第四章 X射线衍射线束的强度
1,一个电子对 X射线的散射
2,一个原子对 X射线的散射
3,一个单胞对 X射线的散射
4,一个小晶体对 X射线的散射
5,粉末多晶体的 HKL面的衍射强度
返回 目录
一个电子对 X射线的散射
? 讨论对象及结论：
一束 X射线沿 OX方向传播, O点碰到电子发生散射,
那么距 O点距离 OP＝ R,OX与 OP夹 2?角的 P点的散
射强度为：
? 公式讨论
? 推导过程
2
2c o s1 2
442
4
0
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RCm
e
II p
可见一束射线经电子散射后，其散射
强度在窨各个方向上是不同的：沿原 X射
线方向上散射强度（ 2?＝ 0或 2?＝ π时）比
垂直原入射方向的强度（ 2?＝ π/2时）大
一倍。
若只考虑电子本身的散射本领，即单
位立方体里对应的散射能量,OP＝ R＝ 1，
则有公式：
公式讨论：
2
2c o s1 2
42
4
0
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Cm
eII
p
推导过程：
1,强度为 I0且偏振化了的 X射线作用于一
个电荷为 e,质量为 m的自由电子上，
那么在与偏振方向夹角为 Φ,距电子 R
远处，散射强度 Ie为：
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II e
2,而事实上，射到电子上的 X射线是非
偏振的，引入偏振因子，则有：
（ ?表示强度分布的方向性）
2
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2
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? 讨论对象及结论：
一个电子对 X射线散射后空间某点强
度可用 Ie表示，那么一个原子对 X射线散
射后该点的强度：
这里引入了 f―― 原子散射因子
推导过程
一个原子对 X射线的散射
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2
推导过程：
一个原子包含 Z个电子，那么可看成
Z个电子散射的叠加。
（ 1）若不存在电子电子散射位相差：
其中 Ae为一个电子散射的振幅 。
? ? eea IZAZI ???? 22
（ 1）实际上，存在位相差，引入原子散射
因子,即 Aa＝ f Ae 。
其中 f与 ?有关、与 λ有关。
散射强度：
（ f总是小于 Z）
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a
A
A
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22
一个单胞对 X射线的散射
1,讨论对象及主要结论：
这里引入了 FHKL ―― 结构因子
2,推导过程
3,结构因子 FHKL的讨论
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2
推导过程：
假设该晶胞由 n种原子组成，各原子的散射
因子为,f1, f2, f3,..fn；
那么散射振幅为,f1 Ae, f2 Ae, f3
Ae,..fn Ae ；
各原子与 O原子之间的散射波光和程差为：
Φ1, Φ2, Φ3,.,Φn ；
则该晶胞的散射振幅为这 n种原子叠加：
引入结构参数,
可知晶胞中（ H K L） 晶面的衍射强度
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j
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2
结构因子 FHKL 的讨论
? 关于结构因子
? 产生衍射的充分条件及系统消光
? 结构消光
? 结构因子与倒易点阵的权重
关于结构因子：
因为,
其中,Xj,Yj,Zj是 j原子的阵点坐标；
H K L是发生衍射的晶面。
所以有：
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产生衍射的充分条件：
满足布拉格方程且 FHKL≠0。
由于 FHKL＝ 0而使衍射线消
失的现象称为 系统消光,
它分为,点阵消光
结构消光。
四种基本点阵的消光规律 （图表）
4.3 单胞对 X射线的散射
? 简单点阵的系统消光
? 在简单点阵中，每个阵胞中只包含一个原子，
其坐标为 000，原子散射因子为 fa
? 根据 (4-12)式得：
?结论,在简单点阵的情况下,FHKL不受 HKL的
影响，即 HKL为任意整数时，都能产生衍射
4.3 单胞对 X射线的散射
? 底心点阵
? 每个晶胞中有 2个同类原子，其坐标分别为
000和 1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为 fa
4.3 单胞对 X射线的散射
? 底心点阵
? 分析：
? 当 H+K为偶数时，即 H,K全为奇数或全为偶数：
? 当 H+K为奇数时，即 H,K中有一个奇数和一个
偶数：
?结论
?在底心点阵中,FHKL不受 L的影响，只有当
H,K全为奇数或全为偶数时才能产生衍射
4.3 单胞对 X射线的散射
? 体心点阵
? 每个晶胞中有 2个同类原子，其坐标为 000和
1/2 1/2 1/2,其原子散射因子相同
4.3 单胞对 X射线的散射
? 体心点阵
? 分析
? 当 H+K+L为偶数时，
? 当 H+K+L为奇数时，
结论：
在体心点阵中，只有当 H+K+L为偶数时
才能产生衍射
4.3 单胞对 X射线的散射
? 面心点阵
? 每个晶胞中有 4个同类原子
4.3 单胞对 X射线的散射
? 面心点阵
? 分析
? 当 H,K,L全为奇数或偶数时，则（ H+K）、
（ H+K）、（ K+L）均为偶数，这时：
? 当 H,K,L中有 2个奇数一个偶数或 2个偶数 1个
奇数时，则（ H+K）、（ H+L）、（ K+L）中总
有两项为奇数一项为偶数，此时：
4.3 单胞对 X射线的散射
? 面心点阵
? 结论
? 在面心立方中，只有当 H,K,L全为奇数或全为
偶数时才能产生衍射。如 Al的衍射数据：
4.3 单胞对 X射线的散射
? 消光规律与晶体点阵
? 结构因子中不包含点阵常数。因此，结构因
子只与原子品种和晶胞的位置有关，而不受
晶胞形状和大小的影响
? 例如：只要是体心晶胞，则体心立方、正方
体心、斜方体心，系统消光规律是相同的
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点
阵 出现的反射 消失的反射
简单点阵 全部 无
底心点阵 H,K全为奇数或全为偶数 H,K奇偶混杂
体心点阵 H+K+L为偶数 H+K+L为奇数
面心点阵 H,K,L全为奇数或全为偶数 H,K,L奇偶混杂
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方
面要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附
加原子的存在，还有附加的消光，称为 结构消
光
这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等
结构中
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
? 每个晶胞中有 8个同类原子，坐标为 000,1/2 1/2
0,1/2 0 1/2,0 1/2 1/2,1/4 1/4 1/4,3/4 3/4 ?，
3/4 ? 3/4, 1/4 3/4 3/4
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
? 前 4项为面心点阵的结构因子，用 FF表示，后 4项
可提出公因子。得到：
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
? 用欧拉公式，写成三角形式：
? 分析：
– 当 H,K,L为异性数（奇偶混杂）时，
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
– 当 H,K,L全为偶数时，并且 H+K+L=4n时
– 当 H,K,L全为偶数且 H+K+L≠4n时
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
?结论
?金刚石结构属于面心立方点阵，凡是 H、
K,L不为同性数的反射面都不能产生衍射
?由于金刚石型结构有附加原子存在，有
另外的 3种消光条件
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
? 每个平行六面体晶胞中有 2个同类原子，其坐标
为 000,1/3 2/3 1/2
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
?结论：
?密堆六方结构的单位平行六面体晶胞中的两个原
子，分别属于两类等同点。所以，它属于简单六方
结构，没有点阵消光。只有结构消光
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
? 不能出现
（ (h+2k)/3为整
数且 l为奇数的
晶面衍射
4.4 一个小晶体对 X射线的衍射
? 材料晶体结构
? 材料晶体结构不可能是尺
寸无限大的理想完整晶体。
实际上是一种嵌镶结构
? 镶嵌结构模型认为，晶体
是由许多小的嵌镶块组成
的，每个块大约 10-4cm，
它们之间的取向角差一般
为 1~30分。每个块内晶体
是完整的，块间界造成晶
体点阵的不连续性
TEM照片
4.4 一个小晶体对 X射线的衍射
? 材料晶体结构
? 在入射线照射的体积中可
能包含多个嵌镶块。因此，
不可能有贯穿整个晶体的
完整晶面
TEM照片
?X射线的相干作用只能在嵌镶
块内进行，嵌镶块之间没有严格
的相位关系，不可能发生干涉作
用
?整个晶体的反射强度是一个晶块
的衍射强度的机械叠加
一个小晶体对 X射线的散射
认为：小晶体（晶粒）
由亚晶块组成
由 N个晶胞组成
那么，已知一个晶胞的衍射强度（ HKL晶面）
为：
若亚晶块的体积为 VC,晶胞体积为 V胞,
则：
这 N个晶胞的 HKL晶面衍射的叠加强度为：
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考虑到实际晶体结构与之的差别，乘以一
个因子：
最后得到：
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粉末多晶体的 HKL衍射强度
? 根据厄尔瓦德图可知参加 HKL晶面衍射的晶粒
分布于一个环带上, 参加衍射晶粒的百分数,
? 多重因子
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4.5 粉末多晶体衍射强度的积
分强度
?根据厄瓦尔德图解原理，粉末多晶体衍射的厄
瓦尔德图解应如图所示。倒易球与反射球的交线
是一个圆，从这个交线圆向反射球心连线形成衍
射线圆锥，锥顶角为 4θ
?从交线圆向倒易球心连线形成反射面法线圆锥，
半锥顶角为 90° -θ，入射线为两个圆锥的公共轴
4.5 粉末多晶体衍射强度的积
分强度
? 粉末多晶体试样
特性
? 如果在与入射线
垂直的位置放一
张照相底片，则
在底片上记录的
衍射花样为强度
均匀分布的衍射
圆环
在多晶体衍射中同一晶面族 {HKL}
各等同晶面的面间距相等，根据布拉格
方程这些晶面的衍射角 2 ?都相同，因此，
等同晶面族的反射强度都重叠在一个衍
射圆环上。把同族晶面 {HKL}的等同晶
面数 P称为衍射强度的多重因子。各晶系
中的各晶面族的多重因子列于表中。
各晶面族的多重因子列表,
各晶面族的多重因子列表
晶系
指数
H00 0K0 00L HHH HH0 HK0 0KL H0L HHL HKL
P
立方 6 8 12 24 24 48
菱方、六方 6 2 6 12 24
正方 4 2 4 8 8 16
斜方 2 4 8
单斜 2 4 2 4
三斜 2 2 2
1,一个电子对 X射线的散射
2,一个原子对 X射线的散射
3,一个单胞对 X射线的散射
4,一个小晶体对 X射线的散射
5,粉末多晶体的 HKL面的衍射强度
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一个电子对 X射线的散射
? 讨论对象及结论：
一束 X射线沿 OX方向传播, O点碰到电子发生散射,
那么距 O点距离 OP＝ R,OX与 OP夹 2?角的 P点的散
射强度为：
? 公式讨论
? 推导过程
2
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442
4
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II p
可见一束射线经电子散射后，其散射
强度在窨各个方向上是不同的：沿原 X射
线方向上散射强度（ 2?＝ 0或 2?＝ π时）比
垂直原入射方向的强度（ 2?＝ π/2时）大
一倍。
若只考虑电子本身的散射本领，即单
位立方体里对应的散射能量,OP＝ R＝ 1，
则有公式：
公式讨论：
2
2c o s1 2
42
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推导过程：
1,强度为 I0且偏振化了的 X射线作用于一
个电荷为 e,质量为 m的自由电子上，
那么在与偏振方向夹角为 Φ,距电子 R
远处，散射强度 Ie为：
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2,而事实上，射到电子上的 X射线是非
偏振的，引入偏振因子，则有：
（ ?表示强度分布的方向性）
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? 讨论对象及结论：
一个电子对 X射线散射后空间某点强
度可用 Ie表示，那么一个原子对 X射线散
射后该点的强度：
这里引入了 f―― 原子散射因子
推导过程
一个原子对 X射线的散射
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2
推导过程：
一个原子包含 Z个电子，那么可看成
Z个电子散射的叠加。
（ 1）若不存在电子电子散射位相差：
其中 Ae为一个电子散射的振幅 。
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（ 1）实际上，存在位相差，引入原子散射
因子,即 Aa＝ f Ae 。
其中 f与 ?有关、与 λ有关。
散射强度：
（ f总是小于 Z）
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一个单胞对 X射线的散射
1,讨论对象及主要结论：
这里引入了 FHKL ―― 结构因子
2,推导过程
3,结构因子 FHKL的讨论
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2
推导过程：
假设该晶胞由 n种原子组成，各原子的散射
因子为,f1, f2, f3,..fn；
那么散射振幅为,f1 Ae, f2 Ae, f3
Ae,..fn Ae ；
各原子与 O原子之间的散射波光和程差为：
Φ1, Φ2, Φ3,.,Φn ；
则该晶胞的散射振幅为这 n种原子叠加：
引入结构参数,
可知晶胞中（ H K L） 晶面的衍射强度
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2
结构因子 FHKL 的讨论
? 关于结构因子
? 产生衍射的充分条件及系统消光
? 结构消光
? 结构因子与倒易点阵的权重
关于结构因子：
因为,
其中,Xj,Yj,Zj是 j原子的阵点坐标；
H K L是发生衍射的晶面。
所以有：
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产生衍射的充分条件：
满足布拉格方程且 FHKL≠0。
由于 FHKL＝ 0而使衍射线消
失的现象称为 系统消光,
它分为,点阵消光
结构消光。
四种基本点阵的消光规律 （图表）
4.3 单胞对 X射线的散射
? 简单点阵的系统消光
? 在简单点阵中，每个阵胞中只包含一个原子，
其坐标为 000，原子散射因子为 fa
? 根据 (4-12)式得：
?结论,在简单点阵的情况下,FHKL不受 HKL的
影响，即 HKL为任意整数时，都能产生衍射
4.3 单胞对 X射线的散射
? 底心点阵
? 每个晶胞中有 2个同类原子，其坐标分别为
000和 1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为 fa
4.3 单胞对 X射线的散射
? 底心点阵
? 分析：
? 当 H+K为偶数时，即 H,K全为奇数或全为偶数：
? 当 H+K为奇数时，即 H,K中有一个奇数和一个
偶数：
?结论
?在底心点阵中,FHKL不受 L的影响，只有当
H,K全为奇数或全为偶数时才能产生衍射
4.3 单胞对 X射线的散射
? 体心点阵
? 每个晶胞中有 2个同类原子，其坐标为 000和
1/2 1/2 1/2,其原子散射因子相同
4.3 单胞对 X射线的散射
? 体心点阵
? 分析
? 当 H+K+L为偶数时，
? 当 H+K+L为奇数时，
结论：
在体心点阵中，只有当 H+K+L为偶数时
才能产生衍射
4.3 单胞对 X射线的散射
? 面心点阵
? 每个晶胞中有 4个同类原子
4.3 单胞对 X射线的散射
? 面心点阵
? 分析
? 当 H,K,L全为奇数或偶数时，则（ H+K）、
（ H+K）、（ K+L）均为偶数，这时：
? 当 H,K,L中有 2个奇数一个偶数或 2个偶数 1个
奇数时，则（ H+K）、（ H+L）、（ K+L）中总
有两项为奇数一项为偶数，此时：
4.3 单胞对 X射线的散射
? 面心点阵
? 结论
? 在面心立方中，只有当 H,K,L全为奇数或全为
偶数时才能产生衍射。如 Al的衍射数据：
4.3 单胞对 X射线的散射
? 消光规律与晶体点阵
? 结构因子中不包含点阵常数。因此，结构因
子只与原子品种和晶胞的位置有关，而不受
晶胞形状和大小的影响
? 例如：只要是体心晶胞，则体心立方、正方
体心、斜方体心，系统消光规律是相同的
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点
阵 出现的反射 消失的反射
简单点阵 全部 无
底心点阵 H,K全为奇数或全为偶数 H,K奇偶混杂
体心点阵 H+K+L为偶数 H+K+L为奇数
面心点阵 H,K,L全为奇数或全为偶数 H,K,L奇偶混杂
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方
面要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附
加原子的存在，还有附加的消光，称为 结构消
光
这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等
结构中
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
? 每个晶胞中有 8个同类原子，坐标为 000,1/2 1/2
0,1/2 0 1/2,0 1/2 1/2,1/4 1/4 1/4,3/4 3/4 ?，
3/4 ? 3/4, 1/4 3/4 3/4
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
? 前 4项为面心点阵的结构因子，用 FF表示，后 4项
可提出公因子。得到：
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
? 用欧拉公式，写成三角形式：
? 分析：
– 当 H,K,L为异性数（奇偶混杂）时，
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
– 当 H,K,L全为偶数时，并且 H+K+L=4n时
– 当 H,K,L全为偶数且 H+K+L≠4n时
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 金刚石结构
?结论
?金刚石结构属于面心立方点阵，凡是 H、
K,L不为同性数的反射面都不能产生衍射
?由于金刚石型结构有附加原子存在，有
另外的 3种消光条件
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
? 每个平行六面体晶胞中有 2个同类原子，其坐标
为 000,1/3 2/3 1/2
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
?结论：
?密堆六方结构的单位平行六面体晶胞中的两个原
子，分别属于两类等同点。所以，它属于简单六方
结构，没有点阵消光。只有结构消光
4.3 单胞对 X射线的散射
? 结构消光
? 密堆六方结构
? 不能出现
（ (h+2k)/3为整
数且 l为奇数的
晶面衍射
4.4 一个小晶体对 X射线的衍射
? 材料晶体结构
? 材料晶体结构不可能是尺
寸无限大的理想完整晶体。
实际上是一种嵌镶结构
? 镶嵌结构模型认为，晶体
是由许多小的嵌镶块组成
的，每个块大约 10-4cm，
它们之间的取向角差一般
为 1~30分。每个块内晶体
是完整的，块间界造成晶
体点阵的不连续性
TEM照片
4.4 一个小晶体对 X射线的衍射
? 材料晶体结构
? 在入射线照射的体积中可
能包含多个嵌镶块。因此，
不可能有贯穿整个晶体的
完整晶面
TEM照片
?X射线的相干作用只能在嵌镶
块内进行，嵌镶块之间没有严格
的相位关系，不可能发生干涉作
用
?整个晶体的反射强度是一个晶块
的衍射强度的机械叠加
一个小晶体对 X射线的散射
认为：小晶体（晶粒）
由亚晶块组成
由 N个晶胞组成
那么，已知一个晶胞的衍射强度（ HKL晶面）
为：
若亚晶块的体积为 VC,晶胞体积为 V胞,
则：
这 N个晶胞的 HKL晶面衍射的叠加强度为：
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考虑到实际晶体结构与之的差别，乘以一
个因子：
最后得到：
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粉末多晶体的 HKL衍射强度
? 根据厄尔瓦德图可知参加 HKL晶面衍射的晶粒
分布于一个环带上, 参加衍射晶粒的百分数,
? 多重因子
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4.5 粉末多晶体衍射强度的积
分强度
?根据厄瓦尔德图解原理，粉末多晶体衍射的厄
瓦尔德图解应如图所示。倒易球与反射球的交线
是一个圆，从这个交线圆向反射球心连线形成衍
射线圆锥，锥顶角为 4θ
?从交线圆向倒易球心连线形成反射面法线圆锥，
半锥顶角为 90° -θ，入射线为两个圆锥的公共轴
4.5 粉末多晶体衍射强度的积
分强度
? 粉末多晶体试样
特性
? 如果在与入射线
垂直的位置放一
张照相底片，则
在底片上记录的
衍射花样为强度
均匀分布的衍射
圆环
在多晶体衍射中同一晶面族 {HKL}
各等同晶面的面间距相等，根据布拉格
方程这些晶面的衍射角 2 ?都相同，因此，
等同晶面族的反射强度都重叠在一个衍
射圆环上。把同族晶面 {HKL}的等同晶
面数 P称为衍射强度的多重因子。各晶系
中的各晶面族的多重因子列于表中。
各晶面族的多重因子列表,
各晶面族的多重因子列表
晶系
指数
H00 0K0 00L HHH HH0 HK0 0KL H0L HHL HKL
P
立方 6 8 12 24 24 48
菱方、六方 6 2 6 12 24
正方 4 2 4 8 8 16
斜方 2 4 8
单斜 2 4 2 4
三斜 2 2 2
