随机过程及其分类
5．随机过程举例
例a：如果正弦波随机过程为
其中振幅 取常数，角频率 取常数，而相位 是一个随机变量，它均匀分布于间，即：
求在时刻的概率密度。
例b：设一由正弦振荡器输出的随机过程：
其中、和是相互独立的随机变量，并且已知它们的分布密度函数分别为：、及
试求随机过程的一维概率密度。
例c：（一维随机游动）设有一质点在轴上作随机游动，即在时质点属于轴的原点，在时质点可以在轴上正向或反向移动一个单位距离，作正向和作反向移动的概率分别为和。经时间，质点偏离原点的距离为，问处于的概率如何？
例d：设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为 的脉冲信号，每隔 送出一个脉冲。脉冲幅度是一随机变量，它可取四个值，且取这四个值的概率是相等的，即：
不同周期内脉冲的幅度是相互统计独立的，脉冲的起始时间相对于原点的时间差为均匀分部在 内的随机变量。试求在两个时刻 时，随机过程 所取值的二维联合概率密度。
例e：设有某通信系统，它传送的信号是脉宽为 的脉冲信号，脉冲信号的周期为 。如果脉冲幅度是随机的，幅度服从正态分布，不同周期内的的幅度是相互统计独立的。脉冲沿的位置也是随机的，脉冲的起始时间相对于原点的时间差 为均匀分部在 内的随机变量。和脉冲幅度间也是相互统计独立的（脉冲幅度调制信号），试求在两个时刻 时，该随机过程 所取值 的二维联合概率密度。
例f：考察一随机过程，它在时刻具有宽度为的矩形脉冲波，脉冲幅度为一等概率取值的随机变量，且，是在上服从均匀分布的随机变量，并且脉冲幅度与独立，试求该过程的相关函数和方差。
例g：随机电报信号定义如下：
（1）在任何时刻，取值为0或1，只有两种可能状态。并设
（2）每个状态的持续时间是随机的，设在时间内波形变化的次数服从Poission分布即：
（3）取何值（即所处的状态）与随机变量是相互统计独立的。
求随机电报信号的均值和自相关函数
例a解：固定时刻，则随机变量是随机变量的函数。由分布函数的定义：
当时，
当时，
当时，我们有：
因此，当时，的概率密度为：
最终得到的概率密度为：
例b解：设,其中和是常数，，由例a的结果可知的一维分布密度为：
比较与，我们有：
由连续型全概率公式，我们有：
由于相互独立，因此有：
故有的一维概率密度为：
注意：掌握以下几个重要公式的用法：
（全概率公式）： （离散型）
（连续型）
（连续型）
（条件数学期望）：
例c解：设质点第次移动时的距离为，则是离散的随机变量，它可取＋1，也可取－1。且
设：质点在时，偏离原点的距离为，则也是一随机变量，且有：
由题意，与质点所处位置无关，且与（）独立。
当时，质点可取的值为:
如果在次游动中有次质点右向移动一个单位，即有次发生，则有次质点左向移动一个单位，即有次发生，此时有：
由此得到 。
因此，由题意，我们有：
此式中是一正整数，则如果为奇数时，也是奇数；如果为偶数时，也是偶数。
例d解：典型样本函数如下图：
在时间轴上任意固定两个时刻，我们令：
事件：间有不同周期的脉冲存在，即处在不同的脉冲周期内；
事件：间没有不同周期的脉冲存在，即处在相同的脉冲周期内；
当时，有 和
当时，可能处在同一脉冲内，也可能不处在同一脉冲内。假设为所在的脉冲的起始时刻，由于脉冲的起始时刻相对于原点的时间差是内的均匀分布，而且该信号是等宽的脉冲信号，因此可以看作均匀分布于的随机变量。
如果，则
如果，则
因此有：
由全概率公式：
根据不同周期内脉冲幅度是相互独立的随机变量，我们有：
如果处在同一周期内，则，此时有：
由此最终得到的二维联合概率密度如下：
当：
当：
例e解：在时间轴上任意固定两个时刻，讨论同例d。
特别注意此时的状态空间！
当时，位于不同的周期内，此时我们有：
当时，位于两个不同的周期内的概率为：
位于相同的周期内的概率为：
根据全概率公式，我们有：
因为当处在同一脉冲周期时，取相同的值，所以上式的第二项出现了函数。
此例中看出，的二维联合概率密度不再是二维正态分布，虽然和都是正态分布。
例f解：由给定的随机过程，我们有：
下面求相关函数：
任意取，且，当时，位于不同的周期内，此时有：
当，且位于两个不同的周期内时，我们有：
当，且位于同一的周期内时，假设为所在的脉冲的起始时刻，只有当时，和取到不为零的值，此时的概率为：
由此，我们有：
同理，当是，我们有：
因此，最终得到：
例g解：
均值函数：，即均值函数是常数。
相关函数：在时间轴上任意固定两个时刻，如果，则
下面求。由于事件： 等价于事件：，即等价于事件：
故：
同理，如果，则有
故有：
因此有：
设时间差，则有
因为随机电报信号的均值函数为常数，相关函数仅为时间差的函数，故随机电报信号是宽平稳过程。
6．复随机过程
定义：设为同一概率空间上的两个取实数值的随机变量，并设，则称为该概率空间上的一个复随机变量。
我们有：
定义：设和是具有相同参数和概率空间的一对实随机过程，则称为复随机过程。
同样有：
，称为均值函数。
，称为复随机过程的相关函数。
例8：设有复随机过程，其中是相互独立的随机变量，且服从正态分布，为常数。试求的均值函数和相关函数。
解：由于：
因此有：
其中。
注意：均值为零，相关函数是时间差的函数，是宽平稳过程。
习题：
教材：P33－37：2、3、4、7、10。
