第六章 动态电路分析
安
徽
职
业
技
术
学
院
6.1 换路定律和初始条件的计算
6.2 一阶电路的零输入响应
6.3 一阶电路的零状态响应
6.4 一阶电路的全响应
小结
第六章 动态电路分析
安
徽
职
业
技
术
学
院
§ 6.1 换路定律和初始条件的计算
一、过渡过程的概念：
过渡过程,当电路含有储能元件（如电感、电容），
且电路的结构或元件参数发生变化时，可能使电路从一
种稳态变到另一种稳态，这种转变需要一个过程，这个
过程称为电路的过渡过程，也称暂态过程，简称暂态。
C
电路处于一种稳态
S R
E+_
Cu
开关 S闭合后，电路
处于另一种稳态
R
E+_
Cu
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业
技
术
学
院
二、换路定理：
在电路理论中，通常把电路状态的改变（如通电、断电、
短路、电信号突变、电路参数的变化等）,统称为 换路 。
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
LL
CC
ii
uu
换路定理,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流
不能突变。即：
式中, 0+表示换路前稳态终了瞬间
0－ 表示换路后暂态起始瞬间
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技
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三、初始值的计算：
方法：
1,作出 t=0-时的等效电路，求出 uC(0—)和 iL(0—)
2,根据换路定律确定出 uC(0+)及 iL(0+)；
3,用电压为 uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代
原电路中 C和 L的位置，可得 t=0+
4,以 t=0+时的等效电路求出相关初始值。
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例 1,如图（ a）所示电路中,t=0时刻开关 S闭合，换路前
电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。
＋
－
10V i
CR3
3 W
+ －
4 W
uR1
R1
－
+ +
6W
－
R2
iL
+
－
uL
uR2
S(t＝ 0)
i
(a)
uR3
C +
－ uC
L
解, （ 1）根据题中所给定条件，换路前电路无储能，故
0)0()0(
0)0()0(
??
??
??
??
LL
CC
ii
uu
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（ 2） 作 t=0+时的等效电路如图 （ b） 所示, 这时电
感相当于短路, 电容相当于开路 。 则有：
Vuu
u
ViRu
ViRu
ii
RC
R
LR
R
L
6)0()0(
0)0(
616)0()0(
414)0()0(
1
64
10
)0()0(
2
3
2
1
2
1
??
?
????
????
??
?
??
??
?
??
??
??
+
－
10 V 3 W
+ －
4 W
uR1（ 0+）
－
+
+
6 W
－
＋
+
－
(b)
R1 R2
R3
uR3（ 0+）
uR2（ 0+）
iL（ 0+）
uC（ 0+）
i（ 0+）
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例 2,如图（ a）所示电路中，已知 Us=12V,R1=4kΩ，
R2=8kΩ,C=1μF，开关 S原来处于断开状态，电容上电压
uC(0-)=0。求开关 S闭合后，各电流及电容电压的初始值。
S
US
＋
－
C uC
iC
R1 i1
R2
i2
(a)
解, 假设有关参考方向如图所示 。
（ 1） 由换路定律可知：
uC(0+)=uC(0-)=0
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（ 2） 画出 t=0+时的等效电路, 如图 （ b） 所示 。 电容相当
于开路 。 故有：
mARR Uii S 11012 120)0( 3
21
21 ?????? ?? ）（
US
＋
－ C
uC (0＋ )
iC (0＋ )
R1 i1 (0＋ )
R2
i2 (0＋ )
(b)
ViRuu RC 8000 222 ???? ??? ）（）（）（
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§ 6.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路, 可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路
（ 一阶电路中一般仅含一个储能元件 。）
零输入响应,在无外加电源输入的条件下，由非零初始
态（ 储能元件的储能 ）引起的响应，称为零输入响应。
一,RC电路的零输入响应
1
U
+
-
K
2 R
t=0
C
Cu
iC
iCR +UC = 0
由于
dt
duCi C?
当 K与,2”接通后，电路方程为：
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这是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学
知识可得该方程的解，也就是该电路的零输入响应为：
0?? CC u
dt
duRC
可得：
?
t
oC eUtu
??)(
式中,为电路的时间常数，单位为,秒
电路的电流为：
RC??
?
??
??? eRUdtduCti oC)(
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电压 uC(t),uR(t)和电流 i(t)随时间变化的曲线如图所示，
它们都是同样按指数规律衰减的。
0.368U0
0 ? t
(a )
U0
uC （ uR） i
0.368U0/R
0 ? t
(b )
U0/R
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现以电容电压 uC(t)为例来说明时间常数 τ的意义。将 t=τ,2τ、
3τ,…等不同时间的响应 uC值列于下表中。
u
C
U
o
0, 3 6 8 U
o
0 ?
1
t?
2
?
3
?
1
＜ ?
2
＜ ?
3
时间常数 τ的大小反映了电路过渡过程的快慢
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ … ∞
UC（ t） U0 0.368 U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0 0.007U0 … 0
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC为 0。
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例 1：如图所示电路原已稳定，试求开关 S断开后
的电容电压 uC。
解, 换路前电容相当于开路，则有：
+ 3kΩ 4kΩ
6kΩ
S（ t=0）
10μ F-
90V
+
-
uC
Vu C 6036 6900 ????? ）（
根据换路定理有：
Vuu CC 6000 ?? ?? ）（）（
时间常数为：
sRC 1.010101064 63 ??????? ?）（?
所以电容电压为：
Veetu ttC 106060 ?? ?? ?）（
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二,RL电路的零输入响应
如图所示，根据 KVL可得：
＋
－
US
1 S(t＝ 0)
2
R
R0
L
iL
0?? LL Riu
dt
diLu L
L ?
而电感元件的电压、电流关系为：
代入上式，可得：
0?? LL RidtdiL
这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，同样可求
得。电感电流的零输入响应为：
?
t
L
tLR
LL eieiti
?
?
?
? ?? ）（）（ 00)(
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?
?
t
L
L
L
t
LLR
eRi
dt
di
Ltu
eRiRitu
?
?
?
?
???
??
）（
）（
0)(
0)(
电阻和电感上的电压分别为：
式中,为电路
的时间常数，单位为,秒R
L??
RL电路零输入响应
曲线如图所示。
u, i
I
o
RI
o
0
－ RI
o
u
R
i
L
u
L
t
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§ 6.2 一阶电路的零状态响应
零状态响应,在所有储能元件的储能为零的情况下，仅
由外加电源输入引起的响应。
RS
+
_ C Cu
U
一,RC电路的零状态响应
t=0 时开关 S合上，电路方程为：
iCR + uC = U
由于
dt
duCi C?
可得：
Uu
dt
duRC
C
C ??
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这是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数
学知识可得该方程的解，也就是该电路的零状态响应为：
）（）（）（ ???
t
C
tt
C eueUUeUu
??? ??????? 11
式中,为电路的时间常数，单位为,秒RC??
充电电流 i(t)和电阻电压 uR(t)为
?
?
t
R
t
C
UeRitu
e
R
U
dt
du
Cti
?
?
??
??
)(
)(
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院 0
uR
t
U
uR
i
U
R
(b)
i
0
uC
t
U
(a)
电压 uC(t),uR(t)和电流 i(t)随时间变化的曲线如图所示。
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例 2,如图所示电路,t=0时开关 S闭合。已知 uC(0_)=0，求
t≥0时的 uC(t),iC(t)和 i(t)。
uC
+
－
15 V
i
6 kW
3 kW iC
+
－
S(t＝ 0)
C
5 mF
解, 因为 uC(0_)=0，故换路后电路
属于零状态响应。因为电路稳定后，
电容相当于开路，有：
sRC
Vu C
363 101010510
63
63
1015
63
6
)(
?? ?????
?
?
??
??
?
??
?
则：
????
???
??
?
?
?
me
tu
ti
me
dt
du
Cti
Vetu
tC
C
tC
C
t
C
)1(
3
5
6
)(
)(
5)(
)1(10)(
10 0
10 0
10 0
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二,RL电路的零状态响应
＋
－
U
+ －uR
R
+
－
uL
iL
L
S(t＝ 0)如图, S闭合后, 根据 KVL，
有：
UdtdiLRi LL ??
这也是一个常系数一阶线性
非齐次微分方程，同样可求得。
电感电流的零状态响应为：
)1()( ??
tt
L eR
Ue
R
U
R
Uti ?? ????
式中,为电路的时间常数，单位为,秒
R
L??
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电感电压 uL(t)和电阻电压 uR(t)分别为：
)1()(
)(
?
?
t
LR
t
L
L
eURitu
Ue
dt
di
Ltu
?
?
???
??
0
iL
t(a)
U
R
0 t
uR
(b)
uL
U
uLuR,
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§ 6.3 一阶电路的全响应
全响应,当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时,
电路中所产生的响应。
uC
+
－
U
+
－
S(t＝ 0)
C
R
UudtduRC CC ??
?
t-
0 ][ eUUUu C ???
则全响应为,
可见，电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量
之和。即：
全响应 =稳态分量 +
式中, ）（ ?? 00 CuU
一、全响应的两种分解
如图有,
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稳态分量
全响应
暂态分量
uC
U
U0
0 t
U0－ U
下图给出了 U＞ U0时,uC随时间变化的曲线 。
??
tt
sC eUeUu
?? ???
0)1(
上式的全响应还可以写成：
上式中 是电容初始值电压为零时的零状态
响应,是电容初始值电压为 U0时的零输入响应 。
故又有,
)1( ?
t
s eU
??
?
t
eU ?0
全响应 =零状态响应 +零输入响应
?
t-
0 ][ eUUUu C ???
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二、一阶电路的三要素法
稳态值, 初始值和时间常数称为一阶电路的三要素,
通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应 。 这种方法
称为三要素法 。
若全响应变量用 f(t)表示，则全响应可按下式求出：
?
t
effftf ?? ????? )]()0([)()(
三要素的计算：
1.初始值 f(0+)。
（ 1）求出电容电压 uC（ 0-）或电感电流 iL(0-)
（ 2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值
i(0+)或 u(0+),即 f(0+)。
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2.稳态值 f(∞)。作换路后 t=∞时的稳态等效电路，求
取稳态下响应电流或电压的稳态值 i(∞)或 u(∞),即 f(∞) 。
作 t=∞电路时,电容相当于开路 ;电感相当于短路。
3.时间常数 τ。 τ=RC或 L/R，其中 R值是换路后断开储
能元件 C或 L,由储能元件两端看进去,用戴维南等效电
路求得的等效内阻。
注意,三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或
高阶电路是不适用的。
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例 1：如图所示电路原已稳定,t=0时开关 S闭合，
试求电感电压 uL。
解 （ 1）求初始值,作 t=0–等效电路如图（ b）所示。则有：
Vii LL 2321 200 ????? ?? ）（）（
（ b）
3A L
Li
W2 W1
W2
t=03A
L
Lu
S R2
R1 R3
IS 2W
2W 1W
1H
（ a）
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作 t≥0时的电路如图（ c）所示，则有：
Lu
R1 R3
2A
R2
（ c）
VRRR RRiu LL 400 3
21
21 ???
???? ?? ）（）（）（
（ 3）求时间常数：
W????? 23
21
21 R
RR
RRR等效电阻为：
sRL 5.021 ?????
时间常数为：
（ 2）求稳态值：
画 t=∞时的等效电路,如图 (d)所示。
Lu
R1
R2
R3
（ d）
0?? ）（ Lu
所以，全响应为：
Veeuuutu t
t
CCCC
24]0[ ??
? ???????
?）（）（）（）（
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例 2：如图（ a）所示电路，在 t=0时开关 S闭合,S
闭合前电路已达稳态。求 t≥0时 uC(t) 和 iC (t) 。
解,（ 1）求初始值 uC(0+) 。作
t=0—时的等效电路如图（ b）所
示。则有,S（ t=0）
2μ F
+
－
uC
+
－
20 V
( a )
iC
4kΩ
4kΩ
2kΩ
Vuu CC 20)0()0( ?? ??
+
－
uC（ 0－ ）
+
－
20 V
( b )
4kΩ 2kΩ
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作 t=0+等效电路如图 （ c） 所示 。 列出网孔电流方程：
20)0(6)0(4
20)0(4)0(8
????
??
??
??
C
C
ii
ii
+
－
+
－
20 V
(c )
iC（ 0+）
4kΩ
4kΩ
2kΩ
20 V
i（ 0+）
???? mi C 5.2)0(
可得：
（ 2）求稳态值 uC(∞),iC(∞) 。作 t=∞时稳态等效电路如图（ d）所
示，则有：
0)(
1020
44
4
)(
??
??
?
??
C
C
i
Vu
+
－
+
－
20 V
(d)
uC（ ∞ ）
4kΩ
4kΩ
2kΩ
iC（ ∞ ）
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（ 3）求时间常数 τ。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：
sRC
kR
363 108102104
4
44
442
?? ???????
W?
?
???
?
(4) 根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：
Veetu ttC )1(10)1020(10)( 1 2 51 2 5 ?? ?????
??? ? meti tC 1255.2)(
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小 结
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
CC
LL
uu
ii
利用换路定律和 0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。
2.一阶电路的零输入响应
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产
生的响应。其形式为：
?teftf ??? )0()(
1.换路定理
在电路理论中,通常把电路状态的改变（如通电、断电、短
路、电信号突变、电路参数的变化等）,统称为换路。换路前后瞬
间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：
式中,f(0+)是响应的初始值,τ是电路的时间常数。
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3,一阶电路的零状态响应
零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。
其形式为,
)1)(()( ?teftf ????
式中,f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生
的响应。其两种分解为：
? ? )()()0()(
)1)(()0()(
?????
????
?
?
?
?
?
fefftf
efeftf
t
tt
?
?
?
(零输入响应 ) (零状态响应 )
(暂态响应 ) (稳态响应 )
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5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应 f(t),由初始值 f(0+)、稳态值 f(∞)和时间常数 τ三
要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电
源作用下的电路响应。全响应表达式为：
?
teffftf ?
? ????? )](0[)()( ）（
计算响应变量的初始值 f(0+)和稳态值 f(∞)，分别用 t=0+时的电路
和 t=∞时的电路解出。作 t=0+时的电路，将 uC(0+)和 iL(0+)分别视为电
压源和电流源。作 t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短
路。时间常数 τ中的电阻 R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路
电阻。
安
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6.1 换路定律和初始条件的计算
6.2 一阶电路的零输入响应
6.3 一阶电路的零状态响应
6.4 一阶电路的全响应
小结
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§ 6.1 换路定律和初始条件的计算
一、过渡过程的概念：
过渡过程,当电路含有储能元件（如电感、电容），
且电路的结构或元件参数发生变化时，可能使电路从一
种稳态变到另一种稳态，这种转变需要一个过程，这个
过程称为电路的过渡过程，也称暂态过程，简称暂态。
C
电路处于一种稳态
S R
E+_
Cu
开关 S闭合后，电路
处于另一种稳态
R
E+_
Cu
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安
徽
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二、换路定理：
在电路理论中，通常把电路状态的改变（如通电、断电、
短路、电信号突变、电路参数的变化等）,统称为 换路 。
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
LL
CC
ii
uu
换路定理,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流
不能突变。即：
式中, 0+表示换路前稳态终了瞬间
0－ 表示换路后暂态起始瞬间
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三、初始值的计算：
方法：
1,作出 t=0-时的等效电路，求出 uC(0—)和 iL(0—)
2,根据换路定律确定出 uC(0+)及 iL(0+)；
3,用电压为 uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代
原电路中 C和 L的位置，可得 t=0+
4,以 t=0+时的等效电路求出相关初始值。
第六章 动态电路分析
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业
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例 1,如图（ a）所示电路中,t=0时刻开关 S闭合，换路前
电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。
＋
－
10V i
CR3
3 W
+ －
4 W
uR1
R1
－
+ +
6W
－
R2
iL
+
－
uL
uR2
S(t＝ 0)
i
(a)
uR3
C +
－ uC
L
解, （ 1）根据题中所给定条件，换路前电路无储能，故
0)0()0(
0)0()0(
??
??
??
??
LL
CC
ii
uu
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（ 2） 作 t=0+时的等效电路如图 （ b） 所示, 这时电
感相当于短路, 电容相当于开路 。 则有：
Vuu
u
ViRu
ViRu
ii
RC
R
LR
R
L
6)0()0(
0)0(
616)0()0(
414)0()0(
1
64
10
)0()0(
2
3
2
1
2
1
??
?
????
????
??
?
??
??
?
??
??
??
+
－
10 V 3 W
+ －
4 W
uR1（ 0+）
－
+
+
6 W
－
＋
+
－
(b)
R1 R2
R3
uR3（ 0+）
uR2（ 0+）
iL（ 0+）
uC（ 0+）
i（ 0+）
第六章 动态电路分析
安
徽
职
业
技
术
学
院
例 2,如图（ a）所示电路中，已知 Us=12V,R1=4kΩ，
R2=8kΩ,C=1μF，开关 S原来处于断开状态，电容上电压
uC(0-)=0。求开关 S闭合后，各电流及电容电压的初始值。
S
US
＋
－
C uC
iC
R1 i1
R2
i2
(a)
解, 假设有关参考方向如图所示 。
（ 1） 由换路定律可知：
uC(0+)=uC(0-)=0
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院
（ 2） 画出 t=0+时的等效电路, 如图 （ b） 所示 。 电容相当
于开路 。 故有：
mARR Uii S 11012 120)0( 3
21
21 ?????? ?? ）（
US
＋
－ C
uC (0＋ )
iC (0＋ )
R1 i1 (0＋ )
R2
i2 (0＋ )
(b)
ViRuu RC 8000 222 ???? ??? ）（）（）（
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§ 6.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路, 可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路
（ 一阶电路中一般仅含一个储能元件 。）
零输入响应,在无外加电源输入的条件下，由非零初始
态（ 储能元件的储能 ）引起的响应，称为零输入响应。
一,RC电路的零输入响应
1
U
+
-
K
2 R
t=0
C
Cu
iC
iCR +UC = 0
由于
dt
duCi C?
当 K与,2”接通后，电路方程为：
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这是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学
知识可得该方程的解，也就是该电路的零输入响应为：
0?? CC u
dt
duRC
可得：
?
t
oC eUtu
??)(
式中,为电路的时间常数，单位为,秒
电路的电流为：
RC??
?
??
??? eRUdtduCti oC)(
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电压 uC(t),uR(t)和电流 i(t)随时间变化的曲线如图所示，
它们都是同样按指数规律衰减的。
0.368U0
0 ? t
(a )
U0
uC （ uR） i
0.368U0/R
0 ? t
(b )
U0/R
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现以电容电压 uC(t)为例来说明时间常数 τ的意义。将 t=τ,2τ、
3τ,…等不同时间的响应 uC值列于下表中。
u
C
U
o
0, 3 6 8 U
o
0 ?
1
t?
2
?
3
?
1
＜ ?
2
＜ ?
3
时间常数 τ的大小反映了电路过渡过程的快慢
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ … ∞
UC（ t） U0 0.368 U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0 0.007U0 … 0
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC为 0。
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例 1：如图所示电路原已稳定，试求开关 S断开后
的电容电压 uC。
解, 换路前电容相当于开路，则有：
+ 3kΩ 4kΩ
6kΩ
S（ t=0）
10μ F-
90V
+
-
uC
Vu C 6036 6900 ????? ）（
根据换路定理有：
Vuu CC 6000 ?? ?? ）（）（
时间常数为：
sRC 1.010101064 63 ??????? ?）（?
所以电容电压为：
Veetu ttC 106060 ?? ?? ?）（
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二,RL电路的零输入响应
如图所示，根据 KVL可得：
＋
－
US
1 S(t＝ 0)
2
R
R0
L
iL
0?? LL Riu
dt
diLu L
L ?
而电感元件的电压、电流关系为：
代入上式，可得：
0?? LL RidtdiL
这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，同样可求
得。电感电流的零输入响应为：
?
t
L
tLR
LL eieiti
?
?
?
? ?? ）（）（ 00)(
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?
?
t
L
L
L
t
LLR
eRi
dt
di
Ltu
eRiRitu
?
?
?
?
???
??
）（
）（
0)(
0)(
电阻和电感上的电压分别为：
式中,为电路
的时间常数，单位为,秒R
L??
RL电路零输入响应
曲线如图所示。
u, i
I
o
RI
o
0
－ RI
o
u
R
i
L
u
L
t
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§ 6.2 一阶电路的零状态响应
零状态响应,在所有储能元件的储能为零的情况下，仅
由外加电源输入引起的响应。
RS
+
_ C Cu
U
一,RC电路的零状态响应
t=0 时开关 S合上，电路方程为：
iCR + uC = U
由于
dt
duCi C?
可得：
Uu
dt
duRC
C
C ??
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这是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数
学知识可得该方程的解，也就是该电路的零状态响应为：
）（）（）（ ???
t
C
tt
C eueUUeUu
??? ??????? 11
式中,为电路的时间常数，单位为,秒RC??
充电电流 i(t)和电阻电压 uR(t)为
?
?
t
R
t
C
UeRitu
e
R
U
dt
du
Cti
?
?
??
??
)(
)(
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院 0
uR
t
U
uR
i
U
R
(b)
i
0
uC
t
U
(a)
电压 uC(t),uR(t)和电流 i(t)随时间变化的曲线如图所示。
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例 2,如图所示电路,t=0时开关 S闭合。已知 uC(0_)=0，求
t≥0时的 uC(t),iC(t)和 i(t)。
uC
+
－
15 V
i
6 kW
3 kW iC
+
－
S(t＝ 0)
C
5 mF
解, 因为 uC(0_)=0，故换路后电路
属于零状态响应。因为电路稳定后，
电容相当于开路，有：
sRC
Vu C
363 101010510
63
63
1015
63
6
)(
?? ?????
?
?
??
??
?
??
?
则：
????
???
??
?
?
?
me
tu
ti
me
dt
du
Cti
Vetu
tC
C
tC
C
t
C
)1(
3
5
6
)(
)(
5)(
)1(10)(
10 0
10 0
10 0
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二,RL电路的零状态响应
＋
－
U
+ －uR
R
+
－
uL
iL
L
S(t＝ 0)如图, S闭合后, 根据 KVL，
有：
UdtdiLRi LL ??
这也是一个常系数一阶线性
非齐次微分方程，同样可求得。
电感电流的零状态响应为：
)1()( ??
tt
L eR
Ue
R
U
R
Uti ?? ????
式中,为电路的时间常数，单位为,秒
R
L??
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电感电压 uL(t)和电阻电压 uR(t)分别为：
)1()(
)(
?
?
t
LR
t
L
L
eURitu
Ue
dt
di
Ltu
?
?
???
??
0
iL
t(a)
U
R
0 t
uR
(b)
uL
U
uLuR,
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§ 6.3 一阶电路的全响应
全响应,当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时,
电路中所产生的响应。
uC
+
－
U
+
－
S(t＝ 0)
C
R
UudtduRC CC ??
?
t-
0 ][ eUUUu C ???
则全响应为,
可见，电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量
之和。即：
全响应 =稳态分量 +
式中, ）（ ?? 00 CuU
一、全响应的两种分解
如图有,
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稳态分量
全响应
暂态分量
uC
U
U0
0 t
U0－ U
下图给出了 U＞ U0时,uC随时间变化的曲线 。
??
tt
sC eUeUu
?? ???
0)1(
上式的全响应还可以写成：
上式中 是电容初始值电压为零时的零状态
响应,是电容初始值电压为 U0时的零输入响应 。
故又有,
)1( ?
t
s eU
??
?
t
eU ?0
全响应 =零状态响应 +零输入响应
?
t-
0 ][ eUUUu C ???
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二、一阶电路的三要素法
稳态值, 初始值和时间常数称为一阶电路的三要素,
通过三要素可以直接写出一阶电路的全响应 。 这种方法
称为三要素法 。
若全响应变量用 f(t)表示，则全响应可按下式求出：
?
t
effftf ?? ????? )]()0([)()(
三要素的计算：
1.初始值 f(0+)。
（ 1）求出电容电压 uC（ 0-）或电感电流 iL(0-)
（ 2）根据换路定律，求出响应电流或电压的初始值
i(0+)或 u(0+),即 f(0+)。
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2.稳态值 f(∞)。作换路后 t=∞时的稳态等效电路，求
取稳态下响应电流或电压的稳态值 i(∞)或 u(∞),即 f(∞) 。
作 t=∞电路时,电容相当于开路 ;电感相当于短路。
3.时间常数 τ。 τ=RC或 L/R，其中 R值是换路后断开储
能元件 C或 L,由储能元件两端看进去,用戴维南等效电
路求得的等效内阻。
注意,三要素法仅适用于一阶线性电路，对于二阶或
高阶电路是不适用的。
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例 1：如图所示电路原已稳定,t=0时开关 S闭合，
试求电感电压 uL。
解 （ 1）求初始值,作 t=0–等效电路如图（ b）所示。则有：
Vii LL 2321 200 ????? ?? ）（）（
（ b）
3A L
Li
W2 W1
W2
t=03A
L
Lu
S R2
R1 R3
IS 2W
2W 1W
1H
（ a）
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作 t≥0时的电路如图（ c）所示，则有：
Lu
R1 R3
2A
R2
（ c）
VRRR RRiu LL 400 3
21
21 ???
???? ?? ）（）（）（
（ 3）求时间常数：
W????? 23
21
21 R
RR
RRR等效电阻为：
sRL 5.021 ?????
时间常数为：
（ 2）求稳态值：
画 t=∞时的等效电路,如图 (d)所示。
Lu
R1
R2
R3
（ d）
0?? ）（ Lu
所以，全响应为：
Veeuuutu t
t
CCCC
24]0[ ??
? ???????
?）（）（）（）（
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例 2：如图（ a）所示电路，在 t=0时开关 S闭合,S
闭合前电路已达稳态。求 t≥0时 uC(t) 和 iC (t) 。
解,（ 1）求初始值 uC(0+) 。作
t=0—时的等效电路如图（ b）所
示。则有,S（ t=0）
2μ F
+
－
uC
+
－
20 V
( a )
iC
4kΩ
4kΩ
2kΩ
Vuu CC 20)0()0( ?? ??
+
－
uC（ 0－ ）
+
－
20 V
( b )
4kΩ 2kΩ
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作 t=0+等效电路如图 （ c） 所示 。 列出网孔电流方程：
20)0(6)0(4
20)0(4)0(8
????
??
??
??
C
C
ii
ii
+
－
+
－
20 V
(c )
iC（ 0+）
4kΩ
4kΩ
2kΩ
20 V
i（ 0+）
???? mi C 5.2)0(
可得：
（ 2）求稳态值 uC(∞),iC(∞) 。作 t=∞时稳态等效电路如图（ d）所
示，则有：
0)(
1020
44
4
)(
??
??
?
??
C
C
i
Vu
+
－
+
－
20 V
(d)
uC（ ∞ ）
4kΩ
4kΩ
2kΩ
iC（ ∞ ）
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（ 3）求时间常数 τ。将电容断开，电压源短路，求得等效电阻为：
sRC
kR
363 108102104
4
44
442
?? ???????
W?
?
???
?
(4) 根据全响应表达式可得出电容的电压、电流响应分别为：
Veetu ttC )1(10)1020(10)( 1 2 51 2 5 ?? ?????
??? ? meti tC 1255.2)(
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小 结
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
CC
LL
uu
ii
利用换路定律和 0+等效电路，可求得电路中各电流、电压的初始值。
2.一阶电路的零输入响应
零输入响应就是无电源一阶线性电路，在初始储能作用下产
生的响应。其形式为：
?teftf ??? )0()(
1.换路定理
在电路理论中,通常把电路状态的改变（如通电、断电、短
路、电信号突变、电路参数的变化等）,统称为换路。换路前后瞬
间，电感电流、电容电压不能突变，称为换路定律。即：
式中,f(0+)是响应的初始值,τ是电路的时间常数。
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3,一阶电路的零状态响应
零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。
其形式为,
)1)(()( ?teftf ????
式中,f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生
的响应。其两种分解为：
? ? )()()0()(
)1)(()0()(
?????
????
?
?
?
?
?
fefftf
efeftf
t
tt
?
?
?
(零输入响应 ) (零状态响应 )
(暂态响应 ) (稳态响应 )
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5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应 f(t),由初始值 f(0+)、稳态值 f(∞)和时间常数 τ三
要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电
源作用下的电路响应。全响应表达式为：
?
teffftf ?
? ????? )](0[)()( ）（
计算响应变量的初始值 f(0+)和稳态值 f(∞)，分别用 t=0+时的电路
和 t=∞时的电路解出。作 t=0+时的电路，将 uC(0+)和 iL(0+)分别视为电
压源和电流源。作 t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短
路。时间常数 τ中的电阻 R，是动态元件两端电路的戴维南等效电路
电阻。
