1
6.2 环与域
? 环的定义与实例
? 特殊的环
? 交换环
? 含幺环
? 无零因子环
? 整环
? 域
2
环的定义
定义 设 <R,+,·>是代数系统,+和 ·是二元运算,
如果满足以下条件,
（ 1） <R,+>构成交换群
2） <R,·>构成半群
3） ·运算关于 +运算适合分配律
则称 <R,+,·>是一个 环,
3
环中的术语
通常称 +运算为环中的 加法, · 运算为环中的 乘法,
环中加法单位元记作 0
乘法单位元（如果存在）记作 1,
对任何元素 x，称 x 的加法逆元为 负元,记作 ?x,
若 x 存在乘法逆元的话，则称之为 逆元,记作 x?1,
4
环的实例
(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普
通的加法和乘法构成环，分别称为 整数环 Z,有
理数环 Q,实数环 R 和 复数环 C,
(2) n(n≥2)阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵的加
法和乘法构成环，称为 n阶实矩阵环,
(3) 集合的幂集 P(B)关于集合的对称差运算和
交运算构成环,
(4) 设 Zn＝ {0,1,...,n－ 1},?和 ?分别表示模 n的
加法和乘法，则 <Zn,?,?>构成环，称为 模 n的整
数环,
5
特殊的环
定义 设 <R,+,·>是环,
(1) 若环中乘法 ·适合交换律，则称 R是 交换环,
(2) 若环中乘法 ·存在单位元，则称 R是 含幺环,
(3) 若 ?a,b∈ R,a b=0 ? a=0∨ b=0，则称 R是 无
零因子环,
(4) 若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，
则称 R 是 整环,
(5) 若 R为整环,|R|>1,且 ?a?R*=R-{0},a-1?R,
则称 R 为 域,
6
零因子的定义与存在条件
设 <R,+,?>是环，若存在 ab =0,且 a?0,b?0,称 a
为左零因子,b为右零因子，环 R 不是无零因子
环,
实例 <Z6,?,?>，其中 2?3=0,2 和 3 都是零因
子,
无零因子环的条件,
可以证明,ab = 0 ? a=0 ? b=0 ? 消去律
7
特殊环的实例
(1)整数环 Z、有理数环 Q、实数环 R、复数环 C都是
交换环、含幺环、无零因子环和整环, 其中除 Z之
外都是域
(2)令 2Z={ 2z | z∈ Z }，则 <2Z,+,·>构成交换环和无零
因子环, 但不是含幺环和整环,
(3)设 n?Z,n?2,则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵
加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环
和无零因子环，也不是整环,
(4)<Z6,?,?>构成环，它是交换环、含幺环，但不是
无零因子环和整环,
注意：对于一般的 n,Zn是整环且是域 ? n是素数,
8
例题
判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,
(1) A={a+bi |a,b?Q},i2= ?1,运算为复数加法和乘法,
(2) A={2z+1 | z?Z},运算为普通加法和乘法
(3) A={2z | z?Z},运算为普通加法和乘法
(4) A={ x | x≥0 ∧ x?Z},运算为普通加法和乘法,
(5),运算为普通加法和乘法
解 (2),(4),(5) 不是环, 为什么？
(1) 是环,是整环,也是域,
(3) 是环,不是整环和域,
},|5{ 4 QbabaA ???
9
环的性质
定理 设 <R,+,·>是环，则
(1) ?a∈ R,a·0 = 0·a = 0
(2) ?a,b∈ R,(?a)b = a(?b) = ?ab
(3) ?a,b∈ R,(?a)(?b) = ab
(4) ?a,b,c∈ R,a(b?c) = ab?ac,
(b?c)a = ba?ca
10
环中的运算
例 在环中计算 (a+b)3,(a?b)2
解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)
= (a2+ba+ab+b2)(a+b)
= a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3
(a?b)2 = (a?b)(a?b)=a2?ba?ab+b2
11
6.3 格与布尔代数
? 格的定义与实例
? 格的性质
? 对偶原理
? 交换律、结合律、幂等律、吸收律
? 格的等价定义
? 子格
? 格的同构
? 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
12
格的定义
定义 设 <S,?>是偏序集，如果 ?x,y?S,{x,y}都有
最小上界和最大下界，则称 S关于偏序 ?作成一个
格,
由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求 {x,y}
的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算 ∨ 和
∧,即 x∨ y 和 x∧ y 分别表示 x 与 y 的最小上界和
最大下界,
注意：这里出现的 ∨ 和 ∧ 符号只代表格中的运算,
而不再有其他的含义,
13
格的实例
例 设 n是正整数,Sn是 n的正因子的集合, D为
整除关系，则偏序集 <Sn,D>构成格,?x,y∈ Sn,
x∨ y 是 lcm(x,y)，即 x 与 y 的最小公倍数, x∧ y
是 gcd(x,y)，即 x 与 y 的最大公约数,
下图给出了格 <S8,D>,<S6,D>和 <S30,D>,
14
例 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由,
(1) <P(B),? >，其中 P(B)是集合 B的幂集,
(2) <Z,≤>，其中 Z是整数集,≤为小于等于关系,
(3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出,
格的实例（续）
解 (1) 是格, 称 <P(B),? >为 B的 幂集格,
(2) 是格,
(3) 都不是格,
15
格的性质：对偶原理
定义 设 f 是含有格中元素以及符号 =,?,?,∨ 和 ∧ 的
命题, 令 f*是将 f 中的 ?替换成 ?,?替换成 ?,∨ 替换成
∧,∧ 替换成 ∨ 所得到的命题, 称 f* 为 f 的 对偶命题,
例如,在格中,f 是 (a∨ b)∧ c?c,f* 是 (a∧ b)∨ c?c,
格的对偶原理,设 f 是含格中元素以及符号 =,?,?,∨
和 ∧ 等的命题, 若 f 对一切格为真,则 f 的对偶命题
f*也对一切格为真,
例如,若对一切格 L都有 ?a,b∈ L,a∧ b?a,那么对一
切格 L都有 ?a,b∈ L,a∨ b?a
16
格的性质：算律
定理 设 <L,?>是格,则运算 ∨ 和 ∧ 适合交换律、结
合律、幂等律和吸收律,即
(1) ?a,b∈ L 有
a∨ b=b∨ a,a∧ b=b∧ a
(2) ?a,b,c∈ L 有
(a∨ b)∨ c=a∨ (b∨ c),
(a∧ b)∧ c=a∧ (b∧ c)
(3) ?a∈ L 有
a∨ a=a,a∧ a=a
(4) ?a,b∈ L 有
a∨ (a∧ b)=a,a∧ (a∨ b)=a
17
算律的证明
证 (1) 交换律,
a∨ b 是 {a,b} 的最小上界
b∨ a 是 {b,a}的最小上界
{ a,b } = { b,a }
? a∨ b = b∨ a,
由对偶原理,a∧ b = b∧ a 得证,
18
算律的证明（续）
(2) 结合律, 由最小上界的定义有
(a∨ b)∨ c?a∨ b?a (I)
(a∨ b)∨ c?a∨ b?b (II)
(a∨ b)∨ c?c (III)
由式 (II) 和 (III) 有
(a∨ b)∨ c?b∨ c (IV)
由式 (I) 和 (IV) 有 (a∨ b)∨ c?a∨ (b∨ c),同理可证
(a∨ b)∨ c ? a∨ (b∨ c),根据偏序的反对称性得到
(a∨ b)∨ c = a∨ (b∨ c),由对偶原理,(a∧ b)∧ c =
a∧ (b∧ c) 得证,
19
算律的证明（续）
(3) 幂等律, 显然 a ? a∨ a,又由 a ? a 得 a∨ a ? a,
由反对称性 a∨ a = a,用对偶原理,a∧ a = a 得证,
(4) 吸收律, 显然有
a∨ (a∧ b) ? a (V)
由 a ? a,a∧ b ? a 可得
a∨ (a∧ b) ? a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨ (a∧ b) = a
根据对偶原理,a∧ (a∨ b) = a 得证,
20
格作为代数系统的定义
定理 设 <S,?,°>是具有两个二元运算的代数系统,
若对于 ?和 ?运算适合交换律、结合律、吸收律,则
可以适当定义 S中的偏序 ?,使得 <S,?>构成格,且
?a,b∈ S有 a∧ b = a?b,a∨ b = a ° b,
根据定理,可以给出格的另一个等价定义,
定义 设 <S,?,°>是代数系统,?和 °是二元运算,如果
?和 ° 运算 满足交换律、结合律和吸收律,则 <S,?,°>
构成格,
21
子格的定义及判别
定义 设 <L,∧,∨ >是格,S 是 L 的非空子集,若 S
关于 L中运算 ∧ 和 ∨ 仍构成格,则称 S是 L 的子格,
例 设格 L 如图所示, 令
S1={ a,e,f,g },
S2={ a,b,e,g }
S1不是 L的子格,
S2是 L的子格, 因为对于
e,f?S1,e∧ f?S1,
22
格同态
定义 设 L1和 L2是格,f,L1→ L2,若 ?a,b∈ L1有
f(a∧ b) = f(a)∧ f(b),
f(a∨ b) = f(a)∨ f(b)
成立,则称 f 为格 L1到 L2的同态映射,简称 格同态,
23
分配格定义
定义 设 <L,∧,∨ >是格,若 ?a,b,c∈ L,有
a∧ (b∨ c) = (a∧ b)∨ (a∧ c)
a∨ (b∧ c) = (a∨ b)∧ (a∨ c)
则称 L 为 分配格,
注意：以上条件互为充分必要条件
在证明 L为分配格时,只须证明其中的一个等式即可,
24
分配格的定义（续）
L1和 L2是分配格,L3和 L4不是分配格,
在 L3中,b∧ (c∨ d) = b,(b∧ c)∨ (b∧ d) = a
在 L4中,c∨ (b∧ d) = c,(c∨ b)∧ (c∨ d) = d
称 L3为 钻石格,L4为 五角格,
25
分配格的判定及其性质
定理 设 L 是格,则 L 是分配格当且仅当 L 不含有
与钻石格或五角格同构的子格,
证明省略,
定理 格 L 是分配格当且仅当 ?a,b,c∈ L,
a∧ b=a∧ c且 a∨ b=a∨ c ? b=c,
推论
(1) 小于五元的格都是分配格,
(2) 任何一条链都是分配格,
26
分配格的判定（续）
解 L1,L2和 L3都不是分配格,
{ a,b,c,d,e }是 L1的子格,并且同构于钻石格；
{ a,b,c,e,f }是 L2的子格,并且同构于五角格；
{ a,c,b,e,f }是 L3的子格,也同构于钻石格,
例 说明图中的格是否为分配格,为什么？
27
全上界与全下界
定义 设 L是格,
若存在 a∈ L 使得 ?x∈ L 有 a ? x,则称 a 为 L 的 全
下界 ；
若存在 b∈ L 使得 ?x∈ L 有 x ? b,则称 b 为 L 的 全
上界,
说明,
格 L 若存在全下界或全上界,一定是惟一的,
一般将格 L 的全下界记为 0,全上界记为 1,
28
有界格定义及其性质
定义 设 L是格,若 L存在全下界和全上界,则称 L为
有界格,全下界记为 0，全上界记为 1, 有界格 L 记为
<L,∧,∨,0,1>,
注意：有限格 L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧ a2∧
… ∧ an是 L 的全下界,a1∨ a2∨ … ∨ an是全上界, 0
是关于 ∧ 运算的零元,∨ 运算的单位元, 1 是关于 ∨
运算的零元,∧ 运算的单位元,
对于涉及有界格的命题,如果其中含有全下界 0或全
上界 1,求其对偶命题时,必须将 0与 1互换,
29
补元的定义
定义 设 <L,∧,∨,0,1>是有界格,a∈ L,若存在 b∈ L
使得
a∧ b = 0 和 a∨ b =1
成立,则称 b 是 a 的 补元,
注意：若 b 是 a 的补元,那么 a 也是 b 的补元, a 和 b
互为补元,
30
实例, 求补元
解,L1中 a,c互补,b没补元,
L2中 a,d互补,b,c 互补,
L3中 a,e互补,b 的补元是 c和 d,c 的补元是 b和 d,
d 的补元是 b和 c,
L4中的 a,e互补,b 的补元是 c和 d,c 的补元是 b,
d 的补元是 b,
31
有界分配格中补元惟一性
定理 设 <L,∧,∨,0,1>是有界分配格, 若 L中元素 a
存在补元,则存在惟一的补元,
证 假设 b,c 是 a 的补元,
a∨ c = 1,a∧ c = 0,
a∨ b = 1,a∧ b = 0
从而得到 a∨ c = a∨ b,a∧ c = a∧ b,由于 L是分配格,
b = c,
32
有补格的定义
定义 设 <L,∧,∨,0,1>是有界格,若 L 中所有元素都
有补元存在,则称 L 为 有补格,
例如,下图中的 L2,L3和 L4是有补格,L1不是有补格,
33
布尔代数的定义
定义
如果一个格是有补分配格,则称它为 布尔格 或 布尔
代数,
在布尔代数中，如果一个元素存在补元,则是惟一
的, 可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元
运算,布尔代数标记为 <B,∧,∨,’,0,1>,其中’为求补
运算
34
布尔代数的实例
例 设 S110= {1,2,5,10,11,22,55,110 } 是 110的正
因子集合,
gcd 表示求最大公约数的运算
lcm表示求最小公倍数的运算,
则 <S110,gcd,lcm>是否构成布尔代数？
35
布尔代数的等价定义
定义 设 <B,?,°>是代数系统,?和 °是二元运算, 若 ?
和 °运算满足交换律、结合律、幂等律、吸收律,即
(1) ?a,b∈ B a?b=b?a,a°b=b°a
(2) ?a,b,c∈ B
a?(b°c)=(a?b)°(a?c),a°(b?c)=(a°b) ? (a°c)
(3) 即存在 0,1∈ B,使得 ?a∈ B有 a?1=a,a°0=a
(4) ?a∈ B,存在 a?∈ B 使得 a?a?=0,a°a?=1
则称 <B,?,°>是一个 布尔代数,
可以证明，布尔代数的两种定义是等价的,
36
布尔代数的性质
定理 设 <B,∧,∨,?,0,1>是布尔代数,则
(1) ?a∈ B,(a?)?=a,
(2) ?a,b∈ B,
(3) (a∧ b) ?=a?∨ b?,(a∨ b) ?= a?∧ b? （德摩根律）
注意：德摩根律对有限个元素也是正确的,
37
证明
证 (1) (a?)?是 a?的补元, A 是 a? 的补元, 由补元惟一
性得 (a?)?=a,
(2) 对任意 a,b∈ B有
(a∧ b)∨ (a?∨ b?) = (a∨ a?∨ b?)∧ (b∨ a?∨ b?)
= (1∨ b?)∧ (a?∨ 1) = 1∧ 1 = 1,
(a∧ b)∧ (a?∨ b?) = (a∧ b∧ a?)∨ (a∧ b∧ b?)
= (0∧ b)∨ (a∧ 0) = 0∨ 0 = 0,
所以 a?∨ b?是 a∧ b 的补元,根据补元惟一性可得
(a∧ b) ?= a?∨ b?,
同理可证 (a∨ b)? = a?∧ b?,
38
有限布尔代数的表示定理
定理 设 L 是有限布尔代数，则 L 含有 2n 个元素
(n?N)，且 L 与 <P(S),?,?,?,?,S> 同构，其中 S 是
一个 n 元集合,
结论,含有 2n 个元素的布尔代数在同构意义下只有
一个,
6.2 环与域
? 环的定义与实例
? 特殊的环
? 交换环
? 含幺环
? 无零因子环
? 整环
? 域
2
环的定义
定义 设 <R,+,·>是代数系统,+和 ·是二元运算,
如果满足以下条件,
（ 1） <R,+>构成交换群
2） <R,·>构成半群
3） ·运算关于 +运算适合分配律
则称 <R,+,·>是一个 环,
3
环中的术语
通常称 +运算为环中的 加法, · 运算为环中的 乘法,
环中加法单位元记作 0
乘法单位元（如果存在）记作 1,
对任何元素 x，称 x 的加法逆元为 负元,记作 ?x,
若 x 存在乘法逆元的话，则称之为 逆元,记作 x?1,
4
环的实例
(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普
通的加法和乘法构成环，分别称为 整数环 Z,有
理数环 Q,实数环 R 和 复数环 C,
(2) n(n≥2)阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵的加
法和乘法构成环，称为 n阶实矩阵环,
(3) 集合的幂集 P(B)关于集合的对称差运算和
交运算构成环,
(4) 设 Zn＝ {0,1,...,n－ 1},?和 ?分别表示模 n的
加法和乘法，则 <Zn,?,?>构成环，称为 模 n的整
数环,
5
特殊的环
定义 设 <R,+,·>是环,
(1) 若环中乘法 ·适合交换律，则称 R是 交换环,
(2) 若环中乘法 ·存在单位元，则称 R是 含幺环,
(3) 若 ?a,b∈ R,a b=0 ? a=0∨ b=0，则称 R是 无
零因子环,
(4) 若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，
则称 R 是 整环,
(5) 若 R为整环,|R|>1,且 ?a?R*=R-{0},a-1?R,
则称 R 为 域,
6
零因子的定义与存在条件
设 <R,+,?>是环，若存在 ab =0,且 a?0,b?0,称 a
为左零因子,b为右零因子，环 R 不是无零因子
环,
实例 <Z6,?,?>，其中 2?3=0,2 和 3 都是零因
子,
无零因子环的条件,
可以证明,ab = 0 ? a=0 ? b=0 ? 消去律
7
特殊环的实例
(1)整数环 Z、有理数环 Q、实数环 R、复数环 C都是
交换环、含幺环、无零因子环和整环, 其中除 Z之
外都是域
(2)令 2Z={ 2z | z∈ Z }，则 <2Z,+,·>构成交换环和无零
因子环, 但不是含幺环和整环,
(3)设 n?Z,n?2,则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵
加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环
和无零因子环，也不是整环,
(4)<Z6,?,?>构成环，它是交换环、含幺环，但不是
无零因子环和整环,
注意：对于一般的 n,Zn是整环且是域 ? n是素数,
8
例题
判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,
(1) A={a+bi |a,b?Q},i2= ?1,运算为复数加法和乘法,
(2) A={2z+1 | z?Z},运算为普通加法和乘法
(3) A={2z | z?Z},运算为普通加法和乘法
(4) A={ x | x≥0 ∧ x?Z},运算为普通加法和乘法,
(5),运算为普通加法和乘法
解 (2),(4),(5) 不是环, 为什么？
(1) 是环,是整环,也是域,
(3) 是环,不是整环和域,
},|5{ 4 QbabaA ???
9
环的性质
定理 设 <R,+,·>是环，则
(1) ?a∈ R,a·0 = 0·a = 0
(2) ?a,b∈ R,(?a)b = a(?b) = ?ab
(3) ?a,b∈ R,(?a)(?b) = ab
(4) ?a,b,c∈ R,a(b?c) = ab?ac,
(b?c)a = ba?ca
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环中的运算
例 在环中计算 (a+b)3,(a?b)2
解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)
= (a2+ba+ab+b2)(a+b)
= a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3
(a?b)2 = (a?b)(a?b)=a2?ba?ab+b2
11
6.3 格与布尔代数
? 格的定义与实例
? 格的性质
? 对偶原理
? 交换律、结合律、幂等律、吸收律
? 格的等价定义
? 子格
? 格的同构
? 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
12
格的定义
定义 设 <S,?>是偏序集，如果 ?x,y?S,{x,y}都有
最小上界和最大下界，则称 S关于偏序 ?作成一个
格,
由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求 {x,y}
的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算 ∨ 和
∧,即 x∨ y 和 x∧ y 分别表示 x 与 y 的最小上界和
最大下界,
注意：这里出现的 ∨ 和 ∧ 符号只代表格中的运算,
而不再有其他的含义,
13
格的实例
例 设 n是正整数,Sn是 n的正因子的集合, D为
整除关系，则偏序集 <Sn,D>构成格,?x,y∈ Sn,
x∨ y 是 lcm(x,y)，即 x 与 y 的最小公倍数, x∧ y
是 gcd(x,y)，即 x 与 y 的最大公约数,
下图给出了格 <S8,D>,<S6,D>和 <S30,D>,
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例 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由,
(1) <P(B),? >，其中 P(B)是集合 B的幂集,
(2) <Z,≤>，其中 Z是整数集,≤为小于等于关系,
(3) 偏序集的哈斯图分别在下图给出,
格的实例（续）
解 (1) 是格, 称 <P(B),? >为 B的 幂集格,
(2) 是格,
(3) 都不是格,
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格的性质：对偶原理
定义 设 f 是含有格中元素以及符号 =,?,?,∨ 和 ∧ 的
命题, 令 f*是将 f 中的 ?替换成 ?,?替换成 ?,∨ 替换成
∧,∧ 替换成 ∨ 所得到的命题, 称 f* 为 f 的 对偶命题,
例如,在格中,f 是 (a∨ b)∧ c?c,f* 是 (a∧ b)∨ c?c,
格的对偶原理,设 f 是含格中元素以及符号 =,?,?,∨
和 ∧ 等的命题, 若 f 对一切格为真,则 f 的对偶命题
f*也对一切格为真,
例如,若对一切格 L都有 ?a,b∈ L,a∧ b?a,那么对一
切格 L都有 ?a,b∈ L,a∨ b?a
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格的性质：算律
定理 设 <L,?>是格,则运算 ∨ 和 ∧ 适合交换律、结
合律、幂等律和吸收律,即
(1) ?a,b∈ L 有
a∨ b=b∨ a,a∧ b=b∧ a
(2) ?a,b,c∈ L 有
(a∨ b)∨ c=a∨ (b∨ c),
(a∧ b)∧ c=a∧ (b∧ c)
(3) ?a∈ L 有
a∨ a=a,a∧ a=a
(4) ?a,b∈ L 有
a∨ (a∧ b)=a,a∧ (a∨ b)=a
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算律的证明
证 (1) 交换律,
a∨ b 是 {a,b} 的最小上界
b∨ a 是 {b,a}的最小上界
{ a,b } = { b,a }
? a∨ b = b∨ a,
由对偶原理,a∧ b = b∧ a 得证,
18
算律的证明（续）
(2) 结合律, 由最小上界的定义有
(a∨ b)∨ c?a∨ b?a (I)
(a∨ b)∨ c?a∨ b?b (II)
(a∨ b)∨ c?c (III)
由式 (II) 和 (III) 有
(a∨ b)∨ c?b∨ c (IV)
由式 (I) 和 (IV) 有 (a∨ b)∨ c?a∨ (b∨ c),同理可证
(a∨ b)∨ c ? a∨ (b∨ c),根据偏序的反对称性得到
(a∨ b)∨ c = a∨ (b∨ c),由对偶原理,(a∧ b)∧ c =
a∧ (b∧ c) 得证,
19
算律的证明（续）
(3) 幂等律, 显然 a ? a∨ a,又由 a ? a 得 a∨ a ? a,
由反对称性 a∨ a = a,用对偶原理,a∧ a = a 得证,
(4) 吸收律, 显然有
a∨ (a∧ b) ? a (V)
由 a ? a,a∧ b ? a 可得
a∨ (a∧ b) ? a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨ (a∧ b) = a
根据对偶原理,a∧ (a∨ b) = a 得证,
20
格作为代数系统的定义
定理 设 <S,?,°>是具有两个二元运算的代数系统,
若对于 ?和 ?运算适合交换律、结合律、吸收律,则
可以适当定义 S中的偏序 ?,使得 <S,?>构成格,且
?a,b∈ S有 a∧ b = a?b,a∨ b = a ° b,
根据定理,可以给出格的另一个等价定义,
定义 设 <S,?,°>是代数系统,?和 °是二元运算,如果
?和 ° 运算 满足交换律、结合律和吸收律,则 <S,?,°>
构成格,
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子格的定义及判别
定义 设 <L,∧,∨ >是格,S 是 L 的非空子集,若 S
关于 L中运算 ∧ 和 ∨ 仍构成格,则称 S是 L 的子格,
例 设格 L 如图所示, 令
S1={ a,e,f,g },
S2={ a,b,e,g }
S1不是 L的子格,
S2是 L的子格, 因为对于
e,f?S1,e∧ f?S1,
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格同态
定义 设 L1和 L2是格,f,L1→ L2,若 ?a,b∈ L1有
f(a∧ b) = f(a)∧ f(b),
f(a∨ b) = f(a)∨ f(b)
成立,则称 f 为格 L1到 L2的同态映射,简称 格同态,
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分配格定义
定义 设 <L,∧,∨ >是格,若 ?a,b,c∈ L,有
a∧ (b∨ c) = (a∧ b)∨ (a∧ c)
a∨ (b∧ c) = (a∨ b)∧ (a∨ c)
则称 L 为 分配格,
注意：以上条件互为充分必要条件
在证明 L为分配格时,只须证明其中的一个等式即可,
24
分配格的定义（续）
L1和 L2是分配格,L3和 L4不是分配格,
在 L3中,b∧ (c∨ d) = b,(b∧ c)∨ (b∧ d) = a
在 L4中,c∨ (b∧ d) = c,(c∨ b)∧ (c∨ d) = d
称 L3为 钻石格,L4为 五角格,
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分配格的判定及其性质
定理 设 L 是格,则 L 是分配格当且仅当 L 不含有
与钻石格或五角格同构的子格,
证明省略,
定理 格 L 是分配格当且仅当 ?a,b,c∈ L,
a∧ b=a∧ c且 a∨ b=a∨ c ? b=c,
推论
(1) 小于五元的格都是分配格,
(2) 任何一条链都是分配格,
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分配格的判定（续）
解 L1,L2和 L3都不是分配格,
{ a,b,c,d,e }是 L1的子格,并且同构于钻石格；
{ a,b,c,e,f }是 L2的子格,并且同构于五角格；
{ a,c,b,e,f }是 L3的子格,也同构于钻石格,
例 说明图中的格是否为分配格,为什么？
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全上界与全下界
定义 设 L是格,
若存在 a∈ L 使得 ?x∈ L 有 a ? x,则称 a 为 L 的 全
下界 ；
若存在 b∈ L 使得 ?x∈ L 有 x ? b,则称 b 为 L 的 全
上界,
说明,
格 L 若存在全下界或全上界,一定是惟一的,
一般将格 L 的全下界记为 0,全上界记为 1,
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有界格定义及其性质
定义 设 L是格,若 L存在全下界和全上界,则称 L为
有界格,全下界记为 0，全上界记为 1, 有界格 L 记为
<L,∧,∨,0,1>,
注意：有限格 L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧ a2∧
… ∧ an是 L 的全下界,a1∨ a2∨ … ∨ an是全上界, 0
是关于 ∧ 运算的零元,∨ 运算的单位元, 1 是关于 ∨
运算的零元,∧ 运算的单位元,
对于涉及有界格的命题,如果其中含有全下界 0或全
上界 1,求其对偶命题时,必须将 0与 1互换,
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补元的定义
定义 设 <L,∧,∨,0,1>是有界格,a∈ L,若存在 b∈ L
使得
a∧ b = 0 和 a∨ b =1
成立,则称 b 是 a 的 补元,
注意：若 b 是 a 的补元,那么 a 也是 b 的补元, a 和 b
互为补元,
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实例, 求补元
解,L1中 a,c互补,b没补元,
L2中 a,d互补,b,c 互补,
L3中 a,e互补,b 的补元是 c和 d,c 的补元是 b和 d,
d 的补元是 b和 c,
L4中的 a,e互补,b 的补元是 c和 d,c 的补元是 b,
d 的补元是 b,
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有界分配格中补元惟一性
定理 设 <L,∧,∨,0,1>是有界分配格, 若 L中元素 a
存在补元,则存在惟一的补元,
证 假设 b,c 是 a 的补元,
a∨ c = 1,a∧ c = 0,
a∨ b = 1,a∧ b = 0
从而得到 a∨ c = a∨ b,a∧ c = a∧ b,由于 L是分配格,
b = c,
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有补格的定义
定义 设 <L,∧,∨,0,1>是有界格,若 L 中所有元素都
有补元存在,则称 L 为 有补格,
例如,下图中的 L2,L3和 L4是有补格,L1不是有补格,
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布尔代数的定义
定义
如果一个格是有补分配格,则称它为 布尔格 或 布尔
代数,
在布尔代数中，如果一个元素存在补元,则是惟一
的, 可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元
运算,布尔代数标记为 <B,∧,∨,’,0,1>,其中’为求补
运算
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布尔代数的实例
例 设 S110= {1,2,5,10,11,22,55,110 } 是 110的正
因子集合,
gcd 表示求最大公约数的运算
lcm表示求最小公倍数的运算,
则 <S110,gcd,lcm>是否构成布尔代数？
35
布尔代数的等价定义
定义 设 <B,?,°>是代数系统,?和 °是二元运算, 若 ?
和 °运算满足交换律、结合律、幂等律、吸收律,即
(1) ?a,b∈ B a?b=b?a,a°b=b°a
(2) ?a,b,c∈ B
a?(b°c)=(a?b)°(a?c),a°(b?c)=(a°b) ? (a°c)
(3) 即存在 0,1∈ B,使得 ?a∈ B有 a?1=a,a°0=a
(4) ?a∈ B,存在 a?∈ B 使得 a?a?=0,a°a?=1
则称 <B,?,°>是一个 布尔代数,
可以证明，布尔代数的两种定义是等价的,
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布尔代数的性质
定理 设 <B,∧,∨,?,0,1>是布尔代数,则
(1) ?a∈ B,(a?)?=a,
(2) ?a,b∈ B,
(3) (a∧ b) ?=a?∨ b?,(a∨ b) ?= a?∧ b? （德摩根律）
注意：德摩根律对有限个元素也是正确的,
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证明
证 (1) (a?)?是 a?的补元, A 是 a? 的补元, 由补元惟一
性得 (a?)?=a,
(2) 对任意 a,b∈ B有
(a∧ b)∨ (a?∨ b?) = (a∨ a?∨ b?)∧ (b∨ a?∨ b?)
= (1∨ b?)∧ (a?∨ 1) = 1∧ 1 = 1,
(a∧ b)∧ (a?∨ b?) = (a∧ b∧ a?)∨ (a∧ b∧ b?)
= (0∧ b)∨ (a∧ 0) = 0∨ 0 = 0,
所以 a?∨ b?是 a∧ b 的补元,根据补元惟一性可得
(a∧ b) ?= a?∨ b?,
同理可证 (a∨ b)? = a?∧ b?,
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有限布尔代数的表示定理
定理 设 L 是有限布尔代数，则 L 含有 2n 个元素
(n?N)，且 L 与 <P(S),?,?,?,?,S> 同构，其中 S 是
一个 n 元集合,
结论,含有 2n 个元素的布尔代数在同构意义下只有
一个,
