第八章 系 统 函 数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
本章主要内容
1.系统函数；
2,系统的级联与并联结构；
3,系统函数零极点分布对系统时域特性的
影响 ；
4,系统函数零极点分布对系统频率特性的
影响 ；
5,系统的波特图；
6,一阶与二阶系统；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.1 系统函数, ( The System Function )
一, 系统函数,
前几章已涉及到系统函数的概念，以及用系统函
数描述 LTI系统的问题，也取得了一些重要的结论。
归纳起来看,对连续时间 LTI系统有：
()( ) ( )
()
YsH s h t
Xs
??
1.
3．若系统稳定,的 ROC包括 轴。?j()Hs
ste()Hs 是系统与 对应的特征值。
2．
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
( ) ( ) sjH j H s ????
当 是有理函数时，系统的特性表现为：
()Hs
? 因果性,ROC为最右边极点的右边。
? 反因果,ROC为最左边极点的左边。
? 因果稳定,的全部极点位于左半平面。()Hs
对离散时间 LTI系统相应有：
1．
)(
)(
)()( nh
zX
zYzH ??
2,)(zH nz是系统与 对应的特征值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
)(zH 的 ROC包括单位圆。
?
?
jez
j zHeH
?? )()(
3．若系统稳定，
当 是有理函数时，系统的特性表现为：)(zH
? 因果性,ROC为最外部极点的外部，包括 。||z ??
? 反因果,ROC为最内部极点的内部，包括 。0z?
二, 系统互联时的系统函数：
1．级联：
? 因果稳定,的全部极点位于单位圆内。)(zH
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)()()( 21 ththth ??
)()()( 21 nhnhnh ??
12( ) ( ) ( )H s H s H s? ? ?
)()()( 21 zHzHzH ??
1()th 2()th
1()nh 2()nh
()xt ()yt
()xn ()yn
在时域有：
2．并联：
)()()( 21 ththth ??
)()()( 21 nhnhnh ??
在时域有,()xt
()xn
1()th
1()nh
2()nh
2()th
()yt
()yn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
12( ) ( ) ( )H s H s H s? ? ?
)()()( 21 zHzHzH ??
3．反馈联接：
1 ( ) ( ) ( )Y s Y s G s?
11( ) [ ( ) ( ) ] ( )Y s X s Y s H s??
11( ) ( ) ( ) ( ) ( )X s H s Y s G s H s??
1()Hs
,ROC：
1R ()Gs
,ROC：
2R
1()sY
()Xs ()Ys
1()sH
()Gs
-由图可列出方程：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1
1
( ) ( )()
( ) 1 ( ) ( )
Y s H sHs
X s H s G s
??
?
ROC：包括
12RR
三, 系统函数的作用：
1,从系统函数可以求得 或 。)(th )(nh
4,研究实现系统时的相关结构。
2,已知输入信号，可以分析系统响应，或反之。
3,分析系统的频率特性。
5,进行系统综合。
离散时间系统有与此完全对应的结果。
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8.2 系统的级联与并联结构,
( The Cascade and Parallel-Form Structures of Systems )
一, 级联型：
??
??
?
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k dt
txdb
dt
tyda
00
)()(由
得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
N
k
k
M
k
k
N
M
N
k
k
k
M
k
k
k
s
s
a
b
sa
sb
sH
1
1
0
0
)(
)(
)(
?
?
合并其中共轭成对的因子，可得,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2
2
10
11
2
2
10
11
( ) ( )
()
( ) ( )
p M p
k k k
kkM
q N q
N
k k k
kk
s s s
b
Hs
a
s s s
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ?
??
? ? ?
??
??
若 M＝ N,p=q 则：
??
?
?? ?
??
??
??? pN
k k
k
p
k kk
kk
N
N
s
s
ss
ss
a
bsH 2
10 01
2
01
2
)(
?
?
??
??
这表明,系统可以由 p个二阶系统与 N-2p个一阶
系统级联而成。
其中一阶基本节为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1
( ) ( )( ) ( ) ( )k
k k k
k
s d y t d x tH s y t x t
s d t d t
? ??
?
?? ? ? ?
? ?
二阶基本节为：
2
10
2 2
10
() kkk
kk
ssHs
ss
??
??
???
??
2
102
2
102
( ) ( )
()
( ) ( )
()
kk
kk
d y t dy t
yt
dt dt
d x t dx t
xt
dt dt
??
??
??
? ? ?
对应的微分方程为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1 1
?
?
?? k1
?? k0 ?k0
?k1
二阶基本节
?
?? k ?k
一阶基本节
当 N为偶数时，可以用 个二阶系统级联而成/2N
2/ 2 / 2
10
22
11 10
( ) ( )
NNN k k N
k
kkN k k k N
b s s bH s H s
a s s a
??
????
??????
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
离散时间 LTI系统的情况相类似，由差分方程可得：
1 2 12
0 1 2
1 2 1
110 1 2
11() p N pk k k
kk k k k
b z z zHz
a z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
??
? ? ??
? ? ???
将分子、分母因式分解，合
并共轭成对的因子，当 M=N，
p=q时，可以得到：
1
1 1
1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
1
k
k k k
k
zH z y n y n x n x n
z
? ??
?
?
?
?? ? ? ? ? ??
?
其中一阶基本节为：
0
0
()
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Hz
az
?
?
?
?
?
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
12
12
2 12
12
1()
1
kk
k
kk
zzHz
zz
??
??
??
??
???
??
12
12
( ) ( 1 ) ( 2 )
( ) ( 1 ) ( 2 )
kk
kk
y n y n y n
x n x n x n
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
二阶基本节为：
对应的差分方程为：
1 1
?? k1
2k?? 2k?
?k1D
D
二阶基本节
D
?? k ?k
1 1
一阶基本节
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
D
D
D
D
()xn
0
0
b
a
11??
21??
11?
21?
1 2N??
2 2N??
1 2N?
2 2N?
()yn
当 N为偶数时，可以用 个二阶系统级联而成/2N
二, 并联型：
将系统函数 展开成部分分式，可得到并联型结构。
1
()
N
Nk
kNk
bAHs
as ??
??
??
假定分子与分母同阶
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
若不含重阶极点，且 M＝ N，将极点共轭成对的项
两两合并，可得到：
2
10
2
11 10
()
p N p
N k k k
kkN k k k k
b s AHs
a s s s
??
? ? ?
?
??
?? ? ?
? ? ???
表明,系统可以由若干个一阶和二阶系统并联而成。
1 ()
k
k
k
AHs
s ?? ?
其中一阶基本节为：
10
2 2
10
() kkk
k k k
sHs
ss
??
??
??
??
二阶基本节为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
0
1k?
0k?
1
?
?
?? k1
?? k0二阶基本节
1 0
??k Ak
?
一阶基本节
N为偶数时 又可将任意两个一阶项合并为二阶项，
由此可得出系统的并联结构。
1
??k Ak
?
也可以表示为,1
?
?
?? k1
?? k0 0k?
1k?
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
离散时间系统的情况类似，将 展开为部分分式
()Hz
0
1
10
()
1
N
k
k k
bAHz
az ? ??
??
??
若不含重阶极点，将极点共轭成对的项两两合并有：
1 2
0 0 1
1 2 1
110 1 2
()
11
p N p
k k k
kk k k k
b z AHz
a z z z
??
? ? ?
? ?
? ? ?
??
?? ? ?
? ? ???
1 1()
k
k
k
AHz
sz? ?
?
?
其中一阶基本节为：
1
01
2 12
12
()
1
kk
k
kk
zHz
zz
??
??
?
??
??
??
二阶基本节为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1/2
0 0 1
12
10 1 2
()
1
N
kk
k kk
bzHz
a z z
??
??
?
??
?
???
???
当 N为偶数时，将其他一阶项也两两合并，可得
到由 个二阶系统并联而成的结构。/2N
0k?
1k?
1
?? k1
2k??
D
D 二阶基本节
Ak
D
?? k
1
一阶基本节
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
前面已看到在 H(s)或 H(z)是有理函数的情况下,
总能根据其零极点的分布, 将系统函数表示为：
8.3 零极点分布对时域特性的影响：
0
1
()
N
i
i i
szH s H
sp?
??
??
1
0 1
1
1()
1
N
i
i i
zzH z H
pz
?
?
?
??
??
将 H(s)或 H(z)展开成部分分式时，每个极点对应一
项。这表明在 h(t)或 h(n)中一定有一项与 H(s)或 H(z)的
一个极点相对应，而每一项的系数则与零点有关。
可见 系统函数的零极点布局决定了系统的特性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
一, 连续时间系统,
0
0
()
()
()
M
k
k
k
N
k
k
k
bs
Ns
Hs
Ds
as
?
?
??
?
?
1,当 时，有：MN?
20 1 2 1( ) ( )MNMNH s C C s C s C s H s??? ? ? ? ? ?
此时,中必含有冲激和冲激的各阶导数。()ht
其中 是 有理真分式 。
1()Hs
1
1
1
()()
()
NsHs
Ds
?
分子阶数低于分母阶数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
a,若全部极点均为单阶，则有：
11
( ) ( )
NN
k
k
kk k
AH s H s
sp??
??
???
如果系统因果，有：
1
( ) ( )k
N
pt
k
k
h t A e u t
?
? ?
b,当有重阶极点时，设 为 r阶极点，则有：
12 1
()
( ) ( )
rN
kk
k
kk k
BAHs
s p s p??
??
????
1p
2,当 是有理真分式时，分子的阶数低于分母
阶数，将其展开成部分分式：
()Hs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
()ht
A
t
1 1 1
1
2
1 2 3
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2!
1
( ) ( )
1!
k
p t p t p t
N
ptptr
rk
k
h t B e u t B te u t B t e u t
B t e u t A e u t
r
?
?
? ? ? ?
??
?
?
（）
3,极点分布与系统时域特性的关系：
① 负实轴上的单阶极点
( ) ( )k AH s psp ?? ? ??
( ) ( )ptkh t A e u t??
?
j?
p?
极点越远离 轴,衰减越快。()htj?
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② 左半平面的共轭单阶复数极点
22
0
() ()k kH s asa ?? ? ?? ? ?
)(]s in[)( 0
0
tutekth atk ?
?
? ?
a?
?
j?
a?
?
j?
)(]co s[)( 0 tutekth atk ?? ?
零点 的引入只改变了 的幅度和相位。sa?? ()
kht
22
0
()()
()k
k s aH s a
sa ?
?? ? ?
? ? ?
若
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22
0
()()
()k
A s bH s a
sa ?
?? ? ?
? ? ?
更一般的情况：
b?
?
j?
? ?
2 2 2 2 2 2
0 0 0
( / ) ( / )
( ) ( ) ( )
A s b A s a b A aA
s a s a s a
? ????? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ???
00
0
( ) c o s s i n ( )a t a tk b A ah t A e t e t u t???? ?? ? ? ???
???
0sin( ) ( )atk e t u t??? ? ?
22
0
()b A akA????
1 0tg A
b A a?
? ??
?
其中：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
③ S=0 的单阶极点
( ) 0k AHs s ???
( ) ( )kh t A u t?
?
j? ()
kht
A
t
④ 轴上的单阶共轭极点
j?
2 2 2 2 2 2
0 0 0
()k A s B A s BHs s s s?? ? ?? ? ? ? ? ?
00
0
0
( ) c os si n ( )
si n( ) ( )
k
B
h t A t t u t
K t u t?
??
? ? ? ???
???
? ? ?
?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
对左半平面重阶极点的情况，可以按类似方法分析。
? 对重阶实极点有以下信号模式：
21( ) ; ( ) ; ; ( ) ;a t a t r a tte u t t e u t t e u t? ? ? ?
? 对重阶复极点有以下信号模式：
200sin( ) ( ) ; sin( ) ( ) ;at atte t u t t e t u t????? ? ? ?
1 0si n( ) ( ) ;r att e t u t??? ??
22
0
0
()ABK
A
? ? ?
?
1 0tg A
B?
? ??其中：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
二, 离散时间系统,
采用类似的方法讨论,
1,当 M>N时，有,
1 2 ( )0 1 2 1( ) ( )MNMNH z C C z C z C z H z? ? ? ??? ? ? ? ? ?
其中 是 有理真分式
1()Hz
1
1
1
()()
()
NzHz
Dz?
分子阶数低于分母阶数
我们只讨论 M<N的情况。
在 中必含有 和它的时移。
)(n?()hn
此时，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2,M<N 时，将 展开成部分分式()Hz
a) H(z)只含单阶极点的情况：
1
1
() 1
N
k
k k
AHz
Pz ??? ??
1
( ) ( ) ( )
N
n
k k
k
h n P u nA
?
? ?
b) H(z)有 r 阶重阶极点的情况：
P1当 H(z)在 有 r 阶极点时，
11
12 1
()
1( 1 )
rN
kk
k
kk k
AAHz
PzPz ????
??
????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
与连续时间的情况一样,H(Z)的极点决定了系统
的时域特性模式，零点决定幅度和相位。
1
1
2
( 1 ) ( 2 ),,,, ( 1 )
( ) ( )
( 1 ) !
()
r
nk
k
N
n
kk
k
A n n n k
h n p u n
k
A p u n
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
3,单位圆内的极点,
? 一阶实极点的情况：
1() 1
k
k
k
AHz
az ?? ?
( ) ( ) ( )nk k kh n A a u t?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
a>0时,单调衰减 ; ()hn
()hn
n
()hn
n
Re
Imj
a
Re
Imj
a
()hna<0 时,摆动衰减。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 共轭极点的情况：
Re
Imj
00
*
11() 11
kk
k jj
AAHz
re z re z?? ???????
? ?
00
00
*
*
0
( ) ( ) ( )
()
2 | | c o s( ) ( )
j n j nnn
k k k
j n j nn
kk
n
kk
h n A r e u n A r e u n
r A e A e u n
A r n u n
??
??
??
?
?
??
????
??
??
呈 指数衰减振荡。()hn
|| kjkkA A e ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
4,单位圆上的极点,
? 一阶实极点的情况,1z ??
1() 1
k
k
AHz
z ?? ?
( ) ( )kkh n A u n?
( ) ( 1 ) ( )nkkh n A u n??
或者
? 共轭极点的情况：
00
*
11() 11
kk
k jj
AAHz
e z e z?? ???????
0( ) 2 | | c o s ( ) ( )k k kh n A n u n????
|| kjkkA A e ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.4 零极点分布与频率特性的关系,
一, 连续时间 LTI系统,
当系统稳定时，
( ) ( ) |sjH j H s ????
对有理函数的 而言()Hs
1
0
1
()
()
()
M
k
k
N
k
k
sz
H s H
sp
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
()
()
()
M
k
k
N
k
k
jz
H j H
jp
?
?
??
??
??
?
?
,
( );kjz?? ()kjp??
可以分别 用从零、极点指向
轴 的向量来表示 。j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?k
zk
?j
Ak
Bk?k
kp ?
k
k
j
kk
j
kk
j z B e
j p A e
?
?
? ? ?
? ? ?
1 12
00
12
1
...
()
...
M
k
k M
N
N
k
k
B
B B B
H j H H
A A A
A
?
?
? ? ?
?
?
当系统有多个零极点时，可以得到：
11
()
MN
kk
kk
Hj ??
??
? ? ???
零点向量长度之积
极点向量长度之积
零点向量幅角之和减去
极点向量幅角之和
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
这表明：可以由 的零极点图，通过几何求值
得到系统的频率响应。
()Hs
?
?0j
?? 0j
-a
例 1.
?
j?
?? 0j
-a
1?
2?
B
A1
A2
j?
j?
可见 系统的频率特性是由系统函数的零极点分
布决定的。 当动点沿 轴变化时，考察各个零、
极点向量的长度和幅角如何改变，即可反映系统
的频率特性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
0 1 2
12
( ) ( ) 2BH j H H jAA ? ??? ? ? ? ? ??
0 ; | ( ) | 0 ;Hj? ? ? ?
,( ) 0 ;Hj? ? ? ? ?
2,,AB??
当 时,增大,减小且在 处有最小值，
1A 0?
表明幅频特性在 有最大值。
0?
12,,,;A A B? ? ?
继续使 则
| ( ) |Hj ? 减小。
当极点靠近 轴时，动点每经过一个极点的附
近,就会相应地出现一个峰值。| ( ) |Hj?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
极点距 轴越近，峰值越明显。
j?
当有零点靠近 轴时，动点每经过一个零点的
附近,就会相应地出现一个谷值。
j?
| ( ) |Hj?
零点越靠近 轴，谷值越明显。j?
| ( )|Hj?
0?? 0 0?
? ?
0?0??
/2?
/2??
()Hj?
12( ) 02Hj
? ??? ? ? ? ? ?
12 02
? ??? ? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
例 2,全通系统：
显然, 表明系统对任何频率分量都一
视同仁。 全通系统的零极点成四角对称分布。广泛
应用于相位均衡。
0| ( ) |H j H??
0()
saH s H
sa
??
?
0a ?
| ( ) |Hj?
?
?
()Hj?
aa?
?
j?
1?2?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?
j?三阶全通系统的零极点分布：
例 3,最小相位系统：
考查两个系统，它们的极点相同，零点分布关于
轴对称。其中一个的零点均在左半平面，另一个的零
点均在右半平面。
j?
j? j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
显然这两个系统的幅频特性是相同的。
考察它们的相位特性：
j?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
(a)
j?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
(b)
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )Hj ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
由于系统 (b)的零点幅角总大于系统 (a)的零点幅角，
故，零点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1p1p
2p2p
3p3p
1z 1z
1z? 1
z?
平面的系统。因此将 零极点均位于左半平面的系统
称为最小相位系统。
当工程应用中要求 实现一个非最小相位系统时，
通常采用 将一个最小相位系统和一个全通系统级联
来实现。
1
0
1 2 3
()()
( ) ( ) ( )
szH s H
s p s p s p
??
? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
11
0
1 2 3 1
( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
s z s z
H s H
s p s p s p s z
??
?
? ? ? ?
全通系统最小相位系统
二, 离散时间 LTI系统,
( ) ( ) | jj zeH e H z ?? ??系统稳定时，
对有理函数的 H(z)有：
1
11
00
1
11
( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( )
MM
kk
NMkk
NN
kk
kk
z z z z
H z H H z
p z z p
?
???
?
??
????
??
????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
() 1
0
1
()
()
()
M
j
k
j j N M k
N
j
k
k
ez
H e H e
ep
?
??
?
? ?
?
??
?
??
N>M 时,在原点有 N-M阶零点；
N<M 时,在原点有 M-N阶极点。
()Hz
()Hz
()j N Me ? ? 表明：
kkjjjjk k k ke z B e e p A e????? ? ? ?
令
分别是从零点和极点向单位圆上 点 作的向量。je?
1 12
00
12
1
....
| ( ) |
....
M
k
j k M
N
N
k
k
B B B B
H e H H
A A AA
? ?
?
?
??
?
则有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
11
( ) ( )
MN
j
k k
kk
H e N M? ???
??
? ? ? ???
可见，离散时间稳定 LTI系统的频率响应也是由
H(Z)的零极点分布决定的，也可通过几何求值得到。
当 点沿单位圆移动一周时，所有零点向量和极
点向量的变化就反映了系统的频率特性。
je?
a
1V
2V
je?
Re[ ]z
jIm[ ]z
1
例 1.
1
1( ),
1H z z aaz ????
当 时，由零极点图10a? ? ?
可得出系统的频率特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 2?0
0.5a??
0.95a ??
()jHe?
?
0?? ?
0.5a??
0.95a ??
()jHe ?
?
同样的，当有极点靠近单位圆时，动点每经过一个
这样的极点，就在对应频率附近出现幅频特性的一个
峰值。极点距单位圆越近峰值越尖锐。
有零点靠近单位圆时，动点每经过一个这样的零点，
幅频特性就在对应频率附近产生一个谷值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
如果系统的 零极点均在单位圆内,则 是一个最小
相移系统。
如果系统的 零极点以单位圆的圆周呈共轭倒量对
称,则 是一个全通系统。
1
1() 1
azHz
az
?
?
??
?
例 2,01a??
a 1/a
Re
Imj
2 22
2 22
1
| ( ) | | |
( c o s - 1 ) sin
(1 - c o s ) sin
j
j
j
ae
He
ea
a a
a a
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
2
2
1 2 c o s 1
1 2 c o s
aa
aa
?
?
????
??
该系统是一个全通系统
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.5 Bode图：
从零极点图分析系统频率响应，对复杂系统 (零极
点较多时 )是不方便的，一般适用于对低阶系统进行
分析，如一阶、二阶系统。
当系统阶数较高时，虽然可以将其用级联结构分
解成若干一阶或二阶系统的级联，但利用前述方法
求其幅频特性时，由于
1
| ( ) | ( )
N
k
k
H j H j
?
? ? ??
()kHj?其中 是每个一阶或二阶系统的频率响应。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
计算幅频特性需要逐点相乘是不方便的，为此
在工程中常用 对数模特性 表示。
1
l n | ( ) | l n ( )
N
k
k
H j H j
?
? ? ??
(奈培 )Np
或
1
| ( ) | 20 l g | ( ) | 20 l g | ( ) |
N
k
k
G j H j H j
?
? ? ? ? ??
(分贝 )dB
通常将 对数频率坐标下的对数模特性,称为 Bode图 。
采用对数模和对数坐标的优点：
1.可以在较大范围内展示模特性和相位特性。
2,在对数坐标下，有利于展宽低频端，压缩高频端，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
3,在对数坐标下，对数模与相位都具有直线型的渐
近线，这为作图带来了极大的方便。
一, 一阶因子的 Bode图：
()k jHj j ?????? ??
2 0 l g | ( ) | 2 0 l g | | 2 0 l g | |H j j j??? ? ? ? ? ? ?
从而能展示一个较大的频率范围。
( ) ( ) ( )kH j j??? ? ? ? ? ? ?
? 先讨论一阶因子,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
11( ) ( 1 )
kH j j j ???? ? ? ? ? ? ?
2
1
2 0 l g | ( ) | 2 0 l g | |
2 0 l g 1 0 l g ( ) 1
kH j j
?
??
? ? ? ?
??? ? ? ? ???
对
2
1 ( ) 1 0 l g 1()Gj ???? ? ????
当 时，1/ ?? ??
1 ( ) 0Gj ??
1/ ?? ?? 1 ( ) 2 0 l g 2 0 l g 2 0 l gGj ??? ? ? ? ? ?当 时，
1()Gj?
可见,有两条直线型渐近线。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时为 0dB线 。1/ ?? ??
1/ ?? ?? 时是斜率为 20dB/每 10倍频程 的直线。
两条渐近线相交于 折断频率 处。1/ ???
dB
?
20
?
1.0
?
1
?
10
.
1()Gj?
在 处准确的对数模为
1 ( ) 1 0 l g 2 3 d BG ? ? ?1/???
在 和 处误差约 1dB。?2/1???/2??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
据此在 附近作修正，可 得到较准确的对数模。1/???
相位特性, 1( ) t g ( )
kHj ??? ? ?
由此可建立 相位特性的渐近线 如下：
当 时,( ) 0
kHj ??1/ ?? ??
随着 ( ) / 2
kHj ???,? ? ?
时,( ) / 4
kHj ???1/???
当
()kHj ??
?
0,0,1 / ???
? ?l g 1,0, 1 / 1 0 /4? ? ? ?? ? ? ? ?
/ 2,1 0 /?? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?
1.0 ?1 ?10
?
2
?
4? ?
()kHj?只要在 附近加?/1??
以修正即可。
?2/1?? 时,实际为 06.26
?/2?? 时,实际为 04.63
例,
2() 1 1 0 1 0 0 0 ( 1 0 ) ( 1 0 0 )
ssHs
s s s s??? ? ? ?
()
( 10) ( 100)
1000( 1 ) ( 1 )
10 100
j
Hj
jj
j
jj
?
??
? ? ? ?
?
?
??
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
32
2
( ) 2 0 l g 1 0 2 0 l g 1 0 l g ( ) 1
10
1 0 l g ( ) 1
100
Gj
???
? ? ? ? ? ? ?
??
??
???
??
??
??
2
2
60 dB 20 lg 10 lg ( ) 1
10
10 lg ( ) 1
100
???
? ? ? ? ? ?
??
??
???
??
??
??
11( ) tg tg
2 1 0 1 0 0Hj
? ????? ? ? ?
对数模特性：
相位特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?1 10 100
?lg20
60?
]1)10lg [(10 2 ???
]1)100lg [ (10 2 ???
20?
0.1
dB
80?
20
40?
11( ) tg tg
2 1 0 1 0 0Hj
? ????? ? ? ?
相位特性：
幅频特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
4?
2?
4??
?
()Hj?
1 100 100010
2??
二, 二阶因子的 Bode图,
只讨论共轭复根对应的二阶因子。因为具有实
数根的二阶因子可以分解成两个一阶因子，可以按
照一阶因子 Bode图的方法处理。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2 2 2 22 ( ) 2 1
n n n
nn
ssss ?? ??? ? ? ? ? ? ? ?
????
??
? ? 222 0 l g | [ ( ) 2 ( ) 1 ]n
nn
G j j j???? ? ? ? ?
24 0 l g 2 0 l g | 1 ( ) 2 ( ) |
n
nn
j ???? ? ? ? ?
2
2 2 2
2 ( ) 1 0 l g { 1 ( ) 4 ( ) }
nn
Gj ??? ??? ? ? ???
??
令
对数模特性：
当
n? ?? ?
时，
2 ( ) 1 0 l g 1 0 d BGj ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
n? ?? ?
时，
2
2 ( ) 20 l g( ) 40 l g 40 l g n
n
Gj ?? ? ? ? ? ??
可见，二阶因子的对数模特性也有两条渐近线。
低频段为 0dB线；高频段是斜率为 40dB/dec（ 10倍
频程）或 12dB/oct（每倍频程）的直线。
在
n? ? ?
处的误差为
2 ( ) 2 0 lg 2Gj ???
随 ? 的不同作修正,时，误差为 6dB。1? ?
dB dec40
?
n?1.0 ?n 10 n?
40
dB
相位特性：
1
2
2( ) t g
1 ( / )
n
n
Hj ?? ???? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
当 时,
n? ?? ? ( ) 0Hj ??
??? ()Hj ???当 时,
n? ? ? ( ) / 2Hj ???
当 时,
()Hj ??
?
0,0.1 n? ? ?
l g ( ) 1,0, 1 1 02 nn
n
? ??? ? ? ? ? ? ?
?????
,1 0 n? ? ? ?
由此可建立 相位特性的渐近线 如下：
n??
根据不同的 值，在 附近加以修正即可得相
位曲线。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
n? 10 n?0.1 n?
()Hj?
2 ( ),(dB )Gj?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
离散时间系统的频率特性也可以用 Bode图表示，
即以对数模特性表示。但由于离散时间系统的频率
特性以 为周期，在对数频率坐标下也不存在直线
型的渐近线,因而不利用对数坐标。
用 Bode图表示系统频率特性时，必须要求系统稳
定，且模特性在任何时候均为非零。
2?
对频率响应分母上的因子，由于其对数模特性和
相位特性均与在分子上的因子只相差一个负号，因
此只要将前面讨论的 Bode 图上下翻转即可得到分
母因子对应的 Bode 图。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.6 一阶与二阶系统：
一,一阶系统：
? 连续时间一阶系统：
一般情况下，一阶系统的系统函数为
0()
sH s H
s
?
?
??
? 极点 s ???
零点 s ???
我们来讨论
0
1()H s H
s ?? ?
的系统，
假定 1/???
0,1 /H ??
则,1
() 1Hs s ? ?? ?
对应的微分方程为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
)()()( txtydt tdy ???
如果系统稳定，则 1
() 1Hj j ??? ??
其 Bode图为
1/?? 0
?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
系统呈现低通特性,1/ ??? 为 3dB频率。
?j 轴越近（即 1/? 越小 ）系统带宽越窄。极点距
?
决定系统带宽。因此 时间常数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时域特性：
1( ) ( )th t e u t?
?
??
( ) (1 ) ( )
t
s t e u t????
1()
1Hj j ??? ??
由
可得到：
? 越小,)(th 衰减越快；
()st 上升越快，表明系统的带宽越宽。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
)(ty
R
C()xt
该系统可以实现为 RC电路
时间常数 RC? ?
如果考察
dt
tdxty
dt
tdy )()(1)( ??
?
1/( ) 1
( 1 / ) ( 1 / )
sHs
ss
?
??? ? ???
() 1jHj j ????? ??
2 0 l g | ( ) | 2 0 l g 2 0 l g 1H j j j??? ? ? ? ? ?
1/?? 0
?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
系统呈现高通特性。
1/? 10/?
20dB?
0.1/? ?
2 0 lg | ( ) |Hj ?
()ht
t
1/??
/1( ) ( ) ( )th t t e u t??
?
???
参数 （极点的位置），? 决定了一阶系统的特性。
对有非零零点的情况，零点的位置也必然影响系
统的特性。
时域特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 离散时间一阶系统：
1
0 1
1()
1
zH z H
z
?
?
?
?
??
?
考察
1
1()
1Hz z? ?? ?
的系统
?
Re
Im
1()
1
j
jHe e
?
??? ?
频率特性：
2
1()
1 2 c o s
jHe ?
? ? ?
?
??
1 s i n( ) t g
1 c o s
jHe ? ??
??
???
?
( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n? ? ?
当 时，可得 Bode图如下：0a?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
10 ??? 时，系统呈现低通特性。
? 越小频率响应越平坦，系统带宽越宽。
当 时，可得 Bode图如下：10a? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
01 ??? ? 时，系统呈现高通特性。
||? 越小，频率响应越平坦，系统带宽越宽。
时域特性,( ) ( )nh n u n?? 1
0
1( ) ( )
1
nn
k
k
s n u n?? ?
?
?
???
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 也决定着系统的时域特性，但与连续时间不同的
是,时系统时域特性会呈现出振荡，其 有
振荡； 有振荡和超量。
0?? )(nh
()sn
二, 二阶系统：
? 连续时间二阶系统：
考察 RLC串联谐振电路，
R L
C()xt ()yt
可以列出微分方程：
11( ) ( ) ( ) ( )Ry t y t y t x t
L L C L C?? ?? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
对图示机械系统
K,弹性系数；M,质量；
B,摩檫系数；
f(t),作用力； v(t),速度；
可以列出微分方程：
( ) ( ) ( ) ( )
t
M v t f t B v t K v d??
??
? ? ? ? ?
作用力 摩檫力
弹簧拉力
或者
( ) ( ) ( ) ( )M v t B v t K v t f t?? ? ?? ? ?
它们的 数学模型都是二阶常系数线性微分方程。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
n n n
d y t d y t y t x t
d t d t?? ? ? ? ? ?
其中 2 1
n LC?? 1,( )
2 2
R C L Q?
???
11( ) ( ) ( ) ( )Ry t y t y t x t
L L C L C?? ?? ? ?
可改写为：
2
22
2
1
()
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 1
n
nn
nn
Hj
jj jj? ?
?
? ? ?
??? ? ? ? ? ?
??
??
频率响应为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2
1 2 1 2
() ( ) ( )n MMHj j c j c j c j c?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
由
2
1,2 1nnc ??? ? ? ? ? ? 221
nM
?
??
?
12( ) ( )c t c th t M e e u t??? ? ???
2( ) ( )n tnh t te u t????
1? ? 12 ncc? ? ??? 当 时，
系统处于 临界阻尼状态。
1.时域特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
( ) sin ( )nnh t tu t? ? ?
0? ? *12 nc c j? ? ?
? 当 时,系统处于 无阻尼状态 。
1c 2c1? ?
? 当 时,,为实根，系统处于 过阻尼状态 ；
12( ) ( ) ( )c t c th t M e e u t??
2
2
( ) s i n ( 1 ) ( )
1
n tn
nh t e t u t
? ?
?
???? ? ?
?
? 当 时,,为共轭复根，
01??? 1c 2c
21,2 1nncj??? ? ? ? ? ?
系统处于 欠阻尼状态；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
0.1??
0.2??
0.4??
0.7??
1.0??
1.5??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
此时 有振荡,有振荡和超量。
)(th )(ts
1?? 时,是 不出现振荡情况下上升最快的。)(ts
?n 的作用在于改变 和 的时间尺度。)(th )(ts
欠阻尼时,越大 和 越向原点压缩，变
化越陡峭 。
?n )(th )(ts
二阶系统的极点随 和 变化 。?n ?
0
?
?j
1c2c ?? n
随着 两个实极点相互靠拢，??
1? ? 时成为二阶极点 n? ? ?? ；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
当 时，成为虚轴上的共轭极点。0??
时，二阶系统的时域特性为最佳。1? ?
2,频率特性：
2
1()
( ) 2 ( ) 1
nn
Hj
jj ?
?? ??
??
??
由 可作出 Bode图
时，准确的对数模为
2 0 lg ( ) 2 0 lg 2Hj ?? ? ?n? ? ?
?n随 极点沿半径为 的圆周向虚轴靠近；??
1?? 时，重阶极点分裂为共轭极点。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时，幅频特性在 处出现峰值，
其值为 。
0.707? ? 212n ???
2
1
21???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时，系统具有最平坦的低通特性。0.707? ?
可见，系统的 时域特性和频域特性是不兼容的 。
工程设计时，必须在二者之间作出 恰当的折中 。
此时即为最佳的频率特性。
时，系统类似于一阶系统，具有低通特性。
0.707? ?
时，随 的减小，逐步过渡为带通特性。0.707? ? ?
相位特性 Bode图：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
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? 离散时间二阶系统：
2( ) 2 c o s ( 1 ) ( 2 ) ( )y n r y n r y n x n?? ? ? ? ?
0 1,r?? 0,????
22
11()
1 2 c o s 11
j
jj j j j jHe r e r e r e e r e e
?
?? ? ? ? ?? ?? ? ? ????? ? ? ? ???
? ? ? ?
() 11j j j j jABHe r e e r e e? ? ? ? ?? ? ?????
2 s in
je
A j
?
?? 2 s in
je
B j
?
?
?
?
()jHe? ;jjre re???0,??? 时,具有两个不同的极点
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
s i n ( 1 )( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
s i n
j n j n n nh n A r e B r e u n r u n?? ?
?
? ?? ? ?
为指数衰减的正弦振荡。()hn
( ) ( 1 ) ( )nh n n r u n??
单调变化，无振荡()hn
( ) ( 1 ) ( ) ( )nh n n r u n? ? ? 振荡最剧烈()hn
0? ?
2
1()
(1 )
j
jHe re
?
??? ?
时，
???
2
1()
(1 )
j
jHe re
?
??? ?
时，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
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从时域响应的图中看出,
r 影响 的收敛速度,越小,衰减越快。)(nh r )(nh
? 决定 的振荡频率,,无振荡； 越大
振荡频率越高。 时达到最高,时系统
欠阻尼 。
0?? ?
?? ? ?? ??0
)(nh
11sin ( ) sin ( )( ) tg tg
1 c o s( ) 1 c o s( )
j jr jrHe
rr
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ??? ? ?
? ? ? ?
相位特性：
频率特性：
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从频率特性图中看出：
0?? 时系统呈低通特性。
?? ? 变化时，频率响应的峰点也向 移动，
逐步成为带通特性，进一步成为高通特性，峰点
总出现在频率 的附近 。
?
?
? 决定峰点位置（类似 ）。在 不变时, 越
小频响越平坦，带宽越大。 峰值变尖锐，带
宽变窄,决定峰值大小（类似 的作用）。
n?
r
r?
?
?
r
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
本章小结：
1,从系统函数出发，建立了系统的级联型和并联
型结构。
2,讨论了系统函数零极点分布与系统时域特性和
频率特性的关系。系统的特性从本质上讲完全是由
系统函数的零极点分布决定的。
3,建立了系统频率特性的几何求值方法。
4,建立了系统频率特性的 Bode图表示方法。
5,分析了 连续时间和离散时间一阶与二阶系统的
时域特性和频率特性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
本章主要内容
1.系统函数；
2,系统的级联与并联结构；
3,系统函数零极点分布对系统时域特性的
影响 ；
4,系统函数零极点分布对系统频率特性的
影响 ；
5,系统的波特图；
6,一阶与二阶系统；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.1 系统函数, ( The System Function )
一, 系统函数,
前几章已涉及到系统函数的概念，以及用系统函
数描述 LTI系统的问题，也取得了一些重要的结论。
归纳起来看,对连续时间 LTI系统有：
()( ) ( )
()
YsH s h t
Xs
??
1.
3．若系统稳定,的 ROC包括 轴。?j()Hs
ste()Hs 是系统与 对应的特征值。
2．
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
( ) ( ) sjH j H s ????
当 是有理函数时，系统的特性表现为：
()Hs
? 因果性,ROC为最右边极点的右边。
? 反因果,ROC为最左边极点的左边。
? 因果稳定,的全部极点位于左半平面。()Hs
对离散时间 LTI系统相应有：
1．
)(
)(
)()( nh
zX
zYzH ??
2,)(zH nz是系统与 对应的特征值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
)(zH 的 ROC包括单位圆。
?
?
jez
j zHeH
?? )()(
3．若系统稳定，
当 是有理函数时，系统的特性表现为：)(zH
? 因果性,ROC为最外部极点的外部，包括 。||z ??
? 反因果,ROC为最内部极点的内部，包括 。0z?
二, 系统互联时的系统函数：
1．级联：
? 因果稳定,的全部极点位于单位圆内。)(zH
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
)()()( 21 ththth ??
)()()( 21 nhnhnh ??
12( ) ( ) ( )H s H s H s? ? ?
)()()( 21 zHzHzH ??
1()th 2()th
1()nh 2()nh
()xt ()yt
()xn ()yn
在时域有：
2．并联：
)()()( 21 ththth ??
)()()( 21 nhnhnh ??
在时域有,()xt
()xn
1()th
1()nh
2()nh
2()th
()yt
()yn
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
12( ) ( ) ( )H s H s H s? ? ?
)()()( 21 zHzHzH ??
3．反馈联接：
1 ( ) ( ) ( )Y s Y s G s?
11( ) [ ( ) ( ) ] ( )Y s X s Y s H s??
11( ) ( ) ( ) ( ) ( )X s H s Y s G s H s??
1()Hs
,ROC：
1R ()Gs
,ROC：
2R
1()sY
()Xs ()Ys
1()sH
()Gs
-由图可列出方程：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1
1
( ) ( )()
( ) 1 ( ) ( )
Y s H sHs
X s H s G s
??
?
ROC：包括
12RR
三, 系统函数的作用：
1,从系统函数可以求得 或 。)(th )(nh
4,研究实现系统时的相关结构。
2,已知输入信号，可以分析系统响应，或反之。
3,分析系统的频率特性。
5,进行系统综合。
离散时间系统有与此完全对应的结果。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.2 系统的级联与并联结构,
( The Cascade and Parallel-Form Structures of Systems )
一, 级联型：
??
??
?
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k dt
txdb
dt
tyda
00
)()(由
得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
N
k
k
M
k
k
N
M
N
k
k
k
M
k
k
k
s
s
a
b
sa
sb
sH
1
1
0
0
)(
)(
)(
?
?
合并其中共轭成对的因子，可得,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2
2
10
11
2
2
10
11
( ) ( )
()
( ) ( )
p M p
k k k
kkM
q N q
N
k k k
kk
s s s
b
Hs
a
s s s
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ?
??
? ? ?
??
??
若 M＝ N,p=q 则：
??
?
?? ?
??
??
??? pN
k k
k
p
k kk
kk
N
N
s
s
ss
ss
a
bsH 2
10 01
2
01
2
)(
?
?
??
??
这表明,系统可以由 p个二阶系统与 N-2p个一阶
系统级联而成。
其中一阶基本节为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1
( ) ( )( ) ( ) ( )k
k k k
k
s d y t d x tH s y t x t
s d t d t
? ??
?
?? ? ? ?
? ?
二阶基本节为：
2
10
2 2
10
() kkk
kk
ssHs
ss
??
??
???
??
2
102
2
102
( ) ( )
()
( ) ( )
()
kk
kk
d y t dy t
yt
dt dt
d x t dx t
xt
dt dt
??
??
??
? ? ?
对应的微分方程为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1 1
?
?
?? k1
?? k0 ?k0
?k1
二阶基本节
?
?? k ?k
一阶基本节
当 N为偶数时，可以用 个二阶系统级联而成/2N
2/ 2 / 2
10
22
11 10
( ) ( )
NNN k k N
k
kkN k k k N
b s s bH s H s
a s s a
??
????
??????
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
离散时间 LTI系统的情况相类似，由差分方程可得：
1 2 12
0 1 2
1 2 1
110 1 2
11() p N pk k k
kk k k k
b z z zHz
a z z z
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
??
? ? ??
? ? ???
将分子、分母因式分解，合
并共轭成对的因子，当 M=N，
p=q时，可以得到：
1
1 1
1( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
1
k
k k k
k
zH z y n y n x n x n
z
? ??
?
?
?
?? ? ? ? ? ??
?
其中一阶基本节为：
0
0
()
M
k
k
k
N
k
k
k
bz
Hz
az
?
?
?
?
?
?
?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
12
12
2 12
12
1()
1
kk
k
kk
zzHz
zz
??
??
??
??
???
??
12
12
( ) ( 1 ) ( 2 )
( ) ( 1 ) ( 2 )
kk
kk
y n y n y n
x n x n x n
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
二阶基本节为：
对应的差分方程为：
1 1
?? k1
2k?? 2k?
?k1D
D
二阶基本节
D
?? k ?k
1 1
一阶基本节
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
D
D
D
D
()xn
0
0
b
a
11??
21??
11?
21?
1 2N??
2 2N??
1 2N?
2 2N?
()yn
当 N为偶数时，可以用 个二阶系统级联而成/2N
二, 并联型：
将系统函数 展开成部分分式，可得到并联型结构。
1
()
N
Nk
kNk
bAHs
as ??
??
??
假定分子与分母同阶
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
若不含重阶极点，且 M＝ N，将极点共轭成对的项
两两合并，可得到：
2
10
2
11 10
()
p N p
N k k k
kkN k k k k
b s AHs
a s s s
??
? ? ?
?
??
?? ? ?
? ? ???
表明,系统可以由若干个一阶和二阶系统并联而成。
1 ()
k
k
k
AHs
s ?? ?
其中一阶基本节为：
10
2 2
10
() kkk
k k k
sHs
ss
??
??
??
??
二阶基本节为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
0
1k?
0k?
1
?
?
?? k1
?? k0二阶基本节
1 0
??k Ak
?
一阶基本节
N为偶数时 又可将任意两个一阶项合并为二阶项，
由此可得出系统的并联结构。
1
??k Ak
?
也可以表示为,1
?
?
?? k1
?? k0 0k?
1k?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
离散时间系统的情况类似，将 展开为部分分式
()Hz
0
1
10
()
1
N
k
k k
bAHz
az ? ??
??
??
若不含重阶极点，将极点共轭成对的项两两合并有：
1 2
0 0 1
1 2 1
110 1 2
()
11
p N p
k k k
kk k k k
b z AHz
a z z z
??
? ? ?
? ?
? ? ?
??
?? ? ?
? ? ???
1 1()
k
k
k
AHz
sz? ?
?
?
其中一阶基本节为：
1
01
2 12
12
()
1
kk
k
kk
zHz
zz
??
??
?
??
??
??
二阶基本节为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1/2
0 0 1
12
10 1 2
()
1
N
kk
k kk
bzHz
a z z
??
??
?
??
?
???
???
当 N为偶数时，将其他一阶项也两两合并，可得
到由 个二阶系统并联而成的结构。/2N
0k?
1k?
1
?? k1
2k??
D
D 二阶基本节
Ak
D
?? k
1
一阶基本节
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
前面已看到在 H(s)或 H(z)是有理函数的情况下,
总能根据其零极点的分布, 将系统函数表示为：
8.3 零极点分布对时域特性的影响：
0
1
()
N
i
i i
szH s H
sp?
??
??
1
0 1
1
1()
1
N
i
i i
zzH z H
pz
?
?
?
??
??
将 H(s)或 H(z)展开成部分分式时，每个极点对应一
项。这表明在 h(t)或 h(n)中一定有一项与 H(s)或 H(z)的
一个极点相对应，而每一项的系数则与零点有关。
可见 系统函数的零极点布局决定了系统的特性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
一, 连续时间系统,
0
0
()
()
()
M
k
k
k
N
k
k
k
bs
Ns
Hs
Ds
as
?
?
??
?
?
1,当 时，有：MN?
20 1 2 1( ) ( )MNMNH s C C s C s C s H s??? ? ? ? ? ?
此时,中必含有冲激和冲激的各阶导数。()ht
其中 是 有理真分式 。
1()Hs
1
1
1
()()
()
NsHs
Ds
?
分子阶数低于分母阶数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
a,若全部极点均为单阶，则有：
11
( ) ( )
NN
k
k
kk k
AH s H s
sp??
??
???
如果系统因果，有：
1
( ) ( )k
N
pt
k
k
h t A e u t
?
? ?
b,当有重阶极点时，设 为 r阶极点，则有：
12 1
()
( ) ( )
rN
kk
k
kk k
BAHs
s p s p??
??
????
1p
2,当 是有理真分式时，分子的阶数低于分母
阶数，将其展开成部分分式：
()Hs
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
()ht
A
t
1 1 1
1
2
1 2 3
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
2!
1
( ) ( )
1!
k
p t p t p t
N
ptptr
rk
k
h t B e u t B te u t B t e u t
B t e u t A e u t
r
?
?
? ? ? ?
??
?
?
（）
3,极点分布与系统时域特性的关系：
① 负实轴上的单阶极点
( ) ( )k AH s psp ?? ? ??
( ) ( )ptkh t A e u t??
?
j?
p?
极点越远离 轴,衰减越快。()htj?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
② 左半平面的共轭单阶复数极点
22
0
() ()k kH s asa ?? ? ?? ? ?
)(]s in[)( 0
0
tutekth atk ?
?
? ?
a?
?
j?
a?
?
j?
)(]co s[)( 0 tutekth atk ?? ?
零点 的引入只改变了 的幅度和相位。sa?? ()
kht
22
0
()()
()k
k s aH s a
sa ?
?? ? ?
? ? ?
若
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
22
0
()()
()k
A s bH s a
sa ?
?? ? ?
? ? ?
更一般的情况：
b?
?
j?
? ?
2 2 2 2 2 2
0 0 0
( / ) ( / )
( ) ( ) ( )
A s b A s a b A aA
s a s a s a
? ????? ? ?
??? ? ? ? ? ? ? ? ???
00
0
( ) c o s s i n ( )a t a tk b A ah t A e t e t u t???? ?? ? ? ???
???
0sin( ) ( )atk e t u t??? ? ?
22
0
()b A akA????
1 0tg A
b A a?
? ??
?
其中：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
③ S=0 的单阶极点
( ) 0k AHs s ???
( ) ( )kh t A u t?
?
j? ()
kht
A
t
④ 轴上的单阶共轭极点
j?
2 2 2 2 2 2
0 0 0
()k A s B A s BHs s s s?? ? ?? ? ? ? ? ?
00
0
0
( ) c os si n ( )
si n( ) ( )
k
B
h t A t t u t
K t u t?
??
? ? ? ???
???
? ? ?
?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
对左半平面重阶极点的情况，可以按类似方法分析。
? 对重阶实极点有以下信号模式：
21( ) ; ( ) ; ; ( ) ;a t a t r a tte u t t e u t t e u t? ? ? ?
? 对重阶复极点有以下信号模式：
200sin( ) ( ) ; sin( ) ( ) ;at atte t u t t e t u t????? ? ? ?
1 0si n( ) ( ) ;r att e t u t??? ??
22
0
0
()ABK
A
? ? ?
?
1 0tg A
B?
? ??其中：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
二, 离散时间系统,
采用类似的方法讨论,
1,当 M>N时，有,
1 2 ( )0 1 2 1( ) ( )MNMNH z C C z C z C z H z? ? ? ??? ? ? ? ? ?
其中 是 有理真分式
1()Hz
1
1
1
()()
()
NzHz
Dz?
分子阶数低于分母阶数
我们只讨论 M<N的情况。
在 中必含有 和它的时移。
)(n?()hn
此时，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2,M<N 时，将 展开成部分分式()Hz
a) H(z)只含单阶极点的情况：
1
1
() 1
N
k
k k
AHz
Pz ??? ??
1
( ) ( ) ( )
N
n
k k
k
h n P u nA
?
? ?
b) H(z)有 r 阶重阶极点的情况：
P1当 H(z)在 有 r 阶极点时，
11
12 1
()
1( 1 )
rN
kk
k
kk k
AAHz
PzPz ????
??
????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
与连续时间的情况一样,H(Z)的极点决定了系统
的时域特性模式，零点决定幅度和相位。
1
1
2
( 1 ) ( 2 ),,,, ( 1 )
( ) ( )
( 1 ) !
()
r
nk
k
N
n
kk
k
A n n n k
h n p u n
k
A p u n
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
3,单位圆内的极点,
? 一阶实极点的情况：
1() 1
k
k
k
AHz
az ?? ?
( ) ( ) ( )nk k kh n A a u t?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
a>0时,单调衰减 ; ()hn
()hn
n
()hn
n
Re
Imj
a
Re
Imj
a
()hna<0 时,摆动衰减。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 共轭极点的情况：
Re
Imj
00
*
11() 11
kk
k jj
AAHz
re z re z?? ???????
? ?
00
00
*
*
0
( ) ( ) ( )
()
2 | | c o s( ) ( )
j n j nnn
k k k
j n j nn
kk
n
kk
h n A r e u n A r e u n
r A e A e u n
A r n u n
??
??
??
?
?
??
????
??
??
呈 指数衰减振荡。()hn
|| kjkkA A e ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
4,单位圆上的极点,
? 一阶实极点的情况,1z ??
1() 1
k
k
AHz
z ?? ?
( ) ( )kkh n A u n?
( ) ( 1 ) ( )nkkh n A u n??
或者
? 共轭极点的情况：
00
*
11() 11
kk
k jj
AAHz
e z e z?? ???????
0( ) 2 | | c o s ( ) ( )k k kh n A n u n????
|| kjkkA A e ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.4 零极点分布与频率特性的关系,
一, 连续时间 LTI系统,
当系统稳定时，
( ) ( ) |sjH j H s ????
对有理函数的 而言()Hs
1
0
1
()
()
()
M
k
k
N
k
k
sz
H s H
sp
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
()
()
()
M
k
k
N
k
k
jz
H j H
jp
?
?
??
??
??
?
?
,
( );kjz?? ()kjp??
可以分别 用从零、极点指向
轴 的向量来表示 。j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?k
zk
?j
Ak
Bk?k
kp ?
k
k
j
kk
j
kk
j z B e
j p A e
?
?
? ? ?
? ? ?
1 12
00
12
1
...
()
...
M
k
k M
N
N
k
k
B
B B B
H j H H
A A A
A
?
?
? ? ?
?
?
当系统有多个零极点时，可以得到：
11
()
MN
kk
kk
Hj ??
??
? ? ???
零点向量长度之积
极点向量长度之积
零点向量幅角之和减去
极点向量幅角之和
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
这表明：可以由 的零极点图，通过几何求值
得到系统的频率响应。
()Hs
?
?0j
?? 0j
-a
例 1.
?
j?
?? 0j
-a
1?
2?
B
A1
A2
j?
j?
可见 系统的频率特性是由系统函数的零极点分
布决定的。 当动点沿 轴变化时，考察各个零、
极点向量的长度和幅角如何改变，即可反映系统
的频率特性。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
0 1 2
12
( ) ( ) 2BH j H H jAA ? ??? ? ? ? ? ??
0 ; | ( ) | 0 ;Hj? ? ? ?
,( ) 0 ;Hj? ? ? ? ?
2,,AB??
当 时,增大,减小且在 处有最小值，
1A 0?
表明幅频特性在 有最大值。
0?
12,,,;A A B? ? ?
继续使 则
| ( ) |Hj ? 减小。
当极点靠近 轴时，动点每经过一个极点的附
近,就会相应地出现一个峰值。| ( ) |Hj?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
极点距 轴越近，峰值越明显。
j?
当有零点靠近 轴时，动点每经过一个零点的
附近,就会相应地出现一个谷值。
j?
| ( ) |Hj?
零点越靠近 轴，谷值越明显。j?
| ( )|Hj?
0?? 0 0?
? ?
0?0??
/2?
/2??
()Hj?
12( ) 02Hj
? ??? ? ? ? ? ?
12 02
? ??? ? ? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
例 2,全通系统：
显然, 表明系统对任何频率分量都一
视同仁。 全通系统的零极点成四角对称分布。广泛
应用于相位均衡。
0| ( ) |H j H??
0()
saH s H
sa
??
?
0a ?
| ( ) |Hj?
?
?
()Hj?
aa?
?
j?
1?2?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?
j?三阶全通系统的零极点分布：
例 3,最小相位系统：
考查两个系统，它们的极点相同，零点分布关于
轴对称。其中一个的零点均在左半平面，另一个的零
点均在右半平面。
j?
j? j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
显然这两个系统的幅频特性是相同的。
考察它们的相位特性：
j?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
(a)
j?
1?
2?
3?
1?
2?
3?
(b)
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )Hj ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
由于系统 (b)的零点幅角总大于系统 (a)的零点幅角，
故，零点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
1p1p
2p2p
3p3p
1z 1z
1z? 1
z?
平面的系统。因此将 零极点均位于左半平面的系统
称为最小相位系统。
当工程应用中要求 实现一个非最小相位系统时，
通常采用 将一个最小相位系统和一个全通系统级联
来实现。
1
0
1 2 3
()()
( ) ( ) ( )
szH s H
s p s p s p
??
? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
11
0
1 2 3 1
( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( )
s z s z
H s H
s p s p s p s z
??
?
? ? ? ?
全通系统最小相位系统
二, 离散时间 LTI系统,
( ) ( ) | jj zeH e H z ?? ??系统稳定时，
对有理函数的 H(z)有：
1
11
00
1
11
( 1 ) ( )
()
( 1 ) ( )
MM
kk
NMkk
NN
kk
kk
z z z z
H z H H z
p z z p
?
???
?
??
????
??
????
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
() 1
0
1
()
()
()
M
j
k
j j N M k
N
j
k
k
ez
H e H e
ep
?
??
?
? ?
?
??
?
??
N>M 时,在原点有 N-M阶零点；
N<M 时,在原点有 M-N阶极点。
()Hz
()Hz
()j N Me ? ? 表明：
kkjjjjk k k ke z B e e p A e????? ? ? ?
令
分别是从零点和极点向单位圆上 点 作的向量。je?
1 12
00
12
1
....
| ( ) |
....
M
k
j k M
N
N
k
k
B B B B
H e H H
A A AA
? ?
?
?
??
?
则有：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
11
( ) ( )
MN
j
k k
kk
H e N M? ???
??
? ? ? ???
可见，离散时间稳定 LTI系统的频率响应也是由
H(Z)的零极点分布决定的，也可通过几何求值得到。
当 点沿单位圆移动一周时，所有零点向量和极
点向量的变化就反映了系统的频率特性。
je?
a
1V
2V
je?
Re[ ]z
jIm[ ]z
1
例 1.
1
1( ),
1H z z aaz ????
当 时，由零极点图10a? ? ?
可得出系统的频率特性
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 2?0
0.5a??
0.95a ??
()jHe?
?
0?? ?
0.5a??
0.95a ??
()jHe ?
?
同样的，当有极点靠近单位圆时，动点每经过一个
这样的极点，就在对应频率附近出现幅频特性的一个
峰值。极点距单位圆越近峰值越尖锐。
有零点靠近单位圆时，动点每经过一个这样的零点，
幅频特性就在对应频率附近产生一个谷值。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
如果系统的 零极点均在单位圆内,则 是一个最小
相移系统。
如果系统的 零极点以单位圆的圆周呈共轭倒量对
称,则 是一个全通系统。
1
1() 1
azHz
az
?
?
??
?
例 2,01a??
a 1/a
Re
Imj
2 22
2 22
1
| ( ) | | |
( c o s - 1 ) sin
(1 - c o s ) sin
j
j
j
ae
He
ea
a a
a a
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
2
2
1 2 c o s 1
1 2 c o s
aa
aa
?
?
????
??
该系统是一个全通系统
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.5 Bode图：
从零极点图分析系统频率响应，对复杂系统 (零极
点较多时 )是不方便的，一般适用于对低阶系统进行
分析，如一阶、二阶系统。
当系统阶数较高时，虽然可以将其用级联结构分
解成若干一阶或二阶系统的级联，但利用前述方法
求其幅频特性时，由于
1
| ( ) | ( )
N
k
k
H j H j
?
? ? ??
()kHj?其中 是每个一阶或二阶系统的频率响应。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
计算幅频特性需要逐点相乘是不方便的，为此
在工程中常用 对数模特性 表示。
1
l n | ( ) | l n ( )
N
k
k
H j H j
?
? ? ??
(奈培 )Np
或
1
| ( ) | 20 l g | ( ) | 20 l g | ( ) |
N
k
k
G j H j H j
?
? ? ? ? ??
(分贝 )dB
通常将 对数频率坐标下的对数模特性,称为 Bode图 。
采用对数模和对数坐标的优点：
1.可以在较大范围内展示模特性和相位特性。
2,在对数坐标下，有利于展宽低频端，压缩高频端，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
3,在对数坐标下，对数模与相位都具有直线型的渐
近线，这为作图带来了极大的方便。
一, 一阶因子的 Bode图：
()k jHj j ?????? ??
2 0 l g | ( ) | 2 0 l g | | 2 0 l g | |H j j j??? ? ? ? ? ? ?
从而能展示一个较大的频率范围。
( ) ( ) ( )kH j j??? ? ? ? ? ? ?
? 先讨论一阶因子,
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
11( ) ( 1 )
kH j j j ???? ? ? ? ? ? ?
2
1
2 0 l g | ( ) | 2 0 l g | |
2 0 l g 1 0 l g ( ) 1
kH j j
?
??
? ? ? ?
??? ? ? ? ???
对
2
1 ( ) 1 0 l g 1()Gj ???? ? ????
当 时，1/ ?? ??
1 ( ) 0Gj ??
1/ ?? ?? 1 ( ) 2 0 l g 2 0 l g 2 0 l gGj ??? ? ? ? ? ?当 时，
1()Gj?
可见,有两条直线型渐近线。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时为 0dB线 。1/ ?? ??
1/ ?? ?? 时是斜率为 20dB/每 10倍频程 的直线。
两条渐近线相交于 折断频率 处。1/ ???
dB
?
20
?
1.0
?
1
?
10
.
1()Gj?
在 处准确的对数模为
1 ( ) 1 0 l g 2 3 d BG ? ? ?1/???
在 和 处误差约 1dB。?2/1???/2??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
据此在 附近作修正，可 得到较准确的对数模。1/???
相位特性, 1( ) t g ( )
kHj ??? ? ?
由此可建立 相位特性的渐近线 如下：
当 时,( ) 0
kHj ??1/ ?? ??
随着 ( ) / 2
kHj ???,? ? ?
时,( ) / 4
kHj ???1/???
当
()kHj ??
?
0,0,1 / ???
? ?l g 1,0, 1 / 1 0 /4? ? ? ?? ? ? ? ?
/ 2,1 0 /?? ??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?
1.0 ?1 ?10
?
2
?
4? ?
()kHj?只要在 附近加?/1??
以修正即可。
?2/1?? 时,实际为 06.26
?/2?? 时,实际为 04.63
例,
2() 1 1 0 1 0 0 0 ( 1 0 ) ( 1 0 0 )
ssHs
s s s s??? ? ? ?
()
( 10) ( 100)
1000( 1 ) ( 1 )
10 100
j
Hj
jj
j
jj
?
??
? ? ? ?
?
?
??
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
32
2
( ) 2 0 l g 1 0 2 0 l g 1 0 l g ( ) 1
10
1 0 l g ( ) 1
100
Gj
???
? ? ? ? ? ? ?
??
??
???
??
??
??
2
2
60 dB 20 lg 10 lg ( ) 1
10
10 lg ( ) 1
100
???
? ? ? ? ? ?
??
??
???
??
??
??
11( ) tg tg
2 1 0 1 0 0Hj
? ????? ? ? ?
对数模特性：
相位特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
?1 10 100
?lg20
60?
]1)10lg [(10 2 ???
]1)100lg [ (10 2 ???
20?
0.1
dB
80?
20
40?
11( ) tg tg
2 1 0 1 0 0Hj
? ????? ? ? ?
相位特性：
幅频特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
4?
2?
4??
?
()Hj?
1 100 100010
2??
二, 二阶因子的 Bode图,
只讨论共轭复根对应的二阶因子。因为具有实
数根的二阶因子可以分解成两个一阶因子，可以按
照一阶因子 Bode图的方法处理。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2 2 2 22 ( ) 2 1
n n n
nn
ssss ?? ??? ? ? ? ? ? ? ?
????
??
? ? 222 0 l g | [ ( ) 2 ( ) 1 ]n
nn
G j j j???? ? ? ? ?
24 0 l g 2 0 l g | 1 ( ) 2 ( ) |
n
nn
j ???? ? ? ? ?
2
2 2 2
2 ( ) 1 0 l g { 1 ( ) 4 ( ) }
nn
Gj ??? ??? ? ? ???
??
令
对数模特性：
当
n? ?? ?
时，
2 ( ) 1 0 l g 1 0 d BGj ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
n? ?? ?
时，
2
2 ( ) 20 l g( ) 40 l g 40 l g n
n
Gj ?? ? ? ? ? ??
可见，二阶因子的对数模特性也有两条渐近线。
低频段为 0dB线；高频段是斜率为 40dB/dec（ 10倍
频程）或 12dB/oct（每倍频程）的直线。
在
n? ? ?
处的误差为
2 ( ) 2 0 lg 2Gj ???
随 ? 的不同作修正,时，误差为 6dB。1? ?
dB dec40
?
n?1.0 ?n 10 n?
40
dB
相位特性：
1
2
2( ) t g
1 ( / )
n
n
Hj ?? ???? ? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
当 时,
n? ?? ? ( ) 0Hj ??
??? ()Hj ???当 时,
n? ? ? ( ) / 2Hj ???
当 时,
()Hj ??
?
0,0.1 n? ? ?
l g ( ) 1,0, 1 1 02 nn
n
? ??? ? ? ? ? ? ?
?????
,1 0 n? ? ? ?
由此可建立 相位特性的渐近线 如下：
n??
根据不同的 值，在 附近加以修正即可得相
位曲线。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
n? 10 n?0.1 n?
()Hj?
2 ( ),(dB )Gj?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
离散时间系统的频率特性也可以用 Bode图表示，
即以对数模特性表示。但由于离散时间系统的频率
特性以 为周期，在对数频率坐标下也不存在直线
型的渐近线,因而不利用对数坐标。
用 Bode图表示系统频率特性时，必须要求系统稳
定，且模特性在任何时候均为非零。
2?
对频率响应分母上的因子，由于其对数模特性和
相位特性均与在分子上的因子只相差一个负号，因
此只要将前面讨论的 Bode 图上下翻转即可得到分
母因子对应的 Bode 图。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
8.6 一阶与二阶系统：
一,一阶系统：
? 连续时间一阶系统：
一般情况下，一阶系统的系统函数为
0()
sH s H
s
?
?
??
? 极点 s ???
零点 s ???
我们来讨论
0
1()H s H
s ?? ?
的系统，
假定 1/???
0,1 /H ??
则,1
() 1Hs s ? ?? ?
对应的微分方程为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
)()()( txtydt tdy ???
如果系统稳定，则 1
() 1Hj j ??? ??
其 Bode图为
1/?? 0
?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
系统呈现低通特性,1/ ??? 为 3dB频率。
?j 轴越近（即 1/? 越小 ）系统带宽越窄。极点距
?
决定系统带宽。因此 时间常数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时域特性：
1( ) ( )th t e u t?
?
??
( ) (1 ) ( )
t
s t e u t????
1()
1Hj j ??? ??
由
可得到：
? 越小,)(th 衰减越快；
()st 上升越快，表明系统的带宽越宽。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
)(ty
R
C()xt
该系统可以实现为 RC电路
时间常数 RC? ?
如果考察
dt
tdxty
dt
tdy )()(1)( ??
?
1/( ) 1
( 1 / ) ( 1 / )
sHs
ss
?
??? ? ???
() 1jHj j ????? ??
2 0 l g | ( ) | 2 0 l g 2 0 l g 1H j j j??? ? ? ? ? ?
1/?? 0
?
j?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
系统呈现高通特性。
1/? 10/?
20dB?
0.1/? ?
2 0 lg | ( ) |Hj ?
()ht
t
1/??
/1( ) ( ) ( )th t t e u t??
?
???
参数 （极点的位置），? 决定了一阶系统的特性。
对有非零零点的情况，零点的位置也必然影响系
统的特性。
时域特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 离散时间一阶系统：
1
0 1
1()
1
zH z H
z
?
?
?
?
??
?
考察
1
1()
1Hz z? ?? ?
的系统
?
Re
Im
1()
1
j
jHe e
?
??? ?
频率特性：
2
1()
1 2 c o s
jHe ?
? ? ?
?
??
1 s i n( ) t g
1 c o s
jHe ? ??
??
???
?
( ) ( 1 ) ( )y n a y n x n? ? ?
当 时，可得 Bode图如下：0a?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
10 ??? 时，系统呈现低通特性。
? 越小频率响应越平坦，系统带宽越宽。
当 时，可得 Bode图如下：10a? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
01 ??? ? 时，系统呈现高通特性。
||? 越小，频率响应越平坦，系统带宽越宽。
时域特性,( ) ( )nh n u n?? 1
0
1( ) ( )
1
nn
k
k
s n u n?? ?
?
?
???
??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 也决定着系统的时域特性，但与连续时间不同的
是,时系统时域特性会呈现出振荡，其 有
振荡； 有振荡和超量。
0?? )(nh
()sn
二, 二阶系统：
? 连续时间二阶系统：
考察 RLC串联谐振电路，
R L
C()xt ()yt
可以列出微分方程：
11( ) ( ) ( ) ( )Ry t y t y t x t
L L C L C?? ?? ? ?
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
对图示机械系统
K,弹性系数；M,质量；
B,摩檫系数；
f(t),作用力； v(t),速度；
可以列出微分方程：
( ) ( ) ( ) ( )
t
M v t f t B v t K v d??
??
? ? ? ? ?
作用力 摩檫力
弹簧拉力
或者
( ) ( ) ( ) ( )M v t B v t K v t f t?? ? ?? ? ?
它们的 数学模型都是二阶常系数线性微分方程。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
n n n
d y t d y t y t x t
d t d t?? ? ? ? ? ?
其中 2 1
n LC?? 1,( )
2 2
R C L Q?
???
11( ) ( ) ( ) ( )Ry t y t y t x t
L L C L C?? ?? ? ?
可改写为：
2
22
2
1
()
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 1
n
nn
nn
Hj
jj jj? ?
?
? ? ?
??? ? ? ? ? ?
??
??
频率响应为：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
2
1 2 1 2
() ( ) ( )n MMHj j c j c j c j c?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
由
2
1,2 1nnc ??? ? ? ? ? ? 221
nM
?
??
?
12( ) ( )c t c th t M e e u t??? ? ???
2( ) ( )n tnh t te u t????
1? ? 12 ncc? ? ??? 当 时，
系统处于 临界阻尼状态。
1.时域特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
( ) sin ( )nnh t tu t? ? ?
0? ? *12 nc c j? ? ?
? 当 时,系统处于 无阻尼状态 。
1c 2c1? ?
? 当 时,,为实根，系统处于 过阻尼状态 ；
12( ) ( ) ( )c t c th t M e e u t??
2
2
( ) s i n ( 1 ) ( )
1
n tn
nh t e t u t
? ?
?
???? ? ?
?
? 当 时,,为共轭复根，
01??? 1c 2c
21,2 1nncj??? ? ? ? ? ?
系统处于 欠阻尼状态；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
0.1??
0.2??
0.4??
0.7??
1.0??
1.5??
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
此时 有振荡,有振荡和超量。
)(th )(ts
1?? 时,是 不出现振荡情况下上升最快的。)(ts
?n 的作用在于改变 和 的时间尺度。)(th )(ts
欠阻尼时,越大 和 越向原点压缩，变
化越陡峭 。
?n )(th )(ts
二阶系统的极点随 和 变化 。?n ?
0
?
?j
1c2c ?? n
随着 两个实极点相互靠拢，??
1? ? 时成为二阶极点 n? ? ?? ；
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
当 时，成为虚轴上的共轭极点。0??
时，二阶系统的时域特性为最佳。1? ?
2,频率特性：
2
1()
( ) 2 ( ) 1
nn
Hj
jj ?
?? ??
??
??
由 可作出 Bode图
时，准确的对数模为
2 0 lg ( ) 2 0 lg 2Hj ?? ? ?n? ? ?
?n随 极点沿半径为 的圆周向虚轴靠近；??
1?? 时，重阶极点分裂为共轭极点。
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时，幅频特性在 处出现峰值，
其值为 。
0.707? ? 212n ???
2
1
21???
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
时，系统具有最平坦的低通特性。0.707? ?
可见，系统的 时域特性和频域特性是不兼容的 。
工程设计时，必须在二者之间作出 恰当的折中 。
此时即为最佳的频率特性。
时，系统类似于一阶系统，具有低通特性。
0.707? ?
时，随 的减小，逐步过渡为带通特性。0.707? ? ?
相位特性 Bode图：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
? 离散时间二阶系统：
2( ) 2 c o s ( 1 ) ( 2 ) ( )y n r y n r y n x n?? ? ? ? ?
0 1,r?? 0,????
22
11()
1 2 c o s 11
j
jj j j j jHe r e r e r e e r e e
?
?? ? ? ? ?? ?? ? ? ????? ? ? ? ???
? ? ? ?
() 11j j j j jABHe r e e r e e? ? ? ? ?? ? ?????
2 s in
je
A j
?
?? 2 s in
je
B j
?
?
?
?
()jHe? ;jjre re???0,??? 时,具有两个不同的极点
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
s i n ( 1 )( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )
s i n
j n j n n nh n A r e B r e u n r u n?? ?
?
? ?? ? ?
为指数衰减的正弦振荡。()hn
( ) ( 1 ) ( )nh n n r u n??
单调变化，无振荡()hn
( ) ( 1 ) ( ) ( )nh n n r u n? ? ? 振荡最剧烈()hn
0? ?
2
1()
(1 )
j
jHe re
?
??? ?
时，
???
2
1()
(1 )
j
jHe re
?
??? ?
时，
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
从时域响应的图中看出,
r 影响 的收敛速度,越小,衰减越快。)(nh r )(nh
? 决定 的振荡频率,,无振荡； 越大
振荡频率越高。 时达到最高,时系统
欠阻尼 。
0?? ?
?? ? ?? ??0
)(nh
11sin ( ) sin ( )( ) tg tg
1 c o s( ) 1 c o s( )
j jr jrHe
rr
? ? ? ? ?
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相位特性：
频率特性：
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
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主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
从频率特性图中看出：
0?? 时系统呈低通特性。
?? ? 变化时，频率响应的峰点也向 移动，
逐步成为带通特性，进一步成为高通特性，峰点
总出现在频率 的附近 。
?
?
? 决定峰点位置（类似 ）。在 不变时, 越
小频响越平坦，带宽越大。 峰值变尖锐，带
宽变窄,决定峰值大小（类似 的作用）。
n?
r
r?
?
?
r
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授第八章：系统函数
本章小结：
1,从系统函数出发，建立了系统的级联型和并联
型结构。
2,讨论了系统函数零极点分布与系统时域特性和
频率特性的关系。系统的特性从本质上讲完全是由
系统函数的零极点分布决定的。
3,建立了系统频率特性的几何求值方法。
4,建立了系统频率特性的 Bode图表示方法。
5,分析了 连续时间和离散时间一阶与二阶系统的
时域特性和频率特性。
