第三章 电路的暂态分析
主要内容：
◆ 电路暂态过程及换路定则
◆ RC,RL电路响应
◆ 电路分析的 三要素法
◆ 微分电路与积分电路
暂态过程的利与弊：
◆ 利：改善波形，产生波形
◆ 弊：产生过压过流，易损坏设备
研究暂态过程的目的：
◆ 认识暂态过程的规律
◆ 利用暂态特性，预防暂态危害
§ 3.1 电阻元件、电感元件与电容元件
★ 电路条件发生变化：
指电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等
★ 暂态过程：
当 电路条件发生变化 时电路的状态就会发生变化。当电路中
有电容或电感等储能元件存在 时，则电路状态的转变就不是
突变的，而需要经过一定短暂的时间才能达到稳态 ——即有
一个暂态过程。
★ 有电容或电感等储能元件存在时存在暂态，电阻电路不存在暂态
1、电阻元件
无过渡过程
I
t = 0
E R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，
不存在过渡过程。
t
2、电感元件
电感为储能元件，储存的能量为磁场能量，大小为：
2
0 2
1d LituiW t
L ?? ?
存储和释放 能量需要过程，所以 电路存在过渡过程。
K R
E
+
_
t=0
iL
t
Li
暂态
稳态
E/ R
电容为储能元件，储存的能量为电场能量,大小为：
2
0 2
1d CutiuW t
C ?? ?
同样，能量存储和释放需要过程，所以 电路存在过渡过程。
2、电容元件
E
K R
+
_ C
uC
t=0
E
t
Cu
暂态
稳态
★ 换路,电路的接通、断开、短路、电压改变或参数改变等
§ 3.2 储能元件和换路定则
★ 换路定理,换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
即,t=0时换路
?0
?0
,换路前 瞬间
,换路后 瞬间
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
有：
★ 初始值,
在 t=0+时电路中 电压、电流的瞬态值 称为暂态电路的 初始值
★ 初始值的确定,
① 换路前的瞬间, 将电路视为稳态 ——电容开路, 电感短路 。
③ 换路后的瞬间, 若储能元件储有能量, 则电容用定值电
压 uC(0–) 或电感用 i L(0–) 定值电流代替 。 若电路无储能,
则视电容 C为短路, 电感 L为开路 。
④ 根据克希荷夫定律 和换路后的等效电路 计算出其它电压及
电流各量。
② 利用换路定则求初始值 。
试确定如图电路在开关 S 断开后的初始值。例
6V
iC
i1
i2
uC 4?
2?
C
+
–
S
0t ?
在 t = 0– 时刻
在 t = 0 + 时刻
解：
0iC ?
0i2 ?
V4uC ?
,A1ii 21 ??
V4uC ?
A1ii C1 ??换路前后,ic发生突变,uc不变
已知,
电压表内阻
H1k1V20 ???? LRU,、
?? k500VR
开关 K 在 t = 0 时打开,求, 开关 K打
开的瞬间,电压表的读数。
例 K
U
L
V
R
iL
t = 0
t=0+时 (换路前 )电路
解,
由换路定则得,
换路前,
mA201 0 0020)0( ???? RUi L
换路瞬间 iL(大小,方向都不变 )
t=0时的换路瞬间, mA20)0()0( ?? ?? LL ii
VLV Riu ?? ?? )0()0(
电压表两端电压,
=20× 10-3× 500× 103=10000V
t=0-时 (换路后 )的等效电路
mA20)0( ?? ?LS iI
V
K
产生过压，损
坏电表！！
★ 电感过压的保护措施
措施二：加低值泄放电阻
K
U V
L
R
iL
R'
措施一：加续流二极管
K
U V
L
R
iL
§ 3.3 ＲＣ电路的响应
经典分析方法,用数学方法 求解微分方程, 计算电压和电流
响应的时间函数，这是一种 时域分析法．
１, RC电路的零输入响应
指 无电源激励，输入信号为零。
在电容元件的初始状态作用下
所产生的响应。
即分析在电容元件 放电过程 中
所产生响应的规律。
i
U
R uR
uC
C
+
–
S2
1
0t ?
又
开关 S掷向 1 后，在 RC回路中电压方程为：
uC
0uu CR ??
dt
duRCiRu C
R ??
0udtduRC CC ??\
方程是关于 uC 的一阶线性
微分方程 。 其通解为：
tRC1
C Aeu
??
由初始条件 确定 A:? ?
00 Uu C ?? 0UA ?
i
U
R uR
C
+
–
S2
1
0t ?
? = RC具有时间的量纲，称 为时间常数．
时间常数 ?决定电路过渡过程变化的快慢。
当 t = RC 时，
?
t
RC
t
C eUeUu
?? ??
00\
0
1
0C U%8.36eUu ??
? uC 随时间的变化关系曲线
t 0 ? ?2 ?3 ?4 ?5
Cu
0 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993 0.998
?6
?从理论上讲，电路只有经过 ∞ 的时
间才能达到稳定。通过计算可以看
出：当经（ 3~5） τ 时，就足可以认
为达到稳定状态。
U0
u
t
0 ?
３６,８％ U0
?
次切距
已知 S闭合前电路已处于稳定状态,R1=R2=R3 = 100Ω,
C=0.02F。试求在 t=0时,S断开后的 uC（ t）．
例
t=0
S+
- 24V
US
R1 R2
R3C+uC
-
i3
解,（１）求 uC（ 0-）
V
uu CC
８
24
100 ＋ 100100
100
)0()0(
?
×??
? ??
SCRR RRRC 102.0100100×
32
32 ?×
?????? 100
100
（２）求时间常数
（３）求 uC（ t）
VeeUtu ttC ?? ?? 16)(
1
0
?
２, RC电路的零状态响应
指换路前电容元件未储有能量，
uC(0–)=0。由电源激励所产生的
电路的响应。
即分析在电容元件 充电过程 中所
产生响应的规律。
uC
i
U
R uR
C
+
–
S
初始值：
0)0()0( ?? ?? CC uu
C
C u
dt
duRCU ??? 时，0t
由回路电压定理得：
tRC
CCC AeUuuu
1?
??????? tRC
CCC AeUuuu
1?
???????
由初始条件
0)(0)(0 ?? ?? CC uu
可得,
UA ??
解微分方程得：
)1(
11 t
RC
t
RC
C eUAeUu
??
????∴
RC=?仍为电路的时间
常数, 当 t=?时
uc
t
0
U
?
)718.2 11()1( 1 ???? ? UeUuC
UU %2.63)368.01( ???
+
-
U1
+
-
U2
R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
在 t=0+时, 初始值为,
3,RC电路的全响应
电源的激励和电容元件的初始状态 uC(0+)均不为零时
的电路响应。
根据叠加原理，可认为 是零输入响应与零状态响应
的叠加。
)0()0( ?? ? CC uu
1
21
2 U
RR
R
??
由基尔霍夫电流定理得：
0iii C21 ???
0dtduCRuR uU C
2
C
1
C2 ????即,
解微分方程得：
C)RR(CRR RRCR 21
21
21 ?
?????
该电路的时间常数：
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
)e1(URR ReURR Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
???? ?
????
§ 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
◆ 一阶线性电路,只 含有一个储能元件或可等效为一
个储能元件 的线性电路，其电路方程都是一阶线性
常系数微分方程的电路。
?teffftf ?????? ? )]()([)()( 0◆ 三要素法只适用于分析一阶线性电路的暂态过程,
◆ 三要素法公式,
。?
、)( ?0f
、)(?f
三个要素,(1)初始值,
(2)稳态值,
(3)时间常数,
?teffftf ??????
? )]()([)()( 0
为电路中的 任一电压或电流的暂态规律?teffftf ??????
? )]()([)()( 0
用三要素法写出图示曲线所示 uC暂态响应。
t (s)
uC(V)
3
0
6 9 12
-5
-15
-11.32
解,
(2)时间常数：
(3)由三要素公式得,
例
V50u ???)(
V15uC ???)(
(1)初始值与稳态值
1
10
68.3
)5(15
)32.11(15 ???
???
?? e
∴ s3??eu t
C
3/)]15(5[15 ???????
t 3/? Ve1015???
（ 1）初始值
0)(0)(0 ?? ?? CC uu
V6)(0 ＝?ou（ 2）稳态值
V2)(
21
1 ?
?? RR
URu
C ＝
V426)( ??? ＝ou
（ 3）时间常数
s5
21
21 10
3
2 ???
?? CRR
RR?
V)( t.t.C eeu 55 10511051 22202 ???? ?????
V)( t.t.o eeu 55 10511051 24464 ???? ?????
例
? ?Cu
C pF1000
2R
1R ?k10
?k20
S
0?t
?
?ou
U 6V
求电路在 t≥0 时的 和 。设
0?? )(0CuOC
uu
3.5.1 微分电路
t= t1 ~ t2
+
ou
-
t=0 ~ t1
+
+
-U
ou
R
iu ou
++
- -
C
iu
t
ou
T t
t1 t2
tpU
U
-U
RC电路满足微分关系的条件：
（ 1） τ << tP
（ 2）从电阻端输出
3.5.2 积分电路
ou
+
-t= t1 ~ t2
C
R
iu
ou
+
-
+
-
t=0 ~ t1 +
-U ou
+
-
ou
t
T t
t1 t2
tpU
U
RC 电路满足积分关系的条件：
（ 1） τ >> tP
（ 2）从电容器两端输出
◆ RL构成的线性电路也是一阶线性电路，也具有暂态过
程。 电路也具有 零状态响应、零输入响应 及 全响应 。
◆ 可用解析法求解微分方程或用三要素法进行分析 。
3.5.2 RL电路的响应
◆ 注意对时间常数 τ=R/L的求解。
计算如图换路后的电流 iL.例
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
解, 在 t≥ 0 时, S闭合
21 iiiL ??
2
2
1
1
R
uU
R
uU LL ????
LuRR
RR
R
U
R
U
21
21
2
2
1
1 ????
又, dtLdiu LL /?
得, )(1
2
2
1
1
21
21
R
U
R
Ui
RR
RR
Ldt
di
LL ?????
时间常数,
由初始条件,
得,
即,
解方程,
得,
R
L
RR
RRL
??
???
21
21
dtIIi di
SSL
L
?????
1
)( 21
????? /
21
t
SSL KeIIi
111 /)0()0( SLL IRUii ??? ??
222 /RUIK S ????
)1( /21 ????? tSSL eIIi
代入数据,
由此得,
)1( /21 ????? tSSL eIIi
AIS 26/121 ??
AIS 33/92 ??
sRR RRL 2163 631
21
21 ?
×
?
×?
???
Aeei ttL 22 35)1(32 ?? ?????
对于 i1,1)0(1 Ai ??,2)(1 Ai ?? Aei t21 2 ???
对于 i2,1)0(2 Ai ??,3)(2 Ai ?? Aei t21 23 ???
主要内容：
◆ 电路暂态过程及换路定则
◆ RC,RL电路响应
◆ 电路分析的 三要素法
◆ 微分电路与积分电路
暂态过程的利与弊：
◆ 利：改善波形，产生波形
◆ 弊：产生过压过流，易损坏设备
研究暂态过程的目的：
◆ 认识暂态过程的规律
◆ 利用暂态特性，预防暂态危害
§ 3.1 电阻元件、电感元件与电容元件
★ 电路条件发生变化：
指电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等
★ 暂态过程：
当 电路条件发生变化 时电路的状态就会发生变化。当电路中
有电容或电感等储能元件存在 时，则电路状态的转变就不是
突变的，而需要经过一定短暂的时间才能达到稳态 ——即有
一个暂态过程。
★ 有电容或电感等储能元件存在时存在暂态，电阻电路不存在暂态
1、电阻元件
无过渡过程
I
t = 0
E R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，
不存在过渡过程。
t
2、电感元件
电感为储能元件，储存的能量为磁场能量，大小为：
2
0 2
1d LituiW t
L ?? ?
存储和释放 能量需要过程，所以 电路存在过渡过程。
K R
E
+
_
t=0
iL
t
Li
暂态
稳态
E/ R
电容为储能元件，储存的能量为电场能量,大小为：
2
0 2
1d CutiuW t
C ?? ?
同样，能量存储和释放需要过程，所以 电路存在过渡过程。
2、电容元件
E
K R
+
_ C
uC
t=0
E
t
Cu
暂态
稳态
★ 换路,电路的接通、断开、短路、电压改变或参数改变等
§ 3.2 储能元件和换路定则
★ 换路定理,换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
即,t=0时换路
?0
?0
,换路前 瞬间
,换路后 瞬间
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
有：
★ 初始值,
在 t=0+时电路中 电压、电流的瞬态值 称为暂态电路的 初始值
★ 初始值的确定,
① 换路前的瞬间, 将电路视为稳态 ——电容开路, 电感短路 。
③ 换路后的瞬间, 若储能元件储有能量, 则电容用定值电
压 uC(0–) 或电感用 i L(0–) 定值电流代替 。 若电路无储能,
则视电容 C为短路, 电感 L为开路 。
④ 根据克希荷夫定律 和换路后的等效电路 计算出其它电压及
电流各量。
② 利用换路定则求初始值 。
试确定如图电路在开关 S 断开后的初始值。例
6V
iC
i1
i2
uC 4?
2?
C
+
–
S
0t ?
在 t = 0– 时刻
在 t = 0 + 时刻
解：
0iC ?
0i2 ?
V4uC ?
,A1ii 21 ??
V4uC ?
A1ii C1 ??换路前后,ic发生突变,uc不变
已知,
电压表内阻
H1k1V20 ???? LRU,、
?? k500VR
开关 K 在 t = 0 时打开,求, 开关 K打
开的瞬间,电压表的读数。
例 K
U
L
V
R
iL
t = 0
t=0+时 (换路前 )电路
解,
由换路定则得,
换路前,
mA201 0 0020)0( ???? RUi L
换路瞬间 iL(大小,方向都不变 )
t=0时的换路瞬间, mA20)0()0( ?? ?? LL ii
VLV Riu ?? ?? )0()0(
电压表两端电压,
=20× 10-3× 500× 103=10000V
t=0-时 (换路后 )的等效电路
mA20)0( ?? ?LS iI
V
K
产生过压，损
坏电表！！
★ 电感过压的保护措施
措施二：加低值泄放电阻
K
U V
L
R
iL
R'
措施一：加续流二极管
K
U V
L
R
iL
§ 3.3 ＲＣ电路的响应
经典分析方法,用数学方法 求解微分方程, 计算电压和电流
响应的时间函数，这是一种 时域分析法．
１, RC电路的零输入响应
指 无电源激励，输入信号为零。
在电容元件的初始状态作用下
所产生的响应。
即分析在电容元件 放电过程 中
所产生响应的规律。
i
U
R uR
uC
C
+
–
S2
1
0t ?
又
开关 S掷向 1 后，在 RC回路中电压方程为：
uC
0uu CR ??
dt
duRCiRu C
R ??
0udtduRC CC ??\
方程是关于 uC 的一阶线性
微分方程 。 其通解为：
tRC1
C Aeu
??
由初始条件 确定 A:? ?
00 Uu C ?? 0UA ?
i
U
R uR
C
+
–
S2
1
0t ?
? = RC具有时间的量纲，称 为时间常数．
时间常数 ?决定电路过渡过程变化的快慢。
当 t = RC 时，
?
t
RC
t
C eUeUu
?? ??
00\
0
1
0C U%8.36eUu ??
? uC 随时间的变化关系曲线
t 0 ? ?2 ?3 ?4 ?5
Cu
0 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993 0.998
?6
?从理论上讲，电路只有经过 ∞ 的时
间才能达到稳定。通过计算可以看
出：当经（ 3~5） τ 时，就足可以认
为达到稳定状态。
U0
u
t
0 ?
３６,８％ U0
?
次切距
已知 S闭合前电路已处于稳定状态,R1=R2=R3 = 100Ω,
C=0.02F。试求在 t=0时,S断开后的 uC（ t）．
例
t=0
S+
- 24V
US
R1 R2
R3C+uC
-
i3
解,（１）求 uC（ 0-）
V
uu CC
８
24
100 ＋ 100100
100
)0()0(
?
×??
? ??
SCRR RRRC 102.0100100×
32
32 ?×
?????? 100
100
（２）求时间常数
（３）求 uC（ t）
VeeUtu ttC ?? ?? 16)(
1
0
?
２, RC电路的零状态响应
指换路前电容元件未储有能量，
uC(0–)=0。由电源激励所产生的
电路的响应。
即分析在电容元件 充电过程 中所
产生响应的规律。
uC
i
U
R uR
C
+
–
S
初始值：
0)0()0( ?? ?? CC uu
C
C u
dt
duRCU ??? 时，0t
由回路电压定理得：
tRC
CCC AeUuuu
1?
??????? tRC
CCC AeUuuu
1?
???????
由初始条件
0)(0)(0 ?? ?? CC uu
可得,
UA ??
解微分方程得：
)1(
11 t
RC
t
RC
C eUAeUu
??
????∴
RC=?仍为电路的时间
常数, 当 t=?时
uc
t
0
U
?
)718.2 11()1( 1 ???? ? UeUuC
UU %2.63)368.01( ???
+
-
U1
+
-
U2
R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
在 t=0+时, 初始值为,
3,RC电路的全响应
电源的激励和电容元件的初始状态 uC(0+)均不为零时
的电路响应。
根据叠加原理，可认为 是零输入响应与零状态响应
的叠加。
)0()0( ?? ? CC uu
1
21
2 U
RR
R
??
由基尔霍夫电流定理得：
0iii C21 ???
0dtduCRuR uU C
2
C
1
C2 ????即,
解微分方程得：
C)RR(CRR RRCR 21
21
21 ?
?????
该电路的时间常数：
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
)e1(URR ReURR Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
???? ?
????
§ 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
◆ 一阶线性电路,只 含有一个储能元件或可等效为一
个储能元件 的线性电路，其电路方程都是一阶线性
常系数微分方程的电路。
?teffftf ?????? ? )]()([)()( 0◆ 三要素法只适用于分析一阶线性电路的暂态过程,
◆ 三要素法公式,
。?
、)( ?0f
、)(?f
三个要素,(1)初始值,
(2)稳态值,
(3)时间常数,
?teffftf ??????
? )]()([)()( 0
为电路中的 任一电压或电流的暂态规律?teffftf ??????
? )]()([)()( 0
用三要素法写出图示曲线所示 uC暂态响应。
t (s)
uC(V)
3
0
6 9 12
-5
-15
-11.32
解,
(2)时间常数：
(3)由三要素公式得,
例
V50u ???)(
V15uC ???)(
(1)初始值与稳态值
1
10
68.3
)5(15
)32.11(15 ???
???
?? e
∴ s3??eu t
C
3/)]15(5[15 ???????
t 3/? Ve1015???
（ 1）初始值
0)(0)(0 ?? ?? CC uu
V6)(0 ＝?ou（ 2）稳态值
V2)(
21
1 ?
?? RR
URu
C ＝
V426)( ??? ＝ou
（ 3）时间常数
s5
21
21 10
3
2 ???
?? CRR
RR?
V)( t.t.C eeu 55 10511051 22202 ???? ?????
V)( t.t.o eeu 55 10511051 24464 ???? ?????
例
? ?Cu
C pF1000
2R
1R ?k10
?k20
S
0?t
?
?ou
U 6V
求电路在 t≥0 时的 和 。设
0?? )(0CuOC
uu
3.5.1 微分电路
t= t1 ~ t2
+
ou
-
t=0 ~ t1
+
+
-U
ou
R
iu ou
++
- -
C
iu
t
ou
T t
t1 t2
tpU
U
-U
RC电路满足微分关系的条件：
（ 1） τ << tP
（ 2）从电阻端输出
3.5.2 积分电路
ou
+
-t= t1 ~ t2
C
R
iu
ou
+
-
+
-
t=0 ~ t1 +
-U ou
+
-
ou
t
T t
t1 t2
tpU
U
RC 电路满足积分关系的条件：
（ 1） τ >> tP
（ 2）从电容器两端输出
◆ RL构成的线性电路也是一阶线性电路，也具有暂态过
程。 电路也具有 零状态响应、零输入响应 及 全响应 。
◆ 可用解析法求解微分方程或用三要素法进行分析 。
3.5.2 RL电路的响应
◆ 注意对时间常数 τ=R/L的求解。
计算如图换路后的电流 iL.例
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
解, 在 t≥ 0 时, S闭合
21 iiiL ??
2
2
1
1
R
uU
R
uU LL ????
LuRR
RR
R
U
R
U
21
21
2
2
1
1 ????
又, dtLdiu LL /?
得, )(1
2
2
1
1
21
21
R
U
R
Ui
RR
RR
Ldt
di
LL ?????
时间常数,
由初始条件,
得,
即,
解方程,
得,
R
L
RR
RRL
??
???
21
21
dtIIi di
SSL
L
?????
1
)( 21
????? /
21
t
SSL KeIIi
111 /)0()0( SLL IRUii ??? ??
222 /RUIK S ????
)1( /21 ????? tSSL eIIi
代入数据,
由此得,
)1( /21 ????? tSSL eIIi
AIS 26/121 ??
AIS 33/92 ??
sRR RRL 2163 631
21
21 ?
×
?
×?
???
Aeei ttL 22 35)1(32 ?? ?????
对于 i1,1)0(1 Ai ??,2)(1 Ai ?? Aei t21 2 ???
对于 i2,1)0(2 Ai ??,3)(2 Ai ?? Aei t21 23 ???
