第三章 正弦交流电路
安
徽
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业
技
术
学
院
3.1 正弦交流电路的基本概念
3.2 正弦量的相量表示
3.3 交流电路的常用元件
3.4 复阻抗
3.5 RLC串联电路分析
3.6 RLC并联电路分析
3.7 正弦稳态电路的功率
第三章 正弦交流电路
安
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院
3.1 正弦交流电路的基本概念
以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的
一般解析函数式为
i(t)=I m sin(ωt+φ)
一,正弦量的三要素
1.振幅（最大值）
正弦量瞬时值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。 用
大写字母带下标,m”表示,如 Um,Im等。
正弦交流电,各量（电压、电流、电动势）随时间按正
弦规律变化。
第三章 正弦交流电路
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fT ??? 22 ??
其中,T”表示正弦量变化一周所需的时间，称为周期。 单位为秒 (s)。
,f”表示正弦量每秒钟变化的周数，称为频率 。 单位为赫兹
(Hz)。
f=50 Hz，称为我国的工业频率，简称“工频”。
周期和频率互成倒数,即
Tf
1?
3,初相
i(t)=I m sin(ωt+φ),正弦量解析式中的 ωt+φ称为相位角 。
t=0时,相位为 φ,称其为正弦量的初相 。
2,角频率 ω
角频率 ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数,即
单位为 rad/s或 1/s
第三章 正弦交流电路
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业
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u
0
?
U
m
??
? ?? tT
2
( ) ?? T ?
如下图正弦量的三要素：幅值为 Um、
角频率为
初相为０
fT ??? 22 ??
二、相位差
相位差指两个同频率正弦量的相位之差。
如：
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两个同频率的正弦量
u 1(t)=U 1m sin(ωt+φ1)
u 2(t)=U 2m sin(ωt+φ 2)
φ12 =(ωt+φ 1 )―(ωt+ φ2 )= φ1 ― φ2相位差
相位差＝初相之差由此得：
同频率正弦量的几种相位关系：
（１）超前关系
φ12= φ 1 -φ 2>0且 |φ12|≤π弧度，称第一量超前第二量
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（２）滞后关系
φ12= φ 1 -φ 2 <0且 |φ12|≤π弧度，称第一量滞后第二量，
即，称第二量超前第一量。
φ12= φ 1 -φ 2 =0,称这两个正弦量同相。
（３）同相关系
（４）反相关系
φ12= φ 1 -φ 2 ＝ π,称这两个正弦量反相。
例：判断下图正弦量的相位关系：
第三章 正弦交流电路
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( a ) ( b ) ( c ) ( d )
? ? t ? ? t ? ? t? ? t0 0 0 0
i
i
u
u u
u
1
u
2
i
i
2
i
1
iu
i
u
?
u
?
i
?
1
?
2
?
1
?
2
?
2
解,(a)u和 i同相；
(b)u1超前 u2；
(c)i1和 i2反相；
(d)u和 i正交。
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三、正弦量的有效值
一直流电流 I和一交流电流 i分别通过同一电阻 R,在同一
个周期 T内所产生的热量相等,那么这个直流电流 I的
数值就叫做交流电流 i的有效值。
?
?
?
?
?
?
T
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
dtRiRTI
0
2
0
2
0
22
1
1由此得出
交流电流的有效值为
同理,交流电压的有效值为
正弦交流电流的有效值为
第三章 正弦交流电路
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2
)0(
2
)2c o s(
2
2
2c o s1
s i n
1
2
0 0
2
0
2
0
22
m
I
T
T
I
t d tdt
T
I
dt
t
T
I
t d tI
T
I
m
T T
m
T
m
T
m
?????
?
??
? ?
??
?
?
?
m
m
m
m
U
U
U
I
I
I
707.0
2
707.0
2
??
??
由此得出有效值和最大值关系：
例,电压有效值为２２０ V，则最大值为：
VU m 3 1 122 2 0 ??
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3.2 正弦量的相量表示
用复数来表示正弦量方法叫正弦量的相量表示法。
)s in ()( 2 itt Ii ?? ??
设某正弦电流为
? ? ? ? ?
?
?
??
?
???
????
?
?
eImIeIemIemIi
IjIeI
tjtjjtj
ii
tj
ii
i tt
?????
??
????
.
)(
)(
222
222 )s i n ()c o s (复数
则
１、相量表示法
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正弦量的有效值用复数的模表示，
正弦量的初相用复数的幅角来表示。
该方法为相量表示法。
表示为：
i
tj IIeI i ??? ??? ? )(.
注：正弦量与相量一一对应。
相量图就是把正弦量的相量画在复平面上。
２、相量图
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例, 已知正弦电压 u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V，
u2(t)=70.5 sin(ωt-π/6) V,写出 u1和 u2的相量,并画出相
量图。
VUu
VUu
3
50
32
5.70
3
1 0 0
32
1 4 1
.
22
.
11
??
??
????????
??????
相量图如图
解,
＋ 1
U
1
.
U
2
.
?
6
?
3
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3,两个同频率正弦量之和
设有两个同频率正弦量
)s i n (2)s i n ()(
)s i n (2)s i n ()(
22122
11111
????
????
????
????
tUtUtu
tUtUtu
m
m
方法：
(1) 写出相应的相量,并表示为代数形式。
(2) 按复数运算法则进行相量相加,求出和的相量。
(3) 作相量图,按照矢量的运算法则求相量和。
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例 4.7 uA(t)=220 sinωtV,uB(t)=220 sin(ωt—120° ) V,求
u A+uB和 uA—uB 。
解 (1) 相量直接求和 。
Vtuu
Vtuu
VjUUuu
VjUUuu
Vj
jUu
VjUu
BA
BA
BA
BA
BA
BA
B
B
A
A
)30( s i n23 8 0
)60( s i n22 2 0
603 8 031 1 03 3 0
602 2 031 1 01 1 0
31 1 01 1 0
)1 2 0s i n (2 2 0)1 2 0( c o s (2 2 01 2 02 2 0
02 2 002 2 0
0
0
0
..
0
..
000
.
0
.
/
/
/
/
???
???
???????
???????
???
????????
?????
?
?
2 2
本题还可以画相量图, 用用平行四边形法则来求 。
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3.3 交流电路的常用元件
一、纯电阻元件
i
R
u
R
R
R
ui R
R ?
RIU
R
U
I
tIt
R
U
R
u
i
tUu
RmRm
Rm
Rm
Rm
RmR
R
RmR
???
?????
??
或
)s i n ()s i n (
)s i n (
????
??
1.电流和电压的瞬时关系
若设
则
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0 ?? t
u
R
( a )
u
R
i
R
? ??
·
I
R
U
R
·
( b )
i
R
如图 (a)
2.电压与电流的相量关系
?
??
??
??
?
RR
RmR
II
tIi )s in (
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RIU
RIUU
tUu
RR
RRR
RmR
??
?
?
?????
??
??
?? )s i n (
相量图如图（ b）所示
3.电阻元件的功率
瞬时功率 p,元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘
积叫做该元件的瞬时功率。
有功功率 P：计算瞬时功率的平均值,即平均功率，
又叫有功功率。
功率的单位为瓦 (W）,工程上也常用千瓦（ kW）
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)2c o s1(
)2c o s1(
2
s i n
s i ns i n
2
tIU
t
IU
tIU
tItUiup
uip
RR
RmRm
RmRm
RmRmRRR
?
??
??
??
???
???
?
R
U
RIIUP
IUT
T
IU
dttdt
T
IU
dttIU
T
pdt
T
P
R
RRR
RR
RR
T T
RR
R
T T
R
2
2
0 0
0 0
)0(
)2c o s1(
)2c o s1(
11
???
???
??
???
? ?
? ?
?
?
瞬时功率
有功功率
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0 ? ?t
i
u
u,i
P
p
P
m
=U
m
I
m
P = P
m
= U I
1
2
p
例, 一只功率为 100W，额定电压为 220V 的电烙铁,
接在 380V的交流电源上,问此时它接受的功率为多少？
若接到 110V的交流电源上,它的功率又为多少？
电阻元件的功率曲线图
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解, 由电烙铁的额定值可得
WW
R
U
P
WW
P
U
P
P
U
R
R
R
R
10025
484
110
100298
484
380
484
100
220
22
2
22
1
22
????
????
????
电源电压为 380V时
接到 110 V的交流电源
所以两种情况都不能正常工作。
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二、纯电感元件
i
L
u
L L
1.电流和电压的瞬时关系
dt
diLu
L ?
)
2
s i n (
)c o s (
))s i n ((
)s i n (
iLm
iLm
iLm
L
iLmL
tLI
tLI
dt
tId
Lu
tIi
?
?
??
???
??
??
???
??
?
?
??
LIU LmLm ??
若设
fLLX
X
U
L
UIXILIU
L
L
lL
LLLLL
??
?
?
2??
???? 或
则
第三章 正弦交流电路
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电流和电压之间的相位关系为正交，即电压超前电流
2.电压与电流的相量关系
0
i
? 2 ?
?? t
u
C
i
C
u
2
??? ??
ui
iLL
iLmL
II
tIi
?
??
??
??
?
)s in (
XL称为感抗,单位为 Ω
第三章 正弦交流电路
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U
.
I
.
LLLL
iLiLL
iLmL
IjXILjU
LIjLIU
tLIu
???
?
??
?????
???
?
??
?
??
?
?
??
2
)
2
s i n (
相量图如图
第三章 正弦交流电路
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院 tUI
tUI
tItUiup
tUu
tIi
LL
LmLm
LmLmLL
LmL
LmL
?
?
?
?
?
?
?
?
2s i n
2s i n
2
1
s i n)
2
s i n (
)
2
s i n (
s i n
?
?
?????
??
?
有功功率
?? ??? T LLT dttiuTdtpTP 00 02s i n11 ?
瞬时功率
LL LIW
2
2
1?电感元件中储存的磁场能量：
3.电感元件的功率
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无功功率Ｑ L,电感元件上电压的有效值和电流的有效
值的乘积。
L
L
LLLLL X
UXIIUQ 22 ???
0
u
L
, i
L
, p
L
u
L
p
＋ ＋
－
－
i
L
t
4
T
4
T
4
T
4
T
无功功率的单位为“乏”（ var）,工程中也常用“千乏”
（ kvar）
电感元件的功率曲线图
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Ati L )30314s i n (210 ???例
无功功率 QL=500var
求 (1) XL和 L
(2) 电感元件中储存的最大磁场能量 WLm。
为流过电感元件中的电流，
JLIW
mH
X
L
I
Q
X
Lm
Lm
L
L
L
59.1)210(109.15
2
1
2
1
9.15
3 1 4
5
5
10
5 0 0
232
22
??????
???
????
?
?
解 (1)
(2)
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三、纯电容元件
1.电流和电压的瞬时关系
i
C
u
C C
dt
duCi C
C ?
若设 )s in ( uCmC tUu ?? ??
)
2
s i n ()
2
s i n (
)
2
s i n ()c o s (
?
??
?
??
?
??????
??????
??????
uCmuCmC
uCmuCm
C
C
tItIi
tCUtCU
dt
du
Ci
CmCm
iCmuCmC
CUI
tItIi
?
??
?
??
?
????? )s i n ()
2
s i n (
第三章 正弦交流电路
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fCC
X
X
U
C
U
CUI
C
C
CC
CC
??
?
?
2
11
1
??
???
XC称为容抗,单位为 Ω。
电流和电压之间的相位关系为正交，即电流超前电压
0
i
? 2 ?
?? t
u
C
i
C
u
2
??? ??
ui
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2.电压与电流的相量关系
C
CC
C
C
uCu
C
C
uC
C
uCmC
uC
C
uCmC
jX
U
IIjXU
CU
X
U
II
tIi
UU
tUu
?
???
?????????
???
??
??
?
???
?
?
或
222
)
2
s i n (
)s i n (
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
相量图如图
U
.
I
.
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3.电容元件的功率
瞬时功率
tIUtItUiup CCCmCmCC ???? 2s i n)2s i n (s i n ?????
02s i n111 0 00 ???? ? ?? dttiuTp d tTp d tTP T T CCT ?
有功功率
C
C
CCCCC X
UXIIUQ 22 ??????
无功功率
QC和 QL一样,单位也是乏（ var）或千乏 (kvar)。
第三章 正弦交流电路
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u
C
, i
C
u
C
p
p
i
C
t
＋
＋
－ －
4
T
4
T
4
T
4
T
0
电容元件的功率曲线图
电容元件储存电场能量：
2
2
1
CC CuW ?
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3.4 复阻抗
i
u
I
UZZ
I
U
?
?? ???
?
?
|Z|称为该电路的阻抗，是复阻抗的模。
iu
I
UZ
??? ??
?
Z是一个复数,所以又称为复阻抗
φ为阻抗角，是复阻抗的幅角
复阻抗、阻抗的单位都为 Ω。
Z是一个复数,所以又称为复阻抗
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jXRZ ??
复阻抗的另一形式
R
X
XRZ
ar c t an
22
?
??
?
它们之间符合阻抗三角形。
Z的实部为 R,称为“电阻”,Z的虚部为 X,称为“电抗”，
?
R
X| Z |
阻抗三角形
第三章 正弦交流电路
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3.5 RLC串联电路分析
一、电路分析
CC
LL
R
jXIU
jXIU
RIU
II
??
??
??
?
??
?
?
??? 0
＋
－
u
i + －uR
R
C
L
－ +uC
+
－
uL
(a)
＋
－
+ －R
R
－ +
C
+
－
L
(b)
U
.
I
,U.
U
.
U
.
jXL
jXC－
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ZIjXRIU
XXjRI
jXIjXIRI
UUUU
CL
CL
CLR
???
?
???
????
???
???
???
???
)(
)]([
电路的性质
1,电感性电路, XL>XC,X>0,UL>UC。
0a r c t a n ?? RX?
阻抗角
2,电容性电路, XL<XC
此时 X<0,UL<UC。 阻抗角 φ <0。
3,电阻性电路, XL=XC,此时 X=0,UL=UC。
阻抗角 φ=0。
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( a )
U
L
?
.
U
C
.
U
.
U
R
.
I
.
U
C
?
.
U
L
.
U
.
U
R
.
I
.
( b ) ( c )
U
L
.
U
C
.
I
.U
R
＝ U
.,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
RLC串联电路的相量图
二、串联谐振 i
u
R
L
C
＋
－
总电压 U和总电流 I同相，即 X=XL-XC=0时,
电路相当于“纯电阻”电路,
此时称为串联“谐振”。
1,谐振条件
第三章 正弦交流电路
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2.谐振角频率
CL XX ?
CL ??
1?
当电路 L,C一定时,有
LC
ff
LC
?
??
2
1
1
0
0
??
??
ω0和 f 0称为固有角频率
3.品质因素
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（ 1） 电路的阻抗最小
RXXRZZ CL ????? 2200 )(
（ 2） 电感电压和电容电压远大于端口电压
串联谐振时,网络的感抗和容抗相等为
??? ???? CLLLCLL 11
0
0
ρ叫做特性阻抗，只与网络的 L,C有关，单位为 (Ω)
Q
C
L
RCRR
L
R
RIUIRUU R
????
???
11
,
0
0
00
...
?
??
Q叫做网络的品质因数，只和网络 R,L,C的参数有关。
第三章 正弦交流电路
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例,串联谐振电路中,U=25 mV,R=5 Ω,L=4 mH，
C=160 pF，求电路的 f 0,I 0,ρ,Q和 U C0。
解 谐振频率
k H zLCf 200101601042 12 1 1230 ?????? ????
??
?
?
????
????
?
?
5 0 0 0
101 6 0
1041
5
25
12
3
0
0
0
C
L
C
L
m
R
U
I
?
??
端口电流
特性阻抗
VmVQUUU
R
Q
CL 5.22 5 0 025100
100
50
5 0 0 0
00 ??????
?? ?品质因数
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院
4.通频带
电流的频率特性曲线又称 电流谐振曲线,两个截止角频
率的差值定义为电路的通频带 Bw
0 ? 0 ?
I
0
I
?
1
?
2
12 ?? ??WB
RBQ W
0
12
00 ?
??
?? ?
???
品质因数为
注,Q具有电路的选择性,Q越大幅频特性曲
线越尖锐,选择性越好,但通频带过窄,所以
Q值不是越大越好,要取得合适,二者要兼顾。
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
3.6 RLC并联电路分析
i
C
+
－
u
LG
iG iL iC
(a)
i
+
－
G
G L C
(b)
I
.
I
.
I
.
－ jBL jBCU
.
下图为 RLC并联电路：
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
CX C ?
1?? CB
C ??
容抗,容纳：
LXL ??感抗：
LB L ?
1??感纳：
（容抗的导数）
（感抗的导数）
? ? YUUjBGUBBjGIII LC,....,)()( ????????
2222 )( LCGBG IIIIII ?????
其中 B=BC— BL称为电纳，
复阻抗,Z 复导纳：
ZY
1? （复阻抗的导数）
由电路得：
|Y|和 φ′分别称为复导纳的模和复导纳的幅角。
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
G
B
BG
ar c t an'
22
?
???
?
电路的三种性质
(1) 当 ωC>1/ωL时,B>0,φ′>0,IC>IL,超前电压
90°, 端口电流超前电压。 电路呈容性。
(2) 当 ωC<1/ωL时,B<0,φ′<0,Ｉ Ｃ <IＬ,
滞后电压 90°, 端口电流滞后电压。电路呈
感性。
（ 3） 当 ωC=1/ωL时,B=0,φ′=0,IC=IL。
IB=0,Y=G,I=IG,端口电流与电压同相,电
路呈阻性。称为并联谐振。
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
3.7 正弦稳态电路的功率
Z
U
.
I
,一、瞬时功率 p
)]2c o s ([ c o s
)]c o s ()[ c o s (
2
1
2
s i n)s i n (2`
s i n2)s i n (2
)s i n (2
s i n2
???
??????
???
???
??
?
???
???????
???
????
??
?
tUI
ttttUI
ttUI
tItUuip
tUu
tIi
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
二、有功功率 P
RIIUP
IUPUIP
UIUIP
UI
dttUI
T
dtUI
T
dttUI
T
pdt
T
P
R
RR
TT
TT
2
00
00
c o s
c o s
c o s
)]2c o s ([
1
)c o s(
1
)]2c o s ([ c o s
11
??
???
??
?
???
????
??
??
?
??
?
???
???
三、无功功率 Q
CL QQQ
UIQ
??
? ?s in
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
四、视在功率 S
UIS ?
五、功率因数
S
P?? ?? c o s
单位：伏 ·安 (V·A),常用的单位还有千伏 ·安 (kV·A)
22
222
QPS
QPS
??
??
S
Q
P
?
功率三角形
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
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术
学
院
六、最大功率传输
Z
S
Z
L
＋
－
U
S
.
I
.
)()(
..
.
LSLS
S
LS
S
XXjRR
U
ZZ
UI
??????
22 )()(
LSLS
S
XXRR
UI
????
22
2
2
)()( LSLS
LS
LL XXRR
RURIP
?????
只改变 XL,保持 RL不变,当 XS+XL=0 时，
即 XL=－ XS,PL可以获得最大值
sss jXRZ ?? LLL jXRZ ??
令
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
2
2
)( LS
LS
L RR
RUP
??
改变 RL,使 P L获得最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
得 RL=RS
所以负载获得最大功率的条件为
SL
SL
RR
XX
?
??
ssSL jXRZZ ???
?即
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
最大功率为
S
S
R
UP
4
2
m a x ?
例,一 R,L串联的电感线圈，用电压表测端口的电压为
50V，电流表读数为 1A，功率表的读数为 30W，工频情
况下求 R, L值。
解,
???
??
????
13.53)
50
30
a r c c o s (
30c o s
50
1
50
?
?UIp
I
U
Z
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
mHL
R
jZ
127
40
30
)4030(13.5350
??
??
????? ?
?
mHL
L
I
U
LRZ
RRIP
127
40
403050
50)(
3030
22
22
2
???
??????
????
?????
?
?
?
另解：
第三章 正弦交流电路
安
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业
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术
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院
小 结
1,正弦量的三要素及其表示
振幅值 Im值 (有效值 I),角频率 ω(或频率 f及周期 Ｔ ),初相 φ
是正弦量的三要素 。
根据正弦量的三要素, 它也可以用波形图来表示 。
相量只体现了三要素的两个要素 。
２,电路基本元件的相量式
....
....
....
CCCCCC
LLLLLL
RRRR
UjBIIjXU
UjBIIjXU
UGIIRU
????
???
??
第三章 正弦交流电路
安
徽
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业
技
术
学
院
3．复阻抗与复导纳
无源二端网络或元件,在电压电流关联参考方向下,二者
?/
.
.
..
..
Z
I
U
Z
UYI
IZU
??
?
?
uiiu
U
I
Y
I
U
Z
Y
I
U
ZY
??????
?
??????
????
'
.
.
,;,
/
第三章 正弦交流电路
安
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4,相量法
将正弦电路的激励和响应用相量表示, 每一个无源的二端网
络 (包含无源的二端元件 )用阻抗或导纳表示, 那么直流电路的分
析计算方法可以类推到正弦交流电路 。 首先要把原来的正弦电路
参数的模型用相量模型表示 。 然后选用合适的方法分析计算 。
５, 功率
UIQPS
UIUIIUQ
UIUIIUP
Rr
aa
???
???
???
22
s i n
co s
?
?
６, 谐振
电感线圈与电容器串联和并联组成的谐振电路,固有角频率
LC
1
0 ??
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
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院
串联谐振时,阻抗最小。
并联谐振时,网络阻抗最大或接近最大。
安
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职
业
技
术
学
院
3.1 正弦交流电路的基本概念
3.2 正弦量的相量表示
3.3 交流电路的常用元件
3.4 复阻抗
3.5 RLC串联电路分析
3.6 RLC并联电路分析
3.7 正弦稳态电路的功率
第三章 正弦交流电路
安
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业
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术
学
院
3.1 正弦交流电路的基本概念
以正弦电流为例,对于给定的参考方向,正弦量的
一般解析函数式为
i(t)=I m sin(ωt+φ)
一,正弦量的三要素
1.振幅（最大值）
正弦量瞬时值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。 用
大写字母带下标,m”表示,如 Um,Im等。
正弦交流电,各量（电压、电流、电动势）随时间按正
弦规律变化。
第三章 正弦交流电路
安
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职
业
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学
院
fT ??? 22 ??
其中,T”表示正弦量变化一周所需的时间，称为周期。 单位为秒 (s)。
,f”表示正弦量每秒钟变化的周数，称为频率 。 单位为赫兹
(Hz)。
f=50 Hz，称为我国的工业频率，简称“工频”。
周期和频率互成倒数,即
Tf
1?
3,初相
i(t)=I m sin(ωt+φ),正弦量解析式中的 ωt+φ称为相位角 。
t=0时,相位为 φ,称其为正弦量的初相 。
2,角频率 ω
角频率 ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数,即
单位为 rad/s或 1/s
第三章 正弦交流电路
安
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业
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院
u
0
?
U
m
??
? ?? tT
2
( ) ?? T ?
如下图正弦量的三要素：幅值为 Um、
角频率为
初相为０
fT ??? 22 ??
二、相位差
相位差指两个同频率正弦量的相位之差。
如：
第三章 正弦交流电路
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两个同频率的正弦量
u 1(t)=U 1m sin(ωt+φ1)
u 2(t)=U 2m sin(ωt+φ 2)
φ12 =(ωt+φ 1 )―(ωt+ φ2 )= φ1 ― φ2相位差
相位差＝初相之差由此得：
同频率正弦量的几种相位关系：
（１）超前关系
φ12= φ 1 -φ 2>0且 |φ12|≤π弧度，称第一量超前第二量
第三章 正弦交流电路
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（２）滞后关系
φ12= φ 1 -φ 2 <0且 |φ12|≤π弧度，称第一量滞后第二量，
即，称第二量超前第一量。
φ12= φ 1 -φ 2 =0,称这两个正弦量同相。
（３）同相关系
（４）反相关系
φ12= φ 1 -φ 2 ＝ π,称这两个正弦量反相。
例：判断下图正弦量的相位关系：
第三章 正弦交流电路
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( a ) ( b ) ( c ) ( d )
? ? t ? ? t ? ? t? ? t0 0 0 0
i
i
u
u u
u
1
u
2
i
i
2
i
1
iu
i
u
?
u
?
i
?
1
?
2
?
1
?
2
?
2
解,(a)u和 i同相；
(b)u1超前 u2；
(c)i1和 i2反相；
(d)u和 i正交。
第三章 正弦交流电路
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三、正弦量的有效值
一直流电流 I和一交流电流 i分别通过同一电阻 R,在同一
个周期 T内所产生的热量相等,那么这个直流电流 I的
数值就叫做交流电流 i的有效值。
?
?
?
?
?
?
T
T
T
dtu
T
U
dti
T
I
dtRiRTI
0
2
0
2
0
22
1
1由此得出
交流电流的有效值为
同理,交流电压的有效值为
正弦交流电流的有效值为
第三章 正弦交流电路
安
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业
技
术
学
院
2
)0(
2
)2c o s(
2
2
2c o s1
s i n
1
2
0 0
2
0
2
0
22
m
I
T
T
I
t d tdt
T
I
dt
t
T
I
t d tI
T
I
m
T T
m
T
m
T
m
?????
?
??
? ?
??
?
?
?
m
m
m
m
U
U
U
I
I
I
707.0
2
707.0
2
??
??
由此得出有效值和最大值关系：
例,电压有效值为２２０ V，则最大值为：
VU m 3 1 122 2 0 ??
第三章 正弦交流电路
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3.2 正弦量的相量表示
用复数来表示正弦量方法叫正弦量的相量表示法。
)s in ()( 2 itt Ii ?? ??
设某正弦电流为
? ? ? ? ?
?
?
??
?
???
????
?
?
eImIeIemIemIi
IjIeI
tjtjjtj
ii
tj
ii
i tt
?????
??
????
.
)(
)(
222
222 )s i n ()c o s (复数
则
１、相量表示法
第三章 正弦交流电路
安
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正弦量的有效值用复数的模表示，
正弦量的初相用复数的幅角来表示。
该方法为相量表示法。
表示为：
i
tj IIeI i ??? ??? ? )(.
注：正弦量与相量一一对应。
相量图就是把正弦量的相量画在复平面上。
２、相量图
第三章 正弦交流电路
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例, 已知正弦电压 u1(t)=141 sin(ωt+π/3) V，
u2(t)=70.5 sin(ωt-π/6) V,写出 u1和 u2的相量,并画出相
量图。
VUu
VUu
3
50
32
5.70
3
1 0 0
32
1 4 1
.
22
.
11
??
??
????????
??????
相量图如图
解,
＋ 1
U
1
.
U
2
.
?
6
?
3
第三章 正弦交流电路
安
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院
3,两个同频率正弦量之和
设有两个同频率正弦量
)s i n (2)s i n ()(
)s i n (2)s i n ()(
22122
11111
????
????
????
????
tUtUtu
tUtUtu
m
m
方法：
(1) 写出相应的相量,并表示为代数形式。
(2) 按复数运算法则进行相量相加,求出和的相量。
(3) 作相量图,按照矢量的运算法则求相量和。
第三章 正弦交流电路
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例 4.7 uA(t)=220 sinωtV,uB(t)=220 sin(ωt—120° ) V,求
u A+uB和 uA—uB 。
解 (1) 相量直接求和 。
Vtuu
Vtuu
VjUUuu
VjUUuu
Vj
jUu
VjUu
BA
BA
BA
BA
BA
BA
B
B
A
A
)30( s i n23 8 0
)60( s i n22 2 0
603 8 031 1 03 3 0
602 2 031 1 01 1 0
31 1 01 1 0
)1 2 0s i n (2 2 0)1 2 0( c o s (2 2 01 2 02 2 0
02 2 002 2 0
0
0
0
..
0
..
000
.
0
.
/
/
/
/
???
???
???????
???????
???
????????
?????
?
?
2 2
本题还可以画相量图, 用用平行四边形法则来求 。
第三章 正弦交流电路
安
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3.3 交流电路的常用元件
一、纯电阻元件
i
R
u
R
R
R
ui R
R ?
RIU
R
U
I
tIt
R
U
R
u
i
tUu
RmRm
Rm
Rm
Rm
RmR
R
RmR
???
?????
??
或
)s i n ()s i n (
)s i n (
????
??
1.电流和电压的瞬时关系
若设
则
第三章 正弦交流电路
安
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院
0 ?? t
u
R
( a )
u
R
i
R
? ??
·
I
R
U
R
·
( b )
i
R
如图 (a)
2.电压与电流的相量关系
?
??
??
??
?
RR
RmR
II
tIi )s in (
第三章 正弦交流电路
安
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RIU
RIUU
tUu
RR
RRR
RmR
??
?
?
?????
??
??
?? )s i n (
相量图如图（ b）所示
3.电阻元件的功率
瞬时功率 p,元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘
积叫做该元件的瞬时功率。
有功功率 P：计算瞬时功率的平均值,即平均功率，
又叫有功功率。
功率的单位为瓦 (W）,工程上也常用千瓦（ kW）
第三章 正弦交流电路
安
徽
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业
技
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学
院
)2c o s1(
)2c o s1(
2
s i n
s i ns i n
2
tIU
t
IU
tIU
tItUiup
uip
RR
RmRm
RmRm
RmRmRRR
?
??
??
??
???
???
?
R
U
RIIUP
IUT
T
IU
dttdt
T
IU
dttIU
T
pdt
T
P
R
RRR
RR
RR
T T
RR
R
T T
R
2
2
0 0
0 0
)0(
)2c o s1(
)2c o s1(
11
???
???
??
???
? ?
? ?
?
?
瞬时功率
有功功率
第三章 正弦交流电路
安
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0 ? ?t
i
u
u,i
P
p
P
m
=U
m
I
m
P = P
m
= U I
1
2
p
例, 一只功率为 100W，额定电压为 220V 的电烙铁,
接在 380V的交流电源上,问此时它接受的功率为多少？
若接到 110V的交流电源上,它的功率又为多少？
电阻元件的功率曲线图
第三章 正弦交流电路
安
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院
解, 由电烙铁的额定值可得
WW
R
U
P
WW
P
U
P
P
U
R
R
R
R
10025
484
110
100298
484
380
484
100
220
22
2
22
1
22
????
????
????
电源电压为 380V时
接到 110 V的交流电源
所以两种情况都不能正常工作。
第三章 正弦交流电路
安
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院
二、纯电感元件
i
L
u
L L
1.电流和电压的瞬时关系
dt
diLu
L ?
)
2
s i n (
)c o s (
))s i n ((
)s i n (
iLm
iLm
iLm
L
iLmL
tLI
tLI
dt
tId
Lu
tIi
?
?
??
???
??
??
???
??
?
?
??
LIU LmLm ??
若设
fLLX
X
U
L
UIXILIU
L
L
lL
LLLLL
??
?
?
2??
???? 或
则
第三章 正弦交流电路
安
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院
电流和电压之间的相位关系为正交，即电压超前电流
2.电压与电流的相量关系
0
i
? 2 ?
?? t
u
C
i
C
u
2
??? ??
ui
iLL
iLmL
II
tIi
?
??
??
??
?
)s in (
XL称为感抗,单位为 Ω
第三章 正弦交流电路
安
徽
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业
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院
U
.
I
.
LLLL
iLiLL
iLmL
IjXILjU
LIjLIU
tLIu
???
?
??
?????
???
?
??
?
??
?
?
??
2
)
2
s i n (
相量图如图
第三章 正弦交流电路
安
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业
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学
院 tUI
tUI
tItUiup
tUu
tIi
LL
LmLm
LmLmLL
LmL
LmL
?
?
?
?
?
?
?
?
2s i n
2s i n
2
1
s i n)
2
s i n (
)
2
s i n (
s i n
?
?
?????
??
?
有功功率
?? ??? T LLT dttiuTdtpTP 00 02s i n11 ?
瞬时功率
LL LIW
2
2
1?电感元件中储存的磁场能量：
3.电感元件的功率
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
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院
无功功率Ｑ L,电感元件上电压的有效值和电流的有效
值的乘积。
L
L
LLLLL X
UXIIUQ 22 ???
0
u
L
, i
L
, p
L
u
L
p
＋ ＋
－
－
i
L
t
4
T
4
T
4
T
4
T
无功功率的单位为“乏”（ var）,工程中也常用“千乏”
（ kvar）
电感元件的功率曲线图
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
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院
Ati L )30314s i n (210 ???例
无功功率 QL=500var
求 (1) XL和 L
(2) 电感元件中储存的最大磁场能量 WLm。
为流过电感元件中的电流，
JLIW
mH
X
L
I
Q
X
Lm
Lm
L
L
L
59.1)210(109.15
2
1
2
1
9.15
3 1 4
5
5
10
5 0 0
232
22
??????
???
????
?
?
解 (1)
(2)
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
学
院
三、纯电容元件
1.电流和电压的瞬时关系
i
C
u
C C
dt
duCi C
C ?
若设 )s in ( uCmC tUu ?? ??
)
2
s i n ()
2
s i n (
)
2
s i n ()c o s (
?
??
?
??
?
??????
??????
??????
uCmuCmC
uCmuCm
C
C
tItIi
tCUtCU
dt
du
Ci
CmCm
iCmuCmC
CUI
tItIi
?
??
?
??
?
????? )s i n ()
2
s i n (
第三章 正弦交流电路
安
徽
职
业
技
术
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院
fCC
X
X
U
C
U
CUI
C
C
CC
CC
??
?
?
2
11
1
??
???
XC称为容抗,单位为 Ω。
电流和电压之间的相位关系为正交，即电流超前电压
0
i
? 2 ?
?? t
u
C
i
C
u
2
??? ??
ui
第三章 正弦交流电路
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2.电压与电流的相量关系
C
CC
C
C
uCu
C
C
uC
C
uCmC
uC
C
uCmC
jX
U
IIjXU
CU
X
U
II
tIi
UU
tUu
?
???
?????????
???
??
??
?
???
?
?
或
222
)
2
s i n (
)s i n (
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
相量图如图
U
.
I
.
第三章 正弦交流电路
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3.电容元件的功率
瞬时功率
tIUtItUiup CCCmCmCC ???? 2s i n)2s i n (s i n ?????
02s i n111 0 00 ???? ? ?? dttiuTp d tTp d tTP T T CCT ?
有功功率
C
C
CCCCC X
UXIIUQ 22 ??????
无功功率
QC和 QL一样,单位也是乏（ var）或千乏 (kvar)。
第三章 正弦交流电路
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u
C
, i
C
u
C
p
p
i
C
t
＋
＋
－ －
4
T
4
T
4
T
4
T
0
电容元件的功率曲线图
电容元件储存电场能量：
2
2
1
CC CuW ?
第三章 正弦交流电路
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3.4 复阻抗
i
u
I
UZZ
I
U
?
?? ???
?
?
|Z|称为该电路的阻抗，是复阻抗的模。
iu
I
UZ
??? ??
?
Z是一个复数,所以又称为复阻抗
φ为阻抗角，是复阻抗的幅角
复阻抗、阻抗的单位都为 Ω。
Z是一个复数,所以又称为复阻抗
第三章 正弦交流电路
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jXRZ ??
复阻抗的另一形式
R
X
XRZ
ar c t an
22
?
??
?
它们之间符合阻抗三角形。
Z的实部为 R,称为“电阻”,Z的虚部为 X,称为“电抗”，
?
R
X| Z |
阻抗三角形
第三章 正弦交流电路
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3.5 RLC串联电路分析
一、电路分析
CC
LL
R
jXIU
jXIU
RIU
II
??
??
??
?
??
?
?
??? 0
＋
－
u
i + －uR
R
C
L
－ +uC
+
－
uL
(a)
＋
－
+ －R
R
－ +
C
+
－
L
(b)
U
.
I
,U.
U
.
U
.
jXL
jXC－
第三章 正弦交流电路
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ZIjXRIU
XXjRI
jXIjXIRI
UUUU
CL
CL
CLR
???
?
???
????
???
???
???
???
)(
)]([
电路的性质
1,电感性电路, XL>XC,X>0,UL>UC。
0a r c t a n ?? RX?
阻抗角
2,电容性电路, XL<XC
此时 X<0,UL<UC。 阻抗角 φ <0。
3,电阻性电路, XL=XC,此时 X=0,UL=UC。
阻抗角 φ=0。
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( a )
U
L
?
.
U
C
.
U
.
U
R
.
I
.
U
C
?
.
U
L
.
U
.
U
R
.
I
.
( b ) ( c )
U
L
.
U
C
.
I
.U
R
＝ U
.,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
U
X
＝ U
L
＋ U
C
.,,
RLC串联电路的相量图
二、串联谐振 i
u
R
L
C
＋
－
总电压 U和总电流 I同相，即 X=XL-XC=0时,
电路相当于“纯电阻”电路,
此时称为串联“谐振”。
1,谐振条件
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2.谐振角频率
CL XX ?
CL ??
1?
当电路 L,C一定时,有
LC
ff
LC
?
??
2
1
1
0
0
??
??
ω0和 f 0称为固有角频率
3.品质因素
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（ 1） 电路的阻抗最小
RXXRZZ CL ????? 2200 )(
（ 2） 电感电压和电容电压远大于端口电压
串联谐振时,网络的感抗和容抗相等为
??? ???? CLLLCLL 11
0
0
ρ叫做特性阻抗，只与网络的 L,C有关，单位为 (Ω)
Q
C
L
RCRR
L
R
RIUIRUU R
????
???
11
,
0
0
00
...
?
??
Q叫做网络的品质因数，只和网络 R,L,C的参数有关。
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例,串联谐振电路中,U=25 mV,R=5 Ω,L=4 mH，
C=160 pF，求电路的 f 0,I 0,ρ,Q和 U C0。
解 谐振频率
k H zLCf 200101601042 12 1 1230 ?????? ????
??
?
?
????
????
?
?
5 0 0 0
101 6 0
1041
5
25
12
3
0
0
0
C
L
C
L
m
R
U
I
?
??
端口电流
特性阻抗
VmVQUUU
R
Q
CL 5.22 5 0 025100
100
50
5 0 0 0
00 ??????
?? ?品质因数
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4.通频带
电流的频率特性曲线又称 电流谐振曲线,两个截止角频
率的差值定义为电路的通频带 Bw
0 ? 0 ?
I
0
I
?
1
?
2
12 ?? ??WB
RBQ W
0
12
00 ?
??
?? ?
???
品质因数为
注,Q具有电路的选择性,Q越大幅频特性曲
线越尖锐,选择性越好,但通频带过窄,所以
Q值不是越大越好,要取得合适,二者要兼顾。
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3.6 RLC并联电路分析
i
C
+
－
u
LG
iG iL iC
(a)
i
+
－
G
G L C
(b)
I
.
I
.
I
.
－ jBL jBCU
.
下图为 RLC并联电路：
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CX C ?
1?? CB
C ??
容抗,容纳：
LXL ??感抗：
LB L ?
1??感纳：
（容抗的导数）
（感抗的导数）
? ? YUUjBGUBBjGIII LC,....,)()( ????????
2222 )( LCGBG IIIIII ?????
其中 B=BC— BL称为电纳，
复阻抗,Z 复导纳：
ZY
1? （复阻抗的导数）
由电路得：
|Y|和 φ′分别称为复导纳的模和复导纳的幅角。
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G
B
BG
ar c t an'
22
?
???
?
电路的三种性质
(1) 当 ωC>1/ωL时,B>0,φ′>0,IC>IL,超前电压
90°, 端口电流超前电压。 电路呈容性。
(2) 当 ωC<1/ωL时,B<0,φ′<0,Ｉ Ｃ <IＬ,
滞后电压 90°, 端口电流滞后电压。电路呈
感性。
（ 3） 当 ωC=1/ωL时,B=0,φ′=0,IC=IL。
IB=0,Y=G,I=IG,端口电流与电压同相,电
路呈阻性。称为并联谐振。
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3.7 正弦稳态电路的功率
Z
U
.
I
,一、瞬时功率 p
)]2c o s ([ c o s
)]c o s ()[ c o s (
2
1
2
s i n)s i n (2`
s i n2)s i n (2
)s i n (2
s i n2
???
??????
???
???
??
?
???
???????
???
????
??
?
tUI
ttttUI
ttUI
tItUuip
tUu
tIi
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二、有功功率 P
RIIUP
IUPUIP
UIUIP
UI
dttUI
T
dtUI
T
dttUI
T
pdt
T
P
R
RR
TT
TT
2
00
00
c o s
c o s
c o s
)]2c o s ([
1
)c o s(
1
)]2c o s ([ c o s
11
??
???
??
?
???
????
??
??
?
??
?
???
???
三、无功功率 Q
CL QQQ
UIQ
??
? ?s in
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四、视在功率 S
UIS ?
五、功率因数
S
P?? ?? c o s
单位：伏 ·安 (V·A),常用的单位还有千伏 ·安 (kV·A)
22
222
QPS
QPS
??
??
S
Q
P
?
功率三角形
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六、最大功率传输
Z
S
Z
L
＋
－
U
S
.
I
.
)()(
..
.
LSLS
S
LS
S
XXjRR
U
ZZ
UI
??????
22 )()(
LSLS
S
XXRR
UI
????
22
2
2
)()( LSLS
LS
LL XXRR
RURIP
?????
只改变 XL,保持 RL不变,当 XS+XL=0 时，
即 XL=－ XS,PL可以获得最大值
sss jXRZ ?? LLL jXRZ ??
令
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2
2
)( LS
LS
L RR
RUP
??
改变 RL,使 P L获得最大值的条件是
0?
L
L
dR
dP
得 RL=RS
所以负载获得最大功率的条件为
SL
SL
RR
XX
?
??
ssSL jXRZZ ???
?即
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最大功率为
S
S
R
UP
4
2
m a x ?
例,一 R,L串联的电感线圈，用电压表测端口的电压为
50V，电流表读数为 1A，功率表的读数为 30W，工频情
况下求 R, L值。
解,
???
??
????
13.53)
50
30
a r c c o s (
30c o s
50
1
50
?
?UIp
I
U
Z
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技
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院
mHL
R
jZ
127
40
30
)4030(13.5350
??
??
????? ?
?
mHL
L
I
U
LRZ
RRIP
127
40
403050
50)(
3030
22
22
2
???
??????
????
?????
?
?
?
另解：
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小 结
1,正弦量的三要素及其表示
振幅值 Im值 (有效值 I),角频率 ω(或频率 f及周期 Ｔ ),初相 φ
是正弦量的三要素 。
根据正弦量的三要素, 它也可以用波形图来表示 。
相量只体现了三要素的两个要素 。
２,电路基本元件的相量式
....
....
....
CCCCCC
LLLLLL
RRRR
UjBIIjXU
UjBIIjXU
UGIIRU
????
???
??
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3．复阻抗与复导纳
无源二端网络或元件,在电压电流关联参考方向下,二者
?/
.
.
..
..
Z
I
U
Z
UYI
IZU
??
?
?
uiiu
U
I
Y
I
U
Z
Y
I
U
ZY
??????
?
??????
????
'
.
.
,;,
/
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技
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4,相量法
将正弦电路的激励和响应用相量表示, 每一个无源的二端网
络 (包含无源的二端元件 )用阻抗或导纳表示, 那么直流电路的分
析计算方法可以类推到正弦交流电路 。 首先要把原来的正弦电路
参数的模型用相量模型表示 。 然后选用合适的方法分析计算 。
５, 功率
UIQPS
UIUIIUQ
UIUIIUP
Rr
aa
???
???
???
22
s i n
co s
?
?
６, 谐振
电感线圈与电容器串联和并联组成的谐振电路,固有角频率
LC
1
0 ??
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串联谐振时,阻抗最小。
并联谐振时,网络阻抗最大或接近最大。
