第三章 Poission过程（Poission信号流）
基本概念
独立增量过程
定义：设是一随机过程，如果对于任意的，，有随机过程的增量：
相互独立，则称随机过程是独立增量过程。
注意：若独立增量过程的参数集，一般假定，则独立增量过程是一马氏过程。特别地，当时，独立增量过程是一马氏过程。
形式上我们有：
因此，我们只要能证明在已知条件下，与相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当时，增量与相互独立，由于在条件和下，即有与相互独立。由此可知，在条件下，与相互独立，结果成立。
计数过程
定义：在出现随机事件的总数组成的过程称为计数过程。计数过程满足：
（a）；
（b）；
（c），则有：；
（d），表示在时间间隔内事件出现的次数。
若计数过程在不相交的时间间隔内事件出现的次数是相互独立的，则称此计数过程为独立增量计数过程。
若计数过程在时间间隔内出现事件的次数只与时间差有关，而与起始时间无关，则称此计数过程为平稳增量计数过程。
Poission过程
Poission过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission引入。
定义：一随机计数过程称为时齐（齐次）Poission过程，若满足：
（a）；
（b）独立增量过程，即任取，
相互独立；
（c）增量平稳性，即：
（d）对任意，和充分小的，有：
其中（称为强度常数）。
定理：若为时齐Poission过程，则，有：
即是参数为的Poission分布。
证明：由增量平稳性，记：
（I）情形：因为
，
我们有：
另一方面
代入上式，我们有：
令，我们有：
（II）情形：因为：
故有：
化简并令得：
两边同乘以，移项后有：
当时，有：
由归纳法可得：
注意：，因此代表单位时间内事件出现的平均次数。
注意：Poission过程的转移率矩阵（Q矩阵）的表示，并用上面讲过的方法求解Poission过程的一维分布。
Poission过程与指数分布的关系
设是一计数过程，记：
，表示第个事件发生的时刻（），
表示第个事件与第事件发生的时间间隔。
当时，有以下基本的关系式：
因此，我们有关于随机变量的分布函数：
当时，；当时，有：
其概率密度为：
特别地，当时，有：
即是参数为的指数分布。
问题：是否还是服从指数分布？我们以下将给出一个重要的定理。
为了更好地理解下面的内容，我们先复习一下求随机变量概率密度的“微元法”和顺序统计量的分布。
求随机变量概率密度的“微元法”:
一维情形：若随机变量的概率密度在点连续，则有：
多维情形：若随机向量的概率密度在点处连续，则有：
即：
顺序统计量的分布
定义：给定，为其上的随机向量，，将按从小到大顺序排列，记为，称为的顺序统计量。
设是独立同分布非负的随机变量，其密度函数为，记为相应的顺序统计量，则对于，取充分小的，使得：
有
等式右边的各事件互不相容，因此有：
由此可得顺序统计量的联合概率密度为：
特别地，若在上独立同均匀分布，则其顺序统计量的联合概率密度为：
若独立同分布，且，则其顺序统计量的联合概率密度为：
定理：计数过程是Poission过程的充分必要条件是是独立且参数同为的指数分布。
注意：此定理反映了Poission过程的本质特性，也为Poission过程的计算机模拟提供了理论基础。
证明：（只证必要性）
（a）先求的联合概率密度：
令，取充分小的，使得：
由：
其中：
我们可得：
因此，的联合概率密度为：
即：
（b）求的联合概率密度：
由：我们有：
令：
则变换的雅可比行列式为：
于是的联合概率密度为：
由此可得的概率密度为，即
由此证明了是独立且参数同为的指数分布。
剩余寿命与年龄
设为在内事件A发生的个数，表示第个事件发生的时刻，表示在时刻前最后一个事件发生的时刻，表示在时刻后首次事件发生的时刻，令：
称为剩余寿命或剩余时间，为年龄。
由定义可知：，我们有以下重要定理。
定理：设是参数为的Poission过程，则有：
（a）与同分布，即
（b）的分布为“截尾”的指数分布，即
证明：注意到：
以及
即可得所要的结果。
定理：若独立同分布，又对与同分布，分布函数为，且，则为Poission过程。
注意：表示的是第个事件的寿命。
习题：P228－230：1、3、4、7。
