第 5章 离散时间傅立叶变换
The Discrete-Time Fourier Transform
基 本 内 容
1,离散时间傅立叶变换；
2,常用信号的离散时间傅立叶变换对 ;
3,离散时间周期信号的傅立叶变换；
4,傅立叶变换的性质；
5,系统的频率响应与系统的频域分析方法 ；
?注释,
CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ):
连续时间傅立叶级数
DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ):
离散时间傅立叶级数
CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ),
连续时间傅立叶变换
DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ),
离散时间傅立叶变换
5.0 引言 Introduction
? 本章将采用与讨论 CTFT完全相同的思想方
法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问
题。
? DFS与 CFS之间既有许多类似之处，也有一
些重大差别：主要是 DFS是一个有限项级数，
其系数 具有周期性 。
ka
? 在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散
时间非周期信号的频域描述时，可以看到，
DTFT与 CTFT既有许多相类似的地方，也同时
存在一些重要的 区别。
? 抓住它们之间的相似之处并关注其差别，
对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重
要意义。
5.1 非周期信号的表示
Representation of Aperiodic Signals,The
Discrete-time Fourier Thransform
一, 从 DFS到 DTFT:
在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,
我们看到：
当信号周期 增大时，频谱的包络形状不变，
幅度减小，而频谱的谱线变密。
N
k
k
k
1 2
20
N
N
?
?
1 2
40
N
N
?
?
1 2
10
N
N
?
?
kNa
因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频
谱应该是一个连续的频谱。
当 时，有,将导致
信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。
N ?? 0 ( 2 / ) 0N????
从时域看,当周期信号的周期 时,周
期序列 就变成了一个非周期的序列。
N ??
当 时 令 2
lim jk
N
N k N a X eN ?? ?
??
? ? ?, （ ）
22 1
( ),( )j k n j k nNNkk
k N n N
x n a e a x n eN
?? ?
?? ? ?? ?
????
对周期信号 由 DFS有()xn
?
??
?? 2/
2/
2
)(~1
N
Nn
knNj
k enxNa
?即
jXe ? （）说明,显然 对 ? 是以 2? 为周期的。
DTFT
()j j n
n
X e x n e??
?
?
? ? ?
? ?（ ）
有,
kN
j
k eXNa ??
?
2)(
1
?
?
当 在一个周期范围内变化时,在 范围
变化，所以积分区间是 。
k 0k? 2?
2?
ka
将其与 表达式比较有
00( ) ( ),,,,N x n x n k d? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?，
当 时
于是, 00
00
0
0
12
( ) ( ),
1
()
2
j k j k n
kN
j k j k n
kN
x n X e e
NN
X e e
??
??
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
表明,离散时间序列可以分解为频率在 2π区间上
分布的、幅度为 的复指数分量的
线性组合。
?? ? deX j )(21
DTFT
对
?? ?
?
? deeXnx njj???
2
)(2 1)(
?
?
?
?
? deeXnx njj??
2
)(
2
1)(
?
?
??
?? njj enxeX ?? )()(
结论：
0
1()
1
j n j n
j
n
X e a e ae?? ?
?
?
?
?
?? ??
二,常用信号的离散时间傅立叶变换
2
1()
1 2 c o s
jXe
aa
?
?
?
??
通常 是复函数，用它的模和相位表示,()jXe?
1 s i n( ) t g
1 c o s
j aXe
a
? ?
?
???
?
1,( ) ( ),1
nx n a u n a??
01a?? 10a? ? ?
)()1()( nuanuanx nn ???? ?
?
??
?
?????
c o s21
1
1
1
1
)(
2
2
010
1
aa
a
aeae
ae
eaeaeaeaeX
jj
j
n
njn
n
njn
n
njn
n
njnj
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
????
由图可以得到,
时，高通特性,摆动指数衰减10a? ? ? xn（ ）
时，低通特性,单调指数衰减01a?? xn（ ）
( ),1nx n a a??
2.
可以得出结论,实偶序列 实偶函数
1
1
1si n ( 2 1 )
2()
si n
2
N
j j n
nN
N
X e e??
?
?
?
??
?
???
1,
()
0,
xn ?? ?
? 1
1
Nn
Nn
?
?
3.矩形脉冲,
当
1 2N ?
时，可得到,
有同样的结论,实偶信号 实偶函数
1s in ( 2 1 )1
,
s in
k
kN
Na
N k
N
?
?
?
?
两点比较,
1.与对应的周期信号比较
2
1 () j
k k
N
a X e
N
?
?? ??
显然有
关系成立
1si n( 2 1 ) 2
()
sin
2
j
N
Xe ?
?
?
?
?
2.与对应的连续时间信号比较
?
?
??
,0
,1
)(tx
1
1
Tt
Tt
?
?
1
11 s in2)(
T
TTjX
?
?? ?
如图所示,
1)()( ?? ?
?
???
? nj
n
j enxeX ??
)(n?
0
n
1
)( ?jeX
1
?? ?0
?
如图所示,
( ) ( )x n n??4.
三, DTFT的收敛问题
当 是无限长序列时，由于 的表达式
是无穷项级数，当然会存在收敛问题。
)jXe?（()xn
收敛条件有两组：
( ),
n
xn
?
? ??
??? )jXe?（
)jXe?（
2,则 存在，且级数一致收敛
于 。
)jXe?（
2
( ),
n
xn
?
? ? ?
???
1,则级数以均方误差最小的准则
收敛于 。
考察 的收敛过程，如图所示：()n?
?但随着 的振荡频率变高，起伏的
幅度趋小 ;
,( )W x n?
W ??
?当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出
现吉伯斯 (Gibbs)现象，也不存在收敛问题。
由图可以得到以下结论,
?当以部分复指数分量之和近似信号时，也会
出现起伏和振荡 ;
5.2 周期信号的 DTFT
002,jte ?? ? ? ???（）
对连续时间信号，有 由此
推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由
于 DTFT一定是以 为周期的，因此，频域的冲
激应该是周期性的冲激串，即
2?
022
k
k? ? ? ? ?
?
? ??
??? （）
对其做反变换有：
The Fourier Transform for Periodic Signals
0( ) ( ) 2 ( 2 )
j
k
k N l
x n X e a k l? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
0
022
jn
k
ke ?? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?? （）可见,
0
0
2( ),jk n
k
kN
x n a e N? ??
? ? ?
???
由 DFS有
()xn因此，周期信号 可用 DTFT表示为
0
2
2
0
0
1
( ) ( )
2
()
j j n
jnjn
x n X e e d
e d e
??
?
?
??
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
??? ???
???
l Nk
k
j lk
NaeX )2
2(2)( ??????
?
?
????
??????
?
??
???
??????
Nk
k
Nk
k
Nk
k
k
N
a
k
N
ak
N
a
)4
2
(2
)2
2
(2)
2
(2
?
?
???
?
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??????
?
??
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
1
0
)2(
2
2
)(
2
2)
2
(2
N
k
k
N
k
k
N
k
k
Nk
N
a
Nk
N
ak
N
a
?
???
?
???
?
???
（对 L 展开）
1 2 1
0
31
2
2
22
2 ( ) 2 ( )
2
2 ( )
NN
k k N
k k N
N
kN
kN
a k a k
NN
ak
N
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
??
?
??
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
?
?
?
???
??
k
k kNa )
2(2 ????
比较, 可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的
形式是完全一致的。
注意到 也以
为周期，于是有：
ka N
? ???
???
??????
k
j kkeX )2()2()(
00 ?????????
?
00
0
1( ) c o s ( ),
2
j n j nx n n e e??? ?? ? ?
例 1,它不一定是
周期的。 当
0
2 k
N
?? ? 时才具有周期性。
)( ?jeX
02 ?? ??
?2?
02 ?? ?? 0?? 0 0? 02 ?? ?
?2
02 ???
?
()?
? ?
如图所示,
NenNenxNa
njk
N
nNn
njk
k
1)(1)(1 00 1
0
??? ?
?
????
? ?? ?? ?
??
???
??
k
j k
NNeX )
2(2)( ?????
N?2? N?2
)( ?jeX
N?2
0
N?4? N?4
?
? ?
( ) ( )
k
x n n k N?
?
? ? ?
???
例 2.
比较,与连续时间情况下对应的相一致。
均匀脉冲串
)(nx
1
N? 0 NN2? N2 n
? ?
5.3 离散时间傅立叶变换的性质
DTFT也有很多与 CTFT类似的性质，当然也有
某些明显的差别。
通过对 DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时
域和频域特性之间的关系。
一、周期性 (periodic)：
比较,这是与 CTFT不同的。
Properties of the Discrete-Time Fourier Transform
( 2 )( ) ( )jjX e X e? ? ?? ?
则若
jx n X e ??（ ） （ ）,
)()()()( 2121 ?? jj ebXeaXnbxnax ???
二, 线性 (linearity):
三, 时移与频移 (shifiting):
00 ()( ) ( )j n jx n e X e? ? ???
( ) ( ),jx n X e ??若 则
00( ) ( ) jnjx n n X e e ?? ???
时移特性
频移特性
四, 时域反转 (reflaction):
( ) ( )jx n X e ????若 则( ) ( ),jx n X e ??
五, 共轭对称性 (symmetry properties):
)()(),()( ** ?? jj eXnxeXnx ???若 则
由此可进一步得到以下结论,
R e ( ) R e ( )
I m ( ) I m ( )
jj
jj
X e X e
X e X e
??
??
?
?
? ? ? ? ??? ? ? ? ?
?
? ? ? ???? ? ? ? ??
)()(),()( ** ???? jjjj eXeXeXeX ?? ??? 即
1,若 )(nx 是实信号，则 )()(* nxnx ?
( ) ( )
( ) ( )
jj
jj
X e X e
X e X e
??
??
?
?
? ??
? ?
????
2,若 )(nx 是实偶信号，则 ),()( nxnx ??
* ( ) ( ) ( ) ( )jx n x n x n X e ??? ? ?
( ) ( ) ( ),j j jX e X e X e? ? ?????于是有,
即 是实偶函数。)( ?jeX
*( ) ( ),( ) ( )x n x n x n x n? ? ? ?3,若 是实奇信号，)(nx
( ) ( ) ( ),j j jX e X e X e? ? ???? ? ? ?于是有,
表明 是虚奇函数。)( ?jeX
( ) ( ) ( )eox n x n x n??,4,若 则有,
说明,这些结论与连续时间情况下完全一致。
( ) R e ( )jex n X e ???? ?? ( ) I m ( )jox n j X e ???? ??
0
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )
()
( ) ( ) ( 2 )
1
jj
jn
j
j
kk
x n x n e X e
Xe
x k X e k
e
??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
??
六, 差分与求和 (Differencing and Accumulation):
）?je??1(说明,在 DTFT中 对应于 CTFT中的 。?j
1( ) ( 2 )
1 j ku n ke ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?? ?
例,
( ) ( )
n
k
u n k?
? ? ?
? ? ( ) 1n? ?
七, 时域内插 ( Interplation ):
?
?
??
，0
),/()( knxnx
k
定义
为 的整数倍
其他
n k
n
( ) ( ) ( )j j n j rkk k k
nr
X e x n e x rk e? ? ?
??
??
? ?? ? ??
????
( ) ( )j r k jk
r
x r e X e??
?
?
? ? ?
??? ( ) ( )
jkkx n X e ???
信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。
?
?
d
edXjnnx j )()( ?
八, 频域微分 ( Differention in Frequency ):
?? ?
?
??? ?
? ?
? 2
22 )(
2
1)( deXnx j
n
九, Parseval定理,
2)( ?jeX 称为 的 能量谱密度函数。)(nx
??
??????
?
Nk
k
Nn
anxN 22)(1
比较,在 DFS中有
称为周期信号的 功率谱。2
ka
5.4 卷积特性 ( The Convolution Property )
( ) ( ) * ( ),
( ) ( ) ( ),j j j
y n x n h n
Y e X e H e? ? ?
?
?
若
则
说明,该特性提供了对 LTI系统进行频域分析
的理论基础。
即是 系统的频率特性 。()jHe?
)()()( ?? jj
n
k
eUeXkx ???
???
??
?
??
? ??
?
?? ?
?
???
?
k
j
j k
e
eX )2(
1
1)( ????
?
?
?
?
???
? ????
k
j
j
j
keX
e
eX )2()(
1
)( 0 ????
?
?
例,求和特性的证明
)(*)()( nunxkx
n
k
??
???
5.5 相乘性质 （ The Multiplication Property)
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
),()()(
21
2
)(
21
21
??
?
????
?
?
?
jj
jjj
eXeX
deXeXeY
nxnxny
??
?
??
?
?
如果
则
由于 和 都是以 为周期的，
1 ()jXe ?
因此上述卷积称为 周期卷积 。
?22 ()jXe ?
)()()( ncnxny ???
)(nc
)(nx,)1()( nnc ??
( ) 2 ( 2 )j
k
C e k? ? ? ? ? ?
?
? ??
? ? ??
()
2
2
()
0
1
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
jj
jj
X e C e d
X e d X e
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
例,
( ) ( 1 ) n j nc n e ?? ? ?
1( ) ( ) ( )
2
j j jY e X e C e? ? ?
???
?2?2
)( ?jeC
?? ?0
?
? ?
)( ?jeX
?? ?M?? M?
?
0
? ?
1
5.6 傅立叶变换的性质及基本变换对列表
（自学）
)( ?jeY
1
?? ?
?
0
? ?
M??? M???
5.7 对偶性 （ Duality）
??
???
?
???
??
Nn
n
N
jk
k
Nk
n
N
jk
k enxNaeanx
?? 22
)(1,)(
由于 本身也是以 N为周期的序列，当然也可以
将其展开成 DFS形式。
ka
一,DFS的对偶
21
() j k nNk
nN
a x n eN
?
?? ?
???
即, 或 21 () j k n
N
n
kN
a x k eN
?
?? ?
???
()
1
()
D F S
k
D F S
n
x n a
a x k
N
? ???
? ??? ?
即,
利用对偶性可以很方便的将 DFS在时域得到的
性质，通过对偶得到频域相应的性质。
),(1 kxN ?
这表明,序列 的 DFS系数就是
na
)(1)( kxNaanx nk ???
2
( ) ( ) j M nNk k Mx n a x n e a
?
??? ? ? ?,
例 1,从时移到频移
0
0
2
)(1 knNjnn ekxNa
??
? ??
利用时移性质 有,
211
() j MnN kMx n e aNN
??
????
由对偶性 有,
频移特性
2
() j M nN kMx n e a
??
??? ? ?
12( ) ( ) kkx n x n a b N? ? ? ?
)()(1)(1)(1 2121 kxkxNNkxNkxNba nn ??????????
kk
Nm
mkm
Nm
mkm
babanxnx
ba
N
nxnx
N
?????
???
?
?
???
?
???
??
)()(
1
)()(
1
21
21
例 2:由卷积特性到相乘特性
由时域卷积性质,
由对偶性,
时域相乘性质
12
11( ) ( )
nna x k b x kNN? ? ? ?
DFS的卷积特性
?? ?
?
???
??
?? 2
)(
2
1,)( dteeXaeaeX j k tjt
k
k
j k t
k
jt
二, DTFT与 CFS间的对偶
( ) ( ) ( )j j n j
n
X e x n e X e? ? ?
?
?
? ??
? ?
由 知 是一个以
?2 为周期的连续函数,如果在时域构造一个
以 为周期的连续时间信号 则可以将
其表示为 CFS形式,
),( jteX?2
?? ?
?
? deeXnx njj??
2
)(2 1)(
由 DTFT有：
利用这一对偶关系，可以将 DTFT的若干特性
对偶到 CFS中去；或者反之。
()ka x k??ka比较 和 的表达式可以看出)(nx
这表明：
( ) ( )DT FT jx n X e ?? ???
( ) ( )C F SjtX e x k? ??? ?
若
则
k
C F S ka
Tjtxdt
d ?2)( ?? ??
2( ) ( ) ( ) 2C F Sjtd X e j k x k j k x k T
d t T
? ?? ? ??? ? ? ? ?，（ ）
例, 从 CFS的时域微分到 DTFT的频域微分
CFS的时域微分特性
DTFT的频域微分特性
( ) ( )C F SjtX e x k? ??? ?若 则( ) ( ),D T F T jx n X e ?? ???
( ) ( )jdjn x n X ed ??? ? ?
)()()()(
)()()()(
2211
2211
kxeXkxeX
eXnxeXnx
C F SjtC F Sjt
jD T F TjD T F T
??? ????? ??
?? ???? ?? ??
1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ),( 2 )C F Sj t j tX e X e x k x k T??? ? ??? ? ? ?
)()(
2
1
)()(
)()()()(2
2121
2121
??
??
?
?
jjD T F T
jjD T F T
eXeXnxnx
eXeXnxnx
??? ??
??? ??
例, 从 CFS的卷积特性到 DTFT的相乘特性
再由对偶性：
由 CFS的卷积特性
12( ) * ( ) kkx t x t T a b?
DTFT的相乘特性
可以将对偶关系归纳为如下图表,
连续时间傅立叶级数
katx ?)(
离 散连 续, 周 期, 非 周 期
连连 续, 非 周 期 续, 非 周 期
连续时间傅立叶变换
)(2)(
)()(
??
?
??
?
xjtX
jXtx
离散时间傅立叶变换
)()( ?jeXnx ?
离 散 连,非 周 期 续, 周 期
)2(1 kTjXTa k ?? )(1
2 k
Nj
k eXNa
?
?
)()( ?jD T F T eXnx ?? ??
)()( kxeX C F Sjt ??? ??
离散时间傅立叶级数
() kx n a?
离 离散, 周 期 散, 周 期
1 ()
na x kN??
时域的连续性
可以看出：信号在时域的特性和在频域的
特性之间存在以下对应关系：
时域的周期性
时域的离散性
时域的非周期性
频域的离散性
频域的连续性
频域的周期性
频域的非周期性
5.8 由 LCCDE表征的系统
??
??
???
N
k
k
N
k
k knxbknya
00
)()(
相当广泛而有用的一类离散时间 LTI系统可以
由一个线性常系数差分方程（ LCCDE） 来表征,
一, 由 LCCDE描述的系统的频率响应,
),(nh 进而对 做变换而求得 。
方法一,可以从求解 时的差分方程得到)()( nnx ??
)(nh )( ?jeH
Systems Characterized by Linear Constant-
Coefficient Difference Equations
( ) )j j ny n H e e??? （
方法二, 可以通过求出 时方程的解而
因为
njenx ??)(
),( ?jeH nje ? 是 LTI系统的特征函数,得到
此时的 。
方法三, 对方程两边进行 DTFT变换，可得到,
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
00
( ) ( )
NN
j k j j k j
kk
kk
a e Y e b e X e? ? ? ???
??
???
?
?
?
?
?
?
??
N
k
jk
k
N
k
jk
k
j
j
j
ea
eb
eX
eY
eH
0
0
)(
)(
)(
?
?
?
?
?
可见 是一个有理函数。当需要得到
时,往往是先从方程得到 进而通过反变
换得到 。
)( ?jeH )(nh
),( ?jeH
)(nh
二,系统的频率响应,
刻画了 LTI系统的频域特征，它是系
统单位脉冲响应的傅立叶变换。
)( ?jeH
三,由方框图描述的系统,
这说明,稳定系统可以由其频率响应来描述。
)( ?jeH由 所表征的系统应该是稳定系统。
3/4
D D? ?()xn ()yn
2
1?
2
()jWe?
如果,则 存在。
| ( ) |
n
hn
??
? ? ?
??? )( ?jeH
但并非所有的 LTI系统都一定存在频率响应。
2()jjW e e???
()jjW e e???
2
2
22
7
1
24
( ) 1
33
1 2 1 2
44
j
jj
j
j j j j
e
ee
He
e e e e
?
??
?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
通过对图中两个加法器的输出列方程可得到,
23( ) ( ) 2 ( ) ( )
4
j j j j j jW e X e W e e W e e? ? ? ? ? ???? ? ?
2( ) ( ) 2 ( ) ( )j j j j j jY e X e W e e W e e? ? ? ? ? ???? ? ?
23( ) ( 1 2 ) ( )
4
j j j jX e e e W e? ? ? ???? ? ?
由上式可得：
27( ) ( 1 ) ( )
4
j j jY e e W e? ? ????
四, LTI系统的频域分析方法,
2,根据系统的描述，求得系统的频率响应 。()jHe?
1,对输入信号做傅立叶变换，求得 。()jXe?
3,根据卷积特性得到 。( ) ( ) ( )j j jY e X e H e? ? ??
4,对 做傅立叶反变换得到系统的响应 。()jYe? ()yn
做傅立叶变换或反变换的主要方法是 部分分式
展开、利用傅立叶变换的性质和常用的变换对 。
5.9 小结 Summary
?通过对 DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号
时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在
CTFT中都有相对应的结论，而且它们也 存在 一
些重要的差别，例如 DTFT总是以 2π为周期的。
?本章与第 4章平行地讨论了 DTFT，讨论的基本
思路和方法与第 4章完全对应，得到的许多结论
也很类似。
?对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离
散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几
种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。
深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握 CFS、
DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很大帮助。
?通过卷积特性的讨论，对 LTI系统 建立了频域
分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散
时间信号的传输技术提供了理论基础。
?与连续时间 LTI系统一样，对由 LCCDE或由方
框图描述的 LTI系统，可以很方便的由方程或方
框图得到系统的频率响应函数 H(ejω)，进而实现
系统的频域分析。其基本过程和涉及到的问题与
连续时间 LTI系统的情况也完全类似。
随着今后进一步的讨论，我们可以看到 CFS、
DFS,CTFT,DTFT之间是完全相通的。
对偶性
连续时间周期信号
katx ?)(~
连续时间非周期信号
)()( ?jXtx ?
离散时间周期信号
() kx n a?
离散时间非周期信号
( ) ( )jx n X e ??
时域
采样
对偶性
)2(1 TkXTa k ?? 频域采样 )2(1
NkXNa k
??频域采样
时域
采样
The Discrete-Time Fourier Transform
基 本 内 容
1,离散时间傅立叶变换；
2,常用信号的离散时间傅立叶变换对 ;
3,离散时间周期信号的傅立叶变换；
4,傅立叶变换的性质；
5,系统的频率响应与系统的频域分析方法 ；
?注释,
CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ):
连续时间傅立叶级数
DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ):
离散时间傅立叶级数
CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ),
连续时间傅立叶变换
DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ),
离散时间傅立叶变换
5.0 引言 Introduction
? 本章将采用与讨论 CTFT完全相同的思想方
法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问
题。
? DFS与 CFS之间既有许多类似之处，也有一
些重大差别：主要是 DFS是一个有限项级数，
其系数 具有周期性 。
ka
? 在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散
时间非周期信号的频域描述时，可以看到，
DTFT与 CTFT既有许多相类似的地方，也同时
存在一些重要的 区别。
? 抓住它们之间的相似之处并关注其差别，
对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重
要意义。
5.1 非周期信号的表示
Representation of Aperiodic Signals,The
Discrete-time Fourier Thransform
一, 从 DFS到 DTFT:
在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,
我们看到：
当信号周期 增大时，频谱的包络形状不变，
幅度减小，而频谱的谱线变密。
N
k
k
k
1 2
20
N
N
?
?
1 2
40
N
N
?
?
1 2
10
N
N
?
?
kNa
因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频
谱应该是一个连续的频谱。
当 时，有,将导致
信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。
N ?? 0 ( 2 / ) 0N????
从时域看,当周期信号的周期 时,周
期序列 就变成了一个非周期的序列。
N ??
当 时 令 2
lim jk
N
N k N a X eN ?? ?
??
? ? ?, （ ）
22 1
( ),( )j k n j k nNNkk
k N n N
x n a e a x n eN
?? ?
?? ? ?? ?
????
对周期信号 由 DFS有()xn
?
??
?? 2/
2/
2
)(~1
N
Nn
knNj
k enxNa
?即
jXe ? （）说明,显然 对 ? 是以 2? 为周期的。
DTFT
()j j n
n
X e x n e??
?
?
? ? ?
? ?（ ）
有,
kN
j
k eXNa ??
?
2)(
1
?
?
当 在一个周期范围内变化时,在 范围
变化，所以积分区间是 。
k 0k? 2?
2?
ka
将其与 表达式比较有
00( ) ( ),,,,N x n x n k d? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?，
当 时
于是, 00
00
0
0
12
( ) ( ),
1
()
2
j k j k n
kN
j k j k n
kN
x n X e e
NN
X e e
??
??
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
表明,离散时间序列可以分解为频率在 2π区间上
分布的、幅度为 的复指数分量的
线性组合。
?? ? deX j )(21
DTFT
对
?? ?
?
? deeXnx njj???
2
)(2 1)(
?
?
?
?
? deeXnx njj??
2
)(
2
1)(
?
?
??
?? njj enxeX ?? )()(
结论：
0
1()
1
j n j n
j
n
X e a e ae?? ?
?
?
?
?
?? ??
二,常用信号的离散时间傅立叶变换
2
1()
1 2 c o s
jXe
aa
?
?
?
??
通常 是复函数，用它的模和相位表示,()jXe?
1 s i n( ) t g
1 c o s
j aXe
a
? ?
?
???
?
1,( ) ( ),1
nx n a u n a??
01a?? 10a? ? ?
)()1()( nuanuanx nn ???? ?
?
??
?
?????
c o s21
1
1
1
1
)(
2
2
010
1
aa
a
aeae
ae
eaeaeaeaeX
jj
j
n
njn
n
njn
n
njn
n
njnj
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
????
由图可以得到,
时，高通特性,摆动指数衰减10a? ? ? xn（ ）
时，低通特性,单调指数衰减01a?? xn（ ）
( ),1nx n a a??
2.
可以得出结论,实偶序列 实偶函数
1
1
1si n ( 2 1 )
2()
si n
2
N
j j n
nN
N
X e e??
?
?
?
??
?
???
1,
()
0,
xn ?? ?
? 1
1
Nn
Nn
?
?
3.矩形脉冲,
当
1 2N ?
时，可得到,
有同样的结论,实偶信号 实偶函数
1s in ( 2 1 )1
,
s in
k
kN
Na
N k
N
?
?
?
?
两点比较,
1.与对应的周期信号比较
2
1 () j
k k
N
a X e
N
?
?? ??
显然有
关系成立
1si n( 2 1 ) 2
()
sin
2
j
N
Xe ?
?
?
?
?
2.与对应的连续时间信号比较
?
?
??
,0
,1
)(tx
1
1
Tt
Tt
?
?
1
11 s in2)(
T
TTjX
?
?? ?
如图所示,
1)()( ?? ?
?
???
? nj
n
j enxeX ??
)(n?
0
n
1
)( ?jeX
1
?? ?0
?
如图所示,
( ) ( )x n n??4.
三, DTFT的收敛问题
当 是无限长序列时，由于 的表达式
是无穷项级数，当然会存在收敛问题。
)jXe?（()xn
收敛条件有两组：
( ),
n
xn
?
? ??
??? )jXe?（
)jXe?（
2,则 存在，且级数一致收敛
于 。
)jXe?（
2
( ),
n
xn
?
? ? ?
???
1,则级数以均方误差最小的准则
收敛于 。
考察 的收敛过程，如图所示：()n?
?但随着 的振荡频率变高，起伏的
幅度趋小 ;
,( )W x n?
W ??
?当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出
现吉伯斯 (Gibbs)现象，也不存在收敛问题。
由图可以得到以下结论,
?当以部分复指数分量之和近似信号时，也会
出现起伏和振荡 ;
5.2 周期信号的 DTFT
002,jte ?? ? ? ???（）
对连续时间信号，有 由此
推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由
于 DTFT一定是以 为周期的，因此，频域的冲
激应该是周期性的冲激串，即
2?
022
k
k? ? ? ? ?
?
? ??
??? （）
对其做反变换有：
The Fourier Transform for Periodic Signals
0( ) ( ) 2 ( 2 )
j
k
k N l
x n X e a k l? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
0
022
jn
k
ke ?? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?? （）可见,
0
0
2( ),jk n
k
kN
x n a e N? ??
? ? ?
???
由 DFS有
()xn因此，周期信号 可用 DTFT表示为
0
2
2
0
0
1
( ) ( )
2
()
j j n
jnjn
x n X e e d
e d e
??
?
?
??
?
?
? ? ? ?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
??? ???
???
l Nk
k
j lk
NaeX )2
2(2)( ??????
?
?
????
??????
?
??
???
??????
Nk
k
Nk
k
Nk
k
k
N
a
k
N
ak
N
a
)4
2
(2
)2
2
(2)
2
(2
?
?
???
?
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??????
?
??
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
1
0
)2(
2
2
)(
2
2)
2
(2
N
k
k
N
k
k
N
k
k
Nk
N
a
Nk
N
ak
N
a
?
???
?
???
?
???
（对 L 展开）
1 2 1
0
31
2
2
22
2 ( ) 2 ( )
2
2 ( )
NN
k k N
k k N
N
kN
kN
a k a k
NN
ak
N
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
??
?
??
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
??
?
?
?
???
??
k
k kNa )
2(2 ????
比较, 可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的
形式是完全一致的。
注意到 也以
为周期，于是有：
ka N
? ???
???
??????
k
j kkeX )2()2()(
00 ?????????
?
00
0
1( ) c o s ( ),
2
j n j nx n n e e??? ?? ? ?
例 1,它不一定是
周期的。 当
0
2 k
N
?? ? 时才具有周期性。
)( ?jeX
02 ?? ??
?2?
02 ?? ?? 0?? 0 0? 02 ?? ?
?2
02 ???
?
()?
? ?
如图所示,
NenNenxNa
njk
N
nNn
njk
k
1)(1)(1 00 1
0
??? ?
?
????
? ?? ?? ?
??
???
??
k
j k
NNeX )
2(2)( ?????
N?2? N?2
)( ?jeX
N?2
0
N?4? N?4
?
? ?
( ) ( )
k
x n n k N?
?
? ? ?
???
例 2.
比较,与连续时间情况下对应的相一致。
均匀脉冲串
)(nx
1
N? 0 NN2? N2 n
? ?
5.3 离散时间傅立叶变换的性质
DTFT也有很多与 CTFT类似的性质，当然也有
某些明显的差别。
通过对 DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时
域和频域特性之间的关系。
一、周期性 (periodic)：
比较,这是与 CTFT不同的。
Properties of the Discrete-Time Fourier Transform
( 2 )( ) ( )jjX e X e? ? ?? ?
则若
jx n X e ??（ ） （ ）,
)()()()( 2121 ?? jj ebXeaXnbxnax ???
二, 线性 (linearity):
三, 时移与频移 (shifiting):
00 ()( ) ( )j n jx n e X e? ? ???
( ) ( ),jx n X e ??若 则
00( ) ( ) jnjx n n X e e ?? ???
时移特性
频移特性
四, 时域反转 (reflaction):
( ) ( )jx n X e ????若 则( ) ( ),jx n X e ??
五, 共轭对称性 (symmetry properties):
)()(),()( ** ?? jj eXnxeXnx ???若 则
由此可进一步得到以下结论,
R e ( ) R e ( )
I m ( ) I m ( )
jj
jj
X e X e
X e X e
??
??
?
?
? ? ? ? ??? ? ? ? ?
?
? ? ? ???? ? ? ? ??
)()(),()( ** ???? jjjj eXeXeXeX ?? ??? 即
1,若 )(nx 是实信号，则 )()(* nxnx ?
( ) ( )
( ) ( )
jj
jj
X e X e
X e X e
??
??
?
?
? ??
? ?
????
2,若 )(nx 是实偶信号，则 ),()( nxnx ??
* ( ) ( ) ( ) ( )jx n x n x n X e ??? ? ?
( ) ( ) ( ),j j jX e X e X e? ? ?????于是有,
即 是实偶函数。)( ?jeX
*( ) ( ),( ) ( )x n x n x n x n? ? ? ?3,若 是实奇信号，)(nx
( ) ( ) ( ),j j jX e X e X e? ? ???? ? ? ?于是有,
表明 是虚奇函数。)( ?jeX
( ) ( ) ( )eox n x n x n??,4,若 则有,
说明,这些结论与连续时间情况下完全一致。
( ) R e ( )jex n X e ???? ?? ( ) I m ( )jox n j X e ???? ??
0
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )
()
( ) ( ) ( 2 )
1
jj
jn
j
j
kk
x n x n e X e
Xe
x k X e k
e
??
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
??
六, 差分与求和 (Differencing and Accumulation):
）?je??1(说明,在 DTFT中 对应于 CTFT中的 。?j
1( ) ( 2 )
1 j ku n ke ? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?? ?
例,
( ) ( )
n
k
u n k?
? ? ?
? ? ( ) 1n? ?
七, 时域内插 ( Interplation ):
?
?
??
，0
),/()( knxnx
k
定义
为 的整数倍
其他
n k
n
( ) ( ) ( )j j n j rkk k k
nr
X e x n e x rk e? ? ?
??
??
? ?? ? ??
????
( ) ( )j r k jk
r
x r e X e??
?
?
? ? ?
??? ( ) ( )
jkkx n X e ???
信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。
?
?
d
edXjnnx j )()( ?
八, 频域微分 ( Differention in Frequency ):
?? ?
?
??? ?
? ?
? 2
22 )(
2
1)( deXnx j
n
九, Parseval定理,
2)( ?jeX 称为 的 能量谱密度函数。)(nx
??
??????
?
Nk
k
Nn
anxN 22)(1
比较,在 DFS中有
称为周期信号的 功率谱。2
ka
5.4 卷积特性 ( The Convolution Property )
( ) ( ) * ( ),
( ) ( ) ( ),j j j
y n x n h n
Y e X e H e? ? ?
?
?
若
则
说明,该特性提供了对 LTI系统进行频域分析
的理论基础。
即是 系统的频率特性 。()jHe?
)()()( ?? jj
n
k
eUeXkx ???
???
??
?
??
? ??
?
?? ?
?
???
?
k
j
j k
e
eX )2(
1
1)( ????
?
?
?
?
???
? ????
k
j
j
j
keX
e
eX )2()(
1
)( 0 ????
?
?
例,求和特性的证明
)(*)()( nunxkx
n
k
??
???
5.5 相乘性质 （ The Multiplication Property)
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
),()()(
21
2
)(
21
21
??
?
????
?
?
?
jj
jjj
eXeX
deXeXeY
nxnxny
??
?
??
?
?
如果
则
由于 和 都是以 为周期的，
1 ()jXe ?
因此上述卷积称为 周期卷积 。
?22 ()jXe ?
)()()( ncnxny ???
)(nc
)(nx,)1()( nnc ??
( ) 2 ( 2 )j
k
C e k? ? ? ? ? ?
?
? ??
? ? ??
()
2
2
()
0
1
( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
jj
jj
X e C e d
X e d X e
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ?
?
?
例,
( ) ( 1 ) n j nc n e ?? ? ?
1( ) ( ) ( )
2
j j jY e X e C e? ? ?
???
?2?2
)( ?jeC
?? ?0
?
? ?
)( ?jeX
?? ?M?? M?
?
0
? ?
1
5.6 傅立叶变换的性质及基本变换对列表
（自学）
)( ?jeY
1
?? ?
?
0
? ?
M??? M???
5.7 对偶性 （ Duality）
??
???
?
???
??
Nn
n
N
jk
k
Nk
n
N
jk
k enxNaeanx
?? 22
)(1,)(
由于 本身也是以 N为周期的序列，当然也可以
将其展开成 DFS形式。
ka
一,DFS的对偶
21
() j k nNk
nN
a x n eN
?
?? ?
???
即, 或 21 () j k n
N
n
kN
a x k eN
?
?? ?
???
()
1
()
D F S
k
D F S
n
x n a
a x k
N
? ???
? ??? ?
即,
利用对偶性可以很方便的将 DFS在时域得到的
性质，通过对偶得到频域相应的性质。
),(1 kxN ?
这表明,序列 的 DFS系数就是
na
)(1)( kxNaanx nk ???
2
( ) ( ) j M nNk k Mx n a x n e a
?
??? ? ? ?,
例 1,从时移到频移
0
0
2
)(1 knNjnn ekxNa
??
? ??
利用时移性质 有,
211
() j MnN kMx n e aNN
??
????
由对偶性 有,
频移特性
2
() j M nN kMx n e a
??
??? ? ?
12( ) ( ) kkx n x n a b N? ? ? ?
)()(1)(1)(1 2121 kxkxNNkxNkxNba nn ??????????
kk
Nm
mkm
Nm
mkm
babanxnx
ba
N
nxnx
N
?????
???
?
?
???
?
???
??
)()(
1
)()(
1
21
21
例 2:由卷积特性到相乘特性
由时域卷积性质,
由对偶性,
时域相乘性质
12
11( ) ( )
nna x k b x kNN? ? ? ?
DFS的卷积特性
?? ?
?
???
??
?? 2
)(
2
1,)( dteeXaeaeX j k tjt
k
k
j k t
k
jt
二, DTFT与 CFS间的对偶
( ) ( ) ( )j j n j
n
X e x n e X e? ? ?
?
?
? ??
? ?
由 知 是一个以
?2 为周期的连续函数,如果在时域构造一个
以 为周期的连续时间信号 则可以将
其表示为 CFS形式,
),( jteX?2
?? ?
?
? deeXnx njj??
2
)(2 1)(
由 DTFT有：
利用这一对偶关系，可以将 DTFT的若干特性
对偶到 CFS中去；或者反之。
()ka x k??ka比较 和 的表达式可以看出)(nx
这表明：
( ) ( )DT FT jx n X e ?? ???
( ) ( )C F SjtX e x k? ??? ?
若
则
k
C F S ka
Tjtxdt
d ?2)( ?? ??
2( ) ( ) ( ) 2C F Sjtd X e j k x k j k x k T
d t T
? ?? ? ??? ? ? ? ?，（ ）
例, 从 CFS的时域微分到 DTFT的频域微分
CFS的时域微分特性
DTFT的频域微分特性
( ) ( )C F SjtX e x k? ??? ?若 则( ) ( ),D T F T jx n X e ?? ???
( ) ( )jdjn x n X ed ??? ? ?
)()()()(
)()()()(
2211
2211
kxeXkxeX
eXnxeXnx
C F SjtC F Sjt
jD T F TjD T F T
??? ????? ??
?? ???? ?? ??
1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) ( ),( 2 )C F Sj t j tX e X e x k x k T??? ? ??? ? ? ?
)()(
2
1
)()(
)()()()(2
2121
2121
??
??
?
?
jjD T F T
jjD T F T
eXeXnxnx
eXeXnxnx
??? ??
??? ??
例, 从 CFS的卷积特性到 DTFT的相乘特性
再由对偶性：
由 CFS的卷积特性
12( ) * ( ) kkx t x t T a b?
DTFT的相乘特性
可以将对偶关系归纳为如下图表,
连续时间傅立叶级数
katx ?)(
离 散连 续, 周 期, 非 周 期
连连 续, 非 周 期 续, 非 周 期
连续时间傅立叶变换
)(2)(
)()(
??
?
??
?
xjtX
jXtx
离散时间傅立叶变换
)()( ?jeXnx ?
离 散 连,非 周 期 续, 周 期
)2(1 kTjXTa k ?? )(1
2 k
Nj
k eXNa
?
?
)()( ?jD T F T eXnx ?? ??
)()( kxeX C F Sjt ??? ??
离散时间傅立叶级数
() kx n a?
离 离散, 周 期 散, 周 期
1 ()
na x kN??
时域的连续性
可以看出：信号在时域的特性和在频域的
特性之间存在以下对应关系：
时域的周期性
时域的离散性
时域的非周期性
频域的离散性
频域的连续性
频域的周期性
频域的非周期性
5.8 由 LCCDE表征的系统
??
??
???
N
k
k
N
k
k knxbknya
00
)()(
相当广泛而有用的一类离散时间 LTI系统可以
由一个线性常系数差分方程（ LCCDE） 来表征,
一, 由 LCCDE描述的系统的频率响应,
),(nh 进而对 做变换而求得 。
方法一,可以从求解 时的差分方程得到)()( nnx ??
)(nh )( ?jeH
Systems Characterized by Linear Constant-
Coefficient Difference Equations
( ) )j j ny n H e e??? （
方法二, 可以通过求出 时方程的解而
因为
njenx ??)(
),( ?jeH nje ? 是 LTI系统的特征函数,得到
此时的 。
方法三, 对方程两边进行 DTFT变换，可得到,
00
( ) ( )
NN
kk
kk
a y n k b x n k
??
? ? ???
00
( ) ( )
NN
j k j j k j
kk
kk
a e Y e b e X e? ? ? ???
??
???
?
?
?
?
?
?
??
N
k
jk
k
N
k
jk
k
j
j
j
ea
eb
eX
eY
eH
0
0
)(
)(
)(
?
?
?
?
?
可见 是一个有理函数。当需要得到
时,往往是先从方程得到 进而通过反变
换得到 。
)( ?jeH )(nh
),( ?jeH
)(nh
二,系统的频率响应,
刻画了 LTI系统的频域特征，它是系
统单位脉冲响应的傅立叶变换。
)( ?jeH
三,由方框图描述的系统,
这说明,稳定系统可以由其频率响应来描述。
)( ?jeH由 所表征的系统应该是稳定系统。
3/4
D D? ?()xn ()yn
2
1?
2
()jWe?
如果,则 存在。
| ( ) |
n
hn
??
? ? ?
??? )( ?jeH
但并非所有的 LTI系统都一定存在频率响应。
2()jjW e e???
()jjW e e???
2
2
22
7
1
24
( ) 1
33
1 2 1 2
44
j
jj
j
j j j j
e
ee
He
e e e e
?
??
?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
通过对图中两个加法器的输出列方程可得到,
23( ) ( ) 2 ( ) ( )
4
j j j j j jW e X e W e e W e e? ? ? ? ? ???? ? ?
2( ) ( ) 2 ( ) ( )j j j j j jY e X e W e e W e e? ? ? ? ? ???? ? ?
23( ) ( 1 2 ) ( )
4
j j j jX e e e W e? ? ? ???? ? ?
由上式可得：
27( ) ( 1 ) ( )
4
j j jY e e W e? ? ????
四, LTI系统的频域分析方法,
2,根据系统的描述，求得系统的频率响应 。()jHe?
1,对输入信号做傅立叶变换，求得 。()jXe?
3,根据卷积特性得到 。( ) ( ) ( )j j jY e X e H e? ? ??
4,对 做傅立叶反变换得到系统的响应 。()jYe? ()yn
做傅立叶变换或反变换的主要方法是 部分分式
展开、利用傅立叶变换的性质和常用的变换对 。
5.9 小结 Summary
?通过对 DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号
时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在
CTFT中都有相对应的结论，而且它们也 存在 一
些重要的差别，例如 DTFT总是以 2π为周期的。
?本章与第 4章平行地讨论了 DTFT，讨论的基本
思路和方法与第 4章完全对应，得到的许多结论
也很类似。
?对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离
散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几
种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。
深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握 CFS、
DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很大帮助。
?通过卷积特性的讨论，对 LTI系统 建立了频域
分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散
时间信号的传输技术提供了理论基础。
?与连续时间 LTI系统一样，对由 LCCDE或由方
框图描述的 LTI系统，可以很方便的由方程或方
框图得到系统的频率响应函数 H(ejω)，进而实现
系统的频域分析。其基本过程和涉及到的问题与
连续时间 LTI系统的情况也完全类似。
随着今后进一步的讨论，我们可以看到 CFS、
DFS,CTFT,DTFT之间是完全相通的。
对偶性
连续时间周期信号
katx ?)(~
连续时间非周期信号
)()( ?jXtx ?
离散时间周期信号
() kx n a?
离散时间非周期信号
( ) ( )jx n X e ??
时域
采样
对偶性
)2(1 TkXTa k ?? 频域采样 )2(1
NkXNa k
??频域采样
时域
采样
