第 9章 拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM
4,双边拉普拉斯变换的性质；
本章基本内容：
1,双边拉普拉斯变换；
2,双边拉普拉斯变换的收敛域；
5,系统函数；
6,单边拉普拉斯变换；
3,零极点图；
9.0 引言 Introduction
傅里叶变换是以复指数函数的特例 和
为基底分解信号的。对更一般的复指数函数
和,也理应能以此为基底对信号进行分解。
jte? jne?
ste
nz
傅里叶分析方法之所以在信号与 LTI系统分析
中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号
都可以表示成复指数信号的线性组合，而 复指数
函数是一切 LTI 系统的特征函数。
通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和 Ｚ 变
换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不
仅能 解决 用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统
分析问题，而且还能 用于 傅里叶分析方法不适用的
许多方面。 拉普拉斯变换与 Ｚ 变换的分析方法是傅
里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下
一章要讨论的中心问题。
9.1 拉普拉斯变换
复指数信号 是一切 LTI系统的特征函数。
如果 LTI系统的单位冲激响应为,则系统对
产生的响应是,
ste
()ht
ste
( ) ( ) sty t H s e? ( ) ( ) stH s h t e dt? ?
??? ?
，其中
显然当 时，就是连续时间傅里叶变换。sj??
The Laplace Transform
一,双边拉氏变换的定义：
( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?
称为 的 双边拉氏变换,其中 。()xt sj????
若, 则有,0? ? sj??
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
这就是 的傅里叶变换。()xt
表明,连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
在 或是在 轴上的特例。0? ?
j?
( ) ( ) [ ( ) ]t j t t j tX s x t e e d t x t e e d t? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?????
[ ( ) ]tx t e ??? F[
由于
所以 拉氏变换是对傅里叶变换的推广, 的
拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合
适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利
条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信
号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表
明 拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
()xt
te ??
() tx t e ??
?
( ) ( )atx t e u t??
例 1.
()
00
1() a t s t s a tX s e e d t e d t
sa
??? ? ? ?? ? ?
???
R e [ ]sa??在 时，积分收敛。
当 时,的傅里叶变换存在()xt0a?
0
1() a t j tX j e e d t
aj
??
?
? ????
??
( 0)a ?
显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为
，包括了 （即 轴）。
0a?
R e [ ]sa?? 0?? j?
比较 和,显然有
()Xj?()Xs
( ) ( )sjX s X j? ?? ?
当 时,( ) ( ) ( )atx t e u t u t???0a ?
1()ut
s?
可知 R e[ ] 0s ?
例 2,( ) ( )atx t e u t?? ? ?
00 () 1() a t s t s a tX s e e d t e d t
sa
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ??? R e [ ]sa??
与例 1.比较，区别仅在于收敛域不同。
由以上例子，可以看出,
1,拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。 并
非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上
的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2,使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称
为拉氏变换的收敛域 。 拉氏变换的收敛域 ROC
（ Region of Convergence）对拉氏变换 是非常重
要的概念。
3,不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达
式，只是它们的收敛域不同。
j?
( ) ( ) sjX j X s ?? ??
5,如果拉氏变换的 ROC包含 轴，则有
4,只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才
能和信号建立一一对应的关系 。
二, 拉氏变换的 ROC及零极点图：
2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t????例 3.
2
00()
t s t t s tX s e e d t e e d t??? ? ? ?????
1( ),
1
te u t
s
? ?
?
R e[ ] 1s ??
2 1( ),
2
te u t
s
? ?
?
R e [ ] 2s ??
1? ?
?j
2? ?
?j
可见,拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部
分。 ROC总是以平行于 轴的直线作为边界的，
ROC的边界总是与 的分母的根相对应的。
j?
()Xs
R e [ ] 1s ??
若 是有理函数()Xs ()()()
( ) ( )
i
i
i
i
s
Ns
X s M
D s s
?
?
?
??
?
?
?
?
?j
2? 1?
2
1 1 2 3( ),
1 2 3 2
sXs
s s s s
?? ? ? ?
? ? ? ?
分子多项式的根称为 零点,分母多项式的根
称为 极点 。
将 的全部零点和极点表示在 S平面上，
就构成了 零极点图 。零极点图及其收敛域可以
表示一个,最多与真实的 相差一个常
数因子 。
()Xs
()Xs
()Xs
M
因此,零极点图是拉氏变换的图示方法 。
9.2 拉氏变换的收敛域
? 可以归纳出 ROC的以下性质：
The Region of Convergence for Laplace Transforms
j?4,右边信号的 ROC位于 S平面 内一条平行于
轴的直线的右边。
3,时限信号的 ROC是整个 S 平面。
2,在 ROC内无任何极点。
j?1,ROC是 S 平面上平行于 轴的带形区域。
0() t
T x t e dt
?? ? ???
若,则
10??? 1() t
T x t e dt
?? ??
0 1 0
1 0 0
()
()
()
()
tt
T
Tt
T
x t e e d t
e x t e d t
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
1?
表明 也在收敛域内。
若 是右边信号,,在 ROC内,
则有 绝对可积，即：
0?
0() tx t e ??
()xt Tt? ? ?
5,左边信号的 ROC位于 S平面内一条平行于
轴的直线的左边。
j?
若 是左边信号，定义于,在
ROC 内，,则
10???
0?()xt ?(,T??
0 1 01 ()( ) ( )
TT tttx t e d t x t e e d t? ? ?? ? ? ??
? ? ? ????
1 0 0() ()
TTte x t e dt? ? ?? ? ?
??? ? ??
1?表明 也在收敛域内。
6,双边信号的 ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 轴的带形区域。j?
0
( ) ( )
0
()
1
[ 1 ]
T
at st
T
s a t s a T
X s e e dt
e dt e
sa
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
例 1,?
()xt ?
ate?
0 其它
0 tT??
t
考查零点，令 () 1s a Te ?? ?
例 2,() btx t e ??
( ) ( ) ( )b t b tx t e u t e u t?? ? ?
有极点 sa??()Xs
显然 在 也有一阶零点，由于零极
点相抵消，致使在整个 S平面上无极点。
sa??()Xs
2s a j k
T
?? ? ?得 （ k为整数）
当 时，上述 ROC有公共部分，0b?
11()Xs
s b s b????
R e [ ]b s b? ? ?
当 时，上述 ROC 无公共部分，表明
不存在。
0b? ()Xs
1( ),bte u t
sb? ? ? ?
R e [ ]sb??
1( ),bte u t
sb
? ?
?
R e [ ]sb??
b? ?
?j
b
当 是有理函数时，其 ROC总是由 的
极点分割的。 ROC必然满足下列规律：
()Xs ()Xs
3,双边信号的 ROC可以是任意两相邻极点之间
的带形区域。
()Xs2,左边信号的 ROC一定位于 最左边极点
的左边。
()Xs1,右边信号的 ROC一定位于 最右边极点
的右边。
例 3.
2
1
()
32
11
12
Xs
ss
ss
?
??
??
??
可以形成三种 ROC：
1) ROC：
2) ROC：
3) ROC：
R e[ ] 2s ??
R e[ ] 1s ??
2 R e [ ] 1s? ? ? ?
?
?j
1?2?
()xt此时 是 右边信号 。
()xt此时 是 左边信号 。
()xt此时 是 双边信号 。
The Inverse Laplace Transform
一,定义,由
( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?
若 在 ROC内，则有,sj????
( ) ( ) [ ( ) ]t j t tX j x t e e dt x t e? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? F[
1( ) ( )
2
t j tx t e X j e d?? ? ? ?
?
??
??
? ? ??
11( ) ( ) ( )
22
t j t s tx t X j e e d X s e d??? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ???
9,3 拉普拉斯反变换
当 从 时,从? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?
由 sj???? ds jd??得
拉氏反变换表明,
可以被分解成复振幅为
的复指数信号 的线性组合。
()xt 1 ()
2 X s dsj?
ste
1( ) ( )
2
j st
j
x t X s e d sj ?
??
??
??
?? ?
的反变换
()Xs
二,拉氏反变换的求法,
对有理函数形式的 求反变换一般有两种方
法,即 部分分式展开法 和 留数法 。
()Xs
1,将 展开为部分分式。()Xs
? 部分分式展开法：
3,利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,
对每一项进行反变换。
()Xs
2,根据 的 ROC，确定每一项的 ROC 。
1,2ss? ? ? ?极点：
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
1()
( 1 ) ( 2)Xs ss? ??
例 1.
右边信号
1?2? ?
j?
左边信号
1?2? ?
j?
双边信号
1?2? ?
j?
例 2,1
() ( 1 ) ( 2)Xs ss? ?? R O C, 2 R e [ ] 1s? ? ? ?
11()
12Xs ss????
1, R e [ ] 1 ( )R
1 OC
ts e u t
s
?? ? ? ? ? ?
?
21, R e [ ] 2R O C ()
2
ts e u t
s
?? ? ? ?
?
2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t??? ? ? ? ?
1,求出 的全部极点。()Xs
? 留数法 （当 是有理函数时）：()Xs
() stX s e
()xt
3,求出 在 ROC 右边的所有极点处的留
数之和，并加负号，它们构成了 的反因果
部分。
() stX s e
()xt
2,求出 在 ROC 左边的所有极点处的留
数之和，它们构成了 的因果部分。
例 3.
? ? ? ?
1()
12Xs ss? ??
,2 R e [O 1R ]C s? ? ? ?
12( ) R e s[ ( ),] R e s[ ( ),]st stx t X s e s X s e s? ? ?
12
2
11
( ) ( )
21
( ) ( )
st st
ss
tt
e u t e u t
ss
e u t e u t
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
()Xs 的极点 位于 ROC的右边,位
于 ROC的左边。
2 2s ??1 1s ??
? 可以用零极点图表示 的特征 。当 ROC包
括 轴时，以 代入,就可以得
到 。以此为基础可以用几何求值的方法
从零极点图求得 的特性。这在定性分析
系统频率特性时有很大用处。
()Xs
j? sj??
()Xj?
()Xj?
()Xs
Geometric Evaluation of the Fourier Transform
from the Pole-Zero Plot
9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
()X s s a??1,单零点情况：
矢量 称为 零点矢量,它的长度
表示,其幅角即为 。
1()Xs1()Xs
1sa? 1||sa?
1s
a0 a?
1s
j?
?
零点,要求出 时的,可以
作两个矢量 和,则 。
1ss?
11( ) ( )X s s a??
1()Xs
1s a
sa?
1sa?
1( ),Xs
sa? ?
极点 sa?
1
1
1()Xs
sa
?
?
? ?11()X s s a? ? ?
直接由极点向 点作矢量（称为 极点矢量 ），
其长度的倒量为,幅角的负值为 。
1s
1()Xs 1()Xs
2,单极点情况：
1s
a0 a?
1s
j?
?1sa?
因此有,
1
1
1
()
i
i
i
i
s
X s M
s
?
?
?
?
?
?
?
对有理函数形式的
()Xs
? ?
? ?
()
()
()
i
i
i
i
s
Ns
X s M
D s s
?
?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
1
1
1
()
i
i
i
i
s
X s M
s
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?1 1 1() ii
ii
X s s s??? ? ? ???
3,一般情况：
即：从所有零点向 点作 零点矢量,从所有极
点向 点作 极点矢量 。所有零点矢量的长度之积
除以所有极点矢量的长度之积即为 。所有
零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之
和即为 。
1s
1()Xs
1()Xs
1s
当 取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的
几何求值。 考查 在 轴上移动时所有零、极
点矢量的长度和幅角的变化,即可得出 的
幅频特性和相频特性。
1s
1s
j?
j?
()Xj?
例 1,一阶系统：
1( ) ( ),th t e u t?
?
??
1/( ),
(1 / )Hs s
?
?? ?
1R e [ ]s
???
() ( ) ( )d y t y t x t
dt? ??
随着, 单调下降，?? ()Hj?
1?
??
时,下降到最大值的 1
2
最大值在 时取得。0??
?
j?
1/??
1
1/?
?
| ( ) |Hj?
1/ 2
相位特性：当 时,( ) 0Hj ? ?0? ?
随着, 趋向于 。
()Hj?
()Hj???
??
/2??
/2?则 趋向 于 。
1/?
1/??
()Hj?
例 2,二阶系统：
? ?12( ) ( ),c t c th t M e e u t??
2
1,2 1nnc ? ? ? ?? ? ? ?
221
nM ?
?
?
?
2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
()n n n
d y t dy t y t x t
dt dx t? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
22
22
12
()
2
nn
nn
Hs
s s s c s c
??
? ? ?
??
? ? ? ?
1? ? 1? ?
1 / 2? ? 1/ 2? ?
21nj??? 21nj???
n???
221n?? ?
1,当 时,有两个实数极点，此时系
统处于 过阻尼状态 。 起主要作用。随着,
两极点相向移动，向 处靠拢。
n???
1c
1?? ()Hs
??
2,当 时，两极点重合于 处，成为二
阶极点。系统处于 临界阻尼状态 。
1? ? n??
3,进一步减小，则二阶 极点分裂为 共轭复数
极点,且随 的减小而逐步靠近 轴。极点运
动的轨迹 —— 根轨迹是一个半径为 的圆周 。
?
j?
n?
?
此时系统处于 欠阻尼状态,随着,位于第 2
象限的极点矢量比第 3 象限的极点矢量更短，因
此它对系统特性的影响较大（被称为 主极点 ）。
??
当 时，由于该极点矢量变得很短，因而
会使 出现峰值。其峰点位于 处，
1/ 2? ?
()Hj? 212n???
m a x 2
1()
21
Hj ?
??
?
?
峰值为
在 时，若认为 主极点矢量 增长 倍
时，对应的频率是系统带宽的截止频率，则可以
近似确定此时的系统带宽约为 。
1 / 2? ? 2
2 n??
n???
2 n??21n???
j?
?
0
4,当 时，两极点分别位于 轴上的
处，此时系统处于 无阻尼状态 。
0? ? j? nj??
系统的相位特性也可以从零极点图得到。此
时，只需考察当动点沿 轴移动时所有极点
矢量和所有零点矢量的幅角变化，用所有零点
矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和，
即可得到系统的相位特性。
j?
例 3,全通系统：
考查零极点对称分布的系统
() saHs sa?? ? （一阶全通系统 ）
? 该系统的 在任何时候都等于 1，所以
称为 全通系统 。
()Hj?
| ( ) |Hj?
?
1
j?
aa?
j?
?1?
?其相位特性
1 1 1( ) ( ) 2Hj ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
全通系统的零极点分布呈四角对称特征 。
?
j?
三阶全通系统
全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。
例 4,最小相位系统：
考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关
于 轴对称。其中一个系统的零点均在左半平
面，另一个系统的零点均在右半平面。
j?
j? j?
显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零
点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半
平面的系统。因此将 零极点均位于左半平面的
系统称为最小相位系统。
工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，
如,Butterworth, Chebyshev,Cauer滤波器
都是最小相位系统。
当工程应用中要求实现一个非最小相位系统
时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通
系统级联来实现。
从本质上讲 系统的特性是由系统的零、极点
分布决定的 。对系统进行优化设计，实质上就
是优化其零、极点的位臵。
最小相位系统 全通系统
j?
?
最小相位系统
j?
?
全通系统
j?
?
非最小相位系统
Properties of the Laplace Transform
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a X s b X s? ? ?
则
ROC至少是
12RR
9.5 拉氏变换的性质
? 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的
性质。这里只着重于 ROC的讨论。
1,线性（ Linearity ）：
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
若
1
12( ) 1,
11
sXs
ss
?? ? ?
??
R O C, 1? ??
2
1( ),
1Xs s
??
?
R O C, 1? ??
? ?12( ) ( ) 1x t x t t?? ? ?
而
ROC扩大为整个 S平面。
? 当 与 无交集时，表明 不存在。
1R 2R ()Xs
例,
? ? ? ?1 () tx t t e u t? ??? ? ?2 () tx t e u t???
（原因是出现了
零极点相抵消的
现象）
2,时移性质（ Time Shifting）,
( ) ( ),x t X s? ROC, R若
00( ) ( ),stx t t X s e ???
ROC不变则
3,S域平移（ Shifting in the s-Domain）,
( ) ( ),x t X s? ROC, R若 则
0 0( ) ( ),stx t e X s s?? 0ReR O C ],[Rs?
表明 的 ROC是将 的 ROC平移了
一个 。这里是指 ROC的边界 平移 。
0()X s s? ()Xs
0Re[ ]s
例, ? ?( ),
tx t e u t??
1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23()
1
( 2 )
3
ttx t e e u t
Xs
s
????
??
?
显然 R O C, 3? ??
R e [ ]s a R? ? ?
4,时域尺度变换（ Time Scaling）,
ROC, R( ) ( ),x t X s?若
1( ) ( )sx at X
aa?
R O C, aR则
例, ? ? 1( ) ( ),
1
tx t e u t X s
s
?? ? ?
?
1? ??
? ?2()2
tt
x e u t??
求 的拉氏变换及 ROC
当 时 收敛,时 收敛R??
()sX a
R?Re[ ]s
a()Xs
12( ),
1 21
2
Xs
ss
??
??
1R O C,
2? ??
可见,若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的
ROC在 S平面上作相反的尺度变换。
( ) ( ),x t X s? ? ? R O C, R?特例
5,共轭对称 性 （ Conjugation）：
( ) ( ),x t X s? ? ?? ROC, R
( ) ( ),x t X s? ROC, R若 则
如果 是实信号，且 在 有极点（或零
点），则 一定在 也有极点（或零点）。这
表明,实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭
成对出现。
()xt ()Xs 0s
()Xs 0s?
当 为实信号时，有：()xt ( ) ( )x t x t? ?
由此可得以下重要结论：
( ) ( )X s X s???? ( ) ( )X s X s???或
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t X s X s?? ROC,12RR
包括
6,卷积性质,（ Convolution Property）
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
若
则
12 1RR ?? ? ?
显然有,
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
1R O C, 1R ?? ? ?
2R O C, 2R ?? ? ?
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23X s X s ss? ??
2,? ?? ROC扩大
原因是 与 相乘时，发生了零极点相
抵消的现象。当被抵消的极点恰好在 ROC的边
界上时，就会使收敛域扩大。
2()Xs1()Xs
7,时域微分,（ Differentiation in theTime Domain）
() ( ),d x t s X s
dt ?
( ) ( ),x t X s? ROC, R
ROC包括 R,有可能扩大。
若
则
8,S域微分,（ Differentiation in the s-Domain）
( ) ( ),x t X s?
()( ),d X stx t
ds??
若
则
ROC, R
ROC, R
2
1()
()Xs sa? ?
R O C, a? ??例, 求 ()xt
2
11 ()
()
d
s a ds s a????
( ) ( )atx t te u t???
9,时域积分,（ Integration in the Time Domain ）
( ) ( ),x t X s? ROC, R若
1( ) ( )t x d X s
s???? ??
ROC, 包括 ( R e [ ] 0 )Rs ?
则
( ) ( ) ( )t x d x t u t??
??
???
1( ) ( )t x d X s
s???????
ROC, 包括
( R e [ ] 0 )Rs ?
如果 是因果信号，且在 不包含奇异
函数，则
()xt 0t?
(0 ) li m ( )sx s X s? ???
—— 初值定理
( ) ( ) ( )x t x t u t??
0t ? ( ) 0xt ?时,且在 不包含奇异函数。0t?
Proof:
将 在 展开为 Taylor级数有：()xt 0t ??
10,初值与终值定理,
（ The Initial- and Final- Value Theorems)
2
()( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) ( )
2!
n
nttx t x x t x x u t
n
? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ???
??
对上式两边做拉氏变换：
()
21
1 1 1( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n
nX s x x xs s s
? ? ?
??? ? ? ? ?
()
1
0
1( 0 )n
n
n
x s
?
?
?
?
? ?
l i m ( ) (0 )s s X s x ?????
如果 是因果信号，且在 不包含奇异
函数,除了在 可以有单阶极点外，其
余极点均在 S平面的左半边，则
()xt 0t?
()Xs 0s?
0li m ( ) li m ( )tsx t s X s? ? ??
—— 终值定理
00
0 0
()
()
( ) ( )
s t s t
s t s t
d x t
e d t e d x t
dt
x t e s x t e d t
??
? ?
??
??
?
? ? ?
?
??
??
?
是因果信号，且在 无奇异函数,()xt 0t?证,
的实部 可以大于零，因此s ?
0( ) ( 0 )
stx t e x
?
? ? ???
除了在 可以有一阶极点外，其它
极点均在 S平面 的左半平面（即 保证 有终
值 ）,故 的 ROC中必包含 轴。表明：
()Xs 0s?
()xt
()sX s j?
0
() ( 0 ) ( )std x t e d t x s X s
dt?
? ??? ? ? ?? 当 时，0s?
00
() ( ) l i m ( ) (0 )st
t
d x t e d t d x t x t x
dt??
?? ??
??
? ? ???
0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ???
极点在 S平面的分布与信号终值的关系
Some Laplace Transform Pairs
9.6 常用拉氏变换对
S
1
()ate u t? as ?
1
()nt u t 1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
()ut
Analysis and Characterized of LTI Systems
Using the Laplace Transform
一, 系统函数的概念：
以卷积特性为基础，可以建立 LTI系统的拉
氏变换分析方法，即
( ) ( ) ( )Y s X s H s??
其中 是 的拉氏变换，称为 系统函数
或 转移函数、传递函数 。
()Hs ()ht
9.7 用拉氏变换分析与表征 LTI系统
( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ???
这就是 LTI系统的傅里叶分析。 即是系统
的 频率响应 。
()Hj?
这些方法之所以成立的本质原因在于 复指数函
数是一切 LTI系统的特征函数 。当以 为基底
分解信号时,LTI系统 对输入信号的响应就是
jte ?
如果 的 ROC包括 轴，则 和 的
ROC必定包括 轴，以 代入，即有j?
()Xs ()Hsj?
sj??
()Ys
连同相应的 ROC也能完全描述一个 LTI系
统。系统的许多重要特性在 及其 ROC中一定
有具体的体现。
()Hs
()Hs
( ) ( )X j H j??? ste
( ) ( )X s H s?； 而以 为基底分解信号时，系
统的输出响应就是 。
二, 用系统函数表征 LTI系统：
1,因果性：
如果 时,则 系统是因果的 。0t? ( ) 0ht ?
如果 时,则 系统是反因果的 。
( ) 0ht ?0t?
因此,因果系统 的 是右边信号，其
的 ROC必是最右边极点的右边 。由于 反因果系
统 的 是左边信号,的 ROC必是最左
边极点的左边。
()Hs()ht
()ht ()Hs
应该强调指出，由 ROC的特征，反过来并不
能判定系统是否因果。 ROC是最右边极点的右
边并不一定系统因果。
2,稳定性：
如果系统稳定，则有 。因
此 必存在。意味着 的 ROC必然包
括 轴。
()h t d t??? ???
()Hs()Hj?
j?
()Hs
只有 当 是有理函数时，逆命题才成立。
综合以上两点，可以得到,因果稳定系统
的,其全部极点必须位于 S平面的左半边。()Hs
例 1,某系统的
显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。
2( ) ( ) ( )tth t e u t e u t????
2
1 1 2 3( ),
1 2 3 2
sHs
s s s s
?? ? ?
? ? ? ?
R O C, R e [ ] 1s ??
显然,ROC是最右边极点的右边。
ROC包括 轴j? ? 系统也是稳定的。
的全部极点都在 S平面的左半边。()Hs
例 2,若有
( ),1
se
Hs s? ? R e[ ] 1s ??
的 ROC是最右边极点的右边，但
是非有理函数，,系统是非因
果的。
()Hs ()Hs
( 1 )( ) ( 1 )th t e u t????
由于 ROC包括 轴，该系统仍是稳定的。j?
而对系统
( ),1
se
Hs s
?
? ? R e[ ] 1s ??
仍是非有理函数,ROC是最右边极点的右
边,但由于,系统是因果的。
()Hs
( 1 )( ) ( 1 )th t e u t????
结 论：
1,如果 LTI系统的 系统函数是有理函数,且全部
极点位于 S平面的左半平面，则系统是因果、
稳定的。
2,如果 LTI系统的 系统函数是有理函数,且系统
因果，则系统函数的 ROC是最右边极点的右
边。若系统反因果，则系统函数的 ROC是最
左边极点的左边。
3.如果 LTI系统是稳定的，则系统函数的 ROC必然
包括 轴。j?
三, 由 LCCDE描述的 LTI系统的系统函数：
对
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
做拉氏变换，可得
0
0
( ) ( )
( ),
( ) ( )
N
k
k
k
N
k
k
k
bs
Y s N s
Hs
X s D s
as
?
?
? ? ?
?
?
是一个有理函数
的 ROC需要由系统的相关特性来确定。()Hs
1）如果 LCCDE具有一组全部为零的初始条件，
则 的 ROC必是最右边极点的右边。()Hs
2）如果已知 LCCDE描述的系统是因果的，则
的 ROC必是最右边极点的右边。()Hs
3）如果已知 LCCDE描述的系统是稳定的，则
的 ROC 必包括 轴。()Hs j?
四,系统特性与系统函数的关系,
自学。请关注例 9.25,9.26,9.27
五, Butterworth滤波器,
通常 Butterworth滤波器的特性由频率响应的
模平方函数给出。对 N阶 Butterworth低通滤波
器有：
? ?
2
2
1()
1/ Nc
Bj ?
??
?
?
（ N为滤波器的阶数）
由于 2( ) ( ) ( )B j B j B j? ? ???
Butterworth滤波器的冲激响应应该是实信号，
( ) ( )B j B j???? ? ?
将 函数拓展到整个 S平面有：2()Bj?
2
1( ) ( )
1 ( / ) NcB s B s sj ??? ?
共有 2N个极点
1
2( 1 ) ( ) kjsN
k c ks j s e?? ? ?
( 0,1,,2 1 )kN??
表明 N阶 Butterworth低通滤波器模平方函数的
全部 2N个极点均匀分布在半径为 的圆周上 。
c?
极点分布的特征：
? 极点分布总是关于原点对称的。
/N?? 相邻两极点之间的角度差为 。
j?? 轴上不会有极点。当 N为奇数时在实轴上
有极点,N为偶数时实轴上无极点。
c?
? 2N个极点等间隔均匀分布在半径为 的圆周
上。
要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此
位于左半平面的 N个极点一定是属于 的。()Bs
()Bs
据此，确定出 后，也就可以综合出一个
Butterworth 滤波器。
9.8 系统函数的代数属性与方框图表示
System Function Algebra and Block Diagram
Representations
一,系统互联时的系统函数：
1,级联：
12( ) ( ) ( )H s H s H s??
ROC, 12RR包括
3,反馈联结：
1 ( ) ( ) ( ) ( )X s X s G s Y s??
11( ) ( ) ( )Y s X s H s?
1[ ( ) ( ) ( ) ] ( )X s G s Y s H s??
2,并联：
12( ) ( ) ( )H s H s H s??
ROC:
12RR
包括
1
1
( ) ( )()
( ) 1 ( ) ( )
Y s H sHs
X s G s H s? ? ? ?
ROC,12RR包括
二, LTI系统的级联和并联型结构,
LTI系统可以由一个 LCCDE来描述。
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???
对其进行拉氏变换有：
00
( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a s Y s b s X s
??
???
0
0
( ) ( )
()
( ) ( )
N
k
k
k
N
k
k
k
bs
Y s N s
Hs
X s D s
as
?
?
? ? ?
?
?
是一个有理函数()Hs
1,级联结构：
将 的分子和分母多项式因式分解()Hs
? ?
? ?
2
2
10
11
2
2
10
11
()
()
()
P N P
k k k
N k k
Q N Q
N
k k k
kk
s s s
b
Hs
a
s s s
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
这表明,一个 N阶的 LTI系统可以分解为若干
个二阶系统和一阶系统的级联。在 N为偶数时，
可以全部组合成二阶系统的级联形式。
2
1
( ) ( )
N
N
k
kN
bH s H s
a ?
?? ?
2
10
2
10
() kkk
kk
ssHs
ss
??
??
???
??
其中
如果 N为奇数，则有一个一阶系统出现。
2,并联结构：
将 展开为部分分式 (假定 的分子阶
数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的），
则有：
()Hs ()Hs
1
()
N
Nk
kNk
bAHs
as ???? ??
将共轭成对的复数极点所对应的两项合并,
2
10
2
11 10
()
Q N Q
N k k k
kkN k k k
b s AHs
a s s s
??
? ? ?
?
??
?? ? ?
? ? ???
2
1
()
N
N
k
kN
b Hs
a ??? ?
（ N为偶数时）
N为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二
阶项，由此可得出系统的并联结构：
The Unilateral Laplace Transform
单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是
因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析
LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。
一,定义,
0( ) ( )
sts x t e d t?
?
? ?? ?
如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换
和做单边拉氏变换是完全相同的。
()xt
9.9 单边拉普拉斯变换
单边拉氏变换也同样存在 ROC 。其 ROC必然
遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即,一定
位于最右边极点的右边。
正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一
般不再强调其 ROC。
1( ) ( )
2
j st
j
x t s e d sj ?
?
?? ??
??
? ?
单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的
反变换相同。
做单边拉氏变换：
( 1 )
0
()
0
()
1
a t st
a s a t a
s e e dt
e e dt e
sa
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
? R e[ ]sa??
例 1,( 1 )( ) ( 1 )atx t e u t????
做双边拉氏变换：
1() sX s e
sa? ?
R e [ ]sa??
例 2,2 3()
2
ss
s?
??
?
1( ) 2
2ss s? ??? ?
21( ) ( ) 2 ( ) ( )tx t u t t e u t? ?? ? ? ?
与 不同，是因为 在 的部分
对 有作用，而对 没有任何作用所致。()s?
()xt 0t?()s?()Xs
()Xs
由于其 ROC为 2? ??
二,单边拉氏变换的性质,
单边拉氏变换的大部分性质与双边拉氏变换
相同，但也有几个不同的性质。
1,时域微分（ Differentiation in the Time Domain）
( ) ( )x t s??若 () ( ) (0 )d x t s s x
dt ?
???
则
000
() ( ) ( ) ( ) (0 )s t s t s td x t e d t x t e s x t e d t s s x
dt ????
?? ? ? ? ? ?? ? ? ???
2
2
2
() ( ) ( 0 ) ( 0 )d x t s s sx x
dt ?
?? ?? ? ?
2,时域积分（ Integration in the Time Domain）
011( ) ( ) ( )t x d s x d
ss? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
????
0
0( ) ( ) 0() )
ttx d x tx d d? ? ? ? ? ??
?? ? ? ??? ?? ? ? （
0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) )tt s t s tx d x d e d t x d e d t? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
????
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?
0
000
11( ) ( ) ( )st t stex d x d x t e d t
s s s? ? ? ?
?
???
? ?
??
??
? ? ?? ? ?
011( ) ( )x d s
ss? ? ?
?
??
???
3.时延性质（ Time Shifting）
是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性
与双边变换时一致。
()xt
不是因果信号时，()xt
0
0
()
00 0( ) ( ) ( )
stst
tx t t x t t e d t x e d
???
?
?? ???
?? ? ? ???
( ) ( ) ( )x t u t s??
000( ) ( ) ( ) stx t t u t t s e? ?? ? ?则 0( 0)t ?
若
00
00( ) ( )
tst sts e x t t e d t?
?
? ?? ? ??
00
0
0 ( ) ( )
0( ) ( )
s t s t
t x e d x e d
??? ? ? ?
?
?
?? ? ? ?
?????
三,利用单边拉氏变换分析增量线性系统,
单边拉氏变换特别适合于求解由 LCCDE描述
的增量线性系统。
例,某 LTI系统由微分方程描述
2
2
( ) ( )3 2 ( ) ( ),d y t d y t y t x t
d t d t? ? ?
( ) 2 ( ),x t u t?
(0 ) 3,y ? ? (0 ) 5y ?? ?? 求响应 ()yt
解：对方程两边做单边拉氏变换：
2 ( ) ( 0 ) ( 0 )
2
3 [ ( ) ( 0 )] 2 ( )
s s s y y
s s y s
s
??
?
???? ? ? ???
? ? ? ? ?
代入 (0 ) 3,y ? ? ( 0 ) 5y ?? ?? 可得,
2 2 2
3 ( 3 ) 5 2
()
3 2 3 2 ( 3 2 )
s
s
s s s s s s s
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
零输入响应 零状态响应
2
22
3 4 2 3 4 2()
3 2 ( 3 2) ( 1 ) ( 2)
s s ss
s s s s s s s s
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1 3
12s s s? ? ???
2( ) ( 1 3 ) ( )tty t e e u t??? ? ? ?
其中，第一项为 强迫响应,其它为 自然响应。
9.10 小结 Summary
? ROC 是双边拉氏变换的重要概念。离开了收
敛域 ROC,信号与双边拉氏变换的表达式将不再
有一一对应的关系。
? 拉氏变换是傅氏变换的推广，在 LTI系统分析
中特别有用。它可以将微分方程变为代数方程，
这对分析系统互联、系统结构、用系统函数表征
系统、分析系统特性等都具有重要意义。
?作为拉氏变换的几何表示，零极点图对分析系
统的频率特性、零极点分布与系统特性的关系具
有重要意义。从本质上讲，系统的特性完全是由
系统函数的零极点分布决定的。
?作为双边拉氏变换的特例，单边拉氏变换特别
适用于分析增量线性系统。
?拉氏变换的许多性质对于在变换域分析 LTI系
统，具有重要作用。
THE LAPLACE TRANSFORM
4,双边拉普拉斯变换的性质；
本章基本内容：
1,双边拉普拉斯变换；
2,双边拉普拉斯变换的收敛域；
5,系统函数；
6,单边拉普拉斯变换；
3,零极点图；
9.0 引言 Introduction
傅里叶变换是以复指数函数的特例 和
为基底分解信号的。对更一般的复指数函数
和,也理应能以此为基底对信号进行分解。
jte? jne?
ste
nz
傅里叶分析方法之所以在信号与 LTI系统分析
中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号
都可以表示成复指数信号的线性组合，而 复指数
函数是一切 LTI 系统的特征函数。
通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和 Ｚ 变
换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不
仅能 解决 用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统
分析问题，而且还能 用于 傅里叶分析方法不适用的
许多方面。 拉普拉斯变换与 Ｚ 变换的分析方法是傅
里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下
一章要讨论的中心问题。
9.1 拉普拉斯变换
复指数信号 是一切 LTI系统的特征函数。
如果 LTI系统的单位冲激响应为,则系统对
产生的响应是,
ste
()ht
ste
( ) ( ) sty t H s e? ( ) ( ) stH s h t e dt? ?
??? ?
，其中
显然当 时，就是连续时间傅里叶变换。sj??
The Laplace Transform
一,双边拉氏变换的定义：
( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?
称为 的 双边拉氏变换,其中 。()xt sj????
若, 则有,0? ? sj??
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
这就是 的傅里叶变换。()xt
表明,连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
在 或是在 轴上的特例。0? ?
j?
( ) ( ) [ ( ) ]t j t t j tX s x t e e d t x t e e d t? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?????
[ ( ) ]tx t e ??? F[
由于
所以 拉氏变换是对傅里叶变换的推广, 的
拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合
适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利
条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信
号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表
明 拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
()xt
te ??
() tx t e ??
?
( ) ( )atx t e u t??
例 1.
()
00
1() a t s t s a tX s e e d t e d t
sa
??? ? ? ?? ? ?
???
R e [ ]sa??在 时，积分收敛。
当 时,的傅里叶变换存在()xt0a?
0
1() a t j tX j e e d t
aj
??
?
? ????
??
( 0)a ?
显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为
，包括了 （即 轴）。
0a?
R e [ ]sa?? 0?? j?
比较 和,显然有
()Xj?()Xs
( ) ( )sjX s X j? ?? ?
当 时,( ) ( ) ( )atx t e u t u t???0a ?
1()ut
s?
可知 R e[ ] 0s ?
例 2,( ) ( )atx t e u t?? ? ?
00 () 1() a t s t s a tX s e e d t e d t
sa
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ??? R e [ ]sa??
与例 1.比较，区别仅在于收敛域不同。
由以上例子，可以看出,
1,拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。 并
非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上
的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2,使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称
为拉氏变换的收敛域 。 拉氏变换的收敛域 ROC
（ Region of Convergence）对拉氏变换 是非常重
要的概念。
3,不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达
式，只是它们的收敛域不同。
j?
( ) ( ) sjX j X s ?? ??
5,如果拉氏变换的 ROC包含 轴，则有
4,只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才
能和信号建立一一对应的关系 。
二, 拉氏变换的 ROC及零极点图：
2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t????例 3.
2
00()
t s t t s tX s e e d t e e d t??? ? ? ?????
1( ),
1
te u t
s
? ?
?
R e[ ] 1s ??
2 1( ),
2
te u t
s
? ?
?
R e [ ] 2s ??
1? ?
?j
2? ?
?j
可见,拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部
分。 ROC总是以平行于 轴的直线作为边界的，
ROC的边界总是与 的分母的根相对应的。
j?
()Xs
R e [ ] 1s ??
若 是有理函数()Xs ()()()
( ) ( )
i
i
i
i
s
Ns
X s M
D s s
?
?
?
??
?
?
?
?
?j
2? 1?
2
1 1 2 3( ),
1 2 3 2
sXs
s s s s
?? ? ? ?
? ? ? ?
分子多项式的根称为 零点,分母多项式的根
称为 极点 。
将 的全部零点和极点表示在 S平面上，
就构成了 零极点图 。零极点图及其收敛域可以
表示一个,最多与真实的 相差一个常
数因子 。
()Xs
()Xs
()Xs
M
因此,零极点图是拉氏变换的图示方法 。
9.2 拉氏变换的收敛域
? 可以归纳出 ROC的以下性质：
The Region of Convergence for Laplace Transforms
j?4,右边信号的 ROC位于 S平面 内一条平行于
轴的直线的右边。
3,时限信号的 ROC是整个 S 平面。
2,在 ROC内无任何极点。
j?1,ROC是 S 平面上平行于 轴的带形区域。
0() t
T x t e dt
?? ? ???
若,则
10??? 1() t
T x t e dt
?? ??
0 1 0
1 0 0
()
()
()
()
tt
T
Tt
T
x t e e d t
e x t e d t
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
1?
表明 也在收敛域内。
若 是右边信号,,在 ROC内,
则有 绝对可积，即：
0?
0() tx t e ??
()xt Tt? ? ?
5,左边信号的 ROC位于 S平面内一条平行于
轴的直线的左边。
j?
若 是左边信号，定义于,在
ROC 内，,则
10???
0?()xt ?(,T??
0 1 01 ()( ) ( )
TT tttx t e d t x t e e d t? ? ?? ? ? ??
? ? ? ????
1 0 0() ()
TTte x t e dt? ? ?? ? ?
??? ? ??
1?表明 也在收敛域内。
6,双边信号的 ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 轴的带形区域。j?
0
( ) ( )
0
()
1
[ 1 ]
T
at st
T
s a t s a T
X s e e dt
e dt e
sa
??
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
例 1,?
()xt ?
ate?
0 其它
0 tT??
t
考查零点，令 () 1s a Te ?? ?
例 2,() btx t e ??
( ) ( ) ( )b t b tx t e u t e u t?? ? ?
有极点 sa??()Xs
显然 在 也有一阶零点，由于零极
点相抵消，致使在整个 S平面上无极点。
sa??()Xs
2s a j k
T
?? ? ?得 （ k为整数）
当 时，上述 ROC有公共部分，0b?
11()Xs
s b s b????
R e [ ]b s b? ? ?
当 时，上述 ROC 无公共部分，表明
不存在。
0b? ()Xs
1( ),bte u t
sb? ? ? ?
R e [ ]sb??
1( ),bte u t
sb
? ?
?
R e [ ]sb??
b? ?
?j
b
当 是有理函数时，其 ROC总是由 的
极点分割的。 ROC必然满足下列规律：
()Xs ()Xs
3,双边信号的 ROC可以是任意两相邻极点之间
的带形区域。
()Xs2,左边信号的 ROC一定位于 最左边极点
的左边。
()Xs1,右边信号的 ROC一定位于 最右边极点
的右边。
例 3.
2
1
()
32
11
12
Xs
ss
ss
?
??
??
??
可以形成三种 ROC：
1) ROC：
2) ROC：
3) ROC：
R e[ ] 2s ??
R e[ ] 1s ??
2 R e [ ] 1s? ? ? ?
?
?j
1?2?
()xt此时 是 右边信号 。
()xt此时 是 左边信号 。
()xt此时 是 双边信号 。
The Inverse Laplace Transform
一,定义,由
( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?
若 在 ROC内，则有,sj????
( ) ( ) [ ( ) ]t j t tX j x t e e dt x t e? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? F[
1( ) ( )
2
t j tx t e X j e d?? ? ? ?
?
??
??
? ? ??
11( ) ( ) ( )
22
t j t s tx t X j e e d X s e d??? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ???
9,3 拉普拉斯反变换
当 从 时,从? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?
由 sj???? ds jd??得
拉氏反变换表明,
可以被分解成复振幅为
的复指数信号 的线性组合。
()xt 1 ()
2 X s dsj?
ste
1( ) ( )
2
j st
j
x t X s e d sj ?
??
??
??
?? ?
的反变换
()Xs
二,拉氏反变换的求法,
对有理函数形式的 求反变换一般有两种方
法,即 部分分式展开法 和 留数法 。
()Xs
1,将 展开为部分分式。()Xs
? 部分分式展开法：
3,利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,
对每一项进行反变换。
()Xs
2,根据 的 ROC，确定每一项的 ROC 。
1,2ss? ? ? ?极点：
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
1()
( 1 ) ( 2)Xs ss? ??
例 1.
右边信号
1?2? ?
j?
左边信号
1?2? ?
j?
双边信号
1?2? ?
j?
例 2,1
() ( 1 ) ( 2)Xs ss? ?? R O C, 2 R e [ ] 1s? ? ? ?
11()
12Xs ss????
1, R e [ ] 1 ( )R
1 OC
ts e u t
s
?? ? ? ? ? ?
?
21, R e [ ] 2R O C ()
2
ts e u t
s
?? ? ? ?
?
2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t??? ? ? ? ?
1,求出 的全部极点。()Xs
? 留数法 （当 是有理函数时）：()Xs
() stX s e
()xt
3,求出 在 ROC 右边的所有极点处的留
数之和，并加负号，它们构成了 的反因果
部分。
() stX s e
()xt
2,求出 在 ROC 左边的所有极点处的留
数之和，它们构成了 的因果部分。
例 3.
? ? ? ?
1()
12Xs ss? ??
,2 R e [O 1R ]C s? ? ? ?
12( ) R e s[ ( ),] R e s[ ( ),]st stx t X s e s X s e s? ? ?
12
2
11
( ) ( )
21
( ) ( )
st st
ss
tt
e u t e u t
ss
e u t e u t
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
? ? ? ?
()Xs 的极点 位于 ROC的右边,位
于 ROC的左边。
2 2s ??1 1s ??
? 可以用零极点图表示 的特征 。当 ROC包
括 轴时，以 代入,就可以得
到 。以此为基础可以用几何求值的方法
从零极点图求得 的特性。这在定性分析
系统频率特性时有很大用处。
()Xs
j? sj??
()Xj?
()Xj?
()Xs
Geometric Evaluation of the Fourier Transform
from the Pole-Zero Plot
9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值
()X s s a??1,单零点情况：
矢量 称为 零点矢量,它的长度
表示,其幅角即为 。
1()Xs1()Xs
1sa? 1||sa?
1s
a0 a?
1s
j?
?
零点,要求出 时的,可以
作两个矢量 和,则 。
1ss?
11( ) ( )X s s a??
1()Xs
1s a
sa?
1sa?
1( ),Xs
sa? ?
极点 sa?
1
1
1()Xs
sa
?
?
? ?11()X s s a? ? ?
直接由极点向 点作矢量（称为 极点矢量 ），
其长度的倒量为,幅角的负值为 。
1s
1()Xs 1()Xs
2,单极点情况：
1s
a0 a?
1s
j?
?1sa?
因此有,
1
1
1
()
i
i
i
i
s
X s M
s
?
?
?
?
?
?
?
对有理函数形式的
()Xs
? ?
? ?
()
()
()
i
i
i
i
s
Ns
X s M
D s s
?
?
?
??
?
?
?
? ?
? ?
1
1
1
()
i
i
i
i
s
X s M
s
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?1 1 1() ii
ii
X s s s??? ? ? ???
3,一般情况：
即：从所有零点向 点作 零点矢量,从所有极
点向 点作 极点矢量 。所有零点矢量的长度之积
除以所有极点矢量的长度之积即为 。所有
零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之
和即为 。
1s
1()Xs
1()Xs
1s
当 取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的
几何求值。 考查 在 轴上移动时所有零、极
点矢量的长度和幅角的变化,即可得出 的
幅频特性和相频特性。
1s
1s
j?
j?
()Xj?
例 1,一阶系统：
1( ) ( ),th t e u t?
?
??
1/( ),
(1 / )Hs s
?
?? ?
1R e [ ]s
???
() ( ) ( )d y t y t x t
dt? ??
随着, 单调下降，?? ()Hj?
1?
??
时,下降到最大值的 1
2
最大值在 时取得。0??
?
j?
1/??
1
1/?
?
| ( ) |Hj?
1/ 2
相位特性：当 时,( ) 0Hj ? ?0? ?
随着, 趋向于 。
()Hj?
()Hj???
??
/2??
/2?则 趋向 于 。
1/?
1/??
()Hj?
例 2,二阶系统：
? ?12( ) ( ),c t c th t M e e u t??
2
1,2 1nnc ? ? ? ?? ? ? ?
221
nM ?
?
?
?
2
22
2
( ) ( )2 ( ) ( )
()n n n
d y t dy t y t x t
dt dx t? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
22
22
12
()
2
nn
nn
Hs
s s s c s c
??
? ? ?
??
? ? ? ?
1? ? 1? ?
1 / 2? ? 1/ 2? ?
21nj??? 21nj???
n???
221n?? ?
1,当 时,有两个实数极点，此时系
统处于 过阻尼状态 。 起主要作用。随着,
两极点相向移动，向 处靠拢。
n???
1c
1?? ()Hs
??
2,当 时，两极点重合于 处，成为二
阶极点。系统处于 临界阻尼状态 。
1? ? n??
3,进一步减小，则二阶 极点分裂为 共轭复数
极点,且随 的减小而逐步靠近 轴。极点运
动的轨迹 —— 根轨迹是一个半径为 的圆周 。
?
j?
n?
?
此时系统处于 欠阻尼状态,随着,位于第 2
象限的极点矢量比第 3 象限的极点矢量更短，因
此它对系统特性的影响较大（被称为 主极点 ）。
??
当 时，由于该极点矢量变得很短，因而
会使 出现峰值。其峰点位于 处，
1/ 2? ?
()Hj? 212n???
m a x 2
1()
21
Hj ?
??
?
?
峰值为
在 时，若认为 主极点矢量 增长 倍
时，对应的频率是系统带宽的截止频率，则可以
近似确定此时的系统带宽约为 。
1 / 2? ? 2
2 n??
n???
2 n??21n???
j?
?
0
4,当 时，两极点分别位于 轴上的
处，此时系统处于 无阻尼状态 。
0? ? j? nj??
系统的相位特性也可以从零极点图得到。此
时，只需考察当动点沿 轴移动时所有极点
矢量和所有零点矢量的幅角变化，用所有零点
矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和，
即可得到系统的相位特性。
j?
例 3,全通系统：
考查零极点对称分布的系统
() saHs sa?? ? （一阶全通系统 ）
? 该系统的 在任何时候都等于 1，所以
称为 全通系统 。
()Hj?
| ( ) |Hj?
?
1
j?
aa?
j?
?1?
?其相位特性
1 1 1( ) ( ) 2Hj ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
全通系统的零极点分布呈四角对称特征 。
?
j?
三阶全通系统
全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。
例 4,最小相位系统：
考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关
于 轴对称。其中一个系统的零点均在左半平
面，另一个系统的零点均在右半平面。
j?
j? j?
显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零
点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半
平面的系统。因此将 零极点均位于左半平面的
系统称为最小相位系统。
工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，
如,Butterworth, Chebyshev,Cauer滤波器
都是最小相位系统。
当工程应用中要求实现一个非最小相位系统
时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通
系统级联来实现。
从本质上讲 系统的特性是由系统的零、极点
分布决定的 。对系统进行优化设计，实质上就
是优化其零、极点的位臵。
最小相位系统 全通系统
j?
?
最小相位系统
j?
?
全通系统
j?
?
非最小相位系统
Properties of the Laplace Transform
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a X s b X s? ? ?
则
ROC至少是
12RR
9.5 拉氏变换的性质
? 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的
性质。这里只着重于 ROC的讨论。
1,线性（ Linearity ）：
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
若
1
12( ) 1,
11
sXs
ss
?? ? ?
??
R O C, 1? ??
2
1( ),
1Xs s
??
?
R O C, 1? ??
? ?12( ) ( ) 1x t x t t?? ? ?
而
ROC扩大为整个 S平面。
? 当 与 无交集时，表明 不存在。
1R 2R ()Xs
例,
? ? ? ?1 () tx t t e u t? ??? ? ?2 () tx t e u t???
（原因是出现了
零极点相抵消的
现象）
2,时移性质（ Time Shifting）,
( ) ( ),x t X s? ROC, R若
00( ) ( ),stx t t X s e ???
ROC不变则
3,S域平移（ Shifting in the s-Domain）,
( ) ( ),x t X s? ROC, R若 则
0 0( ) ( ),stx t e X s s?? 0ReR O C ],[Rs?
表明 的 ROC是将 的 ROC平移了
一个 。这里是指 ROC的边界 平移 。
0()X s s? ()Xs
0Re[ ]s
例, ? ?( ),
tx t e u t??
1( ),
1Xs s? ?
1? ??
? ?23()
1
( 2 )
3
ttx t e e u t
Xs
s
????
??
?
显然 R O C, 3? ??
R e [ ]s a R? ? ?
4,时域尺度变换（ Time Scaling）,
ROC, R( ) ( ),x t X s?若
1( ) ( )sx at X
aa?
R O C, aR则
例, ? ? 1( ) ( ),
1
tx t e u t X s
s
?? ? ?
?
1? ??
? ?2()2
tt
x e u t??
求 的拉氏变换及 ROC
当 时 收敛,时 收敛R??
()sX a
R?Re[ ]s
a()Xs
12( ),
1 21
2
Xs
ss
??
??
1R O C,
2? ??
可见,若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的
ROC在 S平面上作相反的尺度变换。
( ) ( ),x t X s? ? ? R O C, R?特例
5,共轭对称 性 （ Conjugation）：
( ) ( ),x t X s? ? ?? ROC, R
( ) ( ),x t X s? ROC, R若 则
如果 是实信号，且 在 有极点（或零
点），则 一定在 也有极点（或零点）。这
表明,实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭
成对出现。
()xt ()Xs 0s
()Xs 0s?
当 为实信号时，有：()xt ( ) ( )x t x t? ?
由此可得以下重要结论：
( ) ( )X s X s???? ( ) ( )X s X s???或
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t X s X s?? ROC,12RR
包括
6,卷积性质,（ Convolution Property）
11( ) ( ),x t X s? 1RO C, R
22( ) ( ),x t X s? 2RO C, R
若
则
12 1RR ?? ? ?
显然有,
例,
1
1( ),
1Xs s? ?
? ? ? ?2
1( ),
23
sXs
ss
??
??
1R O C, 1R ?? ? ?
2R O C, 2R ?? ? ?
? ? ? ?12
1( ) ( ),
23X s X s ss? ??
2,? ?? ROC扩大
原因是 与 相乘时，发生了零极点相
抵消的现象。当被抵消的极点恰好在 ROC的边
界上时，就会使收敛域扩大。
2()Xs1()Xs
7,时域微分,（ Differentiation in theTime Domain）
() ( ),d x t s X s
dt ?
( ) ( ),x t X s? ROC, R
ROC包括 R,有可能扩大。
若
则
8,S域微分,（ Differentiation in the s-Domain）
( ) ( ),x t X s?
()( ),d X stx t
ds??
若
则
ROC, R
ROC, R
2
1()
()Xs sa? ?
R O C, a? ??例, 求 ()xt
2
11 ()
()
d
s a ds s a????
( ) ( )atx t te u t???
9,时域积分,（ Integration in the Time Domain ）
( ) ( ),x t X s? ROC, R若
1( ) ( )t x d X s
s???? ??
ROC, 包括 ( R e [ ] 0 )Rs ?
则
( ) ( ) ( )t x d x t u t??
??
???
1( ) ( )t x d X s
s???????
ROC, 包括
( R e [ ] 0 )Rs ?
如果 是因果信号，且在 不包含奇异
函数，则
()xt 0t?
(0 ) li m ( )sx s X s? ???
—— 初值定理
( ) ( ) ( )x t x t u t??
0t ? ( ) 0xt ?时,且在 不包含奇异函数。0t?
Proof:
将 在 展开为 Taylor级数有：()xt 0t ??
10,初值与终值定理,
（ The Initial- and Final- Value Theorems)
2
()( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) ( )
2!
n
nttx t x x t x x u t
n
? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ???
??
对上式两边做拉氏变换：
()
21
1 1 1( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )n
nX s x x xs s s
? ? ?
??? ? ? ? ?
()
1
0
1( 0 )n
n
n
x s
?
?
?
?
? ?
l i m ( ) (0 )s s X s x ?????
如果 是因果信号，且在 不包含奇异
函数,除了在 可以有单阶极点外，其
余极点均在 S平面的左半边，则
()xt 0t?
()Xs 0s?
0li m ( ) li m ( )tsx t s X s? ? ??
—— 终值定理
00
0 0
()
()
( ) ( )
s t s t
s t s t
d x t
e d t e d x t
dt
x t e s x t e d t
??
? ?
??
??
?
? ? ?
?
??
??
?
是因果信号，且在 无奇异函数,()xt 0t?证,
的实部 可以大于零，因此s ?
0( ) ( 0 )
stx t e x
?
? ? ???
除了在 可以有一阶极点外，其它
极点均在 S平面 的左半平面（即 保证 有终
值 ）,故 的 ROC中必包含 轴。表明：
()Xs 0s?
()xt
()sX s j?
0
() ( 0 ) ( )std x t e d t x s X s
dt?
? ??? ? ? ?? 当 时，0s?
00
() ( ) l i m ( ) (0 )st
t
d x t e d t d x t x t x
dt??
?? ??
??
? ? ???
0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ???
极点在 S平面的分布与信号终值的关系
Some Laplace Transform Pairs
9.6 常用拉氏变换对
S
1
()ate u t? as ?
1
()nt u t 1
!
?ns
n
)(t? 1
)( 0tt ?? 0ste?
()ut
Analysis and Characterized of LTI Systems
Using the Laplace Transform
一, 系统函数的概念：
以卷积特性为基础，可以建立 LTI系统的拉
氏变换分析方法，即
( ) ( ) ( )Y s X s H s??
其中 是 的拉氏变换，称为 系统函数
或 转移函数、传递函数 。
()Hs ()ht
9.7 用拉氏变换分析与表征 LTI系统
( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ???
这就是 LTI系统的傅里叶分析。 即是系统
的 频率响应 。
()Hj?
这些方法之所以成立的本质原因在于 复指数函
数是一切 LTI系统的特征函数 。当以 为基底
分解信号时,LTI系统 对输入信号的响应就是
jte ?
如果 的 ROC包括 轴，则 和 的
ROC必定包括 轴，以 代入，即有j?
()Xs ()Hsj?
sj??
()Ys
连同相应的 ROC也能完全描述一个 LTI系
统。系统的许多重要特性在 及其 ROC中一定
有具体的体现。
()Hs
()Hs
( ) ( )X j H j??? ste
( ) ( )X s H s?； 而以 为基底分解信号时，系
统的输出响应就是 。
二, 用系统函数表征 LTI系统：
1,因果性：
如果 时,则 系统是因果的 。0t? ( ) 0ht ?
如果 时,则 系统是反因果的 。
( ) 0ht ?0t?
因此,因果系统 的 是右边信号，其
的 ROC必是最右边极点的右边 。由于 反因果系
统 的 是左边信号,的 ROC必是最左
边极点的左边。
()Hs()ht
()ht ()Hs
应该强调指出，由 ROC的特征，反过来并不
能判定系统是否因果。 ROC是最右边极点的右
边并不一定系统因果。
2,稳定性：
如果系统稳定，则有 。因
此 必存在。意味着 的 ROC必然包
括 轴。
()h t d t??? ???
()Hs()Hj?
j?
()Hs
只有 当 是有理函数时，逆命题才成立。
综合以上两点，可以得到,因果稳定系统
的,其全部极点必须位于 S平面的左半边。()Hs
例 1,某系统的
显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。
2( ) ( ) ( )tth t e u t e u t????
2
1 1 2 3( ),
1 2 3 2
sHs
s s s s
?? ? ?
? ? ? ?
R O C, R e [ ] 1s ??
显然,ROC是最右边极点的右边。
ROC包括 轴j? ? 系统也是稳定的。
的全部极点都在 S平面的左半边。()Hs
例 2,若有
( ),1
se
Hs s? ? R e[ ] 1s ??
的 ROC是最右边极点的右边，但
是非有理函数，,系统是非因
果的。
()Hs ()Hs
( 1 )( ) ( 1 )th t e u t????
由于 ROC包括 轴，该系统仍是稳定的。j?
而对系统
( ),1
se
Hs s
?
? ? R e[ ] 1s ??
仍是非有理函数,ROC是最右边极点的右
边,但由于,系统是因果的。
()Hs
( 1 )( ) ( 1 )th t e u t????
结 论：
1,如果 LTI系统的 系统函数是有理函数,且全部
极点位于 S平面的左半平面，则系统是因果、
稳定的。
2,如果 LTI系统的 系统函数是有理函数,且系统
因果，则系统函数的 ROC是最右边极点的右
边。若系统反因果，则系统函数的 ROC是最
左边极点的左边。
3.如果 LTI系统是稳定的，则系统函数的 ROC必然
包括 轴。j?
三, 由 LCCDE描述的 LTI系统的系统函数：
对
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
做拉氏变换，可得
0
0
( ) ( )
( ),
( ) ( )
N
k
k
k
N
k
k
k
bs
Y s N s
Hs
X s D s
as
?
?
? ? ?
?
?
是一个有理函数
的 ROC需要由系统的相关特性来确定。()Hs
1）如果 LCCDE具有一组全部为零的初始条件，
则 的 ROC必是最右边极点的右边。()Hs
2）如果已知 LCCDE描述的系统是因果的，则
的 ROC必是最右边极点的右边。()Hs
3）如果已知 LCCDE描述的系统是稳定的，则
的 ROC 必包括 轴。()Hs j?
四,系统特性与系统函数的关系,
自学。请关注例 9.25,9.26,9.27
五, Butterworth滤波器,
通常 Butterworth滤波器的特性由频率响应的
模平方函数给出。对 N阶 Butterworth低通滤波
器有：
? ?
2
2
1()
1/ Nc
Bj ?
??
?
?
（ N为滤波器的阶数）
由于 2( ) ( ) ( )B j B j B j? ? ???
Butterworth滤波器的冲激响应应该是实信号，
( ) ( )B j B j???? ? ?
将 函数拓展到整个 S平面有：2()Bj?
2
1( ) ( )
1 ( / ) NcB s B s sj ??? ?
共有 2N个极点
1
2( 1 ) ( ) kjsN
k c ks j s e?? ? ?
( 0,1,,2 1 )kN??
表明 N阶 Butterworth低通滤波器模平方函数的
全部 2N个极点均匀分布在半径为 的圆周上 。
c?
极点分布的特征：
? 极点分布总是关于原点对称的。
/N?? 相邻两极点之间的角度差为 。
j?? 轴上不会有极点。当 N为奇数时在实轴上
有极点,N为偶数时实轴上无极点。
c?
? 2N个极点等间隔均匀分布在半径为 的圆周
上。
要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此
位于左半平面的 N个极点一定是属于 的。()Bs
()Bs
据此，确定出 后，也就可以综合出一个
Butterworth 滤波器。
9.8 系统函数的代数属性与方框图表示
System Function Algebra and Block Diagram
Representations
一,系统互联时的系统函数：
1,级联：
12( ) ( ) ( )H s H s H s??
ROC, 12RR包括
3,反馈联结：
1 ( ) ( ) ( ) ( )X s X s G s Y s??
11( ) ( ) ( )Y s X s H s?
1[ ( ) ( ) ( ) ] ( )X s G s Y s H s??
2,并联：
12( ) ( ) ( )H s H s H s??
ROC:
12RR
包括
1
1
( ) ( )()
( ) 1 ( ) ( )
Y s H sHs
X s G s H s? ? ? ?
ROC,12RR包括
二, LTI系统的级联和并联型结构,
LTI系统可以由一个 LCCDE来描述。
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt??
???
对其进行拉氏变换有：
00
( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a s Y s b s X s
??
???
0
0
( ) ( )
()
( ) ( )
N
k
k
k
N
k
k
k
bs
Y s N s
Hs
X s D s
as
?
?
? ? ?
?
?
是一个有理函数()Hs
1,级联结构：
将 的分子和分母多项式因式分解()Hs
? ?
? ?
2
2
10
11
2
2
10
11
()
()
()
P N P
k k k
N k k
Q N Q
N
k k k
kk
s s s
b
Hs
a
s s s
? ? ?
? ? ?
?
??
?
??
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
??
这表明,一个 N阶的 LTI系统可以分解为若干
个二阶系统和一阶系统的级联。在 N为偶数时，
可以全部组合成二阶系统的级联形式。
2
1
( ) ( )
N
N
k
kN
bH s H s
a ?
?? ?
2
10
2
10
() kkk
kk
ssHs
ss
??
??
???
??
其中
如果 N为奇数，则有一个一阶系统出现。
2,并联结构：
将 展开为部分分式 (假定 的分子阶
数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的），
则有：
()Hs ()Hs
1
()
N
Nk
kNk
bAHs
as ???? ??
将共轭成对的复数极点所对应的两项合并,
2
10
2
11 10
()
Q N Q
N k k k
kkN k k k
b s AHs
a s s s
??
? ? ?
?
??
?? ? ?
? ? ???
2
1
()
N
N
k
kN
b Hs
a ??? ?
（ N为偶数时）
N为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二
阶项，由此可得出系统的并联结构：
The Unilateral Laplace Transform
单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是
因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析
LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。
一,定义,
0( ) ( )
sts x t e d t?
?
? ?? ?
如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换
和做单边拉氏变换是完全相同的。
()xt
9.9 单边拉普拉斯变换
单边拉氏变换也同样存在 ROC 。其 ROC必然
遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即,一定
位于最右边极点的右边。
正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一
般不再强调其 ROC。
1( ) ( )
2
j st
j
x t s e d sj ?
?
?? ??
??
? ?
单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的
反变换相同。
做单边拉氏变换：
( 1 )
0
()
0
()
1
a t st
a s a t a
s e e dt
e e dt e
sa
?
?
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
?
??
?
?
? R e[ ]sa??
例 1,( 1 )( ) ( 1 )atx t e u t????
做双边拉氏变换：
1() sX s e
sa? ?
R e [ ]sa??
例 2,2 3()
2
ss
s?
??
?
1( ) 2
2ss s? ??? ?
21( ) ( ) 2 ( ) ( )tx t u t t e u t? ?? ? ? ?
与 不同，是因为 在 的部分
对 有作用，而对 没有任何作用所致。()s?
()xt 0t?()s?()Xs
()Xs
由于其 ROC为 2? ??
二,单边拉氏变换的性质,
单边拉氏变换的大部分性质与双边拉氏变换
相同，但也有几个不同的性质。
1,时域微分（ Differentiation in the Time Domain）
( ) ( )x t s??若 () ( ) (0 )d x t s s x
dt ?
???
则
000
() ( ) ( ) ( ) (0 )s t s t s td x t e d t x t e s x t e d t s s x
dt ????
?? ? ? ? ? ?? ? ? ???
2
2
2
() ( ) ( 0 ) ( 0 )d x t s s sx x
dt ?
?? ?? ? ?
2,时域积分（ Integration in the Time Domain）
011( ) ( ) ( )t x d s x d
ss? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
????
0
0( ) ( ) 0() )
ttx d x tx d d? ? ? ? ? ??
?? ? ? ??? ?? ? ? （
0
0 0 0
( ) ( ) ( ( ) )tt s t s tx d x d e d t x d e d t? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
????
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ?
0
000
11( ) ( ) ( )st t stex d x d x t e d t
s s s? ? ? ?
?
???
? ?
??
??
? ? ?? ? ?
011( ) ( )x d s
ss? ? ?
?
??
???
3.时延性质（ Time Shifting）
是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性
与双边变换时一致。
()xt
不是因果信号时，()xt
0
0
()
00 0( ) ( ) ( )
stst
tx t t x t t e d t x e d
???
?
?? ???
?? ? ? ???
( ) ( ) ( )x t u t s??
000( ) ( ) ( ) stx t t u t t s e? ?? ? ?则 0( 0)t ?
若
00
00( ) ( )
tst sts e x t t e d t?
?
? ?? ? ??
00
0
0 ( ) ( )
0( ) ( )
s t s t
t x e d x e d
??? ? ? ?
?
?
?? ? ? ?
?????
三,利用单边拉氏变换分析增量线性系统,
单边拉氏变换特别适合于求解由 LCCDE描述
的增量线性系统。
例,某 LTI系统由微分方程描述
2
2
( ) ( )3 2 ( ) ( ),d y t d y t y t x t
d t d t? ? ?
( ) 2 ( ),x t u t?
(0 ) 3,y ? ? (0 ) 5y ?? ?? 求响应 ()yt
解：对方程两边做单边拉氏变换：
2 ( ) ( 0 ) ( 0 )
2
3 [ ( ) ( 0 )] 2 ( )
s s s y y
s s y s
s
??
?
???? ? ? ???
? ? ? ? ?
代入 (0 ) 3,y ? ? ( 0 ) 5y ?? ?? 可得,
2 2 2
3 ( 3 ) 5 2
()
3 2 3 2 ( 3 2 )
s
s
s s s s s s s
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
零输入响应 零状态响应
2
22
3 4 2 3 4 2()
3 2 ( 3 2) ( 1 ) ( 2)
s s ss
s s s s s s s s
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 1 3
12s s s? ? ???
2( ) ( 1 3 ) ( )tty t e e u t??? ? ? ?
其中，第一项为 强迫响应,其它为 自然响应。
9.10 小结 Summary
? ROC 是双边拉氏变换的重要概念。离开了收
敛域 ROC,信号与双边拉氏变换的表达式将不再
有一一对应的关系。
? 拉氏变换是傅氏变换的推广，在 LTI系统分析
中特别有用。它可以将微分方程变为代数方程，
这对分析系统互联、系统结构、用系统函数表征
系统、分析系统特性等都具有重要意义。
?作为拉氏变换的几何表示，零极点图对分析系
统的频率特性、零极点分布与系统特性的关系具
有重要意义。从本质上讲，系统的特性完全是由
系统函数的零极点分布决定的。
?作为双边拉氏变换的特例，单边拉氏变换特别
适用于分析增量线性系统。
?拉氏变换的许多性质对于在变换域分析 LTI系
统，具有重要作用。
