1
4.6 函数的定义与性质
? 函数的定义
?函数定义
?从 A到 B的函数
?函数的像
? 函数的性质
?函数的单射、满射、双射性
?构造双射函数
2
函数定义
定义 设 F 为二元关系,若 ?x∈ domF 都存在
唯一的 y∈ ranF 使 xFy 成立,则称 F 为 函数,
对于函数 F,如果有 xFy,则记作 y=F(x),并称 y
为 F 在 x 的 值,
例 1 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
F2={<x1,y1>,<x1,y2>}
F1是函数,F2不是函数
3
函数相等
定义 设 F,G为函数,则
F = G ? F?G∧ G?F
如果两个函数 F 和 G 相等,一定满足下面两个条件,
(1) domF = domG
(2) ?x∈ domF = domG 都有 F(x) = G(x)
实例 函数
F(x)=(x2?1)/(x+1),G(x)=x?1
不相等,因为 domF?domG,
4
从 A 到 B 的函数
定义 设 A,B为集合,如果
f 为函数
domf = A
ranf ? B,
则称 f 为 从 A到 B的函数,记作 f,A→B,
实例
f,N→N,f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数
g,N→N,g(x)=2也是从 N 到 N 的函数
5
B上 A
定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA,
读作,B上 A”，符号化表示为
BA ={ f | f,A→B }
计数,
|A|=m,|B|=n,且 m,n>0,|BA|=nm,
A=?,则 BA=B?={?},
A≠?且 B=?,则 BA=?A= ?,
6
实例
例 2 设 A = {1,2,3},B = {a,b},求 BA,
解 BA = {f0,f1,…,f7},其中
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>},f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}
f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>},f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}
f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>},f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
7
函数的像
定义 设函数 f,A→B,A1?A,
A1 在 f 下的像, f(A1) = { f(x) | x∈ A1 }
函数的像 f(A)
注意,
函数值 f(x)∈ B,而像 f(A1)?B,
例 3 设 f,N→N,且
令 A={0,1},B={2},那么有
f(A) = f({0,1}) = { f(0),f(1) } = {0,2}
?
?
?
?
?
为奇数若
为偶数若
xx
xx
xf
1
2/
)(
8
函数的性质
定义 设 f,A→B,
（ 1）若 ranf = B,则称 f,A→B是 满射 的,
（ 2）若 ?y∈ ranf 都存在唯一的 x∈ A使得 f(x)=y,
则称 f,A→B是 单射 的,
（ 3）若 f,A→B既是满射又是单射的,则称 f：
A→B是 双射 的
f 满射意味着,?y ?B,都存在 x?A 使得 f(x) = y,
f 单射意味着,f(x1) = f(x2) ? x1= x2
9
实例
例 4
判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?
(1) f,R→R,f(x) = ?x2+2x?1
(2) f,Z+→R,f(x) = lnx,Z+为正整数集
(3) f,R→Z,f(x) = ?x?
(4) f,R→R,f(x) = 2x+1
(5) f,R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中 R+为正实数集,
10
解 (1) f,R→R,f(x)=?x2+2x?1
在 x=1取得极大值 0,既不单射也不满射,
(2) f,Z+→R,f(x)=lnx
单调上升,是单射, 但不满射,ranf={ln1,ln2,…},
(3) f,R→Z,f(x)= ?x?
满射,但不单射,例如 f(1.5)=f(1.2)=1,
(4) f,R→R,f(x)=2x+1
满射、单射、双射,因为它是单调的并且 ranf=R,
(5) f,R+→R+,f(x)=(x2+1)/x
有极小值 f(1)=2,该函数既不单射也不满射,
实例（续）
11
构造从 A到 B的双射函数
有穷集之间的构造
例 5 A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}
解 A={?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},
B={ f0,f1,…,f7 },其中
f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},
f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},
f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},
f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>},f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>},
令 f,A→B,
f(?)=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({3})=f3,
f({1,2})=f4,f({1,3})=f5,f({2,3})=f6,f({1,2,3})=f7
12
实数区间之间构造双射
构造方法：直线方程
例 6 A=[0,1]
B=[1/4,1/2]
构造双射 f,A→B
构造从 A到 B的双射函数（续）
解
令 f,[0,1]→[1/4,1/2]
f(x)=(x+1)/4
13
构造从 A到 B的双射函数（续）
A 与自然数集合之间构造双射
方法：将 A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始
按照次序与自然数对应
例 7 A=Z,B=N，构造双射 f,A→B
将 Z中元素以下列顺序排列并与 N中元素对应,
Z,0 ?1 1 ?2 2 ?3 3 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N,0 1 2 3 4 5 6 …
?
?
?
???
?
??
012
02
)(,Z
xx
x
xfNf,
14
常函数、恒等函数、单调函数
1,设 f,A→B,若存在 c∈ B 使得 ?x∈ A 都有
f(x)=c,则称 f,A→B是 常函数,
2,称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的 恒等函数,对所有
的 x∈ A 都有 IA(x)=x,
3,设 f,R→R，如果对任意的 x1,x2∈ R,x1<x2,就
有 f(x1) ? f(x2),则称 f 为 单调递增 的；如果对任意
的 x1,x2∈ A,x1< x2,就有 f(x1) < f(x2),则称 f 为 严
格单调递增 的,
类似可以定义 单调递减 和 严格单调递减 的函数,
15
集合的特征函数
4,设 A 为集合,?A’ ?A,A’ 的 特征函数
?A’,A→{0,1} 定义为
?
?
?
??
?
?
',0
',1
)('
AAa
Aa
aA?
实例 集合,X ={ A,B,C,D,E,F,G,H },
子集,T = { A,C,F,G,H }
T 的特征函数 ?T,
x A B C D E F G H
?T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
16
5,设 R 是 A 上的等价关系,令
g,A→A/R
g(a) = [a],?a∈ A
称 g 是从 A 到商集 A/R 的 自然映射,
自然映射
17
实例
例 8 (1) A的每一个子集 A’都对应于一个特征函
数,不同的子集对应于不同的特征函数, 例如
A={a,b,c},则有
?? = { <a,0>,<b,0>,<c,0> },
?{a,b} = { <a,1>,<b,1>,<c,0>}
(2) 给定集合 A,A 上不同的等价关系确定不同
的自然映射,其中恒等关系确定的自然映射是双
射,其他的自然映射一般来说是满射, 例如
A={1,2,3},R={<1,2>,<2,1>}∪ IA
g(1) = g(2) = {1,2},g(3) = {3}
18
4.7 函数的复合与反函数
? 函数的复合
?函数复合的定理
?函数复合的性质
? 反函数
?反函数存在的条件
?反函数的性质
19
函数复合的定理
定理 设 F,G是函数,则 F°G也是函数,且满足
(1) dom(F°G)={ x | x∈ domF ? F(x)∈ domG}
(2) ?x∈ dom(F°G) 有 F°G(x) = G(F(x))
推论 1 设 F,G,H为函数,则 (F°G)°H 和 F°(G°H)
都是函数,且 (F°G)°H = F°(G°H)
推论 2 设 f,A→B,g,B→C,则 f°g,A→C,且
?x∈ A 都有 f°g(x) = g(f(x)),
20
函数复合运算的性质
定理 设 f,A→B,g,B→C,
(1) 如果 f,A→B,g,B→C 都是满射的,则
f°g,A→C也是满射的,
(2) 如果 f,A→B,g,B→C 都是单射的,则
f°g,A→C也是单射的,
(3) 如果 f,A→B,g,B→C 都是双射的,则
f°g,A→C也是双射的,
证 (1) ?c∈ C,由 g,B→C 的满射性,?b∈ B 使得
g(b)=c,对这个 b,由 f,A→B 的满射性,?a∈ A
使得 f(a)=b,由合成定理有 f°g(a)=g(f(a))=g(b)=c
从而证明了 f°g,A→C是满射的,
21
函数复合运算的性质
(2) 假设存在 x1,x2∈ A使得 f°g(x1) = f°g(x2)
由合成定理有 g(f(x1))=g(f(x2)),
因为 g,B→C是单射的,故 f(x1)=f(x2),又由
于 f,A→B也是单射的,所以 x1=x2,从而证
明 f°g,A→C是单射的,
(3) 由 (1) 和 (2) 得证,
定理 设 f,A?B，则
f = f°IB = IA°f
22
反函数存在的条件
任给函数 F,它的逆 F ?1不一定是函数,是二元关系,
实例,F={<a,b>,<c,b>},F ?1={<b,a>,<b,c>}
任给单射函数 f,A→B,则 f ?1是函数,且是从 ranf
到 A的双射函数,但不一定是从 B 到 A 的双射函
数,
实例,f, N →N,f(x) = 2x,
f ?1, ranf →N,f ?1 (x) = x/2
23
反函数
定理 设 f,A→B是双射的,则 f ?1,B→A也是双射的,
证 因为 f 是函数,所以 f ?1 是关系,且
dom f ?1 = ranf = B,ran f ?1 = domf = A,
对于任意的 y∈ B = dom f ?1,假设有 x1,x2∈ A使得
<y,x1>∈ f ?1∧ <y,x2>∈ f ?1
成立,则由逆的定义有
<x1,y>∈ f∧ <x2,y>∈ f
根据 f 的单射性可得 x1 = x2,从而证明了 f ?1是函数，且是
满射的, 下面证明 f ?1 的单射性,
若存在 y1,y2∈ B 使得 f ?1 (y1) = f ?1 (y2) = x,从而有
<y1,x>∈ f ?1∧ <y2,x>∈ f ?1
? <x,y1>∈ f∧ <x,y2>∈ f ? y1 = y2
24
反函数的定义及性质
对于双射函数 f,A→B,称 f ?1,B→A是它的 反
函数,
反函数的性质
定理 设 f,A→B是双射的,则
f ?1°f = IB,f°f ?1 = IA
对于双射函数 f,A→A,有
f ?1°f = f°f ?1 = IA
25
函数复合与反函数的计算
例 设 f,R→R,g,R→R
求 f ? g,g ? f,如果 f 和 g 存在反函数,求出它们的反函数,
2)(
32
3
)(
2
??
?
?
?
??
?
? xxg
x
xx
xf
f,R→R不是双射的,不存在反函数, g,R→R是双射的,它
的反函数是 g?1,R→R,g?1(x) = x?2
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
?
??
12
1)2(
)(
30
32
)(
::
22
x
xx
xfg
x
xx
xgf
RRfgRRgf
??
??
4.6 函数的定义与性质
? 函数的定义
?函数定义
?从 A到 B的函数
?函数的像
? 函数的性质
?函数的单射、满射、双射性
?构造双射函数
2
函数定义
定义 设 F 为二元关系,若 ?x∈ domF 都存在
唯一的 y∈ ranF 使 xFy 成立,则称 F 为 函数,
对于函数 F,如果有 xFy,则记作 y=F(x),并称 y
为 F 在 x 的 值,
例 1 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
F2={<x1,y1>,<x1,y2>}
F1是函数,F2不是函数
3
函数相等
定义 设 F,G为函数,则
F = G ? F?G∧ G?F
如果两个函数 F 和 G 相等,一定满足下面两个条件,
(1) domF = domG
(2) ?x∈ domF = domG 都有 F(x) = G(x)
实例 函数
F(x)=(x2?1)/(x+1),G(x)=x?1
不相等,因为 domF?domG,
4
从 A 到 B 的函数
定义 设 A,B为集合,如果
f 为函数
domf = A
ranf ? B,
则称 f 为 从 A到 B的函数,记作 f,A→B,
实例
f,N→N,f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数
g,N→N,g(x)=2也是从 N 到 N 的函数
5
B上 A
定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA,
读作,B上 A”，符号化表示为
BA ={ f | f,A→B }
计数,
|A|=m,|B|=n,且 m,n>0,|BA|=nm,
A=?,则 BA=B?={?},
A≠?且 B=?,则 BA=?A= ?,
6
实例
例 2 设 A = {1,2,3},B = {a,b},求 BA,
解 BA = {f0,f1,…,f7},其中
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>},f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}
f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>},f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}
f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>},f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
7
函数的像
定义 设函数 f,A→B,A1?A,
A1 在 f 下的像, f(A1) = { f(x) | x∈ A1 }
函数的像 f(A)
注意,
函数值 f(x)∈ B,而像 f(A1)?B,
例 3 设 f,N→N,且
令 A={0,1},B={2},那么有
f(A) = f({0,1}) = { f(0),f(1) } = {0,2}
?
?
?
?
?
为奇数若
为偶数若
xx
xx
xf
1
2/
)(
8
函数的性质
定义 设 f,A→B,
（ 1）若 ranf = B,则称 f,A→B是 满射 的,
（ 2）若 ?y∈ ranf 都存在唯一的 x∈ A使得 f(x)=y,
则称 f,A→B是 单射 的,
（ 3）若 f,A→B既是满射又是单射的,则称 f：
A→B是 双射 的
f 满射意味着,?y ?B,都存在 x?A 使得 f(x) = y,
f 单射意味着,f(x1) = f(x2) ? x1= x2
9
实例
例 4
判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么?
(1) f,R→R,f(x) = ?x2+2x?1
(2) f,Z+→R,f(x) = lnx,Z+为正整数集
(3) f,R→Z,f(x) = ?x?
(4) f,R→R,f(x) = 2x+1
(5) f,R+→R+,f(x)=(x2+1)/x,其中 R+为正实数集,
10
解 (1) f,R→R,f(x)=?x2+2x?1
在 x=1取得极大值 0,既不单射也不满射,
(2) f,Z+→R,f(x)=lnx
单调上升,是单射, 但不满射,ranf={ln1,ln2,…},
(3) f,R→Z,f(x)= ?x?
满射,但不单射,例如 f(1.5)=f(1.2)=1,
(4) f,R→R,f(x)=2x+1
满射、单射、双射,因为它是单调的并且 ranf=R,
(5) f,R+→R+,f(x)=(x2+1)/x
有极小值 f(1)=2,该函数既不单射也不满射,
实例（续）
11
构造从 A到 B的双射函数
有穷集之间的构造
例 5 A=P({1,2,3}),B={0,1}{1,2,3}
解 A={?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},
B={ f0,f1,…,f7 },其中
f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>},f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},
f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>},f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},
f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>},f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},
f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>},f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>},
令 f,A→B,
f(?)=f0,f({1})=f1,f({2})=f2,f({3})=f3,
f({1,2})=f4,f({1,3})=f5,f({2,3})=f6,f({1,2,3})=f7
12
实数区间之间构造双射
构造方法：直线方程
例 6 A=[0,1]
B=[1/4,1/2]
构造双射 f,A→B
构造从 A到 B的双射函数（续）
解
令 f,[0,1]→[1/4,1/2]
f(x)=(x+1)/4
13
构造从 A到 B的双射函数（续）
A 与自然数集合之间构造双射
方法：将 A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始
按照次序与自然数对应
例 7 A=Z,B=N，构造双射 f,A→B
将 Z中元素以下列顺序排列并与 N中元素对应,
Z,0 ?1 1 ?2 2 ?3 3 …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N,0 1 2 3 4 5 6 …
?
?
?
???
?
??
012
02
)(,Z
xx
x
xfNf,
14
常函数、恒等函数、单调函数
1,设 f,A→B,若存在 c∈ B 使得 ?x∈ A 都有
f(x)=c,则称 f,A→B是 常函数,
2,称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的 恒等函数,对所有
的 x∈ A 都有 IA(x)=x,
3,设 f,R→R，如果对任意的 x1,x2∈ R,x1<x2,就
有 f(x1) ? f(x2),则称 f 为 单调递增 的；如果对任意
的 x1,x2∈ A,x1< x2,就有 f(x1) < f(x2),则称 f 为 严
格单调递增 的,
类似可以定义 单调递减 和 严格单调递减 的函数,
15
集合的特征函数
4,设 A 为集合,?A’ ?A,A’ 的 特征函数
?A’,A→{0,1} 定义为
?
?
?
??
?
?
',0
',1
)('
AAa
Aa
aA?
实例 集合,X ={ A,B,C,D,E,F,G,H },
子集,T = { A,C,F,G,H }
T 的特征函数 ?T,
x A B C D E F G H
?T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
16
5,设 R 是 A 上的等价关系,令
g,A→A/R
g(a) = [a],?a∈ A
称 g 是从 A 到商集 A/R 的 自然映射,
自然映射
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实例
例 8 (1) A的每一个子集 A’都对应于一个特征函
数,不同的子集对应于不同的特征函数, 例如
A={a,b,c},则有
?? = { <a,0>,<b,0>,<c,0> },
?{a,b} = { <a,1>,<b,1>,<c,0>}
(2) 给定集合 A,A 上不同的等价关系确定不同
的自然映射,其中恒等关系确定的自然映射是双
射,其他的自然映射一般来说是满射, 例如
A={1,2,3},R={<1,2>,<2,1>}∪ IA
g(1) = g(2) = {1,2},g(3) = {3}
18
4.7 函数的复合与反函数
? 函数的复合
?函数复合的定理
?函数复合的性质
? 反函数
?反函数存在的条件
?反函数的性质
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函数复合的定理
定理 设 F,G是函数,则 F°G也是函数,且满足
(1) dom(F°G)={ x | x∈ domF ? F(x)∈ domG}
(2) ?x∈ dom(F°G) 有 F°G(x) = G(F(x))
推论 1 设 F,G,H为函数,则 (F°G)°H 和 F°(G°H)
都是函数,且 (F°G)°H = F°(G°H)
推论 2 设 f,A→B,g,B→C,则 f°g,A→C,且
?x∈ A 都有 f°g(x) = g(f(x)),
20
函数复合运算的性质
定理 设 f,A→B,g,B→C,
(1) 如果 f,A→B,g,B→C 都是满射的,则
f°g,A→C也是满射的,
(2) 如果 f,A→B,g,B→C 都是单射的,则
f°g,A→C也是单射的,
(3) 如果 f,A→B,g,B→C 都是双射的,则
f°g,A→C也是双射的,
证 (1) ?c∈ C,由 g,B→C 的满射性,?b∈ B 使得
g(b)=c,对这个 b,由 f,A→B 的满射性,?a∈ A
使得 f(a)=b,由合成定理有 f°g(a)=g(f(a))=g(b)=c
从而证明了 f°g,A→C是满射的,
21
函数复合运算的性质
(2) 假设存在 x1,x2∈ A使得 f°g(x1) = f°g(x2)
由合成定理有 g(f(x1))=g(f(x2)),
因为 g,B→C是单射的,故 f(x1)=f(x2),又由
于 f,A→B也是单射的,所以 x1=x2,从而证
明 f°g,A→C是单射的,
(3) 由 (1) 和 (2) 得证,
定理 设 f,A?B，则
f = f°IB = IA°f
22
反函数存在的条件
任给函数 F,它的逆 F ?1不一定是函数,是二元关系,
实例,F={<a,b>,<c,b>},F ?1={<b,a>,<b,c>}
任给单射函数 f,A→B,则 f ?1是函数,且是从 ranf
到 A的双射函数,但不一定是从 B 到 A 的双射函
数,
实例,f, N →N,f(x) = 2x,
f ?1, ranf →N,f ?1 (x) = x/2
23
反函数
定理 设 f,A→B是双射的,则 f ?1,B→A也是双射的,
证 因为 f 是函数,所以 f ?1 是关系,且
dom f ?1 = ranf = B,ran f ?1 = domf = A,
对于任意的 y∈ B = dom f ?1,假设有 x1,x2∈ A使得
<y,x1>∈ f ?1∧ <y,x2>∈ f ?1
成立,则由逆的定义有
<x1,y>∈ f∧ <x2,y>∈ f
根据 f 的单射性可得 x1 = x2,从而证明了 f ?1是函数，且是
满射的, 下面证明 f ?1 的单射性,
若存在 y1,y2∈ B 使得 f ?1 (y1) = f ?1 (y2) = x,从而有
<y1,x>∈ f ?1∧ <y2,x>∈ f ?1
? <x,y1>∈ f∧ <x,y2>∈ f ? y1 = y2
24
反函数的定义及性质
对于双射函数 f,A→B,称 f ?1,B→A是它的 反
函数,
反函数的性质
定理 设 f,A→B是双射的,则
f ?1°f = IB,f°f ?1 = IA
对于双射函数 f,A→A,有
f ?1°f = f°f ?1 = IA
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函数复合与反函数的计算
例 设 f,R→R,g,R→R
求 f ? g,g ? f,如果 f 和 g 存在反函数,求出它们的反函数,
2)(
32
3
)(
2
??
?
?
?
??
?
? xxg
x
xx
xf
f,R→R不是双射的,不存在反函数, g,R→R是双射的,它
的反函数是 g?1,R→R,g?1(x) = x?2
?
?
?
??
??
?
?
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?
?
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?
??
12
1)2(
)(
30
32
)(
::
22
x
xx
xfg
x
xx
xgf
RRfgRRgf
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??
