晶体 X射线衍射学基础
中 南 大 学
材料科学与工程学院
苏 玉 长
X射线衍射分析技术
材料：你们最关心的是什么？
性能：你认为与哪些因素有关？
结构：有哪些检测分析技术？
绪论
?物质的性质、材料的性能决定于
它们的组成和微观结构。
?如果你有一双 X射线的眼睛，就
能把物质的微观结构看个清清楚
楚明明白白！
? X射线衍射将会有助于你探究为
何成份相同的材料，其性能有时
会差异极大,
? X射线衍射将会有助于你找到获
得预想性能的途径。
1、衍射分析技术的发展
? 与 X射线及晶体衍射有关的部分诺贝尔奖获得者名单
年 份 学 科 得奖者 内 容
1901 物理 伦琴Wilhel m Conr al Ron tgen X射线的发现
1914 物理 劳埃Max vo n Laue 晶体的X射线衍射
亨利.布拉格Henry Bragg
劳伦斯.布拉格Lawre nce Br agg.
1917 物理 巴克拉Charle s Glov er Bar kla 元素的特征X射线
1924 物理 卡尔.西格班Karl Manne Georg Siegba hn X射线光谱学
戴维森Clinto n Jose ph Dav isson
汤姆孙George Paget Thoms on
1954 化学 鲍林Linus Carl P anling 化学键的本质
肯德鲁John C harles Kendr ew
帕鲁兹Max Fe rdinan d Peru tz
1962 生理医学
Francis H.C.Crick、JAMES d.Watson、
Maurice h.f.Wilkins
脱氧核糖核酸DNA测定
1964 化学 Dorothy Crowfoot Hodgkin 青霉素、B12生物晶体测定
霍普特曼Herber t Haup tman
卡尔Jerome Karle
鲁斯卡E.Rusk a 电子显微镜
宾尼希G.Binn ig 扫描隧道显微镜
罗雷尔H.Rohr er
布罗克豪斯 B.N.B rockho use 中子谱学
沙尔 C.G.S hull 中子衍射
直接法解析结构
1915 物理 晶体结构的X射线分析
1937 物理 电子衍射
1986 物理
1994 物理
1962 化学 蛋白质的结构测定
1985 化学
第
一
章
晶
体
学
基
础
?晶体特性
?晶体结构与空间点阵
?倒易点阵
? 均 匀 性,晶体内部各个部分的宏观性
质是相同的。
? 各向异性,晶体种不同的方向上具有不
同的物理性质。
? 固定熔点,晶体具有周期性结构，熔化
时，各部分需要同样的温度。
? 规则外形,理想环境中生长的晶体应为
凸多边形。
? 对 称 性,晶体的理想外形和晶体内部
结构都具有特定的对称性。
1,晶体具有如下性质：
刚玉 邻苯二甲酸氢
锗酸铋 电气石
2,晶体结构与空间点阵 -A（术语回顾）
? 晶体 (crystal)
It is solid.The arrangement of atoms in the crystal is
periodic.
? 点阵 （ Lattice）
An infinite array of points in space,in which each
point has identical surroundings to all others.
? 晶体结构 （ Crystal Structure）
It can be described by associating each lattice point
with a group of atoms called the MOTIF (BASIS)
? 单位晶胞（ Unit Cell） The smallest component of the
crystal,which when stacked together with pure
translational repetition reproduces the whole crystal
? 晶胞参数 Unit Cell Dimensions
a,b and c are the unit cell edge lengths.
a,b and g are the angles (a between b and c,b
between c and a,g between a and b c,)
晶向和晶面指数
2,晶体结构与空间点阵 -B
? 等同点与结点
? 结构基元：原子、分子或其集团
? 晶体结构＝空间点阵＋结构基元
The 14 possible BRAVAIS LATTICES
{note that spheres in this picture represent lattice points,not atoms!}
2,晶体结构与空间点阵 -C
7 crystal Classes
Crystal
system
Unit cell shape Essential symmetry Space
lattices
Cubi a=b=c a=b=g=90 Four threefold axes P I F
Tetragona
l
a=b≠ c
a=b=g=90
One fourfold axis P I
Orthorhom
bic
a≠ b≠ c
a=b=g=90
Three twofold axes or
mirror plane
P I F A(B
or C)
Hexagona A=b≠ c a=g=90
b=120
One threefold axis P
Trigonal A=b≠ c a=g=90
b=120
One threefold axis P
a=b=c
a=b=g≠ 90
One threefold axis R
Monoclini
c
a≠ b≠ c a=b=90
g≠ 90
One twofold axis or
mirror plane
P C
Triclinic a≠ b≠ c
a≠ b≠ g≠ 90
none P
2,晶体结构与空间点阵 -D 点阵类型
◆ 阵点的坐标表示
●以任意顶点为 坐标原点,以
与原点相交的三个棱边为 坐标
轴,分别用点阵周期（ a,b、
c）为 度量单位
?四种点阵类型
?简单
?体心
?面心
?底心 ◆ 简单点阵的阵点坐标为 000
◆ 底心点阵,C
除八个顶点上有阵点外，
两个相对的面心上有阵
点，面心上的阵点为两
个相邻的平行六面体所
共有。因此，每个阵胞
占有两个阵点。阵点坐
标为 000,1/2 1/2 0
◆ 体心点阵,I
除 8个顶点外，体
心上还有一个阵点，
因此，每个阵胞含
有两个阵点,000，
1/2 1/2 1/2
◆ 面心点阵。 F
除 8个顶点外，每
个面心上有一个
阵点，每个阵胞
上有 4个阵点，其
坐标分别为 000，
1/2 1/2 0,1/2 0
1/2,0 1/2 1/2
点阵的对称 — 点群、空间群
（本科略）
32种点群
230种空间群
3,倒易点阵
3.1 倒易点阵 是在晶
体点阵的基础上按一
定对应关系建立起来
的空间几何图形，是
晶体点阵的另一种表
达形式。
1,定义式
2,倒易点阵与正点阵的倒易
关系
3,倒易点阵参数：
a*, b*,c*；
α*,β*,γ*
4,用倒易矢量推导晶面间距
和晶面夹角的计算公式
a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b =0
a*·a = b*·b = c*·c =1
或用统一的矢量方程表示：
V
bac
V
cab
V
cba ?=?=?= ??? ;;
倒易点阵与正点阵的倒易关系
及倒易矢量及性质
? 倒易点阵的倒易是正点阵。
? 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所
连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
r* = Ha* + Kb* + L c*
两个基本性质
两个基本性质,
1) r*垂直于正点阵中的 HKL晶面
2) r*长度等于 HKL晶面的晶面间距 dHKL的倒数
从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具
有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在
倒易点阵中只须一个阵点就可以表示，倒易
阵点用它所代表的晶面指数标定，正点阵中
晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量就
能表示。
用倒易矢量推导晶面间距和晶
面夹角的计算公式
? 晶面间距计算公式
? 晶面夹角计算公式
晶面间距计算公式：
已知 r* = Ha* + Kb* + L c*，则,
立方晶系：
其它晶系见 P46面。
222
2
1
LKH
d H K L
??=
晶面夹角计算公式
已知 r1* = H1a* + K1b* + L1 c*
r2* = H2a* + K2b* + L2 c*
则（ H1 K1 L1）与（ H2 K2 L2）之间
的夹角 Φ为：
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
LKHLKH
LLKKHH
C o s
?????
??
=?
倒易点阵与正点阵的指数变换
设有一个晶向，倒易点阵中用 [ H K L ]*表
示，正点阵中用 [ H K L ]*表示，则有公式：
u a*·a* a*·b* a*·c* H
v ＝ a*·a* a*·b* a*·c* K
w a*·a* a*·b* a*·c* L
即晶向指数 [ H K L ]已知, 可用上式求该
晶面的法向指数 [ u v w ]
同样有,
u a*·a* a*·b* a*·c* H
v ＝ a*·a* a*·b* a*·c* K
w a*·a* a*·b* a*·c* L
即当晶向指数已知时, 可用上式求与该晶
向垂直的晶面指数 （ H K L）
3.2 晶带
? 什么是晶带
? 晶带定律
? 晶带定律的应用
晶带的定义
在晶体结构或空间点阵中,与某一取向
平行的所有晶面均属于同一个 晶带 。
同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其
中通过坐标原点的那条直线称为 晶带轴 。
晶带轴的晶向指数即为该 晶带的指数 。
晶带定律
根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法
线都与晶带轴垂直。我们可以将晶带轴用正点阵
矢量 r=ua+vb+wc表达，晶面法向用倒易矢量
r*=Ha*+Kb*+Lc*表达。由于 r*与 r垂直，所以：
由此可得,Hu+Kv+Lw=0
这也就是说，凡是属于 [uvw]晶带的晶面，它
们的晶面指数（ HKL）都必须符合上式的条件。
我们把这个关系式叫作 晶带定律 。
0)()( =?????=? ???? wcvbuaLcKbHarr
晶带定律的应用
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，
因此晶带定理有非常广泛的应用。
1) 可以判断空间两个晶向或两个晶面是否
相互垂直；
2) 可以判断某一晶向是否在某一晶面上
（或平行于该晶面）；
3) 若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于
该晶带；
4) 若已知两个晶带面为（ h1 k1 l1)和 (h2 k2
l2),则可用晶带定律求出晶带轴；
5) 已知两个不平行的晶向，可以求出过这
两个晶向的晶面；
6) 已知一个晶面及其面上的任一晶向，可
求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；
7) 已知一晶面及其在面上的任一晶向，可
求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶
面。
中 南 大 学
材料科学与工程学院
苏 玉 长
X射线衍射分析技术
材料：你们最关心的是什么？
性能：你认为与哪些因素有关？
结构：有哪些检测分析技术？
绪论
?物质的性质、材料的性能决定于
它们的组成和微观结构。
?如果你有一双 X射线的眼睛，就
能把物质的微观结构看个清清楚
楚明明白白！
? X射线衍射将会有助于你探究为
何成份相同的材料，其性能有时
会差异极大,
? X射线衍射将会有助于你找到获
得预想性能的途径。
1、衍射分析技术的发展
? 与 X射线及晶体衍射有关的部分诺贝尔奖获得者名单
年 份 学 科 得奖者 内 容
1901 物理 伦琴Wilhel m Conr al Ron tgen X射线的发现
1914 物理 劳埃Max vo n Laue 晶体的X射线衍射
亨利.布拉格Henry Bragg
劳伦斯.布拉格Lawre nce Br agg.
1917 物理 巴克拉Charle s Glov er Bar kla 元素的特征X射线
1924 物理 卡尔.西格班Karl Manne Georg Siegba hn X射线光谱学
戴维森Clinto n Jose ph Dav isson
汤姆孙George Paget Thoms on
1954 化学 鲍林Linus Carl P anling 化学键的本质
肯德鲁John C harles Kendr ew
帕鲁兹Max Fe rdinan d Peru tz
1962 生理医学
Francis H.C.Crick、JAMES d.Watson、
Maurice h.f.Wilkins
脱氧核糖核酸DNA测定
1964 化学 Dorothy Crowfoot Hodgkin 青霉素、B12生物晶体测定
霍普特曼Herber t Haup tman
卡尔Jerome Karle
鲁斯卡E.Rusk a 电子显微镜
宾尼希G.Binn ig 扫描隧道显微镜
罗雷尔H.Rohr er
布罗克豪斯 B.N.B rockho use 中子谱学
沙尔 C.G.S hull 中子衍射
直接法解析结构
1915 物理 晶体结构的X射线分析
1937 物理 电子衍射
1986 物理
1994 物理
1962 化学 蛋白质的结构测定
1985 化学
第
一
章
晶
体
学
基
础
?晶体特性
?晶体结构与空间点阵
?倒易点阵
? 均 匀 性,晶体内部各个部分的宏观性
质是相同的。
? 各向异性,晶体种不同的方向上具有不
同的物理性质。
? 固定熔点,晶体具有周期性结构，熔化
时，各部分需要同样的温度。
? 规则外形,理想环境中生长的晶体应为
凸多边形。
? 对 称 性,晶体的理想外形和晶体内部
结构都具有特定的对称性。
1,晶体具有如下性质：
刚玉 邻苯二甲酸氢
锗酸铋 电气石
2,晶体结构与空间点阵 -A（术语回顾）
? 晶体 (crystal)
It is solid.The arrangement of atoms in the crystal is
periodic.
? 点阵 （ Lattice）
An infinite array of points in space,in which each
point has identical surroundings to all others.
? 晶体结构 （ Crystal Structure）
It can be described by associating each lattice point
with a group of atoms called the MOTIF (BASIS)
? 单位晶胞（ Unit Cell） The smallest component of the
crystal,which when stacked together with pure
translational repetition reproduces the whole crystal
? 晶胞参数 Unit Cell Dimensions
a,b and c are the unit cell edge lengths.
a,b and g are the angles (a between b and c,b
between c and a,g between a and b c,)
晶向和晶面指数
2,晶体结构与空间点阵 -B
? 等同点与结点
? 结构基元：原子、分子或其集团
? 晶体结构＝空间点阵＋结构基元
The 14 possible BRAVAIS LATTICES
{note that spheres in this picture represent lattice points,not atoms!}
2,晶体结构与空间点阵 -C
7 crystal Classes
Crystal
system
Unit cell shape Essential symmetry Space
lattices
Cubi a=b=c a=b=g=90 Four threefold axes P I F
Tetragona
l
a=b≠ c
a=b=g=90
One fourfold axis P I
Orthorhom
bic
a≠ b≠ c
a=b=g=90
Three twofold axes or
mirror plane
P I F A(B
or C)
Hexagona A=b≠ c a=g=90
b=120
One threefold axis P
Trigonal A=b≠ c a=g=90
b=120
One threefold axis P
a=b=c
a=b=g≠ 90
One threefold axis R
Monoclini
c
a≠ b≠ c a=b=90
g≠ 90
One twofold axis or
mirror plane
P C
Triclinic a≠ b≠ c
a≠ b≠ g≠ 90
none P
2,晶体结构与空间点阵 -D 点阵类型
◆ 阵点的坐标表示
●以任意顶点为 坐标原点,以
与原点相交的三个棱边为 坐标
轴,分别用点阵周期（ a,b、
c）为 度量单位
?四种点阵类型
?简单
?体心
?面心
?底心 ◆ 简单点阵的阵点坐标为 000
◆ 底心点阵,C
除八个顶点上有阵点外，
两个相对的面心上有阵
点，面心上的阵点为两
个相邻的平行六面体所
共有。因此，每个阵胞
占有两个阵点。阵点坐
标为 000,1/2 1/2 0
◆ 体心点阵,I
除 8个顶点外，体
心上还有一个阵点，
因此，每个阵胞含
有两个阵点,000，
1/2 1/2 1/2
◆ 面心点阵。 F
除 8个顶点外，每
个面心上有一个
阵点，每个阵胞
上有 4个阵点，其
坐标分别为 000，
1/2 1/2 0,1/2 0
1/2,0 1/2 1/2
点阵的对称 — 点群、空间群
（本科略）
32种点群
230种空间群
3,倒易点阵
3.1 倒易点阵 是在晶
体点阵的基础上按一
定对应关系建立起来
的空间几何图形，是
晶体点阵的另一种表
达形式。
1,定义式
2,倒易点阵与正点阵的倒易
关系
3,倒易点阵参数：
a*, b*,c*；
α*,β*,γ*
4,用倒易矢量推导晶面间距
和晶面夹角的计算公式
a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b =0
a*·a = b*·b = c*·c =1
或用统一的矢量方程表示：
V
bac
V
cab
V
cba ?=?=?= ??? ;;
倒易点阵与正点阵的倒易关系
及倒易矢量及性质
? 倒易点阵的倒易是正点阵。
? 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所
连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
r* = Ha* + Kb* + L c*
两个基本性质
两个基本性质,
1) r*垂直于正点阵中的 HKL晶面
2) r*长度等于 HKL晶面的晶面间距 dHKL的倒数
从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具
有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在
倒易点阵中只须一个阵点就可以表示，倒易
阵点用它所代表的晶面指数标定，正点阵中
晶面取向和面间距只须倒易矢量一个参量就
能表示。
用倒易矢量推导晶面间距和晶
面夹角的计算公式
? 晶面间距计算公式
? 晶面夹角计算公式
晶面间距计算公式：
已知 r* = Ha* + Kb* + L c*，则,
立方晶系：
其它晶系见 P46面。
222
2
1
LKH
d H K L
??=
晶面夹角计算公式
已知 r1* = H1a* + K1b* + L1 c*
r2* = H2a* + K2b* + L2 c*
则（ H1 K1 L1）与（ H2 K2 L2）之间
的夹角 Φ为：
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
LKHLKH
LLKKHH
C o s
?????
??
=?
倒易点阵与正点阵的指数变换
设有一个晶向，倒易点阵中用 [ H K L ]*表
示，正点阵中用 [ H K L ]*表示，则有公式：
u a*·a* a*·b* a*·c* H
v ＝ a*·a* a*·b* a*·c* K
w a*·a* a*·b* a*·c* L
即晶向指数 [ H K L ]已知, 可用上式求该
晶面的法向指数 [ u v w ]
同样有,
u a*·a* a*·b* a*·c* H
v ＝ a*·a* a*·b* a*·c* K
w a*·a* a*·b* a*·c* L
即当晶向指数已知时, 可用上式求与该晶
向垂直的晶面指数 （ H K L）
3.2 晶带
? 什么是晶带
? 晶带定律
? 晶带定律的应用
晶带的定义
在晶体结构或空间点阵中,与某一取向
平行的所有晶面均属于同一个 晶带 。
同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其
中通过坐标原点的那条直线称为 晶带轴 。
晶带轴的晶向指数即为该 晶带的指数 。
晶带定律
根据晶带的定义，同一晶带中所有晶面的法
线都与晶带轴垂直。我们可以将晶带轴用正点阵
矢量 r=ua+vb+wc表达，晶面法向用倒易矢量
r*=Ha*+Kb*+Lc*表达。由于 r*与 r垂直，所以：
由此可得,Hu+Kv+Lw=0
这也就是说，凡是属于 [uvw]晶带的晶面，它
们的晶面指数（ HKL）都必须符合上式的条件。
我们把这个关系式叫作 晶带定律 。
0)()( =?????=? ???? wcvbuaLcKbHarr
晶带定律的应用
在实际晶体中，立方晶系最为普遍，
因此晶带定理有非常广泛的应用。
1) 可以判断空间两个晶向或两个晶面是否
相互垂直；
2) 可以判断某一晶向是否在某一晶面上
（或平行于该晶面）；
3) 若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于
该晶带；
4) 若已知两个晶带面为（ h1 k1 l1)和 (h2 k2
l2),则可用晶带定律求出晶带轴；
5) 已知两个不平行的晶向，可以求出过这
两个晶向的晶面；
6) 已知一个晶面及其面上的任一晶向，可
求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；
7) 已知一晶面及其在面上的任一晶向，可
求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶
面。
