§ 15-1 简谐振动
1.简谐振动的特征及其表达式
简谐振动,物体运动时, 离开平衡位置的位移 (或
角位移 )按余弦 (或正弦 )规律随时间变化 。
XO
F?
F?
XO
XO
简谐振动的特征及其表达式
弹簧振子,连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和
一个不发生形变的物体系统。
回复力,作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合
外力,该力与位移成正比且反向。
简谐振动的动力学特征,
kx F? ?
,x mk mF a? ? ?据牛顿第二定律, 得 2 ? ? mk令
x
t
x a2
2
2
d
d? ? ? ?
运动学特征
简谐振动的特征及其表达式
位移 之解可写为：) cos(0 ? ?? ?t A xx
或 )i( 0e ?? ?? tAx
简谐振动的运动学特征,物体的加速度与位移成正
比而方向相反, 物体的位移按余弦规律变化 。
速度) sin( d
d
0 ? ? ?? ? ? ?t A t
x v
加速度) cos( d
d
0
2
2
2
? ? ?? ? ? ?t A
t
x a
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系,
t
x ?
?4??2
t
v
t
a
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动的特征及其表达式
0 0 0 0sin,cos? ? ?A v A x? ? ?
2 0 2 0) (? v x A? ?
?
?
? ?
?
?? ?
0
0
0arctgx
v
? ?
常量 和 的确定A 0?
在 到 之间，通常 存在两个值，可根据
进行取舍。0 0sin? ?A v? ?
0??? ??
根据初始条件,时，,,得0xx ? 0vv ?0?t
简谐振动的特征及其表达式
2.简谐振动的振幅, 周期, 频率和相位
(1)振幅, 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 。
2 0 2 0) (? v x A? ? 由初始条件确定
? ? 2 ? T
])(c os [)c os ( 00 ???? ????? tTAtAx
(2)周期和频率
周期,物体作一次完全运动所经历的时间。
频率,单位时间内物体所作完全运动的次数。
??? 21 ?? T
???? 22 ?? T
角频率, 物体在 秒内所作的完全运动的次数。?2
对于弹簧振子，因有,得, mk??
,2 kmT ?? mk?? 2
1?
利用上述关系式，得谐振动表达式：
? ?02c o s ?? ?? TtAx
? ?02cos ??? ?? tAx
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(3)相位和初相
相位,决定简谐运动状态的物理量。 )( 0?? ?t
初相位, t=0 时的相位。0?
) cos(10 1 1? ?? ?t A x
) cos(20 2 2? ?? ?t A x
相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动
步调上的差异。
设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：
二者的 相位差 为：
10 20 10 20) ( ) (? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?t t
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
10 20 10 20) ( ) (? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?t t
(b)当 时,称两个振动为反相； ?? )12( ??? k
(d)当 时,称第二个振动落后第一个振动 。0??? ??
(c)当 时,称第二个振动超前第一个振动 ；0??? ??
讨论,
相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对
于简谐振动的位移、速度和加速度，存在,
) cos(0 ? ?? ?t A x
(a)当 时,称两个振动为同相； ?? k2??
) 2 cos( ) sin(0 m 0 m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?t v t v v
简谐振动的振幅, 周期, 频率和相位
) cos( ) cos(0 m 0 m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?t a t a a
速度的相位比位移的相位超前,加速度的相
位比位移的相位超前 。
2??
简谐振动的振幅, 周期, 频率和相位
3,简谐振动的矢量图示法
采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达
式中各个物理量的意义。
旋转矢量,一长度等于振幅 A 的矢量 在纸平面
内绕 O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角
频率相等，这个矢量称为旋转矢量。
A?
简谐振动的矢量图示法
振动相位
逆时针方向
ω
M 点在 x 轴上投影 (P点 )的运动 规律,
) cos(0 ? ?? ?t A x
的长度A?
旋转的角速度A?
旋转的方向A?
与参考方向 x 的夹角A?
XO
M
P
x
A?
0?? ?t
振幅 A
振动圆频率 ?
简谐振动的矢量图示法
A?
XO
速度、加速度的旋转矢量表示法：
A?
X
v?
x v
a?
x a
0 ? ?? t
沿 X 轴的投
影为简谐运动的速度、
加速度表达式 。
,v? a?
M 点,
M
A?
XO
Avm ??
Aa m 2??
0v?
0v?
简谐振动的矢量图示法
两个同频率的简谐运动：
) cos(1 1 1? ?? ?t A x
相位之差为,) ( ) (1 2 1 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?t t
X
O
1 A?
1?
??
) cos(2 2 2? ?? ?t A x
采用旋转矢量直观表示为：
?
2 A
?
2?
简谐振动的矢量图示法
例 15-1 一物体沿 X 轴作简谐振动, 振幅 A=0.12m,周期
T=2s。 当 t=0时,物体的位移 x=0.06m,且向 X 轴正向运动 。
求,(1)简谐振动表达式 ;(2) t =T/4时物体的位置, 速度和加速
度 ;(3)物体从 x =-0.06m向 X 轴负方向运动, 第一次回到平衡
位置所需时间 。
解, (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：
(m) ) 3 cos( 12, 0? ?? ?t x
) cos(0 ? ?? ?t A x
其中 A=0.12m,T=2s,)(s2 1??? ??? T
初始条件,t = 0,x0=0.06m,可得
06.0cos12.0 0 ?? 30 ?? ??
据初始条件 得,0s in 00 ??? ?? Av 30 ?? ??
简谐振动的矢量图示法
(2) 由 (1)求得的简谐振动表达式得,
) s (m ) 3 sin( 12, 0 d d1 ? ? ? ? ? ?? ? ?t t x v
) s (m ) 3 cos( 12, 0 d d2 2? ? ? ? ? ?? ? ?t t v a
在 t =T/4=0.5s时, 从前面所列的表达式可得
m 104, 0 m ) 3 5, 0 cos( 12, 0? ? ? ?? ? x
1 1s m 18, 0 s m ) 3 5, 0 sin( 12, 0? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? v
2 2 2s m 03, 1 s m ) 3 5, 0 cos( 12, 0? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? a
简谐振动的矢量图示法
(3) 当 x = -0.06m时, 该时刻设为 t1,得
2 1 ) 3 cos(1? ? ?? ?t
3 4,3 2 3 1? ? ? ?? ? t
因该时刻速度为负, 应舍去,3 4? s 1 1? t
设物体在 t2时刻第一次回到平衡位置, 相位是 2 3?
2 3 3 2? ? ?? ? t
因此从 x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间,。 s 83, 0
1 2? ? ? ?t t t
另解, 从 t1时刻到 t2时刻所对应的相差为,
6 5 3 2 2 3? ? ? ?? ? ? ?
s 83,1 2? t
s 83, 0 ? ? ? ?? ? t
简谐振动的矢量图示法
4.几种常见的简谐振动
(1) 单摆
g? m
T?
重物所受合外力矩：
? sin mgl M? ?
O
?
l
..,! 5 ! 3 sin
5 3
? ? ? ?? ? ? ?
? ?? sin ? mgl M? ?
据转动定律, 得到? ? ?
l
g
ml
mgl
J
M
t? ? ? ? ?2 2
2
d
d
很小时 (小于 ),可取?5?
令,lg?2?。 l g T? ? ?2 2? ?有
) cos(0 ? ? ? ?? ?t m
转角 的表达式可写为：?
角振幅 和初相 由初始条件求得 。m? 0?
单摆周期 与角振幅 的关系为m?T
?
?
??
?
? ???????
2s i n4
3
2
1
2s i n2
11 4
2
2
2
2
20
mmTT ??
为 很小时单摆的周期 。0T m?
根据上述周期的级数公式, 可以将周期计算
到所要求的任何精度 。
几种常见的简谐振动
(2) 复摆
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆 。
?
g? m
C
O
刚体的质心为 C,对过 O 点的
转轴的转动惯量为 J,O,C 两点间
距离的距离为 h。
? ?sin d d2
2
mgh t J? ?
? ?mgh t J? ? 2
2
d
d
令J
mgh ? 2 ?
0 d d2 2
2
? ?? ? ?tmgh
J T?
?
?2 2? ?
据转动定律, 得
若 角度较小时?
几种常见的简谐振动
例 15-2 一质量为 m 的平底船, 其平均水平截面积为 S，
吃水深度为 h,如不计水的阻力, 求此船在竖直方向的振动周
期 。
解, 船静止时浮力与重力平衡,
mgh S g ??
O
y
P P y
船在任一位置时, 以水面为坐标原点,竖
直向下的坐标轴为 y轴, 船的位移用 y表示 。
几种常见的简谐振动
船的位移为 y时船所受合力为：
SgymgSgyhf ?? ?????? )(
船在竖直方向作简谐振动, 其角频率和周期为,
m
Sg?? ?
gS
mT
???
? 22 ??
因,Shm ??
g
hT ?2?
得,
几种常见的简谐振动
5,简谐振动的能量
) ( sin 2 1 2 10 2 2 2 2? ? ?? ? ?t A m mv EK
) ( cos 2 1 2 10 2 2 2? ?? ? ?t kA kx EP
动能
势能
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。
系统总的机械能：
) ( cos
2
1
) ( sin
2
1
0
2 2
0
2 2 2? ? ? ? ?? ? ? ?
? ?
t kA t A m
E E EP K
P KE E E? ?
简谐振动的能量
考虑到,系统总能量为,表明
简谐振动的机械能守恒。
2
2
1 kAE ?mk?
2?
能量平均值
2
00
2 2 2
4
1 d ) ( sin
2
1 1kA t t A m
T E
T
K? ? ??? ? ?
2
00
2 2
4
1 d ) ( cos
2
1 1kA t t kA
T E
T
P? ? ??? ?
2 E E EP K? ?
上述结果对任一谐振系统均成立 。
谐振子的动能, 势能和总能量随时间的变化曲线,
tAx ?co s?
t
x
O
2
2
1 kAE ?
PE
kE tO
E
简谐振动的能量
' O
O
?
?
2
d
d
2
1?
?
? ?
?
? ?
t
J EK?
C Pmgh E?
l
A
B
例 15?3 一匀质细杆 AB的两端,用长度都为 l 且不计质量的
细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴 扭动时, 求证其
运动周期为,。g l T3 2? ?
'OO
解,设棒长为 2R,质量为 m,在棒
扭动时,其质心沿 上下运动 。 因扭
动角度 很小, 可近似认为细棒在水
平面内转动 。 扭动角度为 时,细棒
在水平面内转动角度为 ?,则有
?
?
'OO
?? Rl ?
简谐振动的能量
hc 是棒的质心相对棒平衡时
质心位置的高度,有
系统机械能守恒
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?) cos 1 ( d d 3 1 2 1
2
2? ?mgl
t mR E EP K
将上式两端对时间求导, 并利用关系? ? ?l
R ? ? sin
0 d d d d d d 3 12
2
2? ? ? ? ? ? ? ?
t l
R
l
R mgl
t t mR
? ? ? ?
? ? ? ?2 2
23
d
d? ? ? ?
l
g
tg l T3 2 2? ? ?? ? 得证 。
)cos1( ??? lh c 3/12/)2(
22 mRRmJ ??
' O
O
?
?
l
A
B
常量
简谐振动的能量
例 15-4 劲度系数为 k,原长为 l,质量为 m的均匀弹簧,
一端固定, 另一端系一质量为 M 的物体, 在光滑水平面内作
直线运动 。 求解其运动 。
M
l x
s sd
2
0
2
16
1 ) d (
2
1mv v
l
s s
l
m El
K? ? ?
? ?
?
? ?? 2
22
1Mv E
K?
l sxl s m md d?
解：平衡时 O 点为
坐标原点 。 物体运动
到 x 处时, 弹簧固定端
位移为零, 位于 M 一
端 位移为 x。 当物 体
于 x 处时,弹簧元 ds的质量,位移为
速度为 弹簧, 物体的动能分别为：,d
d
t
x
l
s
X
O
简谐振动的能量
系统弹性势能 为2 2 kx EP?
系统机械能守恒, 有
? ? ?2 2 22 1 6 1 2 1kx mv Mv
? ? ?2 22 1 ) 3 ( 2 1kx v m M
将上式对时间求导，整理后可得
0 d d ) 3 (? ? ?kx t v m M0 3 d
d
2
2
? ? ?x m Mk tx
2 ?
因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微
运动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。
k m M T) 3 ( 2 2? ? ?? ? ?
常数
解毕。
常数
简谐振动的能量
系统弹性势能 为2 2 kx EP?
系统机械能守恒, 有
? ? ?2 2 22 1 6 1 2 1kx mv Mv
? ? ?2 22 1 ) 3 ( 2 1kx v m M
将上式对时间求导，整理后可得
0 d d ) 3 (? ? ?kx t v m M0 3 d
d
2
2
? ? ?x m Mk tx
2 ?
因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微
运动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。
k m M T) 3 ( 2 2? ? ?? ? ?
常数
解毕。
常数
简谐振动的能量
1.简谐振动的特征及其表达式
简谐振动,物体运动时, 离开平衡位置的位移 (或
角位移 )按余弦 (或正弦 )规律随时间变化 。
XO
F?
F?
XO
XO
简谐振动的特征及其表达式
弹簧振子,连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和
一个不发生形变的物体系统。
回复力,作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合
外力,该力与位移成正比且反向。
简谐振动的动力学特征,
kx F? ?
,x mk mF a? ? ?据牛顿第二定律, 得 2 ? ? mk令
x
t
x a2
2
2
d
d? ? ? ?
运动学特征
简谐振动的特征及其表达式
位移 之解可写为：) cos(0 ? ?? ?t A xx
或 )i( 0e ?? ?? tAx
简谐振动的运动学特征,物体的加速度与位移成正
比而方向相反, 物体的位移按余弦规律变化 。
速度) sin( d
d
0 ? ? ?? ? ? ?t A t
x v
加速度) cos( d
d
0
2
2
2
? ? ?? ? ? ?t A
t
x a
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系,
t
x ?
?4??2
t
v
t
a
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动的特征及其表达式
0 0 0 0sin,cos? ? ?A v A x? ? ?
2 0 2 0) (? v x A? ?
?
?
? ?
?
?? ?
0
0
0arctgx
v
? ?
常量 和 的确定A 0?
在 到 之间，通常 存在两个值，可根据
进行取舍。0 0sin? ?A v? ?
0??? ??
根据初始条件,时，,,得0xx ? 0vv ?0?t
简谐振动的特征及其表达式
2.简谐振动的振幅, 周期, 频率和相位
(1)振幅, 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 。
2 0 2 0) (? v x A? ? 由初始条件确定
? ? 2 ? T
])(c os [)c os ( 00 ???? ????? tTAtAx
(2)周期和频率
周期,物体作一次完全运动所经历的时间。
频率,单位时间内物体所作完全运动的次数。
??? 21 ?? T
???? 22 ?? T
角频率, 物体在 秒内所作的完全运动的次数。?2
对于弹簧振子，因有,得, mk??
,2 kmT ?? mk?? 2
1?
利用上述关系式，得谐振动表达式：
? ?02c o s ?? ?? TtAx
? ?02cos ??? ?? tAx
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(3)相位和初相
相位,决定简谐运动状态的物理量。 )( 0?? ?t
初相位, t=0 时的相位。0?
) cos(10 1 1? ?? ?t A x
) cos(20 2 2? ?? ?t A x
相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动
步调上的差异。
设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：
二者的 相位差 为：
10 20 10 20) ( ) (? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?t t
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
10 20 10 20) ( ) (? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?t t
(b)当 时,称两个振动为反相； ?? )12( ??? k
(d)当 时,称第二个振动落后第一个振动 。0??? ??
(c)当 时,称第二个振动超前第一个振动 ；0??? ??
讨论,
相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对
于简谐振动的位移、速度和加速度，存在,
) cos(0 ? ?? ?t A x
(a)当 时,称两个振动为同相； ?? k2??
) 2 cos( ) sin(0 m 0 m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?t v t v v
简谐振动的振幅, 周期, 频率和相位
) cos( ) cos(0 m 0 m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?t a t a a
速度的相位比位移的相位超前,加速度的相
位比位移的相位超前 。
2??
简谐振动的振幅, 周期, 频率和相位
3,简谐振动的矢量图示法
采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达
式中各个物理量的意义。
旋转矢量,一长度等于振幅 A 的矢量 在纸平面
内绕 O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角
频率相等，这个矢量称为旋转矢量。
A?
简谐振动的矢量图示法
振动相位
逆时针方向
ω
M 点在 x 轴上投影 (P点 )的运动 规律,
) cos(0 ? ?? ?t A x
的长度A?
旋转的角速度A?
旋转的方向A?
与参考方向 x 的夹角A?
XO
M
P
x
A?
0?? ?t
振幅 A
振动圆频率 ?
简谐振动的矢量图示法
A?
XO
速度、加速度的旋转矢量表示法：
A?
X
v?
x v
a?
x a
0 ? ?? t
沿 X 轴的投
影为简谐运动的速度、
加速度表达式 。
,v? a?
M 点,
M
A?
XO
Avm ??
Aa m 2??
0v?
0v?
简谐振动的矢量图示法
两个同频率的简谐运动：
) cos(1 1 1? ?? ?t A x
相位之差为,) ( ) (1 2 1 2? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?t t
X
O
1 A?
1?
??
) cos(2 2 2? ?? ?t A x
采用旋转矢量直观表示为：
?
2 A
?
2?
简谐振动的矢量图示法
例 15-1 一物体沿 X 轴作简谐振动, 振幅 A=0.12m,周期
T=2s。 当 t=0时,物体的位移 x=0.06m,且向 X 轴正向运动 。
求,(1)简谐振动表达式 ;(2) t =T/4时物体的位置, 速度和加速
度 ;(3)物体从 x =-0.06m向 X 轴负方向运动, 第一次回到平衡
位置所需时间 。
解, (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：
(m) ) 3 cos( 12, 0? ?? ?t x
) cos(0 ? ?? ?t A x
其中 A=0.12m,T=2s,)(s2 1??? ??? T
初始条件,t = 0,x0=0.06m,可得
06.0cos12.0 0 ?? 30 ?? ??
据初始条件 得,0s in 00 ??? ?? Av 30 ?? ??
简谐振动的矢量图示法
(2) 由 (1)求得的简谐振动表达式得,
) s (m ) 3 sin( 12, 0 d d1 ? ? ? ? ? ?? ? ?t t x v
) s (m ) 3 cos( 12, 0 d d2 2? ? ? ? ? ?? ? ?t t v a
在 t =T/4=0.5s时, 从前面所列的表达式可得
m 104, 0 m ) 3 5, 0 cos( 12, 0? ? ? ?? ? x
1 1s m 18, 0 s m ) 3 5, 0 sin( 12, 0? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? v
2 2 2s m 03, 1 s m ) 3 5, 0 cos( 12, 0? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? a
简谐振动的矢量图示法
(3) 当 x = -0.06m时, 该时刻设为 t1,得
2 1 ) 3 cos(1? ? ?? ?t
3 4,3 2 3 1? ? ? ?? ? t
因该时刻速度为负, 应舍去,3 4? s 1 1? t
设物体在 t2时刻第一次回到平衡位置, 相位是 2 3?
2 3 3 2? ? ?? ? t
因此从 x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间,。 s 83, 0
1 2? ? ? ?t t t
另解, 从 t1时刻到 t2时刻所对应的相差为,
6 5 3 2 2 3? ? ? ?? ? ? ?
s 83,1 2? t
s 83, 0 ? ? ? ?? ? t
简谐振动的矢量图示法
4.几种常见的简谐振动
(1) 单摆
g? m
T?
重物所受合外力矩：
? sin mgl M? ?
O
?
l
..,! 5 ! 3 sin
5 3
? ? ? ?? ? ? ?
? ?? sin ? mgl M? ?
据转动定律, 得到? ? ?
l
g
ml
mgl
J
M
t? ? ? ? ?2 2
2
d
d
很小时 (小于 ),可取?5?
令,lg?2?。 l g T? ? ?2 2? ?有
) cos(0 ? ? ? ?? ?t m
转角 的表达式可写为：?
角振幅 和初相 由初始条件求得 。m? 0?
单摆周期 与角振幅 的关系为m?T
?
?
??
?
? ???????
2s i n4
3
2
1
2s i n2
11 4
2
2
2
2
20
mmTT ??
为 很小时单摆的周期 。0T m?
根据上述周期的级数公式, 可以将周期计算
到所要求的任何精度 。
几种常见的简谐振动
(2) 复摆
一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆 。
?
g? m
C
O
刚体的质心为 C,对过 O 点的
转轴的转动惯量为 J,O,C 两点间
距离的距离为 h。
? ?sin d d2
2
mgh t J? ?
? ?mgh t J? ? 2
2
d
d
令J
mgh ? 2 ?
0 d d2 2
2
? ?? ? ?tmgh
J T?
?
?2 2? ?
据转动定律, 得
若 角度较小时?
几种常见的简谐振动
例 15-2 一质量为 m 的平底船, 其平均水平截面积为 S，
吃水深度为 h,如不计水的阻力, 求此船在竖直方向的振动周
期 。
解, 船静止时浮力与重力平衡,
mgh S g ??
O
y
P P y
船在任一位置时, 以水面为坐标原点,竖
直向下的坐标轴为 y轴, 船的位移用 y表示 。
几种常见的简谐振动
船的位移为 y时船所受合力为：
SgymgSgyhf ?? ?????? )(
船在竖直方向作简谐振动, 其角频率和周期为,
m
Sg?? ?
gS
mT
???
? 22 ??
因,Shm ??
g
hT ?2?
得,
几种常见的简谐振动
5,简谐振动的能量
) ( sin 2 1 2 10 2 2 2 2? ? ?? ? ?t A m mv EK
) ( cos 2 1 2 10 2 2 2? ?? ? ?t kA kx EP
动能
势能
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。
系统总的机械能：
) ( cos
2
1
) ( sin
2
1
0
2 2
0
2 2 2? ? ? ? ?? ? ? ?
? ?
t kA t A m
E E EP K
P KE E E? ?
简谐振动的能量
考虑到,系统总能量为,表明
简谐振动的机械能守恒。
2
2
1 kAE ?mk?
2?
能量平均值
2
00
2 2 2
4
1 d ) ( sin
2
1 1kA t t A m
T E
T
K? ? ??? ? ?
2
00
2 2
4
1 d ) ( cos
2
1 1kA t t kA
T E
T
P? ? ??? ?
2 E E EP K? ?
上述结果对任一谐振系统均成立 。
谐振子的动能, 势能和总能量随时间的变化曲线,
tAx ?co s?
t
x
O
2
2
1 kAE ?
PE
kE tO
E
简谐振动的能量
' O
O
?
?
2
d
d
2
1?
?
? ?
?
? ?
t
J EK?
C Pmgh E?
l
A
B
例 15?3 一匀质细杆 AB的两端,用长度都为 l 且不计质量的
细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴 扭动时, 求证其
运动周期为,。g l T3 2? ?
'OO
解,设棒长为 2R,质量为 m,在棒
扭动时,其质心沿 上下运动 。 因扭
动角度 很小, 可近似认为细棒在水
平面内转动 。 扭动角度为 时,细棒
在水平面内转动角度为 ?,则有
?
?
'OO
?? Rl ?
简谐振动的能量
hc 是棒的质心相对棒平衡时
质心位置的高度,有
系统机械能守恒
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?) cos 1 ( d d 3 1 2 1
2
2? ?mgl
t mR E EP K
将上式两端对时间求导, 并利用关系? ? ?l
R ? ? sin
0 d d d d d d 3 12
2
2? ? ? ? ? ? ? ?
t l
R
l
R mgl
t t mR
? ? ? ?
? ? ? ?2 2
23
d
d? ? ? ?
l
g
tg l T3 2 2? ? ?? ? 得证 。
)cos1( ??? lh c 3/12/)2(
22 mRRmJ ??
' O
O
?
?
l
A
B
常量
简谐振动的能量
例 15-4 劲度系数为 k,原长为 l,质量为 m的均匀弹簧,
一端固定, 另一端系一质量为 M 的物体, 在光滑水平面内作
直线运动 。 求解其运动 。
M
l x
s sd
2
0
2
16
1 ) d (
2
1mv v
l
s s
l
m El
K? ? ?
? ?
?
? ?? 2
22
1Mv E
K?
l sxl s m md d?
解：平衡时 O 点为
坐标原点 。 物体运动
到 x 处时, 弹簧固定端
位移为零, 位于 M 一
端 位移为 x。 当物 体
于 x 处时,弹簧元 ds的质量,位移为
速度为 弹簧, 物体的动能分别为：,d
d
t
x
l
s
X
O
简谐振动的能量
系统弹性势能 为2 2 kx EP?
系统机械能守恒, 有
? ? ?2 2 22 1 6 1 2 1kx mv Mv
? ? ?2 22 1 ) 3 ( 2 1kx v m M
将上式对时间求导，整理后可得
0 d d ) 3 (? ? ?kx t v m M0 3 d
d
2
2
? ? ?x m Mk tx
2 ?
因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微
运动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。
k m M T) 3 ( 2 2? ? ?? ? ?
常数
解毕。
常数
简谐振动的能量
系统弹性势能 为2 2 kx EP?
系统机械能守恒, 有
? ? ?2 2 22 1 6 1 2 1kx mv Mv
? ? ?2 22 1 ) 3 ( 2 1kx v m M
将上式对时间求导，整理后可得
0 d d ) 3 (? ? ?kx t v m M0 3 d
d
2
2
? ? ?x m Mk tx
2 ?
因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微
运动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。
k m M T) 3 ( 2 2? ? ?? ? ?
常数
解毕。
常数
简谐振动的能量
