第 4章 连续时间傅立叶变换
The Continuous time Fourier Transform
本 章的主要内容,
1,连续时间傅立叶变换 ;
2,傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 ;
3,傅立叶变换的性质 ;
4,系统的频率响应及系统的频域分析；
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期
信号，对非周期信号应该如何进行分解，什
么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系
统对非周期信号的响应如何求得，就是这一
章要解决的问题。
4.0 引言 Introduction
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期
趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期
信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周
期性延拓，就一定能形成一个周期信号。
我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋
于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶
级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得
到对非周期信号的频域表示方法。
4.1 非周期信号的表示 — 连续时间傅立叶变换
Representation of Aperiodic Signals,The
Continuous-Time Fourier Transform
一,从傅立叶级数到傅立叶变换
我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期
增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线
间隔随 的增大而减小；但频谱的包络不变。
0T
0T
0T
再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：
当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为
非周期的单个矩形脉冲信号。
0T ??
（ a）
（ b）
(a)
014TT?
(b)
0
ka
?
02?0
2??
ka
?
14?14??
0
018TT?
012??＝
由于 也随 增大而减小，并最
终趋于 0，考查 的变化，它在 时应该
是有限的。
011
0 0 1
sin2
k
kTTa
T k T
?
?? 0
T
0 kTa 0T ??
于是，我们推断出,当 时，离散的频谱将
演变为连续的频谱。
0T ??
0 0
0
/2
0 /2 ()
T jk t
k TT a x t e d t
??
?
? ?
由
当 时,
0T ?? 0
0
2,d
T
????? 0,k??? ?? ?
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
0 0
lim ( )kT T a X j??? ?
如果令 则有
0
0
1 ()
ka X jkT ??
与周期信号傅立叶级数对比有：
这表明,周期信号的频谱就是与它相对应的非周期
信号频谱的样本。
根据傅立叶级数表示：
0 0 0
0 0 0
0
11( ) ( ) ( )
2
jk t jk t jk t
k
k k k
x t a e X j k e X j k eT? ? ?? ? ??
? ? ?
? ?? ? ?? ? ??
? ? ?? ? ?
连续时间傅立叶变换
当
0T ??
时,( ) ( ),x t x t?
0
0
2,d
T
?????
0k???
?? ? 于是有：
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
?
??? ?
傅立叶反变换
此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率
连续分布、振幅为 的复指数信号之和。
由于 具有频谱随频率分
布的物理含义，因而称 为 频谱密度函数 。
1 ()
2 X j d???
0 0 0
0,0
0
( ) l i m l i m kk
T T f
aX j T a
f? ? ? ? ? ???
()Xj?
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
?
??
? ?
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ?
??
? ?
于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法
这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。
可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号 频
谱的样本 ；而非周期信号的频谱是对应的周期信
号 频谱的包络。
既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶
级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得
来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级
数的收敛相一致。
二, 傅立叶变换的收敛
这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
2,Dirichlet 条件
()x t dt??? ???
a,绝对可积条件
1,若 2()x t d t?
?? ???
则 存在。()Xj?
也有相应的两组条件：
b,在任何有限区间内,只有有限个极值点，
且极值有限。
()xt
c,在任何有限区间内,只有有限个第一类间
断点。
()xt
应该指出,这些条件只是傅立叶变换存在的充分
条件 。
()xt
()xt和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存
在时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本
身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断
点附近会产生 Gibbs 现象。
sin t
t
这两组条件并不等价。例如,是平方可积
的，但是并不绝对可积。
三,常用信号的傅立叶变换：
1,( ) ( ),0atx t e u t a???
0
1() a t j tX j e e d t
aj
??
?
? ????
??
22
1()Xj
a
?
?
?
?
-1( ) t gXj
a
?? ??
()xt
t
0
1
aa? 0
1/a
()Xj?
1
2a
?
/2?
/2??
a?
a
()Xj?
?
/4?
/4??
2,( ),0atx t e a???
结论,实偶信号的傅立叶
变换是实偶函数。 此时可以
用一幅图表示信号的频谱。
对此例有 ( ) ( )X j X j??? ( ) 0Xj ? ?
()Xj?2
a
1
a
aa?
?
()xt
t
1
0
0
0
22
()
1 1 2
a t j t a t j t
X j e e d t e e d t
a
a j a j a
??
?
? ? ?
?
? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ?
??
3,( ) ( )x t t??
( ) ( ) 1jtX j t e dt??? ? ??????
0
()t?
t
这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频
率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲
激响应 才能完全描述一个 LTI系统的特性，
才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。
()t?
()ht ()t?
()Xj?
?0
1
1
1
1 1 1
1
1
1 1 1
2 si n 2 si n
()
2 S a ( ) 2 S inc ( )
T
jt
T
T T T
X j e dt
T
T
T T T
? ??
?
??
?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
显然，将 中的 代之以 再乘以,即
是相应周期信号的频谱
()Xj? ? 0k?
0
1
T
0111
01
0 0 0
sin22S a ( )
k
kTTTa k T
T T k T
??
???
4,矩形脉冲, ()xt? 1,1tT?
0,1tT?
?
1T1T?
t
()xt
1
()xt
t
1T1T?
1
0
()xt
t
12T12T?
1
0
()Xj?
0
?1T
?
12T
12T
?
?
()Xj?
14T
0
不同脉冲宽度对频谱的影响
可见,信号在时域和频域之间有一种相反的关系 。
(称为 理想低通滤波器 )
与矩形脉冲情况对比，可以发现 信号在时域和频
域之间存在一种对偶关系。
5,1，0，()Xj? ?
W? ?
W? ?
?
1 s i n( ) S a ( ) s i n c ( )
2
W jt
W
W t W W W tx t e d W t
t
? ?
? ? ? ? ??? ? ? ??
()Xj?
?
W? W
1
0
()xt
t
( / )W ?
0
W
?
对偶关系可表示如下,
()xt
t
1T1T?
1
0
()Xj?
?
W? W
1
0
()Xj?
0
?1T
?
12T
()xt
t
( / )W ?
0
W
?
同时可以看到,信号在时域和频域之间也有一种
相反的关系 。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主
瓣越宽，反之亦然。
对例 5,我们可以想到，如果,则 将趋于
一个冲激。
W ?? ()xt
6,若 则有( ) 1xt ? ( ) 2 ( )Xj ? ? ? ??
因为 11()
22
W jt
W
ed?? ? ???
?
??
所以 ( ) 1 2 ( )Fxt ? ? ?? ? ??
四, 信号的带宽 ( Bandwidth of Signals ):
由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是
集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都
具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号
时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有
效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的
频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义
带宽。通常有如下定义带宽的方法,
2,对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽
度 (即 频谱第一个零点内的范围 )为信号带宽。
Sa( )x
下降到最大值的 时对应的频率范围,
此时带内信号 分量占有信号总能量的 1/2。
1.
()Xj? 1 2
以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，
脉宽乘以带宽等于常数 C (脉宽带宽积 )。这清楚地
反映了频域和时域的相反关系。
4.2 周期信号的傅立叶变换
到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，
非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法
的不一致，在某些情况下,会给我们带来不便。但
由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直
接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。
0
0
1( ) ( ) ( )
2
jtj t j tx t X j e d e d e ???? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
The Fourier Transformation of Periodic Signals
所对应的信号
0( ) 2 ( )Xj ? ? ? ? ???
考查
这表明 周期性复指数信号的频谱是一个冲激 。
于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为
0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ?
就有
0( ) 2 ( )k
k
X j a k? ? ? ? ?
?
? ? ?
???
周期信号的傅立叶变换表示
0() jk tx t e ?? 0( ) 2 ( )X j k? ? ? ? ???
若 则
这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组
成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，
其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。
ka
例 1：
00
0
1( ) sin [ ]
2
j t j tx t t e e
j
??? ?? ? ?
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj j
?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
()Xj?
0??
0?
j
??
j
?
?
0
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
2
221 1 1( ) ( )TT j k tT
ka t e dt t dtT T T
?
???
??
? ? ???
()Xj?
? ?
0?? 0?
?
0
00
0
1( ) c o s [ ]
2
j t j tx t t e e??? ?? ? ?
例 2：
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
???
例 3,均匀冲激串
TT? 2T2T? 0
()xt
t
1
()Xj?
0
2
T
?2T??
2
T
?
?
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
??? 22( ) ( )
k
X j kTT??? ? ?
?
? ? ?
???
22( ) ( )
k
X j kTT??? ? ?
?
? ? ?
? ? ??
例 4,周期性矩形脉冲
1
0
0
22 si n( )
2
( ) ( )
k
kT
TX j k
kT
?
?
? ? ?
?
? ??
???
1
01
1
00
2
s i n
22
S a ( )k
Tk
TT
a k T
T T k
?
?
?
??
1
0
21
2
T
T ?
()Xj?
0
2
T
?
?? ? ? ?
1T1T?
0
1
()xt
t
0T0T?
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示
信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和
运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。
1,线性, Linearity
则 ( ) ( ) ( ) ( )a x t b y t a X j b Y j??? ? ?
Properties of the Continuous-Time Fourier Transform
( ) ( ),( ) ( )x t X j y t Y j????若
2,时移, Time Shifting
这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频
特性会增加一个线性相移。
( ) ( )x t X j?? 则 00( ) ( ) jtx t t X j e ?? ???若
3,共轭对称性, Conjugate and Symmetry
若 ( ) ( )x t X j??
则 **( ) ( )x t X j???
**( ) ( ) jtX j x t e d t?? ?
??? ?
所以
**( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ?
???? ?
即 **( ) ( )x t X j???
? 若 是实信号，则()xt *( ) ( )x t x t?
于是有,
*( ) ( )X j X j????
由
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
可得
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]X j X j????即 实部是偶函数
虚部是奇函数
? 若
()( ) ( ) j X jX j X j e ????
则可得出
( ) ( )X j X j???? ( ) ( )X j X j??? ? ?
即,模是偶函数，相位是奇函数
? 若 则可得( ) R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j j X j? ? ???
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j??? ? ?
? 如果 ( ) ( )x t x t?? 即信号是偶函数。则
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
( ) ( ) ( )j t jx t e dt x e dt X j? ? ????? ??? ??? ? ? ? ???
表明,实偶信号的傅立叶变换是偶函数。
表明 是实函数。()Xj?
? 若 即信号是奇函数，同样可以得出,( ) ( )x t x t? ? ?
*( ) ( )X j X j???? 所以 *( ) ( )X j X j???又因为
( ) ( )X j X j??? ? ?表明 是奇函数()Xj?
*( ) ( )X j X j???? ()Xj?表明 是虚函数
? 若 ( ) ( ) ( )
eox t x t x t??
则有,
( ) ( ) ( )eoX j X j jX j? ? ???
( ) ( )eex t X j?? ( ) Re [ ( ) ]eX j X j???
( ) ( )oox t jX j?? ( ) I m [ ( ) ]oX j X j???
例, 的频谱,()ut
( ) ( ) ( )eou t u t u t??
1()
2eut ?
1
0
()ut
t
1/2
0
()eut
t
-1/2
1/2
0
()out
t
将 分解为偶部和奇部有()ut
1( ) S g n ( )
2ou t t?
Sgn( )t ?
?
1,
1,? 0t?
0t?
( ) ( )eut ?? ??
220
22lim
a
j
aj
?
???
???
?
1( ) ( )ut
j
?? ?
?
??
0S g n ( ) l i m [ ( ) ( ) ]
a t a t
at e u t e u t
?
?? ? ?
0
11li m [ ]
a a j a j???
????[Sgn( )]tF
1
j??
1( ) S g n ( )
2ou t t??
1
1?
t
Sgn( )t
ate?
ate
4.时域微分与积分, Differentiation and Integration
(可将微分运算转变为代数运算 )
(将 1
( ) ( )2 jtx t X j e d???? ???? ?
两边对 微分即得该性质 )t
由时域积分特性从 ( ) 1t? ?
也可得到, 1
( ) ( )ut j ?? ????
1( ) ( ) ( 0 ) ( )t x d X j X
j? ? ? ? ? ???? ???
（时域积分特性）
( ) ( )x t X j??
则 ()
()d x t j X jdt ???
若
5.时域和频域的尺度变换, Scaling
当 时，有1a ?? ( ) ( )x t X j?? ? ?
尺度变换特性表明,信号如果在时域扩展 a 倍，
则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。 这就从理论上
证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉
宽带宽积等于常数的结论。
( ) ( )x t X j?? 则 1( ) ( )x at X j
aa
??若
时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）
6.对偶性, Duality
若 ( ) ( )x t X j?? 则 ( ) 2 ( )X jt x????
2 ( ) ( ) jtx X j t e d t??? ????? ?
2 ( ) ( ) jtx X jt e dt??? ?? ?
??
?? ?
( ) 2 ( )X jt x??? ? ?
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
??
??
? ?
证明：
也可由 ( ) ( )
jtX j x t e dt?? ? ?
??? ?
得到证明。
1( ) ( ) 2 ( )
2
j t j tX j t x e d x e d??? ? ? ? ?
?
?? ?
? ? ? ?
? ? ???
根据 ( ) ( )x t X j?? ? ? 得
0 0( ) [ ( ) ]jtx t e X j? ???? 这就是 移频特性
例如, 由 有对偶关系
利用时移特性有
再次对偶有
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x????
00[ ( ) ] 2 ( ) jtX j t t x e ??? ?? ? ?
0 02 ( ) 2 [ ( ) ]jtx t e X j?? ? ? ??? ? ? ?
由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域
由
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
得
( ) ( ) jtd X j j t x t e d td ??? ? ?
??
???
所以 ( ) ( )djtx t X j
d ????
频域微分特性
该特性也可由对偶性从时域微分特性得出,
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x????
( ) ( )djtx t X jd ????
由 ( ) ( )x t X j?? ? ? 有
( ) 2 ( )d X jt j xdt ? ? ???利用 时域微分特性 有
( ) 2 ( )X jt x????
对
2 ( ) 2 ( )()djtx t X jd? ? ??? ? ??
再次对偶得
频域微分特性
由时域积分特性，可对偶出频域积分特性
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x????
22 ( )( ) [ 2 ( 0) ( ) ]t xX j d x
j
??? ? ? ? ?
???
????
利用 时域积分特性
()2 [ ( 0 ) ( ) ] 2 ( )xt x t X j d
jt
?? ? ? ? ? ??
??
? ?? ?再次对偶
() ( 0 ) ( ) ( )xt x t X j d
jt
?? ? ? ?
??
??? ?
( ) ( )x t X j?? ? ?由 有
频域积分特性
7,Parseval定理,
若 ( ) ( )x t X j?? 则
221( ) ( )
2x t d t X j d???
??
? ? ? ?
???
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可
以在频域求得。由于 表示了信号能量在
频域的分布，因而称其为,能量谱密度,函数。
2()Xj?
4.4 卷积性质 The Convolution Property
一,卷积特性：
由于卷积特性的存在，使对 LTI系统在频域进
行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是
因为复指数信号是一切 LTI系统的特征函数。
( ) ( )x t X j?? ( ) ( )h t H j??
则 ( ) ( ) ( ) ( )x t h t X j H j????
若
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
?
??
? ?
由 表明：
( ) ( ) jtH j h t e dt?? ? ???? ?
故有
可将 分解成复指数分量的线性组合，每个
通过 LTI系统时都要受到系统 与 对应的特征值
的加权。这个特征值就是
()xt jte?
jte?
1( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
2
jty t x t h t X j H j e d?? ? ?
?
?
??
?? ?
所以 ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ??
由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指
数信号 通过 LTI系统时，系统对输入信号在
幅度上产生的影响，所以称为 系统的频率响应 。
()ht ()Hj? ?
jte ?
鉴于 与 是一一对应的，因而 LTI系统
可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的
频率响应 都存在，因此用频率响应表征系统
时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了
()ht ()Hj?
()Hj?
? ???? ??dtth |)(|
二, LTI系统的频域分析法,
根据卷积特性,可以对 LTI系统进行频域分析,
其过程为,
1,由
2,根据系统的描述，求出
3.
4,
( ) ( )x t X j??
()Hj?
( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ??
1( ) [ ( ) ]y t Y j??? F
4.5 相乘性质 The Multiplication Property
利用对偶性可以 从卷积性质得出相乘性质
11( ) ( )x t X j??
11( ) 2 ( )X jt x????
22( ) ( )x t X j??
22( ) 2 ( )X jt x????
21 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) ( )X jt X jt x x? ? ?? ? ? ?
若
11( ) ( )x t X j?? 22( ) ( )x t X j??
则
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j???? ? ?
2 1 2 1 24 ( ) ( ) 2 ( ) ( )x t x t X j X j? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号
控制另一个信号的幅度，这就是 幅度调制 。其中
一个信号称为 载波,另一个是 调制信号 。
例 1,( ) ( )x t X j??
0 02 ( )jte ? ?? ? ???
0 0( ) [ ( ) ]jtx t e X j? ??? ? ?
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j???? ? ? ?
移频性质
例 2,正弦幅度调制,
0( ) ( ),( ) co ss t S j p t t????
( ) ( ) ( )r t s t p t?
()pt
?()st ()rt
1
0
?
M?M??
()Sj?
()rt
t
()st
00( ) [ ( ) ( ) ]Pj ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
0
()?
?
0?0??
()Pj?
00
1( ) ( ) [ ( ) ( )]
2R j S j? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
? ?0011( ) [ ( )]22S j S j? ? ? ?? ? ? ?
1/2
?
0?0??
()Rj?
正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬
移到载频位置。
例 3,同步解调,
0 0 0
1( ) c o s ( ) [ ( ) ( )]
2r t t R j? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
00
1 1 1( ) [ ( 2 )] [ ( 2 )]
2 4 4S j S j S j? ? ? ? ??? ? ? ? ?
1/2
1/4 1/4
M?? M?02?? 02?
?
此时，用一个频率特性为
的系统即可从 恢复出 。
()Hj?
()rt ()st
()Hj?2
0c??
c?
?
只要
02M c M? ? ? ?? ? ?
即可。
具有此频率特性的 LTI系统称为 理想低通滤波器 。
例 4,中心频率可变的带通滤波器：
? ?
()xt ()yt ()rt()wt
0jte ??0jte?
c?
()Xj?
?
?
()Wj?
c?? c?
()Fj?
?
A
0??
0 c????0 c????
()Yj?
c??
?
1
0?c?
Yj?理想低通的频率响应
0??
2 c?
1
?
()Hj? 等效带通滤波器
相当于从 中直接用一个带通滤波器滤出的
频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为 的
带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。
()Xj?
0?
0?
4.6 傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表
(自学 )
工程实际中有相当广泛的 LTI系统其输入输出关
系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式
的 LCCDE是,
4.7 由线性常系数微分方程表征的系统
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
一, 由 LCCDE描述的 LTI系统的频率特性,
Systems Characterized by Linear Constant-
Coefficient Differential Equations
由于 是一切 LTI系统的特征函数，因此,当
系统的输入为 时，系统所产生的响应就
是 。表明在 的情况下，
求解 LCCDE即 可得到 。但是这种方法太麻
烦，很少使用。
( ) ( ) jty t H j e ???
()Hj?
jte ?
() jtx t e ??
() jtx t e ??
对 LCCDE两边进行傅立叶变换有：
00
( ) ( ) ( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a j Y j b j X j? ? ? ?
??
???
由于 ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ??
可见由 LCCDE描述的 LTI 系统其 频率特性是一
个有理函数 。由此可以看出，对由 LCCDE 描述
的 LTI系统，当需要求得其 时 (比如时域分析
时 ),往往是由 做反变换得到。
()ht
()Hj?
0
0
()
()
()
N
k
k
k
N
k
k
k
bj
Hj
aj
?
?
?
?
?
??
?
?
对有理函数求傅立叶反变换通常采用 部分分式
展开 和 利用常用变换对 进行。
二,频率响应的求法：
1.用微分方程表征的系统
??
??
?
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k dt
txdb
dt
tyda
00
)()(
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??
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M
k
k
k
N
k
k
k jXjbjYja
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)()()()( ????
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k
k
k
M
k
k
k
ja
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jX
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0
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)(
)(
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2
txdt tdxtydt tdydt tyd ????
例：
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1
2
1
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2
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3
8)(6)(
3
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2
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jj
jj
j
jj
j
jH
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?
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)(][21)( 42 tueeth tt ?? ??
可见,对 由微分方程所描述的系统通过求频率
响应可以方便地求出其单位冲激响应。
6)(2)(
2)()()(
2
2
??
???
??
???
jj
jjjH
2.以方框图描述的系统
例：
??? ?
)(tx )(ty
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2?
6
1
2
1?
()Wj?
2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )Y j W j j W j j W j? ? ? ? ? ?? ? ?
2( ) ( ) ( ) 2 ( ) 6 ( )j W j X j j W j W j? ? ? ? ? ?? ? ?
3.互联系统的 )( ?jH
* 级联,
12( ) ( ) ( )H j H j H j? ? ??
* 并联,
12( ) ( ) ( )H j H j H j?????
H1(j?) H2(j?))(tx )(ty
H1(j?)
H2(j?)
)(tx )(ty
21( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )Y j X j Y j H j H j? ? ? ? ???
* 反馈联结,
)(tx )(ty
)(1 ?jH
)(2 ?jH
? ?1 1 2( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )X j H j Y j H j H j? ? ? ? ???
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
??
?
?
??
jHjH
jH
jX
jYjH
?
??
1,通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时
间信号 (包括周期、非周期信号 )分解为复指数信
号分量的线性组合的方法。
2,通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时
域特性与频域特性的关系。卷积特性是 LTI系统频
域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信
号传输领域各种调制解调技术的理论基础。
4.8 小结 Summary
3,对 LTI系统建立了频域分析的方法。
5,稳定的 LTI系统可以通过其频率响应来描述。
()Hj?
4,对由 LCCDE描述的 LTI系统，可以很方便地
由 LCCDE或系统框图得到其 。
6,建立了系统互联时，系统频率响应与各子系
统频率响应的关系。
The Continuous time Fourier Transform
本 章的主要内容,
1,连续时间傅立叶变换 ;
2,傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系 ;
3,傅立叶变换的性质 ;
4,系统的频率响应及系统的频域分析；
在工程应用中有相当广泛的信号是非周期
信号，对非周期信号应该如何进行分解，什
么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系
统对非周期信号的响应如何求得，就是这一
章要解决的问题。
4.0 引言 Introduction
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期
趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期
信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周
期性延拓，就一定能形成一个周期信号。
我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋
于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶
级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得
到对非周期信号的频域表示方法。
4.1 非周期信号的表示 — 连续时间傅立叶变换
Representation of Aperiodic Signals,The
Continuous-Time Fourier Transform
一,从傅立叶级数到傅立叶变换
我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期
增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线
间隔随 的增大而减小；但频谱的包络不变。
0T
0T
0T
再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：
当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为
非周期的单个矩形脉冲信号。
0T ??
（ a）
（ b）
(a)
014TT?
(b)
0
ka
?
02?0
2??
ka
?
14?14??
0
018TT?
012??＝
由于 也随 增大而减小，并最
终趋于 0，考查 的变化，它在 时应该
是有限的。
011
0 0 1
sin2
k
kTTa
T k T
?
?? 0
T
0 kTa 0T ??
于是，我们推断出,当 时，离散的频谱将
演变为连续的频谱。
0T ??
0 0
0
/2
0 /2 ()
T jk t
k TT a x t e d t
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由
当 时,
0T ?? 0
0
2,d
T
????? 0,k??? ?? ?
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
0 0
lim ( )kT T a X j??? ?
如果令 则有
0
0
1 ()
ka X jkT ??
与周期信号傅立叶级数对比有：
这表明,周期信号的频谱就是与它相对应的非周期
信号频谱的样本。
根据傅立叶级数表示：
0 0 0
0 0 0
0
11( ) ( ) ( )
2
jk t jk t jk t
k
k k k
x t a e X j k e X j k eT? ? ?? ? ??
? ? ?
? ?? ? ?? ? ??
? ? ?? ? ?
连续时间傅立叶变换
当
0T ??
时,( ) ( ),x t x t?
0
0
2,d
T
?????
0k???
?? ? 于是有：
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
?
??? ?
傅立叶反变换
此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率
连续分布、振幅为 的复指数信号之和。
由于 具有频谱随频率分
布的物理含义，因而称 为 频谱密度函数 。
1 ()
2 X j d???
0 0 0
0,0
0
( ) l i m l i m kk
T T f
aX j T a
f? ? ? ? ? ???
()Xj?
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
?
??
? ?
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ?
??
? ?
于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法
这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。
可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号 频
谱的样本 ；而非周期信号的频谱是对应的周期信
号 频谱的包络。
既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶
级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得
来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级
数的收敛相一致。
二, 傅立叶变换的收敛
这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。
2,Dirichlet 条件
()x t dt??? ???
a,绝对可积条件
1,若 2()x t d t?
?? ???
则 存在。()Xj?
也有相应的两组条件：
b,在任何有限区间内,只有有限个极值点，
且极值有限。
()xt
c,在任何有限区间内,只有有限个第一类间
断点。
()xt
应该指出,这些条件只是傅立叶变换存在的充分
条件 。
()xt
()xt和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存
在时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本
身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断
点附近会产生 Gibbs 现象。
sin t
t
这两组条件并不等价。例如,是平方可积
的，但是并不绝对可积。
三,常用信号的傅立叶变换：
1,( ) ( ),0atx t e u t a???
0
1() a t j tX j e e d t
aj
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??
22
1()Xj
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a
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1
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a?
a
()Xj?
?
/4?
/4??
2,( ),0atx t e a???
结论,实偶信号的傅立叶
变换是实偶函数。 此时可以
用一幅图表示信号的频谱。
对此例有 ( ) ( )X j X j??? ( ) 0Xj ? ?
()Xj?2
a
1
a
aa?
?
()xt
t
1
0
0
0
22
()
1 1 2
a t j t a t j t
X j e e d t e e d t
a
a j a j a
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? ? ?
? ? ?
??
3,( ) ( )x t t??
( ) ( ) 1jtX j t e dt??? ? ??????
0
()t?
t
这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频
率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲
激响应 才能完全描述一个 LTI系统的特性，
才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。
()t?
()ht ()t?
()Xj?
?0
1
1
1
1 1 1
1
1
1 1 1
2 si n 2 si n
()
2 S a ( ) 2 S inc ( )
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T
T T T
X j e dt
T
T
T T T
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?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
显然，将 中的 代之以 再乘以,即
是相应周期信号的频谱
()Xj? ? 0k?
0
1
T
0111
01
0 0 0
sin22S a ( )
k
kTTTa k T
T T k T
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???
4,矩形脉冲, ()xt? 1,1tT?
0,1tT?
?
1T1T?
t
()xt
1
()xt
t
1T1T?
1
0
()xt
t
12T12T?
1
0
()Xj?
0
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?
12T
12T
?
?
()Xj?
14T
0
不同脉冲宽度对频谱的影响
可见,信号在时域和频域之间有一种相反的关系 。
(称为 理想低通滤波器 )
与矩形脉冲情况对比，可以发现 信号在时域和频
域之间存在一种对偶关系。
5,1，0，()Xj? ?
W? ?
W? ?
?
1 s i n( ) S a ( ) s i n c ( )
2
W jt
W
W t W W W tx t e d W t
t
? ?
? ? ? ? ??? ? ? ??
()Xj?
?
W? W
1
0
()xt
t
( / )W ?
0
W
?
对偶关系可表示如下,
()xt
t
1T1T?
1
0
()Xj?
?
W? W
1
0
()Xj?
0
?1T
?
12T
()xt
t
( / )W ?
0
W
?
同时可以看到,信号在时域和频域之间也有一种
相反的关系 。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主
瓣越宽，反之亦然。
对例 5,我们可以想到，如果,则 将趋于
一个冲激。
W ?? ()xt
6,若 则有( ) 1xt ? ( ) 2 ( )Xj ? ? ? ??
因为 11()
22
W jt
W
ed?? ? ???
?
??
所以 ( ) 1 2 ( )Fxt ? ? ?? ? ??
四, 信号的带宽 ( Bandwidth of Signals ):
由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是
集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都
具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号
时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有
效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的
频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义
带宽。通常有如下定义带宽的方法,
2,对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽
度 (即 频谱第一个零点内的范围 )为信号带宽。
Sa( )x
下降到最大值的 时对应的频率范围,
此时带内信号 分量占有信号总能量的 1/2。
1.
()Xj? 1 2
以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，
脉宽乘以带宽等于常数 C (脉宽带宽积 )。这清楚地
反映了频域和时域的相反关系。
4.2 周期信号的傅立叶变换
到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，
非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法
的不一致，在某些情况下,会给我们带来不便。但
由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直
接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。
0
0
1( ) ( ) ( )
2
jtj t j tx t X j e d e d e ???? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ? ?
? ? ? ???
The Fourier Transformation of Periodic Signals
所对应的信号
0( ) 2 ( )Xj ? ? ? ? ???
考查
这表明 周期性复指数信号的频谱是一个冲激 。
于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为
0() jk t
k
k
x t a e ?
?
? ? ?
? ?
就有
0( ) 2 ( )k
k
X j a k? ? ? ? ?
?
? ? ?
???
周期信号的傅立叶变换表示
0() jk tx t e ?? 0( ) 2 ( )X j k? ? ? ? ???
若 则
这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组
成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，
其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。
ka
例 1：
00
0
1( ) sin [ ]
2
j t j tx t t e e
j
??? ?? ? ?
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj j
?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
()Xj?
0??
0?
j
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j
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0
00( ) [ ( ) ( ) ]Xj ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
2
221 1 1( ) ( )TT j k tT
ka t e dt t dtT T T
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???
??
? ? ???
()Xj?
? ?
0?? 0?
?
0
00
0
1( ) c o s [ ]
2
j t j tx t t e e??? ?? ? ?
例 2：
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
???
例 3,均匀冲激串
TT? 2T2T? 0
()xt
t
1
()Xj?
0
2
T
?2T??
2
T
?
?
( ) ( )
n
x t t n T?
?
? ? ?
??? 22( ) ( )
k
X j kTT??? ? ?
?
? ? ?
???
22( ) ( )
k
X j kTT??? ? ?
?
? ? ?
? ? ??
例 4,周期性矩形脉冲
1
0
0
22 si n( )
2
( ) ( )
k
kT
TX j k
kT
?
?
? ? ?
?
? ??
???
1
01
1
00
2
s i n
22
S a ( )k
Tk
TT
a k T
T T k
?
?
?
??
1
0
21
2
T
T ?
()Xj?
0
2
T
?
?? ? ? ?
1T1T?
0
1
()xt
t
0T0T?
4.3 连续时间傅立叶变换的性质
讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示
信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和
运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。
1,线性, Linearity
则 ( ) ( ) ( ) ( )a x t b y t a X j b Y j??? ? ?
Properties of the Continuous-Time Fourier Transform
( ) ( ),( ) ( )x t X j y t Y j????若
2,时移, Time Shifting
这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频
特性会增加一个线性相移。
( ) ( )x t X j?? 则 00( ) ( ) jtx t t X j e ?? ???若
3,共轭对称性, Conjugate and Symmetry
若 ( ) ( )x t X j??
则 **( ) ( )x t X j???
**( ) ( ) jtX j x t e d t?? ?
??? ?
所以
**( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ?
???? ?
即 **( ) ( )x t X j???
? 若 是实信号，则()xt *( ) ( )x t x t?
于是有,
*( ) ( )X j X j????
由
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
可得
R e [ ( ) ] R e [ ( ) ]X j X j????即 实部是偶函数
虚部是奇函数
? 若
()( ) ( ) j X jX j X j e ????
则可得出
( ) ( )X j X j???? ( ) ( )X j X j??? ? ?
即,模是偶函数，相位是奇函数
? 若 则可得( ) R e [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j j X j? ? ???
I m [ ( ) ] I m [ ( ) ]X j X j??? ? ?
? 如果 ( ) ( )x t x t?? 即信号是偶函数。则
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
( ) ( ) ( )j t jx t e dt x e dt X j? ? ????? ??? ??? ? ? ? ???
表明,实偶信号的傅立叶变换是偶函数。
表明 是实函数。()Xj?
? 若 即信号是奇函数，同样可以得出,( ) ( )x t x t? ? ?
*( ) ( )X j X j???? 所以 *( ) ( )X j X j???又因为
( ) ( )X j X j??? ? ?表明 是奇函数()Xj?
*( ) ( )X j X j???? ()Xj?表明 是虚函数
? 若 ( ) ( ) ( )
eox t x t x t??
则有,
( ) ( ) ( )eoX j X j jX j? ? ???
( ) ( )eex t X j?? ( ) Re [ ( ) ]eX j X j???
( ) ( )oox t jX j?? ( ) I m [ ( ) ]oX j X j???
例, 的频谱,()ut
( ) ( ) ( )eou t u t u t??
1()
2eut ?
1
0
()ut
t
1/2
0
()eut
t
-1/2
1/2
0
()out
t
将 分解为偶部和奇部有()ut
1( ) S g n ( )
2ou t t?
Sgn( )t ?
?
1,
1,? 0t?
0t?
( ) ( )eut ?? ??
220
22lim
a
j
aj
?
???
???
?
1( ) ( )ut
j
?? ?
?
??
0S g n ( ) l i m [ ( ) ( ) ]
a t a t
at e u t e u t
?
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0
11li m [ ]
a a j a j???
????[Sgn( )]tF
1
j??
1( ) S g n ( )
2ou t t??
1
1?
t
Sgn( )t
ate?
ate
4.时域微分与积分, Differentiation and Integration
(可将微分运算转变为代数运算 )
(将 1
( ) ( )2 jtx t X j e d???? ???? ?
两边对 微分即得该性质 )t
由时域积分特性从 ( ) 1t? ?
也可得到, 1
( ) ( )ut j ?? ????
1( ) ( ) ( 0 ) ( )t x d X j X
j? ? ? ? ? ???? ???
（时域积分特性）
( ) ( )x t X j??
则 ()
()d x t j X jdt ???
若
5.时域和频域的尺度变换, Scaling
当 时，有1a ?? ( ) ( )x t X j?? ? ?
尺度变换特性表明,信号如果在时域扩展 a 倍，
则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。 这就从理论上
证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉
宽带宽积等于常数的结论。
( ) ( )x t X j?? 则 1( ) ( )x at X j
aa
??若
时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）
6.对偶性, Duality
若 ( ) ( )x t X j?? 则 ( ) 2 ( )X jt x????
2 ( ) ( ) jtx X j t e d t??? ????? ?
2 ( ) ( ) jtx X jt e dt??? ?? ?
??
?? ?
( ) 2 ( )X jt x??? ? ?
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
??
??
? ?
证明：
也可由 ( ) ( )
jtX j x t e dt?? ? ?
??? ?
得到证明。
1( ) ( ) 2 ( )
2
j t j tX j t x e d x e d??? ? ? ? ?
?
?? ?
? ? ? ?
? ? ???
根据 ( ) ( )x t X j?? ? ? 得
0 0( ) [ ( ) ]jtx t e X j? ???? 这就是 移频特性
例如, 由 有对偶关系
利用时移特性有
再次对偶有
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x????
00[ ( ) ] 2 ( ) jtX j t t x e ??? ?? ? ?
0 02 ( ) 2 [ ( ) ]jtx t e X j?? ? ? ??? ? ? ?
由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域
由
( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ?
得
( ) ( ) jtd X j j t x t e d td ??? ? ?
??
???
所以 ( ) ( )djtx t X j
d ????
频域微分特性
该特性也可由对偶性从时域微分特性得出,
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x????
( ) ( )djtx t X jd ????
由 ( ) ( )x t X j?? ? ? 有
( ) 2 ( )d X jt j xdt ? ? ???利用 时域微分特性 有
( ) 2 ( )X jt x????
对
2 ( ) 2 ( )()djtx t X jd? ? ??? ? ??
再次对偶得
频域微分特性
由时域积分特性，可对偶出频域积分特性
( ) ( )x t X j?? ( ) 2 ( )X jt x????
22 ( )( ) [ 2 ( 0) ( ) ]t xX j d x
j
??? ? ? ? ?
???
????
利用 时域积分特性
()2 [ ( 0 ) ( ) ] 2 ( )xt x t X j d
jt
?? ? ? ? ? ??
??
? ?? ?再次对偶
() ( 0 ) ( ) ( )xt x t X j d
jt
?? ? ? ?
??
??? ?
( ) ( )x t X j?? ? ?由 有
频域积分特性
7,Parseval定理,
若 ( ) ( )x t X j?? 则
221( ) ( )
2x t d t X j d???
??
? ? ? ?
???
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可
以在频域求得。由于 表示了信号能量在
频域的分布，因而称其为,能量谱密度,函数。
2()Xj?
4.4 卷积性质 The Convolution Property
一,卷积特性：
由于卷积特性的存在，使对 LTI系统在频域进
行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是
因为复指数信号是一切 LTI系统的特征函数。
( ) ( )x t X j?? ( ) ( )h t H j??
则 ( ) ( ) ( ) ( )x t h t X j H j????
若
1( ) ( )
2
jtx t X j e d???
?
?
??
? ?
由 表明：
( ) ( ) jtH j h t e dt?? ? ???? ?
故有
可将 分解成复指数分量的线性组合，每个
通过 LTI系统时都要受到系统 与 对应的特征值
的加权。这个特征值就是
()xt jte?
jte?
1( ) ( ) * ( ) ( ) ( )
2
jty t x t h t X j H j e d?? ? ?
?
?
??
?? ?
所以 ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ??
由于 的傅氏变换 就是频率为 的复指
数信号 通过 LTI系统时，系统对输入信号在
幅度上产生的影响，所以称为 系统的频率响应 。
()ht ()Hj? ?
jte ?
鉴于 与 是一一对应的，因而 LTI系统
可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的
频率响应 都存在，因此用频率响应表征系统
时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了
()ht ()Hj?
()Hj?
? ???? ??dtth |)(|
二, LTI系统的频域分析法,
根据卷积特性,可以对 LTI系统进行频域分析,
其过程为,
1,由
2,根据系统的描述，求出
3.
4,
( ) ( )x t X j??
()Hj?
( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ??
1( ) [ ( ) ]y t Y j??? F
4.5 相乘性质 The Multiplication Property
利用对偶性可以 从卷积性质得出相乘性质
11( ) ( )x t X j??
11( ) 2 ( )X jt x????
22( ) ( )x t X j??
22( ) 2 ( )X jt x????
21 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) ( )X jt X jt x x? ? ?? ? ? ?
若
11( ) ( )x t X j?? 22( ) ( )x t X j??
则
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j???? ? ?
2 1 2 1 24 ( ) ( ) 2 ( ) ( )x t x t X j X j? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号
控制另一个信号的幅度，这就是 幅度调制 。其中
一个信号称为 载波,另一个是 调制信号 。
例 1,( ) ( )x t X j??
0 02 ( )jte ? ?? ? ???
0 0( ) [ ( ) ]jtx t e X j? ??? ? ?
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2x t x t X j X j???? ? ? ?
移频性质
例 2,正弦幅度调制,
0( ) ( ),( ) co ss t S j p t t????
( ) ( ) ( )r t s t p t?
()pt
?()st ()rt
1
0
?
M?M??
()Sj?
()rt
t
()st
00( ) [ ( ) ( ) ]Pj ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
0
()?
?
0?0??
()Pj?
00
1( ) ( ) [ ( ) ( )]
2R j S j? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
? ?0011( ) [ ( )]22S j S j? ? ? ?? ? ? ?
1/2
?
0?0??
()Rj?
正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬
移到载频位置。
例 3,同步解调,
0 0 0
1( ) c o s ( ) [ ( ) ( )]
2r t t R j? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?
00
1 1 1( ) [ ( 2 )] [ ( 2 )]
2 4 4S j S j S j? ? ? ? ??? ? ? ? ?
1/2
1/4 1/4
M?? M?02?? 02?
?
此时，用一个频率特性为
的系统即可从 恢复出 。
()Hj?
()rt ()st
()Hj?2
0c??
c?
?
只要
02M c M? ? ? ?? ? ?
即可。
具有此频率特性的 LTI系统称为 理想低通滤波器 。
例 4,中心频率可变的带通滤波器：
? ?
()xt ()yt ()rt()wt
0jte ??0jte?
c?
()Xj?
?
?
()Wj?
c?? c?
()Fj?
?
A
0??
0 c????0 c????
()Yj?
c??
?
1
0?c?
Yj?理想低通的频率响应
0??
2 c?
1
?
()Hj? 等效带通滤波器
相当于从 中直接用一个带通滤波器滤出的
频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为 的
带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。
()Xj?
0?
0?
4.6 傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表
(自学 )
工程实际中有相当广泛的 LTI系统其输入输出关
系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式
的 LCCDE是,
4.7 由线性常系数微分方程表征的系统
00
( ) ( )kkNN
kkkk
kk
d y t d x tab
dt dt?? ???
一, 由 LCCDE描述的 LTI系统的频率特性,
Systems Characterized by Linear Constant-
Coefficient Differential Equations
由于 是一切 LTI系统的特征函数，因此,当
系统的输入为 时，系统所产生的响应就
是 。表明在 的情况下，
求解 LCCDE即 可得到 。但是这种方法太麻
烦，很少使用。
( ) ( ) jty t H j e ???
()Hj?
jte ?
() jtx t e ??
() jtx t e ??
对 LCCDE两边进行傅立叶变换有：
00
( ) ( ) ( ) ( )
NN
kk
kk
kk
a j Y j b j X j? ? ? ?
??
???
由于 ( ) ( ) ( )Y j X j H j? ? ??
可见由 LCCDE描述的 LTI 系统其 频率特性是一
个有理函数 。由此可以看出，对由 LCCDE 描述
的 LTI系统，当需要求得其 时 (比如时域分析
时 ),往往是由 做反变换得到。
()ht
()Hj?
0
0
()
()
()
N
k
k
k
N
k
k
k
bj
Hj
aj
?
?
?
?
?
??
?
?
对有理函数求傅立叶反变换通常采用 部分分式
展开 和 利用常用变换对 进行。
二,频率响应的求法：
1.用微分方程表征的系统
??
??
?
M
k
k
k
k
N
k
k
k
k dt
txdb
dt
tyda
00
)()(
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?
M
k
k
k
N
k
k
k jXjbjYja
00
)()()()( ????
?
?
?
???
N
k
k
k
M
k
k
k
ja
jb
jX
jY
jH
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
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?
?
?
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)(3)()(8)(6)(2
2
txdt tdxtydt tdydt tyd ????
例：
]
4
1
2
1
[
2
1
)2)(4(
3
8)(6)(
3
)(
2
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??
?
??
?
?
jj
jj
j
jj
j
jH
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
)(][21)( 42 tueeth tt ?? ??
可见,对 由微分方程所描述的系统通过求频率
响应可以方便地求出其单位冲激响应。
6)(2)(
2)()()(
2
2
??
???
??
???
jj
jjjH
2.以方框图描述的系统
例：
??? ?
)(tx )(ty
?? ?
2?
6
1
2
1?
()Wj?
2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )Y j W j j W j j W j? ? ? ? ? ?? ? ?
2( ) ( ) ( ) 2 ( ) 6 ( )j W j X j j W j W j? ? ? ? ? ?? ? ?
3.互联系统的 )( ?jH
* 级联,
12( ) ( ) ( )H j H j H j? ? ??
* 并联,
12( ) ( ) ( )H j H j H j?????
H1(j?) H2(j?))(tx )(ty
H1(j?)
H2(j?)
)(tx )(ty
21( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )Y j X j Y j H j H j? ? ? ? ???
* 反馈联结,
)(tx )(ty
)(1 ?jH
)(2 ?jH
? ?1 1 2( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )X j H j Y j H j H j? ? ? ? ???
)()(1
)(
)(
)()(
21
1
??
?
?
??
jHjH
jH
jX
jYjH
?
??
1,通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时
间信号 (包括周期、非周期信号 )分解为复指数信
号分量的线性组合的方法。
2,通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时
域特性与频域特性的关系。卷积特性是 LTI系统频
域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信
号传输领域各种调制解调技术的理论基础。
4.8 小结 Summary
3,对 LTI系统建立了频域分析的方法。
5,稳定的 LTI系统可以通过其频率响应来描述。
()Hj?
4,对由 LCCDE描述的 LTI系统，可以很方便地
由 LCCDE或系统框图得到其 。
6,建立了系统互联时，系统频率响应与各子系
统频率响应的关系。
