车 灯 线 光 源 的
优化设计方案
车灯线光源的优化设计方案
一、问题重述
为保证汽车夜间行驶要求汽车的车灯能照亮汽车行驶正前方一定距离内的一
定宽度范围，但为了节省能源，这一宽度范围不必太大（沿宽度方向有一定的衰减
率）。各类车灯的工业设计规范正是据此而制定的。由于车灯的照明主要靠反射光，
又考虑到汽车通常的速度，我们采用的设计规范为，在水平放置的车灯的反射面焦点 F
点正前方 25米处（ A点）放置一个测试屏，与 FA垂直，在该测试屏上过 A点引出一条与
地面相平行的直线，在该直线 A点的同侧取 B点和 C点，使 AC=2Ab=2.6米，要求在测试
屏上 B点与 C点的反射光强度分别超过 2H和 H，其中 H表示某一额定的光强度。
我们考察的汽车车灯的形状为一个水平放置的旋转抛物面，其开口半径为 36
毫米，深度为 21.6毫米，焦点里开口平面的距离为 6.6毫米。该车灯安装爱汽车的头部，
对称轴指向水平正前方。经过车灯的焦点 F，在于对称轴相垂直的水平方向对称地放置
长度为毫米且均匀分布的线光源。即线光源的总功率为 W，在测试屏上 B与 C点的反射
光强度可分别记为 hB（ l）与 hC（ l），设计规范可表示为
现在问题就是求出最优的线光源长度，满足此规范并使功率 W最小。
? ? ? ?2,BCh l W H h l W H??
车灯线光源的优化设计方案
二、基本假设
1.不考虑光在空气中传播时的损耗。
2.点光源发光时，在各个方向上产生的光
强度是一样的。
车灯线光源的优化设计方案
三、参数说明
P：旋转抛物面的焦参数
2R：线光源长度
W：线光源半轴长发光的总强度
λ：线光源光能线密度，可以表示单位长度光源产生的光强度量
I（ B）,B点接收到的光强度（光强度量的面密度）
I（ C）,C点接收到的光强度（光强度量的面密度）
I（ h）：光仔空间传播时在距离光源 h除的光强度
d：旋转抛物面的深度
Q：某点光源的发光强度量
n：每个发光点向空间发射的光线数
Δr：每个离散点光源的长度
Δm：每束光线可以产生的光强度量
E（ P）：抛物面上可以讲光线反射到 P点的所有点的集合
O：光屏上每个小网格的面积
,测试屏的单位法向量（沿 z轴负方向） v
车灯线光源的优化设计方案
四、问题的分析
1,本问题是个面镜反射的几何光学问题。
2,要求满足（ ）时对线光源的长度（ 2R）和单位发光密度
（ λ）进行优化，使线光源发光总强度量最小。
3,对于其中的考察点，根据它们和相应的发射点之间的位置关系算出从线
光源上某点射出的光线在到达考察点时考察点所接收到的光的强度。
4,再对该考察点上所接收到的所有光的强度进行积分，计算出相应的光强
度，利用问题给出的约束条件，将问题变成一个带约束条件的优化问题。
? ? ? ?2,1I B I C??
车灯线光源的优化设计方案
五、模型的构建
5.1 反射点和发光点以及受光
点之间的关系
考虑线光源上一点 H
（ 0,r,p/2）发射一
条光线经过抛物面上
一点 G（ x1,y1,z1）
射到光屏上某点
P（ x0,y0,z0）的情
况。
x
y
O
G
H
z
P
车灯线光源的优化设计方案
22 2x y p z??
x
y
O
G
H
z
P 如图，抛物面的方程为
G点的单位内发向量为
? ? ? ?112 2 2
11
,,
G
x y p
l
x y p
??
?
??
车灯线光源的优化设计方案
GP GH
? ?
? ? ? ? ? ?
0 1 0 1 0 1
2 2 2
1 0 1 0 1 0
,,
GP
x x y y z z
x x y y z z
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
将向量 和 单位化得
? ?
1 1 1
2
22
1 1 1
,,
2
2
GH
p
x r y z
p
x r y z
?
??
? ? ???
??
?
??
? ? ? ???
??
GP
GH
? ?
令,可以将原方程化简为
车灯线光源的优化设计方案
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 0
1
22
1 1 1
0
10
2
10
2
2
x y a r x y
ap
x z a z p p x
ap
y z a z p p y a r
zd
x y p z
? ? ??
?
???
? ? ? ? ? ?
???
??
?
? ??
? ? ? ? ? ? ??
??
??
?
? ?
?
???
?
?
这个方程组 （ *） 的前三个方程中只有两个是独立的，则
在前两个方程中可以任意去掉一个，方程组就决定了 H,P和
G三点之间的位置关系。
? ??
车灯线光源的优化设计方案
? ?1 s i n c o s,s i n s i n,c o su ? ? ? ? ??
5.2 光线经光屏反射过程的数学描述
在线光源上取一点 H（ 0,r,p/2），过该点沿单位向量
做一条直线交抛物面于
G（ x1,y1,z1），则
又 G在抛物面上，则推出,
11 1 20
s i n c o s s i n s i n c o s
pzx y r
t
? ? ? ? ?
??? ? ? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ?2 2 2 2
2
c o s s i n s i n s i n s i n 2 s i n c o s
s i n
p r p r p r
t
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
于是得到
1
1
1
s i n c o s
s i n s i n
c o s
2
xt
y r t
p
zt
??
??
?
?
? ?
?
???
?
? ??
?
车灯线光源的优化设计方案
? ?11
2 2 2
11
,,
G
x y p
l
x y p
??
?
??
G点的单位内法向量为
? ?2 1 1 G2 Gu u u l l??
则经抛物面反射的单位向量
车灯线光源的优化设计方案
5.3 光在传播过程中的发散
光在空间传播时是在整个空间上均匀发散的。我们用光
强度量来表示光源在整个空间发射出去的光能，用光强度量
的面密度来度量光发散到某个点在该点产生的光强度。
当发光强度量为 Q的点光源发出的光传播到空间某点时，
可知
? ? 2
4
Q
Ih
h?
?
车灯线光源的优化设计方案
长度为 d r 的线光源从 H 发出
的光传播到 G 时,G 点所接受
到的光强度为
? ?
2
4
dr
d I G
GH
?
?
?
车灯线光源的优化设计方案
11
22
1 1 1 11 xyd S z z d x d y? ? ?
在 G 周围去一个小的面积微元
从方程组 （ *） 中可以确定
? ?
? ?
1 1 0 0
1 1 0 0
,
,
x x x y
y y x y
???
?
???
车灯线光源的优化设计方案
11
00
11
00
xy
xx
J
xy
yy
??
??
?
??
??
则 x1,y1 对于 x0,y0 的 Jacobi 行列式为
则可得到
1 1 0 0d x d y J d x y??
车灯线光源的优化设计方案
00d S d x d y? ?
11
22
111 xy
dS
z z J
dS
? ? ?
?
由于 dx0dy0 为光屏上的面积微元，不妨记为 dS’，即
从而可以推出
G 点接收到的光强度量为
? ? ? ? ? ?1 Gd m G u l d I G d S??
车灯线光源的优化设计方案
又由于 dS 上的所有光线全反射到 dS’,即它们两个面积微
元上的光强度量相等，于是得到
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
11
11
1
22
1 1 1
22
1 1 1
2
1
1
4
G
G x y
G x y
d m G d m P d I P d S
u l d S
d I P d I G
dS
u l z z J d I G
u l z z J d r
GH
?
?
???
?
??
?
? ? ? ?
? ? ?
?
车灯线光源的优化设计方案
得到 P 点的光强度
? ? ? ?
? ?
11
22
1 1 1
2
1
4
R
G x y
R
u l z z J d r
I P P
GH
?
??
? ? ?
? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ? ? ?
? ?
11
22
1 1 1
2
1
4
R
G x y
R
u l z z J d r
I B B
GH
?
??
? ? ?
? ?
于是分别得到 B 点和 C 点的光强度为
? ? ? ?
? ?
11
22
1 1 1
2
1
4
R
G x y
R
u l z z J d r
I C C
GH
?
??
? ? ?
? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ?
? ?
2
1
IB
IC
???
?
???
5.4 非线性规划问题
根据题意，本问题的约束条件为
而我们的目标是使线光源半轴发光的总强度量最小，即
m i n WR ??
车灯线光源的优化设计方案
最终，本问题归结为一个求非线性规划最优解的问题
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
11
11
22
1 1 1
2
22
1 1 1
2
m i n
1
2
4
..
1
1
4
R
G x y
R
R
G x y
R
WR
u l z z J d r
I B B
GH
st
u l z z J d r
I C C
GH
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
?
? ? ??
???
?
?
?
?
车灯线光源的优化设计方案
r
m
n
? ?
??
六、模型的简化和求解
6.1 光源发光的离散化
我们将模型中连续的线光源离散成许多点光源，而且
将光的均匀发散离散化，考虑点光源以 n 条光线的形式对
外发散。
若每个离散点光源的长度为,则该离散点发出的一
条光线可以产生的光强度量
r?
车灯线光源的优化设计方案
? ? ? ?1 2 2 2 2 2GS l u S u v S u v? ? ?
2u v
6.2 光传播过程中发散的一个近似处理
对于光在传播过程中的散射对射到光屏上后强度的影
响模型中是用 Jacobi 行列式体现的。但是这个 Jacobi 行列
式的表达式是很复杂的，所以我们用一种近似处理这种散
射影响的方法。
（取负号是由于 和 夹角超过 ） 90
车灯线光源的优化设计方案
又由于 S2 和 S1 上通过的光强度量相等，得到
? ?
? ? ? ?
? ?
12
21
2
G
G
u l u v
I S I S
lu
? ? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ?
? ?
? ?G E P
mP
IP
O
?
?
?
?
那么,P点的光强度为
? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?
1 1 1
11
2
2
G G G
G E P
G G G
u l u u l l v r
n l u u l l
O
?
?
?? ??
??
?? ??
??
???
????
?
?
车灯线光源的优化设计方案
m i n WR??
? ?
? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?
1 1 1
11
2
2
2
G G G
G E B
G G G
u l u u l l v r
n l u u l l
IB
O
?
?
?? ????
?? ??
??
???
????
??
?
6.3 问题的求解
根据以上对模型的离散简化得到一个离散优化模型
? ?
? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?
1 1 1
11
2
2
1
G G G
G E C
G G G
u l u u l l v r
n l u u l l
IC
O
?
?
?? ????
?? ??
??
???
????
??
?
s.t,
车灯线光源的优化设计方案
min W T R?
..st
为方便计算机求解，我们对上面的优化模型进行转化，得到
? ? 2BI B T N??
? ? 1CI C T N??
其中,T为每条光线带的光强,NB为打到以 B为圆心，以 2cm
为半径的圆内的光线条数,NC为打到以 C为圆心，以 2cm为
半径的圆内的光线条数。
车灯线光源的优化设计方案
对于这个问题的求解采取分步等长搜索的方法。
步骤一 将线光源细化成许多个小的光源，每个小
光源的长度 Δr=0.01mm。将整个空间的立体角 4π分成
n=40000份。在 B和 C点的周围分别做一个半径 2cm的圆。
步骤二 将每个小光源发射出的光离散为 40000条
光线，每条可以射到抛物面上的光线经抛物面反射后会
在光屏上打下唯一一个点。如果该点在 B或 C为圆心的
圆内，将降大在这个区域的光线条数加 1。
车灯线光源的优化设计方案
步骤三 首先在 R （ 0,30mm）内以 0.1mm步长对 R 进行搜索，
得到 W-R 的图像如下图
?
车灯线光源的优化设计方案
对上页图中划在圆圈内部的 W-R 曲线进行放大，得到下图
从图中可以看
出，最优的 R
出现在 1.5mm
到 3mm区域内。
所以，将进一
步搜索的区域
定义为
? ?1, 5,3R m m m m?
车灯线光源的优化设计方案
步骤四 在区间 内以 0.005mm为步长进行搜索，
得到关于线光源半轴长 R 图形。
? ?1, 5,3R m m m m?
车灯线光源的优化设计方案
利用 NB,NC 的值，对优化模型进行求解，得到在 区
间内 W-R 图线 ? ?1, 5,3R m m m m?
车灯线光源的优化设计方案
则图中最优化解附近点 W-R-T 的数据列表如下
作者的数据,
R （m m ） 1.670 1.675 1.680 1.685
T 0.000161 0.00016.72 0.00016 0.000159
W （e - 0 0 4 ） 2.696215 2.69206 2.688 2.686059
R （m m ） 1.690 1.695 1.700 1.705
T 0.000159 0.0001581 0.000158 0.000157
W （e - 0 0 4 ） 2.68203 2.6719645 2.68209 2.680772
R （m m ） 1.710 1.715 1.720
T 0.000157 0.0001563 0.000156
W （e - 0 0 4 ） 2.681109 2.680888 2.680792
最优的线光源长度为 2R = 3.39 mm。
车灯线光源的优化设计方案
我们的数据,
R （m m ） 1.615 1.620 1.625 1.630
W （e - 0 0 4 ） 3.09031764 3.01900857 3.0283265 2.97880117
R （m m ） 1.635 1.640 1.645 1.650
W （e - 0 0 4 ） 2.9879386 2.95389049 2.962896254 2.97029703
R （m m ） 1.655 1.660 1.665 1.670
W （e - 0 0 4 ） 2.97929793 2.98614859 2.995143011 3.00251708
R （m m ） 1.675 1.680 1.685 1.690
W （e - 0 0 4 ） 3.01150665 3.0194105 3.028396837 3.035746362
我们的结论是，最优的线光源长度为 2R = 3.28 mm。
车灯线光源的优化设计方案
八、设计规范的合理性验证
8.1 合理性分析
本题涉及的灯是车的前照灯。合理的设计规范应该具有以下照
明效果,
a) 车灯正前方为了照亮车道，应该亮度很大。
b) 前照灯也要照亮邻道，故车两侧附近也应该有
较高的亮度。
c) 而更远一点的距离，亮度则要较低。
车灯线光源的优化设计方案
8.2 设计规范的随机模拟验证
我们用计算机对线光源经过抛物面反射光进行随机模
拟试验。
具体步骤为,
步骤一 用 Matlab 随机数函数
UNIFRND（ ）产生点光源像空间发
射光线的随机单位方向向量。
车灯线光源的优化设计方案
步骤二 用这些随机单位方向向量对上文求出的
最佳光源发光进行模拟，作出光强度分布图
车灯线光源的优化设计方案
它的俯视图为
车灯线光源的优化设计方案
九、优缺点分析
这个模型在前面理论推导过程中完成得十分出色，他们用
Jacobi行列式来描述散射结果，成功地推出了 B,C两点光强关于
线光源长度的精确积分表达式，从而得到一个非线性规划的问
题。
但这个模型有个致命的缺点，就是这样的求解在实际操作
中几乎是不可行的，它的计算要求太高了。所以作者最终没有
很好的应用之前的理论推导，用离散的方法解决这个问题。从
理论上讲，只要离散的足够细，结论可以充分接近真实值的，
但实现的过程中发现，如果分的太细，运算量将大得惊人，甚
至到了无法实现的地步。事实上，这个模型中要达到一个可信
值的计算量是不可承受的。
如果在作者给出的细分的程度上再加倍，就会发现两者之
间的误差是很大的。
优化设计方案
车灯线光源的优化设计方案
一、问题重述
为保证汽车夜间行驶要求汽车的车灯能照亮汽车行驶正前方一定距离内的一
定宽度范围，但为了节省能源，这一宽度范围不必太大（沿宽度方向有一定的衰减
率）。各类车灯的工业设计规范正是据此而制定的。由于车灯的照明主要靠反射光，
又考虑到汽车通常的速度，我们采用的设计规范为，在水平放置的车灯的反射面焦点 F
点正前方 25米处（ A点）放置一个测试屏，与 FA垂直，在该测试屏上过 A点引出一条与
地面相平行的直线，在该直线 A点的同侧取 B点和 C点，使 AC=2Ab=2.6米，要求在测试
屏上 B点与 C点的反射光强度分别超过 2H和 H，其中 H表示某一额定的光强度。
我们考察的汽车车灯的形状为一个水平放置的旋转抛物面，其开口半径为 36
毫米，深度为 21.6毫米，焦点里开口平面的距离为 6.6毫米。该车灯安装爱汽车的头部，
对称轴指向水平正前方。经过车灯的焦点 F，在于对称轴相垂直的水平方向对称地放置
长度为毫米且均匀分布的线光源。即线光源的总功率为 W，在测试屏上 B与 C点的反射
光强度可分别记为 hB（ l）与 hC（ l），设计规范可表示为
现在问题就是求出最优的线光源长度，满足此规范并使功率 W最小。
? ? ? ?2,BCh l W H h l W H??
车灯线光源的优化设计方案
二、基本假设
1.不考虑光在空气中传播时的损耗。
2.点光源发光时，在各个方向上产生的光
强度是一样的。
车灯线光源的优化设计方案
三、参数说明
P：旋转抛物面的焦参数
2R：线光源长度
W：线光源半轴长发光的总强度
λ：线光源光能线密度，可以表示单位长度光源产生的光强度量
I（ B）,B点接收到的光强度（光强度量的面密度）
I（ C）,C点接收到的光强度（光强度量的面密度）
I（ h）：光仔空间传播时在距离光源 h除的光强度
d：旋转抛物面的深度
Q：某点光源的发光强度量
n：每个发光点向空间发射的光线数
Δr：每个离散点光源的长度
Δm：每束光线可以产生的光强度量
E（ P）：抛物面上可以讲光线反射到 P点的所有点的集合
O：光屏上每个小网格的面积
,测试屏的单位法向量（沿 z轴负方向） v
车灯线光源的优化设计方案
四、问题的分析
1,本问题是个面镜反射的几何光学问题。
2,要求满足（ ）时对线光源的长度（ 2R）和单位发光密度
（ λ）进行优化，使线光源发光总强度量最小。
3,对于其中的考察点，根据它们和相应的发射点之间的位置关系算出从线
光源上某点射出的光线在到达考察点时考察点所接收到的光的强度。
4,再对该考察点上所接收到的所有光的强度进行积分，计算出相应的光强
度，利用问题给出的约束条件，将问题变成一个带约束条件的优化问题。
? ? ? ?2,1I B I C??
车灯线光源的优化设计方案
五、模型的构建
5.1 反射点和发光点以及受光
点之间的关系
考虑线光源上一点 H
（ 0,r,p/2）发射一
条光线经过抛物面上
一点 G（ x1,y1,z1）
射到光屏上某点
P（ x0,y0,z0）的情
况。
x
y
O
G
H
z
P
车灯线光源的优化设计方案
22 2x y p z??
x
y
O
G
H
z
P 如图，抛物面的方程为
G点的单位内发向量为
? ? ? ?112 2 2
11
,,
G
x y p
l
x y p
??
?
??
车灯线光源的优化设计方案
GP GH
? ?
? ? ? ? ? ?
0 1 0 1 0 1
2 2 2
1 0 1 0 1 0
,,
GP
x x y y z z
x x y y z z
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
将向量 和 单位化得
? ?
1 1 1
2
22
1 1 1
,,
2
2
GH
p
x r y z
p
x r y z
?
??
? ? ???
??
?
??
? ? ? ???
??
GP
GH
? ?
令,可以将原方程化简为
车灯线光源的优化设计方案
? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 0
1
22
1 1 1
0
10
2
10
2
2
x y a r x y
ap
x z a z p p x
ap
y z a z p p y a r
zd
x y p z
? ? ??
?
???
? ? ? ? ? ?
???
??
?
? ??
? ? ? ? ? ? ??
??
??
?
? ?
?
???
?
?
这个方程组 （ *） 的前三个方程中只有两个是独立的，则
在前两个方程中可以任意去掉一个，方程组就决定了 H,P和
G三点之间的位置关系。
? ??
车灯线光源的优化设计方案
? ?1 s i n c o s,s i n s i n,c o su ? ? ? ? ??
5.2 光线经光屏反射过程的数学描述
在线光源上取一点 H（ 0,r,p/2），过该点沿单位向量
做一条直线交抛物面于
G（ x1,y1,z1），则
又 G在抛物面上，则推出,
11 1 20
s i n c o s s i n s i n c o s
pzx y r
t
? ? ? ? ?
??? ? ? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ?2 2 2 2
2
c o s s i n s i n s i n s i n 2 s i n c o s
s i n
p r p r p r
t
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
于是得到
1
1
1
s i n c o s
s i n s i n
c o s
2
xt
y r t
p
zt
??
??
?
?
? ?
?
???
?
? ??
?
车灯线光源的优化设计方案
? ?11
2 2 2
11
,,
G
x y p
l
x y p
??
?
??
G点的单位内法向量为
? ?2 1 1 G2 Gu u u l l??
则经抛物面反射的单位向量
车灯线光源的优化设计方案
5.3 光在传播过程中的发散
光在空间传播时是在整个空间上均匀发散的。我们用光
强度量来表示光源在整个空间发射出去的光能，用光强度量
的面密度来度量光发散到某个点在该点产生的光强度。
当发光强度量为 Q的点光源发出的光传播到空间某点时，
可知
? ? 2
4
Q
Ih
h?
?
车灯线光源的优化设计方案
长度为 d r 的线光源从 H 发出
的光传播到 G 时,G 点所接受
到的光强度为
? ?
2
4
dr
d I G
GH
?
?
?
车灯线光源的优化设计方案
11
22
1 1 1 11 xyd S z z d x d y? ? ?
在 G 周围去一个小的面积微元
从方程组 （ *） 中可以确定
? ?
? ?
1 1 0 0
1 1 0 0
,
,
x x x y
y y x y
???
?
???
车灯线光源的优化设计方案
11
00
11
00
xy
xx
J
xy
yy
??
??
?
??
??
则 x1,y1 对于 x0,y0 的 Jacobi 行列式为
则可得到
1 1 0 0d x d y J d x y??
车灯线光源的优化设计方案
00d S d x d y? ?
11
22
111 xy
dS
z z J
dS
? ? ?
?
由于 dx0dy0 为光屏上的面积微元，不妨记为 dS’，即
从而可以推出
G 点接收到的光强度量为
? ? ? ? ? ?1 Gd m G u l d I G d S??
车灯线光源的优化设计方案
又由于 dS 上的所有光线全反射到 dS’,即它们两个面积微
元上的光强度量相等，于是得到
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
11
11
1
22
1 1 1
22
1 1 1
2
1
1
4
G
G x y
G x y
d m G d m P d I P d S
u l d S
d I P d I G
dS
u l z z J d I G
u l z z J d r
GH
?
?
???
?
??
?
? ? ? ?
? ? ?
?
车灯线光源的优化设计方案
得到 P 点的光强度
? ? ? ?
? ?
11
22
1 1 1
2
1
4
R
G x y
R
u l z z J d r
I P P
GH
?
??
? ? ?
? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ? ? ?
? ?
11
22
1 1 1
2
1
4
R
G x y
R
u l z z J d r
I B B
GH
?
??
? ? ?
? ?
于是分别得到 B 点和 C 点的光强度为
? ? ? ?
? ?
11
22
1 1 1
2
1
4
R
G x y
R
u l z z J d r
I C C
GH
?
??
? ? ?
? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ?
? ?
2
1
IB
IC
???
?
???
5.4 非线性规划问题
根据题意，本问题的约束条件为
而我们的目标是使线光源半轴发光的总强度量最小，即
m i n WR ??
车灯线光源的优化设计方案
最终，本问题归结为一个求非线性规划最优解的问题
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
11
11
22
1 1 1
2
22
1 1 1
2
m i n
1
2
4
..
1
1
4
R
G x y
R
R
G x y
R
WR
u l z z J d r
I B B
GH
st
u l z z J d r
I C C
GH
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
??
?
?
?
? ? ??
???
?
?
?
?
车灯线光源的优化设计方案
r
m
n
? ?
??
六、模型的简化和求解
6.1 光源发光的离散化
我们将模型中连续的线光源离散成许多点光源，而且
将光的均匀发散离散化，考虑点光源以 n 条光线的形式对
外发散。
若每个离散点光源的长度为,则该离散点发出的一
条光线可以产生的光强度量
r?
车灯线光源的优化设计方案
? ? ? ?1 2 2 2 2 2GS l u S u v S u v? ? ?
2u v
6.2 光传播过程中发散的一个近似处理
对于光在传播过程中的散射对射到光屏上后强度的影
响模型中是用 Jacobi 行列式体现的。但是这个 Jacobi 行列
式的表达式是很复杂的，所以我们用一种近似处理这种散
射影响的方法。
（取负号是由于 和 夹角超过 ） 90
车灯线光源的优化设计方案
又由于 S2 和 S1 上通过的光强度量相等，得到
? ?
? ? ? ?
? ?
12
21
2
G
G
u l u v
I S I S
lu
? ? ?
车灯线光源的优化设计方案
? ?
? ?
? ?G E P
mP
IP
O
?
?
?
?
那么,P点的光强度为
? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?
1 1 1
11
2
2
G G G
G E P
G G G
u l u u l l v r
n l u u l l
O
?
?
?? ??
??
?? ??
??
???
????
?
?
车灯线光源的优化设计方案
m i n WR??
? ?
? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?
1 1 1
11
2
2
2
G G G
G E B
G G G
u l u u l l v r
n l u u l l
IB
O
?
?
?? ????
?? ??
??
???
????
??
?
6.3 问题的求解
根据以上对模型的离散简化得到一个离散优化模型
? ?
? ? ? ?? ?
? ?? ?? ?
1 1 1
11
2
2
1
G G G
G E C
G G G
u l u u l l v r
n l u u l l
IC
O
?
?
?? ????
?? ??
??
???
????
??
?
s.t,
车灯线光源的优化设计方案
min W T R?
..st
为方便计算机求解，我们对上面的优化模型进行转化，得到
? ? 2BI B T N??
? ? 1CI C T N??
其中,T为每条光线带的光强,NB为打到以 B为圆心，以 2cm
为半径的圆内的光线条数,NC为打到以 C为圆心，以 2cm为
半径的圆内的光线条数。
车灯线光源的优化设计方案
对于这个问题的求解采取分步等长搜索的方法。
步骤一 将线光源细化成许多个小的光源，每个小
光源的长度 Δr=0.01mm。将整个空间的立体角 4π分成
n=40000份。在 B和 C点的周围分别做一个半径 2cm的圆。
步骤二 将每个小光源发射出的光离散为 40000条
光线，每条可以射到抛物面上的光线经抛物面反射后会
在光屏上打下唯一一个点。如果该点在 B或 C为圆心的
圆内，将降大在这个区域的光线条数加 1。
车灯线光源的优化设计方案
步骤三 首先在 R （ 0,30mm）内以 0.1mm步长对 R 进行搜索，
得到 W-R 的图像如下图
?
车灯线光源的优化设计方案
对上页图中划在圆圈内部的 W-R 曲线进行放大，得到下图
从图中可以看
出，最优的 R
出现在 1.5mm
到 3mm区域内。
所以，将进一
步搜索的区域
定义为
? ?1, 5,3R m m m m?
车灯线光源的优化设计方案
步骤四 在区间 内以 0.005mm为步长进行搜索，
得到关于线光源半轴长 R 图形。
? ?1, 5,3R m m m m?
车灯线光源的优化设计方案
利用 NB,NC 的值，对优化模型进行求解，得到在 区
间内 W-R 图线 ? ?1, 5,3R m m m m?
车灯线光源的优化设计方案
则图中最优化解附近点 W-R-T 的数据列表如下
作者的数据,
R （m m ） 1.670 1.675 1.680 1.685
T 0.000161 0.00016.72 0.00016 0.000159
W （e - 0 0 4 ） 2.696215 2.69206 2.688 2.686059
R （m m ） 1.690 1.695 1.700 1.705
T 0.000159 0.0001581 0.000158 0.000157
W （e - 0 0 4 ） 2.68203 2.6719645 2.68209 2.680772
R （m m ） 1.710 1.715 1.720
T 0.000157 0.0001563 0.000156
W （e - 0 0 4 ） 2.681109 2.680888 2.680792
最优的线光源长度为 2R = 3.39 mm。
车灯线光源的优化设计方案
我们的数据,
R （m m ） 1.615 1.620 1.625 1.630
W （e - 0 0 4 ） 3.09031764 3.01900857 3.0283265 2.97880117
R （m m ） 1.635 1.640 1.645 1.650
W （e - 0 0 4 ） 2.9879386 2.95389049 2.962896254 2.97029703
R （m m ） 1.655 1.660 1.665 1.670
W （e - 0 0 4 ） 2.97929793 2.98614859 2.995143011 3.00251708
R （m m ） 1.675 1.680 1.685 1.690
W （e - 0 0 4 ） 3.01150665 3.0194105 3.028396837 3.035746362
我们的结论是，最优的线光源长度为 2R = 3.28 mm。
车灯线光源的优化设计方案
八、设计规范的合理性验证
8.1 合理性分析
本题涉及的灯是车的前照灯。合理的设计规范应该具有以下照
明效果,
a) 车灯正前方为了照亮车道，应该亮度很大。
b) 前照灯也要照亮邻道，故车两侧附近也应该有
较高的亮度。
c) 而更远一点的距离，亮度则要较低。
车灯线光源的优化设计方案
8.2 设计规范的随机模拟验证
我们用计算机对线光源经过抛物面反射光进行随机模
拟试验。
具体步骤为,
步骤一 用 Matlab 随机数函数
UNIFRND（ ）产生点光源像空间发
射光线的随机单位方向向量。
车灯线光源的优化设计方案
步骤二 用这些随机单位方向向量对上文求出的
最佳光源发光进行模拟，作出光强度分布图
车灯线光源的优化设计方案
它的俯视图为
车灯线光源的优化设计方案
九、优缺点分析
这个模型在前面理论推导过程中完成得十分出色，他们用
Jacobi行列式来描述散射结果，成功地推出了 B,C两点光强关于
线光源长度的精确积分表达式，从而得到一个非线性规划的问
题。
但这个模型有个致命的缺点，就是这样的求解在实际操作
中几乎是不可行的，它的计算要求太高了。所以作者最终没有
很好的应用之前的理论推导，用离散的方法解决这个问题。从
理论上讲，只要离散的足够细，结论可以充分接近真实值的，
但实现的过程中发现，如果分的太细，运算量将大得惊人，甚
至到了无法实现的地步。事实上，这个模型中要达到一个可信
值的计算量是不可承受的。
如果在作者给出的细分的程度上再加倍，就会发现两者之
间的误差是很大的。
