1
? 代数系统定义
? 同类型与同种的代数系统
? 子代数
? 积代数
5.2 代数系统及其子代数、积代数
2
代数系统定义与实例
定义
非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1,
f2,…,fk 组成的系统称为一个 代数系统,简称 代
数,记做 V=<S,f1,f2,…,fk>,
S 称为代数系统的 载体, S 和运算叫做代数系
统的成分, 有的代数系统定义指定了 S中的特殊
元素，称为代数常数,例如二元运算的单位元,
有时也将代数常数作为系统的成分,
3
实例
<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>是代数系统,
+ 和 · 分别表示普通加法和乘法,
<Mn(R),+,·>是代数系统,
+ 和 · 分别表示 n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法,
<Zn,?,?>是代数系统,Zn＝ {0,1,…,n-1},
? 和 ? 分别表示模 n 的加法和乘法,?x,y∈ Zn,
x?y = (x＋ y) mod n,x?y = (xy) mod n
<P(S),∪,∩,~> 也是代数系统,
∪ 和 ∩为并和交,~为绝对补
4
同类型与同种代数系统
定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，
对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，
则称它们是 同类型的 代数系统,
(2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质
也相同，则称为 同种的 代数系统,
例 1 V1 = <R,+,·,0,1>,
V2 = <Mn(R),+,·,?,E>,
? 为 n 阶全 0 矩阵,E 为 n 阶单位矩阵
V3 = <P(B),∪,∩,?,B>
5
V1 V2 V3
+ 可交换,可结合
· 可交换,可结合
+ 满足消去律
· 满足消去律
· 对 +可分配
+ 对 · 不可分配
+与 · 没有吸收律
+ 可交换,可结合
· 可交换,可结合
+ 满足消去律
· 满足消去律
· 对 +可分配
+ 对 · 不可分配
+与 · 没有吸收律
∪ 可交换,可结合
∩可交换,可结合
∪ 不满足消去律
∩不满足消去律
∩对 ∪ 可分配
∪ 对 ∩可分配
∪ 与 ∩满足吸收律
V1,V2,V3是同类型的代数系统
V1,V2是同种的代数系统
V1,V2与 V3不是同种的代数系统
同类型与同种代数系统（续）
6
子代数
定义 设 V=<S,f1,f2,…,fk> 是代数系统,B 是 S
的非空子集,如果 B 对 f1,f2,…,fk 都是封闭的，
且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 <B,f1,
f2,…,fk> 是 V 的子代数系统，简称 子代数, 有时
将子代数系统简记为 B,
实例 N是 <Z,+> 和 <Z,+,0>的子代数, N?{0}是 <Z,+>
的子代数，但不是 <Z,＋,0>的子代数
说明,
子代数和原代数是同种的代数系统
对于任何代数系统 V,其子代数一定存在,
7
关于子代数的术语
最大的子代数 就是 V 本身, 如果 V 中所有代数常数
构成集合 B，且 B 对 V 中所有运算封闭，则 B 就
构成了 V 的 最小的子代数, 最大和最小子代数称为 V
的 平凡的子代数, 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成
的子代数称为 V 的 真子代数,
例 2 设 V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈ Z},n 为自然
数，则 nZ 是 V 的子代数,当 n = 1 和 0 时,nZ 是
V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子
代数,
8
积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,?>是代数系统，其中 o
和 ? 是二元运算, V1 与 V2 的 积代数 是 V=<S1?S2,?>,
?<x1,y1>,<x2,y2>?S1?S2,
<x1,y1> ? <x2,y2>=<x1ox2,y1?y2>
例 3 V1=<Z,+>,V2=<M2(R),? >,积代数 < Z?M2(R),o>
?<z1,M1>,<z2,M2>?Z?M2(R),
<z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2,M1?M2>
???
?
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?
?
?
02
12
,3
10
12
,2
11
01
,5 ?
9
积代数的性质
定理 设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,?>是代数系统，其中 o 和
?是二元运算, V1 与 V2 的积代数是 V=<S1?S2,?>
(1) 若 o 和 ? 运算是可交换的，那么 ? 运算也是可交换的
(2) 若 o 和 ? 运算是可结合的，那么 ? 运算也是可结合的
(3) 若 o 和 ? 运算是幂等的，那么 ? 运算也是幂等的
(4) 若 o 和 ? 运算分别具有单位元 e1 和 e2，那么 ? 运算
也具有单位元 <e1,e2>
(5) 若 o 和 ? 运算分别具有零元 ?1 和 ?2，那么 ? 运算
也具有零元 < ?1,?2>
(6) 若 x 关于 o 的逆元为 x?1,y 关于 ? 的逆元为 y?1，那
么 <x,y>关于 ? 运算也具有逆元 <x?1,y?1>
10
5.3 代数系统的同态与同构
? 同态映射的定义
? 同态映射的分类
?单同态、满同态、同构
?自同态
? 同态映射的性质
11
同态映射的定义
定义 设 V1=<S1,°>和 V2=<S2,?>是代数系统，其中
° 和 ?是二元运算, f,S1?S2,且 ?x,y?S1,f (x°y) =
f(x) ?f( y),则称 f 为 V1到 V2 的 同态映射,简称 同态,
12
更广泛的同态映射定义
定义 设 V1=<S1,°,?>和 V2=<S2,?,?>是代数系统，其
中 °和 ?是二元运算, f,S1?S2,且 ?x,y?S1
f (x ° y) = f(x) ? f(y),f (x ? y) = f(x) ? f(y)
则称 f 为 V1到 V2 的 同态映射,简称 同态,
设 V1=<S1,°,?,?>和 V2=<S2,?,?,?>是代数系统，
其中 ° 和 ? 是二元运算, ? 和 ?是一元运算,f,
S1?S2,且 ?x,y?S1
f (x°y)=f(x)?f(y),f (x?y)=f(x)?f(y),f (? x)=?f(x)
则称 f 为 V1到 V2 的 同态映射,简称 同态,
13
例题
例 1 V=<R*,?>,判断下面的哪些函数是 V 的自同态？
(1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2
(4) f(x)=1/x (5) f(x)= ?x (6) f(x)=x+1
解 (2),(5),(6) 不是自同态,
(1) 是同态,f(x?y) = |x?y| = |x| ?|y| = f(x) ?f(y)
(3) 是同态,f(x?y) = (x?y)2 = x2 ?y2 = f(x) ?f(y)
(4) 是同态,f(x?y) = 1/(x?y) =1/x ?1/y = f(x) ?f(y)
14
特殊同态映射的分类
同态映射如果是单射，则称为 单同态 ；
如果是满射，则称为 满同态,这时称 V2 是 V1
的 同态像,记作 V1?V2；
如果是双射，则称为 同构,也称代数系统 V1
同构于 V2，记作 V1?V2,
对于代数系统 V，它到自身的同态称为 自同态,
类似地可以定义 单自同态, 满自同态 和 自同构,
15
同态映射的实例
例 2 设 V=<Z,+>,?a?Z，令
fa,Z?Z,fa(x)=ax
那么 fa是 V的自同态,
因为 ?x,y?Z，有
fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y)
当 a = 0 时称 f0为零同态；
当 a=?1时，称 fa为自同构；
除此之外其他的 fa 都是单自同态,
16
例 3 设 V1=<Q,+>,V2= <Q*,?>,其中 Q*= Q?{0},令
f, Q?Q*,f(x)=ex
那么 f 是 V1到 V2的同态映射，因为 ?x,y?Q有
f(x+y) = ex+y = ex?ey = f(x) ? f(y),
不难看出 f 是单同态,
同态映射的实例（续）
17
同态映射的实例（续）
例 4 V1=<Z,+>,V2=<Zn,? >,Zn={0,1,…,n-1},
?是模 n 加, 令
f,Z→ Zn,f(x) = (x)mod n
则 f 是 V1到 V2 的满同态, ?x,y∈ Z有
f(x+y) = (x+y)mod n
= (x)mod n ? (y)mod n
= f(x) ? f(y)
18
例 5 设 V=<Zn,?>，可以证明恰有 n 个 G 的自同态,
fp,Zn→ Zn,
fp (x) = (px)mod n,p = 0,1,…,n?1
例如 n = 6,那么
f0为零同态；
f1与 f5为同构；
f2 与 f4的同态像是 { 0,2,4 }；
f3 的同态像是 { 0,3 },
同态映射的实例（续）
19
同态映射保持运算的算律
设 V1,V2是代数系统, o,?是 V1上的二元运算,o’,?’是
V2上对应的二元运算，如果 f,V1?V2是满同态,
那么
(1)若 o运算是可交换的（可结合、幂等的），则 o’运
算也是可交换的（可结合、幂等的）,
(2) 若 o运算对 ?运算是可分配的，则 o’运算对 ?’运
算也是可分配的；若 o 和 ?运算是可吸收的，则 o’
和 ?’运算也是可吸收的。
20
(3) 若 e为 o 运算的单位元，则 f(e)为 o’运算的单位元,
(4) 若 ?为 o 运算的零元，则 f(?) 为 o’运算的零元,
(5) 设 u?V1，若 u?1 是 u 关于 o运算的逆元，则 f(u?1)
是 f(u)关于 o’运算的逆元。
同态映射保持运算的特异元素
21
同态映射的性质
说明,
上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，
那么相关性质在同态像中成立,
同态映射不一定能保持消去律成立,
例如 f, Z?Zn 是 V1=<Z,· > 到 V2=<Zn,?>的同
态,f(x)=(x)mod n,V1中满足消去律，但是当 n
为合数时,V2中不满足消去律,
22
例题
证 假设 f 是 V2 到 V1 的同构，那么有 f,V2→ V1,
f(1)=0,于是有
f(?1)+f(?1) = f((?1)(?1))= f(1)=0
从而 f(?1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾,
例 3 设 V1=<Q,+>, V2=<Q*,·>，其中 Q 为有理数
集合,Q*=Q?{0},+ 和 · 分别表示普通加法和乘法,
证明不存在 V2 到 V1 的同构,
? 代数系统定义
? 同类型与同种的代数系统
? 子代数
? 积代数
5.2 代数系统及其子代数、积代数
2
代数系统定义与实例
定义
非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1,
f2,…,fk 组成的系统称为一个 代数系统,简称 代
数,记做 V=<S,f1,f2,…,fk>,
S 称为代数系统的 载体, S 和运算叫做代数系
统的成分, 有的代数系统定义指定了 S中的特殊
元素，称为代数常数,例如二元运算的单位元,
有时也将代数常数作为系统的成分,
3
实例
<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>是代数系统,
+ 和 · 分别表示普通加法和乘法,
<Mn(R),+,·>是代数系统,
+ 和 · 分别表示 n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法,
<Zn,?,?>是代数系统,Zn＝ {0,1,…,n-1},
? 和 ? 分别表示模 n 的加法和乘法,?x,y∈ Zn,
x?y = (x＋ y) mod n,x?y = (xy) mod n
<P(S),∪,∩,~> 也是代数系统,
∪ 和 ∩为并和交,~为绝对补
4
同类型与同种代数系统
定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，
对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，
则称它们是 同类型的 代数系统,
(2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质
也相同，则称为 同种的 代数系统,
例 1 V1 = <R,+,·,0,1>,
V2 = <Mn(R),+,·,?,E>,
? 为 n 阶全 0 矩阵,E 为 n 阶单位矩阵
V3 = <P(B),∪,∩,?,B>
5
V1 V2 V3
+ 可交换,可结合
· 可交换,可结合
+ 满足消去律
· 满足消去律
· 对 +可分配
+ 对 · 不可分配
+与 · 没有吸收律
+ 可交换,可结合
· 可交换,可结合
+ 满足消去律
· 满足消去律
· 对 +可分配
+ 对 · 不可分配
+与 · 没有吸收律
∪ 可交换,可结合
∩可交换,可结合
∪ 不满足消去律
∩不满足消去律
∩对 ∪ 可分配
∪ 对 ∩可分配
∪ 与 ∩满足吸收律
V1,V2,V3是同类型的代数系统
V1,V2是同种的代数系统
V1,V2与 V3不是同种的代数系统
同类型与同种代数系统（续）
6
子代数
定义 设 V=<S,f1,f2,…,fk> 是代数系统,B 是 S
的非空子集,如果 B 对 f1,f2,…,fk 都是封闭的，
且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 <B,f1,
f2,…,fk> 是 V 的子代数系统，简称 子代数, 有时
将子代数系统简记为 B,
实例 N是 <Z,+> 和 <Z,+,0>的子代数, N?{0}是 <Z,+>
的子代数，但不是 <Z,＋,0>的子代数
说明,
子代数和原代数是同种的代数系统
对于任何代数系统 V,其子代数一定存在,
7
关于子代数的术语
最大的子代数 就是 V 本身, 如果 V 中所有代数常数
构成集合 B，且 B 对 V 中所有运算封闭，则 B 就
构成了 V 的 最小的子代数, 最大和最小子代数称为 V
的 平凡的子代数, 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成
的子代数称为 V 的 真子代数,
例 2 设 V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈ Z},n 为自然
数，则 nZ 是 V 的子代数,当 n = 1 和 0 时,nZ 是
V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子
代数,
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积代数
定义 设 V1=<S1,o>和 V2=<S2,?>是代数系统，其中 o
和 ? 是二元运算, V1 与 V2 的 积代数 是 V=<S1?S2,?>,
?<x1,y1>,<x2,y2>?S1?S2,
<x1,y1> ? <x2,y2>=<x1ox2,y1?y2>
例 3 V1=<Z,+>,V2=<M2(R),? >,积代数 < Z?M2(R),o>
?<z1,M1>,<z2,M2>?Z?M2(R),
<z1,M1> o <z2,M2> = <z1+z2,M1?M2>
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02
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10
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,2
11
01
,5 ?
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积代数的性质
定理 设 V1 = <S1,o>和 V2 = <S2,?>是代数系统，其中 o 和
?是二元运算, V1 与 V2 的积代数是 V=<S1?S2,?>
(1) 若 o 和 ? 运算是可交换的，那么 ? 运算也是可交换的
(2) 若 o 和 ? 运算是可结合的，那么 ? 运算也是可结合的
(3) 若 o 和 ? 运算是幂等的，那么 ? 运算也是幂等的
(4) 若 o 和 ? 运算分别具有单位元 e1 和 e2，那么 ? 运算
也具有单位元 <e1,e2>
(5) 若 o 和 ? 运算分别具有零元 ?1 和 ?2，那么 ? 运算
也具有零元 < ?1,?2>
(6) 若 x 关于 o 的逆元为 x?1,y 关于 ? 的逆元为 y?1，那
么 <x,y>关于 ? 运算也具有逆元 <x?1,y?1>
10
5.3 代数系统的同态与同构
? 同态映射的定义
? 同态映射的分类
?单同态、满同态、同构
?自同态
? 同态映射的性质
11
同态映射的定义
定义 设 V1=<S1,°>和 V2=<S2,?>是代数系统，其中
° 和 ?是二元运算, f,S1?S2,且 ?x,y?S1,f (x°y) =
f(x) ?f( y),则称 f 为 V1到 V2 的 同态映射,简称 同态,
12
更广泛的同态映射定义
定义 设 V1=<S1,°,?>和 V2=<S2,?,?>是代数系统，其
中 °和 ?是二元运算, f,S1?S2,且 ?x,y?S1
f (x ° y) = f(x) ? f(y),f (x ? y) = f(x) ? f(y)
则称 f 为 V1到 V2 的 同态映射,简称 同态,
设 V1=<S1,°,?,?>和 V2=<S2,?,?,?>是代数系统，
其中 ° 和 ? 是二元运算, ? 和 ?是一元运算,f,
S1?S2,且 ?x,y?S1
f (x°y)=f(x)?f(y),f (x?y)=f(x)?f(y),f (? x)=?f(x)
则称 f 为 V1到 V2 的 同态映射,简称 同态,
13
例题
例 1 V=<R*,?>,判断下面的哪些函数是 V 的自同态？
(1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2
(4) f(x)=1/x (5) f(x)= ?x (6) f(x)=x+1
解 (2),(5),(6) 不是自同态,
(1) 是同态,f(x?y) = |x?y| = |x| ?|y| = f(x) ?f(y)
(3) 是同态,f(x?y) = (x?y)2 = x2 ?y2 = f(x) ?f(y)
(4) 是同态,f(x?y) = 1/(x?y) =1/x ?1/y = f(x) ?f(y)
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特殊同态映射的分类
同态映射如果是单射，则称为 单同态 ；
如果是满射，则称为 满同态,这时称 V2 是 V1
的 同态像,记作 V1?V2；
如果是双射，则称为 同构,也称代数系统 V1
同构于 V2，记作 V1?V2,
对于代数系统 V，它到自身的同态称为 自同态,
类似地可以定义 单自同态, 满自同态 和 自同构,
15
同态映射的实例
例 2 设 V=<Z,+>,?a?Z，令
fa,Z?Z,fa(x)=ax
那么 fa是 V的自同态,
因为 ?x,y?Z，有
fa(x+y) = a(x+y) = ax+ay = fa(x)+fa(y)
当 a = 0 时称 f0为零同态；
当 a=?1时，称 fa为自同构；
除此之外其他的 fa 都是单自同态,
16
例 3 设 V1=<Q,+>,V2= <Q*,?>,其中 Q*= Q?{0},令
f, Q?Q*,f(x)=ex
那么 f 是 V1到 V2的同态映射，因为 ?x,y?Q有
f(x+y) = ex+y = ex?ey = f(x) ? f(y),
不难看出 f 是单同态,
同态映射的实例（续）
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同态映射的实例（续）
例 4 V1=<Z,+>,V2=<Zn,? >,Zn={0,1,…,n-1},
?是模 n 加, 令
f,Z→ Zn,f(x) = (x)mod n
则 f 是 V1到 V2 的满同态, ?x,y∈ Z有
f(x+y) = (x+y)mod n
= (x)mod n ? (y)mod n
= f(x) ? f(y)
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例 5 设 V=<Zn,?>，可以证明恰有 n 个 G 的自同态,
fp,Zn→ Zn,
fp (x) = (px)mod n,p = 0,1,…,n?1
例如 n = 6,那么
f0为零同态；
f1与 f5为同构；
f2 与 f4的同态像是 { 0,2,4 }；
f3 的同态像是 { 0,3 },
同态映射的实例（续）
19
同态映射保持运算的算律
设 V1,V2是代数系统, o,?是 V1上的二元运算,o’,?’是
V2上对应的二元运算，如果 f,V1?V2是满同态,
那么
(1)若 o运算是可交换的（可结合、幂等的），则 o’运
算也是可交换的（可结合、幂等的）,
(2) 若 o运算对 ?运算是可分配的，则 o’运算对 ?’运
算也是可分配的；若 o 和 ?运算是可吸收的，则 o’
和 ?’运算也是可吸收的。
20
(3) 若 e为 o 运算的单位元，则 f(e)为 o’运算的单位元,
(4) 若 ?为 o 运算的零元，则 f(?) 为 o’运算的零元,
(5) 设 u?V1，若 u?1 是 u 关于 o运算的逆元，则 f(u?1)
是 f(u)关于 o’运算的逆元。
同态映射保持运算的特异元素
21
同态映射的性质
说明,
上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，
那么相关性质在同态像中成立,
同态映射不一定能保持消去律成立,
例如 f, Z?Zn 是 V1=<Z,· > 到 V2=<Zn,?>的同
态,f(x)=(x)mod n,V1中满足消去律，但是当 n
为合数时,V2中不满足消去律,
22
例题
证 假设 f 是 V2 到 V1 的同构，那么有 f,V2→ V1,
f(1)=0,于是有
f(?1)+f(?1) = f((?1)(?1))= f(1)=0
从而 f(?1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾,
例 3 设 V1=<Q,+>, V2=<Q*,·>，其中 Q 为有理数
集合,Q*=Q?{0},+ 和 · 分别表示普通加法和乘法,
证明不存在 V2 到 V1 的同构,
