SARS传播的数学模型
题目
SARS（ Severe Acute Respiratory Syndrome，严重
急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是 21世纪第
一个在世界范围内传播的传染病。 SARS的爆发和蔓
延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我
们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地
研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创
造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模
型，具体要求如下,
（ 1）对附件 1所提供的一个早期的模型，评价其合理
性和实用性。
题目
（ 2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1中的
模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以
及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这
样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出
评论，如：提前或延后 5天采取严格的隔离措施，对疫
情传播所造成的影响做出估计。附件 2提供的数据供参
考。
（ 3）收集 SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应
的数学模型并进行预测。附件 3提供的数据供参考。
（ 4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数
学模型的重要性。
负反馈模型
什么叫负反馈？
将放大器的输出信号 （ 电压或电流 ）, 按一定路径回送
到放大器输入端的过程称为反馈 。 施加反馈的放大器称
为反馈放大器 。 它是由一个基本放大器和反馈网络构成
的闭合环路 。 如图,
什么叫负反馈？
给出反馈系数 Kf以及闭环增益 Af的定义, 当反
馈系数 Kf<0时, 系统是负反馈的, 反之, 系统
是正反馈的 。
负反馈具有自我调节作用, 正是我们需要的
基本假设
? 统计数据是可靠的
? 病人处于潜伏期时不传染他人
? 采取的所有控制措施对于阻止 SARS的传播都是有效
的
符号说明
? In – 到第 n天为止累计确诊的病人数
? Dn - 到第 n天为止累计的死亡人数
? Sn – 第 n天的疑似病人数
? Cn - 到第 n天为止治愈病人数
? d – 死亡率
? g – 治愈率
? s1 – 新增病人与新增疑似病人的比值
? s2 – 疑似病人转化为正常人的比率
符号说明（续）
? K0 – 区域内的自反馈参量
? Fn – 反馈变量
? fk – 反馈变量的变化率
模型建立
? 设该区域内的自反馈参量为 K0，表示该地区在未来采
取控制措施时 SARS的传播能力
? 设该地区自反馈量 Fn的变化率为 fk，即每增加一个病
人引起反馈量 Fn的变化量。 fk表示该地区的病情控制
情况
时间序列模型
Fn=K0+fk*(In+Sn)
In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1)
Dn+1=Dn+d(In-Dn-Cn)
Sn+1=Sn+(In+1-In)*s1-Sn*s2
Cn+1=Cn+g*(In-In-1)
模型求解
? 设实际数据为 In0，拟合数据为 In，则我们确定参数的
目标是使总残量最小，即,
我们使用 matlab7.0中的 fminsearch函数来求解，得到
总残量最小时的各个参数，并拟合曲线
?
?
??
n
i
ii IIE
0
2
0 )(m in
原文数据不妥当处
? Fk应该为负数； d应该大于 0
按原文给出的数据所作的图
我们用 fmins关于 I解出的曲线
我们用 fmins关于 I,D,S解出的曲线
原模型的不足之处
g=(Cn+1-Cn)/(In-In-1) 并不是常量
我们根据题目给出的数据计算 g得到下图,
原模型的不足之处
In+1=In+Fn*In-(Cn-Cn-1 )-(Dn-Dn-1)
而不是
In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1)
改进
K=0.4460;fk=-0.0001;d=0.0020;g=0.0024;s1=1.2815;s2=0.0529
微分方程模型
基本假设
? 假设 SARS的传播方式为接触性传播，不与患病者接触
就不会被传染
? 假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具
备传染性
? 假设 SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具
备传染性,SARS患者只在被发现前可以传染他人
? 假设 SARS康复者不会被再次感染，并且不具备传染性
? 不考虑在 SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡
? 所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口
的迁入迁出
符号说明
? N – 我们所研究区域的人口总数
? S – 易感染类，该类成员没有染上 SARS，也没有免疫
能力，可以被传染上 SARS
? E – 潜伏期类，该类成员已经感染了 SARS病毒，但尚
处于潜伏期内，还不是 SARS患者，不能把病毒传染
给 S类成员
? Iu – 患病未被发现类, 该类成员已经成为真正的 SARS
患者, 能够把病毒传染给 S类成员
? Ii – 患病已被发现类，该类成员虽然是 SARS患者，但
由于发现后立即被严格隔离，不能传染给 S类成员
符号说明（续）
? R – 免疫类，该类成员为 SARS康复者或因患 SARS死
亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响
? H – 潜伏期天数
? L – 传染期天数
模型建立
? 我们把一个封闭区域内
的人群完备的分成 5类：
S类,E类,Iu类,Ii类和
R类，设第 t天时五类成
员的人数分别为 S(t)、
E(t),Iu(t),Ii(t)、
R(t)，该地区总人口为 N。
? N –人口总数
? S – 易感染类
? E – 潜伏期类
? Iu – 患病未被发现类
? Ii – 患病已被发现类
? R – 免疫类
参数设置及其意义
参数设置及其意义（续）
微分方程
?
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1,,,0
1
0,0,0,0,0
czg
H
g
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iu
iu
?
模型求解
? 我们调用 Matlab软件中的 ode45函数进行求解
ode45函数,
专门用于解常微分方程的功能函数，有 ode23,
ode45,ode23S等，主要采用 Runge-Kutta方法，
其中 ode23采用两阶、三阶 Runge-Kutta法解，适
合要求精度较低的场合,ode45采用四阶、五阶
Runge-Kutta法解。一般说来,ode45比 ode23的
积分段少，运算速度更快一些。
源代码
求解过程
? 以香港数据为例,N=6.7e6
取初值 Iu(0)=1,S(0)=N-1,E(0)=Ii(0)=R(0)=0
初始数据 c=0.014,H=10,=2e-5,z=0.5
解出的图像
?
求解过程
逐步调整各参数的值，可得到如下的曲线,
调整一下坐标可得
钟南山研究成果
九成多非典病人可不药而愈
http://www.sina.com.cn 2003年 09月 14日 12:00 人民网 -江南时报
广州 9月 13日电中国工程院院士、中国著名
呼吸疾病专家钟南山 12日在, 2003防治 ‘ 非
典 ’ （广州）学术研讨会, 上表示,90％的非
典病人是, 自限性, 的，只要好好休息，就可
以自己康复。他称,93％的病人自己能完全好
转。因此，感染非典，首先是支持疗法，而不
是特效药
如果不存在自愈
此模型的缺陷
? 模型中各变量的取值只能根据已有的数据拟合，模型
的精确度严重的依赖于所给的数据的准确度，不具有
预测性
? 对于不同的地区需要重新确定各变量的取值，计算量
大，缺乏一般的原则和算法
基于 Small－ World－ Network的
模拟模型
基于 Small－ World－ Network的模拟模型
?模型的建立
?算法的设计
?结果的分析
模型的建立
? 用 Small－ World－ Network模型
模拟现代社会网络（ N,K,P）
? 模型中每个节点的状态（ S,E，
Im,Ii,R）
符号说明
? N－－区域人口总数；
? S－－易感染类人群 E－－潜伏类人群
? Iu－－患病未被发现类人群
? Ii－－患病已被发现类人群
? R－－免疫类人群
? H－－潜伏期天数； L－－传染期天数；
? P－－ SWN模型中每条边, 断键重连, 的选中概率
? J－－ SWN模型中每条边再次, 断键重连, 的选中概
率
? Q－－ S类成员被感染的概率
基于 Small－ World－ Network的模拟模型
?模型的建立
?算法的设计
?结果的分析
算法的设计
? 构建 SWN网络
? 初始化
? 以时间 t遍历各节点
1。对各节点连出的边的重新随机
2。对 Iu类节点的处理
3。对 E类节点的处理
4。对 Ii类节点的处理
模型中各成员的流动情况
基于 Small－ World－ Network的模拟模型
?模型的建立
?算法的设计
?结果的分析
结果的分析
? 运用控制变量法
1.对参数 Q,L的讨论
2.对参数 J的讨论
3.对参数 V的讨论
对 Q,L的讨论
? 1。固定 Q=0.1,运用 MATLAB做患病人
数关于模拟天数和 L的取值的三维图像。
观察：随着 L的增大，图像峰值的大小变化
以及到达峰值的速度变化。
将整个模型节点数控制在 2000时候的图像
节点总数为 100000的时候的图像
对 Q,L的讨论
? 2。固定 L=10,运用 MATLAB做患病人数
关于模拟天数和 Q的取值的三维图像。
观察：随着 Q的增大，图像峰值的大小变
化以及到达峰值的速度变化。
将整个模型节点数控制在 2000时候的图像
节点总数为 100000的时候的图像
对参数 J的讨论
? 取定 Q＝ 0。 1,L＝ 10,V＝ 0，改变 J的
值。
观察图像可以看到,区域内人口流动性
越强，病毒蔓延得越快，传染的人越多，
疫情越严重。
将整个模型节点数控制在 2000时候的图像
节点总数为 100000的时候的图像
对参数 V的讨论
? 取 Q＝ 0。 2,L＝ 10,J＝ 0，改变自愈
率 V的值。
从图像中可以看到，当自愈率很小时，
SARS将大规模传播。随便自愈率 V的增
大，患病人数减少，高峰期推迟,V超过
一个值 Vc后,SARS不能传播开。
自愈率 V对疫情的影响
模型的改进
? 1。在模型中增设关键节点，并且对每个
节点连边的数量进行一些动态的模拟，比
如采用 Scale－ free Network模型。
? 2。由于对 SARS病毒传播和症状的逐渐
了解，传染期天数 L的值应该相应地缩小，
成为一个和模拟时间 T相关的变量，而节
点之间发生断键重连的次数也将逐渐减小，
而不是原模型中的定值 K/2。
题目
SARS（ Severe Acute Respiratory Syndrome，严重
急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是 21世纪第
一个在世界范围内传播的传染病。 SARS的爆发和蔓
延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我
们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地
研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创
造条件的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模
型，具体要求如下,
（ 1）对附件 1所提供的一个早期的模型，评价其合理
性和实用性。
题目
（ 2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1中的
模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以
及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这
样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出
评论，如：提前或延后 5天采取严格的隔离措施，对疫
情传播所造成的影响做出估计。附件 2提供的数据供参
考。
（ 3）收集 SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应
的数学模型并进行预测。附件 3提供的数据供参考。
（ 4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数
学模型的重要性。
负反馈模型
什么叫负反馈？
将放大器的输出信号 （ 电压或电流 ）, 按一定路径回送
到放大器输入端的过程称为反馈 。 施加反馈的放大器称
为反馈放大器 。 它是由一个基本放大器和反馈网络构成
的闭合环路 。 如图,
什么叫负反馈？
给出反馈系数 Kf以及闭环增益 Af的定义, 当反
馈系数 Kf<0时, 系统是负反馈的, 反之, 系统
是正反馈的 。
负反馈具有自我调节作用, 正是我们需要的
基本假设
? 统计数据是可靠的
? 病人处于潜伏期时不传染他人
? 采取的所有控制措施对于阻止 SARS的传播都是有效
的
符号说明
? In – 到第 n天为止累计确诊的病人数
? Dn - 到第 n天为止累计的死亡人数
? Sn – 第 n天的疑似病人数
? Cn - 到第 n天为止治愈病人数
? d – 死亡率
? g – 治愈率
? s1 – 新增病人与新增疑似病人的比值
? s2 – 疑似病人转化为正常人的比率
符号说明（续）
? K0 – 区域内的自反馈参量
? Fn – 反馈变量
? fk – 反馈变量的变化率
模型建立
? 设该区域内的自反馈参量为 K0，表示该地区在未来采
取控制措施时 SARS的传播能力
? 设该地区自反馈量 Fn的变化率为 fk，即每增加一个病
人引起反馈量 Fn的变化量。 fk表示该地区的病情控制
情况
时间序列模型
Fn=K0+fk*(In+Sn)
In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1)
Dn+1=Dn+d(In-Dn-Cn)
Sn+1=Sn+(In+1-In)*s1-Sn*s2
Cn+1=Cn+g*(In-In-1)
模型求解
? 设实际数据为 In0，拟合数据为 In，则我们确定参数的
目标是使总残量最小，即,
我们使用 matlab7.0中的 fminsearch函数来求解，得到
总残量最小时的各个参数，并拟合曲线
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原文数据不妥当处
? Fk应该为负数； d应该大于 0
按原文给出的数据所作的图
我们用 fmins关于 I解出的曲线
我们用 fmins关于 I,D,S解出的曲线
原模型的不足之处
g=(Cn+1-Cn)/(In-In-1) 并不是常量
我们根据题目给出的数据计算 g得到下图,
原模型的不足之处
In+1=In+Fn*In-(Cn-Cn-1 )-(Dn-Dn-1)
而不是
In+1=In+Fn*In-Cn-(Dn-Dn-1)
改进
K=0.4460;fk=-0.0001;d=0.0020;g=0.0024;s1=1.2815;s2=0.0529
微分方程模型
基本假设
? 假设 SARS的传播方式为接触性传播，不与患病者接触
就不会被传染
? 假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具
备传染性
? 假设 SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具
备传染性,SARS患者只在被发现前可以传染他人
? 假设 SARS康复者不会被再次感染，并且不具备传染性
? 不考虑在 SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡
? 所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口
的迁入迁出
符号说明
? N – 我们所研究区域的人口总数
? S – 易感染类，该类成员没有染上 SARS，也没有免疫
能力，可以被传染上 SARS
? E – 潜伏期类，该类成员已经感染了 SARS病毒，但尚
处于潜伏期内，还不是 SARS患者，不能把病毒传染
给 S类成员
? Iu – 患病未被发现类, 该类成员已经成为真正的 SARS
患者, 能够把病毒传染给 S类成员
? Ii – 患病已被发现类，该类成员虽然是 SARS患者，但
由于发现后立即被严格隔离，不能传染给 S类成员
符号说明（续）
? R – 免疫类，该类成员为 SARS康复者或因患 SARS死
亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响
? H – 潜伏期天数
? L – 传染期天数
模型建立
? 我们把一个封闭区域内
的人群完备的分成 5类：
S类,E类,Iu类,Ii类和
R类，设第 t天时五类成
员的人数分别为 S(t)、
E(t),Iu(t),Ii(t)、
R(t)，该地区总人口为 N。
? N –人口总数
? S – 易感染类
? E – 潜伏期类
? Iu – 患病未被发现类
? Ii – 患病已被发现类
? R – 免疫类
参数设置及其意义
参数设置及其意义（续）
微分方程
?
?
?
?
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EcIR
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EgESIE
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RIIES
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模型求解
? 我们调用 Matlab软件中的 ode45函数进行求解
ode45函数,
专门用于解常微分方程的功能函数，有 ode23,
ode45,ode23S等，主要采用 Runge-Kutta方法，
其中 ode23采用两阶、三阶 Runge-Kutta法解，适
合要求精度较低的场合,ode45采用四阶、五阶
Runge-Kutta法解。一般说来,ode45比 ode23的
积分段少，运算速度更快一些。
源代码
求解过程
? 以香港数据为例,N=6.7e6
取初值 Iu(0)=1,S(0)=N-1,E(0)=Ii(0)=R(0)=0
初始数据 c=0.014,H=10,=2e-5,z=0.5
解出的图像
?
求解过程
逐步调整各参数的值，可得到如下的曲线,
调整一下坐标可得
钟南山研究成果
九成多非典病人可不药而愈
http://www.sina.com.cn 2003年 09月 14日 12:00 人民网 -江南时报
广州 9月 13日电中国工程院院士、中国著名
呼吸疾病专家钟南山 12日在, 2003防治 ‘ 非
典 ’ （广州）学术研讨会, 上表示,90％的非
典病人是, 自限性, 的，只要好好休息，就可
以自己康复。他称,93％的病人自己能完全好
转。因此，感染非典，首先是支持疗法，而不
是特效药
如果不存在自愈
此模型的缺陷
? 模型中各变量的取值只能根据已有的数据拟合，模型
的精确度严重的依赖于所给的数据的准确度，不具有
预测性
? 对于不同的地区需要重新确定各变量的取值，计算量
大，缺乏一般的原则和算法
基于 Small－ World－ Network的
模拟模型
基于 Small－ World－ Network的模拟模型
?模型的建立
?算法的设计
?结果的分析
模型的建立
? 用 Small－ World－ Network模型
模拟现代社会网络（ N,K,P）
? 模型中每个节点的状态（ S,E，
Im,Ii,R）
符号说明
? N－－区域人口总数；
? S－－易感染类人群 E－－潜伏类人群
? Iu－－患病未被发现类人群
? Ii－－患病已被发现类人群
? R－－免疫类人群
? H－－潜伏期天数； L－－传染期天数；
? P－－ SWN模型中每条边, 断键重连, 的选中概率
? J－－ SWN模型中每条边再次, 断键重连, 的选中概
率
? Q－－ S类成员被感染的概率
基于 Small－ World－ Network的模拟模型
?模型的建立
?算法的设计
?结果的分析
算法的设计
? 构建 SWN网络
? 初始化
? 以时间 t遍历各节点
1。对各节点连出的边的重新随机
2。对 Iu类节点的处理
3。对 E类节点的处理
4。对 Ii类节点的处理
模型中各成员的流动情况
基于 Small－ World－ Network的模拟模型
?模型的建立
?算法的设计
?结果的分析
结果的分析
? 运用控制变量法
1.对参数 Q,L的讨论
2.对参数 J的讨论
3.对参数 V的讨论
对 Q,L的讨论
? 1。固定 Q=0.1,运用 MATLAB做患病人
数关于模拟天数和 L的取值的三维图像。
观察：随着 L的增大，图像峰值的大小变化
以及到达峰值的速度变化。
将整个模型节点数控制在 2000时候的图像
节点总数为 100000的时候的图像
对 Q,L的讨论
? 2。固定 L=10,运用 MATLAB做患病人数
关于模拟天数和 Q的取值的三维图像。
观察：随着 Q的增大，图像峰值的大小变
化以及到达峰值的速度变化。
将整个模型节点数控制在 2000时候的图像
节点总数为 100000的时候的图像
对参数 J的讨论
? 取定 Q＝ 0。 1,L＝ 10,V＝ 0，改变 J的
值。
观察图像可以看到,区域内人口流动性
越强，病毒蔓延得越快，传染的人越多，
疫情越严重。
将整个模型节点数控制在 2000时候的图像
节点总数为 100000的时候的图像
对参数 V的讨论
? 取 Q＝ 0。 2,L＝ 10,J＝ 0，改变自愈
率 V的值。
从图像中可以看到，当自愈率很小时，
SARS将大规模传播。随便自愈率 V的增
大，患病人数减少，高峰期推迟,V超过
一个值 Vc后,SARS不能传播开。
自愈率 V对疫情的影响
模型的改进
? 1。在模型中增设关键节点，并且对每个
节点连边的数量进行一些动态的模拟，比
如采用 Scale－ free Network模型。
? 2。由于对 SARS病毒传播和症状的逐渐
了解，传染期天数 L的值应该相应地缩小，
成为一个和模拟时间 T相关的变量，而节
点之间发生断键重连的次数也将逐渐减小，
而不是原模型中的定值 K/2。
