1
集合论
2
集合论部分
?第 3章 集合的基本概念和运算
?第 4章 二元关系和函数
3
第 3章 集合的基本概念和运算
? 3.1 集合的基本概念
? 3.2 集合的基本运算
? 3.3 集合中元素的计数
4
3.1 集合的基本概念
? 集合的定义与表示
? 集合与元素
? 集合之间的关系
? 空集
? 全集
? 幂集
5
集合定义与表示
集合 没有精确的数学定义
理解：一些离散个体组成的全体
组成集合的个体称为它的元素或成员
集合的表示
列元素法 A={ a,b,c,d }
谓词表示法 B={ x | P(x) }
B 由使得 P(x) 为真的 x 构成
常用数集
N,Z,Q,R,C 分别表示自然数、整数、有理数,
实数和复数集合，注意 0 是自然数,
6
集合与元素
元素与集合的关系：隶属关系
属于 ?,不属于 ?
实例
A={ x | x?R?x2-1=0 },A={-1,1}
1?A,2?A
注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合 ),
x?A和 x?A 两者成立其一，且仅成立其一,
7
隶属关系的层次结构
例 3.1
A={ a,{b,c},d,{{d}} }
{b,c}?A
b?A
{{d}}?A
{d}?A
d?A
8
集合之间的关系
包含（子集） A ? B ? ?x (x?A ? x?B)
不包含 A ? B ? ?x (x?A ? x?B)
相等 A = B ? A ? B ? B ? A
不相等 A ? B
真包含 A ? B ? A ? B ? A ? B
不真包含 A ? B
思考,? 和 ? 的定义
注意 ? 和 ? 是不同层次的问题
9
空集与全集
空集 ? 不含任何元素的集合
实例 {x | x2+1=0?x?R} 就是空集
定理 空集是任何集合的子集
??A ? ?x (x???x?A) ?T
推论 空集是惟一的,
证 假设存在 ?1和 ?2，则 ?1??2 且 ?1??2，因此 ?1=?2
全集 E
相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即 ?A (A?E )
10
幂集
定义 P(A) = { x | x?A }
实例
P(?) = {?},
P({?}) = {?,{?}}
P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}
计数
如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
11
3.2 集合的基本运算
? 集合基本运算的定义
? ? ? ? ?
? 文氏图（ John Venn）
? 例题
? 集合运算的算律
? 集合包含或恒等式的证明
12
集合基本运算的定义
并 A?B = { x | x?A ? x?B }
交 A?B = { x | x?A ? x?B }
相对补 A?B = { x | x?A ? x?B }
对称差 A?B = (A?B)?(B?A)
= (A?B)?(A?B)
绝对补 ?A = E?A
13
文氏图表示
14
关于运算的说明
? 运算顺序,?和幂集优先，其他由括号确定
? 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1?A2?… An= {x | x?A1?x?A2?… ?x?An}
A1?A2?… An= {x | x?A1?x?A2?… ?x?An}
? 某些重要结果
??A?B?A
A?B ? A?B=?（后面证明）
A?B=? ? A?B=A
15
只有一、二年级的学生才爱好体育运动
F:一年级大学生的集合 S：二年级大学生的集合
R：计算机系学生的集合 M：数学系学生的集合
T：选修离散数学的学生的集合
L：爱好文学学生的集合 P：爱好体育运动学生的集合
T?(M?R)?S
R?S ?T
(M?F)?T=?
M?L?P
P?F?S
S?(M?R)?P
除去数学和计算机系二年级学生外都不
选修离散数学
例 1
所有计算机系二年级学生都选修离散数学
数学系一年级的学生都没有选修离散数学
数学系学生或爱好文学或爱好体育运动
16
例 2
分别对条件 (1)到 (5)，确定 X 集合与下述那些集合相等。
S1 = { 1,2,…,8,9 },S2= { 2,4,6,8 },S3= { 1,3,5,7,9 },
S4 = { 3,4,5 },S5= { 3,5 }
(1) 若 X?S3=?,则 X
(2) 若 X?S4,X?S2=?,则 X
(3) 若 X?S1,X S3,则 X
(4) 若 X?S3=?,则 X
(5) 若 X?S3,X S1,则 X
= S2
= S5
= S1,S2,S4
= S3,S5
与 S1,...,S5 都不等
17
? ? ?
交换 A?B=B?A A?B=B?A A?B=B?A
结合 (A?B)?C=
A?(B?C)
(A?B)?C=
A?(B?C)
(A?B)?C=
A?(B?C)
幂等 A?A=A A?A=A
?与 ? ?与 ?
分配 A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
吸收 A?(A?B)=A
A?(A?B)=A
集合运算的算律
吸收律的前提,?,?可交换
18
集合运算的算律（续）
? ?
D.M 律 A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
?(B?C)=?B??C
?(B?C)=?B??C
双重否定 ??A=A
? E
补元律 A??A=? A??A=E
零律 A??=? A?E=E
同一律 A??=A A?E=A
否定 ??=E ?E=?
19
集合包含或相等的证明方法
? 证明 X?Y
?命题演算法
?包含传递法
?等价条件法
?反证法
?并交运算法
? 证明 X=Y
?命题演算法
?等式代入法
?反证法
?运算法
以上的 X,Y 代表集合公式
20
任取 x,
x?X ? … ?x?Y
命题演算法 证 X?Y
例 3 证明 A?B ? P(A)?P(B)
任取 x
x?P(A) ? x?A ? x?B ? x?P(B)
任取 x
x?A ? {x}?A ? {x}?P(A) ? {x}?P(B)
? {x}?B ? x?B
21
包含传递法 证 X?Y
找到集合 T 满足 X?T 且 T?Y，从而有 X?Y
例 4 A?B ? A?B
证 A?B ? A
A ? A?B
所以 A?B ? A?B
22
利用包含的等价条件 证 X?Y
?????????? A - BABABBABA
例 5 A?C?B?C ? A?B?C
证 A?C ? A?C=C
B?C ? B?C=C
(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C
(A?B)?C=C ? A?B?C
命题得证
23
反证法 证 X?Y
欲证 X?Y,假设命题不成立，必存在 x 使得
x?X 且 x?Y,然后推出矛盾,
例 6 证明 A?C ? B?C ? A?B?C
证 假设 A?B ? C 不成立,
则 ?x (x?A?B?x?C)
因此 x?A 或 x?B，且 x?C
若 x?A,则与 A?C 矛盾；
若 x?B,则与 B?C 矛盾,
24
利用已知包含式并交运算
例 7 证明 A?C?B?C ? A?C?B?C ? A?B
证 A?C?B?C,A?C ? B?C
上式两边求并，得
(A?C)?(A?C) ? (B?C)?(B?C)
? (A?C)?(A??C) ? (B?C)?(B??C)
? A?(C??C) ? B?(C??C)
? A?E ? B?E
? A ? B
由已知包含式通过运算产生新的包含式
X?Y ? X?Z?Y?Z,X?Z?Y?Z
25
例 8 证明 A?(A?B)=A （吸收律）
证 任取 x,
x?A?(A?B) ? x?A? x?A?B
? x?A ? (x?A ? x?B) ? x?A
命题演算法证明 X=Y
任取 x,
x?X ? … ?x?Y
x?Y ? … ?x?X
或者
x?X ? … ? x?Y
26
等式替换 证明 X=Y
例 9 证明 A?(A?B)=A （吸收律）
证 (假设交换律、分配律、同一律、零律成立 )
A?(A?B)
=(A?E)?(A?B) 同一律
=A?(E?B) 分配律
=A?(B?E) 交换律
=A?E 零律
=A 同一律
不断进行代入化简，最终得到两边相等
27
反证法 证明 X=Y
例 10 证明以下等价条件
A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A?B=?
(1) (2) (3) (4)
证明顺序,
(1) ?(2),(2) ?(3),(3) ?(4),(4) ?(1)
假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 x?X且 x?Y，
或者 存在 x 使得 x?Y且 x?X，然后推出矛盾,
28
(1) ?(2)
显然 B?A?B，下面证明 A?B?B,
任取 x,
x?A?B ? x?A?x?B ? x?B?x?B ? x?B
因此有 A?B?B,综合上述（ 2）得证,
(2) ?(3)
A=A?(A?B) ? A=A?B
（将 A?B用 B代入 )
29
(3) ?(4)
假设 A?B??,即 ?x?A?B，那么 x?A且 x?B,而
x?B ? x?A?B,
从而与 A?B=A矛盾,
(4) ?(1)
假设 A?B不成立，那么
?x (x?A ? x?B) ? x?A?B ? A?B??
与条件（ 4）矛盾,
30
集合运算法 证明 X=Y
例 11 证明 A?C=B?C ? A?C=B?C ? A=B
证 由 A?C=B?C 和 A?C=B?C 得到
(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)
从而有 A?C=B?C
因此
A?C=B?C ? (A?C)?C =(B?C)?C
? A?(C?C) =B?(C?C) ?A??=B?? ? A=B
由已知等式通过运算产生新的等式
X=Y ? X?Z=Y?Z,X?Z=Y?Z,X-Z=Y-Z
31
? 集合的基数与有穷集合
? 包含排斥原理
? 有穷集的计数
3.3 集合中元素的计数
32
集合 A 的 基数,集合 A中的元素数，记作 cardA
有穷集 A,cardA=|A|=n,n为自然数,
有穷集的实例,
A={ a,b,c},cardA=|A|=3；
B={ x | x2+1=0,x?R},cardB=|B|=0
无穷集的实例,
N,Z,Q,R,C 等
集合的基数与有穷集合
33
包含排斥原理
定理 设 S 为有穷集,P1,P2,…,Pm 是 m 种性质,
Ai 是 S 中具有性质 Pi 的元素构成的子集,i=1,2,
…,m.则 S 中不具有性质 P1,P2,…,Pm 的元素数为
|...|)1(
...||||||||
|...|
21
11 1
21
m
m
mkji
kji
m
i mji
jii
m
AAA
AAAAAAS
AAA
?????
????????
???
?? ?
????? ???
34
证明
证 设 x不具有性质 P1,P2,…,Pm,
x?Ai,i = 1,2,…,m
x?Ai?Aj,1? i < j ? m
…
x?A1?A2?… ?Am,
x 对右边计数贡献为
1 ? 0 + 0 ? 0 + … + ( ?1)m · 0 = 1
证明要点：任何元素 x，如果不具有任何性质，
则对等式右边计数贡献为１，否则为０
35
证明（续）
?
?
m
i
iA
1
||
?
???
?
mji
ji AA
1
||
1C
n
2C
n
m
nC
0)1(...1
0
21 ??????? ?
?
n
i
i
n
m
n
m
nn CCCC
设 x具有 n 条性质,1?n?m
x 对 |S| 贡献为 1
x 对 贡献为
x 对 贡献为
…,
x 对 | A1?A2?… ?Am| 贡献为
x 对右边计数贡献为
36
|...|)1(
...||||||
|...|
21
1
11 1
21
m
m
mkji
kji
m
i mji
jii
m
AAA
AAAAAA
AAA
?????
???????
???
?
????? ???
?? ?
S中至少具有一条性质的元素数为
证明
|...|||
|...|||
|...|
21
21
21
m
m
m
AAAS
AAAS
AAA
?????
?????
???
将定理 1 代入即可
推论
37
解,S ={ x | x?Z,1? x ?1000 },
如下定义 S 的 3 个子集 A,B,C,
A={ x | x?S,5 | x },
B={ x | x?S,6 | x },
C={ x | x?S,8 | x }
例 1 求 1到 1000之间（包含 1和 1000在内）既不能
被 5 和 6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？
应用
38
对上述子集计数,
|S|=1000,
|A|= ?1000/5? =200,|B|=?1000/6?=133,
|C|= ?1000/8? =125,
|A?B|= ?1000/30? =33,|B?C| = ?1000/40? =25,
|B?C|= ?1000/24? =41,
|A?B?C| = ?1000/120? =8,
代入公式
N = 1000?(200+133+125)+(33+25+41)?8=600
例 1（续）
39
文氏图法
求 1到 1000之间（包含 1和 1000在内）既不能被 5
和 6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？
40
例 2
24名科技人员，每人至少会 1门外语,
英语,13； 日语,5； 德语,10； 法语,9
英日,2; 英德,4； 英法,4； 法德,4
会日语的不会法语、德语
求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数
x+2(4-x)+y1+2=13
x+2(4-x)+y2=10
x+2(4-x)+y3=9
x+3(4-x)+y1+y2+y3=19
x=1,y1=4,y2=3,y3=2
集合论
2
集合论部分
?第 3章 集合的基本概念和运算
?第 4章 二元关系和函数
3
第 3章 集合的基本概念和运算
? 3.1 集合的基本概念
? 3.2 集合的基本运算
? 3.3 集合中元素的计数
4
3.1 集合的基本概念
? 集合的定义与表示
? 集合与元素
? 集合之间的关系
? 空集
? 全集
? 幂集
5
集合定义与表示
集合 没有精确的数学定义
理解：一些离散个体组成的全体
组成集合的个体称为它的元素或成员
集合的表示
列元素法 A={ a,b,c,d }
谓词表示法 B={ x | P(x) }
B 由使得 P(x) 为真的 x 构成
常用数集
N,Z,Q,R,C 分别表示自然数、整数、有理数,
实数和复数集合，注意 0 是自然数,
6
集合与元素
元素与集合的关系：隶属关系
属于 ?,不属于 ?
实例
A={ x | x?R?x2-1=0 },A={-1,1}
1?A,2?A
注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合 ),
x?A和 x?A 两者成立其一，且仅成立其一,
7
隶属关系的层次结构
例 3.1
A={ a,{b,c},d,{{d}} }
{b,c}?A
b?A
{{d}}?A
{d}?A
d?A
8
集合之间的关系
包含（子集） A ? B ? ?x (x?A ? x?B)
不包含 A ? B ? ?x (x?A ? x?B)
相等 A = B ? A ? B ? B ? A
不相等 A ? B
真包含 A ? B ? A ? B ? A ? B
不真包含 A ? B
思考,? 和 ? 的定义
注意 ? 和 ? 是不同层次的问题
9
空集与全集
空集 ? 不含任何元素的集合
实例 {x | x2+1=0?x?R} 就是空集
定理 空集是任何集合的子集
??A ? ?x (x???x?A) ?T
推论 空集是惟一的,
证 假设存在 ?1和 ?2，则 ?1??2 且 ?1??2，因此 ?1=?2
全集 E
相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即 ?A (A?E )
10
幂集
定义 P(A) = { x | x?A }
实例
P(?) = {?},
P({?}) = {?,{?}}
P({1,{2,3}})={?,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}
计数
如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
11
3.2 集合的基本运算
? 集合基本运算的定义
? ? ? ? ?
? 文氏图（ John Venn）
? 例题
? 集合运算的算律
? 集合包含或恒等式的证明
12
集合基本运算的定义
并 A?B = { x | x?A ? x?B }
交 A?B = { x | x?A ? x?B }
相对补 A?B = { x | x?A ? x?B }
对称差 A?B = (A?B)?(B?A)
= (A?B)?(A?B)
绝对补 ?A = E?A
13
文氏图表示
14
关于运算的说明
? 运算顺序,?和幂集优先，其他由括号确定
? 并和交运算可以推广到有穷个集合上，即
A1?A2?… An= {x | x?A1?x?A2?… ?x?An}
A1?A2?… An= {x | x?A1?x?A2?… ?x?An}
? 某些重要结果
??A?B?A
A?B ? A?B=?（后面证明）
A?B=? ? A?B=A
15
只有一、二年级的学生才爱好体育运动
F:一年级大学生的集合 S：二年级大学生的集合
R：计算机系学生的集合 M：数学系学生的集合
T：选修离散数学的学生的集合
L：爱好文学学生的集合 P：爱好体育运动学生的集合
T?(M?R)?S
R?S ?T
(M?F)?T=?
M?L?P
P?F?S
S?(M?R)?P
除去数学和计算机系二年级学生外都不
选修离散数学
例 1
所有计算机系二年级学生都选修离散数学
数学系一年级的学生都没有选修离散数学
数学系学生或爱好文学或爱好体育运动
16
例 2
分别对条件 (1)到 (5)，确定 X 集合与下述那些集合相等。
S1 = { 1,2,…,8,9 },S2= { 2,4,6,8 },S3= { 1,3,5,7,9 },
S4 = { 3,4,5 },S5= { 3,5 }
(1) 若 X?S3=?,则 X
(2) 若 X?S4,X?S2=?,则 X
(3) 若 X?S1,X S3,则 X
(4) 若 X?S3=?,则 X
(5) 若 X?S3,X S1,则 X
= S2
= S5
= S1,S2,S4
= S3,S5
与 S1,...,S5 都不等
17
? ? ?
交换 A?B=B?A A?B=B?A A?B=B?A
结合 (A?B)?C=
A?(B?C)
(A?B)?C=
A?(B?C)
(A?B)?C=
A?(B?C)
幂等 A?A=A A?A=A
?与 ? ?与 ?
分配 A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
吸收 A?(A?B)=A
A?(A?B)=A
集合运算的算律
吸收律的前提,?,?可交换
18
集合运算的算律（续）
? ?
D.M 律 A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
A?(B?C)=(A?B)?(A?C)
?(B?C)=?B??C
?(B?C)=?B??C
双重否定 ??A=A
? E
补元律 A??A=? A??A=E
零律 A??=? A?E=E
同一律 A??=A A?E=A
否定 ??=E ?E=?
19
集合包含或相等的证明方法
? 证明 X?Y
?命题演算法
?包含传递法
?等价条件法
?反证法
?并交运算法
? 证明 X=Y
?命题演算法
?等式代入法
?反证法
?运算法
以上的 X,Y 代表集合公式
20
任取 x,
x?X ? … ?x?Y
命题演算法 证 X?Y
例 3 证明 A?B ? P(A)?P(B)
任取 x
x?P(A) ? x?A ? x?B ? x?P(B)
任取 x
x?A ? {x}?A ? {x}?P(A) ? {x}?P(B)
? {x}?B ? x?B
21
包含传递法 证 X?Y
找到集合 T 满足 X?T 且 T?Y，从而有 X?Y
例 4 A?B ? A?B
证 A?B ? A
A ? A?B
所以 A?B ? A?B
22
利用包含的等价条件 证 X?Y
?????????? A - BABABBABA
例 5 A?C?B?C ? A?B?C
证 A?C ? A?C=C
B?C ? B?C=C
(A?B)?C=A?(B?C)=A?C=C
(A?B)?C=C ? A?B?C
命题得证
23
反证法 证 X?Y
欲证 X?Y,假设命题不成立，必存在 x 使得
x?X 且 x?Y,然后推出矛盾,
例 6 证明 A?C ? B?C ? A?B?C
证 假设 A?B ? C 不成立,
则 ?x (x?A?B?x?C)
因此 x?A 或 x?B，且 x?C
若 x?A,则与 A?C 矛盾；
若 x?B,则与 B?C 矛盾,
24
利用已知包含式并交运算
例 7 证明 A?C?B?C ? A?C?B?C ? A?B
证 A?C?B?C,A?C ? B?C
上式两边求并，得
(A?C)?(A?C) ? (B?C)?(B?C)
? (A?C)?(A??C) ? (B?C)?(B??C)
? A?(C??C) ? B?(C??C)
? A?E ? B?E
? A ? B
由已知包含式通过运算产生新的包含式
X?Y ? X?Z?Y?Z,X?Z?Y?Z
25
例 8 证明 A?(A?B)=A （吸收律）
证 任取 x,
x?A?(A?B) ? x?A? x?A?B
? x?A ? (x?A ? x?B) ? x?A
命题演算法证明 X=Y
任取 x,
x?X ? … ?x?Y
x?Y ? … ?x?X
或者
x?X ? … ? x?Y
26
等式替换 证明 X=Y
例 9 证明 A?(A?B)=A （吸收律）
证 (假设交换律、分配律、同一律、零律成立 )
A?(A?B)
=(A?E)?(A?B) 同一律
=A?(E?B) 分配律
=A?(B?E) 交换律
=A?E 零律
=A 同一律
不断进行代入化简，最终得到两边相等
27
反证法 证明 X=Y
例 10 证明以下等价条件
A?B ? A?B=B ? A?B=A ? A?B=?
(1) (2) (3) (4)
证明顺序,
(1) ?(2),(2) ?(3),(3) ?(4),(4) ?(1)
假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 x?X且 x?Y，
或者 存在 x 使得 x?Y且 x?X，然后推出矛盾,
28
(1) ?(2)
显然 B?A?B，下面证明 A?B?B,
任取 x,
x?A?B ? x?A?x?B ? x?B?x?B ? x?B
因此有 A?B?B,综合上述（ 2）得证,
(2) ?(3)
A=A?(A?B) ? A=A?B
（将 A?B用 B代入 )
29
(3) ?(4)
假设 A?B??,即 ?x?A?B，那么 x?A且 x?B,而
x?B ? x?A?B,
从而与 A?B=A矛盾,
(4) ?(1)
假设 A?B不成立，那么
?x (x?A ? x?B) ? x?A?B ? A?B??
与条件（ 4）矛盾,
30
集合运算法 证明 X=Y
例 11 证明 A?C=B?C ? A?C=B?C ? A=B
证 由 A?C=B?C 和 A?C=B?C 得到
(A?C)-(A?C)=(B?C)-(B?C)
从而有 A?C=B?C
因此
A?C=B?C ? (A?C)?C =(B?C)?C
? A?(C?C) =B?(C?C) ?A??=B?? ? A=B
由已知等式通过运算产生新的等式
X=Y ? X?Z=Y?Z,X?Z=Y?Z,X-Z=Y-Z
31
? 集合的基数与有穷集合
? 包含排斥原理
? 有穷集的计数
3.3 集合中元素的计数
32
集合 A 的 基数,集合 A中的元素数，记作 cardA
有穷集 A,cardA=|A|=n,n为自然数,
有穷集的实例,
A={ a,b,c},cardA=|A|=3；
B={ x | x2+1=0,x?R},cardB=|B|=0
无穷集的实例,
N,Z,Q,R,C 等
集合的基数与有穷集合
33
包含排斥原理
定理 设 S 为有穷集,P1,P2,…,Pm 是 m 种性质,
Ai 是 S 中具有性质 Pi 的元素构成的子集,i=1,2,
…,m.则 S 中不具有性质 P1,P2,…,Pm 的元素数为
|...|)1(
...||||||||
|...|
21
11 1
21
m
m
mkji
kji
m
i mji
jii
m
AAA
AAAAAAS
AAA
?????
????????
???
?? ?
????? ???
34
证明
证 设 x不具有性质 P1,P2,…,Pm,
x?Ai,i = 1,2,…,m
x?Ai?Aj,1? i < j ? m
…
x?A1?A2?… ?Am,
x 对右边计数贡献为
1 ? 0 + 0 ? 0 + … + ( ?1)m · 0 = 1
证明要点：任何元素 x，如果不具有任何性质，
则对等式右边计数贡献为１，否则为０
35
证明（续）
?
?
m
i
iA
1
||
?
???
?
mji
ji AA
1
||
1C
n
2C
n
m
nC
0)1(...1
0
21 ??????? ?
?
n
i
i
n
m
n
m
nn CCCC
设 x具有 n 条性质,1?n?m
x 对 |S| 贡献为 1
x 对 贡献为
x 对 贡献为
…,
x 对 | A1?A2?… ?Am| 贡献为
x 对右边计数贡献为
36
|...|)1(
...||||||
|...|
21
1
11 1
21
m
m
mkji
kji
m
i mji
jii
m
AAA
AAAAAA
AAA
?????
???????
???
?
????? ???
?? ?
S中至少具有一条性质的元素数为
证明
|...|||
|...|||
|...|
21
21
21
m
m
m
AAAS
AAAS
AAA
?????
?????
???
将定理 1 代入即可
推论
37
解,S ={ x | x?Z,1? x ?1000 },
如下定义 S 的 3 个子集 A,B,C,
A={ x | x?S,5 | x },
B={ x | x?S,6 | x },
C={ x | x?S,8 | x }
例 1 求 1到 1000之间（包含 1和 1000在内）既不能
被 5 和 6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？
应用
38
对上述子集计数,
|S|=1000,
|A|= ?1000/5? =200,|B|=?1000/6?=133,
|C|= ?1000/8? =125,
|A?B|= ?1000/30? =33,|B?C| = ?1000/40? =25,
|B?C|= ?1000/24? =41,
|A?B?C| = ?1000/120? =8,
代入公式
N = 1000?(200+133+125)+(33+25+41)?8=600
例 1（续）
39
文氏图法
求 1到 1000之间（包含 1和 1000在内）既不能被 5
和 6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？
40
例 2
24名科技人员，每人至少会 1门外语,
英语,13； 日语,5； 德语,10； 法语,9
英日,2; 英德,4； 英法,4； 法德,4
会日语的不会法语、德语
求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数
x+2(4-x)+y1+2=13
x+2(4-x)+y2=10
x+2(4-x)+y3=9
x+3(4-x)+y1+y2+y3=19
x=1,y1=4,y2=3,y3=2
