随机过程：012

第三章 Poission过程（Poission信号流） 九、更新过程 概念及基本性质 定义：设
是独立同分布，取值非负的随机变量，分布函数为
，且
。令
，对
，记：
则称
为更新过程。 更新过程是一计数过程，并有：

记：
为
的分布函数，由
，易知：

证明：由全概率公式有：
即
是
的
重卷积，记作：
。 另外，记：
称
为更新函数。关于更新函数，有以下重要的定理。 定理：对于
，有：
证明：根据以上的关系式，计算得：
即有：
推论：若对
，
，则有：
下面是重要的更新方程。 定理：
，
满足下列更新方程：
证明：由
，得：
将
代入上式，即有所要的结果。 令：

则有：
证明：记：
（称为更新强度函数），由
，可得：
两边取Laplace变换，有：
由
及
，根据卷积的Laplace变换的性质，有：
因此，我们有：
极限性质 令：
，由
，可知
，下面给出几个极限定理。 定理：
推论：
推论：
，有：
记：
，则有： 定理：
。 定理：
证明：由于：
由以上的定理，两边取极限，我们可以得到：
由此定理，我们称
为更新过程的速率。 例子 例1：设
是独立同分布，非负取值的随机变量，且有：
求
。 例2：某更新过程的更新强度为：
求该更新过程
的时间间隔
的概率密度。 十、过滤的Poission过程 定义：设有一Poission分布的冲激脉冲串经过一线性时不变滤波器，则滤波器输出是一随机过程
，即
（*） 其中
是滤波器的冲激相应，
是第
个冲激脉冲出现的刻，
是
内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数，它服从Poission分布，即：

是单位时间内的平均脉冲数。我们称由（*）代表的随机过程为过滤的Poission过程。 设
是独立同分布的随机变量，并且
，由上节课的内容我们知道，在
的条件下，
的分布与
的顺序统计量
的分布是一样的。 给定关于过滤的Poission过程的一些基本假设：（a）
比
的脉冲持续时间
大得多，即
；（b）
是具有因果性的滤波器相应，即
时，
；（c）被研究的时刻
大于
的脉冲持续时间
，即
。 下面研究过滤的Poission过程的一些统计特性。 （1）
的均值
下面求
：利用过滤的Poission过程的基本假设，有：
因此，我们有：
（2）
的相关函数

其中
。 利用条件数学期望，我们有：
上面的等式中，当
时，一共有
项，有：
当
时，一共有
项，利用独立性和假设条件，每项为：
因此，我们有：
其中我们利用了：

同时我们得到：
（3）
的特征函数
而：
代入计算，有：
由于
具有因果性，其持续时间
，同时认为
，因此，在
和
内，有
。因此我们得到：
（**） 注意：在给定的假设条件下，随机过程
的特征函数与
无关，也就是说
的一维概率密度与时间
无关，这样的随机过程称为一级严平稳过程，同理可以证明，任取

的联合概率密度仅与时间差
有关，具有这样性质的随机过程称为严平稳过程，过滤的Poission过程就是严平稳过程。 另外，利用（**）式，我们有：
由特征函数与随机变量数字特征的关系，我们有：

这些结果与（1）、（2）中所获得的结果是一致的。 当
时，特征函数的极限形式 我们记：
则有：
作随机变量标准化变换，令：
则有：
下面求随即过程
的特征函数。
以上用到了特征函数的性质。两边求对数，我们有：
上式中令
，我们得到：
由特征函数与分布函数唯一确定性，我们知道当
时，
是服从标准正态分布的随机变量。因此可知
也是服从正态分布的随机变量。即单位时间内出现的平均脉冲数无限增大时，
的极限分布是正态分布，这符合中心极限定理。 例：设
是参数为
的Poission过程，
是一确定性实函数，并且设
记
是
的第
个事件到达的时刻，
是一独立同分布的离散型随机变量序列，其分布率为：
令
，
与
相互独立。现在构造一随即过程：
试求随机过程
的均值函数和相关函数。 解：（1）求均值函数： 由条件数学期望的性质，我们有：
又有：
故有：
（2）求相关函数： 由相关函数的定义，有：
由
与
相互独立性，及
，我们可得：
由第十一讲中的最后一个例子我们可知，在条件
下，
的条件分布密度为：
因此我们有：
即：
习题：P237－238：28、30。