第三章 Poission过程（Poission信号流）
到达时间的条件分布
下面讨论在条件下，的条件分布问题。
定理：设为时齐Poission过程，则对，有：
证明：
定理：设为Poission过程，则事件相继发生的时间在已知条件下的条件概率密度为
证明：对，取及充分小的，使得，则有：
因此可得定理的结果。
本定理说明：在的条件下，事件相继发生的时间的条件分布与个在上相互独立同均匀分布的顺序统计量的分布函数一样。
定理：设为计数过程，为第个事件与第个事件的时间间隔，独立同分布且，若且对，有
则为Poission过程。
定理：设为计数过程，为第个事件与第个事件的时间间隔，独立同分布且，若，且对，有
则为Poission过程。
例：设到达火车站的顾客流遵循参数为的Poission流，火车时刻离开车站，求在到达车站的顾客等待时间总和的期望值。
解：设第个顾客到达火车站的时刻为，则内到达车站的顾客等待时间总和为：
因为：
故：
例：设一系统在内受冲击的次数是参数为的齐次Poission过程，第次受冲击的损失为，其中是独立同分布并与独立，且损失随时间按负指数衰减。的衰减为，经时刻损失为(为常数)，设损失可加，时刻的总损失为，其中为第次冲击到达的时刻，试求。
解：由于：
记为上独立同均匀分布的随即变量，则有：
所以有：
即有：
故：
非齐次（时齐）Poission过程
定义：一计数过程，称它为具有强度函数的非齐次Poission过程，若满足：
（a）
（b）独立增量过程，即任取，
相互独立；
（c）对任意，和充分小的，有：
其中（称为强度常数）。
记：，则有：
定理：若为非时齐具有强度函数的Poission过程，则，有：
定理：（变换定理）
（a）设为具有强度函数的非时齐Poission过程，令，是的反函数（由于单调增，反函数一定存在），记，则是时齐Poission过程。
（b）设是时齐Poission过程，参数。若强度函数，令，，则是非时齐的具有强度函数的Poission过程。
复合Poission过程
定义：设是独立同分布的随即变量序列，为Poission过程，且与独立，记：
称为复合Poission过程。
物理意义：如表示粒子流，表示内到达的粒子数，表示第个粒子的能量，则表示内到达的粒子的总能量。若表示顾客流，表示第个顾客的行李重量，则表示内到达的顾客的行李总重量。若某保险公司买了人寿保险的人在时刻死亡，在时刻死亡的人的保险金额是，在内死亡的人数为，则表示该公司在内需要支付的赔偿金总额。
我们关心的是复合Poission过程的一些数字特征。
定义：随机变量的矩母函数定义为：
若上面的积分存在。
如果的解中心矩存在，则有：
下面求复合Poission过程的数学期望和方差。
先求的矩母函数：
令的矩母函数为，则有：
对上式在处求导数，有：
以及
特殊情形：若为独立同分布，取值为正整数的随即变量序列，且与Poission过程度独立，记
则称为平稳无后效流。
条件Poission过程
定义：设是一正的随即变量，分布函数为，设是一计数过程，且在给定条件下，是一Poission过程，即，有：
则称是条件Poission过程。
注意，条件Poission过程不一定是增量独立过程，因为由全概率公式我们有：
例子
例：设和分别为强度和的Poission过程，证明在的任一到达时间间隔内，恰有个事件发生的概率为：
证明：根据二中的定理，可以令为的任一到达时间间隔并且，即的分布密度为：
由此可知：
例：设是强度为的Poission过程，求在内发生了个事件的条件下，第个事件发生时刻的概率密度。
解：取充分小的，则有：
两边除以，并令，我们有：
最后我们可以得到结果：
习题：P230－238：8、10、12。
