第三章 X射线衍射的几何原理
? 序言 — 关于本章节的研究对象
（ 请单击图片 ）
? 晶体点阵对 X射线的衍射
? 布拉格定律
? 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解 返回 目录
本章导言：
? 利用射线研究晶体结构中的各类问题，主要是通过
X射线在晶体中产生的衍射现象。
? 当一束 X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射，
每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与
入射波同频率的电磁波。
? 可以把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源，
它们各自向空间辐射与入射波同频率的电磁波。
? 由于这些散射波之间的干涉作用，使得空间某些方
向上的波则始终保持相互叠加，于是在这个方向上
可以观测到衍射线，而另一些方向上的波则始终是
互相是抵消的，于是就没有衍射线产生。
? X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原
子散射波互相干涉的结果。
? 晶体所产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子
分布规律。概括地讲，一个衍射花样的特征，可
以认为由两个方面的内容组成：
一方面是衍射线在空间的分布规律，
（称之为衍射几何），衍射线的分布规
律是晶胞的大小、形状和位向决定
另一方面是衍射线束的强度,衍射线
的强度则取决于原子的品种和它们在晶
胞中的位置。
? X射线衍射理论所要解决的中心问题, 在衍射现
象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系。
3,X射线衍射的几何原理
? 序言 — 关于本章节的研究对象（ 请
单击图片 ）
? 晶体点阵对 X射线的衍射
－干涉函数
? 劳厄方程
? 布拉格定律
? 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
3.1 晶体点阵对 X射线的衍射
假定参加衍射的晶体平行六面体，
它的三个棱边为,N1a,N2b,N3c,N1、
N2,N3分别为点基矢量 a,b,c方向上的
点阵数，参加衍射的阵点总数为
N=N1N2N3。
我们的任务是求出散射体外某一点
的相干散射振幅和强度。
任意两个阵点相干散射的示意图及简单推导方法
? 如图 3-1，设有两个任意的阵点 O,A，取 O为
坐标原点,A点的位置矢量 r=ma+nb+pc，即空
间坐标为（ m,n,p）,S0和 S分别为入射线和散
射线的单位矢量，散射波之间的光程差为,图 3-
1 任意两阵点的相干散射
…… （ 3-1）
其位相差为：
图 3-1 任意两阵点的相干散射
)(-MA-O 00 SSrSrSr ?????? N?
)(-MA-O 00 SSrSrSr ?????? N?
rSS 0 ???? ?????? 22
)( cbakrk pnm ?????
……(3 -2)
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称为干涉函数。
函数
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?
?NG ? 在 ?? H?1 处有函数极大值，即在
?? H?1 的方向上产生衍射线。
2G
中的三个因子是类似的。因此，决定晶体发
出的衍射线方向的条件为：
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…… （ 3-9）
3.2 劳厄方程
3.3 布拉格定律
? 布拉格方程的导出
? 布拉格方程的讨论
布拉格方程的导出：
根据图示，干涉加强的条件是：
式中,n为整数，称为反射级数；
? 为入射线或反射线与反
射面的夹角，称为掠射角，
由于它等于入射线与衍射线
夹角的一半，故又称为半衍
射角，把 2? 称为衍射角。
? ?
?
反
射
面
法
线
?? nd S in ?2
布拉格方程的讨论
? 选择反射
? 产生衍射的极限条
件
? 干涉面和干涉指数
? 衍射花样和晶体结
构的关系
选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各
原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线
的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，所
以借用镜面反射规律来描述衍射几何。
但是 X射线的原子面反射和可见光的镜面
反射不同。 一束可见光以任意角度投射到镜面
上都可以产生反射,而原子面对 X射线的反射
并不是任意的，只有当 ?,?,d三者之间满足
布拉格方程时才能发生反射,所以把 X射线这
种反射称为 选择反射 。
产生衍射的极限条件
根据布拉格方程,Sin ?不能大于 1，
因此：
对衍射而言,n的最小值为 1，所以
在任何可观测的衍射角下，产生衍射的
条件为 ?<2d,这也就是说，能够被晶体
衍射的电磁波的波长必须小于参加反射
的晶面中最大面间距的二倍，否则不能
产生衍射现象。
dnS indn 212 ??? ???,即
干涉面和干涉指数
我们将布拉格方程中的 n隐含在 d中得到简
化的布拉格方程：
把（ hkl） 晶面的 n级反射看成为与（ hkl）
晶面平行、面间距为 (nh,nk,nl) 的晶面的一级反
射。面间距为 dHKL的晶面并不一定是晶体中的
原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反
射面，我们把这样的反射面称为 干涉面 。干涉
面的面指数称为 干涉指数 。
??
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?
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S ind
n
d
dS in
n
d
H K L
h k l
H K L
h k l
2
,2
则有：
令
衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍
射线的方向是晶面间距 d的函数。如果将各晶系的 d值代
入布拉格方程，可得：
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞
大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种
和位置。
）2222
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立方晶系：
正方晶系：
斜方晶系：
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35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120
0
10
20
30
40
50
60
70
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( 44, 68,10 0,0)
1,1,0
( 65, 03,14, 9)
2,0,0
( 82, 35,28, 1)
2,1,1
( 98, 96,9,3)
2,2,0 ( 11 6,40,16, 6)
3,1,0
(a) 体心立方 a?Fe
a=b=c=0.2866 nm
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2,0,0
2,1,1
2,2,0
3,1,0
2,2,2
(b) 体心立方 W
a=b=c=0.3165 nm
(d) 体心正交,
a= 0.286nm,b=0.300nm,
c=0.320nm
(e) 面心立方,g?Fe
a=b=c=0.360nm
I nt e ns i t y ( % )
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30
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60
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1,1,0
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2,1,1
2,0,2
2,2,01,0,3 3,0,13,1,0
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1,2,1 2,1,1
0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,1,31,0,3 0,3,11,3,0 3,0,13,1,0
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10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
( 43, 51,10 0,0)
1,1,1
( 50, 67,44, 6)
2,0,0
( 74, 49,21, 4)
2,2,0
( 90, 41,22, 7)
3,1,1
( 95, 67,6,6)
2,2,2
( 11 7,71,3,8)
4,0,0
图 3- X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系
(c) 体心四方
a=b=0.286nm,c=0.320nm
衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
? 在描述 X射线的衍射几何时，主要是解决两个
问题：
1,产生衍射的条件，即满足布拉格方程；
2,衍射方向，即根据布拉格方程确定的衍,
射角 2 ?。
为了把这两个方面的条件用一个统一的矢
量形式来表达，引入了 衍射矢量 的概念。
? 倒易点阵中衍射矢量的图解法,厄尔瓦德图解,
衍射矢量
如图所示，当束 X射线被晶面 P反射
时，假定 N为晶面 P的法线方向，入射线
方向用单位矢量 S0表示，衍射线方向用
单位矢量 S表示，则 S-S0为衍射矢量。
?
?
?
N
S0 S
S- S0
（ 衍射矢量图示）
厄尔瓦德图解
首先从晶体点阵中任意取出两个阵
点，求出它们散射波的光程差和相位差。
然后将它们的振幅对所有参加衍射的阵
点求和，从而得出参加衍射晶体的相干
散射振幅和强度。
S0
S0
M A
NO S
S
(任意两个阵点相干散射的示意图 )
? 序言 — 关于本章节的研究对象
（ 请单击图片 ）
? 晶体点阵对 X射线的衍射
? 布拉格定律
? 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解 返回 目录
本章导言：
? 利用射线研究晶体结构中的各类问题，主要是通过
X射线在晶体中产生的衍射现象。
? 当一束 X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射，
每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与
入射波同频率的电磁波。
? 可以把晶体中每个原子都看作一个新的散射波源，
它们各自向空间辐射与入射波同频率的电磁波。
? 由于这些散射波之间的干涉作用，使得空间某些方
向上的波则始终保持相互叠加，于是在这个方向上
可以观测到衍射线，而另一些方向上的波则始终是
互相是抵消的，于是就没有衍射线产生。
? X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原
子散射波互相干涉的结果。
? 晶体所产生的衍射花样都反映出晶体内部的原子
分布规律。概括地讲，一个衍射花样的特征，可
以认为由两个方面的内容组成：
一方面是衍射线在空间的分布规律，
（称之为衍射几何），衍射线的分布规
律是晶胞的大小、形状和位向决定
另一方面是衍射线束的强度,衍射线
的强度则取决于原子的品种和它们在晶
胞中的位置。
? X射线衍射理论所要解决的中心问题, 在衍射现
象与晶体结构之间建立起定性和定量的关系。
3,X射线衍射的几何原理
? 序言 — 关于本章节的研究对象（ 请
单击图片 ）
? 晶体点阵对 X射线的衍射
－干涉函数
? 劳厄方程
? 布拉格定律
? 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
3.1 晶体点阵对 X射线的衍射
假定参加衍射的晶体平行六面体，
它的三个棱边为,N1a,N2b,N3c,N1、
N2,N3分别为点基矢量 a,b,c方向上的
点阵数，参加衍射的阵点总数为
N=N1N2N3。
我们的任务是求出散射体外某一点
的相干散射振幅和强度。
任意两个阵点相干散射的示意图及简单推导方法
? 如图 3-1，设有两个任意的阵点 O,A，取 O为
坐标原点,A点的位置矢量 r=ma+nb+pc，即空
间坐标为（ m,n,p）,S0和 S分别为入射线和散
射线的单位矢量，散射波之间的光程差为,图 3-
1 任意两阵点的相干散射
…… （ 3-1）
其位相差为：
图 3-1 任意两阵点的相干散射
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……(3 -2)
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称为干涉函数。
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1
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?NG ? 在 ?? H?1 处有函数极大值，即在
?? H?1 的方向上产生衍射线。
2G
中的三个因子是类似的。因此，决定晶体发
出的衍射线方向的条件为：
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…… （ 3-9）
3.2 劳厄方程
3.3 布拉格定律
? 布拉格方程的导出
? 布拉格方程的讨论
布拉格方程的导出：
根据图示，干涉加强的条件是：
式中,n为整数，称为反射级数；
? 为入射线或反射线与反
射面的夹角，称为掠射角，
由于它等于入射线与衍射线
夹角的一半，故又称为半衍
射角，把 2? 称为衍射角。
? ?
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反
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布拉格方程的讨论
? 选择反射
? 产生衍射的极限条
件
? 干涉面和干涉指数
? 衍射花样和晶体结
构的关系
选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各
原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线
的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，所
以借用镜面反射规律来描述衍射几何。
但是 X射线的原子面反射和可见光的镜面
反射不同。 一束可见光以任意角度投射到镜面
上都可以产生反射,而原子面对 X射线的反射
并不是任意的，只有当 ?,?,d三者之间满足
布拉格方程时才能发生反射,所以把 X射线这
种反射称为 选择反射 。
产生衍射的极限条件
根据布拉格方程,Sin ?不能大于 1，
因此：
对衍射而言,n的最小值为 1，所以
在任何可观测的衍射角下，产生衍射的
条件为 ?<2d,这也就是说，能够被晶体
衍射的电磁波的波长必须小于参加反射
的晶面中最大面间距的二倍，否则不能
产生衍射现象。
dnS indn 212 ??? ???,即
干涉面和干涉指数
我们将布拉格方程中的 n隐含在 d中得到简
化的布拉格方程：
把（ hkl） 晶面的 n级反射看成为与（ hkl）
晶面平行、面间距为 (nh,nk,nl) 的晶面的一级反
射。面间距为 dHKL的晶面并不一定是晶体中的
原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反
射面，我们把这样的反射面称为 干涉面 。干涉
面的面指数称为 干涉指数 。
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则有：
令
衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍
射线的方向是晶面间距 d的函数。如果将各晶系的 d值代
入布拉格方程，可得：
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞
大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种
和位置。
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立方晶系：
正方晶系：
斜方晶系：
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( 44, 68,10 0,0)
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( 98, 96,9,3)
2,2,0 ( 11 6,40,16, 6)
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(a) 体心立方 a?Fe
a=b=c=0.2866 nm
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(b) 体心立方 W
a=b=c=0.3165 nm
(d) 体心正交,
a= 0.286nm,b=0.300nm,
c=0.320nm
(e) 面心立方,g?Fe
a=b=c=0.360nm
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图 3- X射线衍射花样与晶胞形状及大小之间的关系
(c) 体心四方
a=b=0.286nm,c=0.320nm
衍射矢量方程和厄尔瓦德图解
? 在描述 X射线的衍射几何时，主要是解决两个
问题：
1,产生衍射的条件，即满足布拉格方程；
2,衍射方向，即根据布拉格方程确定的衍,
射角 2 ?。
为了把这两个方面的条件用一个统一的矢
量形式来表达，引入了 衍射矢量 的概念。
? 倒易点阵中衍射矢量的图解法,厄尔瓦德图解,
衍射矢量
如图所示，当束 X射线被晶面 P反射
时，假定 N为晶面 P的法线方向，入射线
方向用单位矢量 S0表示，衍射线方向用
单位矢量 S表示，则 S-S0为衍射矢量。
?
?
?
N
S0 S
S- S0
（ 衍射矢量图示）
厄尔瓦德图解
首先从晶体点阵中任意取出两个阵
点，求出它们散射波的光程差和相位差。
然后将它们的振幅对所有参加衍射的阵
点求和，从而得出参加衍射晶体的相干
散射振幅和强度。
S0
S0
M A
NO S
S
(任意两个阵点相干散射的示意图 )
