第五章非正弦周期电流电路
§ 5.1,非正弦周期量 的分解
§ 5.2.非正弦周期量 的有效值
§ 5.3,非正弦周期量 的 计算概述第五章 非正弦周期电流电路
§ 5.3,非正弦周期电流电路中的 平均功率非正弦周期交流信号的特点：
不是正弦波
按周期规律变化概述半波整流电路的输出信号：
非正弦周期交流信号示波器内的水平扫描电压：
周期性锯齿波交直流共存电路：
+UCC
Es
uC
t
UC
uc
uO=Umsinωt
C
uO
计算机内的脉冲信号,
T t
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
2 2t
)1 t
=
)
1
0
w
A m ++
++ sin(
2
f
w
m
+
fwsin(
)(
A
Atf
…..
)s i n (
1
0?
=
++=
k
kkm tkAA fw
§ 5.1非正弦周期量 的分解任何满足狄里赫利条件的 周期函数 都可以展开为 傅里叶级数：
周期函数傅里叶级数
=
=
+?+=?
11
0 c o ss i n)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
周期函数
)()(
1
0 k
k
km tkS i nAtf A?ww +?+=?
=
tkCtkB
tkAtkA
tktkA
tkA
kmkm
kkmkkm
kkkm
kkm
+?=
+?=
+?=
+?
ww
w?w?
w?w
w
c o ss i n
c o ss i ns i nc o s
)s i nc o sc o s( s i n
)s i n (
=
=
=
www
www
ww
2
0
2
0
2
0
0
)(c o s)(
1
)(s i n)(
1
)()(
2
1
ttdktfC
ttdktfB
tdtfA
km
km
=
=
+?+=
11
0 c o ss i n)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
教材 p174
(5.1.5)式求出 A0,Bkm,Ckm便可得到原函数 )( tf w 的展开式。 (参见教材 175 例 5.1.1)
周期性方波的分解
t
t
基波
t
三次谐波五次谐波 七次谐波例 uUm
tπ π2 3π ω0
.,,)ts i n 5
5
1
ts i n 3
3
1
t( s i n
π
2U
2
U
u mm
+++
+=
ww
w
直流分量基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波频谱图时域
)ts i nts i nt( s i nUU m?+++= www
5
5
13
3
14
时域周期性函数频域离散谱线
w
0
4 UU m =
U
mU
T
频域
w
3
0U
w3
5
0U
w5
t
)s i n ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
若则有效值,
)(s i n
2
1
)(
2
1
2
2
0
1
0
2
0
2
tdtkUU
tdtuU
k
kkm
w?w
ww
++=
=
=
§ 5.2 非正弦周期量的 有效值
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
0
+++=
+=?
=
UUU
U
UU
k
km
结论：周期函数的 有效值 为 直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
有效值的计算教材 p178
(5.2.3)式将上式中根号内的积分展开得,
要点：
2,利用正弦交流电路的计算方法 （ 用叠加原理 ）,对各谐波信号 分别计算 。
（注意 对交流 各谐波的 XL,XC不同,对直流 C 相当于开路,L相于短路。 ）
1,利用 付里叶级数,将非正弦周期函数 展开成若干种频率的谐波信号；
3,将以上计算结果，用 瞬时值叠加 。
*§ 5.3非正弦周期电流 的 线性电路计算例 1
u=100sin1000t+50sin( 2000t+200)V
i=10sin1000t+2.77sin( 2000t - )A?
求,R,L,C、,P
已知：
i
u
R
L
C
解,解题思路 将电路分解后分别计算
i i1 i2
u
R
L
C
= u
1
R
jXL1
-jXC1
+ jX
L2
-jXC2
R
u2
（ ω=1000） （ 2ω=2000）
u1=100sin1000tV i1=10sin1000tA
AI 01 0
2
10?=?0
1 02
1 0 0?=U?
= 0
1
1 010
I
U
Z1=R+j(XL1-XC1)=
R=10Ω则：
XL1=XC1（ 串联谐振 ）
CL ww
1= ①
C
L 2
1 0 0 0
1=
i1
u1
R
jXL1
-jXC1
（ ω=1000）
i2
jXL2
-jXC2
R
u2
（ ω=2000）
+?==?0
2
2
2 2018I
UZ
AI=
2
77.2
2
VU 02 20
2
50?=?
u2=50sin( 2000t+200)V
i2=2.77sin( 2000t - )A
18)
2 0 0 0
12 0 0 0( 22 =?+
C
LR
②
18)
2 0 0 0
12 0 0 0( 22 =?+
C
LR
②
① ② 式联立求解得,L=0.01H C=100μF
+=
0202 00 0
1
2 00 0
R
C
L
a r c t g
=36.30
P=P1 + P2 + U1I1COS 1+U2I2COS 2 = 538.4W
①
C
L 2
1 0 0 0
1=
例 2 方波信号激励的电路已知：
STI
CLR
m?28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
==
==?=
、
、、
求：
u
t
T/2 T
Si
mI
R
L
C u
Si
第一步,将激励信号展开为傅里叶级数
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mO
IdtI
T
dtti
T
I ===
直流分量：
谐波分量：
=?=
=?
w
www
k
Itk
k
I
tdtktiB
m
m
Km
2
0
)c o s
1
(
2
)(s i n)(
2
0
2
0
K为偶数
K为奇数
0s i n
12
)(c o s)(
2
0
2
0
=?=
=?
w
www
tk
k
I
tdtktiC
m
km
k
IBCBA m
KmKmKmKm
222 ==+=
（ K为奇数）
01 ==?
Km
Km
K B
C
tg?
si
的最后展开式为：
tt
II
tkAIi
mm
K
K
KmS
ww
w
3s i n
3
1
( s i n
2
2
)s i n (
1
0
++=
++=?
=
）?++ tws i n
5
1
t
T/2 T
Si
mI
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
++++= tttIIi mmS www
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si 5si
等效电源
IS0
1si 3si 5s
i
直流分量
μ A5.78
2
157
20
=== m
I
I
μ A100
14.3
57.122
1 =
==
m
m
II
基波最大值
sT
I m
μ28.6
,μ A157
=
=
代入已知数据,得：
r a d / s10
1028.6
14.322 6
6
=
==
T
w
μ A20
5
1
μ A3.33
3
1
15
13
==
==
mm
mm
II
II
三次谐波最大值五次谐波最大值角频率
A10s i n1 0 0 61?ti s =
A103s i n
3
100 6
3?ti s?=
A5.780?=SI
A105s i n
5
1 0 0 6
5?ti s?=
电流源 各频率的谐波分量为：
t
T/2 T
Si
mI
mV57.1
105.7820
6
00
=
=
=
S
RIU
第二步 对 各种频率的谐波分量单独计算：
1,直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：
u0
IS0
20Ω
R
LC
A5.780?=SI
2,基波 作用 ti s 61 10s i n1 0 0= Aμ
=?=
=
=
k11010
k1
10100010
11
36
1
126
1
L
C
w
w
==?
+
+
=
k50
)(
)()(
)(
1
RC
L
R
XX
XXjR
jXjXR
Z
CL
CL
CL
w
RX L
20Ω
R
C
1si
u1
pF1 0 0 0
mH1
=
=
C
L
L
/sr ad10 6=w
基波发生谐振
K Ω50)( 1 =wZ
mV
2
5000
50
2
10100
(
6
111
=
=?=
）wZIU
20Ω
R
LC
1si
u1 A10s i n1 0 0 61 μti s =
3,三次谐波 作用
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= A?
20Ω
R
LC
3si
u3
=
+
+
=
19.895.374
)(
))((
)3(
33
33
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
Ωk310103
33.0
101000103
11
36
3
126
3
==
=
=
L
K
C
w
w
=?19.895.3 7 4)3( 1wZ
19.895.3 7 4
2
10
3.33
)3(
6
133
=
=
wZIU
S
mV2.89
2
47.12=
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= Aμ
4,五次谐波 作用
A105s i n
5
1 0 0 6
5?ti s?=
=
+
+
=
53.893.208
)5(
))((
)5(
55
55
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
20Ω
R
LC
3si
u3
Ωk510105
)ΩK(2.0
101000105
11
36
5
126
5
==
=
=
L
C
w
w
mV53.89
2
1 6 6.4
53.893.2 0 8
2
10
20
)5(
6
155
=
=
= wZIU
s
=?53.893.208)5( 1wZ
A105s i n
5
100 6
5?ti s?=
第三步 各 谐波分量计算结果 瞬时值 迭加：
mV)53.895s i n (166.4
)2.893s i n (47.12
s i n500057.1
5310
+
+
+?
+++=
t
t
t
uuuUu
w
w
w
mV57.10 =U mV2.89
2
47.12
3
=U?
mV
2
5 0 0 0
1 =U
mV53.89
2
166.4
5
=U
1,最后结果只能是瞬时值叠加。
不同频率正弦量不能用相量相加。
2,不同频率对应的 XC,XL不同。
++++? 5310 www UUUUU
...
计算非正弦周期交流电路应注意的问题
=
T
dtiu
T
P
0
1
)s i n ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
)s i n ()(
1
0 kk
k
km tkIItiww?++=?
=
5.4 平均功率的计算结论：
平均功率＝ 直流分量的功率＋ 各次谐波的平均功率
..,.,.
)( c o s
210
1
00
+++=
=+=?
=
PPP
IUIUP
kikukkk
k
k
教材 p184
(5.4.2)式积分结果整理后得：
P=U1I1COS 1+U2I2COS 2 = 538.4W例题 1中：
第五章结 束
§ 5.1,非正弦周期量 的分解
§ 5.2.非正弦周期量 的有效值
§ 5.3,非正弦周期量 的 计算概述第五章 非正弦周期电流电路
§ 5.3,非正弦周期电流电路中的 平均功率非正弦周期交流信号的特点：
不是正弦波
按周期规律变化概述半波整流电路的输出信号：
非正弦周期交流信号示波器内的水平扫描电压：
周期性锯齿波交直流共存电路：
+UCC
Es
uC
t
UC
uc
uO=Umsinωt
C
uO
计算机内的脉冲信号,
T t
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
2 2t
)1 t
=
)
1
0
w
A m ++
++ sin(
2
f
w
m
+
fwsin(
)(
A
Atf
…..
)s i n (
1
0?
=
++=
k
kkm tkAA fw
§ 5.1非正弦周期量 的分解任何满足狄里赫利条件的 周期函数 都可以展开为 傅里叶级数：
周期函数傅里叶级数
=
=
+?+=?
11
0 c o ss i n)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
周期函数
)()(
1
0 k
k
km tkS i nAtf A?ww +?+=?
=
tkCtkB
tkAtkA
tktkA
tkA
kmkm
kkmkkm
kkkm
kkm
+?=
+?=
+?=
+?
ww
w?w?
w?w
w
c o ss i n
c o ss i ns i nc o s
)s i nc o sc o s( s i n
)s i n (
=
=
=
www
www
ww
2
0
2
0
2
0
0
)(c o s)(
1
)(s i n)(
1
)()(
2
1
ttdktfC
ttdktfB
tdtfA
km
km
=
=
+?+=
11
0 c o ss i n)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
教材 p174
(5.1.5)式求出 A0,Bkm,Ckm便可得到原函数 )( tf w 的展开式。 (参见教材 175 例 5.1.1)
周期性方波的分解
t
t
基波
t
三次谐波五次谐波 七次谐波例 uUm
tπ π2 3π ω0
.,,)ts i n 5
5
1
ts i n 3
3
1
t( s i n
π
2U
2
U
u mm
+++
+=
ww
w
直流分量基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波频谱图时域
)ts i nts i nt( s i nUU m?+++= www
5
5
13
3
14
时域周期性函数频域离散谱线
w
0
4 UU m =
U
mU
T
频域
w
3
0U
w3
5
0U
w5
t
)s i n ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
若则有效值,
)(s i n
2
1
)(
2
1
2
2
0
1
0
2
0
2
tdtkUU
tdtuU
k
kkm
w?w
ww
++=
=
=
§ 5.2 非正弦周期量的 有效值
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
0
+++=
+=?
=
UUU
U
UU
k
km
结论：周期函数的 有效值 为 直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
有效值的计算教材 p178
(5.2.3)式将上式中根号内的积分展开得,
要点：
2,利用正弦交流电路的计算方法 （ 用叠加原理 ）,对各谐波信号 分别计算 。
（注意 对交流 各谐波的 XL,XC不同,对直流 C 相当于开路,L相于短路。 ）
1,利用 付里叶级数,将非正弦周期函数 展开成若干种频率的谐波信号；
3,将以上计算结果，用 瞬时值叠加 。
*§ 5.3非正弦周期电流 的 线性电路计算例 1
u=100sin1000t+50sin( 2000t+200)V
i=10sin1000t+2.77sin( 2000t - )A?
求,R,L,C、,P
已知：
i
u
R
L
C
解,解题思路 将电路分解后分别计算
i i1 i2
u
R
L
C
= u
1
R
jXL1
-jXC1
+ jX
L2
-jXC2
R
u2
（ ω=1000） （ 2ω=2000）
u1=100sin1000tV i1=10sin1000tA
AI 01 0
2
10?=?0
1 02
1 0 0?=U?
= 0
1
1 010
I
U
Z1=R+j(XL1-XC1)=
R=10Ω则：
XL1=XC1（ 串联谐振 ）
CL ww
1= ①
C
L 2
1 0 0 0
1=
i1
u1
R
jXL1
-jXC1
（ ω=1000）
i2
jXL2
-jXC2
R
u2
（ ω=2000）
+?==?0
2
2
2 2018I
UZ
AI=
2
77.2
2
VU 02 20
2
50?=?
u2=50sin( 2000t+200)V
i2=2.77sin( 2000t - )A
18)
2 0 0 0
12 0 0 0( 22 =?+
C
LR
②
18)
2 0 0 0
12 0 0 0( 22 =?+
C
LR
②
① ② 式联立求解得,L=0.01H C=100μF
+=
0202 00 0
1
2 00 0
R
C
L
a r c t g
=36.30
P=P1 + P2 + U1I1COS 1+U2I2COS 2 = 538.4W
①
C
L 2
1 0 0 0
1=
例 2 方波信号激励的电路已知：
STI
CLR
m?28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
==
==?=
、
、、
求：
u
t
T/2 T
Si
mI
R
L
C u
Si
第一步,将激励信号展开为傅里叶级数
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mO
IdtI
T
dtti
T
I ===
直流分量：
谐波分量：
=?=
=?
w
www
k
Itk
k
I
tdtktiB
m
m
Km
2
0
)c o s
1
(
2
)(s i n)(
2
0
2
0
K为偶数
K为奇数
0s i n
12
)(c o s)(
2
0
2
0
=?=
=?
w
www
tk
k
I
tdtktiC
m
km
k
IBCBA m
KmKmKmKm
222 ==+=
（ K为奇数）
01 ==?
Km
Km
K B
C
tg?
si
的最后展开式为：
tt
II
tkAIi
mm
K
K
KmS
ww
w
3s i n
3
1
( s i n
2
2
)s i n (
1
0
++=
++=?
=
）?++ tws i n
5
1
t
T/2 T
Si
mI
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
++++= tttIIi mmS www
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si 5si
等效电源
IS0
1si 3si 5s
i
直流分量
μ A5.78
2
157
20
=== m
I
I
μ A100
14.3
57.122
1 =
==
m
m
II
基波最大值
sT
I m
μ28.6
,μ A157
=
=
代入已知数据,得：
r a d / s10
1028.6
14.322 6
6
=
==
T
w
μ A20
5
1
μ A3.33
3
1
15
13
==
==
mm
mm
II
II
三次谐波最大值五次谐波最大值角频率
A10s i n1 0 0 61?ti s =
A103s i n
3
100 6
3?ti s?=
A5.780?=SI
A105s i n
5
1 0 0 6
5?ti s?=
电流源 各频率的谐波分量为：
t
T/2 T
Si
mI
mV57.1
105.7820
6
00
=
=
=
S
RIU
第二步 对 各种频率的谐波分量单独计算：
1,直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：
u0
IS0
20Ω
R
LC
A5.780?=SI
2,基波 作用 ti s 61 10s i n1 0 0= Aμ
=?=
=
=
k11010
k1
10100010
11
36
1
126
1
L
C
w
w
==?
+
+
=
k50
)(
)()(
)(
1
RC
L
R
XX
XXjR
jXjXR
Z
CL
CL
CL
w
RX L
20Ω
R
C
1si
u1
pF1 0 0 0
mH1
=
=
C
L
L
/sr ad10 6=w
基波发生谐振
K Ω50)( 1 =wZ
mV
2
5000
50
2
10100
(
6
111
=
=?=
）wZIU
20Ω
R
LC
1si
u1 A10s i n1 0 0 61 μti s =
3,三次谐波 作用
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= A?
20Ω
R
LC
3si
u3
=
+
+
=
19.895.374
)(
))((
)3(
33
33
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
Ωk310103
33.0
101000103
11
36
3
126
3
==
=
=
L
K
C
w
w
=?19.895.3 7 4)3( 1wZ
19.895.3 7 4
2
10
3.33
)3(
6
133
=
=
wZIU
S
mV2.89
2
47.12=
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= Aμ
4,五次谐波 作用
A105s i n
5
1 0 0 6
5?ti s?=
=
+
+
=
53.893.208
)5(
))((
)5(
55
55
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
20Ω
R
LC
3si
u3
Ωk510105
)ΩK(2.0
101000105
11
36
5
126
5
==
=
=
L
C
w
w
mV53.89
2
1 6 6.4
53.893.2 0 8
2
10
20
)5(
6
155
=
=
= wZIU
s
=?53.893.208)5( 1wZ
A105s i n
5
100 6
5?ti s?=
第三步 各 谐波分量计算结果 瞬时值 迭加：
mV)53.895s i n (166.4
)2.893s i n (47.12
s i n500057.1
5310
+
+
+?
+++=
t
t
t
uuuUu
w
w
w
mV57.10 =U mV2.89
2
47.12
3
=U?
mV
2
5 0 0 0
1 =U
mV53.89
2
166.4
5
=U
1,最后结果只能是瞬时值叠加。
不同频率正弦量不能用相量相加。
2,不同频率对应的 XC,XL不同。
++++? 5310 www UUUUU
...
计算非正弦周期交流电路应注意的问题
=
T
dtiu
T
P
0
1
)s i n ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
)s i n ()(
1
0 kk
k
km tkIItiww?++=?
=
5.4 平均功率的计算结论：
平均功率＝ 直流分量的功率＋ 各次谐波的平均功率
..,.,.
)( c o s
210
1
00
+++=
=+=?
=
PPP
IUIUP
kikukkk
k
k
教材 p184
(5.4.2)式积分结果整理后得：
P=U1I1COS 1+U2I2COS 2 = 538.4W例题 1中：
第五章结 束
