§ 15-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向 (x轴 )的两个独
立的同频率的简谐振动,两个振动位移为:
)c o s ( 1011 ?? ?? tAx )c o s ( 2022 ?? ?? tAx
合位移,)c os ( 021 ?? ???? tAxxx
)c o s (2 1020212221 ?? ???? AAAAA
20 2 10 1
20 2 10 1
cos cos
sin sin tg
? ?
? ? ?
A A
A A
?
? ?
合振动仍然是简谐振动,其方向和频率与原来相同。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
?
1 A
?
10?
2x
2 1A A A
? ? ?? ?
A?矢量沿 X轴之投影表征了合运动的规律 。
旋转矢量图示法
XO
2 A
?
20?
1x x
同方向同频率的两个简谐振动的合成
(1)当 D???20??10?2kp (k=0及正
负整数 ),cos(?20-?10)=1,有
2 1A A A? ?
同相迭加, 合振幅最大 。
(2)当 D???20??10?(2k+1)p (k=0及
正负整数 ),cos(?20-?10)=0,有
2 1A A A? ?
反相迭加, 合振幅最小 。
当 A1=A2时, A=0。
(3)通常情况下, 合振幅介于 和 之间 。
2 1A A? 2 1A A?
讨论:
1A?
2 A
?
XO
1 A
?
2 A
?
XO
同方向同频率的两个简谐振动的合成
例 15-4 N个同方向、同频率的简谐振动,它们的振幅相等,
初相分别为 0,a,2a,...,依次差一个恒量 a,振动表达式可
写成t a x? cos 1?
) cos( 2? ?? ?t a x
) 2 cos( 3? ?? ?t a x] ) 1 ( cos[? ?? ? ?N t a x
N
求它们的合振动的振幅和初相。
解,采用旋转矢量法可使问题得到简化,从而避开
烦琐的三角函数运算。
根据矢量合成法则,N个简谐振动对应的旋转矢
量的合成如下图所示:
同方向同频率的两个简谐振动的合成
O X
1a?
2a?
3a?
4a?
5a?
?
?
?
?
C
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ?,上图
中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上,
根据简单的几何关系,可得
A?
M
?NO C M ??
同方向同频率的两个简谐振动的合成
在三角形 DOCM中,OM 的长度就是和振动位移矢
量的位移,角度 就是和振动的初相,据此得M O X?
2s i n2
?NOCA ?
考虑到 2s i n2
?OCa ?
2s i n2s i n
??NaA ?
C O MC O XM O X ???????
??p?p 2 1)(21)(21 ?????? NN
当 时 (同相合成 ),有0??,NaA ? 。0??
同方向同频率的两个简谐振动的合成
2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
) cos( ),cos(0 2 2 2 0 1 1 1? ? ? ?? ? ? ?t A x t A x
两个简谐振动合成得:
当两个同方向简谐振动的频率不同时,在旋转矢
量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同,二者
的相位差与时间有关,合矢量的长度和角速度都将随
时间变化。
两个简谐振动的频率 和 很接近,且1? 2? 12 ?? ?
)2co s ()2co s (2 01212 ????? ????? ttAx
x = x1+ x2
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
21
12
2 ??
?? ???因,~ 21 ?? 112 ??? ??? 或,2 有
在两个简谐振动的位移合成表达式中,第一项随时
间作缓慢变化,第二项是角频率近于 的简谐函
数。合振动可视为是角频率为,振幅为
的简谐振动。
1?或 2? 2)(
21 ?? ? 2)(c o s2
12 tA ?? ?
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化,振
动出现时强时弱的 拍现象 。
拍频,单位时间内强弱变化的次数 。
12
12
2 ??p
??? ????
t
1x
t
2x
t
x
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍