1
第 6章 几个典型的代数系统
? 6.1 半群与群
? 6.2 环与域
? 6.3 格与布尔代数
2
? 半群与独异点
?半群定义与性质
?交换半群与独异点
?半群与独异点的子代数和积代数
?半群与独异点的同态
? 群
?群的定义与性质
?子群与群的直积
?循环群
?置换群
6.1 半群与群
3
半群的定义与实例
定义 设 V=<S,o> 是代数系统,o为二元运算，如果
? 运算是可结合的，则称 V 为 半群,
实例 （ 1） <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群,+是
普通加法,
（ 2）设 n 是大于 1的正整数,<Mn(R),+>和 <Mn(R),·>都是半
群，其中 +和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法,
（ 3） <P(B),?>为半群，其中 ?为集合的对称差运算,
（ 4） <Zn,?>为半群，其中 Zn={0,1,…,n?1},?为模 n 加法,
（ 5） <AA,?>为半群，其中 ? 为函数的复合运算,
（ 6） <R*,?>为半群，其中 R*为非零实数集合,?运算定义
如下,?x,y∈ R*,x ? y =y
4
元素的幂运算性质
元素的 幂运算定义
设 V=<S,?>为半群，对任意 x∈ S，规定,
x1 = x
xn+1 = xn? x,n∈ Z+
幂运算规则,
xn ? xm = xn+m
(xn)m= xnm m,n∈ Z+
证明方法：数学归纳法
5
特殊的半群
定义 设 V = <S,?>是半群
(1) 若 ? 运算是可交换的，则称 V 为 交换半群,
(2) 若 e∈ S 是关于 ? 运算的单位元，则称 V 是 含幺
半群,也叫做 独异点,
独异点 V 记作 V = <S,?,e>
6
独异点的幂
独异点的幂运算定义
x0 = e
xn+1 = xn? x,n∈ N
幂运算规则
xn ? xm = xn+m
(xn)m= xnm m,n∈ N
7
交换半群和独异点的实例
例 1 （ 1） <Z+,+,0>,<N,+,0>,<Z,+,0>,<Q,+,0>,<R,+,0>都是交
换半群，也是独异点,+ 是普通加法,
（ 2）设 n 是大于 1 的正整数,<Mn(R),+>和 <Mn(R),·>都是
独异点，其中 +和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法, 加
法构成交换半群，乘法不是交换半群,
（ 3） <P(B),?,?>为交换半群和独异点，其中 ?为集合的对
称差运算,
（ 4） <Zn,?,0>为交换半群与独异点，其中 Zn = {0,1,…,
n?1},? 为模 n 加法,
（ 5） <AA,?,IA>为独异点，不是交换半群，其中 ? 为函数的
复合运算,
8
半群与独异点的子代数
定义 半群的子代数称为 子半群,独异点的子代数称
为 子独异点
判断方法
设 V=<S,?>为半群,T 是 V 的子半群当且仅当 T
对 o 运算封闭, 设 V = <S,?,e>为独异点,T 是 V 的
子独异点当且仅当 T 对 o 运算封闭，且 e?T
实例,
<Z+,+>,<N,+>是 <Z,+>的子半群,<N,+>是 <Z,+>
的子独异点,<Z+,+>不是 <Z,+>的子独异点,
9
半群与独异点的积代数
定义 设 V1=<S1,? >,V2=<S2,?> 是半群 (或独异
点 )，令 S = S1× S2，定义 S 上的 · 运算如下,
?<a,b>,<c,d>∈ S,
<a,b>·<c,d> = < a?c,b?d >
称 <S,·>为 V1 和 V2 的 积半群 （ 直积 ），记作
V1× V2,若 V1 = <S1,?,e1> 和 V2 = <S2,?,e2> 是独
异点，则 V1× V2 = <S1× S2,·,<e1,e2>> 也是独异
点,称为独异点的 积独异点 (直积 ),
10
半群和独异点的同态
定义 (1) 设 V1= <S1,?>,V2= <S2,?>是半群,?,
S1→ S2,若对任意的 x,y∈ S1有
? (x?y) = ?(x) ? ?(y)
则称 ? 为半群 V1 到 V2 的 同态映射,简称 同态,
(2) 设 V1 = <S1,?,e1>,V2 = <S2,?,e2> 是独异点,
?,S1→ S2,若对任意的 x,y∈ S1有
? (x?y) = ?(x) ? ?(y) 且 ? (e1) = e2,
则称 ? 为独异点 V1 到 V2 的 同态映射,简称 同态,
11
同态的实例
例 2 设半群 V1 = <S,·>，独异点 V2= <S,·,e>,其中 · 为
矩阵乘法,e 为 2 阶单位矩阵,
令 ?, S?S,,? 是半群 V1 的自同
态,不是独异点 V2 的自同态，因为它没有将 V2 的单
位元映到 V2 的单位元,
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
? Rda
d
a
S,|
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0
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?
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0
0
0 a
d
a
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12
群的定义与性质
? 群的定义与实例
? 群中的术语
?有限群、无限群与群的阶
? Abel群
?群中元素的幂
?元素的阶
? 群的性质
?幂运算规则,
?群方程的解
?消去律
?群的运算表的排列
13
群的定义与实例
定义 设 <G,? >是代数系统,?为二元运算, 如果 ?
运算是可结合的，存在单位元 e∈ G，并且对 G 中
的任何元素 x 都有 x?1∈ G，则称 G 为 群,
群的实例
(1) <Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群； <Z+,+>,<N,+>不是群,
(2) <Mn(R),+>是群，而 <Mn(R),·>不是群,
(3) <P(B),?>是群,?为对称差运算,
(4) <Zn,?>，是群, Zn={ 0,1,…,n?1},?为模 n 加,
14
Klein四元群
设 G = { e,a,b,c },G上的运算由下表给出,
称为 Klein四元群
e a b c
e
a
b
c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
运算表特征,
? 对称性 ---运算可交换
? 主对角线元素都是幺元
---每个元素是自己的逆元
? a,b,c 中任两个元素运算
都等于第三个元素,
15
群中的术语
若群 G 是有穷集，则称 G 是 有限群,否则称为
无限群,
群 G 的基数称为群 G的 阶
有限群 G 的阶记作 |G|,
若群 G中的二元运算是可交换的，则称 G为 交换
群 或 阿贝尔 (Abel)群,
16
实例
<Z,+> 和 <R,+>是无限群
<Zn,?>是有限群，也是 n 阶群
Klein四元群 G = {e,a,b,c}是 4 阶群
上述群都是交换群
n 阶 (n≥2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群
是非交换群,
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群中的术语（续）
实例
在 <Z3,? >中有 2?3=(2?1)3=13=1?1?1=0
在 <Z,+> 中有 (?2)?3=23=2+2+2=6
定义 设 G是群,x∈ G,n∈ Z，则 x 的 n 次幂 xn
定义为
Zn
nnmx
nxx
ne
x
m
nn
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
0,)(
0
0
1
1
18
设 G是群,x∈ G，使得等式 xk = e 成立的最小正
整数 k 称为 x 的 阶（或周期）,记作 |x| = k，称
x为 k 阶元, 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为
无限阶元,
群中的术语（续）
在 <Z6,?>中,2 和 4 是 3 阶元,3 是 2 阶元,1 和
5 是 6 阶元,0 是 1 阶元
在 <Z,+>中,0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在,
19
群的性质 ---幂运算规则
定理 1 设 G 为群,则 G 中的幂运算满足,
(1) ?x∈ G,(x?1)?1 = x,
(2) ?x,y∈ G,(xy)?1 = y?1x?1,
(3) ?x∈ G,xnxm = xn+m,n,m∈ Z,
(4) ?x∈ G,(xn)m = xnm,n,m∈ Z,
注意
(xy)n = (xy)(xy)… (xy),是 n 个 xy 运算,G为
交换群，才有 (xy)n = xnyn,
1
1
1
2
1
1
11
21,..)...(
???
?
?? ? xxxxxxx
nnn
20
群的性质 ---群方程存在唯一解
定理 2 G为群,?a,b∈ G，方程 ax=b 和 ya=b 在 G
中有解且仅有惟一解,
a?1b 是 ax=b的解, ba?1 是 ya = b 的唯一解,
例 设 G=<P({a,b}),?>，其中 ?为对称差, 群方程
{a} ? X = ?,Y ? {a,b} = {b}
的解 X = {a}?1?? = {a}?? = {a},
Y = {b}?{a,b}?1 = {b}?{a,b} = {a}
21
群的性质 ---消去律
定理 3 G 为群，则 G适合消去律，即 ?a,b,c∈ G 有
(1) 若 ab = ac，则 b = c,
(2) 若 ba = ca，则 b = c,
例 设 G = {a1,a2,…,an} 是 n 阶群，令
aiG = { ai aj | j =1,2,…,n }
证明 aiG = G,
证 由群中运算的封闭性有 aiG?G,假设 aiG?G，即
|aiG|<n,必有 aj,ak∈ G使得
ai aj = ai ak （ j≠k）
由消去律得 aj = ak,与 |G| = n 矛盾,
22
群的性质 ---运算表排列规则
定理 4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列
都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列）
的置换都不相同,
注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群,
a b c d
a
b
c
d
b c d a
b a c d
c d b a
d b a c
a b c d
a
b
c
d
a b c d
c d a b
b c d a
d a b c
23
子群的定义
定义 设 G 是群,H 是 G 的非空子集，如果 H 关
于 G 中的运算构成群，则称 H 是 G 的 子群,记作
H≤G,若 H 是 G 的子群，且 H?G，则称 H 是 G
的 真子群,记作 H<G,
实例 nZ（ n是自然数）是整数加群 <Z,+> 的子
群, 当 n≠1 时,nZ 是 Z 的真子群,
对任何群 G 都存在子群, G 和 {e} 都是 G 的子群，
称为 G 的 平凡子群,
24
子群判定定理
判定定理
设 G 为群,H 是 G 的非空子集, H 是 G 的子群当
且仅当 ?x,y∈ H 有 xy?1∈ H,
证明 H 为 G 的子群的步骤,
通过给出 H 中的元素说明 H 是 G 的非空子集
任取 x,y属于 H，证明 xy-1属于 H
25
重要子群
生成子群
定义 设 G 为群,a∈ G，令 H = { ak | k∈ Z },
则 H 是 G 的子群，称为 由 a 生成的子群，记作
<a>,
证 首先由 a∈ <a> 知道 <a>≠?,任取 am,al
∈ <a>，则
am (al)?1 = am a?l = am?l∈ <a>
根据判定定理可知 <a>≤G,
26
实例
整数加群 <Z,+>,
由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈ Z } = 2Z
模 6 加群 <Z6,? >中
由 2 生成的子群 <2> = { 0,2,4 }
Klein四元群 G = { e,a,b,c } 的所有生成子群是,
<e> = { e },
<a> = { e,a },<b> = { e,b },<c> = { e,c },
27
群 G的中心 C
设 G 为群,令 C = { a | a∈ G∧ ?x∈ G(ax=xa)}，则 C
是 G 的子群，称为 G 的 中心,
证 e∈ C,C是 G 的非空子集,
任取 a,b∈ C，证明 ab?1与 G 中所有的元素都可交换,
?x∈ G，有
(ab?1)x = ab?1x = ab?1(x?1)?1 = a(x?1b)?1 = a(bx?1)?1
= a(xb?1) = (ax)b?1 = (xa)b?1 = x(ab?1)
由判定定理可知 C≤G,
重要子群（续）
28
循环群的定义
定义 设 G 是群，若存在 a∈ G 使得
G = { ak | k∈ Z }
则称 G 是 循环群,记作 G=<a>，称 a 为 G 的 生成
元,
实例
整数加群 G = <Z,+> = <1> = < -1>
模 6 加群 G = <Z6,?> = <1> = <5>
29
循环群的分类
设 循环群 G = <a>，根据生成元 a 的阶可以分
成两类,n 阶循环群和无限循环群,
设 G = <a>是循环群，若 a 是 n 阶元，则
G = { a0=e,a1,a2,…,an?1 }
那么 |G|= n，称 G 为 n 阶循环群,
若 a 是无限阶元，则
G = { a± 0=e,a± 1,a± 2,… }
这时称 G 为 无限循环群,
30
循环群的生成元
定理
设 G = <a> 是循环群,
(1) 若 G是无限循环群，则 G 只有 a 和 a?1 两个生
成元,
(2) 若 G 是 n 阶循环群，则 ar 是 G 的生成元当且
仅当 r 是小于等于 n 且与 n 互质的正整数,
31
(1) 设 G={e,a,…,a11}是 12阶循环群，则小于或等于
12且与 12互素的数是 1,5,7,11,由定理可知 a,a5，
a7和 a11是 G 的生成元,
(2) 设 G=<Z9,?>是模 9的整数加群，则小于或等于 9
且与 9 互素的数是 1,2,4,5,7,8,根据定理,G的
生成元是 1,2,4,5,7 和 8,
(3) 设 G=3Z={3z | z∈ Z},G上的运算是普通加法, 那
么 G只有两个生成元,3 和 ?3,
生成元的实例
32
循环群的子群
定理
设 G=<a>是循环群,
(1) 设 G=<a>是循环群，则 G 的子群仍是循环群,
(2) 若 G=<a>是无限循环群，则 G 的子群除 {e}以
外都是无限循环群,
(3) 若 G=<a>是 n 阶循环群，则对 n 的每个正因子
d,G 恰好含有一个 d 阶子群,
33
(1) G=<Z,+>是 1无限循环群，对于自然数 m∈ N,1
的 m 次幂是 m,m 生成的子群是 mZ,m∈ N,即
<0> = { 0 } = 0Z
<m> = { mz | z∈ Z } = mZ,m>0
(2) G=Z12是 12阶循环群, 12的正因子是 1,2,3,4,6 和
12，因此 G 的子群是,
1 阶子群 <12>=<0>={0},2 阶子群 <6> = {0,6}
3 阶子群 <4>={0,4,8},4 阶子群 <3> = {0,3,6,9}
6 阶子群 <2>={0,2,4,6,8,10},12 阶子群 <1> = Z12
子群的实例
34
n元置换的定义
定义 设 S = { 1,2,…,n },S上的双射函数 ?:S→ S
称为 S上的 n元置换, 一般将 n 元置换 σ记为
例如 S = { 1,2,3,4,5 },则
都是 5元置换,
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?
?
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?
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21
n
n
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23145
54321
,
21453
54321
??
35
n元置换的表示
? 置换符号表示
? 轮换表示
? 对换表示
???
?
???
?
?
)()2()1(
21
n
n
???
?
?
?
36
k 阶轮换与对换
定义 设 σ是 S = {1,2,…,n}上的 n 元置换, 若
σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik?1)=ik,σ(ik)=i1
且保持 S 中的其他元素不变，则称 σ为 S上的 k 次
轮换,记作 (i1i2… ik),若 k=2，称 σ为 S上的 对换,
例如 5元置换
分别是 4 阶和 2 阶轮换 σ=(1 2 3 4),τ=(1 3),其中 τ
也叫做对换
???
?
???
?
???
?
?
???
?
?
54123
54321
,
15432
54321
??
37
n元置换分解为轮换
设 S={1,2,…,n}，对于任何 S 上的 n 元置换 σ,一
定存在着一个有限序列 i1,i2,…,ik,k≥1,（可以取
i1=1）使得 σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik?1)=ik,σ(ik)=i1,
令 σ1=(i1 i2 … ik)，它是从 σ中分解出来的第一个
轮换, 根据函数复合定义可将 σ写作 σ1σ’，其中 σ’
作用于 S?{i1,i2,…,ik}上的元素, 继续对 σ’进行类
似的分解, 由于 S 中只有 n 个元素,经过有限步以
后，必得到 σ的轮换分解式
σ=σ1 σ2 … σt
38
分解实例
例 设 S = { 1,2,…,8 },
从 σ中分解出来的第一个轮换式 (1 5 2 3 6)；第二
个轮换为 (4)；第三个轮换为 (7 8),σ的轮换表示式
σ=(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8)
用同样的方法可以得到 τ的分解式
τ=(1 8 3 4 2) (5 6 7)
注意：在轮换分解式中,1 阶轮换可以省略,
??
?
?
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?
?
???
?
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?
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35762418
87654321
,
78124635
87654321
??
39
n元置换的乘法与求逆
两个 n 元置换的 乘法 就是函数的复合运算
n 元置换的求 逆 就是求反函数,
例 设
使用轮换表示是,
?? = (1 5 4) (2 3) (1 4 2 3) = (1 5 2)
?? = ( 1 4 2 3) (1 5 4) (2 3) = (3 5 4)
?-1= (1 5 4)-1 (2 3)-1 = (4 5 1) (2 3) = (1 4 5) (2 3)
?
?
?
?
?
?
?
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15234
54321
54321
41235
43521
54321
,
24315
54321
52134
54321
,
41235
54321
1
?
????
??
40
n元置换群及其实例
考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn
Sn关于置换的乘法是封闭的, 置换的乘法满足结合
律, 恒等置换 (1)是 Sn 中的单位元, 对于任何 n元置换
σ∈ Sn，逆置换 σ?1是 σ 的逆元, 这就证明了 Sn关
于置换的乘法构成一个群，称为 n元对称群, n元对
称群的子群称为 n元置换群,
例 设 S = {1,2,3},3元对称群
S3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)}
41
S3 的运算表
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
(1)
(1 2)
(1 3)
(2 3)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
(1 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3)
(1 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2)
(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3)
(1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1)
(1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3)
42
S3的子群
S3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},
A3 = <(1 2 3)> = {(1),(1 2 3),(1 3 2)},
<(1)> = {(1)}
<(1 2)> = {(1),(1 2)},
<(1 3)> = {(1),(1 3)},
<(2 3)> = {(1),(2 3)}
第 6章 几个典型的代数系统
? 6.1 半群与群
? 6.2 环与域
? 6.3 格与布尔代数
2
? 半群与独异点
?半群定义与性质
?交换半群与独异点
?半群与独异点的子代数和积代数
?半群与独异点的同态
? 群
?群的定义与性质
?子群与群的直积
?循环群
?置换群
6.1 半群与群
3
半群的定义与实例
定义 设 V=<S,o> 是代数系统,o为二元运算，如果
? 运算是可结合的，则称 V 为 半群,
实例 （ 1） <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群,+是
普通加法,
（ 2）设 n 是大于 1的正整数,<Mn(R),+>和 <Mn(R),·>都是半
群，其中 +和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法,
（ 3） <P(B),?>为半群，其中 ?为集合的对称差运算,
（ 4） <Zn,?>为半群，其中 Zn={0,1,…,n?1},?为模 n 加法,
（ 5） <AA,?>为半群，其中 ? 为函数的复合运算,
（ 6） <R*,?>为半群，其中 R*为非零实数集合,?运算定义
如下,?x,y∈ R*,x ? y =y
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元素的幂运算性质
元素的 幂运算定义
设 V=<S,?>为半群，对任意 x∈ S，规定,
x1 = x
xn+1 = xn? x,n∈ Z+
幂运算规则,
xn ? xm = xn+m
(xn)m= xnm m,n∈ Z+
证明方法：数学归纳法
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特殊的半群
定义 设 V = <S,?>是半群
(1) 若 ? 运算是可交换的，则称 V 为 交换半群,
(2) 若 e∈ S 是关于 ? 运算的单位元，则称 V 是 含幺
半群,也叫做 独异点,
独异点 V 记作 V = <S,?,e>
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独异点的幂
独异点的幂运算定义
x0 = e
xn+1 = xn? x,n∈ N
幂运算规则
xn ? xm = xn+m
(xn)m= xnm m,n∈ N
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交换半群和独异点的实例
例 1 （ 1） <Z+,+,0>,<N,+,0>,<Z,+,0>,<Q,+,0>,<R,+,0>都是交
换半群，也是独异点,+ 是普通加法,
（ 2）设 n 是大于 1 的正整数,<Mn(R),+>和 <Mn(R),·>都是
独异点，其中 +和 · 分别表示矩阵加法和矩阵乘法, 加
法构成交换半群，乘法不是交换半群,
（ 3） <P(B),?,?>为交换半群和独异点，其中 ?为集合的对
称差运算,
（ 4） <Zn,?,0>为交换半群与独异点，其中 Zn = {0,1,…,
n?1},? 为模 n 加法,
（ 5） <AA,?,IA>为独异点，不是交换半群，其中 ? 为函数的
复合运算,
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半群与独异点的子代数
定义 半群的子代数称为 子半群,独异点的子代数称
为 子独异点
判断方法
设 V=<S,?>为半群,T 是 V 的子半群当且仅当 T
对 o 运算封闭, 设 V = <S,?,e>为独异点,T 是 V 的
子独异点当且仅当 T 对 o 运算封闭，且 e?T
实例,
<Z+,+>,<N,+>是 <Z,+>的子半群,<N,+>是 <Z,+>
的子独异点,<Z+,+>不是 <Z,+>的子独异点,
9
半群与独异点的积代数
定义 设 V1=<S1,? >,V2=<S2,?> 是半群 (或独异
点 )，令 S = S1× S2，定义 S 上的 · 运算如下,
?<a,b>,<c,d>∈ S,
<a,b>·<c,d> = < a?c,b?d >
称 <S,·>为 V1 和 V2 的 积半群 （ 直积 ），记作
V1× V2,若 V1 = <S1,?,e1> 和 V2 = <S2,?,e2> 是独
异点，则 V1× V2 = <S1× S2,·,<e1,e2>> 也是独异
点,称为独异点的 积独异点 (直积 ),
10
半群和独异点的同态
定义 (1) 设 V1= <S1,?>,V2= <S2,?>是半群,?,
S1→ S2,若对任意的 x,y∈ S1有
? (x?y) = ?(x) ? ?(y)
则称 ? 为半群 V1 到 V2 的 同态映射,简称 同态,
(2) 设 V1 = <S1,?,e1>,V2 = <S2,?,e2> 是独异点,
?,S1→ S2,若对任意的 x,y∈ S1有
? (x?y) = ?(x) ? ?(y) 且 ? (e1) = e2,
则称 ? 为独异点 V1 到 V2 的 同态映射,简称 同态,
11
同态的实例
例 2 设半群 V1 = <S,·>，独异点 V2= <S,·,e>,其中 · 为
矩阵乘法,e 为 2 阶单位矩阵,
令 ?, S?S,,? 是半群 V1 的自同
态,不是独异点 V2 的自同态，因为它没有将 V2 的单
位元映到 V2 的单位元,
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
? Rda
d
a
S,|
0
0
???
?
???
?
???
?
?
???
?
???
?
???
?
00
0
0
0 a
d
a
?
12
群的定义与性质
? 群的定义与实例
? 群中的术语
?有限群、无限群与群的阶
? Abel群
?群中元素的幂
?元素的阶
? 群的性质
?幂运算规则,
?群方程的解
?消去律
?群的运算表的排列
13
群的定义与实例
定义 设 <G,? >是代数系统,?为二元运算, 如果 ?
运算是可结合的，存在单位元 e∈ G，并且对 G 中
的任何元素 x 都有 x?1∈ G，则称 G 为 群,
群的实例
(1) <Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群； <Z+,+>,<N,+>不是群,
(2) <Mn(R),+>是群，而 <Mn(R),·>不是群,
(3) <P(B),?>是群,?为对称差运算,
(4) <Zn,?>，是群, Zn={ 0,1,…,n?1},?为模 n 加,
14
Klein四元群
设 G = { e,a,b,c },G上的运算由下表给出,
称为 Klein四元群
e a b c
e
a
b
c
e a b c
a e c b
b c e a
c b a e
运算表特征,
? 对称性 ---运算可交换
? 主对角线元素都是幺元
---每个元素是自己的逆元
? a,b,c 中任两个元素运算
都等于第三个元素,
15
群中的术语
若群 G 是有穷集，则称 G 是 有限群,否则称为
无限群,
群 G 的基数称为群 G的 阶
有限群 G 的阶记作 |G|,
若群 G中的二元运算是可交换的，则称 G为 交换
群 或 阿贝尔 (Abel)群,
16
实例
<Z,+> 和 <R,+>是无限群
<Zn,?>是有限群，也是 n 阶群
Klein四元群 G = {e,a,b,c}是 4 阶群
上述群都是交换群
n 阶 (n≥2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群
是非交换群,
17
群中的术语（续）
实例
在 <Z3,? >中有 2?3=(2?1)3=13=1?1?1=0
在 <Z,+> 中有 (?2)?3=23=2+2+2=6
定义 设 G是群,x∈ G,n∈ Z，则 x 的 n 次幂 xn
定义为
Zn
nnmx
nxx
ne
x
m
nn
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
0,)(
0
0
1
1
18
设 G是群,x∈ G，使得等式 xk = e 成立的最小正
整数 k 称为 x 的 阶（或周期）,记作 |x| = k，称
x为 k 阶元, 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为
无限阶元,
群中的术语（续）
在 <Z6,?>中,2 和 4 是 3 阶元,3 是 2 阶元,1 和
5 是 6 阶元,0 是 1 阶元
在 <Z,+>中,0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在,
19
群的性质 ---幂运算规则
定理 1 设 G 为群,则 G 中的幂运算满足,
(1) ?x∈ G,(x?1)?1 = x,
(2) ?x,y∈ G,(xy)?1 = y?1x?1,
(3) ?x∈ G,xnxm = xn+m,n,m∈ Z,
(4) ?x∈ G,(xn)m = xnm,n,m∈ Z,
注意
(xy)n = (xy)(xy)… (xy),是 n 个 xy 运算,G为
交换群，才有 (xy)n = xnyn,
1
1
1
2
1
1
11
21,..)...(
???
?
?? ? xxxxxxx
nnn
20
群的性质 ---群方程存在唯一解
定理 2 G为群,?a,b∈ G，方程 ax=b 和 ya=b 在 G
中有解且仅有惟一解,
a?1b 是 ax=b的解, ba?1 是 ya = b 的唯一解,
例 设 G=<P({a,b}),?>，其中 ?为对称差, 群方程
{a} ? X = ?,Y ? {a,b} = {b}
的解 X = {a}?1?? = {a}?? = {a},
Y = {b}?{a,b}?1 = {b}?{a,b} = {a}
21
群的性质 ---消去律
定理 3 G 为群，则 G适合消去律，即 ?a,b,c∈ G 有
(1) 若 ab = ac，则 b = c,
(2) 若 ba = ca，则 b = c,
例 设 G = {a1,a2,…,an} 是 n 阶群，令
aiG = { ai aj | j =1,2,…,n }
证明 aiG = G,
证 由群中运算的封闭性有 aiG?G,假设 aiG?G，即
|aiG|<n,必有 aj,ak∈ G使得
ai aj = ai ak （ j≠k）
由消去律得 aj = ak,与 |G| = n 矛盾,
22
群的性质 ---运算表排列规则
定理 4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列
都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列）
的置换都不相同,
注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群,
a b c d
a
b
c
d
b c d a
b a c d
c d b a
d b a c
a b c d
a
b
c
d
a b c d
c d a b
b c d a
d a b c
23
子群的定义
定义 设 G 是群,H 是 G 的非空子集，如果 H 关
于 G 中的运算构成群，则称 H 是 G 的 子群,记作
H≤G,若 H 是 G 的子群，且 H?G，则称 H 是 G
的 真子群,记作 H<G,
实例 nZ（ n是自然数）是整数加群 <Z,+> 的子
群, 当 n≠1 时,nZ 是 Z 的真子群,
对任何群 G 都存在子群, G 和 {e} 都是 G 的子群，
称为 G 的 平凡子群,
24
子群判定定理
判定定理
设 G 为群,H 是 G 的非空子集, H 是 G 的子群当
且仅当 ?x,y∈ H 有 xy?1∈ H,
证明 H 为 G 的子群的步骤,
通过给出 H 中的元素说明 H 是 G 的非空子集
任取 x,y属于 H，证明 xy-1属于 H
25
重要子群
生成子群
定义 设 G 为群,a∈ G，令 H = { ak | k∈ Z },
则 H 是 G 的子群，称为 由 a 生成的子群，记作
<a>,
证 首先由 a∈ <a> 知道 <a>≠?,任取 am,al
∈ <a>，则
am (al)?1 = am a?l = am?l∈ <a>
根据判定定理可知 <a>≤G,
26
实例
整数加群 <Z,+>,
由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈ Z } = 2Z
模 6 加群 <Z6,? >中
由 2 生成的子群 <2> = { 0,2,4 }
Klein四元群 G = { e,a,b,c } 的所有生成子群是,
<e> = { e },
<a> = { e,a },<b> = { e,b },<c> = { e,c },
27
群 G的中心 C
设 G 为群,令 C = { a | a∈ G∧ ?x∈ G(ax=xa)}，则 C
是 G 的子群，称为 G 的 中心,
证 e∈ C,C是 G 的非空子集,
任取 a,b∈ C，证明 ab?1与 G 中所有的元素都可交换,
?x∈ G，有
(ab?1)x = ab?1x = ab?1(x?1)?1 = a(x?1b)?1 = a(bx?1)?1
= a(xb?1) = (ax)b?1 = (xa)b?1 = x(ab?1)
由判定定理可知 C≤G,
重要子群（续）
28
循环群的定义
定义 设 G 是群，若存在 a∈ G 使得
G = { ak | k∈ Z }
则称 G 是 循环群,记作 G=<a>，称 a 为 G 的 生成
元,
实例
整数加群 G = <Z,+> = <1> = < -1>
模 6 加群 G = <Z6,?> = <1> = <5>
29
循环群的分类
设 循环群 G = <a>，根据生成元 a 的阶可以分
成两类,n 阶循环群和无限循环群,
设 G = <a>是循环群，若 a 是 n 阶元，则
G = { a0=e,a1,a2,…,an?1 }
那么 |G|= n，称 G 为 n 阶循环群,
若 a 是无限阶元，则
G = { a± 0=e,a± 1,a± 2,… }
这时称 G 为 无限循环群,
30
循环群的生成元
定理
设 G = <a> 是循环群,
(1) 若 G是无限循环群，则 G 只有 a 和 a?1 两个生
成元,
(2) 若 G 是 n 阶循环群，则 ar 是 G 的生成元当且
仅当 r 是小于等于 n 且与 n 互质的正整数,
31
(1) 设 G={e,a,…,a11}是 12阶循环群，则小于或等于
12且与 12互素的数是 1,5,7,11,由定理可知 a,a5，
a7和 a11是 G 的生成元,
(2) 设 G=<Z9,?>是模 9的整数加群，则小于或等于 9
且与 9 互素的数是 1,2,4,5,7,8,根据定理,G的
生成元是 1,2,4,5,7 和 8,
(3) 设 G=3Z={3z | z∈ Z},G上的运算是普通加法, 那
么 G只有两个生成元,3 和 ?3,
生成元的实例
32
循环群的子群
定理
设 G=<a>是循环群,
(1) 设 G=<a>是循环群，则 G 的子群仍是循环群,
(2) 若 G=<a>是无限循环群，则 G 的子群除 {e}以
外都是无限循环群,
(3) 若 G=<a>是 n 阶循环群，则对 n 的每个正因子
d,G 恰好含有一个 d 阶子群,
33
(1) G=<Z,+>是 1无限循环群，对于自然数 m∈ N,1
的 m 次幂是 m,m 生成的子群是 mZ,m∈ N,即
<0> = { 0 } = 0Z
<m> = { mz | z∈ Z } = mZ,m>0
(2) G=Z12是 12阶循环群, 12的正因子是 1,2,3,4,6 和
12，因此 G 的子群是,
1 阶子群 <12>=<0>={0},2 阶子群 <6> = {0,6}
3 阶子群 <4>={0,4,8},4 阶子群 <3> = {0,3,6,9}
6 阶子群 <2>={0,2,4,6,8,10},12 阶子群 <1> = Z12
子群的实例
34
n元置换的定义
定义 设 S = { 1,2,…,n },S上的双射函数 ?:S→ S
称为 S上的 n元置换, 一般将 n 元置换 σ记为
例如 S = { 1,2,3,4,5 },则
都是 5元置换,
??
?
?
??
?
?
?
)()2()1(
21
n
n
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
23145
54321
,
21453
54321
??
35
n元置换的表示
? 置换符号表示
? 轮换表示
? 对换表示
???
?
???
?
?
)()2()1(
21
n
n
???
?
?
?
36
k 阶轮换与对换
定义 设 σ是 S = {1,2,…,n}上的 n 元置换, 若
σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik?1)=ik,σ(ik)=i1
且保持 S 中的其他元素不变，则称 σ为 S上的 k 次
轮换,记作 (i1i2… ik),若 k=2，称 σ为 S上的 对换,
例如 5元置换
分别是 4 阶和 2 阶轮换 σ=(1 2 3 4),τ=(1 3),其中 τ
也叫做对换
???
?
???
?
???
?
?
???
?
?
54123
54321
,
15432
54321
??
37
n元置换分解为轮换
设 S={1,2,…,n}，对于任何 S 上的 n 元置换 σ,一
定存在着一个有限序列 i1,i2,…,ik,k≥1,（可以取
i1=1）使得 σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik?1)=ik,σ(ik)=i1,
令 σ1=(i1 i2 … ik)，它是从 σ中分解出来的第一个
轮换, 根据函数复合定义可将 σ写作 σ1σ’，其中 σ’
作用于 S?{i1,i2,…,ik}上的元素, 继续对 σ’进行类
似的分解, 由于 S 中只有 n 个元素,经过有限步以
后，必得到 σ的轮换分解式
σ=σ1 σ2 … σt
38
分解实例
例 设 S = { 1,2,…,8 },
从 σ中分解出来的第一个轮换式 (1 5 2 3 6)；第二
个轮换为 (4)；第三个轮换为 (7 8),σ的轮换表示式
σ=(1 5 2 3 6) (4) (7 8)=(1 5 2 3 6) (7 8)
用同样的方法可以得到 τ的分解式
τ=(1 8 3 4 2) (5 6 7)
注意：在轮换分解式中,1 阶轮换可以省略,
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
?
35762418
87654321
,
78124635
87654321
??
39
n元置换的乘法与求逆
两个 n 元置换的 乘法 就是函数的复合运算
n 元置换的求 逆 就是求反函数,
例 设
使用轮换表示是,
?? = (1 5 4) (2 3) (1 4 2 3) = (1 5 2)
?? = ( 1 4 2 3) (1 5 4) (2 3) = (3 5 4)
?-1= (1 5 4)-1 (2 3)-1 = (4 5 1) (2 3) = (1 4 5) (2 3)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
15234
54321
54321
41235
43521
54321
,
24315
54321
52134
54321
,
41235
54321
1
?
????
??
40
n元置换群及其实例
考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn
Sn关于置换的乘法是封闭的, 置换的乘法满足结合
律, 恒等置换 (1)是 Sn 中的单位元, 对于任何 n元置换
σ∈ Sn，逆置换 σ?1是 σ 的逆元, 这就证明了 Sn关
于置换的乘法构成一个群，称为 n元对称群, n元对
称群的子群称为 n元置换群,
例 设 S = {1,2,3},3元对称群
S3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)}
41
S3 的运算表
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
(1)
(1 2)
(1 3)
(2 3)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)
(1 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (2 3)
(1 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2)
(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3)
(1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1)
(1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3)
42
S3的子群
S3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},
A3 = <(1 2 3)> = {(1),(1 2 3),(1 3 2)},
<(1)> = {(1)}
<(1 2)> = {(1),(1 2)},
<(1 3)> = {(1),(1 3)},
<(2 3)> = {(1),(2 3)}
