伏 - 安 特性
i
u
c o n s t
i
uR
R
i
u
u
i
c o n s t
i
uR
线性电阻非线性电阻
1,电阻 R （常用单位,?,k?,M?）
3-3 电阻元件、电感元件与电容元件
2.电感 L：
u
i
（单位,H,mH,?H）
单位电流产生的磁链
i
NL
线圈匝数磁通电感中电流、电压的关系
dt
di
L
dt
d
Ne
u e
i
dt
di
Leu
当
Ii?
(直流 ) 时,
0?
dt
di 0?u
所以,在 直流电路中 电感相当于短路,
l
SN
L
2?
线圈面积线圈长度导磁率电感和结构参数的关系线性电感,L=Const (如,空心电感? 不变 )
非线性电感,L = Const (如,铁心电感? 不为常数 )
u e
i
电感是一种储能元件,储存的磁场能量为：
电感的储能
2
00 2
1
iLL i d iu i d tW
it
L
）（
dt
di
Lu?
3.电容 C
u
qC?
单位电压下存储的电荷
（单位,F,?F,pF）
++ ++
- - - -
+q
-qu
i
电容符号有极性无极性
+
_
dt
duC
dt
dqi
电容上电流、电压的关系
u
qC?
当
Uu?
(直流 ) 时,
0?
dt
du 0?i
所以,在 直流电路中 电容相当于断路,
u
i
C
d
s
C
极板面积板间距离介电常数电容和结构参数的关系线性电容,C=Const ( 不变 )
非线性电容,C = Const ( 不为常数 )
u
i
C
2
00 2
1
ucc u d uu i d tWc
ut
电容的储能电容是一种储能元件,储存的电场能量为：
）（
dt
du
C
dt
dq
i
无源元件小结理想元件的特性 （ u 与 i 的关系）
L CR
iRu
dt
di
Lu? dt
du
Ci?
实际元件 的特性可以用若干 理想元件 来表示例,电感线圈
L,电感量
R：导线电阻
C：线间分布电容参数的影响和电路的工作条件有关。
U
R1
R2
L
C
R1
U R2U为直流电压时,以上电路等效为注意 L,C 在不同电路中的作用
L短路
C断路
u i R根据 欧姆定律
iRu?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
s i n2s i n2
s i n2
设则
3-4 电阻元件的交流电路
tIt
R
U
R
u
i
tUu
s i n2s i n2
s i n2
1,频率相同 2,相位相同
3,有效值关系,
IRU?
电阻电路 中电流、电压的关系
4,相量关系,设
0 UU
U?
I?
0
R
U
I
则
RIU
或电阻电路中的功率
)(s i n2
)(s i n2
tUu
tIi
RuiRiup /22
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积小写
1,（ 耗能元件 ）
0?p
结论：
2,随时间变化
p
22 iu,
3,与 成比例
p
RuiRiup /22
ω tu
i
p
ω t
TT
dtiu
T
dtp
T
P
00
11
tUu
tIi
s i n2
s i n2
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIdttUI
T
dttUI
T
T
T
0
0
2
)2c o s1(
1
s i n2
1
大写 IUP
u
i
R
dt
diLu?基本 关系式,
i
u L
tIi?s i n2?设
)90s i n (2
)90s i n (2
co s2
tU
tLI
tLI
dt
di
Lu
则
3-5 电感元件的交流电路电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90° ）
)90s i n (2
)90s i n (2
tU
tLIu
tIi?s i n2?
i
u
t?
90
U?
I?
LI?
I
设：
3,有效值
LIU
感抗 （ Ω ）LX
L
定义：
)90s i n (2
)90s i n (2
tU
tLIu
LXIU?
则：
U?
I?
4,相量关系
)90s i n (2 tUu?
tIi?s i n2?
0 II
设：
9090 LIUU?
)(
9090
90
L
j
jXIeLIU
L
I
U
I
U
则：
LXjIU
电感电路中欧姆定律的 相量形式其中含有幅度和相位信息
U?
I?
Liu？
u,i 相位不一致 ！
U?
领先 ！
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
ω
XL
LL XIU?
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
e
+
_ L
R
直流
E+_
R
电感电路中的 功率
)90s i n (2
s i n2
tUu
tIi
tUI
ttUIuip
2s i n
c o ss i n2
1,瞬时功率 p,
i
u L
储存能量
P <0
释放能量
+
P >0
P <0
可逆的能量转换过程
tUIuip?2si n
i
u L
+
p
P >0 t?
u
i
u
i
u
i
u
i
u i
t?
2,平均功率 P （有功功率）
0)2(s i n
1
1
0
0
dttIU
T
dtp
T
P
T
T
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行 能量交换 （能量的吞吐）。
tUIuip?2si n
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感 瞬时功率 所能达到的 最大值 。用以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip?2si n
基本关系式,
dt
du
Ci?
设,
tUu?s i n2?
u
i
C
)90s i n (2
c o s2
tCU
tUC
dt
du
Ci
则：
3-6 电容元件的交流电路
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
电容电路 中电流、电压的关系
iu
t?
90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或CUI
I
C
U
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
1?
定义：
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
CXIU?
则：
I
4,相量关系设：
0 UU
9090 CUII?
I?
U?
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
90
1
CI
U
则：
CXIjCIU
901
CXjIU
电容电路 中欧姆定律的 相量 形式其中含有 幅度 和 相位 信息
U?
I? I?
领先 ！
E
+
-ω
C
X c
1?
e
+
-
关于容抗的讨论直流是频率的函数,表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
容抗
）（
C
X C
1?
ω＝ 0 时
cX
C断路电容电路中的功率
u
i
)90s i n (2
s i n2
tUu
tIi
tIUuip?2s i n
1,瞬时功率 p
tIUuip?2s i n
充电
p 放电放电
P < 0
释放能量充电
P > 0
储存能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
t
T
T
tIU
T
dtP
T
P
0
0
02s i n
1
1
2,平均功率 P
tIUuip?2s i n
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ
tUIp?2s i n
已知,C ＝ 1μF
)
6
3 1 4s i n (27.70
tu
求,I,i
例
u
i
C
解：
3 1 8 0103 1 4 11 6CX C?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
CX
U
I
求电容电路中的电流
mA)
3
314s i n (2.222
)
26
314s i n (2.222
t
ti
瞬时值 i 领先于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
CX
UI
U?
I?
6
3?
相量图
1,单一参数电路中的基本关系电路参数
LjjX L
dt
diLu?
基本关系复阻抗
L U?
I?
C
jjX C
1
复阻抗电路参数
dt
duCi?
基本关系C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu?
复阻抗 R U?
I?
小 结在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。
IU、
CL jXCjXLRR,,
电阻电路
RIU )( LXjIU
电感电路
)( CXjIU
电容电路复数形式的欧姆定律
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏定律。
dt
di
LiR
uuu
LR
uL
i
uRu R
L
3.简单正弦交流电路的关系 (以 R-L电路为例）
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏定律
U?
I?
LU?
RU?
)
LLR
LLR
jXRIUUU
jXIURIU
（
、
R
L
I?
U?
RU?
LU?
在电阻电路中：
正误判断
R
u
i?
？
R
U
i?
R
U
I?
？
？
瞬时值 有效值
在电感电路中,正误判断
？？
？
LX
u
i?
L
ui
L
UI
LXI
U?
Lj
I
U？？
单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图
（正方向）
复数阻抗电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式功率有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设则
tUu?s in2?
tIi?s in2?
IRU? RIU
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
Lj
jXL
cj
C
j
jXC
1
1
设则
tIi?s in2?
)90s in (
2
t
LIu
设则
tUu?s in2?
)90s in (
12
t
C
Ui
LX
IXU
L
L
CX
IXU
C
C
1?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
LjXIU
CjXIU
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
基本关系作业
3.3.1
课外：练习与思考
3.3.4
3.3.5
)90s i n ()
1
(2
)90s i n ()(2
s i n2
t
c
I
tLI
tIRu
tIi?s i n2?
若则
CLR uuuu
电流、电压的关系：
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
（一）
3-7 R-L-C串联交流电路
CL
CL
XXjRI
jXIjXIRIU
总电压与总电流的关系式
CLR UUUU
相量方程式：
则
CC
LL
R
jXIU
jXIU
RIU
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
0II?设 （参考相量）
R-L-C串联交流电路 -- 相量图先画出参考相量
CU?
U?
LU?
I?
CL XXjRIU
相量表达式：
RU?
CL UU
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
电压三角形
R
CL1
U
UU
tg
Z：复数阻抗实部为阻虚部为抗 容抗感抗
CL XXjRIU
CL XXjRZ
令则
ZIU
R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律复数形式的欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,
元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。
是一个复数，但并不是正弦交流量，上面 不能加点 。 Z在方程式中只是一个运算工具 。
Z
说明：
CL XXjRZ
ZIU
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
关于复数阻抗 Z 的讨论
iu
i
u
I
U
Z
I
U
I
U
Z
ZIU
由复数形式的欧姆定律 可得：
结论,Ｚ 的模为电路总电压和总电流有效值之比，
而 Ｚ 的幅角则为总电压和总电流的相位差。
iuI
UZ?
（二）
（１） Z和总电流、总电压的关系
（２） Z 和电路性质的关系
CL XXjRZZ
一定时电路性质由参数决定
R
XX
tg CLiu
1
当 时,表示 u 领先 i －－ 电路呈 感性
CL XX? 0
CL XX? 0
当 时,表示 u,i同相 －－ 电路呈 电阻性
CL XX? 0
当 时,表示 u 落后 i －－ 电路呈 容性阻抗角
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
假设 R,L,C已定，
电路性质能否确定？
（阻性？感性？容性？）
不能！ 与频率 ω有关当 ω不同时，可能出现：
XL > XC,或 XL < XC,或 XL =XC 。
C
XLX CL
1,
（３）阻抗（ Z）三角形
R
XX
tg
XXRZ
CL
CL
1
22
)(
ZXXjRZ CL )(
Z
R
CL XXX
阻抗三角形
（４） 阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形 阻抗三 角形相似
CL
CLR
XXjRI
UUUU
CL XXjRZ
Z
R
CL XXX
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU
I?
（三） R,L,C 串联电路中的功率计算
CLR
pppiup
1,瞬时功率
2,平均功率 P （有功功率）
RIIUP
dtppp
T
pdt
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
)(
1
1
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
IUP R?
平均功率 P与总电压 U、总电流 I 间的关系：
RU?
U?
CL UU
CO S
-----功率因数
c o sUU R?
其中：
c osUIP?
在 R,L,C 串联的电路中,储能元件 R,L,C
虽然不消耗能量,但存在能量吞吐,吞吐的规模 用无功功率来表示。其大小为：
s i nIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
）（
）（
3,无功功率 Q：
RU?
U?
CL UU
4,视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。
UIS? 单位：伏安、千伏安
P
QS
注,S＝ U I 用来 衡量发电机可能提供的最大功率 （额定电压 × 额定电流）
视在功率
UIS?
5,功率三角形：
s inUIQ?
无功功率
c osUIP?
有功功率
_
+
+_
p
设 i 领先 u,（电容性电路）
s inUI
c o sUI
R,L,C 串联电路中的功率关系
t?
i u
RU?
U?
CL UU
电压三角形
S
Q
P
功率三角形
CL XX?
Z
R
阻抗三角形
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
正误判断因为交流物理量除有效值外还有相位。
CLCLR XXIIRUUUU？
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU
I?
CLR UUUU
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在 R-L-C串联电路中
ZIU
？
正误判断而复数阻抗只是一个运算符号。 Z 不能加,?”
反映的是正弦电压或电流，
IU、
正误判断 在 Ｒ － Ｌ － Ｃ 正弦交流电路中
？
Z
U
I? Z
u
i?？
Z
U
I?
？
Z
U
I
？
Z
U
I
？
正误判断在 R-L-C 串联电路中，假设 0II?
？ 222
CLR UUUU
？
CL XXjRIU
？? 2
2
CL XXRIU
正误判断 在 R-L-C串联电路中，假设
0II?
？
U
UU
tg CL
1?
？
R
CL
tg
1
？
R
XX
tg CL
1?
？
R
CL
U
UU
tg
1?
（一） 简单串并联电路
Z1
Z2
I?
iU? oU
oiO uU
ZZ
Z
U?
21
2
i
Z1
Z2iu ou
3-8 阻抗的串联与并联
Z1 Z2
I?
2I?
iU?
1I?
i
Z1 Z2
iu
1i 2i
YUYYUI ）（ 21
Y1,Y2 --- 导纳
）（
2121
21
11
ZZ
U
Z
U
Z
U
III
Y1 Y2
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
EeIiUu
jXCjXLRR CL
、、
、、
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
（二）一般正弦交流电路的解题步骤
3、用复数符号法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，
求,A,UO 的读数解题方法有两种,1.利用复数进行相量运算
2.利用相量图求结果
A A B
C2
5j5
UO
C1
10j
1I?
2I?I?
解法 1,利用复数进行相量运算已知,I1=10A、
UAB =100V，
则：
A45210551 0 02 jI
A1090101 jI
A01021 III
A读数为 10安?
求,A,UO的读数即,V0100U
AB
设,为 参考相量,
ABU?
A A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1I?
2I?
A01021 III
V1 0 0)101 jjIU C （
V4521 0 0
1 0 01 0 01
jUUU ABCo
UO读数为 141伏?
求,A,UO的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，A
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1I?
2I?
ABU?
2I?
45°
1I?
1CU? OU?
I?
解法 2,利用相量图求解设,V01 0 0
ABU
由已知条件得：
10A1?I,领先 90°
2I?
A210
55
1 00
222I
ABU?
45°落后于
I=10 A,UO =141V由图得：
21 III
ABCo UUU 1
求,A,UO的读数已知,I1=10A,UAB =100V，
UC1=I XC1=100V
uC1落后于 i 90°
ABU?
2I?
45°
1I?
1CU? OU?
I?
A A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1I?
2I?
例 2
已知：
)1s i n ( tIi ms
)2s i n ( tEe m
R1,R2,L,C
求,各支路电流的大小
ei
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
相量模型原始电路
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
sI?
LI? 2RI? e
I?
LjX
E?
1R
2R
CjX-
解法一 结点电位法
C
jjX
LjjX
E
E
I
I
C
L
m
m
S
1
2
2
2
1
已知参数：
CL
C
S
A
jXRjX
jX
E
I
U
111
2
节点方程
A
sI?
LI? 2RI? e
I?
LjX
E?
1R
2R
CjX- CjX-
e
C
A
e
R
A
R
L
L
A
L
i
jX
EU
I
i
R
U
I
i
jX
U
I
2
2
2
由结点电位便求出各支路电流：
解法二,叠加原理
+
eee
RRR
LLL
III
III
III
222
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
E?
1R
2R
CjX-
SI?
R1
R2
'IL? 'IR2?
'Ie?
LjX
CjX-
eI
R1
R2
LI 2RI
LjX
E?
CjX-
解法三：
2RjXZ L?
)R（j XIE LSS 2
戴维宁定理求
eI? ABU? LI?
、
2RI?
sI?
LI? 2RI?
LjX
eI?
E?
1R
2R
B
A
CjX-
eI?
E?
Z
CjX-
SE?
作业
3.7.1
3.7.2
3.7.4
课外：练习与思考
3.7.1
i
u
c o n s t
i
uR
R
i
u
u
i
c o n s t
i
uR
线性电阻非线性电阻
1,电阻 R （常用单位,?,k?,M?）
3-3 电阻元件、电感元件与电容元件
2.电感 L：
u
i
（单位,H,mH,?H）
单位电流产生的磁链
i
NL
线圈匝数磁通电感中电流、电压的关系
dt
di
L
dt
d
Ne
u e
i
dt
di
Leu
当
Ii?
(直流 ) 时,
0?
dt
di 0?u
所以,在 直流电路中 电感相当于短路,
l
SN
L
2?
线圈面积线圈长度导磁率电感和结构参数的关系线性电感,L=Const (如,空心电感? 不变 )
非线性电感,L = Const (如,铁心电感? 不为常数 )
u e
i
电感是一种储能元件,储存的磁场能量为：
电感的储能
2
00 2
1
iLL i d iu i d tW
it
L
）（
dt
di
Lu?
3.电容 C
u
qC?
单位电压下存储的电荷
（单位,F,?F,pF）
++ ++
- - - -
+q
-qu
i
电容符号有极性无极性
+
_
dt
duC
dt
dqi
电容上电流、电压的关系
u
qC?
当
Uu?
(直流 ) 时,
0?
dt
du 0?i
所以,在 直流电路中 电容相当于断路,
u
i
C
d
s
C
极板面积板间距离介电常数电容和结构参数的关系线性电容,C=Const ( 不变 )
非线性电容,C = Const ( 不为常数 )
u
i
C
2
00 2
1
ucc u d uu i d tWc
ut
电容的储能电容是一种储能元件,储存的电场能量为：
）（
dt
du
C
dt
dq
i
无源元件小结理想元件的特性 （ u 与 i 的关系）
L CR
iRu
dt
di
Lu? dt
du
Ci?
实际元件 的特性可以用若干 理想元件 来表示例,电感线圈
L,电感量
R：导线电阻
C：线间分布电容参数的影响和电路的工作条件有关。
U
R1
R2
L
C
R1
U R2U为直流电压时,以上电路等效为注意 L,C 在不同电路中的作用
L短路
C断路
u i R根据 欧姆定律
iRu?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
s i n2s i n2
s i n2
设则
3-4 电阻元件的交流电路
tIt
R
U
R
u
i
tUu
s i n2s i n2
s i n2
1,频率相同 2,相位相同
3,有效值关系,
IRU?
电阻电路 中电流、电压的关系
4,相量关系,设
0 UU
U?
I?
0
R
U
I
则
RIU
或电阻电路中的功率
)(s i n2
)(s i n2
tUu
tIi
RuiRiup /22
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积小写
1,（ 耗能元件 ）
0?p
结论：
2,随时间变化
p
22 iu,
3,与 成比例
p
RuiRiup /22
ω tu
i
p
ω t
TT
dtiu
T
dtp
T
P
00
11
tUu
tIi
s i n2
s i n2
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIdttUI
T
dttUI
T
T
T
0
0
2
)2c o s1(
1
s i n2
1
大写 IUP
u
i
R
dt
diLu?基本 关系式,
i
u L
tIi?s i n2?设
)90s i n (2
)90s i n (2
co s2
tU
tLI
tLI
dt
di
Lu
则
3-5 电感元件的交流电路电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90° ）
)90s i n (2
)90s i n (2
tU
tLIu
tIi?s i n2?
i
u
t?
90
U?
I?
LI?
I
设：
3,有效值
LIU
感抗 （ Ω ）LX
L
定义：
)90s i n (2
)90s i n (2
tU
tLIu
LXIU?
则：
U?
I?
4,相量关系
)90s i n (2 tUu?
tIi?s i n2?
0 II
设：
9090 LIUU?
)(
9090
90
L
j
jXIeLIU
L
I
U
I
U
则：
LXjIU
电感电路中欧姆定律的 相量形式其中含有幅度和相位信息
U?
I?
Liu？
u,i 相位不一致 ！
U?
领先 ！
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
ω
XL
LL XIU?
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
e
+
_ L
R
直流
E+_
R
电感电路中的 功率
)90s i n (2
s i n2
tUu
tIi
tUI
ttUIuip
2s i n
c o ss i n2
1,瞬时功率 p,
i
u L
储存能量
P <0
释放能量
+
P >0
P <0
可逆的能量转换过程
tUIuip?2si n
i
u L
+
p
P >0 t?
u
i
u
i
u
i
u
i
u i
t?
2,平均功率 P （有功功率）
0)2(s i n
1
1
0
0
dttIU
T
dtp
T
P
T
T
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行 能量交换 （能量的吞吐）。
tUIuip?2si n
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感 瞬时功率 所能达到的 最大值 。用以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip?2si n
基本关系式,
dt
du
Ci?
设,
tUu?s i n2?
u
i
C
)90s i n (2
c o s2
tCU
tUC
dt
du
Ci
则：
3-6 电容元件的交流电路
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
电容电路 中电流、电压的关系
iu
t?
90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或CUI
I
C
U
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
1?
定义：
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
CXIU?
则：
I
4,相量关系设：
0 UU
9090 CUII?
I?
U?
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
90
1
CI
U
则：
CXIjCIU
901
CXjIU
电容电路 中欧姆定律的 相量 形式其中含有 幅度 和 相位 信息
U?
I? I?
领先 ！
E
+
-ω
C
X c
1?
e
+
-
关于容抗的讨论直流是频率的函数,表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
容抗
）（
C
X C
1?
ω＝ 0 时
cX
C断路电容电路中的功率
u
i
)90s i n (2
s i n2
tUu
tIi
tIUuip?2s i n
1,瞬时功率 p
tIUuip?2s i n
充电
p 放电放电
P < 0
释放能量充电
P > 0
储存能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
t
T
T
tIU
T
dtP
T
P
0
0
02s i n
1
1
2,平均功率 P
tIUuip?2s i n
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ
tUIp?2s i n
已知,C ＝ 1μF
)
6
3 1 4s i n (27.70
tu
求,I,i
例
u
i
C
解：
3 1 8 0103 1 4 11 6CX C?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
CX
U
I
求电容电路中的电流
mA)
3
314s i n (2.222
)
26
314s i n (2.222
t
ti
瞬时值 i 领先于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
CX
UI
U?
I?
6
3?
相量图
1,单一参数电路中的基本关系电路参数
LjjX L
dt
diLu?
基本关系复阻抗
L U?
I?
C
jjX C
1
复阻抗电路参数
dt
duCi?
基本关系C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu?
复阻抗 R U?
I?
小 结在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则直流电路中介绍的基本定律、公式、分析方法都能用。
IU、
CL jXCjXLRR,,
电阻电路
RIU )( LXjIU
电感电路
)( CXjIU
电容电路复数形式的欧姆定律
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律
* 电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、克氏定律。
dt
di
LiR
uuu
LR
uL
i
uRu R
L
3.简单正弦交流电路的关系 (以 R-L电路为例）
* 电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、克氏定律
U?
I?
LU?
RU?
)
LLR
LLR
jXRIUUU
jXIURIU
（
、
R
L
I?
U?
RU?
LU?
在电阻电路中：
正误判断
R
u
i?
？
R
U
i?
R
U
I?
？
？
瞬时值 有效值
在电感电路中,正误判断
？？
？
LX
u
i?
L
ui
L
UI
LXI
U?
Lj
I
U？？
单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图
（正方向）
复数阻抗电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式功率有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设则
tUu?s in2?
tIi?s in2?
IRU? RIU
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
Lj
jXL
cj
C
j
jXC
1
1
设则
tIi?s in2?
)90s in (
2
t
LIu
设则
tUu?s in2?
)90s in (
12
t
C
Ui
LX
IXU
L
L
CX
IXU
C
C
1?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
LjXIU
CjXIU
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
基本关系作业
3.3.1
课外：练习与思考
3.3.4
3.3.5
)90s i n ()
1
(2
)90s i n ()(2
s i n2
t
c
I
tLI
tIRu
tIi?s i n2?
若则
CLR uuuu
电流、电压的关系：
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
（一）
3-7 R-L-C串联交流电路
CL
CL
XXjRI
jXIjXIRIU
总电压与总电流的关系式
CLR UUUU
相量方程式：
则
CC
LL
R
jXIU
jXIU
RIU
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
0II?设 （参考相量）
R-L-C串联交流电路 -- 相量图先画出参考相量
CU?
U?
LU?
I?
CL XXjRIU
相量表达式：
RU?
CL UU
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
电压三角形
R
CL1
U
UU
tg
Z：复数阻抗实部为阻虚部为抗 容抗感抗
CL XXjRIU
CL XXjRZ
令则
ZIU
R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律复数形式的欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，只要物理量用相量表示,
元件参数用复数阻抗表示，则电路方程式的形式与直流电路相似。
是一个复数，但并不是正弦交流量，上面 不能加点 。 Z在方程式中只是一个运算工具 。
Z
说明：
CL XXjRZ
ZIU
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
关于复数阻抗 Z 的讨论
iu
i
u
I
U
Z
I
U
I
U
Z
ZIU
由复数形式的欧姆定律 可得：
结论,Ｚ 的模为电路总电压和总电流有效值之比，
而 Ｚ 的幅角则为总电压和总电流的相位差。
iuI
UZ?
（二）
（１） Z和总电流、总电压的关系
（２） Z 和电路性质的关系
CL XXjRZZ
一定时电路性质由参数决定
R
XX
tg CLiu
1
当 时,表示 u 领先 i －－ 电路呈 感性
CL XX? 0
CL XX? 0
当 时,表示 u,i同相 －－ 电路呈 电阻性
CL XX? 0
当 时,表示 u 落后 i －－ 电路呈 容性阻抗角
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
假设 R,L,C已定，
电路性质能否确定？
（阻性？感性？容性？）
不能！ 与频率 ω有关当 ω不同时，可能出现：
XL > XC,或 XL < XC,或 XL =XC 。
C
XLX CL
1,
（３）阻抗（ Z）三角形
R
XX
tg
XXRZ
CL
CL
1
22
)(
ZXXjRZ CL )(
Z
R
CL XXX
阻抗三角形
（４） 阻抗三角形和电压三角形的关系电压三角形 阻抗三 角形相似
CL
CLR
XXjRI
UUUU
CL XXjRZ
Z
R
CL XXX
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU
I?
（三） R,L,C 串联电路中的功率计算
CLR
pppiup
1,瞬时功率
2,平均功率 P （有功功率）
RIIUP
dtppp
T
pdt
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
)(
1
1
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
IUP R?
平均功率 P与总电压 U、总电流 I 间的关系：
RU?
U?
CL UU
CO S
-----功率因数
c o sUU R?
其中：
c osUIP?
在 R,L,C 串联的电路中,储能元件 R,L,C
虽然不消耗能量,但存在能量吞吐,吞吐的规模 用无功功率来表示。其大小为：
s i nIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
）（
）（
3,无功功率 Q：
RU?
U?
CL UU
4,视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。
UIS? 单位：伏安、千伏安
P
QS
注,S＝ U I 用来 衡量发电机可能提供的最大功率 （额定电压 × 额定电流）
视在功率
UIS?
5,功率三角形：
s inUIQ?
无功功率
c osUIP?
有功功率
_
+
+_
p
设 i 领先 u,（电容性电路）
s inUI
c o sUI
R,L,C 串联电路中的功率关系
t?
i u
RU?
U?
CL UU
电压三角形
S
Q
P
功率三角形
CL XX?
Z
R
阻抗三角形
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
正误判断因为交流物理量除有效值外还有相位。
CLCLR XXIIRUUUU？
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU
I?
CLR UUUU
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在 R-L-C串联电路中
ZIU
？
正误判断而复数阻抗只是一个运算符号。 Z 不能加,?”
反映的是正弦电压或电流，
IU、
正误判断 在 Ｒ － Ｌ － Ｃ 正弦交流电路中
？
Z
U
I? Z
u
i?？
Z
U
I?
？
Z
U
I
？
Z
U
I
？
正误判断在 R-L-C 串联电路中，假设 0II?
？ 222
CLR UUUU
？
CL XXjRIU
？? 2
2
CL XXRIU
正误判断 在 R-L-C串联电路中，假设
0II?
？
U
UU
tg CL
1?
？
R
CL
tg
1
？
R
XX
tg CL
1?
？
R
CL
U
UU
tg
1?
（一） 简单串并联电路
Z1
Z2
I?
iU? oU
oiO uU
ZZ
Z
U?
21
2
i
Z1
Z2iu ou
3-8 阻抗的串联与并联
Z1 Z2
I?
2I?
iU?
1I?
i
Z1 Z2
iu
1i 2i
YUYYUI ）（ 21
Y1,Y2 --- 导纳
）（
2121
21
11
ZZ
U
Z
U
Z
U
III
Y1 Y2
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
EeIiUu
jXCjXLRR CL
、、
、、
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
（二）一般正弦交流电路的解题步骤
3、用复数符号法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，
求,A,UO 的读数解题方法有两种,1.利用复数进行相量运算
2.利用相量图求结果
A A B
C2
5j5
UO
C1
10j
1I?
2I?I?
解法 1,利用复数进行相量运算已知,I1=10A、
UAB =100V，
则：
A45210551 0 02 jI
A1090101 jI
A01021 III
A读数为 10安?
求,A,UO的读数即,V0100U
AB
设,为 参考相量,
ABU?
A A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1I?
2I?
A01021 III
V1 0 0)101 jjIU C （
V4521 0 0
1 0 01 0 01
jUUU ABCo
UO读数为 141伏?
求,A,UO的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，A
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1I?
2I?
ABU?
2I?
45°
1I?
1CU? OU?
I?
解法 2,利用相量图求解设,V01 0 0
ABU
由已知条件得：
10A1?I,领先 90°
2I?
A210
55
1 00
222I
ABU?
45°落后于
I=10 A,UO =141V由图得：
21 III
ABCo UUU 1
求,A,UO的读数已知,I1=10A,UAB =100V，
UC1=I XC1=100V
uC1落后于 i 90°
ABU?
2I?
45°
1I?
1CU? OU?
I?
A A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1I?
2I?
例 2
已知：
)1s i n ( tIi ms
)2s i n ( tEe m
R1,R2,L,C
求,各支路电流的大小
ei
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
相量模型原始电路
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
sI?
LI? 2RI? e
I?
LjX
E?
1R
2R
CjX-
解法一 结点电位法
C
jjX
LjjX
E
E
I
I
C
L
m
m
S
1
2
2
2
1
已知参数：
CL
C
S
A
jXRjX
jX
E
I
U
111
2
节点方程
A
sI?
LI? 2RI? e
I?
LjX
E?
1R
2R
CjX- CjX-
e
C
A
e
R
A
R
L
L
A
L
i
jX
EU
I
i
R
U
I
i
jX
U
I
2
2
2
由结点电位便求出各支路电流：
解法二,叠加原理
+
eee
RRR
LLL
III
III
III
222
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
E?
1R
2R
CjX-
SI?
R1
R2
'IL? 'IR2?
'Ie?
LjX
CjX-
eI
R1
R2
LI 2RI
LjX
E?
CjX-
解法三：
2RjXZ L?
)R（j XIE LSS 2
戴维宁定理求
eI? ABU? LI?
、
2RI?
sI?
LI? 2RI?
LjX
eI?
E?
1R
2R
B
A
CjX-
eI?
E?
Z
CjX-
SE?
作业
3.7.1
3.7.2
3.7.4
课外：练习与思考
3.7.1
