彩票中的数学
问题重述
? 彩票在国内已经得到较大程度的推广，并受到众多彩
民的欢迎。彩票类型主要有, 传统型, 和, 乐透型,
两种，主要在所采用的方案上有所不同。
? 不管采取何种方案，彩票管理部门都希望利用相对合
理的销售规则和奖金设置，吸引彩民，扩大销售总额。
? 题目要求我们根据所给方案的具体情况，综合分析各
种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩
民的吸引力等因素来评价各方案的合理性，并设计出
一种, 更好, 的方案。
彩票的类型
I、“传统型”彩票采用,10选 6+1” 方案，每注中奖号
码由 6个基本号码即一个特别号码组成。 (有序 )
中 奖
等 级
10 选 6+1（ 6+1/10）
基本号码 特别号码 说 明
一等奖 abcdef g 选 7中（ 6+1）
二等奖 abcdef 选 7中（ 6）
三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7中（ 5）
四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7中（ 4）
五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7中（ 3）
六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX
XXXXef
选 7中（ 2）
彩票的类型
II、“乐透型”采用,n选 m” 或,n选 m+1” 方案。 (无序 )
甲、,n选 m” 制：中奖号码由 1— n中的互不重复的 m个基
本号及一个特别号码组成。每注选 m个不同号。
中 奖
等 级
33 选 7（ 7/33）
基本号码 特别号码 说 明
一等奖 ●●●●●●● 选 7中（ 7）
二等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7中（ 6+1）
三等奖 ●●●●●●○ 选 7中（ 6）
四等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7中（ 5+1）
五等奖 ●●●●●○○ 选 7中（ 5）
六等奖 ●●●●○○○ ★ 选 7中（ 4+1）
七等奖 ●●●●○○○ 选 7中（ 4）
II、“乐透型”采用,n选 m” 或,n选 m+1” 方案。 (无序 )
乙,,n选 m+1” 制：中奖号码由 1— m中互不重复的 m个
基本号及一个特别号组成。每注选 m+1个不同号。
中 奖
等 级
36 选 6+1（ 6+1/36）
基本号码 特别号码 说 明
一等奖 ●●●●●● ★ 选 7中（ 6+1）
二等奖 ●●●●●● 选 7中（ 6）
三等奖 ●●●●●○ ★ 选 7中（ 5+1）
四等奖 ●●●●●○ 选 7中（ 5）
五等奖 ●●●●○○ ★ 选 7中（ 4+1）
六等奖 ●●●●○○ 选 7中（ 4）
七等奖 ●●●○○○ ★ 选 7中（ 3）
奖项设置
? 总奖金比例 =
? 单注金额 2元
? 单注得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖
? 一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖
? 一等奖单注保底金额 60万元，封顶金额 500万元
? 低项奖为固定奖，奖额固定
高项奖为浮动奖，按比例分配
? 各高项奖额的计算方法为,
[(当期销售总额 × 总奖金比例 ) -低项奖总额 ]× 单项奖比例
50%?总 奖 金总 销 售 额
问题的分析
R---利润
D---彩民购买彩票的总注数
q---单注金额
k---总奖金比例
现 q=2,k=50%一定，所以 R与
D成正比
? ?kqDR ???? 1
? 模型的假设
1 不考虑除奖项设置方案以外的其它可能影响
彩民购买彩票的因素（如广告等媒体宣传手
段）
2 彩民购买彩票的注数与彩票放案的吸引力直
接相关，表现为吸引力越大，售出的彩票注
数越多
3 不同的彩民对彩票有不同的喜好，表现为中
奖面（即获奖概率）和奖金额对其吸引力的
不同
? 方案的好坏 ~彩票方案的评价函数 ~对彩民吸
引力的大小
1）奖金额
2）中奖面
设第 i 种方案有 L 等奖,1等奖到 L 等奖的中
奖率分别为 Pi1,……, PiL，单项获奖金额
分别为 Ci1,……, CiL，它队某一类型彩民
的吸引力为 Ai
当以上 2L个参数中只有一个增大，而其余
(2L-1)个不变时，根据实际情况可以知道，
吸引力 Ai必然随之增大而且吸引力 Ai应该
是以 Pi1,……, PiL,Ci1,……, CiL这 2L
个参数为自变量的函数，且对于每一个自
变量而言，均是单调增函数，这一点对于
任何设奖方式均适用。
即
应该满足
? ?iliiiliii cccpppfA ???,,;,,2121
? ?lj
c
A
p
A
ij
i
ij
i ???
?
??
?
?,2,10,0
1
0
0
2
2
2
2
图的函数曲线大致形状如或关于因此可以定性地得到
或在整个定义域内均有
时，或即
的增加就已经很缓慢或随着吸引力
增大到一定程度时或当
中，在实际购买彩票的活动
ijiji
ij
i
ij
i
ij
i
ij
i
ijiji
ijij
cpA
c
A
p
A
c
A
p
A
cpA
cp
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
图 1
模型的建立与求解
模型一 吸引力函数
? ? ? ?
? ? ? ?
彩民的吸引力；
对种社将方案的中奖金额表示第
对彩民的吸引力；
奖概率）种设奖方案中奖面（获表示第
i
i
,...,;...,
...,&...,
2121
2121
i
i
iiiliiiliii
iliiiiliii
Ac
Ap
AcApfcccpppf
cccAcpppAp
?
? ?
设奖方案无关
度，与具体的和对中奖金额的偏爱程
分别表示彩民对中奖面，这里，
其中
数，定义参照经济学中的效用函
11
11
21
1
,
??
??
??
??
???
?
??
ii
ii
ii
ApAc
AcAp
AcApf
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j
l
j
ijji
l
j
j
l
j
ijji
ii
u
cguAcpgAp
AcAp
1
1
1
1
11
,
?
?
再来定义
? ? ? ?
ax
x
xg
as
s
sH
?
??
?
?
传输函数类比于高通滤波系统的
特性鉴于其一次与两次导的
? ?
? ? 2.00, 40
1,0,
4.2
4.2
3
??
?
?
a
cp
dx
dg
ax
ax
xdB
a
ijij
取，取参数的波动区间为
内经过归一化处理后都在鉴于
。时，可以认为当
，下限截至频率为
下线截止频率，解得时的作为率衰减
以相对最大增益截至频率的确定方法，
系统中下限的取定，参考高通滤波对于
层
次
分
析
法
? 由于可能存在数量级上的巨大差异，
必须将 p & c 置于同一数量级，所
以 ……
? ?
? ? ? ?
? ?
lm
ij
lm
ij
lm
ij
lm
ij
c
cp
pm
?
??
?
*
*
的处理，可得到矩阵
进行同样，对矩阵新的矩阵
一化，得到一个对矩阵的每一列进行归
：种设奖方案，构造矩阵假设共有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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1
21
321
4321
54321
654321
7654321
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2
1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
2
1
求出该成对比较矩阵的近似特征向量,
{ 0.350396,0237473,0.158966,0.105558,0.0696454,
0.0461632,0.0317984 }
最大特征根的近似值为,
0328796.0
17
7,1928.7 ?
?
??? ?? CI
对其进行一致性检验得,
其中 RI=1.32 (n=7时 ) 是随机一致性指标
满足一致阵要求,求得的特征向量可以作为各奖项的
权重向量 和
1.00249088.0 ???
RI
CICR
),,,( 21 l??? ?),,,( 21 l??? ?
同理,用同样的权重向量和 g(x),可以求出
iAc
?
?
??
l
j
ijji cgAc
1
)(?
再构造 和 的表较矩阵, 为一
致阵,故取权重向量
由,求得这种方案的
吸引力 。
iAp iAc ??
?
?
??
?
?
1
21
2
1
),(),( 313221 ???
i2 Ap
A
???
??
?i1
ii
iii Acρ
AcAp)Ac,( A p
iA
模型的建立
模型二
根据彩民对中奖面和对中奖金额的不同偏
爱，将彩民分为 n种彩民群体，每一种群体
对中奖面和奖金额度的重视程度不同，则
某一确定的设奖方案对每种人群的吸引力
也不同 ……
变量的设定
? ? ? ?
ikikijkijk
ik
ik
i
ik
k
ucgpg
Acki
Apki
Ai
Aki
rk
和而其比重分别为和同理定义
种人群的吸引力为第种设奖方案的中奖面对第
种人群的吸引力为第种设奖方案的中奖面对第
的吸引力为种设奖方案对彩民总体第
种人群的吸引力为种设奖方案对第第
为种人群占总人数的比重设第
?,
? ?
?
?
?
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n
k
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ikikikik
n
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AcApfA
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l
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jk
l
j
ijkjkik
u
cguAcpgAp
1
1
1
1
1
&
1?
?
? 将人群分为, 保守型, 和, 冒险型, 两
种，即在上述公式中令 n=2
?
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ji
ikik
ii
ik
k
k
k
ikki
c
c
uAc
p
p
Ap
ApAc
AcAp
A
rArA
1
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*
1
1
*
*
1
21
21
2
1
2
1
1
2.0
1
2.0
1,
1
?
??
??
??
，
，
，
熵值取权法,
? ?
?
?
)(
)(
j
j
j d1
d1
?
)]ln [ g ( ppgd ijijj ???? ? )(?
10,??? jdmln1 ）（?
?
?
?
?? l
j ij
ijj
i p
pAp
1
)2.0(
?
模型的假设及符号说明
? 模型的假设
（ 1）每注彩票只兑付最高奖级奖金，不可兼得；
（ 2）假设彩票的规则是以公平合理为原则；
（ 3）假设彩票的发行费用不计，彩票总奖金比例一
般为销售总金额的 50%；
（ 4）假设高项奖按事先设定的百分比分配，且按当
期各奖级实际中奖注数平均分配该奖级；
（ 5）奖金取绝于当期彩票投注额的多少，投注额越
多，奖金越高；
（ 6）假设彩民大都具有博彩心理。
符号说明
(1),表示 i(i=1,2,3)等奖是否被取走，即 =0或 1；
(2),表示 i等奖中奖注数；
(3),表示 i等奖的奖金额；
(4),表示当期已售出的彩票注数；
(5),表示每注彩票第 i项奖的奖金额；
(6),表示取走的奖金额；
(7),表示一注中奖彩票被取走的奖金比率，即单注彩票的平均收
益率；
(8),表示第 i等奖的中奖概率；
(9),表示第 i等奖的奖金分配的百分比；
(10),表示博彩心理函数；
(11),表示低项奖奖额在总奖项中所占的比例；
(12),判别方案合理性的判别函数。
i?
k?
iX
n
ix
?
( ) /En?
iP
ir
()wt
s
f
求两种类型彩票每注中各奖项的概
率
? 设彩票有 7等奖，对某一方案而言，每注彩
票中各奖项的概率是可求的，分别
用,, … 来表示中一等奖到七等
奖的概率。 2P 7P1P
设当期销售 n注彩票，研究每注彩票的收益
? 由于当期彩票的总奖金与售出彩票注数 n有关,n
注彩票中，获得第 等奖的中奖注数 是随机变
量，且 服从二项分布,即
? 由贝努利大数定律可知，当 足够大时,近似
服从正态分布,
i?
i? (,)ib n P
( ) ( 1 )k k n ki n i iP k C P P? ?? ? ?
n
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2
2
()
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()
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i
? 其期望与方差分别为
2
(1 )
ii
i i i
E n P
D n P P
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??
????
?
? ? ???
? 记
由 的独立性
77665544 xxxxY ????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?77665544
77665544
xPxPxPxPn
xExExExEYE
????
????????
i?
? 高项奖的第 i等奖的奖金额,由题目中给出的
计算方法得 iX
7
4
( ),1,2,3i i k k
k
X r n x i?
?
? ? ??
? 若 表示 等奖是否被取走，则
服从两点分布。 =0 表示 等奖没被取走,
=1表示 等奖被取走，其分布率为
i?
i?
i?( 1,2,3 )ii ?
( 0 ) ( 1 ),niiPP? ? ? ?
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]niiPP? ? ? ? ?
i? i
i
? 若 表示取走的奖金总额,它是一
个随机变量，则 表示单注彩票的收益率。基于
彩票的总奖金比例一般为销售总额的 50%，单注
彩票金额为 2元，首先分析 的数学期望
n
?
n
?
37
14
i i k k
ik
Xx? ? ?
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????
()nE ?
?
37
7 3 7
14
4 1 4
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( ) 1
[ ( ) ]
i i k k
ik
k k k k i i
k i k
E X x
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P x E n x r
n n n
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????
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7 3 3 7
4 1 1 4
1( ) [ ]
k k i i k i k i
k i i k
P x r E E x r
n
? ? ?
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? ? ?? ? ? ?
7 3 3 7
4 1 1 4
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ],,,,,, ( 1 )nnk k i i k i k i
k i i k
P x P r P P x r
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? 取 n=100万,150万,200万,300万，
利用公式（ 1）求出了题目表三中 29种
方案，在不同 n下每注彩票的平均收益
率，从运算结果看，随着 n的增大，平
均收益率趋于稳定值 1。
从公平因素出发进行分析
? 利用公平原则确定奖金在各个奖项中分配情
况，中奖的概率 与第 i项奖单注中奖金额
具有相关性，即中奖可能性越小，奖金额越
高。再者中奖几率和成本有直接关系，假设
中一等奖的概率是 0.001，中二等奖的概率是
0.01，则一等奖平均抽 1000注 (需 2000元）才
能中一次，而二等奖需要 100注（需 200元），
可见中奖收益和中奖概率应该成反比，最理
想的情况为中奖概率和奖金额乘积等于常数。
iP
ix
? 我们把总奖金额分成低项，高项两部分，在每项
内部考虑公平因素，若考虑奖项为 1到 7等奖的方
案
? 我们称该公式为公平尺度。
12( 1,2,3 ),( 4,5,6,7 )i i k kP x c i P x c k? ? ? ?
12,,cc 为 常 数
? 若低项奖的百分比为,则高项奖的百分比
为,由低项奖内部公平尺度有以下公式
s
(1 )s?
? ?4 4 5 5 6 6 7 7
4 5 5 6 6 7 7
.,,,,, 2
P x P x P x P x
n P x n P x n P x n P x s n
? ? ??
?
? ? ? ??
? 由高项奖内部公平尺度有以下公式
1 1 2 2 3 3
1 2 3
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]
1
n
ii
i
i
r s n P
x
nP
P x P x P x
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?
?
?
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???
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3
1 1 2 2 3 3
1
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]nii
i
P x P x P x s r P
?
? ? ? ? ? ??则
( n当 是 定 值 时,其 值 是 常 数 )
1 1 2 2 3 3
1 2 3
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]
,( 1,2,3 )
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ]
1
n
ii
i
i
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xi
nP
r P r P r P
r r r
? ? ? ? ?
??
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
? 以 反映了高项奖的公平程度，此时
当且仅当 时 最大。同理
也反映了低项奖的公平程度。我们可取
作为衡量公平程度的数学表达式，但由于
远小于 1，所以 很小，设,记为
总公平因子。
3
1
()ii
i
Px
?
? ?1d
7
2
4
()kk
k
d P x
?
? ?
7 7d? ??
1 1 2 2 3 3P x P x P x??
1d
2d1d=d
iiPx
d
博彩心理因素的分析
? 彩民的兴趣大小与单注收益率，公平
度相关。对一个方案，彩民的看法主
要是由收益决定的，我们用这个量的
某个函数来衡量该方案对彩民的吸引
力，而彩民的看法是一个心理因素，
是一个很难准确衡量的量。
? 根据心理学的知识，人的心理因素的变化可用博
彩心理函数来近似刻画，博彩心理与单注的收益
率有关，因此，取博彩心理函数为
( ) 1 ntte? ???
( ),nt E n??其 中 表 示 销 售 注 数
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
( ) 1 ntte? ???
模型的建立与求解
? 综合以上的分析，我们用影响方案合
理性的三个因子：收益期望，公平因
素，博彩因素，来构造给定方案合理
性的评判函数，并且通过求解这个函
数的值来判定各方案的优劣。
评价函数的构造
? 方案的吸引力函数 博彩因子 *公平因子，即 f ?
7 3 7 3
4 1 4 1
7
( ) ( 1 )
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ]
7
nt
nn
k k i i k k i i
k i k i
f t e
t P x r P P x r P
d
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?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ??
?
?
???
? ? ? ?
? 根据彩票目前每期开奖的有关资料，以及题目中
对单注一等奖奖金的约束，取彩票销售注数 n=200
万注进行计算。
? 以 29个方案的有关数据代入判别函数本 中，求
出 的值，通过比较 值的大小，我们可以确定
给定的各种方案的优劣。
? 由此得到对 29个方案的排序为
9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22，
18,25,12,26,13,14,23,15,17,21,29，
2,27,3,28,4,1
f
ff
? 由问题一的求解结果可以看出，传统型和
无特别号码型的方案已不可能列入最优方
案中，因此，问题二中只需在乐透型彩票
的两种方案（ M/N和 M+1/N）进行讨论，我
们需要求出当 M,N取何值，取几个奖项，
高项奖的百分比 及低项奖的奖金额
为多少时方案最优。 ir kx
? 最优方案的目标函数仍然为问题一的判别函数，
其中的变量 M,N，,,根据题目的数据和问
题一的讨论，满足如下的条件 k
x
5 7,2 9 6 0,MN? ? ? ?
10, 5 0, 8r??
1 ( 1,2,.,,,6 ),kkx x k???
16 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0x??
ir
? 若销售 n注彩票，则 i等奖被取走的概率
为,平均有 注彩票获 i等奖。
因此,i等奖能取走的金额为 ( 1 ( 1 ) )
n
iP?? inP
7
4
( ) ( 1 ( 1 ) )
,( 1,2,3 )
n
k k i i
k
i
i
n x P r
xi
nP
?
?
? ? ?
??
?
? 由公平原则
? 因此 而 N最大为 60，因此,
可约束 。
11
11
,( 1,2 )
,( 4,5,6 )
i i i i
k k k k
P x P x i
P x P x k
??
??
???
?
???
1
1
ii
ii
xP
xP
?
?
? 1
1 1
60
i
i
P
P ?
??
160iixx ??
? 综合以上分析可得到问题二的求解模型为
m a x ( ) ( 1 )ntf t e? ? ??? ? ? ? ?
7 3 7 3
4 1 4 1
7
1
1 2 3
1
1
7
4
[1 (1 ) ] [1 (1 ) ],
7,
5 7,2 9 6 0,
0, 5 0, 8,
1,0,
6 0,( 1,2,3,4,5,6,),
6 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0,
( ) (1 (1 ) )
,( 1,2,3 ),
200
nn
k k i i k k i i
k i k i
i
ii
n
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i
i
t P x r P P x r P
d
MN
r
r r r r
x x k
x
n x P r
xi
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4
1 0,
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
? 把乐透型的两种情况的概率 代入上式，计算
得到此非线性规划问题的最优解为 iP
12
3 4 5 6 7
7,3 3,0, 7 6,0, 1 2,
0, 1 2,2 3 7,1 5,1 0,0
M N r r
r x x x x
? ? ? ?
? ? ? ? ?
(与书中结果稍有偏差,但是方案种类是一致的 )
问题重述
? 彩票在国内已经得到较大程度的推广，并受到众多彩
民的欢迎。彩票类型主要有, 传统型, 和, 乐透型,
两种，主要在所采用的方案上有所不同。
? 不管采取何种方案，彩票管理部门都希望利用相对合
理的销售规则和奖金设置，吸引彩民，扩大销售总额。
? 题目要求我们根据所给方案的具体情况，综合分析各
种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩
民的吸引力等因素来评价各方案的合理性，并设计出
一种, 更好, 的方案。
彩票的类型
I、“传统型”彩票采用,10选 6+1” 方案，每注中奖号
码由 6个基本号码即一个特别号码组成。 (有序 )
中 奖
等 级
10 选 6+1（ 6+1/10）
基本号码 特别号码 说 明
一等奖 abcdef g 选 7中（ 6+1）
二等奖 abcdef 选 7中（ 6）
三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7中（ 5）
四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7中（ 4）
五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7中（ 3）
六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX
XXXXef
选 7中（ 2）
彩票的类型
II、“乐透型”采用,n选 m” 或,n选 m+1” 方案。 (无序 )
甲、,n选 m” 制：中奖号码由 1— n中的互不重复的 m个基
本号及一个特别号码组成。每注选 m个不同号。
中 奖
等 级
33 选 7（ 7/33）
基本号码 特别号码 说 明
一等奖 ●●●●●●● 选 7中（ 7）
二等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7中（ 6+1）
三等奖 ●●●●●●○ 选 7中（ 6）
四等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7中（ 5+1）
五等奖 ●●●●●○○ 选 7中（ 5）
六等奖 ●●●●○○○ ★ 选 7中（ 4+1）
七等奖 ●●●●○○○ 选 7中（ 4）
II、“乐透型”采用,n选 m” 或,n选 m+1” 方案。 (无序 )
乙,,n选 m+1” 制：中奖号码由 1— m中互不重复的 m个
基本号及一个特别号组成。每注选 m+1个不同号。
中 奖
等 级
36 选 6+1（ 6+1/36）
基本号码 特别号码 说 明
一等奖 ●●●●●● ★ 选 7中（ 6+1）
二等奖 ●●●●●● 选 7中（ 6）
三等奖 ●●●●●○ ★ 选 7中（ 5+1）
四等奖 ●●●●●○ 选 7中（ 5）
五等奖 ●●●●○○ ★ 选 7中（ 4+1）
六等奖 ●●●●○○ 选 7中（ 4）
七等奖 ●●●○○○ ★ 选 7中（ 3）
奖项设置
? 总奖金比例 =
? 单注金额 2元
? 单注得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖
? 一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖
? 一等奖单注保底金额 60万元，封顶金额 500万元
? 低项奖为固定奖，奖额固定
高项奖为浮动奖，按比例分配
? 各高项奖额的计算方法为,
[(当期销售总额 × 总奖金比例 ) -低项奖总额 ]× 单项奖比例
50%?总 奖 金总 销 售 额
问题的分析
R---利润
D---彩民购买彩票的总注数
q---单注金额
k---总奖金比例
现 q=2,k=50%一定，所以 R与
D成正比
? ?kqDR ???? 1
? 模型的假设
1 不考虑除奖项设置方案以外的其它可能影响
彩民购买彩票的因素（如广告等媒体宣传手
段）
2 彩民购买彩票的注数与彩票放案的吸引力直
接相关，表现为吸引力越大，售出的彩票注
数越多
3 不同的彩民对彩票有不同的喜好，表现为中
奖面（即获奖概率）和奖金额对其吸引力的
不同
? 方案的好坏 ~彩票方案的评价函数 ~对彩民吸
引力的大小
1）奖金额
2）中奖面
设第 i 种方案有 L 等奖,1等奖到 L 等奖的中
奖率分别为 Pi1,……, PiL，单项获奖金额
分别为 Ci1,……, CiL，它队某一类型彩民
的吸引力为 Ai
当以上 2L个参数中只有一个增大，而其余
(2L-1)个不变时，根据实际情况可以知道，
吸引力 Ai必然随之增大而且吸引力 Ai应该
是以 Pi1,……, PiL,Ci1,……, CiL这 2L
个参数为自变量的函数，且对于每一个自
变量而言，均是单调增函数，这一点对于
任何设奖方式均适用。
即
应该满足
? ?iliiiliii cccpppfA ???,,;,,2121
? ?lj
c
A
p
A
ij
i
ij
i ???
?
??
?
?,2,10,0
1
0
0
2
2
2
2
图的函数曲线大致形状如或关于因此可以定性地得到
或在整个定义域内均有
时，或即
的增加就已经很缓慢或随着吸引力
增大到一定程度时或当
中，在实际购买彩票的活动
ijiji
ij
i
ij
i
ij
i
ij
i
ijiji
ijij
cpA
c
A
p
A
c
A
p
A
cpA
cp
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
图 1
模型的建立与求解
模型一 吸引力函数
? ? ? ?
? ? ? ?
彩民的吸引力；
对种社将方案的中奖金额表示第
对彩民的吸引力；
奖概率）种设奖方案中奖面（获表示第
i
i
,...,;...,
...,&...,
2121
2121
i
i
iiiliiiliii
iliiiiliii
Ac
Ap
AcApfcccpppf
cccAcpppAp
?
? ?
设奖方案无关
度，与具体的和对中奖金额的偏爱程
分别表示彩民对中奖面，这里，
其中
数，定义参照经济学中的效用函
11
11
21
1
,
??
??
??
??
???
?
??
ii
ii
ii
ApAc
AcAp
AcApf
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j
l
j
ijji
l
j
j
l
j
ijji
ii
u
cguAcpgAp
AcAp
1
1
1
1
11
,
?
?
再来定义
? ? ? ?
ax
x
xg
as
s
sH
?
??
?
?
传输函数类比于高通滤波系统的
特性鉴于其一次与两次导的
? ?
? ? 2.00, 40
1,0,
4.2
4.2
3
??
?
?
a
cp
dx
dg
ax
ax
xdB
a
ijij
取，取参数的波动区间为
内经过归一化处理后都在鉴于
。时，可以认为当
，下限截至频率为
下线截止频率，解得时的作为率衰减
以相对最大增益截至频率的确定方法，
系统中下限的取定，参考高通滤波对于
层
次
分
析
法
? 由于可能存在数量级上的巨大差异，
必须将 p & c 置于同一数量级，所
以 ……
? ?
? ? ? ?
? ?
lm
ij
lm
ij
lm
ij
lm
ij
c
cp
pm
?
??
?
*
*
的处理，可得到矩阵
进行同样，对矩阵新的矩阵
一化，得到一个对矩阵的每一列进行归
：种设奖方案，构造矩阵假设共有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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1
21
321
4321
54321
654321
7654321
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2
1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
2
1
求出该成对比较矩阵的近似特征向量,
{ 0.350396,0237473,0.158966,0.105558,0.0696454,
0.0461632,0.0317984 }
最大特征根的近似值为,
0328796.0
17
7,1928.7 ?
?
??? ?? CI
对其进行一致性检验得,
其中 RI=1.32 (n=7时 ) 是随机一致性指标
满足一致阵要求,求得的特征向量可以作为各奖项的
权重向量 和
1.00249088.0 ???
RI
CICR
),,,( 21 l??? ?),,,( 21 l??? ?
同理,用同样的权重向量和 g(x),可以求出
iAc
?
?
??
l
j
ijji cgAc
1
)(?
再构造 和 的表较矩阵, 为一
致阵,故取权重向量
由,求得这种方案的
吸引力 。
iAp iAc ??
?
?
??
?
?
1
21
2
1
),(),( 313221 ???
i2 Ap
A
???
??
?i1
ii
iii Acρ
AcAp)Ac,( A p
iA
模型的建立
模型二
根据彩民对中奖面和对中奖金额的不同偏
爱，将彩民分为 n种彩民群体，每一种群体
对中奖面和奖金额度的重视程度不同，则
某一确定的设奖方案对每种人群的吸引力
也不同 ……
变量的设定
? ? ? ?
ikikijkijk
ik
ik
i
ik
k
ucgpg
Acki
Apki
Ai
Aki
rk
和而其比重分别为和同理定义
种人群的吸引力为第种设奖方案的中奖面对第
种人群的吸引力为第种设奖方案的中奖面对第
的吸引力为种设奖方案对彩民总体第
种人群的吸引力为种设奖方案对第第
为种人群占总人数的比重设第
?,
? ?
?
?
?
?
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?
?
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?
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n
k
k
ikikikik
n
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AcApfA
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l
j
jk
l
j
ijkjkik
u
cguAcpgAp
1
1
1
1
1
&
1?
?
? 将人群分为, 保守型, 和, 冒险型, 两
种，即在上述公式中令 n=2
?
?
?
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?
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ii
ik
k
k
k
ikki
c
c
uAc
p
p
Ap
ApAc
AcAp
A
rArA
1
*
*
1
1
*
*
1
21
21
2
1
2
1
1
2.0
1
2.0
1,
1
?
??
??
??
，
，
，
熵值取权法,
? ?
?
?
)(
)(
j
j
j d1
d1
?
)]ln [ g ( ppgd ijijj ???? ? )(?
10,??? jdmln1 ）（?
?
?
?
?? l
j ij
ijj
i p
pAp
1
)2.0(
?
模型的假设及符号说明
? 模型的假设
（ 1）每注彩票只兑付最高奖级奖金，不可兼得；
（ 2）假设彩票的规则是以公平合理为原则；
（ 3）假设彩票的发行费用不计，彩票总奖金比例一
般为销售总金额的 50%；
（ 4）假设高项奖按事先设定的百分比分配，且按当
期各奖级实际中奖注数平均分配该奖级；
（ 5）奖金取绝于当期彩票投注额的多少，投注额越
多，奖金越高；
（ 6）假设彩民大都具有博彩心理。
符号说明
(1),表示 i(i=1,2,3)等奖是否被取走，即 =0或 1；
(2),表示 i等奖中奖注数；
(3),表示 i等奖的奖金额；
(4),表示当期已售出的彩票注数；
(5),表示每注彩票第 i项奖的奖金额；
(6),表示取走的奖金额；
(7),表示一注中奖彩票被取走的奖金比率，即单注彩票的平均收
益率；
(8),表示第 i等奖的中奖概率；
(9),表示第 i等奖的奖金分配的百分比；
(10),表示博彩心理函数；
(11),表示低项奖奖额在总奖项中所占的比例；
(12),判别方案合理性的判别函数。
i?
k?
iX
n
ix
?
( ) /En?
iP
ir
()wt
s
f
求两种类型彩票每注中各奖项的概
率
? 设彩票有 7等奖，对某一方案而言，每注彩
票中各奖项的概率是可求的，分别
用,, … 来表示中一等奖到七等
奖的概率。 2P 7P1P
设当期销售 n注彩票，研究每注彩票的收益
? 由于当期彩票的总奖金与售出彩票注数 n有关,n
注彩票中，获得第 等奖的中奖注数 是随机变
量，且 服从二项分布,即
? 由贝努利大数定律可知，当 足够大时,近似
服从正态分布,
i?
i? (,)ib n P
( ) ( 1 )k k n ki n i iP k C P P? ?? ? ?
n
i?
2
2
()
2
1
()
2
x
f x e
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?
?
i
? 其期望与方差分别为
2
(1 )
ii
i i i
E n P
D n P P
??
??
????
?
? ? ???
? 记
由 的独立性
77665544 xxxxY ????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?77665544
77665544
xPxPxPxPn
xExExExEYE
????
????????
i?
? 高项奖的第 i等奖的奖金额,由题目中给出的
计算方法得 iX
7
4
( ),1,2,3i i k k
k
X r n x i?
?
? ? ??
? 若 表示 等奖是否被取走，则
服从两点分布。 =0 表示 等奖没被取走,
=1表示 等奖被取走，其分布率为
i?
i?
i?( 1,2,3 )ii ?
( 0 ) ( 1 ),niiPP? ? ? ?
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]niiPP? ? ? ? ?
i? i
i
? 若 表示取走的奖金总额,它是一
个随机变量，则 表示单注彩票的收益率。基于
彩票的总奖金比例一般为销售总额的 50%，单注
彩票金额为 2元，首先分析 的数学期望
n
?
n
?
37
14
i i k k
ik
Xx? ? ?
??
????
()nE ?
?
37
7 3 7
14
4 1 4
()
( ) 1
[ ( ) ]
i i k k
ik
k k k k i i
k i k
E X x
E
P x E n x r
n n n
??
?
????
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?
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??
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7 3 3 7
4 1 1 4
1( ) [ ]
k k i i k i k i
k i i k
P x r E E x r
n
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
7 3 3 7
4 1 1 4
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ],,,,,, ( 1 )nnk k i i k i k i
k i i k
P x P r P P x r
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? 取 n=100万,150万,200万,300万，
利用公式（ 1）求出了题目表三中 29种
方案，在不同 n下每注彩票的平均收益
率，从运算结果看，随着 n的增大，平
均收益率趋于稳定值 1。
从公平因素出发进行分析
? 利用公平原则确定奖金在各个奖项中分配情
况，中奖的概率 与第 i项奖单注中奖金额
具有相关性，即中奖可能性越小，奖金额越
高。再者中奖几率和成本有直接关系，假设
中一等奖的概率是 0.001，中二等奖的概率是
0.01，则一等奖平均抽 1000注 (需 2000元）才
能中一次，而二等奖需要 100注（需 200元），
可见中奖收益和中奖概率应该成反比，最理
想的情况为中奖概率和奖金额乘积等于常数。
iP
ix
? 我们把总奖金额分成低项，高项两部分，在每项
内部考虑公平因素，若考虑奖项为 1到 7等奖的方
案
? 我们称该公式为公平尺度。
12( 1,2,3 ),( 4,5,6,7 )i i k kP x c i P x c k? ? ? ?
12,,cc 为 常 数
? 若低项奖的百分比为,则高项奖的百分比
为,由低项奖内部公平尺度有以下公式
s
(1 )s?
? ?4 4 5 5 6 6 7 7
4 5 5 6 6 7 7
.,,,,, 2
P x P x P x P x
n P x n P x n P x n P x s n
? ? ??
?
? ? ? ??
? 由高项奖内部公平尺度有以下公式
1 1 2 2 3 3
1 2 3
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]
1
n
ii
i
i
r s n P
x
nP
P x P x P x
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?
?
?
?
???
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?
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3
1 1 2 2 3 3
1
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]nii
i
P x P x P x s r P
?
? ? ? ? ? ??则
( n当 是 定 值 时,其 值 是 常 数 )
1 1 2 2 3 3
1 2 3
( 1 ) [ 1 ( 1 ) ]
,( 1,2,3 )
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ]
1
n
ii
i
i
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r s n P
xi
nP
r P r P r P
r r r
? ? ? ? ?
??
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ?
?
?
?
? 以 反映了高项奖的公平程度，此时
当且仅当 时 最大。同理
也反映了低项奖的公平程度。我们可取
作为衡量公平程度的数学表达式，但由于
远小于 1，所以 很小，设,记为
总公平因子。
3
1
()ii
i
Px
?
? ?1d
7
2
4
()kk
k
d P x
?
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7 7d? ??
1 1 2 2 3 3P x P x P x??
1d
2d1d=d
iiPx
d
博彩心理因素的分析
? 彩民的兴趣大小与单注收益率，公平
度相关。对一个方案，彩民的看法主
要是由收益决定的，我们用这个量的
某个函数来衡量该方案对彩民的吸引
力，而彩民的看法是一个心理因素，
是一个很难准确衡量的量。
? 根据心理学的知识，人的心理因素的变化可用博
彩心理函数来近似刻画，博彩心理与单注的收益
率有关，因此，取博彩心理函数为
( ) 1 ntte? ???
( ),nt E n??其 中 表 示 销 售 注 数
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
( ) 1 ntte? ???
模型的建立与求解
? 综合以上的分析，我们用影响方案合
理性的三个因子：收益期望，公平因
素，博彩因素，来构造给定方案合理
性的评判函数，并且通过求解这个函
数的值来判定各方案的优劣。
评价函数的构造
? 方案的吸引力函数 博彩因子 *公平因子，即 f ?
7 3 7 3
4 1 4 1
7
( ) ( 1 )
[ 1 ( 1 ) ] [ 1 ( 1 ) ]
7
nt
nn
k k i i k k i i
k i k i
f t e
t P x r P P x r P
d
? ? ?
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ? ??
?
?
???
? ? ? ?
? 根据彩票目前每期开奖的有关资料，以及题目中
对单注一等奖奖金的约束，取彩票销售注数 n=200
万注进行计算。
? 以 29个方案的有关数据代入判别函数本 中，求
出 的值，通过比较 值的大小，我们可以确定
给定的各种方案的优劣。
? 由此得到对 29个方案的排序为
9,5,11,8,7,19,20,16,24,10,6,22，
18,25,12,26,13,14,23,15,17,21,29，
2,27,3,28,4,1
f
ff
? 由问题一的求解结果可以看出，传统型和
无特别号码型的方案已不可能列入最优方
案中，因此，问题二中只需在乐透型彩票
的两种方案（ M/N和 M+1/N）进行讨论，我
们需要求出当 M,N取何值，取几个奖项，
高项奖的百分比 及低项奖的奖金额
为多少时方案最优。 ir kx
? 最优方案的目标函数仍然为问题一的判别函数，
其中的变量 M,N，,,根据题目的数据和问
题一的讨论，满足如下的条件 k
x
5 7,2 9 6 0,MN? ? ? ?
10, 5 0, 8r??
1 ( 1,2,.,,,6 ),kkx x k???
16 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0x??
ir
? 若销售 n注彩票，则 i等奖被取走的概率
为,平均有 注彩票获 i等奖。
因此,i等奖能取走的金额为 ( 1 ( 1 ) )
n
iP?? inP
7
4
( ) ( 1 ( 1 ) )
,( 1,2,3 )
n
k k i i
k
i
i
n x P r
xi
nP
?
?
? ? ?
??
?
? 由公平原则
? 因此 而 N最大为 60，因此,
可约束 。
11
11
,( 1,2 )
,( 4,5,6 )
i i i i
k k k k
P x P x i
P x P x k
??
??
???
?
???
1
1
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1 1
60
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? 综合以上分析可得到问题二的求解模型为
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7 3 7 3
4 1 4 1
7
1
1 2 3
1
1
7
4
[1 (1 ) ] [1 (1 ) ],
7,
5 7,2 9 6 0,
0, 5 0, 8,
1,0,
6 0,( 1,2,3,4,5,6,),
6 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0,
( ) (1 (1 ) )
,( 1,2,3 ),
200
nn
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1 0,
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? 把乐透型的两种情况的概率 代入上式，计算
得到此非线性规划问题的最优解为 iP
12
3 4 5 6 7
7,3 3,0, 7 6,0, 1 2,
0, 1 2,2 3 7,1 5,1 0,0
M N r r
r x x x x
? ? ? ?
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(与书中结果稍有偏差,但是方案种类是一致的 )
