1
代数结构
2
代数结构部分
?第 5章 代数系统的一般性质
?第 6章 几个典型的代数系统
3
第 5章 代数系统的一般性质
? 5.1 二元运算及其性质
? 5.2 代数系统及其子代数和积代数
? 5.3 代数系统的同态与同构
4
5.1 二元运算及其性质
? 二元运算定义及其实例
? 一元运算定义及其实例
? 运算的表示
? 二元运算的性质
?交换律、结合律、幂等律、消去律
?分配律、吸收律
? 二元运算的特异元素
?单位元
?零元
?可逆元素及其逆元
5
二元运算的定义及其实例
定义 设 S 为集合,函数 f,S× S→ S 称为 S 上的二
元运算,简称为 二元运算, 也称 S 对 f 封闭,
例 1
(1) N 上的二元运算：加法、乘法,
(2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法,
(3) 非零实数集 R* 上的二元运算, 乘法、除法,
(4) 设 S = { a1,a2,…,an},ai °aj = ai, °为 S 上二
元运算,
6
二元运算的实例（续）
(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集
合，即
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算,
(6) 幂集 P(S) 上的二元运算,∪,∩,－,?,
(7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算 °,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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? njiRa
aaa
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RM
ij
nnnn
n
n
n
,...,2,1,,)(
21
22221
11211
?
?
?
?
7
一元运算的定义与实例
定义 设 S 为集合，函数 f,S→ S 称为 S 上的一
元运算，简称为 一元运算,
例 2 (1) Z,Q 和 R 上的一元运算, 求相反数
(2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元
运算, 求倒数
(3) 复数集合 C 上的一元运算, 求共轭复数
(4) 幂集 P(S) 上,全集为 S,求绝对补运算 ~
(5) A 为 S 上所有双射函数的集合,A?SS,求反
函数
(6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
8
二元与一元运算的表示
算符, °,?,·,?,? 等符号
表示二元或一元运算
对二元运算 °，如果 x 与 y 运算得到 z，记做
x°y = z；
对一元运算 °,x 的运算结果记作 °x
表示二元或一元运算的方法,
公式,运算表
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符
9
公式表示
例 3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运
算 ?,
?x,y∈ R,x ? y = x,
那么 3 ? 4 = 3
0.5 ? (-3) = 0.5
运算表 （表示有穷集上的一元和二元运算）
二元与一元运算的表示（续）
10
运算表的形式
° a1 a2 … an °ai
a1
a2
,
,
,
an
a1°a1 a1°a2 … a1°an
a2°a1 a2°a2 … a2°an
,,,
,,,
,,,
an°a1 an°a2 … an°an
a1
a2
,
,
,
an
°a1
°a2
,
,
,
°an
11
运算表的实例
例 4 A = P({a,b}),?,～分别为对称差和绝对补运算
（ {a,b}为全集）
? 的运算表 ～ 的运算表
? ? {a} {b} {a,b} X ～X
?
{a}
{b}
{a,b}
? {a} {b} {a,b}
{a} ? {a.b} {b}
{b} {a,b} ? {a}
{a,b} {b} {a} ?
?
{a}
{b}
{a,b}
{a,b}
{a}
{b}
?
12
运算表的实例（续）
例 5 Z5 = { 0,1,2,3,4 },?,? 分别为模 5 加法
与乘法
? 的运算表 ? 的运算表
? 0 1 2 3 4 ? 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0
1
2
3
4
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
13
二元运算的性质
定义 设 ° 为 S 上的二元运算,
(1) 如果对于任意的 x,y ?S 有
x ° y = y ° x,
则称运算在 S 上满足 交换律,
(2) 如果对于任意的 x,y,z ∈ S 有
(x ° y) ° z = x ° (y ° z),
则称运算在 S 上满足 结合律,
(3) 如果对于任意的 x ∈ S 有
x ° x = x,
则称运算在 S 上满足 幂等律,
14
实例分析
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R)为 n 阶实
矩阵集合,n?2； P(B)为幂集； AA 为 A上 A,|A|?2,
集合 运算 交换律 结合律 幂等律
Z,Q,R 普通加法 + 有 有 无
普通乘法 ? 有 有 无
Mn(R) 矩阵加法 + 有 有 无
矩阵乘法 ? 无 有 无
P(B) 并 ? 有 有 有
交 ? 有 有 有
相对补 ? 无 无 无
对称差 ? 有 有 无
AA 函数符合 ? 无 有 无
15
二元运算的性质（续）
定义 设 ° 和 ? 为 S 上两个不同的二元运算,
(1) 如果 ? x,y,z∈ S 有
(x ? y) ° z = (x ° z) ? (y ° z)
z °(x ? y) = (z ° x) ? (z ° y)
则称 ° 运算对 ? 运算满足 分配律,
(2) 如果 ° 和 ? 都可交换,并且 ? x,y∈ S 有
x ° (x ? y) = x
x ? (x ° y) = x
则称 ° 和 ? 运算满足 吸收律,
16
实例分析
集合 运算 分配律 吸收律
Z,Q,R 普通加法 + 与乘法 ? ? 对 + 可分配 无
+ 对 ? 不分配
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法 ? ? 对 + 可分配 无
+ 对 ? 不分配
P(B) 并 ? 与交 ? ? 对 ? 可分配 有
? 对 ? 可分配
交 ? 与对称差 ? ? 对 ? 可分配 无
? 对 ? 不分配
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R) 为 n 阶实
矩阵集合,n?2； P(B)为幂集； AA为 A上 A,|A|?2,
17
二元运算的特异元素
单位元
定义 设 °为 S上的二元运算,如果存在 el（或 er）
?S，使得对任意 x∈ S 都有
el ° x = x ( 或 x ° er = x ),
则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ° 运算的 左 ( 或右 )
单位元,
若 e∈ S 关于 ° 运算既是左单位元又是右单位
元，则称 e 为 S 上关于 ° 运算的 单位元,
单位元也叫做 幺元,
18
二元运算的特异元素（续）
零元
设 ° 为 S 上的二元运算,如果存在 θl（或 θr）
∈ S，使得对任意 x∈ S 都有
θl ° x =θl ( 或 x °θr =θr ),
则称 θl ( 或 θr )是 S 中关于 ° 运算的 左 ( 或右 )
零元,
若 θ∈ S关于 °运算既是左零元又是右零元，则
称 θ为 S 上关于运算 ° 的 零元,
19
二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
令 e 为 S 中关于运算 °的单位元, 对于 x∈ S，如
果存在 yl（或 yr） ∈ S 使得
yl ° x = e（或 x ° yr = e）,
则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ),
关于 °运算，若 y∈ S 既是 x 的左逆元又是 x 的
右逆元，则称 y 为 x 的 逆元,
如果 x 的逆元存在，就称 x 是 可逆的,
20
实例分析
集合 运算 单位元 零元 逆元
Z,
Q,
R
普通加法 + 0 无 X 的逆元 ?x
普通乘法 ? 1 0 X 的逆元 x?1
(x-1属于给定集合 )
Mn(R) 矩阵加法 + n阶全 0矩阵 无 X逆元 ?X
矩阵乘法 ? n阶单位
矩阵
n阶全 0
矩阵
X的逆元 X?1
（ X是可逆矩阵）
P(B) 并 ? ? B ? 的逆元为 ?
交 ? B ? B 的逆元为 B
对称差 ? ? 无 X 的逆元为 X
21
惟一性定理
定理 设 °为 S上的二元运算,el 和 er 分别为 S
中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S
上关于 ° 运算的惟一的单位元,
证 el = el ° er = el ° er = er
所以 el = er,将这个单位元记作 e,假设 e’ 也是 S
中的单位元，则有
e’ = e ° e’ = e,
惟一性得证,
类似地可以证明关于零元的惟一性定理,
注意：当 |S| ? 2，单位元与零元是不同的；
当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元,
22
惟一性定理（续）
定理 设 °为 S 上可结合的二元运算,e 为该运算
的单位元,对于 x∈ S 如果存在左逆元 yl 和右逆元
yr,则有 yl = yr= y,且 y 是 x 的惟一的逆元,
证 由 yl ° x = e 和 x ° yr = e 得
yl = yl ° e = yl °(x ° yr) = (yl ° x) ° yr = e ° yr = yr
令 yl = yr = y,则 y 是 x 的逆元,
假若 y’∈ S 也是 x 的逆元,则
y'= y’ ° e = y’ °(x ° y) = (y’ ° x) ° y = e ° y = y
所以 y 是 x 惟一的逆元,
说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有
惟一的逆元，记作 x?1,
23
消去律
定义 设 °为 V上二元运算，如果 ? x,y,z?V,
若 x ° y = x ° z，且 x不是零元，则 y = z
若 y ° x = z ° x,且 x 不是零元，则 y = z
那么称 ° 运算满足 消去律,
实例, Z,Q,R 关于普通加法和乘法满足消去律,
Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵
乘法不满足消去律,
Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于
模 n乘法满足消去律, 当 n 为合数时关于模 n 乘
法不满足消去律,
24
例题分析
解 (1) ° 运算可交换，可结合, 任取 x,y?Q,
x ° y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ° x,
任取 x,y,z?Q,
(x ° y) ° z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
x ° (y ° z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
例 6 设 ° 运算为 Q 上的二元运算,
?x,y?Q,x°y = x+y+2xy,
(1) °运算是否满足交换和结合律? 说明理由,
(2) 求 ° 运算的单位元、零元和所有可逆元,
25
给定 x，设 x 的逆元为 y,则有 x ° y = 0 成立，即
x+y+2xy = 0 ? (x ? = ?1/2)
因此当 x ? ?1/2时,是 x 的逆元, x
xy
21 ???
x
xy
21 ???
例题分析（续）
(2) 设 °运算的单位元和零元分别为 e 和 ?，则对于
任意 x 有 x°e = x 成立，即 x+e+2xe = x ? e = 0
由于 ° 运算可交换，所以 0 是幺元,
对于任意 x 有 x ° ? = ? 成立，即
x+?+2 x ? = ? ? x + 2 x ? = 0 ? ? = ?1/2
26
例题分析（续）
例 7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的,
(2) 求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元,
? a b c ° a b c ? a b c
a
b
c
c a b
a b c
b c a
a
b
c
a a a
b b b
c c c
a
b
c
a b c
b c c
c c c
解 (1) ? 满足交换、结合律； ° 满足结合、幂等律；
? 满足交换、结合律,
(2) ? 的单位元为 b,没零元,a?1 = c,b?1 = b,c?1 = a
° 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素,
? 的单位元为 a，零元为 c,a?1=a,b,c不可逆,
27
例题分析（续）
例 8 设 A = { a,b,c },构造 A 上的二元运算 * 使得
a*b =c,c*b = b,且 *运算是幂等的、可交换的，给
出关于 *运算的一个运算表，说明它是否可结合，
为什么？
* a b c
a
b
c
a c
b
b c
c b
?
?
根据幂等律和已知条件 a*b =c,
c*b = b 得到运算表
根据交换律得到新的运算表
方框 ? 可以填入 a,b,c中任
一选定的符号,完成运算表
不结合，因为 (a*b)*b = c*b = b,a*(b*b) = a*b = c
28
由运算表判别算律的一般方法
? 交换律：运算表关于主对角线对称
? 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致
? 消去律：所在的行与列中没有重复元素
? 单位元, 所在的行与列的元素排列都与表头一致
? 零元：元素的行与列都由该元素自身构成
? A 的可逆元,a 所在的行中某列 (比如第 j 列 ) 元素
为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个
元素互逆
? 结合律：除了单位元、零元之外，要对所有 3个元
素的组合验证表示结合律的等式是否成立
代数结构
2
代数结构部分
?第 5章 代数系统的一般性质
?第 6章 几个典型的代数系统
3
第 5章 代数系统的一般性质
? 5.1 二元运算及其性质
? 5.2 代数系统及其子代数和积代数
? 5.3 代数系统的同态与同构
4
5.1 二元运算及其性质
? 二元运算定义及其实例
? 一元运算定义及其实例
? 运算的表示
? 二元运算的性质
?交换律、结合律、幂等律、消去律
?分配律、吸收律
? 二元运算的特异元素
?单位元
?零元
?可逆元素及其逆元
5
二元运算的定义及其实例
定义 设 S 为集合,函数 f,S× S→ S 称为 S 上的二
元运算,简称为 二元运算, 也称 S 对 f 封闭,
例 1
(1) N 上的二元运算：加法、乘法,
(2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法,
(3) 非零实数集 R* 上的二元运算, 乘法、除法,
(4) 设 S = { a1,a2,…,an},ai °aj = ai, °为 S 上二
元运算,
6
二元运算的实例（续）
(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集
合，即
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算,
(6) 幂集 P(S) 上的二元运算,∪,∩,－,?,
(7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算 °,
?
?
?
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?
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?
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?
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?
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??
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?
? njiRa
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RM
ij
nnnn
n
n
n
,...,2,1,,)(
21
22221
11211
?
?
?
?
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一元运算的定义与实例
定义 设 S 为集合，函数 f,S→ S 称为 S 上的一
元运算，简称为 一元运算,
例 2 (1) Z,Q 和 R 上的一元运算, 求相反数
(2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元
运算, 求倒数
(3) 复数集合 C 上的一元运算, 求共轭复数
(4) 幂集 P(S) 上,全集为 S,求绝对补运算 ~
(5) A 为 S 上所有双射函数的集合,A?SS,求反
函数
(6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
8
二元与一元运算的表示
算符, °,?,·,?,? 等符号
表示二元或一元运算
对二元运算 °，如果 x 与 y 运算得到 z，记做
x°y = z；
对一元运算 °,x 的运算结果记作 °x
表示二元或一元运算的方法,
公式,运算表
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符
9
公式表示
例 3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运
算 ?,
?x,y∈ R,x ? y = x,
那么 3 ? 4 = 3
0.5 ? (-3) = 0.5
运算表 （表示有穷集上的一元和二元运算）
二元与一元运算的表示（续）
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运算表的形式
° a1 a2 … an °ai
a1
a2
,
,
,
an
a1°a1 a1°a2 … a1°an
a2°a1 a2°a2 … a2°an
,,,
,,,
,,,
an°a1 an°a2 … an°an
a1
a2
,
,
,
an
°a1
°a2
,
,
,
°an
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运算表的实例
例 4 A = P({a,b}),?,～分别为对称差和绝对补运算
（ {a,b}为全集）
? 的运算表 ～ 的运算表
? ? {a} {b} {a,b} X ～X
?
{a}
{b}
{a,b}
? {a} {b} {a,b}
{a} ? {a.b} {b}
{b} {a,b} ? {a}
{a,b} {b} {a} ?
?
{a}
{b}
{a,b}
{a,b}
{a}
{b}
?
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运算表的实例（续）
例 5 Z5 = { 0,1,2,3,4 },?,? 分别为模 5 加法
与乘法
? 的运算表 ? 的运算表
? 0 1 2 3 4 ? 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
0
1
2
3
4
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 4 1 3
0 3 1 4 2
0 4 3 2 1
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二元运算的性质
定义 设 ° 为 S 上的二元运算,
(1) 如果对于任意的 x,y ?S 有
x ° y = y ° x,
则称运算在 S 上满足 交换律,
(2) 如果对于任意的 x,y,z ∈ S 有
(x ° y) ° z = x ° (y ° z),
则称运算在 S 上满足 结合律,
(3) 如果对于任意的 x ∈ S 有
x ° x = x,
则称运算在 S 上满足 幂等律,
14
实例分析
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R)为 n 阶实
矩阵集合,n?2； P(B)为幂集； AA 为 A上 A,|A|?2,
集合 运算 交换律 结合律 幂等律
Z,Q,R 普通加法 + 有 有 无
普通乘法 ? 有 有 无
Mn(R) 矩阵加法 + 有 有 无
矩阵乘法 ? 无 有 无
P(B) 并 ? 有 有 有
交 ? 有 有 有
相对补 ? 无 无 无
对称差 ? 有 有 无
AA 函数符合 ? 无 有 无
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二元运算的性质（续）
定义 设 ° 和 ? 为 S 上两个不同的二元运算,
(1) 如果 ? x,y,z∈ S 有
(x ? y) ° z = (x ° z) ? (y ° z)
z °(x ? y) = (z ° x) ? (z ° y)
则称 ° 运算对 ? 运算满足 分配律,
(2) 如果 ° 和 ? 都可交换,并且 ? x,y∈ S 有
x ° (x ? y) = x
x ? (x ° y) = x
则称 ° 和 ? 运算满足 吸收律,
16
实例分析
集合 运算 分配律 吸收律
Z,Q,R 普通加法 + 与乘法 ? ? 对 + 可分配 无
+ 对 ? 不分配
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法 ? ? 对 + 可分配 无
+ 对 ? 不分配
P(B) 并 ? 与交 ? ? 对 ? 可分配 有
? 对 ? 可分配
交 ? 与对称差 ? ? 对 ? 可分配 无
? 对 ? 不分配
Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R) 为 n 阶实
矩阵集合,n?2； P(B)为幂集； AA为 A上 A,|A|?2,
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二元运算的特异元素
单位元
定义 设 °为 S上的二元运算,如果存在 el（或 er）
?S，使得对任意 x∈ S 都有
el ° x = x ( 或 x ° er = x ),
则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ° 运算的 左 ( 或右 )
单位元,
若 e∈ S 关于 ° 运算既是左单位元又是右单位
元，则称 e 为 S 上关于 ° 运算的 单位元,
单位元也叫做 幺元,
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二元运算的特异元素（续）
零元
设 ° 为 S 上的二元运算,如果存在 θl（或 θr）
∈ S，使得对任意 x∈ S 都有
θl ° x =θl ( 或 x °θr =θr ),
则称 θl ( 或 θr )是 S 中关于 ° 运算的 左 ( 或右 )
零元,
若 θ∈ S关于 °运算既是左零元又是右零元，则
称 θ为 S 上关于运算 ° 的 零元,
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二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
令 e 为 S 中关于运算 °的单位元, 对于 x∈ S，如
果存在 yl（或 yr） ∈ S 使得
yl ° x = e（或 x ° yr = e）,
则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ),
关于 °运算，若 y∈ S 既是 x 的左逆元又是 x 的
右逆元，则称 y 为 x 的 逆元,
如果 x 的逆元存在，就称 x 是 可逆的,
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实例分析
集合 运算 单位元 零元 逆元
Z,
Q,
R
普通加法 + 0 无 X 的逆元 ?x
普通乘法 ? 1 0 X 的逆元 x?1
(x-1属于给定集合 )
Mn(R) 矩阵加法 + n阶全 0矩阵 无 X逆元 ?X
矩阵乘法 ? n阶单位
矩阵
n阶全 0
矩阵
X的逆元 X?1
（ X是可逆矩阵）
P(B) 并 ? ? B ? 的逆元为 ?
交 ? B ? B 的逆元为 B
对称差 ? ? 无 X 的逆元为 X
21
惟一性定理
定理 设 °为 S上的二元运算,el 和 er 分别为 S
中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S
上关于 ° 运算的惟一的单位元,
证 el = el ° er = el ° er = er
所以 el = er,将这个单位元记作 e,假设 e’ 也是 S
中的单位元，则有
e’ = e ° e’ = e,
惟一性得证,
类似地可以证明关于零元的惟一性定理,
注意：当 |S| ? 2，单位元与零元是不同的；
当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元,
22
惟一性定理（续）
定理 设 °为 S 上可结合的二元运算,e 为该运算
的单位元,对于 x∈ S 如果存在左逆元 yl 和右逆元
yr,则有 yl = yr= y,且 y 是 x 的惟一的逆元,
证 由 yl ° x = e 和 x ° yr = e 得
yl = yl ° e = yl °(x ° yr) = (yl ° x) ° yr = e ° yr = yr
令 yl = yr = y,则 y 是 x 的逆元,
假若 y’∈ S 也是 x 的逆元,则
y'= y’ ° e = y’ °(x ° y) = (y’ ° x) ° y = e ° y = y
所以 y 是 x 惟一的逆元,
说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有
惟一的逆元，记作 x?1,
23
消去律
定义 设 °为 V上二元运算，如果 ? x,y,z?V,
若 x ° y = x ° z，且 x不是零元，则 y = z
若 y ° x = z ° x,且 x 不是零元，则 y = z
那么称 ° 运算满足 消去律,
实例, Z,Q,R 关于普通加法和乘法满足消去律,
Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵
乘法不满足消去律,
Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于
模 n乘法满足消去律, 当 n 为合数时关于模 n 乘
法不满足消去律,
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例题分析
解 (1) ° 运算可交换，可结合, 任取 x,y?Q,
x ° y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ° x,
任取 x,y,z?Q,
(x ° y) ° z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
x ° (y ° z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
例 6 设 ° 运算为 Q 上的二元运算,
?x,y?Q,x°y = x+y+2xy,
(1) °运算是否满足交换和结合律? 说明理由,
(2) 求 ° 运算的单位元、零元和所有可逆元,
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给定 x，设 x 的逆元为 y,则有 x ° y = 0 成立，即
x+y+2xy = 0 ? (x ? = ?1/2)
因此当 x ? ?1/2时,是 x 的逆元, x
xy
21 ???
x
xy
21 ???
例题分析（续）
(2) 设 °运算的单位元和零元分别为 e 和 ?，则对于
任意 x 有 x°e = x 成立，即 x+e+2xe = x ? e = 0
由于 ° 运算可交换，所以 0 是幺元,
对于任意 x 有 x ° ? = ? 成立，即
x+?+2 x ? = ? ? x + 2 x ? = 0 ? ? = ?1/2
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例题分析（续）
例 7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的,
(2) 求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元,
? a b c ° a b c ? a b c
a
b
c
c a b
a b c
b c a
a
b
c
a a a
b b b
c c c
a
b
c
a b c
b c c
c c c
解 (1) ? 满足交换、结合律； ° 满足结合、幂等律；
? 满足交换、结合律,
(2) ? 的单位元为 b,没零元,a?1 = c,b?1 = b,c?1 = a
° 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素,
? 的单位元为 a，零元为 c,a?1=a,b,c不可逆,
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例题分析（续）
例 8 设 A = { a,b,c },构造 A 上的二元运算 * 使得
a*b =c,c*b = b,且 *运算是幂等的、可交换的，给
出关于 *运算的一个运算表，说明它是否可结合，
为什么？
* a b c
a
b
c
a c
b
b c
c b
?
?
根据幂等律和已知条件 a*b =c,
c*b = b 得到运算表
根据交换律得到新的运算表
方框 ? 可以填入 a,b,c中任
一选定的符号,完成运算表
不结合，因为 (a*b)*b = c*b = b,a*(b*b) = a*b = c
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由运算表判别算律的一般方法
? 交换律：运算表关于主对角线对称
? 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致
? 消去律：所在的行与列中没有重复元素
? 单位元, 所在的行与列的元素排列都与表头一致
? 零元：元素的行与列都由该元素自身构成
? A 的可逆元,a 所在的行中某列 (比如第 j 列 ) 元素
为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个
元素互逆
? 结合律：除了单位元、零元之外，要对所有 3个元
素的组合验证表示结合律的等式是否成立
