中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 ),( YX )1,0(N （a）分别写出随机变量YX +和YX ?的分布密度 （b）试问：YX +与YX ?是否独立？说明理由。 解：（a） )2,0(~),2,0(~ NYXNYX ?+ （b）由于： 02det, 11 11 , 11 11 ≠?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? + BB Y X B Y X YX YX 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? + YX YX ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == 20 02 11 11 10 01 11 11 2 T BBED 因此YX +与YX ?独立。 2、设X和Y为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 2 11 ,σμ 2 22 ,σμ （a）试求XYZ =和X的相关系数； （b）Z与X能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： YX, 2 2 12 2 12 2 1 2 1 ][)]}()][({[),( μσμμμμσ =?+=??= XEXXYEXYEXZCov 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2222 )()()()()( σσμσσμμμ ++=?=?= YEXEZEZEZD ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 11 2 2 1 σσμσσμ μσ σσμσσμσ μσ ρ ++ = ++ = ZX （b）当1= XZ ρ的时候，Z和X线性相关，即 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 μσσσμσσμ =++ 3、设{是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为 }0),( ≥ttX tBtXs = ()}() tssXE ≤? ),({ T的函数，即0),()( ≥=+ τττ BTB， 试求方差函数。 )]() TtX +?([ tXD 1 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 解：由定义，有： 0)(2)0()0( )}()({2)0()0( )]}()()][()({[2 )]([)]([)]()([ =?+= +?+= +?+?? ++=+? TBBB TtXtXEBB TtEXTtXtEXtXE TtXDtXDTtXtXD 4、考察两个谐波随机信号和，其中： )(tX )(tY )cos()(),cos()( tBtYtAtX cc ωφω =+= 式中和A c ω为正的常数；φ是[]ππ,?内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布的随机 变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； )(tX （b）若φ与B独立，求与Y的互相关函数。 )(tX )(t 解：（a）0)}({ =tXE 21 2 21 2 21 2 2121 cos 2 ))(cos( 22 1 )cos()cos( )}()({),( tt A tt A dttA tXtXEttR c ccc XX ?== ?=++= == ∫ ? ττω ω? π ?ω?ω π π 22 1 )(cos)}({ 2 22 A dtAtXD c =+= ∫ ? π π ? π ?ω （b）0)}()({),( 2121 == tYtXEttR XY 第二讲作业： P33/2．解： ? ? ? +≤<+ +≤< = TntnT nTtnTA t )1(0 )( η η ξ 其中为整数，n η为脉宽 () Ax Ax x T t TtPtxF ≥ <≤ < ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =≤<= 0 0 1 0 1 }{ 0 , η ξ 从而有一维分布密度： () () ()Ax T t x T t txf t ? ? ? ? ? ? ? ?+= δδ ξ 1, 2 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 P33/3．解：由周期性及三角关系，有： ()[] 000 ,)( τττξ TtTt T A t ?∈?+= 反函数()t A T tT ξτ ?+= 0 ，因此有一维分布： 其它 ),0( 0 111 )( 0 Ax AA T Tdx d T xf t ∈ ? ? ? ? ? =?= = τ ξ P35/4. 解：(1) () ( )φω? += tVt sin其中 221 ,tan ηξ η ξ φ +== ? V 由题意可知，( ),ηξ的联合概率密度为： }2/)(exp{ 2 1 ),( 22 ),( yxyxf +?= π ηξ 利用变换： x y tgyxv vy vx 122 sin cos ? =+=? ? ? ? = = ? ? ? ，及雅克比行列式： v y v y x v x J = ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? 我们有),( φV的联合分布密度为： π? π ? φ 20,0 2 1 ),( 2 ),( 2 ≤≤≥= ? vvevf v V 因此有： 0)( 2 2 ≥= ? vvevf v V π? π ? φ 20 2 1 )( ≤≤=f 且V和φ相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于t ηξ,独立、服从正态分布，因此( )t?也服从正态分布，且 0)(sin)(cos)sincos())(( =+=+= ηωξωωηωξ? tEtEttEtE 1)(sin)(cos )sin()cos()sincos())(( 22 =+= +=+= ηωξω ωηωξωηωξ? tDtD tDtDttDtD 所以() )1,0(~ Nt?。 3 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 （4） 由于： 22 0 2 )( 2 ηξ? π ω ω π += ∫ dtt 所以，因此 )()( 22 cPAP >+= ηξ 当时， 0≤c 1)( =AP 当时， 0>c )(1)( 22 cPAP ≤+?= ηξ 由（1）中的结论，有： 2 )(1)( c V ecFAP ? =?= P36/7．证明： (1) () ∫ == 1 0 2121 2 21 coscos 3 1 coscos, ttdttttR ηη ξξ (2) 由协方差函数的定义，有： () () 212121 1 0 21 1 0 212121 coscos 12 1 coscos 4 1 coscos 3 1 coscoscoscos,, tttttt dttdttttRttC =?= ??= ∫∫ ηηηη ξξξξ P37/10. 解：（1）)(]1)1([)())(( qpnpqnnEnE i ?=?+???== ξη （2） )()()(),( 2 1 2 1 21 1 1 1 111 21 ∑∑∑∑ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤== ==?= nj ni ji nj ni ji n j j n i i EEEnnR ξξξξξξ ηη 当i时，j= 1)( = ji E ξξ；否则( ) 2 )( qpE ji ?=ξξ 令，，则有 ),min( 21 nnn = ),max( 21 nnN = nqpnnnnqpNnnEnnR ji nj ni ji +???=+???=?+= ∑ ≠ ≤≤ ≤≤ 2 21 2 1 1 21 ))(())](1([1)(),( 2 1 ξξ ηη npqqpnqpnnqpnnn nEnEnnRnnC 4)()())(( ))(())((),(),( 21 2 21 212121 =????+???= ??= ηη ηηηη 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和1+n n 4 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0100 9 1 9 4 9 4 0 0 9 4 9 4 9 1 0010 P P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： ( )()( ){} () () () (){}(){} 16 1 4 1 4 3 3 1 0000111112 12,11,00 =??= =?==?=== ==== ξξξξξ ξξξ PPP P （2）由齐次马氏链的性质，有： () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == 48 31 48 13 12 1 36 13 36 16 36 7 4 1 16 7 16 5 22 PP， 因此： () 16 7 2 01 =P P112/9．解： （1）， () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == pp pp PP 01 010 01 22 () ()244 01 010 01 P pp pp PP = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? == （2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：n ( ) ( )2+ = nn PP； 计算有： () ( )() )1(213 PPPP =?=，递推得到 ( ) ( )2+ = nn PP，因此有： () 是偶数 是奇数 n n pp pp pp P n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 01 010 01 010 01 010 5 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 P112/11．解：矩阵P的特征多项式为： () ()( 11 1 1 ?++?= ?+? ??+ =?= ba bb aa PIf λλ λ λ λλ ) 由此可得特征值为：ba??== 1,1 21 λλ，及特征向量： ( ) ( ) TT baAA ?== ,,1,1 21 ， 令矩阵，则有： ? ? ? ? ? ? ? = b a A 1 1 ? ? ? ? ? ? ?? = ? ba PAA 10 01 1 因此有： () APA ba APA n n n )(11 10 01 ?? = ? ? ? ? ? ? ?? = () () () () () () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ??+ + ??? + ??? + ??+ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? + ++ ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ==? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ba baba ba babb ba baaa ba baab baba ba a ba b bab a AA ba AP nn nn nn n 11 11 11 10 01 1 1 10 01 1)( P112/12．解： 设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则 此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由 三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001， 为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011， 为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 8.02.0000000 004.06.00000 00006.04.000 0000004.06.0 6.04.0000000 004.06.00000 00006.04.000 0000002.08.0 P 6 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第四讲作业： P113/13．解：画出状态转移图，有： ?=??==?== =???==?=== 8 1 2 1 2 1 2 1 , 4 1 2 1 2 1 , 2 1 , 9 1 3 1 3 2 2 1 , 6 1 3 1 2 1 , 2 1 )3( 01 )2( 01 )1( 01 )3( 00 )2( 00 )1( 00 )1( 00 fff ffpf P113/14. 解：画出状态转移图，有： .,, ;,0, 1 2 1 )3( 0111 )2( 011 )1( 01 321 )3( 00 )2( 001 )1( 00 )1( 00 qpfqpfqf qqqffppf === ==== P113/16．解：画出状态转移图，有： （1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。 （3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且1 33 =f，所以状态3、4为常返态； 另外状态0、2相通组成一个闭集，且1 00 =f 1 ，故状态0、2是常返态；因为 ，故)1(0,2/1 )( 11 )1( 11 >== nff n 2/1 11 <=f，所以状态1为非常返态。 （4）0、1相通作成一闭集，且1 00 =f 0 44 ，故0、1为常返态；又， 因此，故2为常返态； )1(0,1 )( 22 )1( 22 >== nff n 1 22 =f 13/2,1 33 <=<= ff，故3、4为非常返态。 第六讲作业： P115/17．解：（1）一步转移矩阵为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 000 000 000 000 000 qp pq pq pq qp P （2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布： 0,0 >> qp 0 4 >P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 000 000 000 000 000 ),,,,(),,,,( 4321043210 qp pq pq pq qp ππππππππππ 7 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 1 43210 =++++ πππππ 解得极限分布即可。 P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：， 0 3 >P 因此可计算极限分布如下： 1 0100 9 1 9 4 9 4 0 0 9 4 9 4 9 1 0010 ),,,(),,,( 3210 32103210 =+++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ππππ ππππππππ 解以上方程，得极限分布： ? ? ? ? ? ? = 20 1 , 20 9 , 20 9 , 20 1 ),,,( 3210 ππππ P115/19．解：见课上讲稿。 P116/21．解：记L,2,1),(),( === nnYnX nn ηξ，则有： （1）因为： },,,,1{ },,,,0{ },,,,1{ },,,,0{ },,,{ 111111 111111 111111 111111 11111 iYiYiYXjYpP iYiYiYXjYqP iYiYiYjYXP iYiYiYjYXP iYiYiYjYP nnnnn nnnnn nnnnn nnnnn nnnn =====+ ====== =====+ ====== ==== ??++ ??++ ??++ ??++ ??+ L L L L L (A) 当时，有： 0=j 0},,,,10{ 1},,,,00{ 111111 111111 ====== ====== ??++ ??++ iYiYiYXYP iYiYiYXYP nnnnn nnnnn L L 由（A）可得： qiYiYiYjYP nnnn ===== ??+ },,,{ 11111 L 当且时，有： 0≠j 1+=ij 1},,,,11{ 0},,,,01{ 111111 111111 =====+= =====+= ??++ ??++ iYiYiYXiYP iYiYiYXiYP nnnnn nnnnn L L 8 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 由（A）可得： piYiYiYjYP nnnn ===== ??+ },,,{ 11111 L 当且时，有： 0≠j 1+≠ij 0},,,,1{ 0},,,,0{ 111111 111111 ====== ====== ??++ ??++ iYiYiYXjYP iYiYiYXjYP nnnnn nnnnn L L 由（A）可得： 0},,,{ 11111 ===== ??+ iYiYiYjYP nnnn L 另外：下列等式是明显的 ? ? ? ? ? += = === + 其它,0 1, 0, }{ 1 ijp jq iYjYP nn 因此我们有： }{},,,{ 111111 iYjYPiYiYiYjYP nnnnnn ======= +??+ L 即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为： }1, ≥nY n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = MMMMM L L L pq pq pq P 00 00 00 （2）画出转移矩阵图，可得： qpfqpfpqfqf nn 1)( 00 2)3( 00 )2( 00 )1( 00 ,,,, ? ==== L 由：及，并且取1 )0( 00 =p ∑ = ? = n k kn jj k ji n ji pfp 1 )()()( 0== ji，由递归可得： qp qpqqpfpfp qpfp n = =+=+= == )( 00 2)0( 00 )2( 00 )1( 00 )1( 00 )2( 00 )0( 00 )1( 00 )1( 00 LL （3）由于： 1 1 1 1 )( 0000 === ∑∑ ∞ = ? ∞ = n n n n qpff 9 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 ∞<= ∑ ∞ = q nf n n 1 1 )( 00 因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。 （4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们 有： 2 22 1 1 1 )( 00 1 1 }){(}{}{ 1 }{}{ q q TETETD q qpkfkkTkPTE k k k k k ? =?= ===== ∑∑∑ ∞ = ? ∞ = ∞ = 附录：关于随机向量变换的分布 若给定维随机变量n )1,( nkXX k ≤≤=的联合概率分布密度为， ，设有变换： )(xf X n k Rnkxx ∈≤= )1,( ≤ )1),(()( ,))((?)1),((: nkxgxg RxRxgnkxgyyL k nn kk ≤≤= ∈∈=≤≤== 对应的逆变换为： )1),(()( ,))((?)1),((: 1 nkxhxh RyRyhnkyhxxL k nn kk ≤≤= ∈∈=≤≤== ? 其中：为Borel可测函数。 kk hg , 记X和Y的取值范围分别为: },0)(,{ },0)(,{ GxxgyyG RxxfxG n X ∈>==′ ∈>= 且： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = j i y x J det 为变换的雅可比行列式。 我们有以下的定理： 定理：若上述变换满足： （1） 变换存在唯一的逆变换； GGL g ′?→?: GGL h ?→?′ ? : 1 （2） 有连续的偏导数（分别在G kk hg , G′,上）； 10 中科院研究生院2004～2005第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 （3） 在G中，（几乎处处）。 0≠J 则维随机向量n ))((?)1,)(( XgnkXgYY kk =≤≤==的联合概率密度为： GyJyhfyf XY ′∈= ,))(()( 例.设独立同分布，且，令：YX , )1,0(~UX θρθρ sin,cos == YX，其中 πθρ 2≤0,0 ≤≥，试求),( θρ的概率密度函数及边缘分布密度函数。 例. 设独立同分布，且都服从参数为YX , 1=λ的指数分布，令：U， ，求(的联合概率密度函数。 YX += YXV /= ),VU 11