第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
术
学
院
? 互感 （ 耦合电感的电压电流关系, 同名端, 耦
合系数 ）
? 耦合电感的串联和并联
? 理想变压器 。
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
术
学
院
5.1 互感及互感电压
一,互感现象
由一个线圈的交变电流在另一个线圈中产生感应电压的现象
叫做互感现象。
i
1
a * *b
i
2
c d
Φ
21
Φ
11
1 2
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
术
学
院
互感系数
2112
2
21
12
1
21
21
12121
121
MMM
i
M
i
M
iM
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
互感的大小反映一个线圈的电流在另一个线圈中产生磁链的
能力。互感系数的单位与自感相同，是亨利（ H）。
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
术
学
院
耦合系数
2211
2112
2211
2112
21
2112
1
212
1
21
21
2
21
2
12
12
2
222
2
22
2
1
111
1
11
1
,
,
??
??
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
LL
MM
k
i
N
i
M
i
N
i
M
i
N
i
L
i
N
i
L
21 LL
Mk ?
耦合系数 k<1，其大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质
的性质。如果两个线圈紧密地缠绕在一起，则 k值就接近于 1；若
两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，则 k值就很小，
甚至接近于零。
第五章 耦合电感元件
安
徽
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业
技
术
学
院
二、互感电压
选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方向符合右手螺
旋法则，根据电磁感应定律，有：
dt
diM
dt
du
dt
diM
dt
du
212
12
121
21
??
??
?
?
当两线圈中的电流为正弦交流时，则：
2
.
2
.
12
.
1
.
1
.
21
.
2
2
12
1
1
21
)
2
s i n (
)
2
s i n (
IjXIMjUIjXIMjU
tMI
dt
di
Mu
tMI
dt
di
Mu
MM
m
m
????
???
???
??
?
??
?
??
第五章 耦合电感元件
安
徽
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业
技
术
学
院
三、互感线圈的同名端
为了表示线圈的相对绕向以确定互感电压的极性，常采用标
记同名端的方法。
互感线圈的同名端的规定：如果两个互感线圈的电流 i1和 i2所
产生的磁通是相互增强的，那么，两电流同时流入（或流出）的
端钮就是同名端，用标记, ·”,,*” 或, △, 标出。
A
( a )
B
*
C D
*
1
2
3
4
*
5
6
*
( b )
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
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院
i1
u1
＋
－
L1 u2
＋
－
L2
i2M
(a)
i1
u1
＋
－
L1 u2
＋
－
L2
i2M
(b)
解 对于图 a，得：
dt
diM
dt
diLu
dt
diM
dt
diLu 12
222111 ?????
对于图 b,得：
dt
diM
dt
diLu
dt
diM
dt
diLu 12
222111 ????
例 写出图中所示互感线圈端电压 u1和 u2的表达式。
第五章 耦合电感元件
安
徽
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业
技
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学
院
例 如图所示电路中, M=0.025H,＋
**
M
U
21
－
．
I
1
．
解 选择互感电压 u21与电流 i1的
参考方向对同名端一致。
tAi 1 2 0 0s in21 ?
dt
diMu 1
21 ?
其相量形式为：
Vtu
VjIMjU
AIIMjU
)901 2 0 0s i n (230
9030010 2 5.01 2 0 0
01
21
121
1121
???
?????????
????
??
???
?
?
,试求互感电压 u21。
第五章 耦合电感元件
安
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业
技
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学
院
一、互感线圈的串联
互感的线圈串联时有两种接法 —— 顺向串联（异
名端相连）和反向串联（同名端相连）。
5.2 耦合电感的串联和并联
第五章 耦合电感元件
安
徽
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业
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院
1,顺向串联
L 1
*
M L
2
U 1
．
I
．
U 2
．
U
．
*
MLLL
ILjIMLLjUU
IMjILjUUU
IMjILjUUU
f
f
2
)2(
21
2121
221222
112111
???
?????
????
????
????
?????
?????
??
??
??
第五章 耦合电感元件
安
徽
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业
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学
院
2,反向串联
L 1
*
M L
2
U 1
．
I
．
U 2
．
U
．
*
MLLL
ILjIMLLjUUU
IMjILjUUU
IMjILjUUU
s
s
2
)2(
21
2121
221222
112111
???
??????
????
????
?????
?????
?????
??
??
??
4
fs LLM ??
第五章 耦合电感元件
安
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业
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学
院
例 将两个线圈串联接到 50Hz,60V的正弦电源上, 顺向串联
时的电流为 2A,功率为 96W,反向串联时的电流为 2.4A,求互感 M。
解 顺向串联时，等效电感为 Ls=L1+L2+2M。
根据已知条件，得：
??????
????
1824)
2
60
()(
24
2
96
2222
22
R
I
U
L
I
P
R
s
s
s
?
???? 057.0502 18?sL
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
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院
反向串联时, 线圈电阻不变, 由已知条件可求出反向串联时的
等效电感：
??
?
?
??????
0 2 2.0
502
7
724)
4.2
60
()( 2222
?
?
f
f
f
L
R
I
U
L
所以得：
?????? mLLM fs 75.84 0 2 2.00 5 7.04
第五章 耦合电感元件
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二、互感线圈的并联
互感线圈的并联有两种接法，一种是两个线圈的同名端相连，
称为同侧并联；另一种是两个线圈的异名端相连，称为异侧并联。
L
1
*
M
( a )
L
2
*
I
．
U
．
I
2
．
I
1
．
L
1
*
M
( b )
L
2
*
I
．
U
．
I
2
．
I
1
．
第五章 耦合电感元件
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徽
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业
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院
122
211
21
???
???
??
??
??
?
IMjILjU
IMjILjU
II
??
??
MLL
MLL
L
Lj
MLL
MLLj
I
U
Z
2
2
)(
21
2
21
21
2
21
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
线圈并联电感量分析：
第五章 耦合电感元件
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同侧并联时的等效电感：
异侧并联时的等效电感：
MLL
MLLL
2
2
??
??
MLL
MLLL
2
2
??
??
第五章 耦合电感元件
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VU oab 0/10,?
例 如图所示互感电路中,ab端加 10V
的正弦电压，已知电路的参数为 R1=R2=3Ω，
ωL1=ωL2=4Ω,ωM=2Ω。 求,cd端的开路电压。
解 当 cd端开路时，线圈 2中无电流，
因此，在线圈 1中没有互感电压。以 ab端电
压为参考，电压：
a
I1．
＋R
2
c
b d
－
Uab．
L2
L1
R1
M
Ucd．＋
－
A
jLjR
UI
o
o
ab
1.53/2
43
0/10
1
.
1
.
??
?
?
?
?
?
第五章 耦合电感元件
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V
jUIMjU
oo
o
abcd
3.10/4.13109.36/4
101.53/2
.
1
..
???
????? ?
由于线圈 2中没有电流，因而 L2上无自感电压。但 L1上
有电流，因此线圈 2中有互感电压，根据电流对同名端的方
向可知,cd端的电压：
第五章 耦合电感元件
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M
(a)
L1 L2
I1．
C
I2．
RL
＋
－
US
．
(b)
L1＋ MI1．
C
I2．
RL
＋
－
US
,－ M
L2＋ M
(c)
I1．
I2．
30 ?
＋
－
US
,－ j10 ?
j20 ? j30 ?
－ j5 ?
解 利用互感消去法, 得去耦等效电路图 b,其相量模型
图 c。
例 如图 a所示具有互感的正弦电路中，已知 XL1=10Ω，
XL2=20Ω,XC=5Ω，耦合线圈互感抗 XM=10Ω，电源电压,??? 020
SU
RL=30Ω。求电流 ?2。
第五章 耦合电感元件
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?????? ???? oIjjj jjI 452)3030()510( 510 1.2.
应用阻抗并联分流关系求得电流
利用阻抗串、并联等效变换，求得电流：
?
?
??
???
????? j
j
jjj
jjjj
UI S
1
24
)3030()510(
)3030()510(20
.
1
.
第五章 耦合电感元件
安
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业
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5,3 理想变压器
理想变压器是一种特殊的无损耗, 全耦合变压器 。 它作为实
际变压 器的理想化模型,是对互感元件的一种理想化抽象,它满足以
下三个条件,
（ 1） 耦合系数 k=1,即无漏磁通 。
（ 2） 自感系数 L1,L2无穷大且 L1/L2等于常数 。
（ 3） 无损耗,即不消耗能量,也不储存能量 。
＋
－
u
2
＋
－
u
1
i
1
i
2
n ∶ 1
第五章 耦合电感元件
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dt
d
Nu
dt
d
Nu
?
?
?
?
22
11
所以得理想变压器的变压关系式为：
＋
－
u
1
N
1
N
2
i
2
＋
－
u
2
?
i
1
n称为变比，是一个常数。
一、理想变压器的变压作用
理想铁芯变压器的初、次级线圈 1和 2的匝数分别为 N1,N2,
磁通为 Φ,根据电磁感应定律，有：
nNNuu ??
2
1
2
1
第五章 耦合电感元件
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二、理想变压器的变流作用
理想变压器可以看成是一种极限情况下的互感线圈, 它既
不储能, 也不耗能, 仅起到一个变换参数的作用 。 理想铁芯变压
器的初, 次级线圈 1和 2的匝数分别为 N1,N2, 磁通为 Φ,根据电
磁感应定律, 有：
nL
L
I
I
I
L
L
Lj
U
I
n
L
L
U
U
1
1
2
2
.
1
.
2
.
1
2
1
.
1
1
.
2
1
.
2
.
1
????
??
??
?
第五章 耦合电感元件
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三、理想变压器的阻抗变换作用
理想变压器的次级接一负载 ZL,从初级看进去的输入阻抗为：
Li Zn
I
Un
I
n
Un
I
UZ 2
.
2
2
2
.
2
.
2
.
1
.
1
1 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
第五章 耦合电感元件
安
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n∶ 1
(a)
＋
－
U1．＋
－
US．
900 ?
＋
－
U2,100 ?
(b)
＋
－
U1．＋
－
US．
900 ?
n2× 100
例 电路如图 a所示。如果要使 100Ω电阻能获得最大功率，试
确定理想变压器的变比 n。
解 已知负载 R=100Ω，故次级对初级的折合阻抗：
ZL=n2× 100Ω
电路可等效为图 b。由最大功率传输条件可知，当 n2× 100等于
电压源的串联电阻（或电源内阻）时,负载可获得最大功率。所以：
n2× 100=900
变比 n为：
n=3
第五章 耦合电感元件
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安
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? 互感 （ 耦合电感的电压电流关系, 同名端, 耦
合系数 ）
? 耦合电感的串联和并联
? 理想变压器 。
第五章 耦合电感元件
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5.1 互感及互感电压
一,互感现象
由一个线圈的交变电流在另一个线圈中产生感应电压的现象
叫做互感现象。
i
1
a * *b
i
2
c d
Φ
21
Φ
11
1 2
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
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学
院
互感系数
2112
2
21
12
1
21
21
12121
121
MMM
i
M
i
M
iM
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?
互感的大小反映一个线圈的电流在另一个线圈中产生磁链的
能力。互感系数的单位与自感相同，是亨利（ H）。
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
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耦合系数
2211
2112
2211
2112
21
2112
1
212
1
21
21
2
21
2
12
12
2
222
2
22
2
1
111
1
11
1
,
,
??
??
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
LL
MM
k
i
N
i
M
i
N
i
M
i
N
i
L
i
N
i
L
21 LL
Mk ?
耦合系数 k<1，其大小取决于两个线圈的相对位置及磁介质
的性质。如果两个线圈紧密地缠绕在一起，则 k值就接近于 1；若
两线圈相距较远，或线圈的轴线相互垂直放置，则 k值就很小，
甚至接近于零。
第五章 耦合电感元件
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二、互感电压
选择互感电压的参考方向与互感磁通的参考方向符合右手螺
旋法则，根据电磁感应定律，有：
dt
diM
dt
du
dt
diM
dt
du
212
12
121
21
??
??
?
?
当两线圈中的电流为正弦交流时，则：
2
.
2
.
12
.
1
.
1
.
21
.
2
2
12
1
1
21
)
2
s i n (
)
2
s i n (
IjXIMjUIjXIMjU
tMI
dt
di
Mu
tMI
dt
di
Mu
MM
m
m
????
???
???
??
?
??
?
??
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
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三、互感线圈的同名端
为了表示线圈的相对绕向以确定互感电压的极性，常采用标
记同名端的方法。
互感线圈的同名端的规定：如果两个互感线圈的电流 i1和 i2所
产生的磁通是相互增强的，那么，两电流同时流入（或流出）的
端钮就是同名端，用标记, ·”,,*” 或, △, 标出。
A
( a )
B
*
C D
*
1
2
3
4
*
5
6
*
( b )
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
术
学
院
i1
u1
＋
－
L1 u2
＋
－
L2
i2M
(a)
i1
u1
＋
－
L1 u2
＋
－
L2
i2M
(b)
解 对于图 a，得：
dt
diM
dt
diLu
dt
diM
dt
diLu 12
222111 ?????
对于图 b,得：
dt
diM
dt
diLu
dt
diM
dt
diLu 12
222111 ????
例 写出图中所示互感线圈端电压 u1和 u2的表达式。
第五章 耦合电感元件
安
徽
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学
院
例 如图所示电路中, M=0.025H,＋
**
M
U
21
－
．
I
1
．
解 选择互感电压 u21与电流 i1的
参考方向对同名端一致。
tAi 1 2 0 0s in21 ?
dt
diMu 1
21 ?
其相量形式为：
Vtu
VjIMjU
AIIMjU
)901 2 0 0s i n (230
9030010 2 5.01 2 0 0
01
21
121
1121
???
?????????
????
??
???
?
?
,试求互感电压 u21。
第五章 耦合电感元件
安
徽
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业
技
术
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院
一、互感线圈的串联
互感的线圈串联时有两种接法 —— 顺向串联（异
名端相连）和反向串联（同名端相连）。
5.2 耦合电感的串联和并联
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
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院
1,顺向串联
L 1
*
M L
2
U 1
．
I
．
U 2
．
U
．
*
MLLL
ILjIMLLjUU
IMjILjUUU
IMjILjUUU
f
f
2
)2(
21
2121
221222
112111
???
?????
????
????
????
?????
?????
??
??
??
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
术
学
院
2,反向串联
L 1
*
M L
2
U 1
．
I
．
U 2
．
U
．
*
MLLL
ILjIMLLjUUU
IMjILjUUU
IMjILjUUU
s
s
2
)2(
21
2121
221222
112111
???
??????
????
????
?????
?????
?????
??
??
??
4
fs LLM ??
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
术
学
院
例 将两个线圈串联接到 50Hz,60V的正弦电源上, 顺向串联
时的电流为 2A,功率为 96W,反向串联时的电流为 2.4A,求互感 M。
解 顺向串联时，等效电感为 Ls=L1+L2+2M。
根据已知条件，得：
??????
????
1824)
2
60
()(
24
2
96
2222
22
R
I
U
L
I
P
R
s
s
s
?
???? 057.0502 18?sL
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
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术
学
院
反向串联时, 线圈电阻不变, 由已知条件可求出反向串联时的
等效电感：
??
?
?
??????
0 2 2.0
502
7
724)
4.2
60
()( 2222
?
?
f
f
f
L
R
I
U
L
所以得：
?????? mLLM fs 75.84 0 2 2.00 5 7.04
第五章 耦合电感元件
安
徽
职
业
技
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学
院
二、互感线圈的并联
互感线圈的并联有两种接法，一种是两个线圈的同名端相连，
称为同侧并联；另一种是两个线圈的异名端相连，称为异侧并联。
L
1
*
M
( a )
L
2
*
I
．
U
．
I
2
．
I
1
．
L
1
*
M
( b )
L
2
*
I
．
U
．
I
2
．
I
1
．
第五章 耦合电感元件
安
徽
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业
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院
122
211
21
???
???
??
??
??
?
IMjILjU
IMjILjU
II
??
??
MLL
MLL
L
Lj
MLL
MLLj
I
U
Z
2
2
)(
21
2
21
21
2
21
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
线圈并联电感量分析：
第五章 耦合电感元件
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同侧并联时的等效电感：
异侧并联时的等效电感：
MLL
MLLL
2
2
??
??
MLL
MLLL
2
2
??
??
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VU oab 0/10,?
例 如图所示互感电路中,ab端加 10V
的正弦电压，已知电路的参数为 R1=R2=3Ω，
ωL1=ωL2=4Ω,ωM=2Ω。 求,cd端的开路电压。
解 当 cd端开路时，线圈 2中无电流，
因此，在线圈 1中没有互感电压。以 ab端电
压为参考，电压：
a
I1．
＋R
2
c
b d
－
Uab．
L2
L1
R1
M
Ucd．＋
－
A
jLjR
UI
o
o
ab
1.53/2
43
0/10
1
.
1
.
??
?
?
?
?
?
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V
jUIMjU
oo
o
abcd
3.10/4.13109.36/4
101.53/2
.
1
..
???
????? ?
由于线圈 2中没有电流，因而 L2上无自感电压。但 L1上
有电流，因此线圈 2中有互感电压，根据电流对同名端的方
向可知,cd端的电压：
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M
(a)
L1 L2
I1．
C
I2．
RL
＋
－
US
．
(b)
L1＋ MI1．
C
I2．
RL
＋
－
US
,－ M
L2＋ M
(c)
I1．
I2．
30 ?
＋
－
US
,－ j10 ?
j20 ? j30 ?
－ j5 ?
解 利用互感消去法, 得去耦等效电路图 b,其相量模型
图 c。
例 如图 a所示具有互感的正弦电路中，已知 XL1=10Ω，
XL2=20Ω,XC=5Ω，耦合线圈互感抗 XM=10Ω，电源电压,??? 020
SU
RL=30Ω。求电流 ?2。
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?????? ???? oIjjj jjI 452)3030()510( 510 1.2.
应用阻抗并联分流关系求得电流
利用阻抗串、并联等效变换，求得电流：
?
?
??
???
????? j
j
jjj
jjjj
UI S
1
24
)3030()510(
)3030()510(20
.
1
.
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5,3 理想变压器
理想变压器是一种特殊的无损耗, 全耦合变压器 。 它作为实
际变压 器的理想化模型,是对互感元件的一种理想化抽象,它满足以
下三个条件,
（ 1） 耦合系数 k=1,即无漏磁通 。
（ 2） 自感系数 L1,L2无穷大且 L1/L2等于常数 。
（ 3） 无损耗,即不消耗能量,也不储存能量 。
＋
－
u
2
＋
－
u
1
i
1
i
2
n ∶ 1
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dt
d
Nu
dt
d
Nu
?
?
?
?
22
11
所以得理想变压器的变压关系式为：
＋
－
u
1
N
1
N
2
i
2
＋
－
u
2
?
i
1
n称为变比，是一个常数。
一、理想变压器的变压作用
理想铁芯变压器的初、次级线圈 1和 2的匝数分别为 N1,N2,
磁通为 Φ,根据电磁感应定律，有：
nNNuu ??
2
1
2
1
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二、理想变压器的变流作用
理想变压器可以看成是一种极限情况下的互感线圈, 它既
不储能, 也不耗能, 仅起到一个变换参数的作用 。 理想铁芯变压
器的初, 次级线圈 1和 2的匝数分别为 N1,N2, 磁通为 Φ,根据电
磁感应定律, 有：
nL
L
I
I
I
L
L
Lj
U
I
n
L
L
U
U
1
1
2
2
.
1
.
2
.
1
2
1
.
1
1
.
2
1
.
2
.
1
????
??
??
?
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三、理想变压器的阻抗变换作用
理想变压器的次级接一负载 ZL,从初级看进去的输入阻抗为：
Li Zn
I
Un
I
n
Un
I
UZ 2
.
2
2
2
.
2
.
2
.
1
.
1
1 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
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n∶ 1
(a)
＋
－
U1．＋
－
US．
900 ?
＋
－
U2,100 ?
(b)
＋
－
U1．＋
－
US．
900 ?
n2× 100
例 电路如图 a所示。如果要使 100Ω电阻能获得最大功率，试
确定理想变压器的变比 n。
解 已知负载 R=100Ω，故次级对初级的折合阻抗：
ZL=n2× 100Ω
电路可等效为图 b。由最大功率传输条件可知，当 n2× 100等于
电压源的串联电阻（或电源内阻）时,负载可获得最大功率。所以：
n2× 100=900
变比 n为：
n=3
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