用放射性同位素测定局部脑
血流量模型多媒体演示软件
一 问题的提出
在发达国家中, 心脑血管疾病是威胁人们生命的最主要
疾病之一 。 在我国, 由于人民生活的改善和健康水准的提高,
其他疾病的发病率下降, 防治水平提高, 心脑血管的发病率
及其导致的死亡率却相对地上升了 。
脑血流量是诊断和治疗脑梗塞, 脑出血, 动脉瘤和先
天性动脉和静脉血管畸形等脑血管疾病的主要依据 。 测量
脑血流量可为研究人脑在不同的病理和生物条件下 （ 入脑
外伤, 脑循环停顿, 缺氧等 ） 的功能提供客观指标, 它对
研究脑循环药物的药理作用也很有帮助 。 所以人们长期致
力于寻找有效地测定脑血流的方法 。
早期人们采用惰性气体来测定脑血流量，让受试者吸入惰
性气体后，在一定时间内多次采集肱动脉和颈动脉的系列血
样，分析惰性气体在这些血样的浓度，推算出脑的出血量。
这种方法需要进行动脉插管和多次采集血样，对人体会造成
一定的创伤，测量仪器也比较复杂。
近年来出现了以放射性同位素作示踪计测定人脑局部血
流量，简称 rCBF(regional cerebral blood flow的缩写 )的方法。
测量装臵主要由安装多个（通常采用 8个,16个或是 32个）闪
烁计算器探头的头盔，安装一个闪烁计数器探头的头盔，安
装一个闪烁计数器的面罩，将闪烁计数器探头的面罩，将闪
烁计数器的计数转换成数字信息并输入计算机的装臵，一台
电子计算机（包括外部设备）和一个废气回收装臵组成。
在测试时，用头盔将探头接触受试者头颅固定的位臵，
图 1是一个八探头仪器的探头位臵示意图，图中圆圈表示探头
的位臵。令受试者戴上面罩，并让受试者吸入或静脉注射剂
量为 500至 1000 (微居里 )的放射性同位素。从此时开始记
时由计算机控制，自动，定时地记录并储存各个探头（包括
面罩中的探头）的放射性记数率约十分钟左右。然后通过计
算机处理这些记录的数据，得出每个探头附近区域的脑血流
量，即局部脑血流量。
Cu?
脑部放射性同位素探头示意图
一般采用 作为示踪剂, 用 作示踪剂有很多优点 。 首
先 是主要随血液的流动而流动, 与脑组织结合留在脑中比
例极小 。 其次是 的半衰期约为二十几个小时, 对人体的危
害极小, 同时不需太长时间又能进行再次测定, 而且在测试
的十几分钟之内, 由于衰变引起的放射性计数率的减少是相
当的 。
Xe133
70年代末,80年代初，这种测量 的仪器已经形成商品。
我国也进行了独立的研制。由于这种仪器能无创伤而又比较准
确地测定局部脑血流量，价格又较 等有同样功能的仪器便
宜得多，因而很受医院特别是中小医院的欢迎。
rCBF
CT
Xe133
Xe133
Xe133
如何从测量的头部放射性计数率和面罩中的放射性计数
率确定局部脑血流量呢？要解决这个问题，首先要建立合理
的数学模型。
二 假设和建模
2,A主要假设
大脑皮层主要由灰质和白质构成。由于毛细血管分布不
同等原因，血在灰质中的流量和白质的流量是不一样的。实
验表明，血在脑灰质中流动比在脑白质中约快 5-10倍，为精
确地测定脑血流量，有必要分别确定脑灰质中的血流量和脑
白质中的血流量。这两种血流量对临床诊断也是有意义的 。
根据已有的实验结果，有如下假设,
脑组织由灰质和白质两种组分构成，单位脑组织中
灰质与白质的质量之比为, ；单位质量的灰质组织中的
毛细血管中容纳体积为 的血液，单位质量的白质组织的毛
细血管中容纳血的体积为 。 和 与受试者血液中的血红
蛋白含量有关，（例如，据实验数据的统计分析，当每 100毫
升血中含血红蛋白 10 时,=0。 89,=1。 67），另外，灰
质组织中的血液不会流入白质组织，白质中的血液也不会流
入到灰质中去。
)1(H
1w 2w
1?
2?
1?2?
g 1?
2?
,此外，假设血液循环处于一种稳定平衡的状态，即：
（ ） 流入脑组织中的动脉血和流出脑组织进入静脉的血流
量是相等的, 不随时间的变化而改变 。
2H
另外还对示踪剂作如下假设和简化,
（ ） 随着血液的流动而流动, 与脑组织相结合而停
留在脑组织中的示踪剂的量十分微小, 可以忽略不计；同时
在测量过程中, 由衰变引起示踪剂放射性减少也可忽略不计 。
3H Xe133
2,b Fick原理和模型的建立
考察单位质量 （ 1克 ） 脑组织中的示踪剂数量, 在这部分脑
组织中放射性示踪剂数量的改变应为动脉血输入的示踪剂量
与静脉血从这部分组织中携出的示踪剂量之差 。 这就是核医
药工程中常用的 Fick原理 。 现在用 Fick原理分别考察单位脑组
织中, 灰质中的示踪剂量和白质中的示踪剂量的变化 。
设单位质量灰质和白质脑流量分别为 和, 单位应
为 /( ),即每分钟从每克脑灰质或脑白质中流出的血液
为 毫升或 毫升；又设时刻 流入脑组织的动脉血中放射性
示踪剂的浓度为 Ca(t);在时刻,1克脑组织中灰质血液中的示
踪剂含量和白质血液中的示踪剂含量分别 为 和 。
1f 2f
ml min?g
1f 2f t
t
)(1 tQ )(2 tQ
现建立灰质组织中的示踪剂的平衡关系 。 考察时段 [,
+ ]中灰质组织中示踪剂含量的变化
t
t t?
-
)()( 111 tQttQQ ????? )1.2(
在 1克脑组织中，灰质组织的质量为 克,时间流出的
血液体积为
1w
t?
twf ?11 )2.2(
灰质组织中容纳的血液中示踪剂的浓度为
)/()( 11 WtQ ??
)3.2(
由此由静脉血从灰质带走的示踪剂量为
)()/()(
111
1
1
111 ttQ
fWttQwfQ v ?????
?
?
)4.2(
由 （ ）, 在这段时间内流入灰质的动脉血等于流出灰质
的血液量, 由 (2.2)式它是, 又由动脉血中示踪剂浓度为
Ca(t),于是由动脉血输入的示踪剂量为
2H
twf ?11
)(111 tCatWfQ A ??? )5.2(
由 Fick原理，应有
VA QQQ 111 ??? )6.2(
即
)()()()( 1
1
1
11111 ttQ
ftCatwftQttQ ????????
?
)7.2(
在上式两边除以,然后令 即得 满足的
微分方程
t? 0??t )(
1 tQ
)()( 1
1
1
11
1 tQftCaWf
dt
dQ
?????
)8.2(
用同样的方法可得白质组织中示踪剂含量 的方程
)(2 tQ
)()( 2
2
2
22
2 tQftCaWf
dt
dQ
?
???? )9.2(
注意到初始时刻 t=0 时，灰，白质中示踪剂含量为 0，有
)2,1(,0)0( ?? iQ i )12.2(
从 (2.11),(2.12) 式立即解得
? ????
t
tk
iii dCaeWftQ
i
0
)( )()( ??? )13.2(
于是，在时刻 t,1克脑组织中示踪剂的含量应为
?? ??
?
????
t
tk
i
i
i dCaeWftQtQtQ
i
0
)(
2
1
21 )()()()( ??
?)14.2(
引入
2
2
2
1
1
1,??
fkfk ?? )10.2(
和 可改写为 )8.2()9.2(
)2,1(),( ????? itCaWfQkdtdQ iiiii )11.2(
若这单位质量的脑组织正位于某个头部探头的探测范围,
探头就可记下闪烁计数器的计数率, 设为 N(t)。 显然, 闪烁计
数器的计数率应与探测范围中脑组织中放射性示踪剂的含量
成正比, 设比例系数为 γ, 就有
?? ??
?
???
t
tk
ii
i
dCaeWftN i
0
)(
2
1
)()( ??? ?
)15.2(
又设面罩中的探头测得受试者呼出气中的放射性计数率
为 。 由于动脉血从肺部将示踪剂带到脑部, 因此呼出气中
的放射性计数率和肺动脉中示踪剂浓度成正比, 比例系数
为 。 由于动脉血从肺部流到脑部需时间 （ 约为 3秒钟 ）,
就有
)(tCA
? 0?
)(1)( 0?
?
?? tCtCa A )16.2(
(2.15)式相应地化为
???? dCeWfatN A
t
tk
ii
i
i )()(
0
0
)(
2
1
???? ?? ??
?
)17.2(
其中 α=γ/β,引入
)2,1(,???? iWfaP iii )18.2(
(2.17)式化为
???? dCePtN A
t
tk
i
i
i )()(
0
0
)(
2
1
?? ?? ??
?
)19.2(
由于 很小，将其略去,(2.19)式简化为,
0?
??? dCePtN A
t
tk
i
i
i )()(
0
)(
2
1
?? ??
?
?
)20.2(
这样，测定 rCBF的数学模型便归结为：已知 和
在时间 的测量值 和,要决定 式中的
和,其中
)(tN )(tCA
),,1,0( njt j ???? jN jC )20.2( iP
ik
10),,,1(,00 ????????? tntnjtjtt nj ?? )21.2(
而 为测量的时间间隔 。 t?
又由于 (2.20)式中的 N(t)可分解为
?
?
?
2
1
)()(
i
i tNtN
)22.2(
由于
)2,1()()(
0
)( ?? ? ?? idCePtN
A
t
tk
ii
i ???
)23.2(
它们满足微分方程的初值问题,
)2,1(
0)0(
)( ?
??
?
?
?
?
?? i
N
tCaPNk
dt
dN
i
iii
i )24.2(
数学模型亦可归结为：已知 式中 的 和初值问
题 解之和 在 的测量
值 和 ( ),决定初值问题 中方程的系
数 和 。
)24.2( )(tCA
)24.2( )()()( 21 tNtNtN ?? jt
jC jN nj,,1 ????
)24.2(
ik iP )2,1( ?i
这类数学问题称为 参数辨识问题 。 另一方面, 由于将脑组织
分成灰质和白质两个部分, 上述模型又可称为 两组分模型 或
两房室模型 。
2.c 模型的应用
若应用上述模型决定出 和, 可以通过受试者
的血红蛋白含量决定, 从而用
ik iP
)2,1( ?ii?
)2,1( ?i
iii kf ??
)25.2(
得到灰质和白质血流量 。 此外, 我们还可以确定脑组织中
灰质与白质的百分比 。 利用表达式 (2.18)易知
i
w
12
21
2
1
fP
fP
W
W ? )26.2(
或
02
12
21
1 ?? WfP
fPW )27.2(
与
121 ?? WW )28.2(
连立，解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222112
111
2112
12
2
221112
221
2112
21
1
kPkP
kP
fPfP
fP
W
kPkP
kP
fPfP
fP
W
??
?
??
?
)29.2(
由此得出单位质量脑组织的血流量为
2211 WfWff ???? )30.2(
三 参数的辨识
用上一节的数学模型解决 rCBF测定问题, 就要根据 和
的离散测量值辨识,,, 。 典型的头部计数率曲线
（ 将测量的离散点经插值光润得到的曲线, 称为头部清除曲线 ）
和呼出气计数率曲线分别由图 2和图 3所示 。 我们简单介绍辨识
这些参数的三种方法 。
)(tN )(tCA
1k 2k 1P 2P
头部清除曲线 t
3.a非线性规划方法
给定一组,, 可以根据测量的 值用 式得
到理论 值, 它与测量值 的误差平反和为
ik iP )2,1( ?i )(tCA )20.2(
)( jtN jN
? ??
?
??
n
jj
jj tNNPPkkE
0
2
2121 )(),,,(
? ??
?
??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
jj
t
tk
i
ij
j
i dCaePN
0
2
0
)(
2
1
)( ???)31.2(
它是,,, 的函数，且关于, 是非线性
的。
2k1k 2k 1k2P1P
t 呼出气计数率曲线
用理论数据与实测数据误差平方和最小的原则可辨
识,, 即求函数 的最小值点, 这可
采用高斯牛顿法或其它方法 。 读者可参阅有关书籍 。
ik iP )2,1( ?i
),,,( 2121 PPkkE
亦可采用极小化相对误差平方和的处理方法, 即求
? ? jn
jj
jj NtNNPPkkE ?
?
??
0
/)(),,,( 22121
(3.2)
的极小值点 。
3,b 线性化迭代法
设
)2,1(i ??? ? ikkk ii ?
将 (2.20)式右端分别关于 在 附近展开，得
ik ?ik
? ? )()()()( 2
2
1
)(
0
*
i
i
A
tk
t
iii kOdCetkPPtN
i? ?
?
?? ???? ????? ?
略去 的二次及二次以上的项，得
ik?
? ?? ? ?
?
???? ????
2
1 0 0
)()( )()()()( **
i
t t
A
tk
iiA
tk
i dCetkPdCePtN
ii ?????? ??
)5.3(
上式关于 和 是线性的。
iP ii kP ??
令, 设 为 的预测值, 我们可以通过极小
化
iii kPQ ?? *ik )2,1( ?i ik
? ? ??
? ?
????
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
jj i
t
A
tk
j
t
iA
tk
ij
j
jt
j
jt dCetQdCePN
QQPPE
0
**
2
2
1 0
)(
0
)(
2121
)()()(
),,,(
?????
??
来决定, 。 再由
i
P iQ
)2,1(,/ ?? iPQk iii? )6.3(
解得 的修正值 。
*ik ik?
由于 关于, 均为二次的，可以解关于,
的线性方程组
),,,( 2121 QQPPE
iPiQiP iQ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
i
i
Q
E
P
E
)2,1( ?i )7.3(
求得极小点。
于是，从预测值 出发，求得校正值,从而得 和
*ik ik? iP
)2,1(,* ??? ikkk iii ? )8.3(
又可将 上述作为新的预测值, 用同样的方法求得 和新
的校正值 。 这个方法可以不断进行, 直至校正值足够小为止 。
ik iP
3,c差分拟合法
由于 一般为 的 5到 10倍, 因此 比 衰减速度快
得多, 又因 是一个衰减很快的函数, 由表达式, 存
在, 当时,
ik 2k
tke 1? tke 2?
)(tCA )23.2(
T Tt ?
0)()(
0
1
11 ?? ? ??
t
A
ktk dCeetN ???
)9.3(
即
)()( 2 tNtN ? )10.3(
用差分方程
)()(2 )()( 22222 jAjjj tCPtNkt ttNttN ????? ? ?? )11.3(
替代 满足的微分方程，利用式 即可用最小二乘法
解方程组
2N
)10.3(
),,1,(2 2211 nJJjCPNkt NN jjjj ???????? ?? ?
)12.3(
求得 和,其中 满足 。
2k 2P
J Tt
J ?1?
令
)1,,1()(
0
)(
2
2 ??????? ? ?? JjdCePNN
j
j
t
A
tk
jj ??
?)13.3(
用最小二乘法解方程组
)2,,1,(
2 0011
11 ????????? ?? JjjjCPNk
t
NN
jj
jj
?
)14.3(
得 和 。
1
k 1P
采用差分拟合时, 适当选择 T是重要的 。 用差分拟合法求得的
和 作为方法 2的初始预测值 。 迭代校正一两次即可获得理
想的结果 。
1k
2k
四 模型的评价
所述的模型与方法已经在我国自行研制的 rCBF测量仪上应
用 。 通过对大量正常人或脑血管病人进行的测试表明, 所得
结果与国内外文献报导的数据是吻合的, 和用其他手段测量
的结果也是一致的 。
在建模时曾经作了忽略 在测试过程中的衰变以及忽略
动脉血从肺部到达脑部所需要的时间的假设 。 在模型中增加
衰变项和考虑关于呼出气计数率曲线的滞后现象都是容易实
现的 。 对不作两个假设的模型关于实验数据作数值模拟, 发
现和简化模型所得结果是十分接近的 。
Xe133
建模时采用了两房室的假设, 即脑组织由灰质和白质组
成 。 但实际上颅外组织 （ 如头皮 ） 中也有血液 。 所以测得的
白质血流量中实际上还包括颅外组织的影响 。 若要更精确地
得到白质血流量, 可以考虑将颅外组织作为第三个房室, 建
立三室模型 。
血流量模型多媒体演示软件
一 问题的提出
在发达国家中, 心脑血管疾病是威胁人们生命的最主要
疾病之一 。 在我国, 由于人民生活的改善和健康水准的提高,
其他疾病的发病率下降, 防治水平提高, 心脑血管的发病率
及其导致的死亡率却相对地上升了 。
脑血流量是诊断和治疗脑梗塞, 脑出血, 动脉瘤和先
天性动脉和静脉血管畸形等脑血管疾病的主要依据 。 测量
脑血流量可为研究人脑在不同的病理和生物条件下 （ 入脑
外伤, 脑循环停顿, 缺氧等 ） 的功能提供客观指标, 它对
研究脑循环药物的药理作用也很有帮助 。 所以人们长期致
力于寻找有效地测定脑血流的方法 。
早期人们采用惰性气体来测定脑血流量，让受试者吸入惰
性气体后，在一定时间内多次采集肱动脉和颈动脉的系列血
样，分析惰性气体在这些血样的浓度，推算出脑的出血量。
这种方法需要进行动脉插管和多次采集血样，对人体会造成
一定的创伤，测量仪器也比较复杂。
近年来出现了以放射性同位素作示踪计测定人脑局部血
流量，简称 rCBF(regional cerebral blood flow的缩写 )的方法。
测量装臵主要由安装多个（通常采用 8个,16个或是 32个）闪
烁计算器探头的头盔，安装一个闪烁计数器探头的头盔，安
装一个闪烁计数器的面罩，将闪烁计数器探头的面罩，将闪
烁计数器的计数转换成数字信息并输入计算机的装臵，一台
电子计算机（包括外部设备）和一个废气回收装臵组成。
在测试时，用头盔将探头接触受试者头颅固定的位臵，
图 1是一个八探头仪器的探头位臵示意图，图中圆圈表示探头
的位臵。令受试者戴上面罩，并让受试者吸入或静脉注射剂
量为 500至 1000 (微居里 )的放射性同位素。从此时开始记
时由计算机控制，自动，定时地记录并储存各个探头（包括
面罩中的探头）的放射性记数率约十分钟左右。然后通过计
算机处理这些记录的数据，得出每个探头附近区域的脑血流
量，即局部脑血流量。
Cu?
脑部放射性同位素探头示意图
一般采用 作为示踪剂, 用 作示踪剂有很多优点 。 首
先 是主要随血液的流动而流动, 与脑组织结合留在脑中比
例极小 。 其次是 的半衰期约为二十几个小时, 对人体的危
害极小, 同时不需太长时间又能进行再次测定, 而且在测试
的十几分钟之内, 由于衰变引起的放射性计数率的减少是相
当的 。
Xe133
70年代末,80年代初，这种测量 的仪器已经形成商品。
我国也进行了独立的研制。由于这种仪器能无创伤而又比较准
确地测定局部脑血流量，价格又较 等有同样功能的仪器便
宜得多，因而很受医院特别是中小医院的欢迎。
rCBF
CT
Xe133
Xe133
Xe133
如何从测量的头部放射性计数率和面罩中的放射性计数
率确定局部脑血流量呢？要解决这个问题，首先要建立合理
的数学模型。
二 假设和建模
2,A主要假设
大脑皮层主要由灰质和白质构成。由于毛细血管分布不
同等原因，血在灰质中的流量和白质的流量是不一样的。实
验表明，血在脑灰质中流动比在脑白质中约快 5-10倍，为精
确地测定脑血流量，有必要分别确定脑灰质中的血流量和脑
白质中的血流量。这两种血流量对临床诊断也是有意义的 。
根据已有的实验结果，有如下假设,
脑组织由灰质和白质两种组分构成，单位脑组织中
灰质与白质的质量之比为, ；单位质量的灰质组织中的
毛细血管中容纳体积为 的血液，单位质量的白质组织的毛
细血管中容纳血的体积为 。 和 与受试者血液中的血红
蛋白含量有关，（例如，据实验数据的统计分析，当每 100毫
升血中含血红蛋白 10 时,=0。 89,=1。 67），另外，灰
质组织中的血液不会流入白质组织，白质中的血液也不会流
入到灰质中去。
)1(H
1w 2w
1?
2?
1?2?
g 1?
2?
,此外，假设血液循环处于一种稳定平衡的状态，即：
（ ） 流入脑组织中的动脉血和流出脑组织进入静脉的血流
量是相等的, 不随时间的变化而改变 。
2H
另外还对示踪剂作如下假设和简化,
（ ） 随着血液的流动而流动, 与脑组织相结合而停
留在脑组织中的示踪剂的量十分微小, 可以忽略不计；同时
在测量过程中, 由衰变引起示踪剂放射性减少也可忽略不计 。
3H Xe133
2,b Fick原理和模型的建立
考察单位质量 （ 1克 ） 脑组织中的示踪剂数量, 在这部分脑
组织中放射性示踪剂数量的改变应为动脉血输入的示踪剂量
与静脉血从这部分组织中携出的示踪剂量之差 。 这就是核医
药工程中常用的 Fick原理 。 现在用 Fick原理分别考察单位脑组
织中, 灰质中的示踪剂量和白质中的示踪剂量的变化 。
设单位质量灰质和白质脑流量分别为 和, 单位应
为 /( ),即每分钟从每克脑灰质或脑白质中流出的血液
为 毫升或 毫升；又设时刻 流入脑组织的动脉血中放射性
示踪剂的浓度为 Ca(t);在时刻,1克脑组织中灰质血液中的示
踪剂含量和白质血液中的示踪剂含量分别 为 和 。
1f 2f
ml min?g
1f 2f t
t
)(1 tQ )(2 tQ
现建立灰质组织中的示踪剂的平衡关系 。 考察时段 [,
+ ]中灰质组织中示踪剂含量的变化
t
t t?
-
)()( 111 tQttQQ ????? )1.2(
在 1克脑组织中，灰质组织的质量为 克,时间流出的
血液体积为
1w
t?
twf ?11 )2.2(
灰质组织中容纳的血液中示踪剂的浓度为
)/()( 11 WtQ ??
)3.2(
由此由静脉血从灰质带走的示踪剂量为
)()/()(
111
1
1
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fWttQwfQ v ?????
?
?
)4.2(
由 （ ）, 在这段时间内流入灰质的动脉血等于流出灰质
的血液量, 由 (2.2)式它是, 又由动脉血中示踪剂浓度为
Ca(t),于是由动脉血输入的示踪剂量为
2H
twf ?11
)(111 tCatWfQ A ??? )5.2(
由 Fick原理，应有
VA QQQ 111 ??? )6.2(
即
)()()()( 1
1
1
11111 ttQ
ftCatwftQttQ ????????
?
)7.2(
在上式两边除以,然后令 即得 满足的
微分方程
t? 0??t )(
1 tQ
)()( 1
1
1
11
1 tQftCaWf
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用同样的方法可得白质组织中示踪剂含量 的方程
)(2 tQ
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?
???? )9.2(
注意到初始时刻 t=0 时，灰，白质中示踪剂含量为 0，有
)2,1(,0)0( ?? iQ i )12.2(
从 (2.11),(2.12) 式立即解得
? ????
t
tk
iii dCaeWftQ
i
0
)( )()( ??? )13.2(
于是，在时刻 t,1克脑组织中示踪剂的含量应为
?? ??
?
????
t
tk
i
i
i dCaeWftQtQtQ
i
0
)(
2
1
21 )()()()( ??
?)14.2(
引入
2
2
2
1
1
1,??
fkfk ?? )10.2(
和 可改写为 )8.2()9.2(
)2,1(),( ????? itCaWfQkdtdQ iiiii )11.2(
若这单位质量的脑组织正位于某个头部探头的探测范围,
探头就可记下闪烁计数器的计数率, 设为 N(t)。 显然, 闪烁计
数器的计数率应与探测范围中脑组织中放射性示踪剂的含量
成正比, 设比例系数为 γ, 就有
?? ??
?
???
t
tk
ii
i
dCaeWftN i
0
)(
2
1
)()( ??? ?
)15.2(
又设面罩中的探头测得受试者呼出气中的放射性计数率
为 。 由于动脉血从肺部将示踪剂带到脑部, 因此呼出气中
的放射性计数率和肺动脉中示踪剂浓度成正比, 比例系数
为 。 由于动脉血从肺部流到脑部需时间 （ 约为 3秒钟 ）,
就有
)(tCA
? 0?
)(1)( 0?
?
?? tCtCa A )16.2(
(2.15)式相应地化为
???? dCeWfatN A
t
tk
ii
i
i )()(
0
0
)(
2
1
???? ?? ??
?
)17.2(
其中 α=γ/β,引入
)2,1(,???? iWfaP iii )18.2(
(2.17)式化为
???? dCePtN A
t
tk
i
i
i )()(
0
0
)(
2
1
?? ?? ??
?
)19.2(
由于 很小，将其略去,(2.19)式简化为,
0?
??? dCePtN A
t
tk
i
i
i )()(
0
)(
2
1
?? ??
?
?
)20.2(
这样，测定 rCBF的数学模型便归结为：已知 和
在时间 的测量值 和,要决定 式中的
和,其中
)(tN )(tCA
),,1,0( njt j ???? jN jC )20.2( iP
ik
10),,,1(,00 ????????? tntnjtjtt nj ?? )21.2(
而 为测量的时间间隔 。 t?
又由于 (2.20)式中的 N(t)可分解为
?
?
?
2
1
)()(
i
i tNtN
)22.2(
由于
)2,1()()(
0
)( ?? ? ?? idCePtN
A
t
tk
ii
i ???
)23.2(
它们满足微分方程的初值问题,
)2,1(
0)0(
)( ?
??
?
?
?
?
?? i
N
tCaPNk
dt
dN
i
iii
i )24.2(
数学模型亦可归结为：已知 式中 的 和初值问
题 解之和 在 的测量
值 和 ( ),决定初值问题 中方程的系
数 和 。
)24.2( )(tCA
)24.2( )()()( 21 tNtNtN ?? jt
jC jN nj,,1 ????
)24.2(
ik iP )2,1( ?i
这类数学问题称为 参数辨识问题 。 另一方面, 由于将脑组织
分成灰质和白质两个部分, 上述模型又可称为 两组分模型 或
两房室模型 。
2.c 模型的应用
若应用上述模型决定出 和, 可以通过受试者
的血红蛋白含量决定, 从而用
ik iP
)2,1( ?ii?
)2,1( ?i
iii kf ??
)25.2(
得到灰质和白质血流量 。 此外, 我们还可以确定脑组织中
灰质与白质的百分比 。 利用表达式 (2.18)易知
i
w
12
21
2
1
fP
fP
W
W ? )26.2(
或
02
12
21
1 ?? WfP
fPW )27.2(
与
121 ?? WW )28.2(
连立，解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222112
111
2112
12
2
221112
221
2112
21
1
kPkP
kP
fPfP
fP
W
kPkP
kP
fPfP
fP
W
??
?
??
?
)29.2(
由此得出单位质量脑组织的血流量为
2211 WfWff ???? )30.2(
三 参数的辨识
用上一节的数学模型解决 rCBF测定问题, 就要根据 和
的离散测量值辨识,,, 。 典型的头部计数率曲线
（ 将测量的离散点经插值光润得到的曲线, 称为头部清除曲线 ）
和呼出气计数率曲线分别由图 2和图 3所示 。 我们简单介绍辨识
这些参数的三种方法 。
)(tN )(tCA
1k 2k 1P 2P
头部清除曲线 t
3.a非线性规划方法
给定一组,, 可以根据测量的 值用 式得
到理论 值, 它与测量值 的误差平反和为
ik iP )2,1( ?i )(tCA )20.2(
)( jtN jN
? ??
?
??
n
jj
jj tNNPPkkE
0
2
2121 )(),,,(
? ??
?
??
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
jj
t
tk
i
ij
j
i dCaePN
0
2
0
)(
2
1
)( ???)31.2(
它是,,, 的函数，且关于, 是非线性
的。
2k1k 2k 1k2P1P
t 呼出气计数率曲线
用理论数据与实测数据误差平方和最小的原则可辨
识,, 即求函数 的最小值点, 这可
采用高斯牛顿法或其它方法 。 读者可参阅有关书籍 。
ik iP )2,1( ?i
),,,( 2121 PPkkE
亦可采用极小化相对误差平方和的处理方法, 即求
? ? jn
jj
jj NtNNPPkkE ?
?
??
0
/)(),,,( 22121
(3.2)
的极小值点 。
3,b 线性化迭代法
设
)2,1(i ??? ? ikkk ii ?
将 (2.20)式右端分别关于 在 附近展开，得
ik ?ik
? ? )()()()( 2
2
1
)(
0
*
i
i
A
tk
t
iii kOdCetkPPtN
i? ?
?
?? ???? ????? ?
略去 的二次及二次以上的项，得
ik?
? ?? ? ?
?
???? ????
2
1 0 0
)()( )()()()( **
i
t t
A
tk
iiA
tk
i dCetkPdCePtN
ii ?????? ??
)5.3(
上式关于 和 是线性的。
iP ii kP ??
令, 设 为 的预测值, 我们可以通过极小
化
iii kPQ ?? *ik )2,1( ?i ik
? ? ??
? ?
????
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
n
jj i
t
A
tk
j
t
iA
tk
ij
j
jt
j
jt dCetQdCePN
QQPPE
0
**
2
2
1 0
)(
0
)(
2121
)()()(
),,,(
?????
??
来决定, 。 再由
i
P iQ
)2,1(,/ ?? iPQk iii? )6.3(
解得 的修正值 。
*ik ik?
由于 关于, 均为二次的，可以解关于,
的线性方程组
),,,( 2121 QQPPE
iPiQiP iQ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
i
i
Q
E
P
E
)2,1( ?i )7.3(
求得极小点。
于是，从预测值 出发，求得校正值,从而得 和
*ik ik? iP
)2,1(,* ??? ikkk iii ? )8.3(
又可将 上述作为新的预测值, 用同样的方法求得 和新
的校正值 。 这个方法可以不断进行, 直至校正值足够小为止 。
ik iP
3,c差分拟合法
由于 一般为 的 5到 10倍, 因此 比 衰减速度快
得多, 又因 是一个衰减很快的函数, 由表达式, 存
在, 当时,
ik 2k
tke 1? tke 2?
)(tCA )23.2(
T Tt ?
0)()(
0
1
11 ?? ? ??
t
A
ktk dCeetN ???
)9.3(
即
)()( 2 tNtN ? )10.3(
用差分方程
)()(2 )()( 22222 jAjjj tCPtNkt ttNttN ????? ? ?? )11.3(
替代 满足的微分方程，利用式 即可用最小二乘法
解方程组
2N
)10.3(
),,1,(2 2211 nJJjCPNkt NN jjjj ???????? ?? ?
)12.3(
求得 和,其中 满足 。
2k 2P
J Tt
J ?1?
令
)1,,1()(
0
)(
2
2 ??????? ? ?? JjdCePNN
j
j
t
A
tk
jj ??
?)13.3(
用最小二乘法解方程组
)2,,1,(
2 0011
11 ????????? ?? JjjjCPNk
t
NN
jj
jj
?
)14.3(
得 和 。
1
k 1P
采用差分拟合时, 适当选择 T是重要的 。 用差分拟合法求得的
和 作为方法 2的初始预测值 。 迭代校正一两次即可获得理
想的结果 。
1k
2k
四 模型的评价
所述的模型与方法已经在我国自行研制的 rCBF测量仪上应
用 。 通过对大量正常人或脑血管病人进行的测试表明, 所得
结果与国内外文献报导的数据是吻合的, 和用其他手段测量
的结果也是一致的 。
在建模时曾经作了忽略 在测试过程中的衰变以及忽略
动脉血从肺部到达脑部所需要的时间的假设 。 在模型中增加
衰变项和考虑关于呼出气计数率曲线的滞后现象都是容易实
现的 。 对不作两个假设的模型关于实验数据作数值模拟, 发
现和简化模型所得结果是十分接近的 。
Xe133
建模时采用了两房室的假设, 即脑组织由灰质和白质组
成 。 但实际上颅外组织 （ 如头皮 ） 中也有血液 。 所以测得的
白质血流量中实际上还包括颅外组织的影响 。 若要更精确地
得到白质血流量, 可以考虑将颅外组织作为第三个房室, 建
立三室模型 。
