主要内容：
◆ 正弦电压与电流
◆ 正弦量的相量表示
◆ 单一参数的交流电路
◆ 电阻、电感与电容元件
串联的交流电路
◆ 阻抗的串联与并联
◆ 交流电路的频率特性
◆ 功率因素的提高
第四章 正弦交流电路
§ ４,1 正弦电压与电流
◆ 在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变
化，这样的电路称为正弦交流电路。
◆ 正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性
变化，如右图所示。
RU
i
( b ) 正半周
?
RU
i
( c ) 负半周
?
u(i)
t
(a)正弦波形
?
★ 正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，
因此，正弦交流电包含 三个要素,即 频率、幅值和初相位 。
1、正弦交流电的三要素
以交流电流为例：
? t ?
i
mI
,电流幅值（最大值）
,角频率（弧度 /秒）
,初相角
mI
?
?
三要素
( )?? ?= tIi m sin
描述正弦量变化快慢的几种方法：
1.周期 T,变化一周所需的时间（单位：秒、毫秒）
正弦交流电三要素之一 —— 频率与周期
3.角频率 ω, 每秒变化的弧度（单位：弧度 /秒）
2.频率 f,每秒变化的次数（单位：赫兹、千赫兹
i
t ?
T
Tf
1= f
T π2
π2 ==?相互间关系：
★ 常用的频率范围：
● 我国电力的标准频率为 50Hz；美、日等
国采用标准为 60Hz。
● 中频电炉的工作频率为 500—8000Hz；
● 高频电炉的工作频率为 200—300kHz；
● 无线电工程的频率为 104—30× 1010Hz。
● 低频电子工程的频率为 20—20× 103Hz。
( )?? ?= tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
★ 用仪表测得的交流电压、电流值，就是
被测物理量的有效值。标准电压 220V,也
是指供电电压的有效值。
最大值表示方法电量名称必须大写,下标加 m
正弦交流电三要素之二 —— 幅值与有效值
★ 有效值 是从电流的热效应相等来定义的。
★ 在 同一周期时间内, 正弦交流电流 i和 直
流电流 I对同一电阻 具有相同的热效应,就用
I表示 i 的 有效值。
有效值
tRi
T
d
0
2?
交流电流 直流电流
RTI 2=即：
对正弦交流电流则有：
?= T tiTI 0 2d1 2mI=
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。?
i
?
t ?
）（ ?? ?t
：正弦波的相位角或相位。
正弦交流电三要素之三 —— 初相位
( )?? ?= tIi sin2
初相位, 给出了观察正弦波的起点或参考点?
( ) ( ) 1212 ??????? ?=???= tt
两个 同频率 正弦量间的相位相比较 (初相位差 )
( )
( )222
111
s i n
s i n
??
??
?=
?=
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i
1i
?t
i
当 ? =(?1 – ?2) > 0 时，称 i1 与 i2 越前 ?角；
当 ? =(?1 – ?2) < 0 时，称 i1 与 i2 滞后 ?角；
当 ? =(?1 – ?2) = 0 时，称 i1 与 i2 同相 。
i
① 波形图
t ?
正弦量的表示方法：
§ ４,2 正弦量的相量表示法
② 瞬时值表达式
( )??= 301 0 0 0s i n ti
须小
写I.U.③ 相量（ 难点 ）
大写并加
,.”
★ 正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表
示出这二个参数必须采用矢量或复数。
正弦量的相量表示法：
★ 正弦周期量才能用相量表示，非正弦周期量不能用相
量表示。且只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上 。
★ 正弦量用相量表示可简化正弦交流电路的分析与计算。
相量表示,一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转
的有向线段在纵轴上的投影值来表示。
★ 只包含幅值与初相位两个要素。
jy
x0
A
??
y
设在 复平面 上 (直角坐标系 OX为实轴,OY
为虚轴 )复数 A(a,b)可表示为,
A = a + jb
在极坐标系中则表示为,
A = r / ?
变换关系为：
或：
22 bar ?=
a
barctg=?
?= cosra
?= sinrb
∴ A=r (cos? + j sin? )
又由欧拉公式得,A = r e j?
注,相量 与正弦量 只存在 对应关系,而不是相等关系
( ) ( )iim tI S i ntS i nIi ???? ?=?= 2
)sin( ???= tUu m
i
j IIeI i ?? ?==?
u
j UUeU u ?? ?==?
求表示 i,u的相量, 及相位差,并作出相量图。?I ?U iu?
已知正弦电流、正弦电压分别为 ( )33 1 414.14 ??= tS ini A
( )63141.311 ??= tS inu V
例
解：
i超前 u900.在相量图上
可以很直观地看出相互
之间的相位关系。
,263 ???? =?
?
??
?
? ??=
iu
31032
14.14 ??? ?=?=?=?
iII A
622062
1.311 ??? ??=??=?=?
uUU V
向量图
+j
+1
6
?3
?
?
U
?
I
波形图
瞬时值
相量图
复数形式
正弦波的四种表示法
( )?? ?= tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
U,I.
?? ??=?= UUbaU jej.
1,电阻元件的交流电路
u
i
R
根据欧姆定律,
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
===
=设,
则,
§ ４,3 单一参数的交流电路
iRu =
电阻电路中电流、电压的关系,
1,频率相同 2,相位相同
3,有效值关系,IRU =
4,相量关系：设 o0?= U
.
U I
,U.
电阻电路中功率的计算
)(s i n2
)(s i n2
tUu
tIi
?
?
=
=
◆ 瞬时功率 p(p小写 )：瞬时电压与瞬时电流的乘积
RuiRiu /22==pR =
u
i
R
(1) （耗能元件）
0?p
(2) 随时间变化
p
22 iu,
(3) 与 成比例
p
ωt
u i
p
ωt+ +
?? ?==
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d1d1
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
=?=
=
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
◆ 平均功率（有功功率） P(P大写 ),一个周期内的
瞬时功率平均值
P∴ RURIIU /22 ===
t
iLu
d
d=基本关系式：
tIi ?s i n2=设
)90s i n (2
)90s i n (2
co s2
d
d
o
o
?=
?=
?==
tU
tLI
tLI
t
i
Lu
?
??
??则
2,电感元件的交流电路 i
u eL L
电感电路中电流、电压的关系,
(1)频率相同
(2)相位相差 90° （ u 领先 i 90 ° ） U
II
LI?
.
.(3)有效值 LXI=(4)相量关系
??? == ILjIjXU
L ?
LIU ?=
)90s i n (2
s i n2
o?=
=
tUu
tIi
?
?
电感电路中功率的计算
◆ 瞬时功率 p(p小写 )：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u eL L
tUI
ttUIuip
?
??
2sin
cossin2
=
=×=
当 u与 i的瞬时值为同号时,p? 0，电感元件 取用功率
(为负载 ),磁能增加 ；当 u 与 i 的瞬时值为同号时，
p ? 0，电感元件 发出功率 (相当于电源 )，电感元件的
磁能减少 。
★ 纯电感 不消耗能量,只和电源进行 能量交换 （能量
的吞吐）。能量交换的规模，用无功功率 Q来衡量。
◆ 平均功率（有功功率） P(P大写 ),一个周期内的
瞬时功率平均值
0d)2(sin1
d1
0
0
==
=
?
?
ttUIT
tpTP
T
T
?
无功功率 Q的单位是 乏 (Var)或千 (kVar)。
◆ 无功功率 Q,
用以衡量电感电路中能量交换的规模
LL X
UXIIUQ 22 ===
电感瞬时功率所能达到的最大值。
把一个 0.1H的电感元件接到频率为 50Hz、电压有效值为
10V的正弦电源上,问电流是多少？如保持电压值不变，
而电源频率改变为 5000Hz，这时电流为多少？
解：当 f = 50Hz时，
当 f = 5000Hz时，
mAA
X
UI
fLX
L
L
318318.0
4.31
10
4.311.05014.322
====
?=???== ?
mAA
X
UI
X
L
L
18.300318.0
3140
10
31401.0500014.32
====
?=???=
例
基本关系式,
t
uCi
d
d=
设：
tUu ?s i n2=
u
i
C
则：
３,电容元件的交流电路
)90sin(2
cos2dd
o?=
==
tCU
tUCtuCi
??
??
电容电路中电流、电压的关系
（１）频率相同
（２）相位相差 90° （ u 落后 i90° ）
（３） 有效值 或CUI ?= I
CU ?
1=
（４） 相量关系
．
CU?
U
I
U．
电容电路中功率的计算
◆ 瞬时功率 p(p小写 )：瞬时电压与瞬时电流的乘积
u
i
C )90s i n (2
s i n2
o?=
=
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n?=?=
◆ 平均功率（有功功率） P(P大写 ),一个周期内的
瞬时功率平均值
T ?
?
=?=
=
T
T
ttIU
tPTP
0
0
0d2sin1
d1
?
（电容性无功取负值）
UIQ ?=
◆ 无功功率 Q,
用以衡量电感电路中能量交换的规模
电感瞬时功率所能达到的最大值。
解：当 f=50Hz时,?=????== ? 4.12710255014.32 12 1 6fCX C ?
mAAXUI
C
78078.04.127 10 ====
可见，在电压值一定时，频率愈高，通过电容元
件的电流愈大。
当 f=5000Hz时，
AI 8.7274.1 10 ==
?=????== ? 274.11025500014.32 12 1 6fCX C ?
把一个 的电容元件接到频率为 50Hz、电压有效值
为 10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，
而电源频率改为 5000Hz，这时电流将为多少？
f?25
例
◆ 电流、电压的关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
§ ４,４ 电阻、电感与电容串联交流电路
CLR uuuu ??=
???= id tCdtdiLiR 1
CLCLR jXIjXIRIUUUU
??????? ??=??=
( )? ?CL XXjRI ??= ?
( )CL XXjR
I
U ??=
?
?或写成
?
?
LU
?
RU?
CU
?
CU
?
U
?
?
LU
?
CU ?I
?
RU.
CL UU,,?
.U
以电流为相位参考，故总电压的有效值 ZIU =
ZIZIU mm == 2幅值：
令 ( )CL XXjRZ ??=
?? = IZU则 ?jeZIU ?? =或
应注意几点：
1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特
别是相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电
压应等于三个元件上电压的相量和，
如果直接写成 那就不对了。 CLR UUUU ??=
２,复数阻抗的实部为, 阻,,虚部为, 抗,,它表示了
串联电路的电压与电流之间的关系，模 |Z|反映大小关系，
辐角反映相位关系。
对于复阻抗Ｚ的讨论
IUXXRz CL =??= 22 )(
★ |Z|也具有对电流起阻碍作用的性质,其单位也是欧姆，
称之为电路的阻抗。
|Z|,R,(XL–XC) 三者之间的数值关系可以用
一个直角三角形来表示 ——称为 阻抗三角形 。
?
|Z|
R XL–XC
电压三角形与阻抗三角形是相似形,/?
就是总电压与电流之间的相位差。
阻抗角 ? 的计算：
R
XXarctg
U
UUarctg CL
R
CL ?=?=?
是一个复数，但并不是正弦交流量，上面 不能加点 。
Z在方程式中只是一个运算工具。
★ Z
★ Z 和总电流、总电压的关系
由复数形式的欧姆定律 可得：ZIU =
iu
i
u
I
UZ
I
U
I
UZ ???
?
? ??=?=
?
?==
· ··
·
iu ??? ?=
I
UZ = （ Ｚ 的模为电路总电压和总电流
有效值之比）
（ Ｚ 的幅角则为总电压和总电
流的相位差）
★ Z 和电路性质的关系
当 时,表示 u 领先 i －－电路呈感性
CL XX ? 0??
CL XX = 0=?
当 时,表示 u, i同相 －－电路呈电阻性
CL XX ? 0??
当 时,表示 u 落后 i －－电路呈容性
R
XX CL
iu
?=?= ?1tan???
?一定时，电路性质由参数决定
★ 阻抗三角形和电压三角形的关系
电压三角形 阻抗三角形相似
?
|Z|
R XL–XC?
RU.
CL UU,,?
.U
CLR pppiup ??=?=
● 瞬时功率 p
● 平均功率 P（有功功率）
RIIUP
tppp
T
tp
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
d)(
1
d
1
===
??=
=
?
?
◆ 电路中的功率计算
?c o sUU R =
其中：
? ?cosUIP = （Ｕ：总电压 Ｉ：总电流 ?,总电压与总电流的夹角）
?
RU.
CL UU,,?
.U
cos ?, 功率因素
电路中存在能量吞吐,吞吐的规模用无功功率
来表示
● 无功功率 Q
?sinIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
=
?=
??=
?=
）（
）（
● 视在功率 S 电路中总电压与总电流有效值的乘积
单位：伏安、千伏安UIS =
● 功率三角形
P
?
QS
RLC串联电路，已知 R=30?,L=127mH,C=40?F,
电源电压 u=220 (sin314t+20o)V ?
求, (1)电路的感抗、容抗和阻抗；
(2)电流有效值及瞬时值的表达式；
(3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式；
(4)作相量图；
(5)电路的功率 P和 Q。
?2
例
解 (1) 感抗
容抗
阻抗
(2) 电流有效值
相位差角
?=′′=?= ? 4010127314 3LXL
?=??= 50)( 22 CL XXRZ
?=′′=?= ?? 80)1040314(/1 16CXC
AZUI 4.450/220/ ===
)(53 电容性°?=?=? R XXarctg CL
电流瞬时值
(3)电阻端电压
电感端电压
电容端电压
显然：
只有：
)5320314sin(24.4 °?°?= ti
At )73314sin(24.4 °?=
VRIU R 132304.4 ===
VtuR )73314sin(2132 °?=
VXIU LL 176404.4 ==
×
=
VtuL )163314sin(2176 °?=
VXIU CC 352804.4 ===
VtuC )17314sin(2352 °?=
CLR UUUU ???
×
×
CLR UUUU ??=
(4)相量图如右所示：
CU
?
LU
? RU
? ?
U
.I
20o
(5)电路的功率
电路的无功功率
视在功率
?= cosUIP
)53cos(4.4220 °?=
W8.580=
?= sinUIQ )53sin(4.4220 °?=
Var4.774?=
VAUIS 9684.4220 ===
×
×
×
§ ４,5 阻抗的串联与并联
１,阻抗的串联
根据电压定律的相量形式
( ) ZIZZIZIZIUUU ??????? =?=?=?= 212121
式中 21 ZZZ ?= 称为串联电路的等效复数阻抗。
?
?
2U
I
?
1U
?
U
2Z
1Z
(a)阻抗的串联 (b)等效电路
?
U Z
?I
( ) ?jeZXXjRRZ =???= 2121
其中 ( ) ( ) 221221 XXRRZ ???=
21
21
RR
XXa r c tg
?
?=?，
２,阻抗的并联
根据电流定律的相量形式
Z
U
ZZUZ
U
Z
UIII
?
?
??
???
=?
?
??
?
? ?=?=?=
2121
21
11
?
(b)等效电路
?
U Z
I
?
I
?
U 2Z1Z
(a)阻抗的并联
?
1I
?
2I
令 称为等效复数导纳，ZY 1=
式中
21
111
ZZZ ?=
Z是并联电路的等效复数阻抗。
则 21 YYY ?=
响应与频率的关系称为电路的 频率特性或频率响应 。在
频率领域内对电路进行分析，称为 频域分析 。
§ ４,４ 交流电路的频率特性
★ 在 具有电感和电容元件的电路中,电路两端的 电压
与其中的 电流 一般是相位不同的。如果调节电路的参
数或调节电源的频率而使 两者相位相同,电路中就会
发生 谐振现象 。
★ 谐振可分为 串联谐振 和 并联谐振 两种情况。
谐振
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相
并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相
在 R,L,C元件的串联电路中，
当 或
则
电压 u 与电流 i 同相，这时电路发生了串
联谐振。
R
L
C
u
i
CL XX = fCfL ?? 212 =
0=?= R XXarctg CL?
发生串联谐振时, 电源的频率与电路
f 的固有频率 f0 相同, 有 LCff ?2 10 ==
★ L 与 C 串联时发生谐振的条件：
CL XX =
１、串联谐振
(1) 电路的阻抗为最小值，电路的电流为最大值。
★ 串联谐振的特点
(2) 谐振电路呈现电阻性 。 电源不与电路进行能量互
换, 能量的互换只发生在电感线圈和电容器之间 。
(３ )
0t a n 1 =?= ? R XX CL?
U,I同相
RUII == 0
RXXRZ CL =??= 22 )(
RIUXIUXIU CCLL 000 =??===
(４ ) 当 时RXX CL ??=
电容及电感的端电压可能比电源电压高出许多倍，
亦称之为电压谐振。
★ 谐振电路的品质因数
R
L
CRU
U
U
UQ CL 0
0
1 ?=
?===
★ LC电路的谐振特性在无线电工程中被用来选择
有用频率的信号，而尽量地抑制干扰。 显然,Q值
越大，选择性越好。
电容器与线圈的并联电路，
其等效阻抗为 RL Cu
i
iCi1
通常要求电阻很小，谐振时一般有 ?L>>R，则上式为
上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为
即 与串联谐振频率近似相等。
２、并联谐振
LCRCj
LjR
LjRCj
LjRCj
Z 21
)(1
)(1
????
??=
????
???
=
)1(
1
1 2
LCjL
RCLCRCj
LjZ
????
=???? ??
LCLC
101
0
0
0 ?????? 或
LCff ??= 2
1
0
(1)谐振时电路的阻抗为
达到最大值，比非谐振时要大。在电源电压一定
的情况下，电路中的谐振电流有最小值。即
(2) 电路的总电压与电流相位相同 (? = 0)，呈现电阻性。
(3)各并联支路电流为
★ 并联谐振的特点及品质因数
RC
L
L
RCZ == )(1
0
0
0 )( Z
U
L
RCUII ===
及
而
Lf
U
LfR
UI
0202
1 2)2( ????= Cf
UI
C
021 ?
=
R
L
R
Lf
CfR
Lf
RC
LZ 2020
0
00 )()2(
)2(
2 ?=??
?
?==
当 时，
即：
因此,并联谐振也称电流谐振 。
IC或 I1与总电流 I0的比值为并联谐振电路的品质因数
CRR
L
R
Lf
I
IQ
0
00
0
1 12
?=
?=?==
01 III C ???
R
L
R
Lf
CfLf
2
0
2
0
0
0
)()2(
2
12 ?=???
???
RLf ??? 02
在直流电路中，功率仅与电流和电压的乘积有关；
上式中的 cos ?是电路中的功率因数 。其大小决定于电路
（负载）的参数。对纯阻负载功率因数为 1。对其他负载
来说，其功率因数均介于 0和 1之间。
１、提高功率因数的意义
在交流电路中，功率不仅与电流和电压的乘积有关，而且
还与电压与电流之间的相位差 ?有关；
P=UI
P=UIcos ?
§ ４,４ 功率因数的提高
即：
即：
当电压与电流之间的相位差不为 0时，即功率因数不等
于 1时，电路与电源之间就会发生能量互换，出现无功
功率 Q=UIsin?。这样就引起了下面两个问题：
1、发电设备的容量不能充分利用
P=UNINcos ?
2、增加线路和发电机绕组的功率损耗
当发电机的电压Ｕ和输出的功率Ｐ一定时，电流Ｉ与
功率因数成反比，而线路和发电机绕组上的功率损耗
△ P则与功率因数的平方成反比，即：
?D 22
2
2
cos
1
?
?
???
?== r
U
PrIP （ｒ是发电机绕组
和线路的电阻）
功率因数的提高，能使发电设备的容量得到充分利
用，同时也能使电能得到大量节约。
２、功率因数提高的方法
★ 提高功率因数需减少电源与负载之间的能量互换。
对于电感性负载，常要接入电容，其方法有二：
（１）将电容与负载串联
该方法能有效地提高功率因数，但是电容的接入破
坏了电路中原有负载的工作状态，使原有负载不能正
常工作。为此，该方法虽说能提高功率因数，但实际
当中不能用。
（ 2） 将电容与负载并联
并联电容后的总电流要减小。 并联电容后有功功
率未变。
如果负载的原有功率因数为 cos?1，
提高后的 功率因数为 cos?，问应
并联多大的 C？
u
i
R
L
i1
C
iC
?U
1I
?
CI
?
?I
★ 并联电容值的大小计算
( )??
????
??
tgtgUP
U
P
U
P
IIIC
?=
÷÷?
?
???
??
÷÷?
?
???
?=
?=
1
1
1
11
sincossincos
sinsin
?U
1I
?
CI
?
?I
CUXUI
C
C ?==又因：
( )???=? tgtgUPCU 1所以：
( )????= tgtgUPC 12由此得：
P
Qarctg
R
Xarctg LL
1 ==?
P
QQarctg
R
Xarctg CL ?==?
2
C2
C
2
C U
QC;CU
X
UQ
?=?==
◆ 正弦电压与电流
◆ 正弦量的相量表示
◆ 单一参数的交流电路
◆ 电阻、电感与电容元件
串联的交流电路
◆ 阻抗的串联与并联
◆ 交流电路的频率特性
◆ 功率因素的提高
第四章 正弦交流电路
§ ４,1 正弦电压与电流
◆ 在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变
化，这样的电路称为正弦交流电路。
◆ 正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性
变化，如右图所示。
RU
i
( b ) 正半周
?
RU
i
( c ) 负半周
?
u(i)
t
(a)正弦波形
?
★ 正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，
因此，正弦交流电包含 三个要素,即 频率、幅值和初相位 。
1、正弦交流电的三要素
以交流电流为例：
? t ?
i
mI
,电流幅值（最大值）
,角频率（弧度 /秒）
,初相角
mI
?
?
三要素
( )?? ?= tIi m sin
描述正弦量变化快慢的几种方法：
1.周期 T,变化一周所需的时间（单位：秒、毫秒）
正弦交流电三要素之一 —— 频率与周期
3.角频率 ω, 每秒变化的弧度（单位：弧度 /秒）
2.频率 f,每秒变化的次数（单位：赫兹、千赫兹
i
t ?
T
Tf
1= f
T π2
π2 ==?相互间关系：
★ 常用的频率范围：
● 我国电力的标准频率为 50Hz；美、日等
国采用标准为 60Hz。
● 中频电炉的工作频率为 500—8000Hz；
● 高频电炉的工作频率为 200—300kHz；
● 无线电工程的频率为 104—30× 1010Hz。
● 低频电子工程的频率为 20—20× 103Hz。
( )?? ?= tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
★ 用仪表测得的交流电压、电流值，就是
被测物理量的有效值。标准电压 220V,也
是指供电电压的有效值。
最大值表示方法电量名称必须大写,下标加 m
正弦交流电三要素之二 —— 幅值与有效值
★ 有效值 是从电流的热效应相等来定义的。
★ 在 同一周期时间内, 正弦交流电流 i和 直
流电流 I对同一电阻 具有相同的热效应,就用
I表示 i 的 有效值。
有效值
tRi
T
d
0
2?
交流电流 直流电流
RTI 2=即：
对正弦交流电流则有：
?= T tiTI 0 2d1 2mI=
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。?
i
?
t ?
）（ ?? ?t
：正弦波的相位角或相位。
正弦交流电三要素之三 —— 初相位
( )?? ?= tIi sin2
初相位, 给出了观察正弦波的起点或参考点?
( ) ( ) 1212 ??????? ?=???= tt
两个 同频率 正弦量间的相位相比较 (初相位差 )
( )
( )222
111
s i n
s i n
??
??
?=
?=
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i
1i
?t
i
当 ? =(?1 – ?2) > 0 时，称 i1 与 i2 越前 ?角；
当 ? =(?1 – ?2) < 0 时，称 i1 与 i2 滞后 ?角；
当 ? =(?1 – ?2) = 0 时，称 i1 与 i2 同相 。
i
① 波形图
t ?
正弦量的表示方法：
§ ４,2 正弦量的相量表示法
② 瞬时值表达式
( )??= 301 0 0 0s i n ti
须小
写I.U.③ 相量（ 难点 ）
大写并加
,.”
★ 正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表
示出这二个参数必须采用矢量或复数。
正弦量的相量表示法：
★ 正弦周期量才能用相量表示，非正弦周期量不能用相
量表示。且只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上 。
★ 正弦量用相量表示可简化正弦交流电路的分析与计算。
相量表示,一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转
的有向线段在纵轴上的投影值来表示。
★ 只包含幅值与初相位两个要素。
jy
x0
A
??
y
设在 复平面 上 (直角坐标系 OX为实轴,OY
为虚轴 )复数 A(a,b)可表示为,
A = a + jb
在极坐标系中则表示为,
A = r / ?
变换关系为：
或：
22 bar ?=
a
barctg=?
?= cosra
?= sinrb
∴ A=r (cos? + j sin? )
又由欧拉公式得,A = r e j?
注,相量 与正弦量 只存在 对应关系,而不是相等关系
( ) ( )iim tI S i ntS i nIi ???? ?=?= 2
)sin( ???= tUu m
i
j IIeI i ?? ?==?
u
j UUeU u ?? ?==?
求表示 i,u的相量, 及相位差,并作出相量图。?I ?U iu?
已知正弦电流、正弦电压分别为 ( )33 1 414.14 ??= tS ini A
( )63141.311 ??= tS inu V
例
解：
i超前 u900.在相量图上
可以很直观地看出相互
之间的相位关系。
,263 ???? =?
?
??
?
? ??=
iu
31032
14.14 ??? ?=?=?=?
iII A
622062
1.311 ??? ??=??=?=?
uUU V
向量图
+j
+1
6
?3
?
?
U
?
I
波形图
瞬时值
相量图
复数形式
正弦波的四种表示法
( )?? ?= tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
U,I.
?? ??=?= UUbaU jej.
1,电阻元件的交流电路
u
i
R
根据欧姆定律,
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
===
=设,
则,
§ ４,3 单一参数的交流电路
iRu =
电阻电路中电流、电压的关系,
1,频率相同 2,相位相同
3,有效值关系,IRU =
4,相量关系：设 o0?= U
.
U I
,U.
电阻电路中功率的计算
)(s i n2
)(s i n2
tUu
tIi
?
?
=
=
◆ 瞬时功率 p(p小写 )：瞬时电压与瞬时电流的乘积
RuiRiu /22==pR =
u
i
R
(1) （耗能元件）
0?p
(2) 随时间变化
p
22 iu,
(3) 与 成比例
p
ωt
u i
p
ωt+ +
?? ?==
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d1d1
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
=?=
=
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
◆ 平均功率（有功功率） P(P大写 ),一个周期内的
瞬时功率平均值
P∴ RURIIU /22 ===
t
iLu
d
d=基本关系式：
tIi ?s i n2=设
)90s i n (2
)90s i n (2
co s2
d
d
o
o
?=
?=
?==
tU
tLI
tLI
t
i
Lu
?
??
??则
2,电感元件的交流电路 i
u eL L
电感电路中电流、电压的关系,
(1)频率相同
(2)相位相差 90° （ u 领先 i 90 ° ） U
II
LI?
.
.(3)有效值 LXI=(4)相量关系
??? == ILjIjXU
L ?
LIU ?=
)90s i n (2
s i n2
o?=
=
tUu
tIi
?
?
电感电路中功率的计算
◆ 瞬时功率 p(p小写 )：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u eL L
tUI
ttUIuip
?
??
2sin
cossin2
=
=×=
当 u与 i的瞬时值为同号时,p? 0，电感元件 取用功率
(为负载 ),磁能增加 ；当 u 与 i 的瞬时值为同号时，
p ? 0，电感元件 发出功率 (相当于电源 )，电感元件的
磁能减少 。
★ 纯电感 不消耗能量,只和电源进行 能量交换 （能量
的吞吐）。能量交换的规模，用无功功率 Q来衡量。
◆ 平均功率（有功功率） P(P大写 ),一个周期内的
瞬时功率平均值
0d)2(sin1
d1
0
0
==
=
?
?
ttUIT
tpTP
T
T
?
无功功率 Q的单位是 乏 (Var)或千 (kVar)。
◆ 无功功率 Q,
用以衡量电感电路中能量交换的规模
LL X
UXIIUQ 22 ===
电感瞬时功率所能达到的最大值。
把一个 0.1H的电感元件接到频率为 50Hz、电压有效值为
10V的正弦电源上,问电流是多少？如保持电压值不变，
而电源频率改变为 5000Hz，这时电流为多少？
解：当 f = 50Hz时，
当 f = 5000Hz时，
mAA
X
UI
fLX
L
L
318318.0
4.31
10
4.311.05014.322
====
?=???== ?
mAA
X
UI
X
L
L
18.300318.0
3140
10
31401.0500014.32
====
?=???=
例
基本关系式,
t
uCi
d
d=
设：
tUu ?s i n2=
u
i
C
则：
３,电容元件的交流电路
)90sin(2
cos2dd
o?=
==
tCU
tUCtuCi
??
??
电容电路中电流、电压的关系
（１）频率相同
（２）相位相差 90° （ u 落后 i90° ）
（３） 有效值 或CUI ?= I
CU ?
1=
（４） 相量关系
．
CU?
U
I
U．
电容电路中功率的计算
◆ 瞬时功率 p(p小写 )：瞬时电压与瞬时电流的乘积
u
i
C )90s i n (2
s i n2
o?=
=
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n?=?=
◆ 平均功率（有功功率） P(P大写 ),一个周期内的
瞬时功率平均值
T ?
?
=?=
=
T
T
ttIU
tPTP
0
0
0d2sin1
d1
?
（电容性无功取负值）
UIQ ?=
◆ 无功功率 Q,
用以衡量电感电路中能量交换的规模
电感瞬时功率所能达到的最大值。
解：当 f=50Hz时,?=????== ? 4.12710255014.32 12 1 6fCX C ?
mAAXUI
C
78078.04.127 10 ====
可见，在电压值一定时，频率愈高，通过电容元
件的电流愈大。
当 f=5000Hz时，
AI 8.7274.1 10 ==
?=????== ? 274.11025500014.32 12 1 6fCX C ?
把一个 的电容元件接到频率为 50Hz、电压有效值
为 10V的正弦电源上，问电流是多少？如果保持电压值不变，
而电源频率改为 5000Hz，这时电流将为多少？
f?25
例
◆ 电流、电压的关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
§ ４,４ 电阻、电感与电容串联交流电路
CLR uuuu ??=
???= id tCdtdiLiR 1
CLCLR jXIjXIRIUUUU
??????? ??=??=
( )? ?CL XXjRI ??= ?
( )CL XXjR
I
U ??=
?
?或写成
?
?
LU
?
RU?
CU
?
CU
?
U
?
?
LU
?
CU ?I
?
RU.
CL UU,,?
.U
以电流为相位参考，故总电压的有效值 ZIU =
ZIZIU mm == 2幅值：
令 ( )CL XXjRZ ??=
?? = IZU则 ?jeZIU ?? =或
应注意几点：
1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特
别是相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电
压应等于三个元件上电压的相量和，
如果直接写成 那就不对了。 CLR UUUU ??=
２,复数阻抗的实部为, 阻,,虚部为, 抗,,它表示了
串联电路的电压与电流之间的关系，模 |Z|反映大小关系，
辐角反映相位关系。
对于复阻抗Ｚ的讨论
IUXXRz CL =??= 22 )(
★ |Z|也具有对电流起阻碍作用的性质,其单位也是欧姆，
称之为电路的阻抗。
|Z|,R,(XL–XC) 三者之间的数值关系可以用
一个直角三角形来表示 ——称为 阻抗三角形 。
?
|Z|
R XL–XC
电压三角形与阻抗三角形是相似形,/?
就是总电压与电流之间的相位差。
阻抗角 ? 的计算：
R
XXarctg
U
UUarctg CL
R
CL ?=?=?
是一个复数，但并不是正弦交流量，上面 不能加点 。
Z在方程式中只是一个运算工具。
★ Z
★ Z 和总电流、总电压的关系
由复数形式的欧姆定律 可得：ZIU =
iu
i
u
I
UZ
I
U
I
UZ ???
?
? ??=?=
?
?==
· ··
·
iu ??? ?=
I
UZ = （ Ｚ 的模为电路总电压和总电流
有效值之比）
（ Ｚ 的幅角则为总电压和总电
流的相位差）
★ Z 和电路性质的关系
当 时,表示 u 领先 i －－电路呈感性
CL XX ? 0??
CL XX = 0=?
当 时,表示 u, i同相 －－电路呈电阻性
CL XX ? 0??
当 时,表示 u 落后 i －－电路呈容性
R
XX CL
iu
?=?= ?1tan???
?一定时，电路性质由参数决定
★ 阻抗三角形和电压三角形的关系
电压三角形 阻抗三角形相似
?
|Z|
R XL–XC?
RU.
CL UU,,?
.U
CLR pppiup ??=?=
● 瞬时功率 p
● 平均功率 P（有功功率）
RIIUP
tppp
T
tp
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
d)(
1
d
1
===
??=
=
?
?
◆ 电路中的功率计算
?c o sUU R =
其中：
? ?cosUIP = （Ｕ：总电压 Ｉ：总电流 ?,总电压与总电流的夹角）
?
RU.
CL UU,,?
.U
cos ?, 功率因素
电路中存在能量吞吐,吞吐的规模用无功功率
来表示
● 无功功率 Q
?sinIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
=
?=
??=
?=
）（
）（
● 视在功率 S 电路中总电压与总电流有效值的乘积
单位：伏安、千伏安UIS =
● 功率三角形
P
?
QS
RLC串联电路，已知 R=30?,L=127mH,C=40?F,
电源电压 u=220 (sin314t+20o)V ?
求, (1)电路的感抗、容抗和阻抗；
(2)电流有效值及瞬时值的表达式；
(3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式；
(4)作相量图；
(5)电路的功率 P和 Q。
?2
例
解 (1) 感抗
容抗
阻抗
(2) 电流有效值
相位差角
?=′′=?= ? 4010127314 3LXL
?=??= 50)( 22 CL XXRZ
?=′′=?= ?? 80)1040314(/1 16CXC
AZUI 4.450/220/ ===
)(53 电容性°?=?=? R XXarctg CL
电流瞬时值
(3)电阻端电压
电感端电压
电容端电压
显然：
只有：
)5320314sin(24.4 °?°?= ti
At )73314sin(24.4 °?=
VRIU R 132304.4 ===
VtuR )73314sin(2132 °?=
VXIU LL 176404.4 ==
×
=
VtuL )163314sin(2176 °?=
VXIU CC 352804.4 ===
VtuC )17314sin(2352 °?=
CLR UUUU ???
×
×
CLR UUUU ??=
(4)相量图如右所示：
CU
?
LU
? RU
? ?
U
.I
20o
(5)电路的功率
电路的无功功率
视在功率
?= cosUIP
)53cos(4.4220 °?=
W8.580=
?= sinUIQ )53sin(4.4220 °?=
Var4.774?=
VAUIS 9684.4220 ===
×
×
×
§ ４,5 阻抗的串联与并联
１,阻抗的串联
根据电压定律的相量形式
( ) ZIZZIZIZIUUU ??????? =?=?=?= 212121
式中 21 ZZZ ?= 称为串联电路的等效复数阻抗。
?
?
2U
I
?
1U
?
U
2Z
1Z
(a)阻抗的串联 (b)等效电路
?
U Z
?I
( ) ?jeZXXjRRZ =???= 2121
其中 ( ) ( ) 221221 XXRRZ ???=
21
21
RR
XXa r c tg
?
?=?，
２,阻抗的并联
根据电流定律的相量形式
Z
U
ZZUZ
U
Z
UIII
?
?
??
???
=?
?
??
?
? ?=?=?=
2121
21
11
?
(b)等效电路
?
U Z
I
?
I
?
U 2Z1Z
(a)阻抗的并联
?
1I
?
2I
令 称为等效复数导纳，ZY 1=
式中
21
111
ZZZ ?=
Z是并联电路的等效复数阻抗。
则 21 YYY ?=
响应与频率的关系称为电路的 频率特性或频率响应 。在
频率领域内对电路进行分析，称为 频域分析 。
§ ４,４ 交流电路的频率特性
★ 在 具有电感和电容元件的电路中,电路两端的 电压
与其中的 电流 一般是相位不同的。如果调节电路的参
数或调节电源的频率而使 两者相位相同,电路中就会
发生 谐振现象 。
★ 谐振可分为 串联谐振 和 并联谐振 两种情况。
谐振
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相
并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相
在 R,L,C元件的串联电路中，
当 或
则
电压 u 与电流 i 同相，这时电路发生了串
联谐振。
R
L
C
u
i
CL XX = fCfL ?? 212 =
0=?= R XXarctg CL?
发生串联谐振时, 电源的频率与电路
f 的固有频率 f0 相同, 有 LCff ?2 10 ==
★ L 与 C 串联时发生谐振的条件：
CL XX =
１、串联谐振
(1) 电路的阻抗为最小值，电路的电流为最大值。
★ 串联谐振的特点
(2) 谐振电路呈现电阻性 。 电源不与电路进行能量互
换, 能量的互换只发生在电感线圈和电容器之间 。
(３ )
0t a n 1 =?= ? R XX CL?
U,I同相
RUII == 0
RXXRZ CL =??= 22 )(
RIUXIUXIU CCLL 000 =??===
(４ ) 当 时RXX CL ??=
电容及电感的端电压可能比电源电压高出许多倍，
亦称之为电压谐振。
★ 谐振电路的品质因数
R
L
CRU
U
U
UQ CL 0
0
1 ?=
?===
★ LC电路的谐振特性在无线电工程中被用来选择
有用频率的信号，而尽量地抑制干扰。 显然,Q值
越大，选择性越好。
电容器与线圈的并联电路，
其等效阻抗为 RL Cu
i
iCi1
通常要求电阻很小，谐振时一般有 ?L>>R，则上式为
上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为
即 与串联谐振频率近似相等。
２、并联谐振
LCRCj
LjR
LjRCj
LjRCj
Z 21
)(1
)(1
????
??=
????
???
=
)1(
1
1 2
LCjL
RCLCRCj
LjZ
????
=???? ??
LCLC
101
0
0
0 ?????? 或
LCff ??= 2
1
0
(1)谐振时电路的阻抗为
达到最大值，比非谐振时要大。在电源电压一定
的情况下，电路中的谐振电流有最小值。即
(2) 电路的总电压与电流相位相同 (? = 0)，呈现电阻性。
(3)各并联支路电流为
★ 并联谐振的特点及品质因数
RC
L
L
RCZ == )(1
0
0
0 )( Z
U
L
RCUII ===
及
而
Lf
U
LfR
UI
0202
1 2)2( ????= Cf
UI
C
021 ?
=
R
L
R
Lf
CfR
Lf
RC
LZ 2020
0
00 )()2(
)2(
2 ?=??
?
?==
当 时，
即：
因此,并联谐振也称电流谐振 。
IC或 I1与总电流 I0的比值为并联谐振电路的品质因数
CRR
L
R
Lf
I
IQ
0
00
0
1 12
?=
?=?==
01 III C ???
R
L
R
Lf
CfLf
2
0
2
0
0
0
)()2(
2
12 ?=???
???
RLf ??? 02
在直流电路中，功率仅与电流和电压的乘积有关；
上式中的 cos ?是电路中的功率因数 。其大小决定于电路
（负载）的参数。对纯阻负载功率因数为 1。对其他负载
来说，其功率因数均介于 0和 1之间。
１、提高功率因数的意义
在交流电路中，功率不仅与电流和电压的乘积有关，而且
还与电压与电流之间的相位差 ?有关；
P=UI
P=UIcos ?
§ ４,４ 功率因数的提高
即：
即：
当电压与电流之间的相位差不为 0时，即功率因数不等
于 1时，电路与电源之间就会发生能量互换，出现无功
功率 Q=UIsin?。这样就引起了下面两个问题：
1、发电设备的容量不能充分利用
P=UNINcos ?
2、增加线路和发电机绕组的功率损耗
当发电机的电压Ｕ和输出的功率Ｐ一定时，电流Ｉ与
功率因数成反比，而线路和发电机绕组上的功率损耗
△ P则与功率因数的平方成反比，即：
?D 22
2
2
cos
1
?
?
???
?== r
U
PrIP （ｒ是发电机绕组
和线路的电阻）
功率因数的提高，能使发电设备的容量得到充分利
用，同时也能使电能得到大量节约。
２、功率因数提高的方法
★ 提高功率因数需减少电源与负载之间的能量互换。
对于电感性负载，常要接入电容，其方法有二：
（１）将电容与负载串联
该方法能有效地提高功率因数，但是电容的接入破
坏了电路中原有负载的工作状态，使原有负载不能正
常工作。为此，该方法虽说能提高功率因数，但实际
当中不能用。
（ 2） 将电容与负载并联
并联电容后的总电流要减小。 并联电容后有功功
率未变。
如果负载的原有功率因数为 cos?1，
提高后的 功率因数为 cos?，问应
并联多大的 C？
u
i
R
L
i1
C
iC
?U
1I
?
CI
?
?I
★ 并联电容值的大小计算
( )??
????
??
tgtgUP
U
P
U
P
IIIC
?=
÷÷?
?
???
??
÷÷?
?
???
?=
?=
1
1
1
11
sincossincos
sinsin
?U
1I
?
CI
?
?I
CUXUI
C
C ?==又因：
( )???=? tgtgUPCU 1所以：
( )????= tgtgUPC 12由此得：
P
Qarctg
R
Xarctg LL
1 ==?
P
QQarctg
R
Xarctg CL ?==?
2
C2
C
2
C U
QC;CU
X
UQ
?=?==
