1
激光钻孔
2
激光
激光是一种单频率或多频率的光波，
利用高能量的激光束进行切割，焊接和钻
孔等加工，是近年来发展起来的一项新技
术，有广泛的应用，本讲建立激光钻孔的
数学模型，用它讨论激光钻孔的速度问题
3
一、物理模型
钻孔原理
?激光钻孔的原理是将高能量的激光束照射
在加工物体上，物体被照射部分温度上升，
当温度达到熔点时开始熔化，同时吸收熔
化潜热，被熔化的物质在激光束照射下继
续受热，温度进一步上升，当液体达到汽
化温度时，开始汽化，同时吸收汽化潜热，
汽化物不断挥发，在物体上不断留下深孔，
完成钻孔的过程。
4
变量及其说明
W —— 激光束的能量
A —— 物体受激光照射的表面积
W/A—— 通常称为能量密度 (一般可达
100kW/ )
我们将假设垂直于激光束的边界热传
导可以忽略, 从而建立一维模型, 我们还
假设物体表面对激光束的反射和熔化后物
体的流动都可忽略 。
2mm
5
设物体的初始温度为 T=0,单位物质
从 0℃ 开始升温，直到汽化所需热量包括以
下几个部分,
从零度到熔点 吸收热量,其中 c
为该材料的比热 ;
熔化潜热 ；
从熔化到气化点 吸收热量 ；
气化潜热
所需的总热量为
。 (1.1)
fT fcT
fL
)( fv TTc ?
vL
vfv LLcTQ ???
vT
6
对许多物质, 特别是金属, 约为
0.02到 0.06之间 。 因此熔化潜热可以忽略,
单位物质从零度到气化所需要的总热量化
为,
(1.2)
这意味着熔化过程可以忽略。
vf LL /
vv LcTQ ??
7
二、数学模型
取物体表面上的一点为原点, z轴为垂
直与物体表面并指向物体内部的坐标轴,
用 t 表示时间, s(t)表示时刻 t 孔的深度 。
（ 参见下面一页的图片 ）
由于忽略了熔化过程, 可以认为物质
被激光束从零度加热至气化点, 在吸收气
化潜热的过程中挥发, 形成所需要的孔,
由于刚开始钻孔时, 激光束将物体表层加
热至气化点需要一段时间 。
8
9
在这段时间内，物质不会气化挥发，物体
上的孔尚未形成，我们称这段时间为预热
时间，称激光钻孔的这一阶段为预热过程。
又由于忽略了热量向孔的周围的扩散，
在钻孔过程中只需考察激光束作用范围内
的物质，即以激光束照射的表面为底面，
向 z方向延伸的正圆柱体。在时刻 t，这一
圆柱体的任意截面上的温度可视为相同的。
有关激光钻孔的直观描述，参见 动画 。
10
?设时刻 t上述圆柱体在深度为 z处 (尚未气化
的部分 )的截面上的温度为 。 在圆柱
内尚未气化的部分, 激光束提供的热量按
普通的热传导规律向深度方向传播 。 现考
察任意孔未到达的深度 z,即 。 取一
高为微小量的界于 的圆柱体, 考
察在时间 的热量平衡 。
?根据富里埃传热定律，单位时间内通过垂
直于温度梯度的单位面积流入的热量于该
处的温度外法向导数成正比，比例系数 k称
为热传导系数。因此从圆柱上底面流入圆
柱内的热量为
),( tzT
)( tsz ?
],[ zzz ??
t?
11
(2.1)
从圆柱下底面流入圆柱的热量为
(2.2)
传入的热量使圆柱体内的温度从 升
高至 。 温度升高所需的热量
为
(2.3)
),( tz
z
T
ktA
?
?
???
),( ttz
z
T
ktA ??
?
?
???
),( tzT
),( ttzT ??
)),(),(( tzTttzTzAc ?????
12
其中 为加工物体的密度, c为该物体的比
热, 由于热平衡规律, 从外部通过顶, 底
面传入的热量, 应等于导致这段圆柱体温
度升高所需的热量, 即
(2.4)
引入, (2.5)
?
?
?
?
???
?
?
? )),(),(( tz
z
T
tzz
z
T
tkA
)).,(),(( tzTttzTzAc ?????
?c
k
D ?
13
在 (2.4)式两端同时除以,
令,, 整理可得
(2.6)
换言之, 在 z—t平面的区域 温度函数满足
一维热传导方程 (2.6)。
参见,图 3。
tz ???
0?? t 0?? z
t
T
Dz
T
?
?
?
?
? 1
2
2
14
15
s(t)表示时刻 t孔的深度, z=s(t)称为气化
曲线, 这条曲线是区域 Ⅰ 的上边界 。 但这
条曲线事先并不知道, 所以它是问题的
,不定边界, 。 在此边界上, 温度函数应
满足一定的边界条件 。
首先在 z=s(t)处, 物体气化挥发, 温度
应达到气化点, 因此有
(2.7)
称为气化条件
再考虑时段 的气化过程，在此时段激
光束产生的热量是,
TtzT tsz ?? )(),(
tW ?
16
同时, 深度从 s(t)至 一段柱体气
化挥发需吸收气化潜热为,
又由富里埃传热定律, 这段时间传到物体
内部的热量为, 由热平衡, 应
有
(2.8)
将上式两边同除以, 然后令 并
稍加整理, 可得在气化曲线上应满足的热
平衡方程,
.))()(( vLAtstts ?????
t
z
T
kA ?
?
?
?
t
z
T
kAtsttsALtW v ?
?
?
??????? ))()((?
t? 0?? t
)( tts ??
17
(2.9)
在预热的过程中, 激光产生的热量全部传
导到物质中去, 因而, 设预热时间为,
当 时, 有
(2.10)
另外, 孔的深度相对于整个物体的尺寸而
言是比较小的, 离孔很远处的物质可认为
保持初始的温度, 因而有, 当 时,
?? vv AL
W
z
T
L
k
dt
ds
?
?
?
?
0t
0,0 ?? ztt
.
kA
W
z
T
??
?
?
???z
18
综合以上所述，激光钻孔的数学模型
是求 和 满足
0),( ?tzT
),( tzT )(ts
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
).(,0),(
,),(,
),0(,
),0(,0
)),((
1
)(
)(
1
0
0
2
2
ztzT
TtzT
AL
W
z
T
L
k
dt
ds
stt
kA
W
z
T
zT
tsz
t
T
Dz
T
v
tsz
v
tsz
v
t
??
19
(2.12)
这是一个热传导方程的边值问题 。 但是问
题的边界 z=s(t)事先是未知的, 需在求解过
程中和方程的未知函数一起解出, 所以边
值问题 (2.12)称为不定边界 （ 或自由边界 ）
问题, 在这个问题中虽然微分方程是线性
的, 由于不定边界的存在, 问题的求解较
为困难 。
20
三、钻孔的极限速度
我们首先讨论较为简单的情形 —— 蒸发
起支配作用时钻孔的极限速度 。 在这种情
况下, 假设热传导过程可以忽略, 激光产
生的热量全部用来使一部分物质加热气化 。
此时, 不定边界上的热平衡方程变成,
(3.1)
其中 表示时段 激光束产生的
热量，而上式右端表示在这段时间气化的
物质所需的热量。
))()(()( tsttsALcTtW vv ?????? ?
tW? ],[ ttt ??
21
(3.1)式可化为
其中 。
由于在一般情况下成立 我们
称由 (3.2)式定义的 v为钻孔的极限速度 。
在蒸发起支配作用的情况下, 没有预
热过程, 所以, 积分 (3.2)式得
(3.3)
,
)(
v
Ah
W
ALcT
W
dt
ds
vv
??
?
?
??
vv LcTh ??
,v
dt
ds ?
0)( ?ts
t
Ah
W
vtts
?
??)(
22
这是原问题 (2.12)的不定边界的一种近似 。
既然不定边界可用 (3.3)式表示，即孔
的深度按常速度 v 发展，人们自然会考虑
是否也存在一种温度分布按常速度 v 向 z方
向移动的近似解。若固定 t,T(z,t)是 z—T
平面上的一条曲线，称为温度剖面曲线。
上述问题就可以更确切的提为：是否存在
温度剖面曲线以速度 v方向平移的解？如果
这样的解存在，就称为温度波解，其形式
应为
(3.4)
)(),( 0 vtzTtzT ??
23
将这样形式的解代入方程 (2.6),应满足
(3.5)
解得
(3.6)
其中,,为待定常数 。
由不定边界条件 (2.7)和无穷远边界条件
(2.11),易得
(3.7)
(3.8)
利用 (3.7)和 (3.8)决定 (3.6)中的常数, 得
0T
T
D
vT ??''
0
210 )( cecyT
y
D
v
??
?
TT ?)0(0
0)(0 ?yT ).( ???y
1c 2c
24
(3.9)
从而温度波解为
(3.10)
我们用温度波解来估计忽略热传导带来
误差 。 对温度波解
(3.11)
其中
(3.12)
称为特征长度, 计算在单位时间内热传导
所需的热量和气化蒸发所需的热量之比
y
D
v
v eTyT
??)(
0
)(
),(
vtz
D
v
v eTtzT
??
?
l
T
T
D
v
z
T v
v
vtz
??
?
?
?
?
v
D
l ?
25
(3.13)
其中
(3,14)
表示单位质量的物质从零度达到气化点
所需的热量与气化潜热之比。对常见的物
质,一般界于 0.06到 0.25之间，是一个小量。
vLcT
l
T
k
dt
ds
ALcT
z
T
kA
Q
Q
vv
v
vv
vtz
?
?
)(
)(2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1vv
v
LcT
cT
v
v
L
cT
??
?
26
据 (3.13)式
, (3.15)
因此 可以作为忽略热传导的误差的
一种估计。
)(
2
1 ?O
Q
Q
?
)(?O
27
四、摄动解
将原问题 (2.12)关于小参数 作渐近展开，
可求得它的另一种近似解 —— 摄动解。为
此，现简单的介绍渐近展开和摄动解的概
念。
1、渐近展开和摄动解
考察一个 的函数序列, 若对一切
当 时, 成立
(4.1)
?
?,1,2,n ??
0?? ?
) ),(()(1n ???? no??
28
就称 是 的一个渐近序列。
若对含参数 的函数 和渐近序列,
当 时
(4.2)
对 成立, 则称
(4.3)
是当 时 关于序列
直到 N项的渐近展开式, 其中 称为展开
系数 。 若, 通常用记号
(4.4)
)(?? n 0?? ?
? ),( ?xf )}({ ??
n
0?? ?
?
?
??
M
n
Mnn oxaxf
1
))(()()(),( ?????
NM,,2,1 ??
?
?
M
n
nn xa
1
)()( ??
0?? ?
)}({ ?? n
),( ?xf
)( xa n
??N
?
?
? 1
)()(~),(
n
nn xaxf ???
29
不难将上述概念推广到多自变量函数的情
形 。
对含有参数 的微分方程的定解问题，
蒋未知函数关于某渐近序列作渐近展开，
并将展开式代入微分方程和定解条件，比
较渐近序列各项的系数，可得各展开系数
应满足的微分方程的定解问题。一般说来，
所得的定解问题比较简单，求解可的未知
函数渐近展开式的各项系数，从而决定未
知函数的渐近展开式。通常，取未知函数
的前几项作为原问题的近似解。
?
30
2、无量纲化
无量纲化是一种应用数学的常用技巧,
可以简化问题并更清楚的看出问题对小参
数的依赖关系 。 引入新的变量
,,,(4.5)
其中, v和 l 定义如前。在新的变量下，
热传导方程 (2.6)化为
(4.6)
不定边界方程 化为
(4.7)
vT
T??
l
z??
l
vt?? l
v
ls /)( ?? ?
vT
?
?
?
?
?
??
?
?
2
2
)( tsz ?
)(??? ?
31
不定边界上的气化条件 化为
, (4.8)
而其上的热平衡方程 (2.9)化为
(4.9)
注意到
,
可得
vTT ?
1??
??
?
??
?
v
v
v AL
W
l
T
L
k
d
dv ?
?
??
AL
W
ALcT
Wv
vvv ??? )1()( ?
?
?
?
?
?
?? 1
vAL
W
v
32
而
,
热平衡方程 (4.9)记为
(4.10)
即
, (4.11)
初始条件和无穷远条件分别化为,
(4.12)
,当, (4.13)
预热边界, 成为
?
??
???
v
v
v
v
v
v
L
cT
vDvL
kT
lvL
kT
/
???
?
? ??
?
?? 1
sd
d
0)1()1( ??
?
?
??
?
?
?
?
?
d
d
00 ????0??
????
0?z )0(10 ??? stt
33
,, (4.14)
其上的热平衡方程 (2.10)化为
(4.15)
综合上述各式, 在新变量下, 激光钻孔的
数学模型成为：求 和, 满足
0?? )0(1??? ??? ?
).11(
??
? ???
?
?
),( ??? )(??
34
(4.16)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
??
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?
??
???
?
?
?
?
???
???
?
?
?
,0),(
,0)1()1(
,1
)0(),
1
1(
,0,0
)(,
(
)(
1
0
0
2
2
d
d
35
3.摄动解
?渐近展开
取 时的渐近序列,分别将
和 作渐近展开
(4.17)
(4.18)
将 (4.17)代入热传导方程，比较 的零次和
一次项系数，分别得到,
（ 4.19）
0?? }{ n? ),( ???
)(??
,),(),(),( 10 ???? ??????????
,)()()( 10 ???? ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 0
2
0
2
36
(4.20)
将 (4.17)和 (4.18)代入 (4.16)的不定边界条件
中，得
(4.21)
(4.22)
从而得知在不定边界上应有
(4.23)
(4.24)
?
?
?
?
?
??
?
? 1
2
1
2
1)( 210 ??? ???? O
0)()1()1( 2100 ????
?
???? ?
?
?
?
??
?
? O
dd
d
??
?
?
?
?
?
,1
,1
0
0
?
?
?
d
d
??
?
?
?
?
?
??
?
,1
,1
01
1
?
?
?
?
?
d
d
37
由 (4.16)的初始条件, 易知
,, (4.25)
而从无穷远条件可得
(当 时 ),(4.26)
通过计算可以说明, 预热时间
(见习题 2),故应有
(4.27)
我们主要的目的在于求出较长时间后钻孔
的速度 。 现设法求出精度为 的近似
解,即求
0?? 00 ??
00 ?? ????
)( 2?? Op ?
0)0(0 ??
?
?
d
d )(?O
?
?
?
?
?
d
d
d
d ?0
38
由 (2.24)式, 只需求出 和,立即得到
, 不必再求 。
从 (4.23)的第二式及 (4.27)立即可得
(4.28)
也就是说, 忽略了 的同阶和高阶量之后,
不定边界为
, (4.29)
所以 应是下述问题的解,
0? 0?
?
?
d
d
1?
??? ?)(0
?
?? ?
),(0 ???
39
(4.30)
(4.30)是区域 Ⅱ (参见图 4)上初、边值条件的
热传导方程的定解问题,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.,0
,0
,1
,,
0
00
0
0
2
0
2
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
40
图 4
41
?求解
对方程 (4.30), 用延拓方法可以将它化为
热传导方程的初值问题，得到其解。
首先, 令
（ 4.31）
显然 在 满足热传导方程, 且在
时取零值 。
然后对 关于边界 作变形奇延拓, 延
拓至上半平面, 即引入新的函数,
0?
?
?
?
??
??
.
),(1),(
0 ab
a
???
?????
b?
?? ?
?? ?
b? ?? ?
c?
42
（ 4.32）
可以验证 及其导数,
在整个上半平面上都是连续的, 且 在其
上满足热传导方程 。 利用 满足的初始条
件, 可知 在 满足的初始条件, 从而
得到关于 的定解问题,
(4.33)
?
?
?
???
?
?
?? )(),2(
)(),(
),(
)( ??????
?????
???
??
b
b
c e
c? 2
2
,
?
?
?
?
?
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? cc
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? c
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c? 0??
c?
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?
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?
?
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).0(
),0(1
0
0
2
2
?
?
?
?
?
?
?
??
e
c
cc
43
用热传导方程的泊松公式可求得 (4.33)解的
表达式,
作适当的变量代换后
（ 4.34）
?
?
??
?
?
? ???
??
??? ?
??
decc 4
)( 2
)0,(
2
1),(
?
?
?
?
?
?
?? ??
?
?
?
??
?
??
0
4
)(
0
4
)( 22
2
1 ??
??
?
??
?
??
?
dede
?
?
?
?
?
?
?? ??
?
?
?
??
??
?
??
0
4
)(
0
4
)2(
)(
22
2
1
??
??
?
??
?
???
?? dedee
??
? ?
?
??
??? ??
?
??
??
??
??
???
2
2
2
)( 22 11),( dyedyee yy
c
44
采用概率误差函数记号,
(4.35)
利用概率误差函数的性质,
,(4.36)
即得
, (4.37)
因, 又当 时,, 所以
(4.38)
? ?? ?? y z dzeye r f c
22)(
?
2)()()( ?????? e rf cze rf cze rf c
)
2
2(
2
1)
2
(
2
11),( )(
?
??
?
???? ?? ????? ?? e r f cee r f c
c
10 ?? ?? b ?? ? b?? ?0
)
2
2(
2
1)
2
(
2
1),( )(
0 ?
??
?
???? ?? ??? ?? e r f cee r f c
45
由 (4.24)式
(4.39)
从而得到 较大时的钻孔速度
(4.40)
401 1)
2
(
2
11 ?
?? ??
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?? ee r f c
dd
d
?
)( 210 ?
?
??
?
?
?
? O
d
d
d
d
d
d ???
)()1)
2
(
2
1(1 24 ?
??
?? ? Oee r f c ???? ?
激光钻孔
2
激光
激光是一种单频率或多频率的光波，
利用高能量的激光束进行切割，焊接和钻
孔等加工，是近年来发展起来的一项新技
术，有广泛的应用，本讲建立激光钻孔的
数学模型，用它讨论激光钻孔的速度问题
3
一、物理模型
钻孔原理
?激光钻孔的原理是将高能量的激光束照射
在加工物体上，物体被照射部分温度上升，
当温度达到熔点时开始熔化，同时吸收熔
化潜热，被熔化的物质在激光束照射下继
续受热，温度进一步上升，当液体达到汽
化温度时，开始汽化，同时吸收汽化潜热，
汽化物不断挥发，在物体上不断留下深孔，
完成钻孔的过程。
4
变量及其说明
W —— 激光束的能量
A —— 物体受激光照射的表面积
W/A—— 通常称为能量密度 (一般可达
100kW/ )
我们将假设垂直于激光束的边界热传
导可以忽略, 从而建立一维模型, 我们还
假设物体表面对激光束的反射和熔化后物
体的流动都可忽略 。
2mm
5
设物体的初始温度为 T=0,单位物质
从 0℃ 开始升温，直到汽化所需热量包括以
下几个部分,
从零度到熔点 吸收热量,其中 c
为该材料的比热 ;
熔化潜热 ；
从熔化到气化点 吸收热量 ；
气化潜热
所需的总热量为
。 (1.1)
fT fcT
fL
)( fv TTc ?
vL
vfv LLcTQ ???
vT
6
对许多物质, 特别是金属, 约为
0.02到 0.06之间 。 因此熔化潜热可以忽略,
单位物质从零度到气化所需要的总热量化
为,
(1.2)
这意味着熔化过程可以忽略。
vf LL /
vv LcTQ ??
7
二、数学模型
取物体表面上的一点为原点, z轴为垂
直与物体表面并指向物体内部的坐标轴,
用 t 表示时间, s(t)表示时刻 t 孔的深度 。
（ 参见下面一页的图片 ）
由于忽略了熔化过程, 可以认为物质
被激光束从零度加热至气化点, 在吸收气
化潜热的过程中挥发, 形成所需要的孔,
由于刚开始钻孔时, 激光束将物体表层加
热至气化点需要一段时间 。
8
9
在这段时间内，物质不会气化挥发，物体
上的孔尚未形成，我们称这段时间为预热
时间，称激光钻孔的这一阶段为预热过程。
又由于忽略了热量向孔的周围的扩散，
在钻孔过程中只需考察激光束作用范围内
的物质，即以激光束照射的表面为底面，
向 z方向延伸的正圆柱体。在时刻 t，这一
圆柱体的任意截面上的温度可视为相同的。
有关激光钻孔的直观描述，参见 动画 。
10
?设时刻 t上述圆柱体在深度为 z处 (尚未气化
的部分 )的截面上的温度为 。 在圆柱
内尚未气化的部分, 激光束提供的热量按
普通的热传导规律向深度方向传播 。 现考
察任意孔未到达的深度 z,即 。 取一
高为微小量的界于 的圆柱体, 考
察在时间 的热量平衡 。
?根据富里埃传热定律，单位时间内通过垂
直于温度梯度的单位面积流入的热量于该
处的温度外法向导数成正比，比例系数 k称
为热传导系数。因此从圆柱上底面流入圆
柱内的热量为
),( tzT
)( tsz ?
],[ zzz ??
t?
11
(2.1)
从圆柱下底面流入圆柱的热量为
(2.2)
传入的热量使圆柱体内的温度从 升
高至 。 温度升高所需的热量
为
(2.3)
),( tz
z
T
ktA
?
?
???
),( ttz
z
T
ktA ??
?
?
???
),( tzT
),( ttzT ??
)),(),(( tzTttzTzAc ?????
12
其中 为加工物体的密度, c为该物体的比
热, 由于热平衡规律, 从外部通过顶, 底
面传入的热量, 应等于导致这段圆柱体温
度升高所需的热量, 即
(2.4)
引入, (2.5)
?
?
?
?
???
?
?
? )),(),(( tz
z
T
tzz
z
T
tkA
)).,(),(( tzTttzTzAc ?????
?c
k
D ?
13
在 (2.4)式两端同时除以,
令,, 整理可得
(2.6)
换言之, 在 z—t平面的区域 温度函数满足
一维热传导方程 (2.6)。
参见,图 3。
tz ???
0?? t 0?? z
t
T
Dz
T
?
?
?
?
? 1
2
2
14
15
s(t)表示时刻 t孔的深度, z=s(t)称为气化
曲线, 这条曲线是区域 Ⅰ 的上边界 。 但这
条曲线事先并不知道, 所以它是问题的
,不定边界, 。 在此边界上, 温度函数应
满足一定的边界条件 。
首先在 z=s(t)处, 物体气化挥发, 温度
应达到气化点, 因此有
(2.7)
称为气化条件
再考虑时段 的气化过程，在此时段激
光束产生的热量是,
TtzT tsz ?? )(),(
tW ?
16
同时, 深度从 s(t)至 一段柱体气
化挥发需吸收气化潜热为,
又由富里埃传热定律, 这段时间传到物体
内部的热量为, 由热平衡, 应
有
(2.8)
将上式两边同除以, 然后令 并
稍加整理, 可得在气化曲线上应满足的热
平衡方程,
.))()(( vLAtstts ?????
t
z
T
kA ?
?
?
?
t
z
T
kAtsttsALtW v ?
?
?
??????? ))()((?
t? 0?? t
)( tts ??
17
(2.9)
在预热的过程中, 激光产生的热量全部传
导到物质中去, 因而, 设预热时间为,
当 时, 有
(2.10)
另外, 孔的深度相对于整个物体的尺寸而
言是比较小的, 离孔很远处的物质可认为
保持初始的温度, 因而有, 当 时,
?? vv AL
W
z
T
L
k
dt
ds
?
?
?
?
0t
0,0 ?? ztt
.
kA
W
z
T
??
?
?
???z
18
综合以上所述，激光钻孔的数学模型
是求 和 满足
0),( ?tzT
),( tzT )(ts
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
).(,0),(
,),(,
),0(,
),0(,0
)),((
1
)(
)(
1
0
0
2
2
ztzT
TtzT
AL
W
z
T
L
k
dt
ds
stt
kA
W
z
T
zT
tsz
t
T
Dz
T
v
tsz
v
tsz
v
t
??
19
(2.12)
这是一个热传导方程的边值问题 。 但是问
题的边界 z=s(t)事先是未知的, 需在求解过
程中和方程的未知函数一起解出, 所以边
值问题 (2.12)称为不定边界 （ 或自由边界 ）
问题, 在这个问题中虽然微分方程是线性
的, 由于不定边界的存在, 问题的求解较
为困难 。
20
三、钻孔的极限速度
我们首先讨论较为简单的情形 —— 蒸发
起支配作用时钻孔的极限速度 。 在这种情
况下, 假设热传导过程可以忽略, 激光产
生的热量全部用来使一部分物质加热气化 。
此时, 不定边界上的热平衡方程变成,
(3.1)
其中 表示时段 激光束产生的
热量，而上式右端表示在这段时间气化的
物质所需的热量。
))()(()( tsttsALcTtW vv ?????? ?
tW? ],[ ttt ??
21
(3.1)式可化为
其中 。
由于在一般情况下成立 我们
称由 (3.2)式定义的 v为钻孔的极限速度 。
在蒸发起支配作用的情况下, 没有预
热过程, 所以, 积分 (3.2)式得
(3.3)
,
)(
v
Ah
W
ALcT
W
dt
ds
vv
??
?
?
??
vv LcTh ??
,v
dt
ds ?
0)( ?ts
t
Ah
W
vtts
?
??)(
22
这是原问题 (2.12)的不定边界的一种近似 。
既然不定边界可用 (3.3)式表示，即孔
的深度按常速度 v 发展，人们自然会考虑
是否也存在一种温度分布按常速度 v 向 z方
向移动的近似解。若固定 t,T(z,t)是 z—T
平面上的一条曲线，称为温度剖面曲线。
上述问题就可以更确切的提为：是否存在
温度剖面曲线以速度 v方向平移的解？如果
这样的解存在，就称为温度波解，其形式
应为
(3.4)
)(),( 0 vtzTtzT ??
23
将这样形式的解代入方程 (2.6),应满足
(3.5)
解得
(3.6)
其中,,为待定常数 。
由不定边界条件 (2.7)和无穷远边界条件
(2.11),易得
(3.7)
(3.8)
利用 (3.7)和 (3.8)决定 (3.6)中的常数, 得
0T
T
D
vT ??''
0
210 )( cecyT
y
D
v
??
?
TT ?)0(0
0)(0 ?yT ).( ???y
1c 2c
24
(3.9)
从而温度波解为
(3.10)
我们用温度波解来估计忽略热传导带来
误差 。 对温度波解
(3.11)
其中
(3.12)
称为特征长度, 计算在单位时间内热传导
所需的热量和气化蒸发所需的热量之比
y
D
v
v eTyT
??)(
0
)(
),(
vtz
D
v
v eTtzT
??
?
l
T
T
D
v
z
T v
v
vtz
??
?
?
?
?
v
D
l ?
25
(3.13)
其中
(3,14)
表示单位质量的物质从零度达到气化点
所需的热量与气化潜热之比。对常见的物
质,一般界于 0.06到 0.25之间，是一个小量。
vLcT
l
T
k
dt
ds
ALcT
z
T
kA
Q
Q
vv
v
vv
vtz
?
?
)(
)(2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1vv
v
LcT
cT
v
v
L
cT
??
?
26
据 (3.13)式
, (3.15)
因此 可以作为忽略热传导的误差的
一种估计。
)(
2
1 ?O
Q
Q
?
)(?O
27
四、摄动解
将原问题 (2.12)关于小参数 作渐近展开，
可求得它的另一种近似解 —— 摄动解。为
此，现简单的介绍渐近展开和摄动解的概
念。
1、渐近展开和摄动解
考察一个 的函数序列, 若对一切
当 时, 成立
(4.1)
?
?,1,2,n ??
0?? ?
) ),(()(1n ???? no??
28
就称 是 的一个渐近序列。
若对含参数 的函数 和渐近序列,
当 时
(4.2)
对 成立, 则称
(4.3)
是当 时 关于序列
直到 N项的渐近展开式, 其中 称为展开
系数 。 若, 通常用记号
(4.4)
)(?? n 0?? ?
? ),( ?xf )}({ ??
n
0?? ?
?
?
??
M
n
Mnn oxaxf
1
))(()()(),( ?????
NM,,2,1 ??
?
?
M
n
nn xa
1
)()( ??
0?? ?
)}({ ?? n
),( ?xf
)( xa n
??N
?
?
? 1
)()(~),(
n
nn xaxf ???
29
不难将上述概念推广到多自变量函数的情
形 。
对含有参数 的微分方程的定解问题，
蒋未知函数关于某渐近序列作渐近展开，
并将展开式代入微分方程和定解条件，比
较渐近序列各项的系数，可得各展开系数
应满足的微分方程的定解问题。一般说来，
所得的定解问题比较简单，求解可的未知
函数渐近展开式的各项系数，从而决定未
知函数的渐近展开式。通常，取未知函数
的前几项作为原问题的近似解。
?
30
2、无量纲化
无量纲化是一种应用数学的常用技巧,
可以简化问题并更清楚的看出问题对小参
数的依赖关系 。 引入新的变量
,,,(4.5)
其中, v和 l 定义如前。在新的变量下，
热传导方程 (2.6)化为
(4.6)
不定边界方程 化为
(4.7)
vT
T??
l
z??
l
vt?? l
v
ls /)( ?? ?
vT
?
?
?
?
?
??
?
?
2
2
)( tsz ?
)(??? ?
31
不定边界上的气化条件 化为
, (4.8)
而其上的热平衡方程 (2.9)化为
(4.9)
注意到
,
可得
vTT ?
1??
??
?
??
?
v
v
v AL
W
l
T
L
k
d
dv ?
?
??
AL
W
ALcT
Wv
vvv ??? )1()( ?
?
?
?
?
?
?? 1
vAL
W
v
32
而
,
热平衡方程 (4.9)记为
(4.10)
即
, (4.11)
初始条件和无穷远条件分别化为,
(4.12)
,当, (4.13)
预热边界, 成为
?
??
???
v
v
v
v
v
v
L
cT
vDvL
kT
lvL
kT
/
???
?
? ??
?
?? 1
sd
d
0)1()1( ??
?
?
??
?
?
?
?
?
d
d
00 ????0??
????
0?z )0(10 ??? stt
33
,, (4.14)
其上的热平衡方程 (2.10)化为
(4.15)
综合上述各式, 在新变量下, 激光钻孔的
数学模型成为：求 和, 满足
0?? )0(1??? ??? ?
).11(
??
? ???
?
?
),( ??? )(??
34
(4.16)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
??
?
?????
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
???
??
?
??
???
?
?
?
?
???
???
?
?
?
,0),(
,0)1()1(
,1
)0(),
1
1(
,0,0
)(,
(
)(
1
0
0
2
2
d
d
35
3.摄动解
?渐近展开
取 时的渐近序列,分别将
和 作渐近展开
(4.17)
(4.18)
将 (4.17)代入热传导方程，比较 的零次和
一次项系数，分别得到,
（ 4.19）
0?? }{ n? ),( ???
)(??
,),(),(),( 10 ???? ??????????
,)()()( 10 ???? ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 0
2
0
2
36
(4.20)
将 (4.17)和 (4.18)代入 (4.16)的不定边界条件
中，得
(4.21)
(4.22)
从而得知在不定边界上应有
(4.23)
(4.24)
?
?
?
?
?
??
?
? 1
2
1
2
1)( 210 ??? ???? O
0)()1()1( 2100 ????
?
???? ?
?
?
?
??
?
? O
dd
d
??
?
?
?
?
?
,1
,1
0
0
?
?
?
d
d
??
?
?
?
?
?
??
?
,1
,1
01
1
?
?
?
?
?
d
d
37
由 (4.16)的初始条件, 易知
,, (4.25)
而从无穷远条件可得
(当 时 ),(4.26)
通过计算可以说明, 预热时间
(见习题 2),故应有
(4.27)
我们主要的目的在于求出较长时间后钻孔
的速度 。 现设法求出精度为 的近似
解,即求
0?? 00 ??
00 ?? ????
)( 2?? Op ?
0)0(0 ??
?
?
d
d )(?O
?
?
?
?
?
d
d
d
d ?0
38
由 (2.24)式, 只需求出 和,立即得到
, 不必再求 。
从 (4.23)的第二式及 (4.27)立即可得
(4.28)
也就是说, 忽略了 的同阶和高阶量之后,
不定边界为
, (4.29)
所以 应是下述问题的解,
0? 0?
?
?
d
d
1?
??? ?)(0
?
?? ?
),(0 ???
39
(4.30)
(4.30)是区域 Ⅱ (参见图 4)上初、边值条件的
热传导方程的定解问题,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.,0
,0
,1
,,
0
00
0
0
2
0
2
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
40
图 4
41
?求解
对方程 (4.30), 用延拓方法可以将它化为
热传导方程的初值问题，得到其解。
首先, 令
（ 4.31）
显然 在 满足热传导方程, 且在
时取零值 。
然后对 关于边界 作变形奇延拓, 延
拓至上半平面, 即引入新的函数,
0?
?
?
?
??
??
.
),(1),(
0 ab
a
???
?????
b?
?? ?
?? ?
b? ?? ?
c?
42
（ 4.32）
可以验证 及其导数,
在整个上半平面上都是连续的, 且 在其
上满足热传导方程 。 利用 满足的初始条
件, 可知 在 满足的初始条件, 从而
得到关于 的定解问题,
(4.33)
?
?
?
???
?
?
?? )(),2(
)(),(
),(
)( ??????
?????
???
??
b
b
c e
c? 2
2
,
?
?
?
?
?
?
?
? cc
?
?
?
? c
c?
0?
c? 0??
c?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
).0(
),0(1
0
0
2
2
?
?
?
?
?
?
?
??
e
c
cc
43
用热传导方程的泊松公式可求得 (4.33)解的
表达式,
作适当的变量代换后
（ 4.34）
?
?
??
?
?
? ???
??
??? ?
??
decc 4
)( 2
)0,(
2
1),(
?
?
?
?
?
?
?? ??
?
?
?
??
?
??
0
4
)(
0
4
)( 22
2
1 ??
??
?
??
?
??
?
dede
?
?
?
?
?
?
?? ??
?
?
?
??
??
?
??
0
4
)(
0
4
)2(
)(
22
2
1
??
??
?
??
?
???
?? dedee
??
? ?
?
??
??? ??
?
??
??
??
??
???
2
2
2
)( 22 11),( dyedyee yy
c
44
采用概率误差函数记号,
(4.35)
利用概率误差函数的性质,
,(4.36)
即得
, (4.37)
因, 又当 时,, 所以
(4.38)
? ?? ?? y z dzeye r f c
22)(
?
2)()()( ?????? e rf cze rf cze rf c
)
2
2(
2
1)
2
(
2
11),( )(
?
??
?
???? ?? ????? ?? e r f cee r f c
c
10 ?? ?? b ?? ? b?? ?0
)
2
2(
2
1)
2
(
2
1),( )(
0 ?
??
?
???? ?? ??? ?? e r f cee r f c
45
由 (4.24)式
(4.39)
从而得到 较大时的钻孔速度
(4.40)
401 1)
2
(
2
11 ?
?? ??
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?? ee r f c
dd
d
?
)( 210 ?
?
??
?
?
?
? O
d
d
d
d
d
d ???
)()1)
2
(
2
1(1 24 ?
??
?? ? Oee r f c ???? ?
