电路基础
6.3.2 含互感电路的等效法分析
22
22
11
1
Z
M
Z
U
I s
?
?
?
?
?
22
22
1 Z
MZ
f
??
111
1
f
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ZZ
UI
?
?
??
电路基础
图 6.3-2 初级等效电路
电路基础
设次级回路自阻抗
222222 jXRZ ??
11
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
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22
22
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1
ff
f
jXR
XR
XM
j
XR
RM
jXR
M
Z
M
Z
??
?
?
?
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22
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1
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X
XR
M
X
R
XR
M
R
f
f
?
??
?
?
?
?
电路基础
从初级端看的输入阻抗
22
22
11111
1
1
Z
MZZZ
I
UZ
fin
??????
?
?
22
1
2
1
22
21
2
Z
IMj
I
I
Z
Z
I
?
?
??
??
?
??
应当清楚, 该等效电路必须在求得了初级电流 的前提下
才可应用来求电流,特别应注意的是, 等效源的极性, 大
小及相位与耦合电感的同名端, 初,次级电流参考方向有关
1I?
2I?
电路基础
图 6.3-3 次级等效电路
电路基础
图 6.3-4 求开路电压用图
电路基础
电路基础
11
10
10
LjR
U
I
IMjU
s
oc
?
?
?
?
??
?
?
??
22
11
22
2
11
22
'
220 fZLjLjR
MLj
Z
MZZ ??
????? ??
???
11
22
2 Z
MZ
f
??
电路基础
图 6.3-6 次级等效电路
电路基础
例 6.3-1 互感电路如图 6.3-7(a)所示, 使用在正弦稳态电
路中, 图中 L1,L2和 M分别为初级, 次级的电感及互感 。 将
互感电路的次级 22′短路, 试证明该电路初级端 11′间的等效
阻抗
21
1
2
'11 )1(
LL
M
k
LkjZ
?
?? ?
其中
电路基础
图 6.3-7 例 6.3-1用图
电路基础
证明 (一 ) 由图可知
222111,LjZLjZ ?? ??
2
2
2
22
22
1 L
Mj
Z
MZ
f ?
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
21
2
1
2
2
1111'11
1
LL
M
Lj
L
M
jLjZZZ
f
?
??
12'11 )1( LkjZ ?? ?
电路基础
证明 (二 )
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
?
???
????
21
2
2
21
2
2221
2
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1
21'11
1
2
)(
)/ / ()(
LL
M
L
LL
L
MMLMLLL
MML
MLM
ML
MLMMLZ
1
2
'11
1
2
'11
)1(
)1(
LkjL
LkL
??
??
?
电路基础
例 6.3-2 图 6.3-8(a) 所示互感电路, 已知 R1=7.5Ω,
ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,
=15∠ 0° V。 求电流 R2上消耗的功率 P2。
1
1
C?
sU?,,21 II ??
图 6.3-8 例 6.3-2用图
电路基础
解
????????? 5.75.75.22305.71
1
1111 jjjCjLjRZ ??
????? 60602222 jLjRZ ?
?????? 5.75.76060 30
2
22
22
1 jjZ
MZ
f
?
AjjZZ UI
f
s ???
???
???
?? 015.75.75.75.7
015
111
1
??
AjjZ IMjI ???? ????? 45225.06060 0130
22
1
2
?? ?
WRIP 5.760)225.0( 22222 ????
电路基础
例 6.3-3 图 6.3-9(a)所示电路, =10∠ 0° V,ω=106
rad/s,L1=L2=1mH,C1=C2=1 000pF,R1=10 Ω,M=20μH。 负载电
阻 RL可任意改变, 问 RL等于多大时其上可获得最大功率, 并求
出此时的最大功率 PL max及电容 C2上的电压有效值 UC2。
sU?
图 6.3-9 例 6.3-3用图
电路基础
解 自 22′处断开 RL,
A
Z
U
I
ZZZZ
Z
M
Z
jj
C
jLjZ
s
ff
f
???
??
??
??????
??
??
??
?
??
??????
?
?
?
01
10
010
)(40400'
)(40
10
)1020()10(
0
101 0 0 010
1
10110
1
'
11
10
22220
2626
11
22
2
126
36
2
222
?
?
纯阻
纯阻
?
?
?
电路基础
VI
C
U
WRIP
j
RZ
IMj
I
C
LL
L
25025.0
10100010
11
5.240)25.0(
9025.0
4040
01102010
1262
2
2
22
2m a x
66
0
10
2
??
??
??
????
???
?
?????
?
?
?
?
?
?
? ?
?
电路基础
6.4 理 想 变 压 器
6.4.1 理想变压器的三个理想条件
理想变压器多端元件可以看作为互感多端元件在满足下
述 3个理想条件极限演变而来的 。
条件 1：耦合系数 k=1,即全耦合 。
条件 2：自感系数 L1,L2无穷大且 L1/L2等于常数 。 由 (6.1-4)
式并考虑条件 1,可知 也为无穷大 。 此条件可简
说为参数无穷大 。
条件 3,无损耗。
21 LLM ?
电路基础
6.4.2 理想变压器的主要性能
图 6.4-1 变压器示意图及其模型
电路基础
)(
)(
212222122222
121111211111
?????
?????
????
????
NNN
NNN
?????
?????
????
????
11222122
22111211
??
??
22
11
N
N
?
?
电路基础
1,变压关系
dt
d
N
dt
d
u
dt
d
N
dt
d
u
??
??
2
2
2
1
1
1
??
??
nNNuu ??
2
1
2
1
若 u1,u2参考方向的, +”极性端都分别设在同名端,
则 u1与 u2之比等于 N1与 N2之比 。
nNNuu ????
2
1
2
1
(6.4-5)
(6.4-4)
电路基础
在进行变压关系计算时是选用 (6.4-4)式或是选用 (6.4-5)
式决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置, 与两线圈
中电流参考方向如何假设无关 。
图 6.4-2 变压关系带负号情况的模型
电路基础
2,变流关系
图 6.4-3 变流关系带负号
电路基础
dt
diM
dt
diLu 21
11 ??
(6.4-6)
设电流初始值为零并对 (6.4-6)式两端作 0～ t的积分，得
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t ?? ? ??
1
2
1
111
1
112
1
111
1
212
1
N
N
i
N
i
N
i
N
i
N
L
M
???
?
?
?
?
电路基础
)()( 2
1
2
1 tiN
Nti ??
nN
N
ti
ti 1
)(
)(
1
2
2
1 ????
nN
N
ti
ti 1
)(
)(
1
2
2
1 ??
在进行变流关系计算时是选用 (6.4-9)式还是选用 (6.4-10)式取
决于两电流参考方向的流向与同名端的位置, 与两线圈上电
压参考方向如何假设无关 。
(6.4-10)
(6.4-9)
电路基础
图 6.4-4 变流关系不带负号
电路基础
0
))()((
1
)()(
)()()()()(
1111
2211
?
???
??
tnitu
n
titu
titutitutp
理想变压器不消耗能量, 也不贮存能量, 所以它是不
耗能, 不贮能的无记忆多端电路元件 。
电路基础
3,变换阻抗关系
图 6.4-5 推导理想变压器变换阻抗关系用图
电路基础
2
1
2
1
2
2
1
1
I
N
N
I
U
N
N
U
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2
2
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2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
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???
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LLin ZnZN
NZ 2
2
2
1 ?
???
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???
??
电路基础
理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当
于初级亦开路 。
(1) 理想变压器的 3个理想条件,全耦合, 参数无穷大,
无损耗 。
(2) 理想变压器的 3个主要性能：变压, 变流, 变阻抗 。
(3) 理想变压器的变压, 变流关系适用于一切变动电压,
电流情况, 即便是直流电压, 电流, 理想变压器也存在上述
变换关系 。
(4) 理想变压器在任意时刻吸收的功率为零, 这说明它是
不耗能, 不贮能, 只起能量传输作用的电路元件 。
电路基础
例 6.4-1 图 6.4-6(a)所示正弦稳态电路,
(1) 若变比 n=2,求电流 以及 RL上消耗的平均功率 PL;
(2) 若匝比 n可调整, 问 n=? 时可使 RL上获最大功率, 并求
出该最大功率 P L max。
图 6.4-6 例 6.4-1用图
电路基础
解 (1)
??
??
?
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11
11
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11
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416
08
1
1
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WRIP inL 64.044.0 221 ????
电路基础
(2) 改变变比 n以满足最大输出功率条件
LLin RRnR ?? 2
41161 ???
LR
Rn
W
R
UP s
L 1164
8
4
2
1
2
m a x ????
电路基础
例 6.4-2 图 6.4-7(a)所示电路, 理想变压器匝比为 2,开
关 S闭合前电容上无贮能, t=0时开关 S闭合, 求 t≥0+时的电
压 u2(t)。
图 6.4-7 例 6.4-2用图
电路基础
解
????? 412 222 RnR in
sVuu CC 1,10)(,0)0( ????? ?
Vetu tc ]1[10)( ???
Aeedt tduCti ttC ?? ???? 5.21025.0)()(1
Aeetniti tt ?? ??????? 55.22)()( 12
?
?? ??????? 05)5(1)()(
222 tVeetiRtu
tt
电路基础
例 6.4-3 图 6.4-8电路, 求 ab端等效电阻 Rab。
图 6.4-8 例 6.4-3用图
电路基础
解 uuiuuuu
4
1
2,2
1,2
321 ????
uuuiii
u
uu
uu
i
12
1
6
1
4
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1
3
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1
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21
4
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?
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?????
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24
5
24
5
24
1
6
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1
12
1
2
1
2
1
14
21
u
u
i
u
R
uuuiii
uuii
ab
电路基础
6.5 实际变压器模型
6.5.1 空芯变压器
1,
图 6.5-1互感线圈形式模型
电路基础
dt
di
LL
dt
di
L
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
LL
dt
di
L
dt
di
M
dt
di
Lu
1
21
2
2
12
22
2
21
1
1
21
11
????
????
2
1
2
1
2
2
1
1
1
21
2
2
2
1
1
L
L
u
u
u
L
L
u
dt
di
LL
dt
di
L
L
L
u
?
?
?
?
?
?
?
?
??
电路基础
2
1
2
1
2
1
2
222
2
221
22
1
N
N
u
u
N
N
i
N
i
N
L
M
L
L
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???
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1
2
0 1
1
1 tiL
Ldu
Lti
t ?? ? ??
电路基础
)(')(
)()(
)()(
1
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1
2
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2
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1
1
1
titi
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N
N
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ti
N
N
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L
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t
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?
?
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)(
1
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1
2
1
0
1
1
ti
N
N
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du
L
ti
t
??
? ? ??
?
电路基础
图 6.5-2 全耦合空芯变压器模型
电路基础
2,非全耦合空芯变压器
图 6.5-3 非全耦合空芯变压器示意图
电路基础
21222
12111
s
s
???
???
??
??
222
111
ss
ss
N
N
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2
2
2
1
1
1
i
L
i
L
s
s
s
s
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?
?
?
电路基础
1121111111 sNNN ???? ???
222
11
1
11
1
211
1
11
1
sM
sM
s
LLL
LL
i
N
i
N
i
L
??
?????
???
图 6.5-4 非全耦合空芯变压器模型
电路基础
6.5.2 铁芯变压器
图 6.5-5 实际铁芯变压器模型
电路基础
例 6.5-1 图 6.5-6(a)所示电路包含有全耦合空芯变压器,
=16∠ 0° V,电源角频率 ω=2rad/s。
(1) 如 ab端开路, 求 及 ;
(2) 如将 ab端短路,求 及 。
sU?
1I? abU?
1I? abI?
图 6.5-6 例 6.5-1用图
电路基础
解
2
1
4
2
1 ???
L
Ln
(1) ab开路，虚线框理想变压器初级亦开路，所以
VU
n
U
VjILjU
A
jLjR
U
I
ab
s
?????????
??????????
????
??
??
?
?
?
45244528
2
11
452845242
452
428
016
1
111
11
1
??
??
?
?
?
?
电路基础
AII
A
R
U
I
ab
s
????????
????
??
??
040222
02
8
016
1
1
1
??
?
?
（２ ) ab短路，理想变压器初级亦短路。初级等效电路
如 (c)图所示,所以
电路基础
例 6.5-2 图 6.5-7(a)所示正弦稳态电路中, 已知
is(t)=2 costA,求电压 u1(t),电流 i2(t)。2
图 6.5-7 例 6.5-2用图
电路基础
解
????????? 45222122222 jLjRZ ?
???????
??
??? 11452
4522
21 22
22
22
1 jZ
MZ
f
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V
jjIZjU sf
???
????????
4.6352
02]113[]3[ 11 ??
电路基础
Vt
ttu
)4.63c o s (102
)4.63c o s (252)(1
???
????
Aj
Z
IMjI s ???
??
?????? 452
4522
0221
22
2
?? ?
Attti )45c o s (2)45c o s (22)(2 ???????
第六章 互感与理想变压器
6.1 耦合电感元件
6.2 耦合电感的去耦等效
6.3 含互感电路的相量法分析
6.4 理想变压器
6.5 实际变压器模型
电路基础
6.1 耦合电感元件
6.1.1 耦合电感的基本概念
图 6.1-1耦合电感元件
电路基础
21221
12112
??
??
N
N
?
?
2
12
12
1
21
21
i
M
i
M
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?
?
?
2112 MM ?
21 LLM ?
电路基础
φ12≤φ22,φ21≤φ11,所以
21
2
222
1
111
1
212
2
121
1
21
2
12
2112
2
LL
i
N
i
N
i
N
i
N
ii
MMM
??
???
??
????
21 LLM ?
21 LLkM ?
21 LL
Mk ?
电路基础
图 6.1-2 耦合系数 k与线圈相互位置的关系
电路基础
6.1.2 耦合电感线圈上的电压、电流关系
图 6.1-3 磁通相助的耦合电感
电路基础
12221222
21112111
MiiL
MiiL
????
????
???
???
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1 ???
?
dt
diM
dt
diL
dt
du 12
2
2
2 ???
?
电路基础
图 6.1-4 磁通相消的耦合电感
电路基础
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
dt
di
M
dt
di
L
dt
d
u
12
2
2
2
21
1
1
1
21222
12111
???
???
??
??
?
?
???
???
当电流分别从两线圈各自的某端同时流入 (或流出 )时, 若
两者产生的磁通相助, 则这两端称为两互感线圈的同名端,
用标志, ·”或, *” 表示 。
电路基础
图 6.1-5 互感线圈的同名端
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
??
电路基础
图 6.1-6 磁通相消情况互感线圈
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
??
电路基础
图 6.1-7 互感线圈同名端的测定
电路基础
例 6.1-1 图 6.1-8(a) 所示电路, 已知 R1=10Ω,L1=5H,
L2=2H,M=1H,i1(t)波形如图 6.1-8(b)所示 。 试求电流源两端
电压 uac(t)及开路电压 ude(t)。
图 6.1-8 例 6.1-1用图
电路基础
解 由于第 2个线圈开路，其电流为零，所以 R2上电压
为零,L2上自感电压为零,L2上仅有电流 i1在其上产生的
互感电压。这一电压也就是 d,e开路时的电压。根据 i1的
参考方向及同名端位置，可知
dt
tdiMtu
de
)()( 1?
dt
tdiLtu
bc
)()( 1
1?
dt
tdiLtiRtututu
bcabac
)()()()()( 1
111 ????
电路基础
在 0≤t≤1 s时
Atti 10)(1 ?
(由给出的 i1(t)波形写出 )
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
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ab
10
)10(
1)(
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50)10(5)(
1 0 01010)()(
1
1
1
11
???
????
???
????
电路基础
在 1≤t≤2s时
Atti 2010)(1 ???
V
dt
td
dt
di
Mtu
Vttututu
Vt
dt
d
dt
di
Ltu
VtttiRtu
dc
bcabac
bc
ab
10
)2010(
1)(
1 5 01 0 0)()()(
50)2010(5)(
2 0 01 0 0)2010(10)()(
1
1
1
11
??
??
??
?????
??????
???????
电路基础
在 t≥2s时
0)(1 ?ti
0,0,0,0 ???? deacbcab uuuu
?
?
?
??
?
?
??
?
?
0
150100
50100
)( Vt
Vt
tu ac
?
?
?
??
?
?
??
0
10
10
)( V
V
tu
de
其余
st
st
21
10
??
??
其余
st
st
21
10
??
??
电路基础
例 6.1-2 图 6.1-9所示互感线圈模型电路, 同名端位置
及各线圈电压, 电流的参考方向均标示在图上, 试列写出
该互感线圈的电压, 电流关系式 (指微分关系 )。
图 6.1-9 例 6.1-2用图
电路基础
解
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
???
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
电路基础
6.2 耦合电感的去耦等效
6.2.1 耦合电感的串联等效
图 6.2-1 互感线圈顺接串联
电路基础
由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、电流关系，得
dt
di
L
dt
di
MLL
dt
di
M
dt
di
L
dt
di
M
dt
di
Luuu
ab
?
???
??????
)2(
21
2121
MLLL ab 221 ???
式中
电路基础
图 6.2-2 互感线圈反接串联
MLLL ab 221 ???
电路基础
6.2.2 耦合电感的 T型等效
1,同名端为共端的 T
图 6.2-3 同名端为共端的 T型去耦等效
电路基础
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
??
dt
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M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 2111
2111
11
?
???
????
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
?
???
????
电路基础
2,异名端为共端的 T型去耦等效
图 6.2-4 异名端为共端的 T型去耦等效
电路基础
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
22
21
11
??
??
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 2111
2111
11
?
???
????
dt
iid
M
dt
di
ML
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
M
dt
di
Lu
)(
)( 212
2
1222
22
?
???
????
电路基础
以上讨论了耦合电感的两种主要的去耦等效方法,
它们适用于任何变动电压, 电流情况, 当然也可用于正弦
稳态交流电路 。 应再次明确, 无论是互感串联二端子等效
还是 T型去耦多端子等效, 都是对端子以外的电压, 电流,
功率来说的, 其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系
数, 互感系数有关, 而且还与同名端的位置有关 。
电路基础
例 6.2-1 图 6.2-5(a)为互感线圈的并联, 其中 a,c端为同名
端, 求端子 1,2间的等效电感 Leq 。
图 6.2-5 互感线圈并联
电路基础
解
应用互感 T型去耦等效, 将 (a)图等效为 (b)图 (要特别注
意等效端子, 将 (a),(b)图中相应的端子都标上 )。 应用无互
感的电感串, 并联关系, 由 (b)图可得
MLL
MLL
MLL
MLML
M
MLMLML eq
22
))((
)/ / ()(
21
2
21
21
21
21
??
?
?
??
??
??
????
MLL
MLLL
eq 2
21
2
21
??
??
电路基础
例 6.2-2 如图 6.2-6(a)所示正弦稳态电路中含有互感线圈,
已知 us(t)=2cos(2t+45° ) V,L1=L2=1.5H,M=0.5 H,负载电阻
RL=1Ω。 求 RL上吸收的平均功率 PL。
图 6.2-6 含有互感的正弦稳态电路
电路基础
解
A
jjjj
U
I smm ???
??
??
?
????
? 022
45
2
1
452
2)]2(1/ / [)21(
?
?
AjjIjjj jjI mLm ????????????? ?? 135202211 12121 21 ??
WRIP LLmL 212
2
1
2
1 22 ?????
电路基础
例 6.2-3 图 6.2-7(a) 所示正弦稳态电路, 已知 L1=7H,
L2=4H,M=2H,R=8Ω,us(t)=20 cost V,求电流 i2(t)。
图 6.2-7 例 6.2-3用图
电路基础
解
Ajjj UI smm ?????? ?????? 9.3629.3610 0202//258
??
AIjj jI mLm ??????????? 9.3619.3622122 2 ??
Atti )9.36c o s ()(2 ???
电路基础
6.3 含互感电路的相量法分析
6.3.1 含互感电路的方程法分析
图 6.3-1 两个回路的互感电路
电路基础
由 KVL得
?
?
?
?
?
?
?
????
???
0)( 12
222
21
111
dt
di
M
dt
di
LiRR
u
dt
di
M
dt
di
LiR
L
s
??
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?
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????
???
0)(
)(
2221
2111
ILjRRIMj
UIMjILjR
L
s
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???
??
??
??
?
?
?
??
??
0222121
212111
IZIZ
UIZIZ s
??
???
电路基础
22
221121122211
21
1
22
21
2
22
2211
22
21122211
22
2221
1211
22
12
1
0
MZZ
UMj
ZZZZ
UZ
I
Z
Z
I
MZZ
UZ
ZZZZ
UZ
ZZ
ZZ
Z
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??
?
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22
2211
22
1 ))((
)(
MLjRRLjR
ULjRRI
L
sL
???
?
????
??? ??
22
2211
2 ))(( MLjRRLjR
UMjI
L
s
???
?
????
?? ??
电路基础
6.3.2 含互感电路的等效法分析
22
22
11
1
Z
M
Z
U
I s
?
?
?
?
?
22
22
1 Z
MZ
f
??
111
1
f
s
ZZ
UI
?
?
??
电路基础
图 6.3-2 初级等效电路
电路基础
设次级回路自阻抗
222222 jXRZ ??
11
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
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22
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22
22
22
1
ff
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jXR
XR
XM
j
XR
RM
jXR
M
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M
Z
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?
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X
XR
M
X
R
XR
M
R
f
f
?
??
?
?
?
?
电路基础
从初级端看的输入阻抗
22
22
11111
1
1
Z
MZZZ
I
UZ
fin
??????
?
?
22
1
2
1
22
21
2
Z
IMj
I
I
Z
Z
I
?
?
??
??
?
??
应当清楚, 该等效电路必须在求得了初级电流 的前提下
才可应用来求电流,特别应注意的是, 等效源的极性, 大
小及相位与耦合电感的同名端, 初,次级电流参考方向有关
1I?
2I?
电路基础
图 6.3-3 次级等效电路
电路基础
图 6.3-4 求开路电压用图
电路基础
电路基础
11
10
10
LjR
U
I
IMjU
s
oc
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?
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?
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22
11
22
2
11
22
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MLj
Z
MZZ ??
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???
11
22
2 Z
MZ
f
??
电路基础
图 6.3-6 次级等效电路
电路基础
例 6.3-1 互感电路如图 6.3-7(a)所示, 使用在正弦稳态电
路中, 图中 L1,L2和 M分别为初级, 次级的电感及互感 。 将
互感电路的次级 22′短路, 试证明该电路初级端 11′间的等效
阻抗
21
1
2
'11 )1(
LL
M
k
LkjZ
?
?? ?
其中
电路基础
图 6.3-7 例 6.3-1用图
电路基础
证明 (一 ) 由图可知
222111,LjZLjZ ?? ??
2
2
2
22
22
1 L
Mj
Z
MZ
f ?
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1
LL
M
Lj
L
M
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f
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12'11 )1( LkjZ ?? ?
电路基础
证明 (二 )
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1
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LL
M
L
LL
L
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MML
MLM
ML
MLMMLZ
1
2
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1
2
'11
)1(
)1(
LkjL
LkL
??
??
?
电路基础
例 6.3-2 图 6.3-8(a) 所示互感电路, 已知 R1=7.5Ω,
ωL1=30Ω,=22.5Ω,R2=60Ω,ωL2=60Ω,ωM=30Ω,
=15∠ 0° V。 求电流 R2上消耗的功率 P2。
1
1
C?
sU?,,21 II ??
图 6.3-8 例 6.3-2用图
电路基础
解
????????? 5.75.75.22305.71
1
1111 jjjCjLjRZ ??
????? 60602222 jLjRZ ?
?????? 5.75.76060 30
2
22
22
1 jjZ
MZ
f
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AjjZZ UI
f
s ???
???
???
?? 015.75.75.75.7
015
111
1
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AjjZ IMjI ???? ????? 45225.06060 0130
22
1
2
?? ?
WRIP 5.760)225.0( 22222 ????
电路基础
例 6.3-3 图 6.3-9(a)所示电路, =10∠ 0° V,ω=106
rad/s,L1=L2=1mH,C1=C2=1 000pF,R1=10 Ω,M=20μH。 负载电
阻 RL可任意改变, 问 RL等于多大时其上可获得最大功率, 并求
出此时的最大功率 PL max及电容 C2上的电压有效值 UC2。
sU?
图 6.3-9 例 6.3-3用图
电路基础
解 自 22′处断开 RL,
A
Z
U
I
ZZZZ
Z
M
Z
jj
C
jLjZ
s
ff
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1
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2626
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22
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2
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?
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纯阻
纯阻
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电路基础
VI
C
U
WRIP
j
RZ
IMj
I
C
LL
L
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10100010
11
5.240)25.0(
9025.0
4040
01102010
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2
22
2m a x
66
0
10
2
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?
电路基础
6.4 理 想 变 压 器
6.4.1 理想变压器的三个理想条件
理想变压器多端元件可以看作为互感多端元件在满足下
述 3个理想条件极限演变而来的 。
条件 1：耦合系数 k=1,即全耦合 。
条件 2：自感系数 L1,L2无穷大且 L1/L2等于常数 。 由 (6.1-4)
式并考虑条件 1,可知 也为无穷大 。 此条件可简
说为参数无穷大 。
条件 3,无损耗。
21 LLM ?
电路基础
6.4.2 理想变压器的主要性能
图 6.4-1 变压器示意图及其模型
电路基础
)(
)(
212222122222
121111211111
?????
?????
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NNN
NNN
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11222122
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N
N
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电路基础
1,变压关系
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d
N
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d
u
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d
N
dt
d
u
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2
2
2
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1
1
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2
1
2
1
若 u1,u2参考方向的, +”极性端都分别设在同名端,
则 u1与 u2之比等于 N1与 N2之比 。
nNNuu ????
2
1
2
1
(6.4-5)
(6.4-4)
电路基础
在进行变压关系计算时是选用 (6.4-4)式或是选用 (6.4-5)
式决定于两电压参考方向的极性与同名端的位置, 与两线圈
中电流参考方向如何假设无关 。
图 6.4-2 变压关系带负号情况的模型
电路基础
2,变流关系
图 6.4-3 变流关系带负号
电路基础
dt
diM
dt
diLu 21
11 ??
(6.4-6)
设电流初始值为零并对 (6.4-6)式两端作 0～ t的积分，得
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t ?? ? ??
1
2
1
111
1
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1
111
1
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N
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N
i
N
i
N
i
N
L
M
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电路基础
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2
1 ????
nN
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ti 1
)(
)(
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2
2
1 ??
在进行变流关系计算时是选用 (6.4-9)式还是选用 (6.4-10)式取
决于两电流参考方向的流向与同名端的位置, 与两线圈上电
压参考方向如何假设无关 。
(6.4-10)
(6.4-9)
电路基础
图 6.4-4 变流关系不带负号
电路基础
0
))()((
1
)()(
)()()()()(
1111
2211
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???
??
tnitu
n
titu
titutitutp
理想变压器不消耗能量, 也不贮存能量, 所以它是不
耗能, 不贮能的无记忆多端电路元件 。
电路基础
3,变换阻抗关系
图 6.4-5 推导理想变压器变换阻抗关系用图
电路基础
2
1
2
1
2
2
1
1
I
N
N
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LLin ZnZN
NZ 2
2
2
1 ?
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?
???
??
电路基础
理想变压器次级短路相当于初级亦短路；次级开路相当
于初级亦开路 。
(1) 理想变压器的 3个理想条件,全耦合, 参数无穷大,
无损耗 。
(2) 理想变压器的 3个主要性能：变压, 变流, 变阻抗 。
(3) 理想变压器的变压, 变流关系适用于一切变动电压,
电流情况, 即便是直流电压, 电流, 理想变压器也存在上述
变换关系 。
(4) 理想变压器在任意时刻吸收的功率为零, 这说明它是
不耗能, 不贮能, 只起能量传输作用的电路元件 。
电路基础
例 6.4-1 图 6.4-6(a)所示正弦稳态电路,
(1) 若变比 n=2,求电流 以及 RL上消耗的平均功率 PL;
(2) 若匝比 n可调整, 问 n=? 时可使 RL上获最大功率, 并求
出该最大功率 P L max。
图 6.4-6 例 6.4-1用图
电路基础
解 (1)
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?
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11
11
1
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1
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416
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WRIP inL 64.044.0 221 ????
电路基础
(2) 改变变比 n以满足最大输出功率条件
LLin RRnR ?? 2
41161 ???
LR
Rn
W
R
UP s
L 1164
8
4
2
1
2
m a x ????
电路基础
例 6.4-2 图 6.4-7(a)所示电路, 理想变压器匝比为 2,开
关 S闭合前电容上无贮能, t=0时开关 S闭合, 求 t≥0+时的电
压 u2(t)。
图 6.4-7 例 6.4-2用图
电路基础
解
????? 412 222 RnR in
sVuu CC 1,10)(,0)0( ????? ?
Vetu tc ]1[10)( ???
Aeedt tduCti ttC ?? ???? 5.21025.0)()(1
Aeetniti tt ?? ??????? 55.22)()( 12
?
?? ??????? 05)5(1)()(
222 tVeetiRtu
tt
电路基础
例 6.4-3 图 6.4-8电路, 求 ab端等效电阻 Rab。
图 6.4-8 例 6.4-3用图
电路基础
解 uuiuuuu
4
1
2,2
1,2
321 ????
uuuiii
u
uu
uu
i
12
1
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4
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24
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1
2
1
2
1
14
21
u
u
i
u
R
uuuiii
uuii
ab
电路基础
6.5 实际变压器模型
6.5.1 空芯变压器
1,
图 6.5-1互感线圈形式模型
电路基础
dt
di
LL
dt
di
L
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
LL
dt
di
L
dt
di
M
dt
di
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2
12
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2
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L
L
u
u
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L
L
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di
LL
dt
di
L
L
L
u
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?
?
?
?
?
?
?
??
电路基础
2
1
2
1
2
1
2
222
2
221
22
1
N
N
u
u
N
N
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N
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N
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M
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L
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电路基础
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)()(
1
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L
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L
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?
电路基础
图 6.5-2 全耦合空芯变压器模型
电路基础
2,非全耦合空芯变压器
图 6.5-3 非全耦合空芯变压器示意图
电路基础
21222
12111
s
s
???
???
??
??
222
111
ss
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N
N
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2
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2
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1
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L
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s
s
s
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?
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电路基础
1121111111 sNNN ???? ???
222
11
1
11
1
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1
11
1
sM
sM
s
LLL
LL
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N
i
N
i
L
??
?????
???
图 6.5-4 非全耦合空芯变压器模型
电路基础
6.5.2 铁芯变压器
图 6.5-5 实际铁芯变压器模型
电路基础
例 6.5-1 图 6.5-6(a)所示电路包含有全耦合空芯变压器,
=16∠ 0° V,电源角频率 ω=2rad/s。
(1) 如 ab端开路, 求 及 ;
(2) 如将 ab端短路,求 及 。
sU?
1I? abU?
1I? abI?
图 6.5-6 例 6.5-1用图
电路基础
解
2
1
4
2
1 ???
L
Ln
(1) ab开路，虚线框理想变压器初级亦开路，所以
VU
n
U
VjILjU
A
jLjR
U
I
ab
s
?????????
??????????
????
??
??
?
?
?
45244528
2
11
452845242
452
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016
1
111
11
1
??
??
?
?
?
?
电路基础
AII
A
R
U
I
ab
s
????????
????
??
??
040222
02
8
016
1
1
1
??
?
?
（２ ) ab短路，理想变压器初级亦短路。初级等效电路
如 (c)图所示,所以
电路基础
例 6.5-2 图 6.5-7(a)所示正弦稳态电路中, 已知
is(t)=2 costA,求电压 u1(t),电流 i2(t)。2
图 6.5-7 例 6.5-2用图
电路基础
解
????????? 45222122222 jLjRZ ?
???????
??
??? 11452
4522
21 22
22
22
1 jZ
MZ
f
?
V
jjIZjU sf
???
????????
4.6352
02]113[]3[ 11 ??
电路基础
Vt
ttu
)4.63c o s (102
)4.63c o s (252)(1
???
????
Aj
Z
IMjI s ???
??
?????? 452
4522
0221
22
2
?? ?
Attti )45c o s (2)45c o s (22)(2 ???????
